20/08/10 23:17:15 gEQArxFG.net
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URLﾘﾝｸ(sites.google.com)
Sendai Logic Homepage
仙台ロジック倶楽部
東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 田中一之 Outreach
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
東北大学 数学基礎論セミナー Sendai Logic Seminar
田中一之 教授
2011年7月15日改訂
URLﾘﾝｸ(www.math.tohoku.ac.jp)
Kazuyuki Tanaka
Mathematical Institute, Tohoku University
Last modified on July 16, 2011
201:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/11 07:27:11 iE83EVfi.net
>>173 補足
余因子と逆行列の関係は、下記の方が適切だったね
あと、下記「行列が正則である条件」を是非見て下さい
”行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！”
ってことね
だから、非正則行列は、|A|＝0ってこと
|A|＝0のときに、Ａは零因子であるは、>>173の通り
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと行列をしっていれば、すぐ分かること（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(oguemon.com)
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
(抜粋)
前回の記事では、行列（正方行列）の余因子について扱いました。今回は、行列式と余因子を用いて逆行列を求める方法について扱います。
目次（クリックで該当箇所へ移動）
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
逆行列を求める例
逆行列を求める2つの方法
おわりに
余因子から逆行列を求める
逆行列の公式
行列が正則である条件
ここで、ある正方行列が正則である（逆行列）を持つための条件について触れます。
逆行列を持つか否かは、行列式の値を確認することで簡単に確かめられます。
行列が正則である条件
正方行列Aが正則である←→|A|≠0
つまり、行列式が0であるかを確かめることで、逆行列を持つかが簡単にわかります！
理由は簡単。
正則 → |A|≠0
Aが正則であるとき、A?1が存在するので、行列式の性質より、
|A||A?1|=|AA?1|=|E|=1
が成り立ちます。
2つのスカラーの積が0でないということは、掛け合わせている2つの値は共に0でないの
で、|A|≠0が言えます。
|A|≠0 → 正則
先ほど出てきた行列1/|A| t[Aij]が定義でき、これを左右のどちらから掛け合わせてもEが導かれます。
よって、逆行列を持つ、すなわち正則であると言えます
202:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 07:38:06.00 iE83EVfi.net
>>184 補足
なお、下記の行列式の性質は知っておくと便利
（まあ、常識ですが）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列式
(抜粋)
行列式の性質
行列式の基本的な性質として以下が成り立つ。
det(AB)=det(A)det(B)
など
203:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 07:45:19.30 iE83EVfi.net
>>183 補足
仙台ロジック倶楽部の左上に小
204:さいリンク集があって 下記などに飛べるよ（＾＾ https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/logic-ru-men-jie-shuo 仙台ロジック倶楽部? > ? Logic入門解説 (抜粋) ※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。 数学基礎論入門 （『数学完全ガイダンス』より抜粋，一部修正） ・「数学基礎論」とは ・基礎論の３大定理（ゲーデルの完全性定理、ゲーデルの不完全性定理、ゲンツェンの基本定理） 逆数学のすすめ （『逆数学と２階算術』(河合出版 1997)より） ・「逆数学」とは何か ・その目的とあらまし ・二階算術とその体系 https://sites.google.com/site/sendailogichomepage/home/shu-ji 仙台ロジック倶楽部? > ? 読み物 (抜粋) ※ピンクの見出しをクリックすると、詳細な解説を見ることができます。 ゲーデルの定理 あとがき （フランセーン著『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』の訳者あとがき） →本書の内容を手っ取り早く理解したい方にオススメ． 数学基礎論と消えたパラドックス（『数学セミナー』1993年8月号より） →パラドックスから数学基礎論の誕生，不完全定理への流れを解説． 数学の「はだいろ」 （『数学セミナー』1999年8月号巻頭言） →「数学」の「数」という言葉について． 基礎の論争 （『数学の基礎をめぐる論争』より） →「数学の基礎をめぐる論争」のダイジェスト版？興味を持った方は，是非とも買いましょう．面白いです．
205:１３２人目の素数さん
20/08/11 07:51:45.74 tcpso+oJ.net
>>180
＞証明、証明かｗ
＞いまどき、そんなものネット上にありますがなｗ
で、君は理解できたの？できてないんでしょ？じゃ、無意味だね
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞1.AB=BA=I（単位行列）となる行列 B が存在する
＞2.detA≠0
＞まずは1と2の同値性を証明します。
どうぞ
＞1ならば2の証明
＞積の行列式は行列式の積と等しいので
君、証明した？ここで示して
＞AB=I となるとき，
＞detAdetB=detI=1
＞よって detA≠0
肝心なところを抜くから、君の脳の中に
行列式detが定着しないんだよ
まず
・行列式detを定義せよ
・上記の定義で、detAB=detAdetB となることを示せ
それが数学
君がやってるのは、数学ゴッコ
206:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 07:52:07.77 iE83EVfi.net
>>184 補足
下記”行列環”も常識だけど
ご参考まで
行列の常識があったら、
「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」
もまた常識です
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列環
(抜粋)
例
・2×2実行列 の多元環 M2(R) は非可換結合多元環の簡単な例である。
四元数と同じく R 上 4 次元であるが、
四元数とは異なり、行列単位の積 E11E21 = 0 からわかるように、零因子をもち、
したがって可除環ではない。
その可逆元は正則行列でありそれらは群、一般線型群 GL(2,R) をなす。
性質
・n ? 2 に対して、行列環 Mn(R) は零因子と冪零元をもち、再び、同じことは上三角行列に対しても言える。
207:１３２人目の素数さん
20/08/11 07:56:29.41 tcpso+oJ.net
>2ならば1の証明
>detA≠0 のとき，B=A~/detA
>（ただし A~ は A の余因子行列，
> つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の
> 行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列）
>とおくと，AB=BA=I となることが確認できる（→補足）。
他人の言葉を鵜呑みにせず、証明して
君は結局小学校の算数と同じ形でしか大学の数学を学べていない
要するにセンセイのいった式を「そうかそうかそうなんだ~」と
何の疑いもなく盲信して、馬鹿の如く計算するだけ
数学はそういうもんじゃないよ
なぜその式が成り立つのか論理的に示す それが数学
そこすっ飛ばしたら、ただの計算技能でしかないよ
大学で「算数の授業」を期待するなよ オコチャマ君
208:１３２人目の素数さん
20/08/11 08:07:19.54 tcpso+oJ.net
>>180
＞n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
＞2.detA≠0
＞3.rankA=n
＞2 ←→ 3の証明
＞行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
＞SAT=
＞(IO）
＞(OO)
＞という形にできる（ランク標準形）。
＞略
君、読んでないね 読んだとしても理解できてないね
なぜ？ もし理解してたら必ず引用すべき箇所を引用しなかったからさ
＞積の行列式は行列式の積と等しいので
＞detSdetAdetT=
＞det(IO）
＞ （OO)
＞となる。
＞よって，detA≠0 であることと
＞ A のランクが n であること
＞（右辺の行列が単位行列になる）
＞は同値。
なぜそうなるかわかるかい？
ランク標準形の行列式は
対角成分の積になるからさ
（行列式の定義を知っていたら１秒以内でわかる）
だから、ランクがｎでなければ、行列式は０になり得ない
君は真っ先に行列式の定義を知るべきだね
実は全然知らないだろｗ
209:１３２人目の素数さん
20/08/11 08:11:27.50 tcpso+oJ.net
>>180
>n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である：
>3.rankA=n
>4.KerA={0→}
>3 ←→ 4の証明
>次元定理より，rankA=n?dim(KerA)
>よって，rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。
はい、０点
以下の次元定理を証明しようねｗ
「行列における次元定理：
A を m×n 実行列とするとき， rankA+dim(KerA)=n」
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
210:１３２人目の素数さん
20/08/11 08:24:55.02 tcpso+oJ.net
>>184
>”行列が正則である条件
>正方行列Aが正則である←→|A|≠0
>つまり、行列式が0であるかを確かめることで、
>逆行列を持つかが簡単にわかります！”
大学1年で線形代数学んだ人なら皆知ってるよｗ
ここが最も重要な成果の一つだからな
ｎ×ｎ行列をｎ個の列ベクトルに分解したとき
行列式が０でない⇔ｎ個の列ベクトルが一次独立
という関係になる
なぜなら
ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ－１個の線形結合となる
⇔行列式が０
となるから
君は「余因子」に異常に固執してるけど、
それは君が「計算至上主義、公式至上主義」だから
まず逆行列の計算が頭にあって、
逆行列の公式を覚えることを
最終目標にしてるだろ？
それを「算数学習」っていうんだよｗ
あのな、行列式の定義の仕方によっては、今言った
「 ｎ個の列ベクトルの１つが他のｎ－１個の線形結合となる
⇔行列式が０」
なんかもう自明なくらいあったりまえなんだよ
さて、行列式をどう定義すればいいでしょう？（ニヤニヤ）
ここで数学科とそれ以外の理工系学生の差が如実に分かるね
211:１３２人目の素数さん
20/08/11 10:39:31 tcpso+oJ.net
君さあ、行列式の定義、ここに書いてあるじゃん
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
まず読もうぜｗ
212:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 16:03:07.23 fHpBNDDC.net
>>176 補足
＜「正則行列」の話＞
>よって、”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値ですな！！
そうそう、証明と同様に”理解”というのが、とても大事ですね（＾＾
神脳 河野玄斗くんも書いています（下記）
”暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ”
”数学の勉強法：問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。”
（参考）
URLﾘﾝｸ(kosodatedoctor.)ハテナブログ/entry/2019/06/05/173848
Dr.よつばの医師夫婦育児日記
2019-06-05
読書録125 東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっているシンプルな勉強法 ネタバレ
(抜粋)
※勉強は、幹から押さえることが重要※
→枝葉にこんつめて失敗することがない。
→メリハリづけ、優先順位をつけることで効率ＵＰ
※人に教えることが最良のアウトプット※
→人に教えるつもりで、押さえるべき重要部分を意識する。
→自分の言葉でそしゃくして、 わかりやすく置き換えられれば理解できてる。
「勉強は、 全体像を常に意識して一区切りしたら人に教えるノリで要約してい く。
暗記科目でも、まずは理解に専念して全体像をつかむ。
説明すると、頭の情報が自分の言葉で言語化されるし、 要約するとこれだけか、とわかる。
※読み飛ばし勉強法※
一度教科書を読んだら、すぐにもう一度30秒ほどで読む。
(8)独学の意識を持つ
213: 教わるのではなく、自分から勉強する。独学が最も効率的。 講義はあくまで独学を補助するツール。 まず独学して、わからないところだけ先生に聞く。 講義は自分に必要な最低限にとどめ、まずは自習時間を確保。 ■■高校大学受験を完全攻略する■■ ■数学■ (1)数学を学ぶメリット 1、問題解決能力 与えられた条件からわかることと、 ゴールを求めるために必要なこと 逆算勉強法と同じ つづく
214:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 16:03:38.54 fHpBNDDC.net
>>194
つづき
2、論理的思考力
必ず正しいと言える論理を積み重ねて答えにたどり着く
論理の筋が通っていて飛躍はないか
(2)数学の勉強法
1、基本問題はパターンを攻略する
問題を解く際に常にその抽象論を意識する。
解き方丸暗記ではなく、 解き方の背景にある理屈を説明できるように。
2、応用問題は基本問題を軸とした再現性が重要
応用は基本の組み合わせ、基本の使われ方も学べる。
初見で解法を思いつくようになるためにはどうするか、 考え抜くことが、数学におけるPDCAサイクル
必然性を持って再現できる理屈をふに落とす
(3)数学の楽しさ
沢山ある基本問題の背景に一貫した理屈を見つけたとき、 点が線になり世界が広がる感覚
→複数の問題の根底にある抽象論を抽出するのが大切
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
河野玄斗
河野玄斗（こうの げんと、1996年3月6日[1] - ）は、日本のタレント、YouTuber。
単著
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている-シンプルな勉強法
URLﾘﾝｸ(booklive.jp)
booklive
【感想・ネタバレ】東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法のレビュー
東大医学部在学中に司法試験も一発合格した僕のやっている シンプルな勉強法
河野玄斗
URLﾘﾝｸ(res.booklive.jp)
無料サンプル
ブラウザ試し読み
アプリ試し読み
(引用終り)
以上
215:１３２人目の素数さん
20/08/11 16:27:48 tcpso+oJ.net
>>194
＞ 解き方の背景にある理屈
行列式|A|の公式的な定義と、余因子A~の定義と、
逆行列A^(-1)=A~/|A|だけ見て
「逆行列が100％分かったー！」
とほざく算数馬鹿の君がいっても無意味な言葉
どうせ君は
「正方行列Aは可逆行列と零因子に分けられる」
というだけで分かって気になれる
オメデタイ馬鹿なんだろうｗ
216:１３２人目の素数さん
20/08/11 16:34:52 tcpso+oJ.net
>>194-195
＞1、問題解決能力
＞2、論理的思考力
算数野郎◆yH25M02vWFhPには
公式を使って計算する１はあるかもしれんが
そもそも公理に基づき論理的推論で定理を証明する２は無理
その証拠に
・行列式を定義できない
・なぜ可逆行列の行列式が０なのか示せない
こんなヤツが「IUTガー」とかいっても🐎に念仏🐷に真珠
ま、IUTはそもそも念仏でも真珠でもないから🐎や🐷には相応しいかｗ
217:１３２人目の素数さん
20/08/11 16:49:42 tcpso+oJ.net
行列
(1 2 3)
(4 5 6)
(7 8 9)
の行列式の値は？
ヒント
・公式で計算するヤツは🐎🦌
218:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/11 17:11:49 fHpBNDDC.net
>>194 補足
１．理解が大事。その通りです
２．大学入試などでは、応用問題が理解の試金石なのですが
３．しかし、数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、かえって差がつかないおそれがあるので、基本問題も混ぜたり
で、あんまし理解していなくても、「証明の基本パターン」を暗記して、吐き出すことで、点は取れる問題もあるでしょうね。εδとかね
219:ｗ（＾＾； でも、暗記を吐き出して、「証明のパターン」を当てはめは出来ても、本当に理解しているのかどうか？ｗｗｗ ４．しかし、ペーパーテストでは、「本当に分かっているの？」はムリなのです 「形式的が解答が合っていればOK」になる それを補うのが、「面接」ってやつですけどね もっとも日本の場合、面接まで行くと、よほどでないと落とされないとか言われるのです ５．学校の試験はそれで良いけど、実社会では、試験とは違う。真の実力が見える 暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね ６．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある だから、求められている能力は、Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、それを使いこなせる力と コンピュータが吐き出した結果（アウトプット）のある程度の是非判断能力（例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや大きなインプットミスしてないかとかのチェック） （「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ） 駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です 「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」を理解できていない人が、 細かい証明に走る わけわからず、証明を丸暗記しようとする いまどき、そんなことは求められていないと思いますよ、実社会ではね（数学科の院試は別として） （手計算はせいぜい3x3マトリックスくらいは、理解のためにやるとして、 もっとエクセルとかPC上のソフト（数式処理も可）で手を動かした方が良いと思いますね。21世紀、ビッグデータの時代は） （参考） https://bellcurve.jp/statistics/blog/15368.html 統計WEB BellCurve Excel関数による行列の転置・積・逆行列・行列式の計算方法 2017/12/20
220:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 17:44:24.78 fHpBNDDC.net
>>199 補足の補足
下記”逆行列の求め方”より
１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
（上記１を式変形して）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
逆に言えば、上記3つの要点を理解せずして、
”正則とは何ぞや”を理解したとは言えない
（>>178 より）
”逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・”
って、”ああ、勘違い”というか、
”ああ、分かってないね”というか
なんといいましょうか・・？ ｗｗｗ （＾＾；
(>>184より)
URLﾘﾝｸ(oguemon.com)
大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門 oguemon_com
【行列式編】逆行列の求め方を画像付きで解説！ 20180722
221:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 17:57:01.11 fHpBNDDC.net
>>141-142 補足
”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
と言った
当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）
（なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾ ）
重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが
かえって、自分の無知をさらけ出し、自爆していますねｗｗｗ（＾＾
222:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 20:41:29.75 iE83EVfi.net
>>200 訂正 （間違ってました）
２．A・t[Aij] ＝|A| （正則行列を含む全正方行列の場合）
↓
２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合。Ｅは単位行列）
単位行列なんですよね、>>173の通りです
（>>173 再録）
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
線形代数学の問題です。
yuk********さん2018/7/2910:07:04
線形代数学の問題です。
223: 正則でない正方行列は零因子であることを示せ。 を詳しく説明していただきたいです。 また、零因子も教科書見てもイマイチよくわかってないので解説していただけたら嬉しいです。 ベストアンサーに選ばれた回答 wgf********さん 2018/7/2911:15:58 正方行列A(≠O)が零因子であるとは. AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです Aの余因子行列A~を用いて AA~=|A|Eという関係式が成り立っている 仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E8%A1%8C%E5%88%97 単位行列 (抜粋) 単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。 表記法 n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。 対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。 クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。 性質 ・単位元である ・AI = IA = A ・逆行列は自分自身である I?1 = I ・固有値はすべて1 スカラー行列との関連 単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。 特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。
224:現代数学の系譜 雑談
20/08/11 20:43:50.64 iE83EVfi.net
>>199 タイポ訂正
「形式的が解答が合っていればOK」になる
↓
「形式的に解答が合っていればOK」になる
駒かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
↓
細かい証明の前に、もっと全体像を理解をしておくのが理想です
分かると思うが（＾＾；
225:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:00:46.20 tcpso+oJ.net
>>199
＞数学科院試レベルになると、あまりに難しい問題を出すと、
＞かえって差がつかないおそれがあるので、
こいつ、院試を大学入試と全く同じ感覚で考えてるな 正真正銘の馬鹿ｗ
数学専攻の大学院入試で、大学入試のような計算問題なんかでねぇよｗ
数学を「算数」としか認識してないとこういう馬鹿な嘘言って大恥晒すｗ
226:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:09:35 tcpso+oJ.net
>>200
＞下記”逆行列の求め方”より
＞１．逆行列の公式：A^-1＝1/|A| t[Aij] （正則行列の場合）
＞ （上記１を式変形して）
＞２．A・t[Aij] ＝|A|E （正則行列を含む全正方行列の場合）
＞３．正則行列とは、|A|≠0 （行列式|A|≠0。これは、逆行列の公式より直ちに出る）
＞つまりは、「”Ａが正則”と”Ａは零因子ではない”は、同値」は、
＞上記の３点を理解していれば、直ちに導かれるのです
本末転倒してるなｗ
そもそも余因子行列とか逆行列の式とか抜きにして、いきなり３．の
「正則行列とは、|A|≠0」が云えるんだがね
つまり正則行列とは何かと言われれば
「行列式が０でない」というのが正解で
「零因子でない」とかいうのは
肝心なポイントを外してる点でオカシイ
で、君がなぜポイントを外してるかといえば、
ズバリ行列式を知らないからｗ
行列式知ってたら、元の行列に余因子行列を掛けたら
対角行列|A|E になることなんか自明
そんなことをさも大発見のようにいうのは、
そもそも君が行列式も余因子も全然知らないド素人だから
おまえ、マジで、どこの大学卒だよ
大阪大とかウソつくのやめろよ
大阪大学に対する冒涜だぞｗ
227:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:20:14 tcpso+oJ.net
>>201
＞”非可換群”の例として
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
＞と言った
それがド素人の君の馬鹿発言ｗ
＞当然、コンテキストして、・・・逆元の存在もまた前提です
君は「任意の正方行列Aが、逆行列A~/|A|を持つ」と思ったんだろ？
それもド素人の君の馬鹿誤解
公式を覚えて「数学理解した！」と思うからそういう恥ずかしい間違いをしでかすｗ
＞そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です
「群の表現論で」は不要
＞なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、
＞”正則”という用語は一切使われていないのです。
正方行列全体が群を成す、なんて書いてないけどねｗ
もちろん、書いてあるわけがない
行列式が０の行列は逆元を持たない
そんなの線形代数学んだ人ならだれでも知ってる常識だぞｗ
＞重箱隅をぐちぐち言っている来る人が居ますが
「行列式が０でない」が重箱の隅だというようじゃ
線形代数が全く分かってないですね
一次独立って知ってる？答えてみ？
228:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:31:56 tcpso+oJ.net
>>199
＞５．実社会では、試験とは違う。真の実力が見える
＞ 暗記の証明を吐き出せるかどうかとは、別の「真の実力」がね
実社会では算数でも通用するよ
暗記の公式を使う馬鹿チョンでもね
それが君のいう「真の実力」？
実社会ってチョロいねｗ
＞�
229:U．いまどき、逆行列とか、Excel関数にある ＞ だから、求められている能力は、 ＞ Excel関数とかCでもフォートランでもいいけど、 ＞ それを使いこなせる力と・・・ Excelの関数を使うのは馬鹿の君でもできるよｗ ちなみにExcelでも他のコンピュータのプログラムで 行列式の計算式による余因子行列の構成なんかやってないよ 計算量がベラボウだから じゃ、どうやって計算するかって？ え？工学部の癖にそんなことも知らないのかよ（呆） ま、なんでもかんでも教えると学習しないから自分で調べてみｗ ＞ コンピュータが吐き出した結果 ＞ （アウトプット）のある程度の是非判断能力 ＞ （例えば、桁ずれしてないかとか、式の間違いや ＞ 大きなインプットミスしてないかとかのチェック） ＞ （「これ小数点一桁ずれているんじゃない？」ってやつ） そんなの逆算で確かめられるだろ そんなのが「真の実力」なの？ 工学部って、ホント馬鹿ばっかだなｗ
230:１３２人目の素数さん
20/08/11 21:43:50 tcpso+oJ.net
>>199
＞いまどき、そんなこと（＝証明）は求められていないと思いますよ、実社会ではね
行列式の定義も知らん人が、工学部卒とかいってモノ作ってるとか地獄だなｗ
行列式が０になる、ってどういうことか分かってないだろｗ
ｎ×ｎ行列を書けば基底ベクトルｅ1、・・・、ｅｎが
写る先のベクトルｆ１、・・・、ｆｎが分かる
ベクトルｆ１、・・・、ｆｎによって構成される
平行体のｎ次元体積が行列式の正体
体積が０になるってことは、平行体がｎ－１次元以下につぶれてる
ってことだから、ベクトルｆ１、・・・、ｆｎは一次独立でない
つまりそれは行列によって定められた線形写像の核が｛０｝だけでないってこと
線が点につぶれる線形写像に、逆写像なんかあり得ない
あのな、線形代数は行列の計算ができれば終わり、じゃねえんだよ
代数的なことも、幾何的なことも、全部理解して、
線形代数が分かったことになる
おまえの場合、代数も幾何もごっそり抜け落ちてるんだよ
ただ算数としてだけ理解してる それじゃ全然ダメなんだよ ダ・メ
231:１３２人目の素数さん
20/08/11 23:11:37 64Zb/Q2r.net
>>201
>なお、行列群 wikipedia の説明中は、すべて”行列”という用語を使っていて、”正則”という用語は一切使われていないのです。
wikipediaの行列群より引用「数学において、行列群 (matrix group) はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。」
しっかり「可逆行列」って書いてありますけど。サイコパスは平気で嘘吐きますね。
>それで十分、説明が分かるし、それで良いと思います（＾＾ ）
だめです。任意の元に逆元の存在が保証されなければ群ではありませんので。大事なポイントを省くからいつまでもバカが治らないのですよ？
232:１３２人目の素数さん
20/08/12 06:57:11 aRNO8Y5N.net
>>209
行列群のwikipediaの記述、さっそく修正されたね
英語版とあってなかったみたいだね
233:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 07:48:01.56 KiyP/uDI.net
>>200 補足
＜もっと抽象的に行列を離れて＞
・「零因子」は、群の中には存在しません（下記、蟹江とyahooなどご参照）
・環に「零因子」が存在します（下記蟹江など）
・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です（下記、可逆元と斜体ご参照）
（参考）
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
エッセイの部屋
URLﾘﾝｸ(kanielabo.org)
代数 / 群・環・体 蟹江幸博 数学セミナー6月号 (2003.6.1), pp.38-43.
P6
R が環で，x に左逆元 y, y′ があったと
する．つまり，yx = 1 = y′x だな．左分配律から
(y － y′)x = 1 － 1 = 0 になる．y≠ y′ だから，0 でな
い元の掛け算で 0 が出てくることになる．こういう
元を「零因子」と言う．
体ならありそうもないわけで，その根
拠は逆元の存在だ．それは実際，簡単に証明できる．
体には零因子がない．
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
数学の代数学について
sun********さん2017/1/9 数学の代数学について yahoo
可逆元と零因子はなぜ同時には成り立たないのでしょうか？
本を読んでも見つけられなか
234:ったのでよろしくお願いします つづく
235:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 07:48:54.20 KiyP/uDI.net
>>211
つづき
ベストアンサーに選ばれた回答
san********さん 2017/1/903:02:35
まず，言葉の定義を確認しておきます。
環R（ここでは可換環としますが，非可換な環でも同様）において，
単位元を1，零元を0とするとき，
a∈R が可逆元であるとは，あるb∈Rでab=ba=1となるものが存在するときにいう。
(このbはaに対して一意的に定まり，aの逆元と呼ばれ，a^(-1)で表す)
a∈R が零因子であるとは，a≠0であり，あるb∈Rでb≠0，かつ ab=0となるものが存在するときにいう。
ここで，一般的に可換環で1≠0であることに注意します。
（極端な例として，R={0}という零環というものがありますが，ここでは考えません）
さて，a∈Rが可逆元かつ零因子であるとすると，
aは逆元a^(-1)をもつ。
そして，零因子であるから，あるb∈Rが存在し，b≠0，ab=0 を満たす。
この両辺にa^(-1)をかけると，
a^(-1)・a・b=a^(-1)・0
(a^(-1)・a)・b=a^(-1)・0
1・b=a^(-1)・0
よって，b=0 となり，b≠0に反し，矛盾。
よって，可逆元かつ零因子となる元は存在しない。
零因子が，「0でないもの同士であり，その積が0となるもの」という点がポイントです。
余談ですが，今回のこの事実は，
2つの2次正方行列で，どちらも零行列ではないが積が零行列になるものを考えると，これらはどちらも逆行列を持たない
ことを一般化したものです。
復習のために，この具体例を作って考察してみて下さい。
つづく
236:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 07:49:15.99 KiyP/uDI.net
>>212
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可逆元
(抜粋)
定義
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
斜体 (数学)
(抜粋)
斜体（しゃたい、英: skew field; 歪体, 独: Schiefkorper, 仏: corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である[1][注 1]。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、division ring, Divisionsring）ともいう[3]。
(引用終り)
以上
237:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 07:53:03.14 KiyP/uDI.net
>>211 補足の補足
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
抽象代数学に、無知ってことですねＷＷＷＷＷ（＾＾；
238:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 07:57:16.21 KiyP/uDI.net
>>214 訂正
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
↓
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
まあ、蟹江に限らないだろうね
知る人ぞ知る
常識と言えば、常識かもね
ｗｗｗｗｗ（＾＾；
239:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:25:19.24 uOOQACHF.net
瀬田必死だなｗ
いくら論点をずらそうとしても「n次正方行列全体の集合は積について群である」は間違いですから、残念
240:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:29:05.27 aRNO8Y5N.net
>>211
＞・「零因子」は、群の中には存在しません
そもそも、単位元とは異なる「零」が存在しないな
＞・環に「零因子」が存在します
環を考える必要ある？
＞・”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値”です
正方行列の環は、可除環ではないけど
241:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:29:35.99 uOOQACHF.net
瀬田のコピペにはことごとく「可逆
242:」とか「正則」とか書かれてますねー 瀬田だけですねー、正方行列が群を成すなどと書いてるのは 潔く間違いを認めましょうねー
243:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:40:05.24 aRNO8Y5N.net
>>211-214
そもそも行列の乗法しか考えないのなら、加法を含めた環を考える必要がない
「正則である」という性質を語るのに「零因子でない」とかいうのはズレてる
根本は「線形空間の自己同型写像である」「行列式が０でない」という点にある
「零因子でない」というのはそこから派生する性質でしかない
行列式知ってますか？一度も語ってないけど
244:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:44:49.19 aRNO8Y5N.net
>>198の行列
(1 2 3)
(4 5 6)
(7 8 9)
って、正則じゃないよね
もちろん、行列式を計算すれば０になるので分かるけど
実はもっと簡単に０だって分かる
なんでか？
「群だ、環だ、体だ」とかいうのはなんかズレてる
線形代数なんだから線形空間として考えよう
245:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:45:39.61 uOOQACHF.net
>>211
＞・環に「零因子」が存在します
↑
この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。
瀬田のようなバカに誤解させないためには数学の主張ではなく解説であることをはっきりさせないといけない。例えば「一般に」といった修飾語を添えるなどして。
246:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:53:48.34 aRNO8Y5N.net
>>221
そうだね 正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか
群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
247:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:55:03.09 uOOQACHF.net
なーんだ
＞・環に「零因子」が存在します
は瀬田オリジナルかｗ
どーりで、おかしーと思った。プロの数学者ならこんな怪しげな文章は書かない。書いたら速攻でつっ込まれるｗ「おいゴラ、整域は環じゃないんかい？」ってねｗ
>（下記蟹江など）
などと書かれてるから騙されたｗ
248:１３２人目の素数さん
20/08/12 08:57:25.43 uOOQACHF.net
もう瀬田はオリジナルを書くな
馬鹿なんだからコピペだけしてろ、おまえにはコピペが限界だ
249:１３２人目の素数さん
20/08/12 09:01:34.98 aRNO8Y5N.net
「正方行列の全体は群を成す」というのは、いわば
「ｎ個の要素を持つ集合からそれ自身への写像の全体は群を成す」
というのと同様の誤りを犯しているんだな
ｎ個の要素をもつ集合の置換というのは全単射
つまりそうでない写像は逆写像を持たないから逆元になりようがない
250:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/12 11:11:00 K61Sge4c.net
>>221-222
おっと（＾＾
>＞・環に「零因子」が存在します
>↑
>この文章は危うい。数学の主張としては間違い。零因子を持たない環もあるから。
確かに（＾＾；
(引用開始)
そうだね 正しくは
・「零因子」は環を考えることで初めて意味を持つ
というべきか
群しか考えないんなら「零因子」なんて無意味
そもそも「零元」がないんだから
(引用終り)
同意です
ごもっともですｗ
同意で、デフォルトです（言わずもがな）ｗｗ
(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)
同様の指摘をするならば
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ（＾＾：
まあ
いい勝負だな～～ ｗｗｗｗｗ（＾＾
251:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/12 11:36:36 K61Sge4c.net
>>226 補足
(引用開始)
同様の指摘をするならば
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ（＾＾：
(引用終り)
まあ、無知なんだろうね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列群
252:１３２人目の素数さん
20/08/12 11:40:04 aRNO8Y5N.net
>>226
＞「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」が間違い！！
＞”群となるのは自己同型線形写像の全体”に限られないよねｗｗｗ
ｎ次線形空間の線形写像で自己同型でないのに、
逆写像が存在するものがある、と言い切るなら
今ここで示してくれる？
この人、そもそも大学入ったことあるのかな？
253:１３２人目の素数さん
20/08/12 11:45:14 aRNO8Y5N.net
そもそも>>134で
＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
と書いたのは◆yH25M02vWFhP
だから
「群となるのは
正方行列（線形写像）の全体ではなく
正則行列（自己同型線形写像）の全体」
といってるのであって、自分の発言を忘れて
「”全体”じゃなくても群になる」
といってるんならただの駄々っ子
大学行ったことないのに大卒を詐称するのは犯罪だよ
254:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 11:48:07.87 K61Sge4c.net
もともと
（>>214より）
群・環・体
この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります
「逆元が存在するかどうかを論じてる
たまたまそれが零因子でないという性質と同値である
だから関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」（>>178）
なんて、”たまたま”でないことは、ちょっと群・環・体（蟹江など）を読めば、すぐ分かること（＾＾；
(引用終り)
こちらの主張は、「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係あり
そちらの主張は、「逆元が存在するかどうか」と「たまたまそれが零因子でないという性質と同値」といい、「関係大ありだとほざきたいらしいが・・・」という
つまりは、「零因子」と、「逆元を持つ」は無関係で、行列に関するたまたまだと言いたいわけ？
でも、たまたまじゃなく、”群・環・体 この文脈で 「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があります” ってことですよね
こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
必死で、誤魔化そうとしている努力は認めますけどね
255:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 11:51:54.29 K61Sge4c.net
>>230 訂正
こちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
↓
この主張は、無理筋ですよ（＾＾
あるいは
そちらの主張は、無理筋ですよ（＾＾
かな？
最初の表現だと誤解の余地があるから
256:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/12 11:59:50 K61Sge4c.net
>>228
あらあら
指摘していうことから論点ずらし？
群論わかりますか
群には部分群もあるよ
「群となるのは自己同型線形写像の全体であって」
の”全体”という用語が不用意じゃね
と言っているのですが
もし、不用意でないというならば
”全体”の数学的定義を書いてみて
（”逆写像が存在”なんて、論点ずらしでしかないよね）
257:１３２人目の素数さん
20/08/12 13:50:50.80 aRNO8Y5N.net
>>230
>こちらの主張は、無理筋ですよ
ええ、よくお分かりで
>>232
論点ずらししてるのはあ・な・た
・行列群では群の要素は行列、つまり線形写像
・逆行列は逆写像 これが存在するのは自己同型線形写像のとき、そのときに限る
・そして自己同型線形写像となる行列が正則行列
全部論点
あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」
これに対する指摘が
「群となるのは正則行列の全体」
あなたは自分の誤りを認める屈辱に耐えられず
「”全体”という用語が不用意じゃね
群には部分群もあるよ」
と苦し紛れのいちゃもん
＞”全体”の数学的定義を書いてみて
無意味かつ無駄ないいがかり
あなたこそ
「任意の正方行列Aは逆行列A~/|A|を持つ！」
と思い込んでた誤りを認めようね
そうしないと、再び同じ誤りを繰り返すよ
学習は屈辱の積み重ねだから
公式暗記するだけだから|A|=0の場合が思いつかず大恥かくんだよ
もしかして、実数や複素数についても
「任意の数xは逆数1/xを持つ！」
なんて言い張ってたんじゃない？
あなた・・・小学校出たの？
258:１３２人目の素数さん
20/08/12 14:05:17.97 aRNO8Y5N.net
どうやら◆yH25M02vWFhP氏は 線形代数について
AA~＝|A|E
だけで全てわかった気になってたらしい
困ったもんだねぇ・・・
259:１３２人目の素数さん
20/08/12 14:22:17.98 aRNO8Y5N.net
◆yH25M02vWFhP氏みたいな人は、クラメルの公式を知って
「これで、全ての連立線形方程式の解を求められる」
といいきっちゃうんだろうな・・・
注１）解が存在しない場合は使えません （Ａが全射でない）
注２）解が一意的でない場合も使えません （Ａが単射でない）
ついでにいうと、クラメルの公式は全然実用的でない
（ガウスの消去法を使ったほうがはるかに速い
ガウスは純粋数学だけでなく応用数学にも通じてた）
ガウスの消去法
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガウスの消去法（Gaussian elimination）あるいは
掃き出し法（row reduction）とは、
連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、
通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる
拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。
連立一次方程式の解法以外にも
・行列の階数の計算
・行列式の計算
・正則行列の逆行列の計算
などに使われる。
このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で
小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ、
基本的には、前進消去と後退代入という2つのステップから成る。
260:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/12 15:00:29 K61Sge4c.net
>>230 補足
流れを纏めておくと
・”群・環・体 この文脈で
「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってこと
・つまり、可換なら、「整域」と（可換）体の理論から、”（零因子を持たない）”となる
・非可換環からは、可除環（斜体）が出て、環の単元群で
”R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である”となり
この一例として、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」がでる
・だから、”「零因子」と、「逆元を持つ」は密接な関係があり”ってことです
（勿論、「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」は、行列の理論からも導けますけど）
・なので、”たまたま”じゃない！
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
(抜粋)
可換環
整域と体
詳細は「整域」および「体」を参照
環 R の元 a, b に対して、a が零元でなく ab = 0 が成り立つとしても、b は必ずしも零元でない。
考える環を整域（零因子を持たない非自明な可換環）に制限する
零元以外の任意の元が逆元を持つ環を考える必要がある。
すなわち、体とは、環であって、その零元を除く元の全体が乗法に関してアーベル群となるようなものである。
特に（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）。
つづく
261:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/12 15:01:00 K61Sge4c.net
>>236
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換環
(抜粋)
非可換環（ひかかんかん、英: noncommutative ring）とは乗法が可換ではない環である。
非可換環の重要なクラス
可除環
詳細は「可除環」を参照
可除環あるいは斜体とは、除法が可能な環である。つまり、0 でない任意の元 a が乗法逆元、すなわち a・x = x・a = 1 なる元 x を持つような、零環ではない環である[2]。
別の言い方をすれば、環が可除環であることと単元群が 0 でない元全体であることが同値である。
可除環が可換体と唯一異なるのは乗法が可換であると仮定されないということである。しかしながら、ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。
日本語では、現在でも体は可換体を指すことも可除環を指すこともある。
（ついでに英語版）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Noncommutative ring
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可逆元 （単元群から転送）
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。
とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。
R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
(引用終り)
以上
262:１３２人目の素数さん
20/08/12 15:16:17.27 aRNO8Y5N.net
>>236
＞流れを纏めておくと
自分勝手に流れを捻じ曲げないようにね
＞群・環・体 この文脈で
そもそも環の話はしてないし、
あなたの文章でも、結局体なんて全然出てこない
あくまで群の話をしている
そして正方行列「全体」の群は存在し得ないといっている
そして逆元が存在しない行列については、行列式が０でない
といえばいいだけで、零因子とかいう必要がないし全然外してる
＞勿論、
＞「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
＞は、行列の理論からも導けますけど
「行列の理論からも」ではなく「行列の理論から」
「も」はいらない 自分が導いたような嘘をつくのはやめようね
結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる
零因子はおまけでしかないし、群の話には必要ないな
263:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 15:28:44.77 K61Sge4c.net
>>229 ＆ >>233
あ～ら、必死の誤読＆曲解の論点ずらしｗ（＾＾
１）（>>229より）
(引用開始)
＞まあ、折角だから書いておくと、正方行列とか多元数あたりな
(引用終り)
そこは、とっくの昔に、補足入れますよ、>>141-142と>>201です
”非可換群”の例として
「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」（>>201より）
と言った
当然、コンテキストして、”群”が前提の話
”群”が前提の話として、逆元の存在もまた前提です
そして、念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話です（>>155ご参照）
”全体”とか、関係ないよ。だって、群は積の演算で閉じているってことですからね
群には、部分群も存在するから、中途半端に”全体”とかいうとまずいぞ
２）（>>233より）
(引用開始)
あなたがいったのは
「群となるのは正方行列（の全体）」
(引用終り)
こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です
それで逃げるのねｗ（＾＾
まあ、妄想全開の人を相手にしても仕方ないから
（繰り返すが、当方は”全体”なんて曖昧な用語は使っておりませんよ！！）
許してやるよｗｗｗ（＾＾
264:現代数学の系譜 雑談
20/08/12 15:37:42.69 K61Sge4c.net
>>239 補足
（>>222より）
(引用開始)
要するにｎ次正方行列は、ｎ次線形空間の線形写像を表してるけど
その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される
(引用終り)
”その中には当然、自己同型写像でないものも含まれてる
そして群となるのは自己同型線形写像の全体であって、
それは行列式が０でない行列として特定される”
全体ね～、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな～
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
行列群
全体ね～ｗ
妄想じゃ、仕方ないな
265:１３２人目の素数さん
20/08/12 16:59:14 aRNO8Y5N.net
>>239
相変わらず、本当の論点から目を背け続けるね
＞「まあ、折角だから書いておくと、正方行列（の成す群）とか多元数あたりな」
（）で誤魔化せたつもりなら全くアサハカ
上記は当然正方行列（”全体”の成す群）と受け取られる
＞逆元の存在もまた前提です
そこがまたアサハカ
上記は（任意の正方行列に対する）「逆元の存在」を前提してると受け取られる
＞念頭にあったのは、群の表現論で、正則行列を使う話
正則行列を持ち出すのに「表現論」が必要と思ってるのがオカシイ
そもそも正方行列において群を成す最大範囲が正則行列
そんなこと線形代数学んだ人なら皆知ってる
君が知らないとしたら大学に行ったことないモグリってこと
＞”全体”とか、関係ないよ。
＞だって、群は積の演算で閉じているってことですからね
だっての前後が 見事に食い違い
「群は積の演算で閉じている」のだから「閉じた全体」が必要
正方行列の中で、群として閉じることができる最大の範囲が正則行列
そういう認識が完全に欠如してる時点で、君は大学にも行ったことないド素人
線形代数を大学で学んでいたら確実に知っている筈のことを
君は全く知らなかったんだからね
＞群には、部分群も存在するから
そんな話は全くしていないので、無意味
自分の誤りを認めずに話をそらそうとするから
君はいつまでたっても数学が理解できない
＞＞「群となるのは正方行列（の全体）」
＞こっちは、最初から「（の全体）」とか言ってないよ
＞それ、「（の全体）」って、あなたの脳内の妄想です
それ、いいわけにもならんね
正則行列といえばいいところを、正方行列といった
要するに、君は正則行列を知らなかった
行列式も知らなかった そういうことだね
行列式を知っていたら 行列式が０の行列は
正則行列でなく逆行列が存在しないことも知ってる筈
要するに君は線形代数を知ってる人なら当然知ってることを
まったく何一つ知らないと白状したわけだ
そんな人がIUTとか齧ったって無駄
歯が欠けるからやめとけ マジで
266:１３２人目の素数さん
20/08/12 17:06:27 aRNO8Y5N.net
>>240
＞全体ね～、”自己同型線形写像の全体”以外の行列群も沢山あるけどな～
しかし、自己同型でない線形写像からなる行列群は無い
つまり君が「正方行列」といったことはいかなる意味でも誤り
君の苦し紛れの言い訳でもやはり「正則行列」というのが正しかった
残念だったな
267:１３２人目の素数さん
20/08/12 17:13:13 aRNO8Y5N.net
>>155は君のような大学にも行ったことない素人が読んでも理解できないよ
難しいからじゃない 訳の分からない文章だから
まずここを読むべきだった
一般線型群
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
そうすれば「表現論ガー」なんていうのが見当違いだと分かる
268:１３２人目の素数さん
20/08/12 17:20:48 aRNO8Y5N.net
大事なのは
線形空間V上の線形写像の全体End(V)は群でない、ということ
n 次正方行列全体 Mn(F)は群でない、ということ
そしてVの次元がｎなら
End(V)のうち全単射な写像
⇔ Mn(F)のうち正則な（つまり可逆な）行列
⇔ Mn(F)のうち行列式が0でない行列
となるわけだ
269:１３２人目の素数さん
20/08/12 17:25:47 aRNO8Y5N.net
>>244
そしてさらにいえば一般線形群の部分群も
全単射な写像、行列式が0でない行列
にさらなる条件が追加されるだけであって
全単射な写像、行列式が0でない行列
という条件が外されることはない
それこそが重要
分かったか！高卒ド素人
270:１３２人目の素数さん
20/08/13 06:53:55 RBrrjuJv.net
結局、毎度おなじみの、◆yH25M02vWFhP の惨敗、ってことか
271:１３２人目の素数さん
20/08/13 06:55:09 RBrrjuJv.net
解析学だけでなく線形代数もダメとか、完全な落ちこぼれだな、◆yH25M02vWFhPは
272:１３２人目の素数さん
20/08/13 07:23:10 RBrrjuJv.net
n個のn次元
273:ベクトルv1~vnが一次独立⇔外積v1∧…∧vnが零でない これ豆な
274:１３２人目の素数さん
20/08/13 07:24:35 RBrrjuJv.net
行列(v1,…,vn)の行列式＝外積v1∧…∧vn これも豆な
275:１３２人目の素数さん
20/08/13 07:32:27 RBrrjuJv.net
続きは → ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
276:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 07:39:11 bF50UmjA.net
>>238
>結局、あなたの引用した文章でも行列の理論から導いてる
うむ、良い指摘です。100点満点の5点をあげよう（＾＾
さて、纏めておこう
１．( >>236より)零因子は、主に環の中に存在し、基本的に 群の中には存在しない(零がない)
２．可換環では、「（可換）体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）」
３．( >>237より)非可換環では、ちょっと事情が違う
「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記）
４．「ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
６．但し、行列群では、非可換でも「体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である」
（証明は、 >>173などご参照（行列式|A|が0か否かで異なる））
７．なお、環の中では、左零因子a（ax=0 で、a≠0 かつ x≠0 ）に対し、左逆元 a^(-1)a＝1(単位元)の存在は両立しない
（∵ ax=0の両辺に、a^(-1)を作用させると、左辺は a^(-1)ax＝x で、右辺は a^(-1)0＝0。これは、x≠0に矛盾（なお、結合則を使った）。これから、可換の場合には、零因子と逆元の存在は、存在しないことが、すぐ分かる。
なお、「体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る」（下記 逆元 wikipediaより）ので、正方行列 Mは、行列式が 0 以外のとき零因子を持たないし、零因子になれない！！ ）
８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
冪零元（下記）も、同様の理由で含まれてはならない
つまり、環の中では、零因子と逆元の存在は、密接に関連しているのです！！！
なお、上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね（再録「非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない」（下記））（＾＾；
つづく
277:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 07:40:28 bF50UmjA.net
>>251
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
非可換環
(抜粋)
可換環論と非可換環論の違い
非可換環は可換環よりもはるかに広いクラスであるから、非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない。多くの成果は可換環の結果を非可換環に一般化することによって得られてきた。可換環と非可換環の主な違いは右イデアルと左イデアルを考える必要性である。非可換環の研究者にとってこれらのイデアルの一方にある条件を課しもう一方には課さないということはよくあることだが、可換環では左右の違いが存在しない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
可逆元
(抜粋)
可逆元（かぎゃくげん、英: invertible element）または単元（たんげん、英: unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
定義
いくつかの冪等元を持つ半群 S について、S の元 a は S の元 b と冪等元 e が存在して ab = e となるとき e に対する右可逆元であるといい、 S の元 c と冪等元 e′ が存在して ca = e′ となるとき e′ に対する左可逆元であるという。a が冪等元 e に対して左可逆元かつ右可逆元であるとき、a は e に対する可逆元であるという。M が単位的半群であるとき、その単位元に対する（左、右）可逆な元をそれぞれ（左、右）単元 (unit) と呼ぶ[1][2]。
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則（一般化可逆、擬可逆）元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。
つづく
278:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 07:41:28 bF50UmjA.net
つづき
環の単元群
環は乗法について半群を成し、環が単位的ならばそれは単位的半群であるから、この構造に関する可逆元、単元（単数）を考えることができる。とくに、単位的環 R の単元の全体は、R の単元群 (group of units) と呼ばれる R の乗法的半群の極大部分群を成す。R の単元群は U(R), R× などで表す。R が可除環となることと、R の単元群が R の非零元全体 R* に一致することとは同値である。
任意の単位的環 R, S に対し、単位的環準同型 f: R → S は、単元群の間の群準同型 U(f): U(R) → U(S) を引き起こす。したがって、単位的環 R にその単元群 U(R) を対応させる操作 Uは、単位的環の圏から群の圏への函手である。この函手の左随伴は群 G に群環 ZG を対応させる操作である[3]。
例
・体 F 上の n 次正方行列環 M(n, F) における単元は正則行列である。
279: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%85%83 逆元 (抜粋) 逆元 （ぎゃくげん、英: inverse element）とは、数学、とくに抽象代数学において、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、直観的には与えられた元に結合してその効果を「打ち消す」効果を持つ元のことである。逆元のきちんとした定義は、考える代数的構造によって少し異なるものがいくつか存在するが、群を考える上ではそれらの定義する概念は同じものになる。 厳密な定義 単位的マグマの場合 集合 M は二項演算 ・ をもつ代数系すなわちマグマで、 e は (M, ・) の単位元とする。 すなわち (M, ・, e) は単位的マグマであるとする。 M の元 a, b に対して a ・ b = e となるとき、a を演算 ・ と単位元 e に関する b の左逆元 (left inverse), b を演算 ・ 単位元 e に関する a の右逆元 (right inverse) という。またこのとき、b は左可逆、aは右可逆であるという。 つづく
280:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 07:41:50 bF50UmjA.net
つづき
例
逆行列・擬逆行列
体 K に成分を持つ正方行列 M が可逆であるのはその行列式が 0 以外であるときであり、かつそのときに限る。
M の行列式が 0 ならば M は（左または右逆元のうち一方が存在すれば、それは他方の存在を導くから）片側逆元を持つことも不可能である（詳細は正則行列を参照）。
もっと一般に、可換環 R 上の正方行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式が R の可逆元であることである。
階数落ちしていない (full-rank) 非正方行列は片側逆元を持つ[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。これは、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である[2]。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。これは環における因子の特別な場合である。左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる[3]。左かつ右零因子である元 a は両側零因子（two-sided zero divisor）と呼ばれる（ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない）。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である（regular）または非零因子（non-zero-divisor）と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子（nonzero zero divisor）または非自明な零因子（nontrivial zero divisor）と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
冪零元
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して x^n = 0 となるときに冪零元（べきれいげん、英: nilpotent element）という。
冪零 (nilpotent) という言葉は、ベンジャミン・パースによって、多元環の元のある冪が 0 になるという文脈で1870年頃に導入された[1]。
(引用終り)
以上
281:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 07:43:41 bF50UmjA.net
なかなか、面白いネタだったな（＾＾
282:１３２人目の素数さん
20/08/13 07:54:49.11 RBrrjuJv.net
>>251
＞４．「ウェダーバーンの小定理によって、
＞すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である」
＞５．従って、例外的に（無限）斜体（無限可除環）の場合では、
＞零因子が含まれる可能性がある
ドアホｗｗｗｗｗｗｗ
可除環に零因子はない！
「非自明な単位的非可換環 K に対して
可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x－1 ∈ K が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。」
したがって、定義より零因子は存在しない！
ウェダーバーンの小定理は
「非可換な有限可除環は存在しない」
というだけのこと
有限だろうが無限だろうが、可除環はその定義より零因子は存在しない！
・・・酷い、酷すぎるよ、◆yH25M02vWFhP
283:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:01:22 RBrrjuJv.net
>>251
＞５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある
＞上記５項辺りは、論文ネタかもしれないね
可除性の定義で否定されたものの存在を証明した論文ｗｗｗｗｗｗｗ
ほほ自明ですが
「行列環Mn(K)は、nが2以上の場合、可除環でない」
つまり、環論では、可除性と零因子の非存在は、同値です！！！
ホント、毎度のことだけど、今日も盛大にやらかしてくれたね、◆yH25M02vWFhP
284:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:10:04.86 RBrrjuJv.net
>>252-254
得意げに無駄なコピペするヒマがあったら
真っ先に以下の文章を読むべきだったね、君
斜体 (数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
定義
a が零元 0K でない K の元ならば
それに対して aa＾(－1
285:) = a＾(－1)a = 1K を満たす、 逆元と呼ばれる元 a^(－1) が常に存在する。 非自明な単位的非可換環 K に対して 可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。 を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。 読むべきところを読まずに、毎度恒例の自爆 君の軽率さは、人間として致命的な欠陥だよ（笑いゼロ、マジ）
286:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:15:16.98 RBrrjuJv.net
さて、馬鹿を弄るだけだと、数学板のスレッドとしてふさわしくないので
たまには数学的なネタもぶっこんであげよう
ほ・い・よｗｗｗｗｗｗｗ
フロベニウスの定理 (代数学)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学の抽象代数学において、フロベニウスの定理とは、
実数体上の有限次元の結合的多元体を特徴付ける定理であって、
ドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスによって
1877年に証明された。
内容
D が実数体 R 上の有限次元多元体であれば、以下の何れかが成り立つ。
D = R
D = C（複素数体）
D = H（四元数体）
287:１３２人目の素数さん
20/08/13 08:19:35.44 RBrrjuJv.net
例によって例のごとく、英語版のほうが豊富なので
興味ある人は読んでみよう
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(real_division_algebras)
但し、可除性の定義の日本語の文章すら正しく読めない◆yH25M02vWFhPは除く！！！
288:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:56:33 BJ2NNS4M.net
>>251 訂正
> ８．また、5の場合において、例えば群Gに含まれる元Aに対して、（右又は左）零因子Bが存在して、（例えば右として）AB＝0（零元）となるとき
> Bは、Gに含まれてはならない（∵ AB＝0で0∈Gとなると、0には逆元が存在しないので群の定義に矛盾。左因子も同じ）（>>149や下記など）
<ここ補足>
１．まず、普通（実数などの場合）の逆行列では、< 逆行列の一意性 >が成立します。（下記、高知工科大学など）
２．もっとも、一般の逆行列もどきでは、”一意的には定まらない”と言われます（下記、田辺国士）
３．単位行列も、一意です。単位元eもマグマの単位元なども、同様に一意です
４．行列に戻ると、逆行列及び単位行列の一意性から、A A^-1＝E（Eは単位行列）となって
零因子の存在 AX＝0 (A≠0、X≠0)と矛盾します
（∵ AX＝0の両辺に A^-1を左から掛けると、A^-1 AX＝(A^-1 A)X＝(E)X＝X≠0、一方右辺は0で矛盾。（但し、結合則を使った））
５．普通の正方行列の場合、Aが零因子行列であることと、逆行列を持つこととが、矛盾することが、逆行列の一意性から簡単に理解できます
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kochi-tech.ac.jp)
高知工科大学 井上 昌昭
URLﾘﾝｸ(www.core.kochi-tech.ac.jp)
2002 年度 基礎数学ワークブック Ser.A , No.12 高知工科大学 井上 昌昭
< 逆行列の一意性 >
(抜粋)
定理1 正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。
< 証明 > A の逆行列が 2 つあったとして, それを X, Y とすると,
XA = AX = I , Y A = AY = I (I は単位行列)
である。よって
X = XI = X(AY)=(XA)Y = IY = Y
より X = Y である。 (証明終)
定理2 正則行列 A に対して,
XA = I (I は単位行列)
を満たす正方行列 X が存在すれば, X は A の逆行列 A^?1 である。
すなわち
X = A^?1
である。
つづく
289:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:57:06 BJ2NNS4M.net
>>261
つづき
URLﾘﾝｸ(www.orsj.or.jp)
オベレーションズ・リサーチ 日本オペレーションズ・リサーチ学会
解説 一般逆行列 (1) 田辺国士 (たなベ・くにお 統計数理研究所) 1976
(抜粋)
正方行列 Aの行列式が 0でないならば，行列方程式
AX=I, XA=I (1)
を満たす行列 Xがただ 1つ定まり，逆行列と呼ばれ A^-l
であらわされます.
�
290:ｱのとき，連立一次方程式 Ax=y (2) は，任意のベクトru にたいして，ただ 1つの解をもち， それは の逆行列と右辺の積 A^-l とあらわされること もよく知られています. 最適化理論，推定理論，制御理論，電気回路網理論などの分野では，非正則 行列や長方行列がしばしば登場し，これをある意味で逆転することが要求されます. したがって，一般の m,n 行列 にたいして， (1)に類 似の代数的関係が成り立つような“逆行列もどき" 定義され，長方行列 を係数行列とする連立一次方程式 (2) にたいして Xy にしかるべき意味を与えることが できるならば，これらの分野における行列によるモデル の表現，計算の運用あるいは推論の上で有用な道具とな るでしょう. この考えを最初に定式化したのは E. H. Moore( 1920) です.L かし， 1950 年代になって A. Bjerhammar (1951 )や R. Penrose(1955) が独立にこの概念に再定式 化を与えるまで人々の注意をひきませんでした.その後 c. R. Rao( 1962) Moore Penrose, Bjerhammar よりも弱 、条件による定式化を与え，それを一般逆行列 と名つ寺け， S. K. Mitra とともにこの一般逆行列の系統 的な分類の研究を行なっています[13]. これに関してわ が国では渋谷[6] の研究があります. §1. 種々の一般逆行列 Xが満たすべき条件として Xy が連立 一次方程式 (2) の解となるという性質を要求することは 自然でしょう.“方程式 (2) の解が存在するような任意の 右辺 にたいして Xy (2) つの解である"という 条件を満たす n,m 行列 が常に存在します.これを の一般逆行列と呼び A-であらわします. 一般に Aにたいして A-は一意的には定まりません . つづく
291:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:57:41 BJ2NNS4M.net
>>262
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位行列
(抜粋)
単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
表記法
n×n 行列の単位元は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δij) と表すことが出来る。
性質
単位元である
AI = IA = A
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単位元
(抜粋)
単位元（ 英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん, 英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。
定義
(M, *) を集合 M とその上の二項演算 * のなすマグマとする。M の元 e が * に関する（両側）単位元であるとは、M のすべての元 a に対して
a*e=e*a=a
を満たすときにいう。
さらに細かく、M の任意の元 a に対して
a * e = a を満たすとき右単位元といい、
e * a = a を満たすとき左単位元という。
単位元は左単位元かつ右単位元である。演算が可換であるときには左右の区別はない。
単位元を持つマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。
環などの加法と乗法のふたつの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。
性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。
しかしマグマ (M, *) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。
このことは、実際 e1 が左単位元 e2
292: が右単位元であるならば、 e_{1}=e_{1}*e_{2}=e_{2} が成立することからわかる。 とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。 マグマ (S, *) が一つも単位元を持たないこともありうる。 つづく
293:現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
20/08/13 14:58:07 BJ2NNS4M.net
>>263
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
マグマ (数学)
(抜粋)
抽象代数学におけるマグマ（英語: magma）または亜群（あぐん、groupoid）は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M → M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。
このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群（groupoid）と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群（groupoid）」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。
(引用終り)
以上
294:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:31:44.76 RBrrjuJv.net
◆yH25M02vWFhP
可除性の定義
「x が零元でないならば、その乗法逆元 x^(－1) ∈ K が存在する。」
と矛盾する>>251の
「５．（無限）斜体（無限可除環）の場合では、零因子が含まれる可能性がある」
の馬鹿発言を修正すらできず沈黙死
295:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:35:33.89 RBrrjuJv.net
◆yH25M02vWFhP
零因子で発狂し零因子で自爆死
行列式、勉強しろよｗ
296:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:44:25.88 RBrrjuJv.net
「正則行列 A の逆行列はただ 1 つである。」
正則行列Aは全単射となる線形写像なんだから逆写像は唯一だろう
逆写像
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
写像 f の定義域を集合 X, 値域を集合 Y とする。
写像 f が可逆 (invertible) であるとは、
Y を定義域、X を値域とする写像 g で、条件
f(x)=y ⇔ g(y)=x
を満足するものが存在するときに言う。
f が可逆ならば写像 g は一意である
（つまり、この性質を満たす写像 g はただ一つ存在して、
一つよりも多くも少なくもない）。
写像 g を f の逆写像と呼び、f^(－1) で表す。
別な言い方をすれば、写像が可逆であるための必要十分条件は、
その逆関係が再び写像となることである
（このとき、逆関係が逆写像を与える）。
必ずしも全ての写像が逆写像を持つわけではなく、
上記の条件を適用するためには
「値域 Y の各元 y に対して、
f で y に写されるような定義域 X の元 x がちょうど一つ存在する」
必要がある。
この性質を満たす写像 f は一対一あるいは単射と呼ばれる。
f および f^(－1) がそれぞれ X および Y 上の写像となるとき、
これらはともに全単射となる。
297:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:51:40 RBrrjuJv.net
“逆行列もどき"
元の行列をAとしたとき
もどき行列をA'とすれば
Aの値域にあるwについて
AA'w=w となる
（Aは全射でないから）
但し一般にA'Av=vとはならない
（Aは単射とはかぎらないから）
298:１３２人目の素数さん
20/08/13 16:56:06 RBrrjuJv.net
連立一次方程式で、解が無数にある場合
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってるが
そもそも方程式で定められる線形写像が単射でない
連立一次方程式で、解が存在しない存在
→方程式の右辺が、方程式で定める線形写像の値域に入ってない
（方程式で定められる線形写像が全射でないため）
299:１３２人目の素数さん
20/08/13 17:03:46 RBrrjuJv.net
>>264
そこはマグマじゃなく圏を持ち出せよｗ
圏 C は以下のものからなる:
対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
各射 f ∈ hom(C) には
始域と呼ばれる対象 a ∈ Ob(C) および
終域と呼ばれる対象 b ∈ ob(C) が付随して、
"f は a から b への射である" と言い、f: a → b と書き表す。
a から b への射の類 (hom-class; ホム類) hom(a, b) は
a から b への射全体の成す類を言う。
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、
射の合成と呼ばれる二項演算
hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c); (f, g) ↦ g ∘ f
が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等
300:射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、 任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ∘ f = f and g ∘ 1x = g を満たす。 これらの公理から、各対象に対して恒等射はただ一つ存在することが示せる。 集合の圏 Set 対象：全ての集合 射：全ての写像 線形空間の圏 K-Vect 対象：全ての K-ベクトル空間 射：全ての K-線型写像
301:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:57:18.73 bF50UmjA.net
>>261
＜行列の右逆行列と左逆行列が一致する話（１～４）＞
１）
URLﾘﾝｸ(tad311.xsrv.jp)
大学数学へのかけ橋！『高校数学＋α ：基礎と論理の物語』著者： 宮腰 忠
URLﾘﾝｸ(tad311.xsrv.jp)
n 次正方行列 A についての定理
「XA = I ←→ AX = I」の初等的証明 1）
1）【補足説明】定理：有限次数の正方行列 A に対して，XA = I（I は単位行列）を満たす行列 X が存在する
とき，それは AX = I を満たす．逆に，行列 X が AX = I を満たすとき，それは XA = I も満たす．（その
ような行列 X を A の逆行列 A
?1 という．逆行列は存在しない場合もある．XA = I を満たす行列 X を A
の左逆行列，AX = I を満たす行列 X を A の右逆行列という．したがって，この定理は「左逆行列と右逆
行列は，両者が存在するとき，それらは一致する」と言うことができる．実際の証明はそれらの存在証明
を伴う．無限次元行列については，左逆行列・右逆行列が存在しても，それらが一致するとは限らない
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
つづく
302:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:58:03.26 bF50UmjA.net
>>271
つづき
２）
URLﾘﾝｸ(www.minamiazabu.net)
南麻布広男 手のひら数学 (数学の小部屋)
URLﾘﾝｸ(math.style)
行列 教本 南麻布広男
URLﾘﾝｸ(math.style)
121018 初版
URLﾘﾝｸ(goo.gl)
行列と行列式 第 7 回
7.1 逆行列
逆行列の性質
AA?1 = A?1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
行列の場合はちゃんと成分を使って証明すべきことのようだ。
だが，それはちゃんと証明されているので，右逆行列は存在すれば，左逆行列も存在して，
かつそれは一致する，すなわち，逆行列は可換である，としてよいことにする。
つづく
303:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:59:10.64 bF50UmjA.net
>>272
つづき
３）
URLﾘﾝｸ(fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp)
大和田 拓 京都大学 工学研究科 航空宇宙工学専攻 流体力学分野
URLﾘﾝｸ(fd.kuaero.kyoto-u.ac.jp)
付録１ 人には聞けない線形代数の基礎
大和田拓
京都大学大学院工学研究科航空宇宙工学専攻
P15
Lesson 5 逆行列
命題 2 (右逆行列) Aを n次の正方行列（ n行 n列の行列)とする． Aの列
304:ベクトル 全体が線形独立ならば， Eを n次の単位行列としてAB=E を満たす行列 Bが一意 的に存在する．このとき Bを Aの右逆行列という． 命題 3 (左逆行列) 正方行列の場合には列ベクトル全体が線形独立であることと行ベクトル全体が 線形独立であることが同値であることを命題４および５は示している．従って 右逆行列と左逆行列は同時に存在する．そしてさらに次のことがいえる． 命題 6 (逆行列) 左右の逆行列は等しい．すなわち B=D ∵ B=(DA)B=D(AB)=D. つづく
305:現代数学の系譜 雑談
20/08/13 23:59:29.94 bF50UmjA.net
>>273
つづき
４）
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
kymst こと山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
MathDocs 山下弘一郎先生
URLﾘﾝｸ(kymst.net)
New Series, No.A-1. version Mar. 2011. 山下弘一郎先生
行列と可換性
Copy-ultra-Left. All-Rights ReVERSEd.
Article by YAMASHITA, Koichiro. Mar 07 2011
THEOREM 3.2 (余因子行列)
A ∈ M2(K) とその余因子行列 Ae について，trA = τ, det A = δ とすれば次が成り
立つ：
AA~ = δI, A + A~ = τI.
この第 2 式から，A~ = ?A + τI であるから，余因子行列 A~ は A の 1 次式で表わされ，
よって A~ と A は可換である: AA~ = A~A = δI.
逆行列の存在条件は，もはやアタリマエの事実となる：
Corollary 3.3
A の右逆行列は 1/δ A~ であるが，余因子行列との可換性によって，これは左逆行列
でもある．そこで改めて，A の逆行列 (inverse matrix) を A?1 と書く
右逆行列と左逆行列が一致するのを確かめたこと，今までにありましたか?
(引用終り)
以上
306:１３２人目の素数さん
20/08/14 07:33:59 tstI7/Nb.net
>>271-274
◆yH25M02vWFhPクンは、自習中でしたか 結構結構
ところで、写像f:X→Yに対してf^(-1):Y→Xが存在すれば
f^(-1)・f:X→X f・f^(-1):Y→Y はいずれも
XおよびY上恒等写像id_X、id_Yと一致しますが何か？
307:１３２人目の素数さん
20/08/14 07:53:55.99 tstI7/Nb.net
>>173
＞正方行列A(≠O)が零因子であるとは.
＞AB = Oが成り立つ正方行列B(≠O)存在することです
＞（証明）
＞Aの余因子行列A~を用いて
＞AA~=|A|Eという関係式が成り立っている
＞仮定より、Aは正則ではないが故、|A|=0である
＞よってBとして、A~を選べばAB=Oとなり、Aは零因子です
これ、×な
まず、
＞Aの余因子行列A~を用いてAA~=|A|Eという関係式が成り立っている
は正しい
次に
＞Bとして、A~を選べばAB=Oとなり
も正しい
しかし
＞よって・・・Aは零因子です
は誤り
なんでか？
君さ、
「Aが零行列でないとき、余因子行列A~も零行列でない」
と、何の根拠もなく勝手に思い込んでるでしょ？
それ、初歩的な誤りなｗ
（最も簡単な例）
ｎを３以上とする
行列のどこか１か所だけ０の行列について
その余因子行列は零行列
一般にランクがｎ－２以下のｎ×ｎ行列で、
その余因子行列が零行列となるものが存在する
つまりこの証明は正しくない
Aが零因子⇔零行列でなくdetA=０
は正しいんだがね
さて、detA=０であり０でない行列Aについて
・AB=０となる、０でない行列B
・CA=０となる、０でない行列C
はどうやって構成できるでしょうか？
308:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:43:37.02 tstI7/Nb.net
>>277
実は、B=Cとすることができる
ヒント
ケイリー・ハミルトンの定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理、
またはハミルトン・ケイリーの定理は
（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有
309:方程式を満たす という定理である。 アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。 A が与えられた n×n 行列で、In は n×n 単位行列とすれば、 A の固有多項式は p(λ):=det(λ I_n-A)} で定義される。 ここで det は行列式をとること、 λ は係数環の元（スカラー）である。 引数の行列は各成分が λ の多項式（とくに一次式または定数）だから、 その行列式も λ に関する（n-次の）モニック多項式になる。 ケイリー–ハミルトンの定理の主張は、 固有多項式を行列多項式と見ればそれが A において消えること、 すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた結果が零行列に等しいこと、 すなわち p(A)=Oの成立を述べるものである。 注 置き換えにおいて、λ の冪は、 行列の積に関する累乗としての A の冪によって置き換わるから、 特に p(λ) の定数項は A^0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わらなければならない。
310:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:53:04.06 tstI7/Nb.net
でも、>>276の問題を解くだけだったら、
ケイリー・ハミルトンの定理使わなくてもできるけど
311:１３２人目の素数さん
20/08/14 15:54:35.61 tstI7/Nb.net
逆行列の構成もケイリー・ハミルトンの定理使ってできるけど
もちろんつかわなくてもできる そういうこと
312:１３２人目の素数さん
20/08/14 16:01:42.55 tstI7/Nb.net
>>278-279
何でこんなこと書いたかというと、
訳も分からずケイリー・ハミルトンの定理の式を
馬鹿チョンで使うヤツがいるから
◆yH25M02vWFhP お前だよ、お・ま・え
313:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:32:21.15 OxWPj/ry.net
>>271 >>272 補足
(引用開始)
最後に左逆行列と右逆行列が存在すればそれらは一致し，したがって，逆行列はただ
1 通りに定まることを示しましょう．X は A の左逆行列，Y は A の右逆行列だとすると，
XA = I, AY = I ．
このとき，行列の積の結合則 (AB)C = A(BC) と単位行列の性質 IA = AI = A より，
X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
よって，X = Y，したがって，XA = AX = I が成り立ちます．
逆行列の性質
AA-1 = A-1A = E
実際，AX = E のとき，XY = E なる Y の存在を仮定する。
XA = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
したがって，AX = E かつ XY = E なる Y が存在するならば，XA = E
これは，右逆行列が存在するならば，それは左逆行列も存在して一致するという，逆行列
の性質の証明には不十分である。A に対する X の存在は仮定しているが，それだけで X に
対する Y の存在がいえないからである。
(引用終り)
ここ
重要変形テク
1)X = XI = X(AY) = (XA)Y = IY = Y．
同じだが
X = XE = X(AY) = (XA)Y = EY = Y．
2)A = XAE = XA(XY ) = X(AX)Y = XEY = XY = E
さて
行列では、AX = E のとき，XAを考えると
XA＝XEA＝X(AX)A＝X(AX)A＝(XA)(XA)＝(XA)^2
これから
(XA)^2-XA＝0（零行列）
(XA)(XA-E)＝0
Xが零因子でなく、従って、XAが零因子であることを認めると、
XA-E＝0より
XA＝E 成立（途中、結合則と分配則などを使った）
この証明は、行列だから可能です
一般の代数系では、できない。（下記、松本 眞 広島大などご参照）
なので、群では、左逆元と右逆元との存在を仮定し（それは即ち、モノイドでは一致するが）、それらを公理として与えるのです（松本 眞 広島大などご参照）
つづく
314:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:32:56.30 OxWPj/ry.net
>>281
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
代数系への入門 松本 眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日
P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群
定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。
証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。
問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたく
315:さんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を x * y = x + y + x^2y^2 で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。 x * y = 0 を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 環 (数学) 環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ[注 1]。 定義と導入 略 つづく
316:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:34:44.66 OxWPj/ry.net
>>282
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
モノイド
単系（たんけい、英: monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
定義
集合 S とその上の二項演算 ・: S × S → S が与えられ、以下の条件
結合律
S の任意の元 a, b, c に対して、(a ・ b) ・ c = a ・ (b ・ c).
単位元の存在
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e ・ a = a ・ e = a.
を満たすならば、組 (S, ・, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, ・) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a ・ b を a と b の積[注釈 1]と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
性質
モノイドにおいては、可逆元（あるいは単元）の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである[3]。
任意のモノイドが必ず何らかの群に含まれるとは限らない。例えば、b が単位元ではない場合にも a ・ b = a を満たすような二つの元 a, b をとることができるモノイドというものを矛盾なく考えることができるが、このようなモノイドを群に埋め込むことはできない。なぜなら、埋め込んだ群において必ず存在する a の逆元を両辺に掛けることにより b = e が導かれ、b が単位元でないことに矛盾するからである。モノイド (M, ・) が消約律 (cancellation property) を満たす、あるいは消約的 (cancellative) であるとは
つづく
317:１３２人目の素数さん
20/08/14 18:35:10.32 OOQfjZEv.net
Dulmage - Mendelsohn分解を実装しようと思っていますが、まずは2部グラフの最大マッチングを求めるHopcroft - Karpのアルゴリズムから
実装しないといけないので大変です。
318:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:35:48.38 OxWPj/ry.net
>>283
つづき
M の任意の元 a, b, c に対し、a ・ b = a ・ c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる
という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm-n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm-n-1 が x の逆元となる。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
a = a ・ a-1 ・ a かつ a-1 = a-1 ・ a ・ a-1
となる M の元 a-1 をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという[注釈 5]。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。
つづく
319:現代数学の系譜 雑談
20/08/14 18:36:13.46 OxWPj/ry.net
>>285
つづき
圏論との関係
モノイドは圏の特別なクラスと看做すことができる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、
モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。
もっとはっきり述べれば、モノイド (M, ・) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 ・ で与えられる）。
これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。
この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。
モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。
また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。
(引用終り)
以上