21/11/19 21:16:09.87 +7TU/4z5.net
>>395 補足
>”n・・・”みたく、無限上昇列を、作ったんだ。ノイマンは
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ペアノの公理
ペアノの公理は以下の図にまとめることができる:
f(x)→f( f(x) )→f( f( f(x) ) )→ ・・・
ここで、各 f(x), f( f(x) ), f( f( f(x) ) ), ... は互いに異なる。
それぞれの自然数を明記しようとするならば、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。即ち、
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[2] 。
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自然数
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
(引用終り)
つまり、この対応は
数→Zermelo→ Neumann
0 : {} → {}
1 : {{}} → {0}
2 : {{{}}} → {0, 1}
3 :{{{{}}}} → {0, 1, 2}
・
・
n :{･･{{{}}}･･} → {0, 1, 2,･･,n-1}
・
・
ω :{･･･{{{}}}･･･} → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす)
となる
そして、0, 1, 2･･･は、カッコ{}のネスティングの深さにも対応しているのです