現代数学の系譜カントル超限集合論他 3

現代数学の系譜カントル超限集合論他 3at MATH

現代数学の系譜カントル超限集合論他 3 - 暇つぶし2ch539:… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さいイアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた (引用終り) さて、その上で、上記を有限小数環で説明しよう（高等数学とはあんまり関係ないが） 1．有限小数環を構成するやり方はいくらでもあるが、分かり易く、多項式環から始める（参考：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0 ）　参考より ”注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である”とある 2．普通、係数はある体Kだが、いま都合上整数Zを係数とする　そして、Xに1/10＝0.1を代入する。例えば、p3X^3+p2X2+p1X1+P0→p3*10^-3 +p2*10^-2+p1*10^-1+p0となる　定数項p0があるので、全ての整数を尽くす。また、有限小数を全て尽くすことも容易に分かる　環としての和と積で閉じていることも、同様　この有限小数環をZ[10^-1]とする 3．Z[10^-1]は、有理数Qから10進の循環小数（＝無限小数）を除いた集合であることも、容易に分かる　よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、K[10^-1]には含まれない 4．よって、3*(1/3)＝3*0.333・・・＝0.999・・・＝1 　は、Z[10^-1]の中では実現できないが、任意の精度の近似が可能　この結果は、他の数学の成果と何ら矛盾しない 5．矛盾するような感覚になるのは、おそらくは　古代の人類が、有理数Qの分数から数学を発展させて来た歴史的なものによるのだろう以上

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