21/11/14 20:42:10.02 LFoQx2jW.net
「実無限」と「可能無限」
まあ、これでも
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
数学の発展と展望?
明治大学総合数理学部
砂田 利一
?この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている．
2 無限の概念
ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう．集合
論を「血と肉」としている我々数学者にとって，今更「無限」についての特別な感興が
呼び起こされることはほとんどない．すなわち，それほど現代数学は集合概念に依存し，
初めから概念が用意されていたかの如く，我々は無限というものに慣れ親しんでいるの
である．しかし，無限概念に対する数学者と哲学者の態度には，時代に応じた違いが見ら
れる．一言で言えば，古代ギリシャの伝統を引き継いだヨーロッパの文化的環境が，（時
代は移るものの）無限に関する考察を深化させ，最終的にはカントルの理論に至ったのである．
無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃）
である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア
ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」
について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ
ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ
て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま
さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである．
念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく．
可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が
存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場
実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場
つづく