20/07/20 23:29:56 hy6n0Ewp.net
オレが勉強した教科書の証明は
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
436:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:46:02 32P3Et7b.net
>>417
手札がみえないルールなら間違いじゃないと思うんだが。
違うかな？
437:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:51:49 5DiCRFL4.net
>>386
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
438:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:10:39 tHJleHyC.net
>>383
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
439:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:19:12 tHJleHyC.net
>>422
こういうイメージ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
440:N7.png
441:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:47:44.66 D7ZsfA32.net
20度ちょいくらいだろ
多分、有名角ではない
442:イナ
20/07/21 01:02:27.68 kN76GBZR.net
前>>416
>>422
30°ぐらいかな？
半円より大きい欠円0から1/√3まで足し集めて、πのあるのとないのと、
文字変えて半円より小さい欠円0から1/3まで足し集めて。
443:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:22:06.22 Con3FeDK.net
計算してみたら
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
444:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:39:18.85 Con3FeDK.net
つまり昨日全く別の問題に出てきてた0<p<aの
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
445:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:47:51.17 tHJleHyC.net
>>422
これをRを使って数値重積分して計算
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
446:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:50:03.74 Ghc4RW5f.net
>>422
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
447:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:52:45.60 tHJleHyC.net
>>426
arcsin(2cos4π/9) というふうな厳密解を出せるひとは尊敬しちゃう。
448:イナ
20/07/21 02:15:08.92 kN76GBZR.net
前>>425
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
449:１３２人目の素数さん
20/07/21 03:49:02.27 Ghc4RW5f.net
3次方程式: x^3 - αx + β = 0 の解について
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
450:１３２人目の素数さん
20/07/21 04:42:59.47 QOVK0uT9.net
n = 0, 1, 2, … に対し、数列 s_n を中心二�
451:係数 C[2k,k] の 0 から n までの和 s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k] によって定める。 例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, … s_n が素数となる n を小さい順に並べると、 1, 3, 12, 39, 90, … である。 (1) s_n は常に奇数であることを示せ。 (2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。 (3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
452:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:06:14.68 I/ak7vxZ.net
よくある継ぎ足しのタレの問題なのですが
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
453:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:17:06.86 8kVtiIOn.net
いつ補充するかをわざとぼかすのもよくあるパターン
454:434
20/07/21 07:20:01.68 I/ak7vxZ.net
>>435
なるほど。
1リットル減った時に1リットル補充すると考えてください。
455:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:44:36.50 tDfVZCTB.net
(4.7/5.7)^n=0.05
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
456:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:01:52.75 I/ak7vxZ.net
>>437
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
457:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:14:22.08 tDfVZCTB.net
最初の式を両辺のlogをとって変形しているだけ
458:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:20:48.58 FSXP587j.net
複素解析の部分分数分解で
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
459:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:31:24.22 I/ak7vxZ.net
>>439
どうもありがとうございました。
460:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:14:57.52 tHJleHyC.net
>>431
レスありがとうございます。
>422は>423の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
461:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:49:19.91 Con3FeDK.net
>>433
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
462:１３２人目の素数さん
20/07/21 10:04:50.41 tHJleHyC.net
>>422
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満た�
463:ｵたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？ 蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ https://i.imgur.com/b1r26CQ.jpg
464:１３２人目の素数さん
20/07/21 11:44:07.42 Ej/+Q6H+.net
>>434
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
465:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:29:30.94 Ej/+Q6H+.net
>>445
乱数発生させた（いわゆるモンテカルロシミュレーションの）結果
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
466:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:45:28.10 Ghc4RW5f.net
>>444
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
467:１３２人目の素数さん
20/07/21 14:42:00.42 qIxFlRCH.net
x(0) = 100, x' = x/20 から x = 100 exp(t/20) なので exp(t/20) = 1/2 となる t
468:イナ
20/07/21 15:14:03.97 kN76GBZR.net
前>>431
>>442
θ傾けた半球型の丼鉢の水深がもっとも深い位置で1-sinθです。
もっとも深い地点t=0から水面1-sinθまで円の面積を足し集めたんだったと思います。
469:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:35:47.26 9tQwpxFD.net
π＝180度 だから 1ラジアン＝π／１８０度
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
470:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:46:57.24 +UXAZdD6.net
>>447
>>449
早速のレスありがとうございます。
作図しながら解説を味わいます。
471:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:01:02.74 Mg42vVn3.net
>>450
考えればわかるだろ
ってか間違ってねえか？それ
472:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:14:30.51 ntb0ZuKd.net
△ABCが与えられたとき、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとり、それらを結ぶと正三角形（△PQR）となるようにしたい。
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
473:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:19:08.17 8uN4k8pv.net
なんの話をしてるの?
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
474:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:41:49.06 Mg42vVn3.net
>>453
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平�
475:sな直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
476:１３２人目の素数さん
20/07/21 17:20:37.32 Ej/+Q6H+.net
>>453
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
単なる遊びです。
477:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:17:00.23 BRWO1FKC.net
>>454
まさか本当に1[rad]=π/180°だと思い込んでるんじゃなかろうね？
478:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:29:33.65 Q73vct+1.net
>>440
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
479:１３２人目の素数さん
20/07/21 19:51:45.93 Con3FeDK.net
>>443
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
480:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:04:28.44 Con3FeDK.net
まあ
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
481:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:37:51 Con3FeDK.net
証明は
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
482:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/21 23:23:45 kN76GBZR.net
前>>449
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
483:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:36:13 RbNL0Wrv.net
次の連立方程式を解け。
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
484:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:39:44 9JMwZhpJ.net
lim(x→0,y→0)の極限値
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
485:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:09:53 mIrEMvJa.net
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
486:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:12:03 mIrEMvJa.net
>>463
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
487:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:20:17 hoJC5UHO.net
>>464
この手の極限は極座標変換して考えるのが定石かな
488:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:44:42 h9mML7y2.net
>>466
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
489:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:49:46 hoJC5UHO.net
solveを外せば他の解も見れる
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
490:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:51:08 h9mML7y2.net
>>468
wolfram大先生、大変失礼しました
表示を増やすタップすると全部ありました
491:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:52:33 h9mML7y2.net
こういう巡回型の式でx<y<zなる実数解は持たない、って一般に言えたりするんかな
492:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:14:43 h9mML7y2.net
いや、うまく関数形とればありうるか
493:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:26:33 h9mML7y2.net
例えば
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
494:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:32:08 h9mML7y2.net
どうせ出すならこういう引っ掛けがある方が面白いな
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
495:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:46:32 98nkM0Qa.net
>>465
答えて頂きありがとうございます
496:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:48:11 98nkM0Qa.net
>>467
極座標で上手くいかなかったのです
497:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:49:07 98nkM0Qa.net
もしよろしければ極座標変換での導出も教えていただきたいです…
498:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:03:06.77 hoJC5UHO.net
一般に、
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
499:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:06:48.67 hoJC5UHO.net
>>478
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
500:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:15:53.77 hoJC5UHO.net
>>476
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
501:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:40:57 YueyQrDp.net
>>477
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
502:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:47:02 hoJC5UHO.net
>>481
親切に見せかけて意地悪でワロタ
503:１３２人目の素数さん
20/07/22 03:33:57 98nkM0Qa.net
>>481
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
504:１３２人目の素数さん
20/07/22 07:34:04.52 oygEfVDW.net
>>462
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
505:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:39:00.16 h9mML7y2.net
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
506:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:54:36.00 2+maBY71.net
>>485
今月のはやめとけ
507:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:55:27.98 h9mML7y2.net
>>485
nは2以上の自然数とします
508:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:58:23.20 h9mML7y2.net
>>486
数学は自由です
509:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:00:50.83 zRV0rVgH.net
>>483
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
510:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:07:46.10 +hG6alzn.net
>>488
数学の世界を盛り上げようとがんばってる人の足引っ張ったらあか�
511:�
512:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:18:35.28 h9mML7y2.net
>>490
よくわからないです
513:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:56:53.84 oygEfVDW.net
h=1/2の盃とすると
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
514:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:59:07.71 U4xy9LSi.net
x = y = z,
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
515:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:08:46.39 bX0IOpf0.net
>>491
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
516:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:25:43.90 U4xy9LSi.net
>>473-474
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
517:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:36:23.14 8WMoMZNt.net
X1, X2, · · · , Xn を独立で同分布な確率変数とする
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
518:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:01:26 hoJC5UHO.net
>>489
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
519:ID:1lEWVa2s
20/07/22 14:04:20 92x6EIRK.net
大体3.14でよし。
520:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:08:30 LggH8/mi.net
>>496
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
521:高橋
20/07/22 14:39:48.32 aQ2MPjL1.net
こんにちは
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
522:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:40:34.14 Mq7sSAPW.net
>>492 その先も検算してみてよ。
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413
523:099107351 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=1.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 20.322037016506141867920614451404025971 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=2.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 90.000000000000000000000000000000000000 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので 計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
524:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:02:26.88 aQ2MPjL1.net
表記が反映されなかった問題もあるので、それはお許しいただきたいです
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
525:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:03:59.60 vA4uV7us.net
大体5分12秒でよし。
526:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:03:59.69 YUV8uy9s.net
加法群Qの自己同型群は何か。
誰か教えて
527:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:04:31.05 vA4uV7us.net
R←Sの恒等射でよし。
528:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:05:16.36 vA4uV7us.net
RrS=Qとする。
529:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:10:06.99 FCXnFCw8.net
>>502
丸投げw
運営にアクセス禁止の通報しておくわ
530:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:10:31.89 9OOM9ADs.net
アーベル群。
531:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:11:04.77 wJE2kxwP.net
>>504
Hom_Z(Q,Q) ≡ Q
via
f → f(1)
532:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:12:22.80 9OOM9ADs.net
彼はほもです。
533:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:28:49 U4xy9LSi.net
>>497
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
534:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:39:19 aQ2MPjL1.net
丸投げというか、適当な回答が
535:分からなかったので… 気分を害してしまったのならごめんなさい
536:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:44:54 hoJC5UHO.net
>>504
多分>>389と同一人物だと思うけど>>391と同様に考えればわかる
Q の自己同型は f(1) の値によって完全に決定されることがポイント
あとは自力でどうぞ
537:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:51:17 hoJC5UHO.net
>>512
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
538:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:53:25 aQ2MPjL1.net
自分の回答がなく、解説もないため、あっているか不安になっただけです。
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
539:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:55:36 HUztn5qQ.net
>>515
荒らし。
540:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:56:36 YUV8uy9s.net
>>513
色々と考えてみます。他人を当てにしてたわ。スマソ
541:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:43:06.29 b7G5tN1p.net
ある3次方程式の実数解がcos(nπ/m)の多項式として表され、かつその解が立方根を使わなければ表せないとき、分母のmは9が最大なのでしょうか。
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
542:ID:1lEWVa2s
20/07/22 16:49:52.09 mCV6fm3Q.net
荒らし。
543:ID:1lEWVa2s
20/07/22 16:50:10.37 mCV6fm3Q.net
答えなくていい。
544:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:52:07.12 U4xy9LSi.net
>>514
丸投げって云うんだから砲丸投げのことだろうけど。
もしかして円盤投げのこと？
545:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:57:34.73 UXPQRmtu.net
係数は整数だとして、それが解になるのは限定的、例外的なんじゃ?
たぶん11はない気がするが ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
546:イナ
20/07/22 17:01:51.95 dV5VbxEJ.net
前>
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
547:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:20:36 UuTpJXc0.net
>>501
芸人に恥をかかせたらアカンｗ
548:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:23:18 UuTpJXc0.net
>>502
これが溶けない裏口シリツ医は沢山いそう。
549:イナ
20/07/22 17:33:04.28 dV5VbxEJ.net
前>>523
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=1/6√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
f(1/2)=-1/2
f(0.55)=-0.2212
f(0.6)=0.128
f(x)=0の解は0.55＜x＜0.6
x=0.57……ぐらいで探す。
550:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:44:28.88 M5EzV2Sa.net
・円周率 π ← こいつは径と周の長さの比について、
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。
・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？
例えば、素数定理
n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近
551:する ↑ 素数の分布の話をしてるのに、 何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
552:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:10:56.08 aKcrT+jM.net
性懲りもなくこんな問題を考えてみた。
ワイングラスの曲線が正弦波 y=sin(x) のときに何度傾ければ半分のワインが残るか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
553:ID:1lEWVa2s
20/07/22 18:12:16.22 fTaQNBwH.net
荒らし。
554:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:14:18.91 SUQDKCXa.net
>>527
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
555:イナ
20/07/22 18:17:40.45 dV5VbxEJ.net
前>>526
>>463
x=0.58268652……
もうちょっとなんだがな。
556:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:26:57.63 xOHIzM6o.net
>>527
どっちも発見して発明しているけど
557:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:35:09.71 sHKeZ2N3.net
ここにいる人達は皆数学科？
私は物理ですが
558:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:51:35 F70Y3Sfc.net
>>533
俺は接客業
559:１３２人目の素数さん
20/07/22 19:46:44.31 h9mML7y2.net
>>494
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
560:１３２人目の素数さん
20/07/22 19:57:21.13 M5EzV2Sa.net
>>530 >>532
もう1回発見してみせろ、
いま、おれの目の前で。
561:１３２人目の素数さん
20/07/22 20:08:42.38 fAobprP+.net
数列{a[n]}=(1+1/n)^n、a[n]を10進法表記した桁数をb[n]とする。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
562:イナ
20/07/22 20:31:52.73 dV5VbxEJ.net
前>>531
俺は接客はしない。顔バレしたくないから。
563:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:12:12.59 UuTpJXc0.net
>>531
Wolfram先生によると
1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))
0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
564:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:15:26.09 UuTpJXc0.net
>>538
今やネット上だとこういうのも可能らしいね。
URLﾘﾝｸ(www.appps.jp)
565:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:32:30.20 SUQDKCXa.net
>>537
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
566:イナ
20/07/22 21:39:56.10 dV5VbxEJ.net
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
567:イナ
20/07/22 21:39:57.63 dV5VbxEJ.net
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
568:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:55:36.91 ERxfi+s/.net
>>535
それがホントに面白い問題なら何故一月待てん？
569:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:24:19.00 h9mML7y2.net
>>544
自分に勘違いがなければ元の問題と>>485はかなり違う種類の問題になっていると思います
自分は元の問題よりこっちの方が気になったので書きました
570:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:28:40.49 K+HW4I79.net
y = 1/x, y = √(1+x^2), y = √(x^2-1)はどれもそのグラフは双曲線の一部です。
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
571:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:31:46.74 K+HW4I79.net
あるいは>>546のグラフがどれも双曲線の一部になっているということを利用して計算が簡単になったりとかいうことはありますか？
572:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:41:19.51 h9mML7y2.net
>>546
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
573:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:46:25.05 h9mML7y2.net
>>547
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
574:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:56:01.60 FASMCX2l.net
>>541
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
575:１３２人目の素数さん
20/07/22 23:44:34.11 h9mML7y2.net
>>495
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
576:１３２人目の素数さん
20/07/23 00:37:53.79 dcuk2yC7.net
>>550
b[n]は桁数やで？すべて自然数nについてb[n]=1なんだから、そんなこと起こるはずがないやろ。
もしかして>>537の桁数っていうのは小数点以下の桁数のことか？そういうことならb[3]の時点で無限大に吹っ切れてるだろ。
nの素因数が2と5のみのときだけ小数点以下の桁数は有限で、それ以外は無限や。当然「任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]」など成り立つはずもない。
577:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:32:29 oIb80NuQ.net
2×2の正方行列Aが逆行列を持たないとき、AB=[1+ε ε][0 1]となる2×2の正方行列Bが存在することを示せ。
578:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:56:28.63 sHXJwhgv.net
>>553
Aが零行列のとき無理じゃないか？
579:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:09:46.51 sHXJwhgv.net
>>518
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
580:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:19:05.74 sHXJwhgv.net
>>554
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
581:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:33:35 XqmaF/l0.net
>>555
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
582:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:34:17 XqmaF/l0.net
間違えた
cosの多項式と書いてあった
583:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:08:47.52 sHXJwhgv.net
>>557
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
584:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:10:54.86 8crzF/FX.net
>>538
さすが大先生！
新型コロナ感染防止にdoggy styleを推奨されていらっしゃるｗ
585:450
20/07/23 08:22:14 D+mhgYBi.net
失礼 π＝180度 だから
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
586:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:36:54 sHXJwhgv.net
>>555
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
587:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:50:40 ZzpLlSBv.net
>>561
そりゃ「直角三角形ABCにおいてsinA=BC/ACであることを示せ」みたいな問題が出されても困るだろうに
>>450はこれと同レベル、要は定義を確認するだけであってこれがわからないのはラジアンが何かを知らないだけ
もちろんわざわざ問題として教科書や参考書に載せる程のことではない(というか導入のところに書いてあるよね)
588:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:58:29 MCHCcwRS.net
f(n), g(n)を自然数の集合から正の実数の集合への関数とし、
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
589:１３２人目の素数さん
20/07/23 09:03:35 sHXJwhgv.net
>>564
反例
f(n)=n、g(n)=n^2、a=2、b=1
590:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:44:55.81 p11O9Gfd.net
>>528
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
591:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:52:52 oqyyALPI.net
これをx,y,X,Yについてそれぞれ解きたいんですけど、なんか綺麗な方法ありますかね？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
592:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:58:44 2vzJSD+l.net
φ(m)が3の倍数のとき
eg m=18,19,26,27,‥‥
593:イナ
20/07/23 12:33:22.18 0IdoqGiD.net
前>>543
>>566傾けすぎだよ。
水面は変曲点より上にあるだろう。
594:イナ
20/07/23 12:44:18.63 0IdoqGiD.net
前>>569
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
595:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:45:53.18 p5qspa7O.net
自分では分からないのでお願いします。
URLﾘﾝｸ(imepic.jp)
596:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:47:33.62 8TLCIDnR.net
>>564
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
597:１３２人目の素数さん
20/07/23 13:37:45.63 8TLCIDnR.net
>>571
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
598:イナ
20/07/23 13:46:01.73 0IdoqGiD.net
前>>570
>>571唐揚げ食べ放題？
なるほどね。問題の題と掛けたわけね。
599:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:28:23.24 AeLMRh9/.net
>>549
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
600:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:38:45.68 RXdNPMf7.net
>>528
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,
601:y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)} ■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)]) ・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) } = asin(x) -∫dx √(1-xx) ・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx) = x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx) = 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x) ・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx) =2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) ) ・R=acos(y), q=.... ・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分} ■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ) ・∫dy acosy^2 = y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1 = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi ・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a)) 参考(作図アプリ:Geogebra) https://i.imgur.com/y8RExNH.gif
602:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:41:03.81 RXdNPMf7.net
>>576
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
603:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:03:58.88 8crzF/FX.net
>>576
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
604:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:06:25.62 RXdNPMf7.net
>>577 (追加)
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考: URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
605:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:39:46.71 oqyyALPI.net
>>567
自分で解決しました
606:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:23:10 U+hAfy1z.net
√37をオイラー・ペル方程式とテイラー展開を使って小数第6位まで求めろって問題を出されたんだけど、ぶっちゃけこれどうやって求めればいい？
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
607:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:44:48 leZfEHQl.net
>>581
a=1/2, x=1/36
最後に6倍
608:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:45:27 v06GlX3Q.net
うーん
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
609:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:56:33 U+hAfy1z.net
>>582
すみません、アホなんで途中の式も欲しいです
610:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:06:27.29 nIyo4k+q.net
>>579
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
611:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:08:16.69 UY7
612:6Zqbm.net
613:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:13:38.10 v06GlX3Q.net
882/145は約6(10^1オーダー)
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
614:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:23:50.97 c22pr0dU.net
>>586
ん？
>>573が証明の方針を与えていると思うが
何がわからないのかわからないと説明しようがない
級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
>>571の級数におけるコーシーの条件を積分の形で書けばほとんど明らかだと思う
615:イナ
20/07/24 01:50:50.83 dhPtC+Xn.net
前>>574
>>585
2.97322……という数値からして端まで行くよりも手前でワインは途切れるということだと思う。三角関数なんだから当たり前だけど。
616:文部大巨人
20/07/24 02:23:05.19 cJjLl+Ec.net
小学生のうちに覚えさせておきたい数字、
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
617:１３２人目の素数さん
20/07/24 02:24:18.16 cJjLl+Ec.net
( ^～^) …
618:１３２人目の素数さん
20/07/24 05:31:49.94 bLwR5Hy+.net
S[n] = Σ[k=1,n] k^m とする。
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
619:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:00.51 Ob5kvej6.net
>>585
1/2のときでも辺縁からはこぼれてる
辺縁に近すぎて見えないだけ
接線を考えれば明らか
620:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:44.45 Ob5kvej6.net
>>580
どうやって解決したか書いてけよ！
621:１３２人目の素数さん
20/07/24 07:28:01.46 v06GlX3Q.net
>>592
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
622:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:22:11.06 nIyo4k+q.net
>>593
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
623:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:32:39.35 nIyo4k+q.net
>>590
19×19までの九九
俺は下ネタ語呂合わせで覚えたけどｗ
624:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:43:15.15 v06GlX3Q.net
>>595
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
625:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:48:27.14 U+hAfy1z.net
>>587
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
626:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:49:43.06 U+hAfy1z.net
>>599
ごめん、訂正
なんでもなかったわ
627:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:19.93 AqvcbG6k.net
>>594
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
628:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:20.95 cJjLl+Ec.net
ここじゃなくて、ペルに聞いて来いやぁあ？
629:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:16:05.21 miq5sn2E.net
>>581
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
630:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:27:09.66 AqvcbG6k.net
>>601 (補題)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
631:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:35:21.83 v06GlX3Q.net
ああ、そういうことか
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、
632:って話か てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
633:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:31:16.39 +dyQnkLy.net
ある飲食店に人が来るまでの時間をX(時間)とし、パラメータ5の指数分布に従うとする(パラメータ5の意味は、来るまでの時間の期待値は1/5=12分)
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
634:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:44:37.71 5hDRa529.net
>>606
ピッタリ5分ならもちろん0ですな
635:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:27:11 vZ8bCY76.net
サイコロを投げることを繰り返す。XkはK回目に6の目が出たら1、それ以外の目が出たら0とする。
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
636:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:50:21.39 iAiUGZLY.net
>>606
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
637:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:53:34.19 iAiUGZLY.net
>>606
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
638:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:08.48 iAiUGZLY.net
>>606
３０分待ったが客は０だったとして、その後５分以内に客がくる確率はいくらか？
639:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:46.10 U+hAfy1z.net
大数の強法則を誰か例に例えながら教えてくれ
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
640:１３２人目の素数さん
20/07/24 15:42:21.08 AqvcbG6k.net
大数を読みましょう^^
641:A欄既卒
20/07/24 16:01:49.33 cJjLl+Ec.net
大学への数学！？？
642:１３２人目の素数さん
20/07/24 17:27:27.35 bCcZVAHh.net
た い す う
643:１３２人目の素数さん
20/07/24 18:06:43.90 cJjLl+Ec.net
たいすう ってあれだろ、
丸太じゃない方のLog
644:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:47:46.32 ph3bki/u.net
(t^2-1)^(r-1/2)=煤mm=0~∞ ］｛ Γ(1/2-r+m)・t^(2r-1-2m)・1/m！・1/Γ(1/2-r)｝
この式の導出過程が知りたいです
645:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:49:16.30 ph3bki/u.net
シグマ記号が消えてますがm=0~∞のSUMです
646:
20/07/25 00:09:54.09 LdWPvIRs.net
前>>574
>>528
y=sinx
y'=cosx
点(a,sina)における接線y=xcosa-acosa+sinaは、
y軸と点(0,sina-acosa)で交わり、おそらく3π/2＜x＜πでx軸と交わるときワインは半分こぼれる。
接線の傾きは｛sina-(sina-acosa)｝/a=cosa
何度かは90°引いて鋭角で答えていいと思うんやが、
やっぱり積分せないかんのか。
こんなシンプルな立体だれかがやってると思うんやが。
647:１３２人目の素数さん
20/07/25 00:34:41.83 MJwYl0BZ.net
>>617
|t| > 1 ならガンマ関数の関数等式 Γ(z+1) = zΓ(z) と二項級数を使えば何とかなりそ
648:う
649:１３２人目の素数さん
20/07/25 01:14:52.31 H4sFfp/M.net
>>617
f(x) := (1-x)^(r-1/2)
{d/dx}^m f(x)
= (r-1/2)(r-1/2 -1)...(r-1/2 -(m-1)) * (-1)^m * (1-x)^(r-1/2 -m)
= (m-1 +1/2 -r)...(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
= Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
よって テーラー展開 により
|x|＜1 の時
f(x) = Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * x^m
|t|＞1 の時
(tt-1)^(r-1/2) = t^(2r-1) * (1-1/tt)^(r-1/2) = t^(r-1/2) * f(1/tt)
= Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * t^(2r-1 -2m)
650:１３２人目の素数さん
20/07/25 13:14:59.25 g3fpMEvS.net
大数ってあれだろ、
無量大数 (10^68)
(注)
これぐらいの大きさになると、
大数の法則がほぼ完全に成り立つ
ってワケでもねゑが････
651:１３２人目の素数さん
20/07/25 13:29:58.14 MgMTV7FV.net
>>612
ウィキペディアで充分だろ
その前に確率の勉強だ
652:１３２人目の素数さん
20/07/25 16:08:20.97 opUchhO1.net
ゲームの経験値テーブルなんですが、
どういう法則なのか全然分かりません。。
12,21,35,58,91,139,204,290,400,539,709,914,1158,1446,1780,2166,2607,3108,3674,4308,…,an,…
単純な階差数列というわけではないようですが、
anは求められるのでしょうか。
653:１３２人目の素数さん
20/07/25 16:43:14.52 MJwYl0BZ.net
数列クイズに正解なし
654:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:05:38.18 MJwYl0BZ.net
マジレスすると、ゲームの経験値とかなら高々有限列だから、
あえて増加量が規則的にならないように決めている可能性もある
直前の経験値からの増加量の下限と上限を決めておいて、
その間の乱数を使って増やすとかね
高々有限列ならあらかじめ全部計算しておけばいいし
655:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:17:29.08 /At8BfRH.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
お願いします
ストーンの定理を使うことはわかるのですがどう適用したらいいか
656:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:33:49.59 f5HIC6wu.net
Levy の反転公式っぽい
657:１３２人目の素数さん
20/07/25 17:38:22.98 rpzNCEri.net
>>588
返信遅くなりすいません。
当方かなり数学が苦手で、ヒントをもとに考えてみましたが、やり方がいまいち分からず、解けませんでした。お手数おかけしますが、途中式を書いてもらえないでしょうか？
658:イナ
20/07/25 17:54:36.15 LdWPvIRs.net
前>>619
>>528
ワインの水面の端がx=t(π/2＜t＜3π/2)のとき水面y=sintの面積はπ(3π-t)^2
ワイン満杯V=∫[t=-1→1]π(3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2t^3/3](π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/16)π
=(54-2+18-27)π^4/48
=43π^4/48
ワイングラスをθ°左に傾けたとき半分こぼれて半分残ったとすると、
残ったワインV/2=43π^4/96
ワインの左端(s,sins)
ワインの水面y=(x-s)coss+sins
ワインの水面と軸との交点(u,0)
ワインの右端(v,sinv)
欠円を足し集めるんじゃないかと―。
659:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:11:01.15 opUchhO1.net
>>625
ありがとうございます。
たしかに規則的でない可能性もありますね。式が一つでない可能性もありますしね。。
ただ、レベルが何千とか何万の桁まであって、経験値が何万とか何億とかのけたまであるので、
ある程度式に当てはめた方が労力も少なくなるとは思うので何か法則があるのかなと考えていました。
中華製のブラウザゲームなので何考えてるかわかりませんが
660:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:46:15.75 YAB0Uu
661:Z6.net
662:１３２人目の素数さん
20/07/25 18:58:18.07 MJwYl0BZ.net
>>631
何そのやばいゲーム
最悪プレイするたびに経験値が変わったりしそう
663:１３２人目の素数さん
20/07/25 19:00:24.31 MJwYl0BZ.net
>>629
まだやってたのか
途中式を書いたら勉強にならないので書かないけど
とりあえず>>588の質問に答えたら？
>何がわからないのかわからないと説明しようがない
>級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
664:１３２人目の素数さん
20/07/25 19:29:28.56 KQWmBrCg.net
xy平面の各格子点上に電球が置いてあり、時刻t=0に原点Oに置かれた電球が初めて点灯した。
各電球は以下の性質を持つ。
「隣接する電球が時刻t=m-1に初めて点灯したとき、時刻t=mに確率pで点灯する。」
以下の問いに答えよ。
（1）点(2,0)に置かれた電球をDとする。電球Dが初めて点灯する時刻として考えられるものを全て述べよ。必要があれば自然数nなどの文字を用いよ。
（2）Dが点灯する確率をpで表せ（どの時刻に点灯するかは問わない）。
665:１３２人目の素数さん
20/07/25 20:02:52.84 MJwYl0BZ.net
>>635
典型的な悪問って感じ
「隣接する電球」の定義が与えられていないから、解答者の解釈によって答えが変わるよね
例えば、点 (1, 1) は原点 O と隣接するのかしないのかさえわからない
「初めて点灯したとき」の確率しか与えられていないから、
隣接する電球が全て点灯したあとに点灯していなければ二度と点灯しないのか、それとも毎時刻確率 p で点灯するのか
数学の問題とは思えない
666:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:24:45.78 vCjWmEm6.net
(2)のΣ1/n^(3/2)は収束するというのはどのように証明すればいいんでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
667:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:45:50.80 en9Xbm4/.net
>>635
「隣接」を「距離1の格子点」とするなら(1)はすべての偶数秒。(2)は経路が多すぎてなんとも。
668:１３２人目の素数さん
20/07/25 21:52:37.64 MJwYl0BZ.net
>>637
ζ(3/2)
669:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:24:24.04 en9Xbm4/.net
>>637
rを1より大きい定数とする。この問題の場合はr=3/2
n≦x≦n+1 のとき 1/(n+1)^r≦1/x^r
この両辺を区間[n~n+1]で積分して
Σ[n=1~k-1]で和をとって
両辺に1を加えて
k→∞ で極限をとれば上に有界は示せる。
上に有界で単調増加だから収束。
670:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:29:11.40 WDXHn89Z.net
nは2以上の自然数、また S[a,n] = Σ[k=1,n] k^a と定める。
（1）nに関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つような自然数の組(a,b)は(3,1)のみであることを示せ。
（2）（1）においてa,bを正の有理数とした場合、(a,b)=(3,1)以外に条件を満たすものは存在するか。
671:１３２人目の素数さん
20/07/25 22:36:34.11 vCjWmEm6.net
>>640
ありがとうございました
672:イナ
20/07/25 22:43:42.33 LdWPvIRs.net
前>>630訂正。
>>528
ワイングラス満杯V=∫[t=π/2→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/8)π
=(27-1+9-27)π^4/24
=π^4/3
残ったワインはV/2=π^4/6
今仮に傾けたワインの水面がx=π/2から2πまで存在するとすると、
x軸より下にあるワインはV.= ∫[t=π→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/3+3π^3/2-9π^3/4)π
=(27-8+36-54)π^4/24
=π^4/24
x軸より上にあるワインはV`=π^4/6-π^4/24
=3π^4/24
=π^4/8
ワイングラスを傾けず正対させたとき、
x軸より上のワインはπ^4/3-π^4/24=7π^4/24
つまりワイングラスの中のワインが入ってない空間の体積は、
7π^4/24-π^4/8=6π^4/24=π^4/6
tanθ=1/(3π/2)=2/3π=0.21220659078……
tan11°=0.19438030913……
tan12°=0.21255656167……
ワインが半分残せるθは11°となるが、水面とワイングラスとの接点をx=π/2とした近似値である。
673:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:04:34.85 8ct1Izaa.net
積分使うのが定�
674:ﾎだけど √n-√(n-1) =(n-(n-1))/(√n+√(n-1))=1/(√n+√(n-1))≧1/(2√n) を利用して階差を作って 2/√(n-1)-2/√n=2(√n-√(n-1))/√(n-1)n)≧1/√((n-1)n^2) ≧n^(-3/2) を両辺足し上げて評価する というのもあるよね～
675:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:07:31.70 en9Xbm4/.net
>>641
(1)両辺のnの次数を比較するとa+1=2(b+1)であるから、自然数の組は(2b+1,b)の形のものに限られる。
n=2 のとき 1+2^(2b+1)=(1+2^b)^2 。2^b=x とおくと 1+2x^2=(1+x)^2 。これを x>0 で解いて x=2 すなわち b=1
676:１３２人目の素数さん
20/07/25 23:39:48.13 Yy0Q+mdx.net
>>624
an=[0.0041218*n^4+0.4517*n^3-0.26*n^2+6.69322*n+5.45]
[x] は x の整数部（1位未満切り捨て）
677:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:09:08.76 Iuk6VYmI.net
>>646
ありがとうございます！n=20 まで完璧に合いますね
解法は、エクセルのソルバーで解くとかグラフ機能で近似式とかな感じでしょうか？ご教授いただけたらありがたいです。
というのも実は、n=21以降が、
(,4308),5015,5801,6669,7626,8676,9823,....
となっており、anからの算出結果に対して、少しずつ誤差が出てきてしまいます。
ちなみに、
n=650が約265.7億、
n=651が約269.4億、
n=652が約273.2億、
n=653が約277.0億、
.
.
n=700が約527.6億、
n=701が約527.6億
.
n=900が約7494.2億、
n=901が約7592.2億、
です。
678:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:13:49.80 6c6xEI4s.net
>>647
経験値のインフレやばすぎワロタ
679:１３２人目の素数さん
20/07/26 00:16:10.24 I1rH0P5u.net
>>647
次数を仮定して最小二乗法でも使えばええんちゃう？
680:イナ
20/07/26 01:27:16.36 IGjJdTLK.net
前>>643
>>528
点(a,sina)(π/2＜a＜π)におけるy=sinxの接線y=(x-a)cosa+sinaが(2π,0)を通れば、
0=(2π-a)cosa+sina
a=2π+tana
tanθ=sina/(2π-a)=sina/(-tana)=-cosa=-1/5でいいんじゃないか？
∴ワインが半分残せる最大の傾きは、θ=11°
681:１３２人目の素数さん
20/07/26 04:05:28.64 6c6xEI4s.net
>>641
(2)が難しい
(a, b) = (3, 1) のときはファウルハーバーの公式より成り立つ。
もし n に関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つなら、 n = 2 でも成り立つので
S[a,2] = {S[b,2]}^2 すなわち
1 + 2^a = (1 + 2^b)^2
が成り立つ。ここで a = b + c と置くと、
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
が成り立つことがわかる。よって c > 1 である。
このとき、 (b, c) を自然数の組に限定すると、左辺は偶数であるので b = 1 でなければならない。
ゆえに (b, c) = (1, 2) すなわち (a, b) = (3, 1) となるので(1)が成り立つ。
(2)も同様に示せないだろうか？
つまり、もしも方程式
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
の正の有理数解が (b, c) = (1, 2) の他には存在しないならば、
(1)の条件を満たす正の有理数の組は (a, b) = (3, 1) に限られることがわかる。
例えば、上の方程式が成り立つなら log_{2}(2^(c-1) - 1) も有理数となるが、
そのような c は 2 以外に存在するだろうか？
682:１３２人目の素数さん
20/07/26 10:59:46.14 Iuk6VYmI.net
>>647
n=701が約534.8億
でした。。
>>649
関数でできましたっけ？
自宅のoffice365だと、ソルバー使えないんですね。。
n=900くらいまでの中間の計算が、ざっくり合っていれば参考になるので大変助かります
683:１３２人目の素数さん
20/07/26 11:23:08.07 Ej/zeZhe.net
>>644
さすが。
その式を n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.671003
でござるか。
また、その式のnを1/2だけ増加すると
2/√(n -1/2) - 2/√(n +1/2)
= 2[√(n +1/2) - √(n -1/2)] /√(nn -1/4)
= 2/{[√(n +1/2) + √(n -1/2)]√(nn -1/4)}
> 2/{[2√n]n} (*)
= 1/n^(3/2),
これを n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.613812････
でござる。
なお ζ(3/2) = Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) = 2.61237535････
*) y=√x は上に凸だから
4n - [√(n +1/2) + √(n -1/2)]^2
= 4n - [2n + 2√(n +1/2)･√(n -1/2)]
= 2n - 2√(n +1/2)･√(n -1/2)
> 0, (AM-GM)
684:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:23:27.79 6c6xEI4s.net
ζ(s) が Re(s) > 1 で絶対収束することって常識じゃなかったのか
685:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:37:05.97 ta/2Mj0h.net
>>654
常識を知らない相手に「これは常識やで」と返答をするのはナンセンスなので。
686:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:42:05.29 6c6xEI4s.net
>>655
そうなんだけど、あまりにも有名だから個別の解法を考える必要があるのかなと思って
リーマンゼータ関数でググればすぐに出てくるし
解析学のテキストに載っていることも多いし
687:１３２人目の素数さん
20/07/26 12:52:22.00 6c6xEI4s.net
>>655
いや、ナンセンスとも限らないな
時には有名な既知の問題であることを教える必要もあるんじゃないか？
何でもかんでも自分の力で証明する必要はないよね
688:１３２人目の素数さん
20/07/26 13:13:45.61 6c6xEI4s.net
このスレは自力で頑張りすぎている回答が多い気がする
例えば>>621の回答は一見「導出」に見えるが、
実際はテイラー展開とガンマ関数の性質を既知としているからself-containedというわけではないし、
わざわざ二項級数の係数を一から計算する意義もわからない
>>620でヒントが与えられているように、二項級数 (1-1/t^2)^(r-1/2) の係数を
ガンマ関数を使って表すことができるとわかれば十分だと思われる
689:１３２人目の素数さん
20/07/26 16:21:06 XfzX3BHO.net
a≠0において定義され、a→0においてg(a)=f(a)/(1-a^2)は収束するがh(a)=f(a)/(1-a)は収束しないような実数値関数f(a)について考察する。
a=0の近傍でh(a)=(1+a)g(a)としてよく、
(1-|a|)|g(a)| < |h(a)| < (1+|a|)|g(a)|
a→0で左辺および右辺は収束するから、|h(a)|は収束する。
したがって考察すべき実数値関数は存在しない。
690:１３２人目の素数さん
20/07/26 16:21:32 XQi+qG/r.net
>>528
>>650
理論値は wine_full = π*(π² - 4) = 18.4399... となる。詳細は省略。
趣向を変えて モンテカルロ法 で乱数をぶん回してみた ( n=1000000 )
PARI/GPプログラムも省略。10行ちょっとくらいに収まった。
wine(Pi)
= 18.4238...
t = Pi/2 + acos(tan( 9.5126*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4999...
t = Pi/2 + acos(tan( 11*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4486...
11°は傾けすぎである。
n=1000000 には根拠がある。
box = (2*Pi)*(2*Pi)*2; #乱数を振る箱体積
a = wine_full; b = 0.5 * wine_full;
b/a*(sqrt((box-a)/a) + sqrt((box-b)/b) ) / sqrt(n)
= 0.00228...
体積比 b/a の揺れ幅を 少数点以下 2桁未満に抑えたかった。
効率は悪いが元の計算でポカミスしてないかの検算には使える。
691:イナ
20/07/26 18:48:31.48 y9+Xgjl+.net
前>>650
>>528
ワイングラス満杯はπ^4/3=32.4696970113……は接線の傾きや接点に誤差があっても関係ないからあってるはず。
692:１３２人目の素数さん
20/07/26 19:17:23.25 XCkK56Mw.net
nを整数とする。n < a < n + 1となるような整数aが存在しないことを示せ。
ただし、自然数の定義は、杉浦
693:解析入門1と同様に定義されているとする。
694:１３２人目の素数さん
20/07/26 19:57:00.35 XQi+qG/r.net
>>661
正しくは
V = π ∫[t=π/2→3π/2] (3π/2 - t)² (-cos(t)) dt
= ... = π ∫[t=0→π] t² sin(t) dt = ... = π (π² - 4)
っす。
(-cos(t)) のファクターは y=sin(t), δy = |dy/dt| δt に起因。
695:文部大巨人
20/07/26 20:39:49.80 SDpWYxlM.net
誰か >>590 にマジレス頼む。
現実に 九九 だけだと
明らかに足りないって中学・高校で気づくよな？
17^2 とか 25^2、 29^2
こんなの毎回計算していたら、時間の無駄だし。
696:文部大巨人
20/07/26 20:45:19.50 SDpWYxlM.net
整数 と その平方
21 … 441
22 … 484
23 … 529
24 … 576
25 … 625
26 … 676
27 … 729
28 … 784
29 … 841
ちなみに、21~29 はその性質上、
下2桁が同一の形の回文(625 を折返し地点として) になっているから
覚えやすいんだよな。
下2桁は {41,84,29,76} のみ。
697:１３２人目の素数さん
20/07/26 20:52:55.34 XCkK56Mw.net
>>662
解決しました。
698:１３２人目の素数さん
20/07/26 20:56:23.93 6c6xEI4s.net
>>662
整数の定義が「自然数およびそれに負号をつけたもの」なら、
自然数の全体 N と整数の全体 Z に対して
N = {n ∊ N | n ≧ 0} と Z - N = {-n | n ∊ N, n > 0} を示して
a > 0, a = 0, a < 0 で場合分けすれば
0 < k < 1 を満たす k ∊ N が存在しないことに帰着される
699:イナ
20/07/26 21:45:52.58 y9+Xgjl+.net
前>>661
>>663
y=sinxの積分関数が-cosxというのはわかる。
だからといって積分関数π(3π/2-t)^2に掛けていいという話を聞いたことがあっただろうか？
聞いたことあった気もする。けどあった気がするだけで、そんな話はないような気もする。
x=tのときの(t,sint)を左端とする水面の面積π(3π/2-t)^2をt=π/2から3π/2まで足し集めて、
ワイングラス満杯のワインの容積が出るんじゃないの？
1度目は計算間違いだった。
2度目のV=π^4/3は式が違うというのか？
π≦x≦2πの円柱に換算するとπ(π/2)^2×｛1-(-1)｝=π^3/2に比べてワイングラス満杯のワインの容積はだいぶ大きい。
π/2≦x≦πのx軸より上の部分を回転させるとかなりの容積になると思うんだよ。
18ぐらいなのか32ぐらいなのか。
700:１３２人目の素数さん
20/07/26 21:53:24.64 Zd39FNjK.net
>>660
正弦曲線ワイングラス満杯、
同様に数値積分で18.4399となりましたが、Wolfram先生が定積分の答を返してくれました。
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4)?18.440
701:１３２人目の素数さん
20/07/26 21:59:35.55 Zd39FNjK.net
文字化けを訂正
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4) ≒ 18.440
Rのコード
f<- function(x) -cos(x) # == sin(x-pi/2) == -cos(x)
A <- function(x)pi*(pi-acos(x))^2
integrate(A,-1,1)
> integrate(A,-1,1)$value
[1] 18.4399
702:１３２人目の素数さん
20/07/26 22:09:55.28 Zd39FNjK.net
>>668
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
∫[-1,-1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
703:１３２人目の素数さん
20/07/26 22:14:56.54 XQi+qG/r.net
>>668 円盤の厚みは t 方向じゃなくて y 方向ですよ。
円盤面積: S(t) = π(3π/2-t)^2 {これはOK}
体積: V = lim Σ[i=1,N] δy S(t) = lim Σ δt (δy/δt) S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt |dy/dt| S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt (-cos(t)) S(t) {負符号が付くのは水面が下がる方向に積分してるから}
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
704:イナ
20/07/26 22:2
705:5:37.11 ID:y9+Xgjl+.net
706:イナ103
20/07/26 22:57:32.40 y9+Xgjl+.net
前>>673
円盤の厚みがt方向ではなくy方向だからx=tに対するy=sintの積分関数-costを掛ける？
707:イナ
20/07/26 23:04:05.80 y9+Xgjl+.net
前>>674
>>663の計算途中の……がわからない。