20/07/22 22:31:46.74 K+HW4I79.net
あるいは>>546のグラフがどれも双曲線の一部になっているということを利用して計算が簡単になったりとかいうことはありますか？
572:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:41:19.51 h9mML7y2.net
>>546
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
573:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:46:25.05 h9mML7y2.net
>>547
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
574:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:56:01.60 FASMCX2l.net
>>541
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
575:１３２人目の素数さん
20/07/22 23:44:34.11 h9mML7y2.net
>>495
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
576:１３２人目の素数さん
20/07/23 00:37:53.79 dcuk2yC7.net
>>550
b[n]は桁数やで？すべて自然数nについてb[n]=1なんだから、そんなこと起こるはずがないやろ。
もしかして>>537の桁数っていうのは小数点以下の桁数のことか？そういうことならb[3]の時点で無限大に吹っ切れてるだろ。
nの素因数が2と5のみのときだけ小数点以下の桁数は有限で、それ以外は無限や。当然「任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]」など成り立つはずもない。
577:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:32:29 oIb80NuQ.net
2×2の正方行列Aが逆行列を持たないとき、AB=[1+ε ε][0 1]となる2×2の正方行列Bが存在することを示せ。
578:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:56:28.63 sHXJwhgv.net
>>553
Aが零行列のとき無理じゃないか？
579:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:09:46.51 sHXJwhgv.net
>>518
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
580:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:19:05.74 sHXJwhgv.net
>>554
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
581:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:33:35 XqmaF/l0.net
>>555
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
582:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:34:17 XqmaF/l0.net
間違えた
cosの多項式と書いてあった
583:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:08:47.52 sHXJwhgv.net
>>557
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
584:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:10:54.86 8crzF/FX.net
>>538
さすが大先生！
新型コロナ感染防止にdoggy styleを推奨されていらっしゃるｗ
585:450
20/07/23 08:22:14 D+mhgYBi.net
失礼 π＝180度 だから
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
586:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:36:54 sHXJwhgv.net
>>555
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
587:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:50:40 ZzpLlSBv.net
>>561
そりゃ「直角三角形ABCにおいてsinA=BC/ACであることを示せ」みたいな問題が出されても困るだろうに
>>450はこれと同レベル、要は定義を確認するだけであってこれがわからないのはラジアンが何かを知らないだけ
もちろんわざわざ問題として教科書や参考書に載せる程のことではない(というか導入のところに書いてあるよね)
588:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:58:29 MCHCcwRS.net
f(n), g(n)を自然数の集合から正の実数の集合への関数とし、
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
589:１３２人目の素数さん
20/07/23 09:03:35 sHXJwhgv.net
>>564
反例
f(n)=n、g(n)=n^2、a=2、b=1
590:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:44:55.81 p11O9Gfd.net
>>528
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
591:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:52:52 oqyyALPI.net
これをx,y,X,Yについてそれぞれ解きたいんですけど、なんか綺麗な方法ありますかね？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
592:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:58:44 2vzJSD+l.net
φ(m)が3の倍数のとき
eg m=18,19,26,27,‥‥
593:イナ
20/07/23 12:33:22.18 0IdoqGiD.net
前>>543
>>566傾けすぎだよ。
水面は変曲点より上にあるだろう。
594:イナ
20/07/23 12:44:18.63 0IdoqGiD.net
前>>569
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
595:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:45:53.18 p5qspa7O.net
自分では分からないのでお願いします。
URLﾘﾝｸ(imepic.jp)
596:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:47:33.62 8TLCIDnR.net
>>564
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
597:１３２人目の素数さん
20/07/23 13:37:45.63 8TLCIDnR.net
>>571
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
598:イナ
20/07/23 13:46:01.73 0IdoqGiD.net
前>>570
>>571唐揚げ食べ放題？
なるほどね。問題の題と掛けたわけね。
599:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:28:23.24 AeLMRh9/.net
>>549
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
600:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:38:45.68 RXdNPMf7.net
>>528
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,
601:y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)} ■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)]) ・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) } = asin(x) -∫dx √(1-xx) ・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx) = x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx) = 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x) ・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx) =2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) ) ・R=acos(y), q=.... ・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分} ■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ) ・∫dy acosy^2 = y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1 = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi ・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a)) 参考(作図アプリ:Geogebra) https://i.imgur.com/y8RExNH.gif
602:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:41:03.81 RXdNPMf7.net
>>576
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
603:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:03:58.88 8crzF/FX.net
>>576
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
604:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:06:25.62 RXdNPMf7.net
>>577 (追加)
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考: URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
605:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:39:46.71 oqyyALPI.net
>>567
自分で解決しました
606:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:23:10 U+hAfy1z.net
√37をオイラー・ペル方程式とテイラー展開を使って小数第6位まで求めろって問題を出されたんだけど、ぶっちゃけこれどうやって求めればいい？
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
607:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:44:48 leZfEHQl.net
>>581
a=1/2, x=1/36
最後に6倍
608:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:45:27 v06GlX3Q.net
うーん
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
609:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:56:33 U+hAfy1z.net
>>582
すみません、アホなんで途中の式も欲しいです
610:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:06:27.29 nIyo4k+q.net
>>579
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
611:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:08:16.69 UY7
612:6Zqbm.net
613:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:13:38.10 v06GlX3Q.net
882/145は約6(10^1オーダー)
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
614:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:23:50.97 c22pr0dU.net
>>586
ん？
>>573が証明の方針を与えていると思うが
何がわからないのかわからないと説明しようがない
級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
>>571の級数におけるコーシーの条件を積分の形で書けばほとんど明らかだと思う
615:イナ
20/07/24 01:50:50.83 dhPtC+Xn.net
前>>574
>>585
2.97322……という数値からして端まで行くよりも手前でワインは途切れるということだと思う。三角関数なんだから当たり前だけど。
616:文部大巨人
20/07/24 02:23:05.19 cJjLl+Ec.net
小学生のうちに覚えさせておきたい数字、
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
617:１３２人目の素数さん
20/07/24 02:24:18.16 cJjLl+Ec.net
( ^～^) …
618:１３２人目の素数さん
20/07/24 05:31:49.94 bLwR5Hy+.net
S[n] = Σ[k=1,n] k^m とする。
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
619:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:00.51 Ob5kvej6.net
>>585
1/2のときでも辺縁からはこぼれてる
辺縁に近すぎて見えないだけ
接線を考えれば明らか
620:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:44.45 Ob5kvej6.net
>>580
どうやって解決したか書いてけよ！
621:１３２人目の素数さん
20/07/24 07:28:01.46 v06GlX3Q.net
>>592
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
622:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:22:11.06 nIyo4k+q.net
>>593
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
623:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:32:39.35 nIyo4k+q.net
>>590
19×19までの九九
俺は下ネタ語呂合わせで覚えたけどｗ
624:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:43:15.15 v06GlX3Q.net
>>595
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
625:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:48:27.14 U+hAfy1z.net
>>587
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
626:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:49:43.06 U+hAfy1z.net
>>599
ごめん、訂正
なんでもなかったわ
627:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:19.93 AqvcbG6k.net
>>594
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
628:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:20.95 cJjLl+Ec.net
ここじゃなくて、ペルに聞いて来いやぁあ？
629:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:16:05.21 miq5sn2E.net
>>581
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
630:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:27:09.66 AqvcbG6k.net
>>601 (補題)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
631:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:35:21.83 v06GlX3Q.net
ああ、そういうことか
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、
632:って話か てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
633:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:31:16.39 +dyQnkLy.net
ある飲食店に人が来るまでの時間をX(時間)とし、パラメータ5の指数分布に従うとする(パラメータ5の意味は、来るまでの時間の期待値は1/5=12分)
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
634:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:44:37.71 5hDRa529.net
>>606
ピッタリ5分ならもちろん0ですな
635:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:27:11 vZ8bCY76.net
サイコロを投げることを繰り返す。XkはK回目に6の目が出たら1、それ以外の目が出たら0とする。
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
636:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:50:21.39 iAiUGZLY.net
>>606
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
637:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:53:34.19 iAiUGZLY.net
>>606
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
638:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:08.48 iAiUGZLY.net
>>606
３０分待ったが客は０だったとして、その後５分以内に客がくる確率はいくらか？
639:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:46.10 U+hAfy1z.net
大数の強法則を誰か例に例えながら教えてくれ
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
640:１３２人目の素数さん
20/07/24 15:42:21.08 AqvcbG6k.net
大数を読みましょう^^
641:A欄既卒
20/07/24 16:01:49.33 cJjLl+Ec.net
大学への数学！？？
642:１３２人目の素数さん
20/07/24 17:27:27.35 bCcZVAHh.net
た い す う
643:１３２人目の素数さん
20/07/24 18:06:43.90 cJjLl+Ec.net
たいすう ってあれだろ、
丸太じゃない方のLog
644:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:47:46.32 ph3bki/u.net
(t^2-1)^(r-1/2)=煤mm=0~∞ ］｛ Γ(1/2-r+m)・t^(2r-1-2m)・1/m！・1/Γ(1/2-r)｝
この式の導出過程が知りたいです
645:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:49:16.30 ph3bki/u.net
シグマ記号が消えてますがm=0~∞のSUMです
646:
20/07/25 00:09:54.09 LdWPvIRs.net
前>>574
>>528
y=sinx
y'=cosx
点(a,sina)における接線y=xcosa-acosa+sinaは、
y軸と点(0,sina-acosa)で交わり、おそらく3π/2＜x＜πでx軸と交わるときワインは半分こぼれる。
接線の傾きは｛sina-(sina-acosa)｝/a=cosa
何度かは90°引いて鋭角で答えていいと思うんやが、
やっぱり積分せないかんのか。
こんなシンプルな立体だれかがやってると思うんやが。
647:１３２人目の素数さん
20/07/25 00:34:41.83 MJwYl0BZ.net
>>617
|t| > 1 ならガンマ関数の関数等式 Γ(z+1) = zΓ(z) と二項級数を使えば何とかなりそ
648:う
649:１３２人目の素数さん
20/07/25 01:14:52.31 H4sFfp/M.net
>>617
f(x) := (1-x)^(r-1/2)
{d/dx}^m f(x)
= (r-1/2)(r-1/2 -1)...(r-1/2 -(m-1)) * (-1)^m * (1-x)^(r-1/2 -m)
= (m-1 +1/2 -r)...(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
= Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
よって テーラー展開 により
|x|＜1 の時
f(x) = Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * x^m
|t|＞1 の時
(tt-1)^(r-1/2) = t^(2r-1) * (1-1/tt)^(r-1/2) = t^(r-1/2) * f(1/tt)
= Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * t^(2r-1 -2m)
650:１３２人目の素数さん
20/07/25 13:14:59.25 g3fpMEvS.net
大数ってあれだろ、
無量大数 (10^68)
(注)
これぐらいの大きさになると、
大数の法則がほぼ完全に成り立つ
ってワケでもねゑが････
651:１３２人目の素数さん
20/07/25 13:29:58.14 MgMTV7FV.net
>>612
ウィキペディアで充分だろ
その前に確率の勉強だ
652:１３２人目の素数さん
20/07/25 16:08:20.97 opUchhO1.net
ゲームの経験値テーブルなんですが、
どういう法則なのか全然分かりません。。
12,21,35,58,91,139,204,290,400,539,709,914,1158,1446,1780,2166,2607,3108,3674,4308,…,an,…
単純な階差数列というわけではないようですが、
anは求められるのでしょうか。
653:１３２人目の素数さん
20/07/25 16:43:14.52 MJwYl0BZ.net
数列クイズに正解なし
654:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:05:38.18 MJwYl0BZ.net
マジレスすると、ゲームの経験値とかなら高々有限列だから、
あえて増加量が規則的にならないように決めている可能性もある
直前の経験値からの増加量の下限と上限を決めておいて、
その間の乱数を使って増やすとかね
高々有限列ならあらかじめ全部計算しておけばいいし
655:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:17:29.08 /At8BfRH.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
お願いします
ストーンの定理を使うことはわかるのですがどう適用したらいいか
656:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:33:49.59 f5HIC6wu.net
Levy の反転公式っぽい
657:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:38:22.98 rpzNCEri.net
>>588
返信遅くなりすいません。
当方かなり数学が苦手で、ヒントをもとに考えてみましたが、やり方がいまいち分からず、解けませんでした。お手数おかけしますが、途中式を書いてもらえないでしょうか？
658:イナ
20/07/25 17:54:36.15 LdWPvIRs.net
前>>619
>>528
ワインの水面の端がx=t(π/2＜t＜3π/2)のとき水面y=sintの面積はπ(3π-t)^2
ワイン満杯V=∫[t=-1→1]π(3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2t^3/3](π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/16)π
=(54-2+18-27)π^4/48
=43π^4/48
ワイングラスをθ°左に傾けたとき半分こぼれて半分残ったとすると、
残ったワインV/2=43π^4/96
ワインの左端(s,sins)
ワインの水面y=(x-s)coss+sins
ワインの水面と軸との交点(u,0)
ワインの右端(v,sinv)
欠円を足し集めるんじゃないかと―。
659:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:11:01.15 opUchhO1.net
>>625
ありがとうございます。
たしかに規則的でない可能性もありますね。式が一つでない可能性もありますしね。。
ただ、レベルが何千とか何万の桁まであって、経験値が何万とか何億とかのけたまであるので、
ある程度式に当てはめた方が労力も少なくなるとは思うので何か法則があるのかなと考えていました。
中華製のブラウザゲームなので何考えてるかわかりませんが
660:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:46:15.75 YAB0Uu
661:Z6.net
662:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:58:18.07 MJwYl0BZ.net
>>631
何そのやばいゲーム
最悪プレイするたびに経験値が変わったりしそう
663:１３２人目の素数さん
20/07/25 19:00:24.31 MJwYl0BZ.net
>>629
まだやってたのか
途中式を書いたら勉強にならないので書かないけど
とりあえず>>588の質問に答えたら？
>何がわからないのかわからないと説明しようがない
>級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
664:１３２人目の素数さん
20/07/25 19:29:28.56 KQWmBrCg.net
xy平面の各格子点上に電球が置いてあり、時刻t=0に原点Oに置かれた電球が初めて点灯した。
各電球は以下の性質を持つ。
「隣接する電球が時刻t=m-1に初めて点灯したとき、時刻t=mに確率pで点灯する。」
以下の問いに答えよ。
（1）点(2,0)に置かれた電球をDとする。電球Dが初めて点灯する時刻として考えられるものを全て述べよ。必要があれば自然数nなどの文字を用いよ。
（2）Dが点灯する確率をpで表せ（どの時刻に点灯するかは問わない）。
665:１３２人目の素数さん
20/07/25 20:02:52.84 MJwYl0BZ.net
>>635
典型的な悪問って感じ
「隣接する電球」の定義が与えられていないから、解答者の解釈によって答えが変わるよね
例えば、点 (1, 1) は原点 O と隣接するのかしないのかさえわからない
「初めて点灯したとき」の確率しか与えられていないから、
隣接する電球が全て点灯したあとに点灯していなければ二度と点灯しないのか、それとも毎時刻確率 p で点灯するのか
数学の問題とは思えない
666:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:24:45.78 vCjWmEm6.net
(2)のΣ1/n^(3/2)は収束するというのはどのように証明すればいいんでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
667:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:45:50.80 en9Xbm4/.net
>>635
「隣接」を「距離1の格子点」とするなら(1)はすべての偶数秒。(2)は経路が多すぎてなんとも。
668:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:52:37.64 MJwYl0BZ.net
>>637
ζ(3/2)
669:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:24:24.04 en9Xbm4/.net
>>637
rを1より大きい定数とする。この問題の場合はr=3/2
n≦x≦n+1 のとき 1/(n+1)^r≦1/x^r
この両辺を区間[n~n+1]で積分して
Σ[n=1~k-1]で和をとって
両辺に1を加えて
k→∞ で極限をとれば上に有界は示せる。
上に有界で単調増加だから収束。
670:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:29:11.40 WDXHn89Z.net
nは2以上の自然数、また S[a,n] = Σ[k=1,n] k^a と定める。
（1）nに関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つような自然数の組(a,b)は(3,1)のみであることを示せ。
（2）（1）においてa,bを正の有理数とした場合、(a,b)=(3,1)以外に条件を満たすものは存在するか。
671:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:36:34.11 vCjWmEm6.net
>>640
ありがとうございました
672:イナ
20/07/25 22:43:42.33 LdWPvIRs.net
前>>630訂正。
>>528
ワイングラス満杯V=∫[t=π/2→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/8)π
=(27-1+9-27)π^4/24
=π^4/3
残ったワインはV/2=π^4/6
今仮に傾けたワインの水面がx=π/2から2πまで存在するとすると、
x軸より下にあるワインはV.= ∫[t=π→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/3+3π^3/2-9π^3/4)π
=(27-8+36-54)π^4/24
=π^4/24
x軸より上にあるワインはV`=π^4/6-π^4/24
=3π^4/24
=π^4/8
ワイングラスを傾けず正対させたとき、
x軸より上のワインはπ^4/3-π^4/24=7π^4/24
つまりワイングラスの中のワインが入ってない空間の体積は、
7π^4/24-π^4/8=6π^4/24=π^4/6
tanθ=1/(3π/2)=2/3π=0.21220659078……
tan11°=0.19438030913……
tan12°=0.21255656167……
ワインが半分残せるθは11°となるが、水面とワイングラスとの接点をx=π/2とした近似値である。
673:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:04:34.85 8ct1Izaa.net
積分使うのが定�
674:ﾎだけど √n-√(n-1) =(n-(n-1))/(√n+√(n-1))=1/(√n+√(n-1))≧1/(2√n) を利用して階差を作って 2/√(n-1)-2/√n=2(√n-√(n-1))/√(n-1)n)≧1/√((n-1)n^2) ≧n^(-3/2) を両辺足し上げて評価する というのもあるよね～
675:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:07:31.70 en9Xbm4/.net
>>641
(1)両辺のnの次数を比較するとa+1=2(b+1)であるから、自然数の組は(2b+1,b)の形のものに限られる。
n=2 のとき 1+2^(2b+1)=(1+2^b)^2 。2^b=x とおくと 1+2x^2=(1+x)^2 。これを x>0 で解いて x=2 すなわち b=1
676:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:39:48.13 Yy0Q+mdx.net
>>624
an=[0.0041218*n^4+0.4517*n^3-0.26*n^2+6.69322*n+5.45]
[x] は x の整数部（1位未満切り捨て）
677:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:09:08.76 Iuk6VYmI.net
>>646
ありがとうございます！n=20 まで完璧に合いますね
解法は、エクセルのソルバーで解くとかグラフ機能で近似式とかな感じでしょうか？ご教授いただけたらありがたいです。
というのも実は、n=21以降が、
(,4308),5015,5801,6669,7626,8676,9823,....
となっており、anからの算出結果に対して、少しずつ誤差が出てきてしまいます。
ちなみに、
n=650が約265.7億、
n=651が約269.4億、
n=652が約273.2億、
n=653が約277.0億、
.
.
n=700が約527.6億、
n=701が約527.6億
.
n=900が約7494.2億、
n=901が約7592.2億、
です。
678:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:13:49.80 6c6xEI4s.net
>>647
経験値のインフレやばすぎワロタ
679:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:16:10.24 I1rH0P5u.net
>>647
次数を仮定して最小二乗法でも使えばええんちゃう？
680:イナ
20/07/26 01:27:16.36 IGjJdTLK.net
前>>643
>>528
点(a,sina)(π/2＜a＜π)におけるy=sinxの接線y=(x-a)cosa+sinaが(2π,0)を通れば、
0=(2π-a)cosa+sina
a=2π+tana
tanθ=sina/(2π-a)=sina/(-tana)=-cosa=-1/5でいいんじゃないか？
∴ワインが半分残せる最大の傾きは、θ=11°
681:１３２人目の素数さん
20/07/26 04:05:28.64 6c6xEI4s.net
>>641
(2)が難しい
(a, b) = (3, 1) のときはファウルハーバーの公式より成り立つ。
もし n に関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つなら、 n = 2 でも成り立つので
S[a,2] = {S[b,2]}^2 すなわち
1 + 2^a = (1 + 2^b)^2
が成り立つ。ここで a = b + c と置くと、
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
が成り立つことがわかる。よって c > 1 である。
このとき、 (b, c) を自然数の組に限定すると、左辺は偶数であるので b = 1 でなければならない。
ゆえに (b, c) = (1, 2) すなわち (a, b) = (3, 1) となるので(1)が成り立つ。
(2)も同様に示せないだろうか？
つまり、もしも方程式
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
の正の有理数解が (b, c) = (1, 2) の他には存在しないならば、
(1)の条件を満たす正の有理数の組は (a, b) = (3, 1) に限られることがわかる。
例えば、上の方程式が成り立つなら log_{2}(2^(c-1) - 1) も有理数となるが、
そのような c は 2 以外に存在するだろうか？
682:１３２人目の素数さん
20/07/26 10:59:46.14 Iuk6VYmI.net
>>647
n=701が約534.8億
でした。。
>>649
関数でできましたっけ？
自宅のoffice365だと、ソルバー使えないんですね。。
n=900くらいまでの中間の計算が、ざっくり合っていれば参考になるので大変助かります
683:１３２人目の素数さん
20/07/26 11:23:08.07 Ej/zeZhe.net
>>644
さすが。
その式を n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.671003
でござるか。
また、その式のnを1/2だけ増加すると
2/√(n -1/2) - 2/√(n +1/2)
= 2[√(n +1/2) - √(n -1/2)] /√(nn -1/4)
= 2/{[√(n +1/2) + √(n -1/2)]√(nn -1/4)}
> 2/{[2√n]n} (*)
= 1/n^(3/2),
これを n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.613812････
でござる。
なお ζ(3/2) = Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) = 2.61237535････
*) y=√x は上に凸だから
4n - [√(n +1/2) + √(n -1/2)]^2
= 4n - [2n + 2√(n +1/2)･√(n -1/2)]
= 2n - 2√(n +1/2)･√(n -1/2)
> 0, (AM-GM)
684:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:23:27.79 6c6xEI4s.net
ζ(s) が Re(s) > 1 で絶対収束することって常識じゃなかったのか
685:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:37:05.97 ta/2Mj0h.net
>>654
常識を知らない相手に「これは常識やで」と返答をするのはナンセンスなので。
686:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:42:05.29 6c6xEI4s.net
>>655
そうなんだけど、あまりにも有名だから個別の解法を考える必要があるのかなと思って
リーマンゼータ関数でググればすぐに出てくるし
解析学のテキストに載っていることも多いし
687:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:52:22.00 6c6xEI4s.net
>>655
いや、ナンセンスとも限らないな
時には有名な既知の問題であることを教える必要もあるんじゃないか？
何でもかんでも自分の力で証明する必要はないよね
688:１３２人目の素数さん
20/07/26 13:13:45.61 6c6xEI4s.net
このスレは自力で頑張りすぎている回答が多い気がする
例えば>>621の回答は一見「導出」に見えるが、
実際はテイラー展開とガンマ関数の性質を既知としているからself-containedというわけではないし、
わざわざ二項級数の係数を一から計算する意義もわからない
>>620でヒントが与えられているように、二項級数 (1-1/t^2)^(r-1/2) の係数を
ガンマ関数を使って表すことができるとわかれば十分だと思われる
689:１３２人目の素数さん
20/07/26 16:21:06 XfzX3BHO.net
a≠0において定義され、a→0においてg(a)=f(a)/(1-a^2)は収束するがh(a)=f(a)/(1-a)は収束しないような実数値関数f(a)について考察する。
a=0の近傍でh(a)=(1+a)g(a)としてよく、
(1-|a|)|g(a)| < |h(a)| < (1+|a|)|g(a)|
a→0で左辺および右辺は収束するから、|h(a)|は収束する。
したがって考察すべき実数値関数は存在しない。
690:１３２人目の素数さん
20/07/26 16:21:32 XQi+qG/r.net
>>528
>>650
理論値は wine_full = π*(π² - 4) = 18.4399... となる。詳細は省略。
趣向を変えて モンテカルロ法 で乱数をぶん回してみた ( n=1000000 )
PARI/GPプログラムも省略。10行ちょっとくらいに収まった。
wine(Pi)
= 18.4238...
t = Pi/2 + acos(tan( 9.5126*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4999...
t = Pi/2 + acos(tan( 11*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4486...
11°は傾けすぎである。
n=1000000 には根拠がある。
box = (2*Pi)*(2*Pi)*2; #乱数を振る箱体積
a = wine_full; b = 0.5 * wine_full;
b/a*(sqrt((box-a)/a) + sqrt((box-b)/b) ) / sqrt(n)
= 0.00228...
体積比 b/a の揺れ幅を 少数点以下 2桁未満に抑えたかった。
効率は悪いが元の計算でポカミスしてないかの検算には使える。
691:イナ
20/07/26 18:48:31.48 y9+Xgjl+.net
前>>650
>>528
ワイングラス満杯はπ^4/3=32.4696970113……は接線の傾きや接点に誤差があっても関係ないからあってるはず。
692:１３２人目の素数さん
20/07/26 19:17:23.25 XCkK56Mw.net
nを整数とする。n < a < n + 1となるような整数aが存在しないことを示せ。
ただし、自然数の定義は、杉浦
693:解析入門1と同様に定義されているとする。
694:１３２人目の素数さん
20/07/26 19:57:00.35 XQi+qG/r.net
>>661
正しくは
V = π ∫[t=π/2→3π/2] (3π/2 - t)² (-cos(t)) dt
= ... = π ∫[t=0→π] t² sin(t) dt = ... = π (π² - 4)
っす。
(-cos(t)) のファクターは y=sin(t), δy = |dy/dt| δt に起因。
695:文部大巨人
20/07/26 20:39:49.80 SDpWYxlM.net
誰か >>590 にマジレス頼む。
現実に 九九 だけだと
明らかに足りないって中学・高校で気づくよな？
17^2 とか 25^2、 29^2
こんなの毎回計算していたら、時間の無駄だし。
696:文部大巨人
20/07/26 20:45:19.50 SDpWYxlM.net
整数 と その平方
21 … 441
22 … 484
23 … 529
24 … 576
25 … 625
26 … 676
27 … 729
28 … 784
29 … 841
ちなみに、21~29 はその性質上、
下2桁が同一の形の回文(625 を折返し地点として) になっているから
覚えやすいんだよな。
下2桁は {41,84,29,76} のみ。
697:１３２人目の素数さん
20/07/26 20:52:55.34 XCkK56Mw.net
>>662
解決しました。
698:１３２人目の素数さん
20/07/26 20:56:23.93 6c6xEI4s.net
>>662
整数の定義が「自然数およびそれに負号をつけたもの」なら、
自然数の全体 N と整数の全体 Z に対して
N = {n ∊ N | n ≧ 0} と Z - N = {-n | n ∊ N, n > 0} を示して
a > 0, a = 0, a < 0 で場合分けすれば
0 < k < 1 を満たす k ∊ N が存在しないことに帰着される
699:イナ
20/07/26 21:45:52.58 y9+Xgjl+.net
前>>661
>>663
y=sinxの積分関数が-cosxというのはわかる。
だからといって積分関数π(3π/2-t)^2に掛けていいという話を聞いたことがあっただろうか？
聞いたことあった気もする。けどあった気がするだけで、そんな話はないような気もする。
x=tのときの(t,sint)を左端とする水面の面積π(3π/2-t)^2をt=π/2から3π/2まで足し集めて、
ワイングラス満杯のワインの容積が出るんじゃないの？
1度目は計算間違いだった。
2度目のV=π^4/3は式が違うというのか？
π≦x≦2πの円柱に換算するとπ(π/2)^2×｛1-(-1)｝=π^3/2に比べてワイングラス満杯のワインの容積はだいぶ大きい。
π/2≦x≦πのx軸より上の部分を回転させるとかなりの容積になると思うんだよ。
18ぐらいなのか32ぐらいなのか。
700:１３２人目の素数さん
20/07/26 21:53:24.64 Zd39FNjK.net
>>660
正弦曲線ワイングラス満杯、
同様に数値積分で18.4399となりましたが、Wolfram先生が定積分の答を返してくれました。
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4)?18.440
701:１３２人目の素数さん
20/07/26 21:59:35.55 Zd39FNjK.net
文字化けを訂正
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4) ≒ 18.440
Rのコード
f<- function(x) -cos(x) # == sin(x-pi/2) == -cos(x)
A <- function(x)pi*(pi-acos(x))^2
integrate(A,-1,1)
> integrate(A,-1,1)$value
[1] 18.4399
702:１３２人目の素数さん
20/07/26 22:09:55.28 Zd39FNjK.net
>>668
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
∫[-1,-1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
703:１３２人目の素数さん
20/07/26 22:14:56.54 XQi+qG/r.net
>>668 円盤の厚みは t 方向じゃなくて y 方向ですよ。
円盤面積: S(t) = π(3π/2-t)^2 {これはOK}
体積: V = lim Σ[i=1,N] δy S(t) = lim Σ δt (δy/δt) S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt |dy/dt| S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt (-cos(t)) S(t) {負符号が付くのは水面が下がる方向に積分してるから}
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
704:イナ
20/07/26 22:2
705:5:37.11 ID:y9+Xgjl+.net
706:イナ103
20/07/26 22:57:32.40 y9+Xgjl+.net
前>>673
円盤の厚みがt方向ではなくy方向だからx=tに対するy=sintの積分関数-costを掛ける？
707:イナ
20/07/26 23:04:05.80 y9+Xgjl+.net
前>>674
>>663の計算途中の……がわからない。
708:１３２人目の素数さん
20/07/26 23:16:18.47 9pxGl80w.net
>>660
モンテカルロやってみました。
> wine <- function(x,z) -cos(sqrt(x^2+z^2))
> N=1e7
> x=runif(N,-pi,pi)
> y=runif(N,-1,1)
> z=runif(N,-pi,pi)
> (2*pi)*2*(2*pi) * mean(y >wine(x,z) & x^2+z^2<pi^2 )
[1] 18.44901
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
709:１３２人目の素数さん
20/07/26 23:17:12.30 XQi+qG/r.net
だって全部書くと >>658 みたいなのに怒れらちゃうし。
710:１３２人目の素数さん
20/07/26 23:29:04.94 eho0OoN4.net
>>671
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
積分範囲間違って書いたので訂正
∫[-1,1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
711:イナ
20/07/27 01:25:07.82 kHvfbJ83.net
前>>675ゆっくりでいい。飛ばさずに解こう。
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2(-cost)dt
=π∫[t=π/2→3π/2]｛(9π^2/4-3πt+t^2)(-cost)-(3π/2-t)^2sint｝dt
(訂正中)
π(9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3)(t=π/2→3π/2)
=π(27π^3/8-27π^3/8+9π^3/8
-9π^3/8+3π^3/8-π^3/24)
=8π^4/24
=π^4/3
あってる。
712:１３２人目の素数さん
20/07/27 01:35:44.80 H/LImTqu.net
>>677
怒りんぼさんね>>658
713:１３２人目の素数さん
20/07/27 03:06:43.75 WQJm6Swf.net
n番目の素数をp[n]、a[n]=n/p[n]、b[n]=a[1]a[2]...a[n]とそれぞれ表す。
以下の極限の収束・発散を判定せよ。
（1）lim[n→∞] n!*b[n]
（2）lim[n→∞] n!*|sin(n)|*b[n]
714:１３２人目の素数さん
20/07/27 04:49:12.98 rzjYwbvr.net
なぜ普通に(n!)^2/(p[1]p[2]…p[n])と書かずに
わざわざn!を分離した定義にするのか謎
それと考えるならlimb[n]e^nとかの方が面白そう
715:１３２人目の素数さん
20/07/27 05:53:50.52 oiwvQQyF.net
>>528
満杯のとき水平面に平行な円を積分して答えが出せたけど
支柱と平行な方向に積分した答と合致しなかった。
鉛直方向の断面は正弦曲線でないってことかな？
716:１３２人目の素数さん
20/07/27 06:40:14.84 tXOcGr3H.net
>>683
3D描いたみたけど断面の曲線のイメージが沸かない。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
717:１３２人目の素数さん
20/07/27 06:46:43.33 b6+Oy9d9.net
三角形ABCの内部に点DをとりADとBC、BDとAC、CDとABの交点を各々E,F,Gとする。
このとき点Dをうまく選べば三角形EFGを任意の三角形に相似にすることが可能であるという命題は真か偽か？
真なら証明を、偽なら反例を挙げよ。
718:１３２人目の素数さん
20/07/27 07:01:31.31 tXOcGr3H.net
>>684（自己解決）
y軸の周りにy=-cos(x)を回転させたとしてz=z0での断面の曲線は y=-cos(√(x^2+z0^2)) 正弦曲線じゃないな。
z0=0のときは正弦曲線になるけど。
719:１３２人目の素数さん
20/07/27 10:30:22.64 0LgObjZ6.net
>>681
これは(1)の答えが0じゃないと(2)が意味ないけと(1)の答えは0じゃないやろ
素数定理知ってれば秒やけど素数定理知らなきゃ無理
720:１３２人目の素数さん
20/07/27 10:59:57.77 rzjYwbvr.net
超おおざっぱな計算だとb[n]～e^(-n)くらいだから(1)は思いっきり発散するはず
721:１３２人目の素数さん
20/07/27 11:06:29.34 0LgObjZ6.net
違うな(1)の答えが0でも(2)意味ない
何コレ？
722:１３２人目の素数さん
20/07/27 12:16:06 kGZt2RI9.net
>>681
(1) log(n!*b[n]) = Σ[k=1,n] log(k^2/p[k])
だが素数定理より lim_
723:[k→∞] klog(k)/p[k] = 1 だから lim_[n→∞] log(n^2/p[n]) = ∞ となるので発散する。 (2)も同様じゃね
724:１３２人目の素数さん
20/07/27 17:20:57.97 fq88ge5a.net
>>528
解析解は諦めてモンテカルロで概算をだしてみる。プログラムも全然楽だったY
WineGlass <- function(deg=0,N=1e7){ # deg degree tilted
wine <- function(x,z) -cos(sqrt(x^2+z^2)) # rotation of y=-cos(x) around y-axis
x=runif(N,-pi,pi)
y=runif(N,-1,1)
z=runif(N,-pi,pi)
θ=deg*pi/180
x0=pi-asin(tan(θ)) # x-cordinate of the edge of filled wine in tilled glass
y0=-cos(x0) # y-cordinate
(2*pi)*2*(2*pi)*mean(y >wine(x,z) & x^2+z^2<pi^2 & y<tan(θ)*(x-x0)+y0)
}
WineGlass=Vectorize(WineGlass,vectorize.args='deg')
y=WineGlass(0:20)
data.frame(deg=0:20,volume=y,ratio=y/y[1])
> data.frame(deg=0:20,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0 18.43 1.000
2 1 17.01 0.923
3 2 15.78 0.856
4 3 14.67 0.796
5 4 13.67 0.742
6 5 12.73 0.691
7 6 11.87 0.644
8 7 11.04 0.599
9 8 10.29 0.559
10 9 9.58 0.520
11 10 8.90 0.483
12 11 8.25 0.448
13 12 7.66 0.416
14 13 7.09 0.385
15 14 6.55 0.355
16 15 6.04 0.328
17 16 5.58 0.303
18 17 5.11 0.278
19 18 4.69 0.255
20 19 4.28 0.232
21 20 3.92 0.213
９～１０°傾ければいいみたい。
725:１３２人目の素数さん
20/07/27 17:40:18.60 fq88ge5a.net
もう少し範囲を狭めてモンテカルロしてみた。
> deg=c(0,seq(9.515,9.525,0.001))
> y=WineGlass(deg)
> data.frame(deg=deg,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0.000 18.4490 1.00000
2 9.515 9.2042 0.49890
3 9.516 9.2195 0.49973
4 9.517 9.2113 0.49928
5 9.518 9.2153 0.49950
6 9.519 9.2295 0.50027
7 9.520 9.2098 0.49920
8 9.521 9.1954 0.49842
9 9.522 9.2095 0.49918
10 9.523 9.2022 0.49879
11 9.524 9.2089 0.49915
12 9.525 9.2151 0.49949
9.52°くらいだな。
726:１３２人目の素数さん
20/07/27 17:42:04.89 OWUhtjP7.net
>>691 追加条件 x < x0 が必要ですね
727:イナ
20/07/27 17:42:12.29 kHvfbJ83.net
前>>679
部分積分の式に当てはめると、
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2(-cost)dt
=[π(3π/2-t)^2(-sint)](t=π/2→3π/2)-∫[t=π/2→3π/2](2t-3π)(-sint)dt
=π^3-ちょい違うか。
728:１３２人目の素数さん
20/07/27 18:33:36 fq88ge5a.net
>>693
レスありがとうございます。
ご丁寧にコードまでよんでいただいて助かりました。
確かにx<x0を追加しないと過大評価になります。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
729:１３２人目の素数さん
20/07/27 18:46:19.22 fq88ge5a.net
>>695
x<x0を追加して再実行
> deg=c(0,seq(9.516,9.518,0.0005))
> y=WineGlass(deg,N=1e8)
> data.frame(deg=deg,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0.0000 18.4347 1.00000
2 9.5160 9.2149 0.49987
3 9.5165 9.2156 0.49991
4 9.5170 9.2219 0.50025
5 9.5175 9.2133 0.49978
6 9.5180 9.2134 0.49979
730:１３２人目の素数さん
20/07/27 20:16:05.97 0YH7t8Z3.net
確率変数XとYが独立なとき、X^2とYは独立だと思うのですが、示し方を教えて下さい。
731:１３２人目の素数さん
20/07/27 23:53:27 SP+AjLR3.net
独立の定義は書ける？
732: 【吉】
20/07/28 00:10:41 Hh0MCDmZ.net
前>>694
>>528
(-cost)を掛けて部分積分で解くでちょっと待っとって。
733:１３２人目の素数さん
20/07/28 00:52:08.92 vr2Os0se.net
xy平面の格子点を動く点Pがあり、Pは時刻0のとき原点Oにある。
Pがある時刻nに(i,j)にあるとき、時刻n+1には4点(i+1,j),(i-1,j),(i,j+1),(i,j-1)のいずれかにあり、4点のうちどの点にある確率も等しく1/4である。
時刻1,2,3,...にPが(k,0)にある確率の、各時刻についての総和（無限和）をP[(k,0)]とする。
比P[(2,0)]/P[(1,0)]と比P[(0,0)]/P[(1,0)]の大小を比較せよ。具体的な値を求める必要はない。
734:１３２人目の素数さん
20/07/28 01:03:01.48 fsv75dfM.net
>>700
それ再起的マルコフ連鎖やろP[(a,b)の和収束せぇへんやろ
735:１３２人目の素数さん
20/07/28 01:04:31.70 fsv75dfM.net
>>701
あ、イヤ、一次元は再起的やけど二次元は一時的かも知れんか
736:１３２人目の素数さん
20/07/28 01:07:13.41 fsv75dfM.net
いや
全ての点で1が普遍測度で総和が発散するからダメやな
737:１３２人目の素数さん
20/07/28 03:11:44.24 jhN+xo4C.net
>>697
P(X^2)=P(X)P(X)
738:１３２人目の素数さん
20/07/28 03:13:13.39 jhN+xo4C.net
>>704
途中で送信されてしまった。
P(X^2)=P(X)P(X)が前提ですか？
739:１３２人目の素数さん
20/07/28 05:59:38 phnCqcNa.net
θは0≦θ<2πなる定数とする。
実数xについての関数
f(x)=(x+1)(x-sinθ)(x-cosθ)(x-1)
の極大値および極小値が存在するならば、それを求めよ。
740:１３２人目の素数さん
20/07/28 07:16:03.79 F/WKy7rt.net
100円玉3個と50円玉2個を同時に投げて、100円玉の表の出た枚数をX、50円玉の表を出た枚数をYとする。（X.Y)の2次元分布を書き、X.Yが独立であるかどうかを言いなさい。
分からないです…
741:１３２人目の素数さん
20/07/28 07:48:24.42 abHG62rU.net
どこが分からないん？
742:１３２人目の素数さん
20/07/28 10:56:46 BFfCxRF2.net
100円玉、50円玉の単位が個だったり枚だったりすること？
743:１３２人目の素数さん
20/07/28 11:28:35 F71yKfYU.net
ワロタ
744:１３２人目の素数さん
20/07/28 12:58:36.87 aGL8fd4B.net
「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と教科書に書いてあるのですが、空集合からYへの写像はなぜ、必然的に包含写像になるのですか？
745:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:04:09 gZ8MdCZG.net
>>685
プログラム組んだけど、うまく探索できないケースがあるな。
初期値が悪いせいか区別がつかない。
746:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:28:52 RFqgOmVh.net
>>711
空集合は全ての集合の部分集合だから
空集合を定義域とする写像の注意点とか教科書に書いてありそうだけどな
もし書いていないなら不親切な本だね
【参考】空関数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
747:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:31:19 aGL8fd4B.net
>>713
リンク先を見てみましたが、空間数は包含写像であるとは書いてありません。
748:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:39:24 qHF0/Chh.net
Γ(z)Γ(z+1/2)=√πΓ(2z)2^(1-2z)
の導出をお願いします
749:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:43:18 RFqgOmVh.net
>>714
包含写像は部分集合から定まる写像のことでしょ？
空集合から特定の集合への写像は唯一つに定まるのだから、それが包含写像になる
750:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:46:38 aGL8fd4B.net
教科書での包含写像の定義は、XがYの部分集合のとき、Xの元xにYの元yを対応させる写像を包含写像というというものです。
定義に従って証明するとどうなりますか？
751:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:47:09 aGL8fd4B.net
間違えました。Xの元xにYの元xを対応させる写像を包含写像という、です。
752:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:53:56 aGL8fd4B.net
Xが空集合のとき、X×Y=空集合だから、XからYへの写像はユニークだというのは分かります。ですが、そのユニークな写像が包含写像だというのが分かりません。
753:１３２人目の素数さん
20/07/28 13:54:54 3tKaz31X.net
URLﾘﾝｸ(davidlowryduda.com)
754:ula/
755:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:00:21 JY7OMgas.net
たしか高木解析概論では
2^(2z)Γ(z)Γ(z+1/2)とΓ(2z)はどちらも
z→z+1/2の変換で2z倍になる凸関数だから
定数倍しか違わなくて
その定数はz=1いれると2√πと決まる(Γ(3/2)=√π/2を使う)
みたいな感じで証明してたような
この方針だと一般にガンマ関数のn倍角も示せる
黒川さんはゼータ関数からガンマ関数を定義して
n倍角公式はゼータにおける自然数の周期nごとでの組分けに対応する、という自明なところまで帰着して示しててエレガントだった覚えが
756:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:08:56 RFqgOmVh.net
空集合には対応する元 x が存在しないので、自動的に条件を満たす
命題 A ⇒ B は A が偽なら必ず真になることと同じ
757:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:10:15 O2Z+kvBJ.net
>>719
定義のまんまだと分からんてことは
論理の基礎知識がないな
758:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:34:56 dOm/4wzo.net
これの2番、3番を教えていただけませんか？
よろしくお願い致します。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
759:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:35:36 3M8CSP4N.net
>>707
1,2,3が百円玉、4,5が50円玉、１が表で0が裏として
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 0 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0 1
...
[31,] 1 1 1 1 0
[32,] 1 1 1 1 1
の３２回の順列から
百円玉が表がでる枚数と頻度は
0 1 2 3
4 12 12 4
その確率は
0 1 2 3
4/32 12/ 32 12/32 4/32
５０円玉での確率は
0 1 2
8/32 16/32 8/32
百円玉が１枚でる確率に５０円玉が１枚でる確率をかけると12/32＊16/32＝3/16
一覧にすると（行列とも１から始まる）
> outer(px,py)
Big Rational ('bigq') 4 x 3 matrix:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1/32 1/16 1/32
[2,] 3/32 3/16 3/32
[3,] 3/32 3/16 3/32
[4,] 1/32 1/16 1/32
百円玉が１枚でて５０円玉が１枚でている場合を３２回から数え上げると６回なので6/32=3/16
これを繰り返して表にすると
> as.bigq(matrix(apply(gr,1,g),nrow=4,ncol=3)/32)
Big Rational ('bigq') 4 x 3 matrix:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1/32 1/16 1/32
[2,] 3/32 3/16 3/32
[3,] 3/32 3/16 3/32
[4,] 1/32 1/16 1/32
一致するので独立性が検証された。
760:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:36:26 dOm/4wzo.net
>>724
ちなみに2番の問題文のs^2の式にはΣが抜けてます。よろしくお願い致します。
761:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:38:19 RFqgOmVh.net
あえて述語論理の形に書けばこうなるか
集合 X, Y に対し、写像 f : X → Y が包含写像であるとは、条件
X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x ∊ X ⇒ f(x) = x] 」
を満たすことと同値
この条件が X = ∅ （空集合）のときにどうなるか考えれば良い
762:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:42:38 aGL8fd4B.net
>>727
x∈Xは常に偽なので確かに真になります。
でも、X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x∈X ⇒ f(x) = x] 」を
X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x∈X ⇒ f(x) ≠ x] 」に変えても真だと思います。
763:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:47:09 RFqgOmVh.net
>>728
別に問題なくね？
上の条件さえ満たせば包含写像なんだから
他の条件はどうでもいい
764:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:52:34 aGL8fd4B.net
>>729
>>711で、「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と教科書に書いてあると書きましたが、
なぜわざわざ包含写像という言葉を入れたのかが分かりません。
「Xが空集合のとき、非包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いても間違いではないですよね。
765:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:58:33 RFqgOmVh.net
>>730
包含写像の定義はあれど「非包含写像」の定義はないでしょ？
そう書かれている理由は多分、包含写像とみなしたほうが自然だからだと思う
766:１３２人目の素数さん
20/07/28 14:59:54 aGL8fd4B.net
>>731
f(x) ≠ xが非包含写像の定義だと思います。
767:１３２人目の素数さん
20/07/28 15:03:51
768: ID:RFqgOmVh.net
769:１３２人目の素数さん
20/07/28 15:09:32.31 JXiR4EAQ.net
>>732
Xが空集合のとき、包含写像かつ非包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いても間違いではないですよね。
770:１３２人目の素数さん
20/07/28 15:17:43.18 aGL8fd4B.net
ところで、∀x, [x∈空集合 ⇒ f(x) = x] という書き方自体は許されますか？
ｆが空関数のとき、f(x)という書き方は許されないのではないですか？
771:１３２人目の素数さん
20/07/28 15:19:59.06 aGL8fd4B.net
f(x)という記号は、Γをfのグラフとするとき、(x, y)∈Γ⊂X×Yとなるようなyを表す記号です。
Xが空集合のときにはそのようなyは存在しないのでf(x)という記号はナンセンスではないですか？
772:１３２人目の素数さん
20/07/28 15:34:54.90 mej1QqOc.net
ナンセンスというか厳密ではない
厳密に書くならおそらく以下になる
論理式P(x,f)= f:X→Y∧X⊂Y∧(x∈X⇒(x,x)∈f)とおく
∀x∃!f(P(x,f))
⇔∀x∃f((P(x,f))∧(∀f'(P(x,f'))⇒(f'=f)))が成り立つとき、唯一つ存在するfを包含写像と呼ぶ
特にこれはX=φで真である(厳密ではない補足:XからYの関数という条件から空関数にしかなり得ないのでf'=fが必ず成り立つ)
細かく考えると大変だから、そんなに意識する必要はない
気になるならf(x)という記号はナンセンスなのでは？と思ったら上に変換できるようにしておけば問題ない
773:１３２人目の素数さん
20/07/28 16:17:42.03 aGL8fd4B.net
空関数は包含写像であるとも包含写像でないとも言えると思います。それにもかかわらず、なぜあえて
「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と教科書に書いたのかが不可解です。
774:１３２人目の素数さん
20/07/28 16:24:29.83 3tKaz31X.net
>>738
まずfがXからYへの写像であるの定義が
f ⊂ X×Y かつ ∀x ∃!y (x,y)∈f
でしょ？
X=φのときはこの条件を満たすのはf=φのみでしょ？
次にX⊂Yのとき、包含写像i:X→Yの定義は
i ={(x,x) | x∈X}
でしょ？
特にYが任意の集合、Xが空集合のときi=φになるでしょ？
775:１３２人目の素数さん
20/07/28 16:27:10.91 RFqgOmVh.net
「空関数は包含写像でない」は偽
なぜなら、「 A ならば B 」の否定は「 A かつ B でない」であり、
空関数において A に相当するものは偽だから
776:１３２人目の素数さん
20/07/28 16:44:31.72 aGL8fd4B.net
>>739
X=φとします。
このとき何かのオブジェクトcに対して{(x,c) | x∈X}=φは定数関数です。
もちろん{(x,c) | x∈X}={(x,x) | x∈X}=φなのでこの定数関数は包含写像でもあります。
「Xが空集合のとき、定数関数X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」とは書かずに、
「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いたのはなぜか？という疑問があります。
777:１３２人目の素数さん
20/07/28 16:57:53.69 RFqgOmVh.net
空関数が定数関数かどうかは微妙な話だな
空関数を包含写像とみなすのは φ ⊂ Y が常に成り立つという意味で自然だが、
定数関数は常に Y の一定の値をとる関数という意味で考えると、
値をとらない関数を定数関数と呼ぶのは違和感がある
まあこれは何を自然と感じるかの話であって論理的にはどうでもいい話だが
778:１３２人目の素数さん
20/07/28 17:14:11.35 JY7OMgas.net
そうだね
一方で包含写像は全ての部分集合に対して定義しておいた方が良さそう
779:１３２人目の素数さん
20/07/28 18:07:06.04 JXiR4EAQ.net
>>738
実際に包含写像の条件を満足するのだから、不可解というのはナンセンスです
780:１３２人目の素数さん
20/07/28 18:11:29.88 aGL8fd4B.net
>>744
包含写像派の人と定数関数派の人がいたとします。定数関数派の人から見ればフェアでないということになります。
「Xが空集合のとき、X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書けば問題ないと思います。
781:１３２人目の素数さん
20/07/28 18:24:39.71 JXiR4EAQ.net
著者は包含写像と見たいのになんで他派閥とかでっちあげてフェアにする必要が？
782:１３２人目の素数さん
20/07/28 18:35:42.52 RFqgOmVh.net
どんな本かわからないけど、要するに著者は
包含写像は部分集合という集合の関係から自然に（しかも一意に）定まる写像であって、
定義域が空集合の場合は特別だけどそれでも包含写像なんだよ
って言いたかったんじゃないかな
定数関数は定義域が空集合でなく値域が 2 元以上ある集合の場合は一意に定まらないし
空関数だけを特別に議論する意義はないと思うし
定数関数の一種とみなし�
783:ﾄもいいけど、その本の著者は包含写像派なんでしょ そのあたりは著者の思想が反映されている部分とも言える 教科書だからと言ってフェアに書かれているわけではないし、フェアに書く必要もない 高校までの数学の教科書と大学以降の数学の教科書との違いだな
784:１３２人目の素数さん
20/07/28 18:57:01.46 WKJ/C1Xp.net
-1<a<1かつ-1<b<1かつa≠bのとき、
f(x)=(x+1)(x-a)(x-b)(x-1)
は相異なる3つの極値を持つと言えますか？
微分計算の後の3次方程式が解けずに困っています。教えてくださる方、よろしくお願いいたします。
785:１３２人目の素数さん
20/07/28 19:10:43.42 RFqgOmVh.net
>>748
平均値の定理を使ったらいいんじゃね
786:１３２人目の素数さん
20/07/28 19:34:37.23 RFqgOmVh.net
平均値の定理を使うまでもないか
-1 < a < b < 1 のとき、 f'(-1) < 0, f'(a) > 0, f'(b) < 0, f'(1) > 0
だから f'(x) が連続より中間値の定理を使えばいいかな
787:１３２人目の素数さん
20/07/28 19:42:54.41 RgwT6snV.net
>>748
2つの極小値の値が等しくなることがあるので、異なる3つの極値をもつとはいえない。
788:１３２人目の素数さん
20/07/28 19:43:32.03 RFqgOmVh.net
>>748
ちなみに a = -b (0 < b < 1) のときは f(x) は偶関数となるから、
極値が異なるとは限らない
（極値点は異なる）
789:文部大巨人
20/07/28 19:43:56.13 1qxcPceH.net
フェルマーの最終定理って
おかしくないか？
あれはあくまで予想だろ？
実際に証明をしたのはワイルズさんなのだから
ワイルズの定理だろ、くそが。
790:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:06:12 AMAQqZwd.net
>>750
ありがとうございます。存在を示せばよく、方程式を解く必要がないのですね。
791:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:07:12 AMAQqZwd.net
>>752
極値点は異なるが極値は異なることが理解できました。確かに偶関数になると極値は等しい値を取りますね。ありがとうございます。
792:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:09:08 Vvevl4mj.net
>>706
極大が１つ、極小が２つある。
θ→90°-θ とか θ→450°-θ では元のまま。
θが180°ずれると、左右が入れ替わる。(上下は元のまま)
極大
θ(°), x , f(x),
0, (√17 -1)/8 = 0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
15, 0.526636 , 0.0850198
30, 0.647150 , 0.0187189
45, 1/√2 = 0.707107 , 0
60, 0.647150 , 0.0187189
75, 0.526635 , 0.0850198
90, (√17 -1)/8 = 0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
105, 0.254284 , 0.341535
120, 0.124467 , 0.455905
135, 0 , 1/2,
150, -0.124467 , 0.455905
165, -0.254284 , 0.341535
180, -(√17 -1)/8 = -0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
793:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:20:03 Vvevl4mj.net
>>706
>>748
根 {-1, cosθ, sinθ, 1} で、3重根以上はない。
異なる根の間には極値があり(ロルの定理)、重根も極値。
∴ 極大が１つ、極小が２つある。
θ→90-θ θ→450-θ では元のまま。
θがπずれると、左右が入れ替わる。(上下は元のまま)
極小１
θ(°), x, f(x)
0, 0.983236 , -0.0004169
15, 0.526636 , 0.0850198
30, 0.939224 , -0.0037892
45, 0.905646 , -0.0070875
60, 0.939224 , -0.0037892
75, 0.983236 , -0.0004169
90, 1 , 0
105, (7+√17)/(8√2) = 0.983150 , -(85√17 -349)/2048 = -0.0007148
120, 0.935730 , -0.0124505
135, (√3)/2 = 0.866025 , -1/16 = -0.06250,
150, 0.785678 , -0.180584
165, 1/√2 = 0.707107 , -3/8 = -0.37500
180, (1+√17)/8 = 0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
極小２
θ(°), x, f(x)
0, -(1+√17)/8 = -0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
15, -0.591310 , -0.86097
30, -0.561855 , -1.03757
45, -(1/4)√(9-√17)) = -0.55209 , -(71+17√17)/128 = -1.1023
60, -0.561855 , -1.03757
75, -0.591310 , -0.86097
90, -(1+√17)/8 = -0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
105, -1/√2 = -0.707107 , -3/8 = -0.37500
120, -0.785678 , -0.180584
135, -(√3)/2 = -0.866025 , -1/16 = -0.06250
150, -0.93573 , -0.0124505
165, -(7+√17)/(8√2) = -0.983150 , -(85√17 -349)/2048 = -0.0007148
180, -1 , 0
794:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:3
795:0:33 ID:aGL8fd4B.net
796:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:31:13 Vvevl4mj.net
>>757 (訂正)
極小１
θ(°), x, f(x)
0, 1 , 0,
15, 0.983236 , -0.0004169
1行ずれてますた....orz
797:１３２人目の素数さん
20/07/28 20:50:52.84 aGL8fd4B.net
もしかして、有限回というのを定義するのに自然数を使わないといけないから循環論法になっているということですか？
でも解析入門1はそこまで厳密指向の本ではないように思います。
798:１３２人目の素数さん
20/07/28 21:01:26.91 RFqgOmVh.net
>>758
多分、実数の公理から（ペアノの公理を使わずに）数学的帰納法の原理を証明したかったんじゃないかな
素朴な定義だと難しいんじゃね
799:１３２人目の素数さん
20/07/28 21:04:45.28 RFqgOmVh.net
>>760
いやそれもあるんじゃないかな
p.11でわざわざ「 m 個の元を持つ集合」と「有限集合」を定義しているし
800:１３２人目の素数さん
20/07/28 21:24:31.31 RgwT6snV.net
>>758
有限回もあるが、それ以前に実数は自然数から定義するだろ。
801:１３２人目の素数さん
20/07/28 21:26:36.80 HWdhKnmN.net
杉浦解析を持っていないのでなんとも言えないが、順序体としての実数の言語において、再帰的集合の性質が一階述語表現可能でないので、0∈A∧∀x(x∈A⇒x+1∈A)という再帰的集合Aもまた一階述語定義可能でない(自明な結果ではない)
ただ、杉浦解析は代数的な概念について厳密ではないという話も聞くし、そこまで考察した上で書かれてるかはわからない
実数は自然数から定義するというのは、上のように実数の公理から始めるのではなく、
集合論の言語においてZFC公理系を仮定した場合の話
802:１３２人目の素数さん
20/07/28 21:39:04.79 RFqgOmVh.net
杉浦解析では実数の公理から始めて、途中で自然数を定義しているね
実数体 R の存在は最初から仮定されていて、
自然数の定義は「 R のすべての継承的部分集合に含まれる実数」としている
その代わりに（？）ペアノの公理を使わずに数学的帰納法の原理を「証明」している
有理数体 Q から R を得る手続き（完備化）は演習問題になっているね
803:１３２人目の素数さん
20/07/28 23:21:09.75 F5Lmt1U6.net
なるほど
継承的集合というのはあまり聞き慣れないが、inductive setをそう訳したのかもしれない
つまり上で書いた帰納的集合Aと全く同じもの
二階述語論理とかあまり気にしなければ純粋に実数の公理だけで展開できるから綺麗ではある
何故単位元+単位元+…で定めないのか？という話だけど、実はserge langのUndergraduate Analysis(杉浦解析より後)ではそう定めている
ただ読んでみればわかるが、これだとZFCでの自然数が実数として解釈されることを示すという手はずを踏む必要があり、流石ブルバキメンバーではあるが学部生には難しいかもしれない
杉浦の心情は分からんが、予想としては、langのようなやり方は知らなかったor学部生には難しい、デデキント切断かコーシー列で導入するよりは公理的に書いたほうが分かりやすい、といった判断から純粋に順序体としての実数公理から始めたのかもしれない
804:１３２人目の素数さん
20/07/28 23:37:58.58 F5Lmt1U6.net
Charles C. PughのReal Mathematical Analysis(langの本より更にあと)だと、現在の数学の教える傾向としては、Rが公理的に定義されるとして扱うとP.10で言及されている
つまり杉浦解析はトレンドそのもののやり方っぽい
(ちなみに、上記本ではそれを批判していて、ZFCでデデキント切断で実数を構成
805:して議論を展開している) 色々なやり方があって、本によってやり方が違うというのはそんな珍しいことではない
806:１３２人目の素数さん
20/07/29 00:10:51.37 +YZdIpCR.net
任意の実数a,bに対し、以下が成立することを証明せよ。
（1）a<p<bなる有理数pで、整数l,m,nを用いて(la+mb)/nの形で表されないものが存在する。
（2）a<q<bなる代数的無理数qで、整数l,m,nを用いて{(√(lab))^(1/m)}/nの形で表されないものが存在する。
（3）a<r<bなる超越数rで、整数l,m,nを用いて{π^(l/m)}/nの形で表されるものが存在する。
807:１３２人目の素数さん
20/07/29 00:18:06.20 BoovlrKA.net
2<p<3 である任意の有理数 p にたいし
p = (2l + 3m) /n
を満たす整数 l,m,n が存在する
808:１３２人目の素数さん
20/07/29 01:09:09 iLCpPMvx.net
>>698
確率変数XとYが独立とは、(X,Y)から定まる同時分布関数がXとYの周辺分布関数の積でかけることです。
>>705
X同士が互いに独立とは仮定しません。
809:１３２人目の素数さん
20/07/29 01:37:10.75 zxtk4W6O.net
>>770
分布関数の積じゃなく分布密度関数の積だろ
なんでそんな迂遠な定義を覚えてるんだ？
密度関数が存在する分布なんて一般でないぞ
元の問題は密度関数が存在しなくても成り立つが
密度関数を使った証明を望んでるのか？
俺は一般の定義で一般の証明しか知らん
810:１３２人目の素数さん
20/07/29 01:53:39 CdYMOld6.net
>>768-769
出題から反例が早くてワロタ
こういう間違った問題は誰が考えているんだろ
自作問題？
811:１３２人目の素数さん
20/07/29 02:19:26 0b6MtoQy.net
>>590
お前らが小学生の家庭教師をやっているとしたら
どこまで覚えさせる？？
812:１３２人目の素数さん
20/07/29 02:48:24.87 vPI3GJy4.net
間違ってる問題は論外だけど間違ってなくても問題のセッティングがなんか変なの多い
たぶん同一人物が作り出してる
813:１３２人目の素数さん
20/07/29 05:44:22.55 mg8FsFrz.net
＞問題のセッティングがなんか変なの多い
仮定がナンセンスだったり結論がナンセンスだったり、
あるいは見掛け倒しで証明が自明だったり、何というか、
その問題が暗黙のうちに目指しているであろうモチベーションが
最初からおかしいんだよな。
「問題作成のために無理やり生み出されたゴミクズでございます」
っていうニオイがプンプンするわけ。
814:１３２人目の素数さん
20/07/29 06:08:47.67 iLCpPMvx.net
>>771
言ってることがわかりません。
R値の確率変数に対しては分布関数は必ず存在して、一般には密度関数は存在しないと思います。
815:１３２人目の素数さん
20/07/29 08:38:23.96 kcjMgOap.net
a,bを整数の定数とする。xについての5次方程式
x^5+ax+b=0
の重複を込めた5つの解がすべて複素平面上の単位円|z|=1上にあるとき、以下の問いに答えよ。
（1）a,bが変化するとき、この方程式が持つ実数解の個数として考えられる値をすべて求めよ。
（2）a,bが満たすべき条件を求めよ。
（3）この方程式の解zで、1/(az+b)もまた解となるzが存在するとき、a,bが満たすべき条件を求めよ。
816:１３２人目の素数さん
20/07/29 09:26:50.83 BoovlrKA.net
>>776
ヨコだけど
確率変数XとYが独立とは、(X,Y)から定まる同時分布関数がXとYの周辺分布関数の積でかけることです。
↑これ間違ってるよ
817:１３２人目の素数さん
20/07/29 09:46:20.20 vPI3GJy4.net
>>777
てか問題の条件満たすのa=0,b=±1だけだよ？
818:１３２人目の素数さん
20/07/29 09:50:59 BoovlrKA.net
>>778
あ、撤回
同時分布関数とかいうのを
F_XY(X<a, Y<b)
とか定義すれば言えなくはないな
こんな定義見たことないけど
普通は
X,Yが独立:⇔∀a,b P(X<a,Y<b)=P(X<a)P(Y<b)
じゃない？
819:１３２人目の素数さん
20/07/29 10:12:58.16 NhZIjORF.net
>>779
なんでそれ
820:を論証しないの？
821:１３２人目の素数さん
20/07/29 10:29:32.49 vPI3GJy4.net
面白そうな問題や本当に分からなくて困ってる問題は解こうかと思うけど、謎の自作問題に対しては設定が良くないことだけ書けば十分
822:１３２人目の素数さん
20/07/29 12:15:26.26 OtDUnDGv.net
志村五郎の本にこんな感じの話が書いてありました。
点(3,5), (3,7)を通る直線の方程式を求めよという問題を志村が教えていた東京大学の学生に出題するとそのような直線はないと解答する学生がかならずいた。
そんなバカな学生もいるんですか？本当に。
823:１３２人目の素数さん
20/07/29 12:41:24.56 CdYMOld6.net
>>783
ワロタ
「公式」の分母が 0 になるからってことか
本当ならやばいな
824:１３２人目の素数さん
20/07/29 13:08:03.75 0b6MtoQy.net
勾配がある直線しか
頭に浮かばなかったんだろう…。
825:１３２人目の素数さん
20/07/29 13:38:51 zxtk4W6O.net
>>780
それ知ってたら即座だろなー
826:１３２人目の素数さん
20/07/29 15:19:18 JcI53Ddd.net
>>781
単位円周上で考える。
z = e^(iθ) を >>777 に入れると
e^(ｉ5θ) + a･e^(ｉθ) +b = 0,
(実部)
0 = cos(5θ) + a･cosθ + b
= T_5(cosθ) + a･cosθ + b
= 16(cosθ)^5 -20(cosθ)^3 + (5+a)cosθ + b,
(虚部)
0 = sin(5θ) + a･sinθ
= sinθ{U_4(cosθ) + a},
= sinθ{16(cosθ)^4 -12(cosθ)^2 +(1+a)}
これらが (重複を込めて) 5つの共通解をもつ。
解の1つは
sinθ = 0,
θ = nπ, (z = ±1)
±(1+a) + b = 0,
他の解は
-5/4 ≦ U_4(cosθ) ≦ 5,
-5 ≦ a ≦ 1,
これらのうち、5つの解を共有するのは
a=0, b=±1 だけ
827:１３２人目の素数さん
20/07/29 17:16:35.42 0b6MtoQy.net
>>783-785
あれ？
勾配がない直線って
何か論理的におかしいな…。
正確には 勾配として0の値を持つ直線…というべきか。
でも、勾配って幅と高さの両方から求められる変化量が定義だよな。
グラフ x = 3 などは 勾配が0 なのか、 勾配を持っていないのか。
どっちだ？？
828:１３２人目の素数さん
20/07/29 17:52:43.79 vPI3GJy4.net
強いて言うなら勾配は±∞でしょ
829:１３２人目の素数さん
20/07/29 18:15:56.11 zxtk4W6O.net
「有限の勾配がない」でいいでしょ
830:１３２人目の素数さん
20/07/29 18:46:23 4ujF9O+X.net
△ABCの周上に3点P,Q,Rを三角形をなすようにとる。また点Xから三角形の各頂点までの距離のうち最小のものをd(X)とするとき、以下の最大値を与えるP,Q,Rのとり方を説明せよ。
d(P)d(Q)d(R)S
ただしSは△ABCの面積である。
831:１３２人目の素数さん
20/07/29 18:47:15 4ujF9O+X.net
>>791
訂正
Sは△PQRの面積である
832:１３２人目の素数さん
20/07/29 18:52:40 Q8u5RfL7.net
>>788
直線なら勾配を持ってなくてもいいじゃない
一次関数とは別物よ
833:１３２人目の素数さん
20/07/29 19:58:48.11 p0NPT+43.net
ある円環内の温度を求める問題を解いていたのですが
y=<c1cos(pθ)+c2sin(pθ)>(c3r^p+c41/r^p)
境界条件 r=10の時f(θ)=15cosθ,r=20の時f(θ)=30sinθ
を満たすc1-c4がわかりません。p=1と単純に考えるとc1-c4は出ませんでした。どなたか教えていただけ無いでしょうか。
834:１３２人目の素数さん
20/07/29 20:42:42.08 ck1YOXiH.net
>566のワインを傾ける問題を続けているんだけど、ここでひっかかったので
どういう方針を立てればよいのか助言をお願いします。
直線 y = a*x + b (a,bは既知の定数)が、曲線 y=-cos(√(x^2+t^2)) の接線になるようなtの値を求めたい。
ソルバーを使った解
835:法でも結構です。
836:イナ
20/07/29 21:40:36.75 DoToA506.net
前>>699
>>528
π(3π/2-t)^2sintdt=[π(3π/2-t)^2(-cost)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=0-π^3(-1)+∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=π^3+[π(2t-3π)(-sint)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]2π(-sint)dt
=π^3+0-π(-2π)(-1)+2π∫[π/2→3π/2]sintdt
=π^3-2π+2π[-cost](π/2→3π/2)
=π^3-2π+2π×0
=π^3-2π
=11.239944……
もうちょいかな。
837:１３２人目の素数さん
20/07/29 21:51:45 kWw5YHB+.net
cosx/(x^2-a^2) で-∞から+∞まで積分したときの値教えて欲しいです。ぶっちゃけ留数定理とかよくわかってないです
838:１３２人目の素数さん
20/07/29 23:51:01.16 E5E4YFuK.net
>>797
πe^-a
839:イナ
20/07/29 23:57:47.73 DoToA506.net
前>>796訂正。
>>528
∫[π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2sintdt
=[π(3π/2-t)^2(-cost)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=0-π^3×0+∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=[π(2t-3π)(-sint)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]2π(-sint)dt
=0-π(-2π)(-1)+2π∫[π/2→3π/2]sintdt
=-2π+2π[-cost](π/2→3π/2)
=-2π-2π×0
=-2π＜0
∴飲めない。
840:１３２人目の素数さん
20/07/30 11:30:56.84 bRoKh78U.net
単位接ベクトルe→,原点からの距離ｓ,曲率k,単位法線ベクトルn→として、
de→/ds=kn→からd^2x/ds^2=-kdy/ds,d^2y/ds^2=kdx/dsの２つの微分方程式が成立することを示せ
何をすればよいのやら完全にこんがらがってしまいました…
841:１３２人目の素数さん
20/07/30 12:12:31.58 3ZV9F9B2.net
お金？の為に、我が子も利用して稼いでいると噂の『東さと』さん
その夫は中小企業を専門にする高額セミナー講師だとか！
お金大好き夫婦なの？
URLﾘﾝｸ(www.bing.com)
842:１３２人目の素数さん
20/07/30 12:18:16.33 vRjKPm0i.net
問題文に未定義の用語や記号を書いてしまう人はコミュ障ってことでおｋ？
843:１３２人目の素数さん
20/07/30 12:30:13.34 7tawZ/Rl.net
>>800
・定義: ds² = dx² + dy²
|(dx/ds, dy/ds)|² = (dx/ds)² + (dy/ds)² = 1
∴ e = (dx/ds, dy/ds)
・回転行列(90度): R
[ 0, -1 ]
[ 1, 0 ]
・定義: de/ds = k n {妥当性: 0 = d(1)/ds = d(e・e)/ds = 2 e・(de/ds) ∴ e⟂(de/ds) }
de/ds = (d²x/ds², d²y/ds²)
= k n = k R e = k (-dy/ds, dx/ds)
844:１３２人目の素数さん
20/07/30 13:02:41.76 BEHUooMV.net
1の三乗根のうち、1でないもののうち一つをω、他方をω'と表す。
xについての方程式
Σ[k=0,...,n] x^k = 0
がωとω'の両方を解に持つような自然数nを全て求めよ。
ただし任意の実数xに対してx^0=1とする。
845:１３２人目の素数さん
20/07/30 13:21:04.61 6oIMYSQz.net
n=3m+2の形のとき
846:１３２人目の素数さん
20/07/30 13:43:13.58 vRjKPm0i.net
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
(x-ω)(x-ω') = x^2 + x + 1
847:１３２人目の素数さん
20/07/30 15:22:47.14 BEHUooMV.net
>>805
ありがとうございます
n=3mと3m+1のときに存在しないことの証明ですが、
「n=3m+2のときにωが解
⇒n=3m+3のときは
(n=3m+2にωを代入)+x^(3m+3)
=0+ω^(3M)
=1
で因数定理よりωは解ではない」
の流れで良いでしょうか。