20/07/20 00:00:35.78 XR4sAz1M.net
>>350
そうなんか。ならわからんわ。すまんな。
366:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:11:24.07 nmySNGOX.net
d2(X,Y)=min{d(X,Y), d(X,P)+d(Q,Y), d(X,Q)+d(P,Y)}
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
367:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:22:46.71 RqCIPLxB.net
>>352
全然違うでしょ
その定義なら d2(P, Q) = 0 だし
368:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:28:43.79 nmySNGOX.net
そ、そうなの？
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
369:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:30:49.15 RqCIPLxB.net
>>354
え？ d は距離関数じゃないの？ d の定義は？
370:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:03.63 nmySNGOX.net
dの定義は
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
371:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:39.63 nmySNGOX.net
d(x,y)=d(y,x)だった
372:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:36:37.40 RqCIPLxB.net
一般的な距離関数か
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
373:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:39:17.81 nmySNGOX.net
あなるほどX=P,Y=Qと置けば矛盾してるってことですか？
374:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:42:56.87 RqCIPLxB.net
あれ、>>356の定義には非負性がないな
書き忘れただけ？
375:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:45:32.49 5DiCRFL4.net
ところで、もしかして擬距離にはなるとか？
376:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:46:56.48 nmySNGOX.net
非負性書き忘れました
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
377:
20/07/20 00:51:44.37 X97OSaWf.net
前>>341
>>348あってるのはわかる。微積やってたころは授業無視して内職したり帰って図書館行ったら母校の元校長先生がお勤めだったり、遅刻して校長室におかん呼び出されたり、そういう時期だから、微積やってたっていっても我流なんだよ。せやでちゃんと計算過程というか立式、式変形をやってほしい。それとも今の微積はこんなちんぷんかんぷんな分野に変わり果ててしまったのか？
378:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:16:13.32 nUrDVePB.net
>>363
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
379:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:27:08.61 nUrDVePB.net
>>363
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
380:イナ
20/07/20 02:04:18.52 X97OSaWf.net
前>>363
>>364
半分流れ出るのは20°ぐらい傾けたころか。
381:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:12:44.79 7L+So4zP.net
>>328
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
382:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:23:48.30 7L+So4zP.net
>>337 >>345-347
実根が1つのときはカルダノの解法が使えるけど、
実根が3つのときはチェビシェフT_3 ですよ。
ついでに
複素数の累乗根を求めるときは、一般には三角関数やその逆関数を使わざるを得ない。
それを「代数的」解法と呼ぶのはチョト違和感ある。
383:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:25:50.40 5DiCRFL4.net
なるほど！
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
384:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:31:35 5kHP8VXE.net
地上51階建ての超高層ビルの1階にある1つのエレベーターの昇りに50人の乗客が乗っている。
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
385:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:44:12 5DiCRFL4.net
一般に3次式は
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
386:イナ
20/07/20 03:58:11.49 X97OSaWf.net
前>>366
>>370エレベーターが止まる回数は、
51-2=49(回)
50人乗っていて必ずどこかの階で降りるなら、
2人以上降りる階が存在する確率は100%。
387:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:07:34.30 wDVO0y0E.net
上リーマン積分をinfU(f,P)になるようにU(f,P)を定義すると、［a,b］の分割Pとa≦x≦bで［a,x］の分割P*に対して、U(f,P)≧U(f,P*)としてもいいのでしょうか？
388:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:26:44.23 nUrDVePB.net
>>366
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
389:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:48:23.29 nUrDVePB.net
>>374
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
390:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:56:18.13 nUrDVePB.net
>>363
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp)
391:１３２人目の素数さん
20/07/20 08:09:56.40 nUrDVePB.net
放物線回転体でなくて半球面の容器だったら何度傾けたら半分が流出するんだろうな？
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
392:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:16:50.22 YQeFWcOT.net
なんでn次元球の体積にガンマ関数出てくるの？？
393:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:18:46.51 5DiCRFL4.net
まあガウス積分から出ると言えばそれまでなんだけど、何か不思議な感じはする
何か他の説明もあるかもね
394:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:44:43.18 5DiCRFL4.net
ガンマ関数のせいでπのべきが2次元ごとに上がる仕組みになるけど、これの幾何学的な見方あるのか気になるわ
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
395:１３２人目の素数さん
20/07/20 10:28:42.34 7L+So4zP.net
>>371
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
396:１３２人目の素数さん
20/07/20 11:14:37.47 TUZtsszF.net
>>373
ここは大学レベルの解析できる人いない。大学で聞きな。
397:イナ
20/07/20 12:07:25.70 X97OSaWf.net
前>>372
>>376
83年やったら赤本で解いとるな。俺を押しあげた原動力やないか。
体積Vを傾きθの関数として式で表したりはせえへんのやな。
398:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:15:50.15 8U06FTgH.net
>>373
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
399:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:17:54.56 nmySNGOX.net
R^2 の部分集合A;B を
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
400:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:23:45.00 Q6FR/3IX.net
n次元ガウス積分を球殻の積分に変換して、n次元球殻の式を求めて、 n次元球体積 を計算。
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れ�
401:髣摎Rに思い悩むこともない。
402:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:40:57 8U06FTgH.net
>>385
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
403:１３２人目の素数さん
20/07/20 13:19:47.04 XR4sAz1M.net
>>385
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
404:１３２人目の素数さん
20/07/20 14:27:26.64 s1vVv4OY.net
加法群Qから加法群Zへの準同型をすべて求めよ。
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
405:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 14:59:24 X97OSaWf.net
前>>383
>>375二次関数なのか？
Ｖ=π(θ-63.43495)^2/(2×63.43495^2)
406:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:06:23 8U06FTgH.net
>>389
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
407:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 15:13:29 X97OSaWf.net
前>>390
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
408:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:18:27 nmySNGOX.net
>>388
なるほど(2)そんな感じで変形すればすぐ00って分かるのか・・・
本当助かりました
409:ID:1lEWVa2s
20/07/20 16:13:58.63 RzdnH0aw.net
15-20°らへんで大丈夫。
410:１３２人目の素数さん
20/07/20 17:37:57.52 lAt0w4jn.net
レベルが低くて申し訳ありません。
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
411:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:23:20 teO71RHL.net
>>395
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
412:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:31 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
413:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:32 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
414:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:41:56.87 IpCAikQP.net
>>396
それ計算すると結局12/25じゃね
415:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:51:09.27 pd+n799G.net
>>392
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
416:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:53:54.56 /Dhz880Y.net
>>399
だねw
質問者がどういう考え方なのかイマイチわからんけど解答は合ってると思うw
417:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:55:46.66 XNmsd8xI.net
交換云々は考える必要が無く、12枚引けると考えていい
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
418:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:47:18.50 pd+n799G.net
>>395
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
419:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:59:10.33 pd+n799G.net
>>403（バグ修正）
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
420:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:00:11.71 pd+n799G.net
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
421:395
20/07/20 20:15:01.76 fuln0D8r.net
皆様方ご丁寧にありがとうございます。
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
422:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:52:49.04 32P3Et7b.net
>>405
困った。数理解の方が正しく思えるが
どこにバグがあるかわからん:(
423:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:59:40.00 32P3Et7b.net
最初の10枚にレアカードがあったのに交換で失ってしまう可能性があるから、確率は12/25より小さくなる気がするのでシミュレーションの方が正解に近い
424:気がする。
425:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:06:31.84 xIvtqjxr.net
レアカードを故意に破棄ってのは選ばない前提なんじゃないのか
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
426:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:20:08.11 pd+n799G.net
>>409
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
427:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:38:34.97 32P3Et7b.net
カードは裏返したまま（レアカードかどうかは確認できない）で交換とすると２枚になると場合分けが面倒だな。
428:395
20/07/20 21:47:48.67 fuln0D8r.net
混乱させてしまっているので後出しで申し訳ありませんが追記します。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
429:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:09.28 pd+n799G.net
>>411
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
430:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:42.01 xIvtqjxr.net
>>412
それなら>>402で合ってると思う
431:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:56.41 pd+n799G.net
>>412
そういう設定だと、数学問題として面白くないなぁ。
432:イナ
20/07/20 22:05:53.05 X97OSaWf.net
前>>398
>>395あってる。
違うかもしれないけど、少なくとも俺といっしょ。
433:１３２人目の素数さん
20/07/20 22:29:11.21 cBy6LBhJ.net
>>415
間違った解答しといて面白さ語るなよ
434:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:16:40.33 LoyrGSpM.net
>>386
>∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1}
これがβ関数で表せるからそこからΓ関数に繋がるってこと？
式の上からはそれに過ぎないんだろうけど･･･・
435:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:29:56 hy6n0Ewp.net
オレが勉強した教科書の証明は
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
436:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:46:02 32P3Et7b.net
>>417
手札がみえないルールなら間違いじゃないと思うんだが。
違うかな？
437:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:51:49 5DiCRFL4.net
>>386
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
438:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:10:39 tHJleHyC.net
>>383
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
439:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:19:12 tHJleHyC.net
>>422
こういうイメージ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
440:N7.png
441:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:47:44.66 D7ZsfA32.net
20度ちょいくらいだろ
多分、有名角ではない
442:イナ
20/07/21 01:02:27.68 kN76GBZR.net
前>>416
>>422
30°ぐらいかな？
半円より大きい欠円0から1/√3まで足し集めて、πのあるのとないのと、
文字変えて半円より小さい欠円0から1/3まで足し集めて。
443:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:22:06.22 Con3FeDK.net
計算してみたら
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
444:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:39:18.85 Con3FeDK.net
つまり昨日全く別の問題に出てきてた0<p<aの
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
445:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:47:51.17 tHJleHyC.net
>>422
これをRを使って数値重積分して計算
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
446:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:50:03.74 Ghc4RW5f.net
>>422
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
447:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:52:45.60 tHJleHyC.net
>>426
arcsin(2cos4π/9) というふうな厳密解を出せるひとは尊敬しちゃう。
448:イナ
20/07/21 02:15:08.92 kN76GBZR.net
前>>425
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
449:１３２人目の素数さん
20/07/21 03:49:02.27 Ghc4RW5f.net
3次方程式: x^3 - αx + β = 0 の解について
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
450:１３２人目の素数さん
20/07/21 04:42:59.47 QOVK0uT9.net
n = 0, 1, 2, … に対し、数列 s_n を中心二�
451:係数 C[2k,k] の 0 から n までの和 s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k] によって定める。 例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, … s_n が素数となる n を小さい順に並べると、 1, 3, 12, 39, 90, … である。 (1) s_n は常に奇数であることを示せ。 (2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。 (3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
452:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:06:14.68 I/ak7vxZ.net
よくある継ぎ足しのタレの問題なのですが
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
453:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:17:06.86 8kVtiIOn.net
いつ補充するかをわざとぼかすのもよくあるパターン
454:434
20/07/21 07:20:01.68 I/ak7vxZ.net
>>435
なるほど。
1リットル減った時に1リットル補充すると考えてください。
455:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:44:36.50 tDfVZCTB.net
(4.7/5.7)^n=0.05
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
456:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:01:52.75 I/ak7vxZ.net
>>437
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
457:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:14:22.08 tDfVZCTB.net
最初の式を両辺のlogをとって変形しているだけ
458:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:20:48.58 FSXP587j.net
複素解析の部分分数分解で
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
459:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:31:24.22 I/ak7vxZ.net
>>439
どうもありがとうございました。
460:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:14:57.52 tHJleHyC.net
>>431
レスありがとうございます。
>422は>423の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
461:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:49:19.91 Con3FeDK.net
>>433
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
462:１３２人目の素数さん
20/07/21 10:04:50.41 tHJleHyC.net
>>422
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満た�
463:ｵたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？ 蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ https://i.imgur.com/b1r26CQ.jpg
464:１３２人目の素数さん
20/07/21 11:44:07.42 Ej/+Q6H+.net
>>434
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
465:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:29:30.94 Ej/+Q6H+.net
>>445
乱数発生させた（いわゆるモンテカルロシミュレーションの）結果
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
466:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:45:28.10 Ghc4RW5f.net
>>444
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
467:１３２人目の素数さん
20/07/21 14:42:00.42 qIxFlRCH.net
x(0) = 100, x' = x/20 から x = 100 exp(t/20) なので exp(t/20) = 1/2 となる t
468:イナ
20/07/21 15:14:03.97 kN76GBZR.net
前>>431
>>442
θ傾けた半球型の丼鉢の水深がもっとも深い位置で1-sinθです。
もっとも深い地点t=0から水面1-sinθまで円の面積を足し集めたんだったと思います。
469:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:35:47.26 9tQwpxFD.net
π＝180度 だから 1ラジアン＝π／１８０度
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
470:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:46:57.24 +UXAZdD6.net
>>447
>>449
早速のレスありがとうございます。
作図しながら解説を味わいます。
471:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:01:02.74 Mg42vVn3.net
>>450
考えればわかるだろ
ってか間違ってねえか？それ
472:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:14:30.51 ntb0ZuKd.net
△ABCが与えられたとき、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとり、それらを結ぶと正三角形（△PQR）となるようにしたい。
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
473:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:19:08.17 8uN4k8pv.net
なんの話をしてるの?
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
474:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:41:49.06 Mg42vVn3.net
>>453
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平�
475:sな直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
476:１３２人目の素数さん
20/07/21 17:20:37.32 Ej/+Q6H+.net
>>453
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
単なる遊びです。
477:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:17:00.23 BRWO1FKC.net
>>454
まさか本当に1[rad]=π/180°だと思い込んでるんじゃなかろうね？
478:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:29:33.65 Q73vct+1.net
>>440
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
479:１３２人目の素数さん
20/07/21 19:51:45.93 Con3FeDK.net
>>443
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
480:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:04:28.44 Con3FeDK.net
まあ
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
481:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:37:51 Con3FeDK.net
証明は
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
482:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/21 23:23:45 kN76GBZR.net
前>>449
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
483:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:36:13 RbNL0Wrv.net
次の連立方程式を解け。
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
484:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:39:44 9JMwZhpJ.net
lim(x→0,y→0)の極限値
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
485:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:09:53 mIrEMvJa.net
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
486:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:12:03 mIrEMvJa.net
>>463
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
487:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:20:17 hoJC5UHO.net
>>464
この手の極限は極座標変換して考えるのが定石かな
488:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:44:42 h9mML7y2.net
>>466
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
489:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:49:46 hoJC5UHO.net
solveを外せば他の解も見れる
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
490:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:51:08 h9mML7y2.net
>>468
wolfram大先生、大変失礼しました
表示を増やすタップすると全部ありました
491:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:52:33 h9mML7y2.net
こういう巡回型の式でx<y<zなる実数解は持たない、って一般に言えたりするんかな
492:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:14:43 h9mML7y2.net
いや、うまく関数形とればありうるか
493:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:26:33 h9mML7y2.net
例えば
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
494:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:32:08 h9mML7y2.net
どうせ出すならこういう引っ掛けがある方が面白いな
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
495:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:46:32 98nkM0Qa.net
>>465
答えて頂きありがとうございます
496:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:48:11 98nkM0Qa.net
>>467
極座標で上手くいかなかったのです
497:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:49:07 98nkM0Qa.net
もしよろしければ極座標変換での導出も教えていただきたいです…
498:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:03:06.77 hoJC5UHO.net
一般に、
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
499:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:06:48.67 hoJC5UHO.net
>>478
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
500:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:15:53.77 hoJC5UHO.net
>>476
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
501:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:40:57 YueyQrDp.net
>>477
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
502:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:47:02 hoJC5UHO.net
>>481
親切に見せかけて意地悪でワロタ
503:１３２人目の素数さん
20/07/22 03:33:57 98nkM0Qa.net
>>481
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
504:１３２人目の素数さん
20/07/22 07:34:04.52 oygEfVDW.net
>>462
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
505:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:39:00.16 h9mML7y2.net
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
506:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:54:36.00 2+maBY71.net
>>485
今月のはやめとけ
507:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:55:27.98 h9mML7y2.net
>>485
nは2以上の自然数とします
508:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:58:23.20 h9mML7y2.net
>>486
数学は自由です
509:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:00:50.83 zRV0rVgH.net
>>483
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
510:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:07:46.10 +hG6alzn.net
>>488
数学の世界を盛り上げようとがんばってる人の足引っ張ったらあか�
511:�
512:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:18:35.28 h9mML7y2.net
>>490
よくわからないです
513:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:56:53.84 oygEfVDW.net
h=1/2の盃とすると
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
514:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:59:07.71 U4xy9LSi.net
x = y = z,
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
515:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:08:46.39 bX0IOpf0.net
>>491
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
516:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:25:43.90 U4xy9LSi.net
>>473-474
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
517:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:36:23.14 8WMoMZNt.net
X1, X2, · · · , Xn を独立で同分布な確率変数とする
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
518:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:01:26 hoJC5UHO.net
>>489
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
519:ID:1lEWVa2s
20/07/22 14:04:20 92x6EIRK.net
大体3.14でよし。
520:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:08:30 LggH8/mi.net
>>496
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
521:高橋
20/07/22 14:39:48.32 aQ2MPjL1.net
こんにちは
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
522:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:40:34.14 Mq7sSAPW.net
>>492 その先も検算してみてよ。
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413
523:099107351 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=1.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 20.322037016506141867920614451404025971 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=2.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 90.000000000000000000000000000000000000 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので 計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
524:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:02:26.88 aQ2MPjL1.net
表記が反映されなかった問題もあるので、それはお許しいただきたいです
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
525:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:03:59.60 vA4uV7us.net
大体5分12秒でよし。
526:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:03:59.69 YUV8uy9s.net
加法群Qの自己同型群は何か。
誰か教えて
527:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:04:31.05 vA4uV7us.net
R←Sの恒等射でよし。
528:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:05:16.36 vA4uV7us.net
RrS=Qとする。
529:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:10:06.99 FCXnFCw8.net
>>502
丸投げw
運営にアクセス禁止の通報しておくわ
530:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:10:31.89 9OOM9ADs.net
アーベル群。
531:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:11:04.77 wJE2kxwP.net
>>504
Hom_Z(Q,Q) ≡ Q
via
f → f(1)
532:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:12:22.80 9OOM9ADs.net
彼はほもです。
533:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:28:49 U4xy9LSi.net
>>497
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
534:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:39:19 aQ2MPjL1.net
丸投げというか、適当な回答が
535:分からなかったので… 気分を害してしまったのならごめんなさい
536:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:44:54 hoJC5UHO.net
>>504
多分>>389と同一人物だと思うけど>>391と同様に考えればわかる
Q の自己同型は f(1) の値によって完全に決定されることがポイント
あとは自力でどうぞ
537:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:51:17 hoJC5UHO.net
>>512
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
538:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:53:25 aQ2MPjL1.net
自分の回答がなく、解説もないため、あっているか不安になっただけです。
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
539:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:55:36 HUztn5qQ.net
>>515
荒らし。
540:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:56:36 YUV8uy9s.net
>>513
色々と考えてみます。他人を当てにしてたわ。スマソ
541:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:43:06.29 b7G5tN1p.net
ある3次方程式の実数解がcos(nπ/m)の多項式として表され、かつその解が立方根を使わなければ表せないとき、分母のmは9が最大なのでしょうか。
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
542:ID:1lEWVa2s
20/07/22 16:49:52.09 mCV6fm3Q.net
荒らし。
543:ID:1lEWVa2s
20/07/22 16:50:10.37 mCV6fm3Q.net
答えなくていい。
544:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:52:07.12 U4xy9LSi.net
>>514
丸投げって云うんだから砲丸投げのことだろうけど。
もしかして円盤投げのこと？
545:１３２人目の素数さん
20/07/22 16:57:34.73 UXPQRmtu.net
係数は整数だとして、それが解になるのは限定的、例外的なんじゃ?
たぶん11はない気がするが ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
546:イナ
20/07/22 17:01:51.95 dV5VbxEJ.net
前>
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
547:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:20:36 UuTpJXc0.net
>>501
芸人に恥をかかせたらアカンｗ
548:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:23:18 UuTpJXc0.net
>>502
これが溶けない裏口シリツ医は沢山いそう。
549:イナ
20/07/22 17:33:04.28 dV5VbxEJ.net
前>>523
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=1/6√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
f(1/2)=-1/2
f(0.55)=-0.2212
f(0.6)=0.128
f(x)=0の解は0.55＜x＜0.6
x=0.57……ぐらいで探す。
550:１３２人目の素数さん
20/07/22 17:44:28.88 M5EzV2Sa.net
・円周率 π ← こいつは径と周の長さの比について、
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。
・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？
例えば、素数定理
n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近
551:する ↑ 素数の分布の話をしてるのに、 何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
552:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:10:56.08 aKcrT+jM.net
性懲りもなくこんな問題を考えてみた。
ワイングラスの曲線が正弦波 y=sin(x) のときに何度傾ければ半分のワインが残るか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
553:ID:1lEWVa2s
20/07/22 18:12:16.22 fTaQNBwH.net
荒らし。
554:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:14:18.91 SUQDKCXa.net
>>527
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
555:イナ
20/07/22 18:17:40.45 dV5VbxEJ.net
前>>526
>>463
x=0.58268652……
もうちょっとなんだがな。
556:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:26:57.63 xOHIzM6o.net
>>527
どっちも発見して発明しているけど
557:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:35:09.71 sHKeZ2N3.net
ここにいる人達は皆数学科？
私は物理ですが
558:１３２人目の素数さん
20/07/22 18:51:35 F70Y3Sfc.net
>>533
俺は接客業
559:１３２人目の素数さん
20/07/22 19:46:44.31 h9mML7y2.net
>>494
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
560:１３２人目の素数さん
20/07/22 19:57:21.13 M5EzV2Sa.net
>>530 >>532
もう1回発見してみせろ、
いま、おれの目の前で。
561:１３２人目の素数さん
20/07/22 20:08:42.38 fAobprP+.net
数列{a[n]}=(1+1/n)^n、a[n]を10進法表記した桁数をb[n]とする。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
562:イナ
20/07/22 20:31:52.73 dV5VbxEJ.net
前>>531
俺は接客はしない。顔バレしたくないから。
563:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:12:12.59 UuTpJXc0.net
>>531
Wolfram先生によると
1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))
0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
564:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:15:26.09 UuTpJXc0.net
>>538
今やネット上だとこういうのも可能らしいね。
URLﾘﾝｸ(www.appps.jp)
565:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:32:30.20 SUQDKCXa.net
>>537
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
566:イナ
20/07/22 21:39:56.10 dV5VbxEJ.net
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
567:イナ
20/07/22 21:39:57.63 dV5VbxEJ.net
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
568:１３２人目の素数さん
20/07/22 21:55:36.91 ERxfi+s/.net
>>535
それがホントに面白い問題なら何故一月待てん？
569:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:24:19.00 h9mML7y2.net
>>544
自分に勘違いがなければ元の問題と>>485はかなり違う種類の問題になっていると思います
自分は元の問題よりこっちの方が気になったので書きました
570:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:28:40.49 K+HW4I79.net
y = 1/x, y = √(1+x^2), y = √(x^2-1)はどれもそのグラフは双曲線の一部です。
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
571:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:31:46.74 K+HW4I79.net
あるいは>>546のグラフがどれも双曲線の一部になっているということを利用して計算が簡単になったりとかいうことはありますか？
572:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:41:19.51 h9mML7y2.net
>>546
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
573:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:46:25.05 h9mML7y2.net
>>547
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
574:１３２人目の素数さん
20/07/22 22:56:01.60 FASMCX2l.net
>>541
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
575:１３２人目の素数さん
20/07/22 23:44:34.11 h9mML7y2.net
>>495
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
576:１３２人目の素数さん
20/07/23 00:37:53.79 dcuk2yC7.net
>>550
b[n]は桁数やで？すべて自然数nについてb[n]=1なんだから、そんなこと起こるはずがないやろ。
もしかして>>537の桁数っていうのは小数点以下の桁数のことか？そういうことならb[3]の時点で無限大に吹っ切れてるだろ。
nの素因数が2と5のみのときだけ小数点以下の桁数は有限で、それ以外は無限や。当然「任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]」など成り立つはずもない。
577:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:32:29 oIb80NuQ.net
2×2の正方行列Aが逆行列を持たないとき、AB=[1+ε ε][0 1]となる2×2の正方行列Bが存在することを示せ。
578:１３２人目の素数さん
20/07/23 01:56:28.63 sHXJwhgv.net
>>553
Aが零行列のとき無理じゃないか？
579:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:09:46.51 sHXJwhgv.net
>>518
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
580:１３２人目の素数さん
20/07/23 05:19:05.74 sHXJwhgv.net
>>554
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
581:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:33:35 XqmaF/l0.net
>>555
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
582:１３２人目の素数さん
20/07/23 06:34:17 XqmaF/l0.net
間違えた
cosの多項式と書いてあった
583:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:08:47.52 sHXJwhgv.net
>>557
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
584:１３２人目の素数さん
20/07/23 07:10:54.86 8crzF/FX.net
>>538
さすが大先生！
新型コロナ感染防止にdoggy styleを推奨されていらっしゃるｗ
585:450
20/07/23 08:22:14 D+mhgYBi.net
失礼 π＝180度 だから
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
586:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:36:54 sHXJwhgv.net
>>555
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
587:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:50:40 ZzpLlSBv.net
>>561
そりゃ「直角三角形ABCにおいてsinA=BC/ACであることを示せ」みたいな問題が出されても困るだろうに
>>450はこれと同レベル、要は定義を確認するだけであってこれがわからないのはラジアンが何かを知らないだけ
もちろんわざわざ問題として教科書や参考書に載せる程のことではない(というか導入のところに書いてあるよね)
588:１３２人目の素数さん
20/07/23 08:58:29 MCHCcwRS.net
f(n), g(n)を自然数の集合から正の実数の集合への関数とし、
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
589:１３２人目の素数さん
20/07/23 09:03:35 sHXJwhgv.net
>>564
反例
f(n)=n、g(n)=n^2、a=2、b=1
590:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:44:55.81 p11O9Gfd.net
>>528
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
591:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:52:52 oqyyALPI.net
これをx,y,X,Yについてそれぞれ解きたいんですけど、なんか綺麗な方法ありますかね？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
592:１３２人目の素数さん
20/07/23 10:58:44 2vzJSD+l.net
φ(m)が3の倍数のとき
eg m=18,19,26,27,‥‥
593:イナ
20/07/23 12:33:22.18 0IdoqGiD.net
前>>543
>>566傾けすぎだよ。
水面は変曲点より上にあるだろう。
594:イナ
20/07/23 12:44:18.63 0IdoqGiD.net
前>>569
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
595:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:45:53.18 p5qspa7O.net
自分では分からないのでお願いします。
URLﾘﾝｸ(imepic.jp)
596:１３２人目の素数さん
20/07/23 12:47:33.62 8TLCIDnR.net
>>564
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
597:１３２人目の素数さん
20/07/23 13:37:45.63 8TLCIDnR.net
>>571
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
598:イナ
20/07/23 13:46:01.73 0IdoqGiD.net
前>>570
>>571唐揚げ食べ放題？
なるほどね。問題の題と掛けたわけね。
599:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:28:23.24 AeLMRh9/.net
>>549
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
600:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:38:45.68 RXdNPMf7.net
>>528
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,
601:y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)} ■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)]) ・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) } = asin(x) -∫dx √(1-xx) ・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx) = x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx) = 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x) ・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx) =2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) ) ・R=acos(y), q=.... ・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分} ■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ) ・∫dy acosy^2 = y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1 = y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi ・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a)) 参考(作図アプリ:Geogebra) https://i.imgur.com/y8RExNH.gif
602:１３２人目の素数さん
20/07/23 15:41:03.81 RXdNPMf7.net
>>576
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
603:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:03:58.88 8crzF/FX.net
>>576
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
604:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:06:25.62 RXdNPMf7.net
>>577 (追加)
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考: URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
605:１３２人目の素数さん
20/07/23 16:39:46.71 oqyyALPI.net
>>567
自分で解決しました
606:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:23:10 U+hAfy1z.net
√37をオイラー・ペル方程式とテイラー展開を使って小数第6位まで求めろって問題を出されたんだけど、ぶっちゃけこれどうやって求めればいい？
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
607:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:44:48 leZfEHQl.net
>>581
a=1/2, x=1/36
最後に6倍
608:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:45:27 v06GlX3Q.net
うーん
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
609:１３２人目の素数さん
20/07/24 00:56:33 U+hAfy1z.net
>>582
すみません、アホなんで途中の式も欲しいです
610:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:06:27.29 nIyo4k+q.net
>>579
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
611:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:08:16.69 UY7
612:6Zqbm.net
613:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:13:38.10 v06GlX3Q.net
882/145は約6(10^1オーダー)
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
614:１３２人目の素数さん
20/07/24 01:23:50.97 c22pr0dU.net
>>586
ん？
>>573が証明の方針を与えていると思うが
何がわからないのかわからないと説明しようがない
級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
>>571の級数におけるコーシーの条件を積分の形で書けばほとんど明らかだと思う
615:イナ
20/07/24 01:50:50.83 dhPtC+Xn.net
前>>574
>>585
2.97322……という数値からして端まで行くよりも手前でワインは途切れるということだと思う。三角関数なんだから当たり前だけど。
616:文部大巨人
20/07/24 02:23:05.19 cJjLl+Ec.net
小学生のうちに覚えさせておきたい数字、
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
617:１３２人目の素数さん
20/07/24 02:24:18.16 cJjLl+Ec.net
( ^～^) …
618:１３２人目の素数さん
20/07/24 05:31:49.94 bLwR5Hy+.net
S[n] = Σ[k=1,n] k^m とする。
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
619:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:00.51 Ob5kvej6.net
>>585
1/2のときでも辺縁からはこぼれてる
辺縁に近すぎて見えないだけ
接線を考えれば明らか
620:１３２人目の素数さん
20/07/24 06:59:44.45 Ob5kvej6.net
>>580
どうやって解決したか書いてけよ！
621:１３２人目の素数さん
20/07/24 07:28:01.46 v06GlX3Q.net
>>592
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
622:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:22:11.06 nIyo4k+q.net
>>593
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
623:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:32:39.35 nIyo4k+q.net
>>590
19×19までの九九
俺は下ネタ語呂合わせで覚えたけどｗ
624:１３２人目の素数さん
20/07/24 08:43:15.15 v06GlX3Q.net
>>595
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
625:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:48:27.14 U+hAfy1z.net
>>587
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
626:１３２人目の素数さん
20/07/24 10:49:43.06 U+hAfy1z.net
>>599
ごめん、訂正
なんでもなかったわ
627:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:19.93 AqvcbG6k.net
>>594
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
628:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:02:20.95 cJjLl+Ec.net
ここじゃなくて、ペルに聞いて来いやぁあ？
629:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:16:05.21 miq5sn2E.net
>>581
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
630:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:27:09.66 AqvcbG6k.net
>>601 (補題)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
631:１３２人目の素数さん
20/07/24 11:35:21.83 v06GlX3Q.net
ああ、そういうことか
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、
632:って話か てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
633:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:31:16.39 +dyQnkLy.net
ある飲食店に人が来るまでの時間をX(時間)とし、パラメータ5の指数分布に従うとする(パラメータ5の意味は、来るまでの時間の期待値は1/5=12分)
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
634:１３２人目の素数さん
20/07/24 12:44:37.71 5hDRa529.net
>>606
ピッタリ5分ならもちろん0ですな
635:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:27:11 vZ8bCY76.net
サイコロを投げることを繰り返す。XkはK回目に6の目が出たら1、それ以外の目が出たら0とする。
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
636:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:50:21.39 iAiUGZLY.net
>>606
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
637:１３２人目の素数さん
20/07/24 13:53:34.19 iAiUGZLY.net
>>606
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
638:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:08.48 iAiUGZLY.net
>>606
３０分待ったが客は０だったとして、その後５分以内に客がくる確率はいくらか？
639:１３２人目の素数さん
20/07/24 14:09:46.10 U+hAfy1z.net
大数の強法則を誰か例に例えながら教えてくれ
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
640:１３２人目の素数さん
20/07/24 15:42:21.08 AqvcbG6k.net
大数を読みましょう^^
641:A欄既卒
20/07/24 16:01:49.33 cJjLl+Ec.net
大学への数学！？？
642:１３２人目の素数さん
20/07/24 17:27:27.35 bCcZVAHh.net
た い す う
643:１３２人目の素数さん
20/07/24 18:06:43.90 cJjLl+Ec.net
たいすう ってあれだろ、
丸太じゃない方のLog
644:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:47:46.32 ph3bki/u.net
(t^2-1)^(r-1/2)=煤mm=0~∞ ］｛ Γ(1/2-r+m)・t^(2r-1-2m)・1/m！・1/Γ(1/2-r)｝
この式の導出過程が知りたいです
645:１３２人目の素数さん
20/07/24 23:49:16.30 ph3bki/u.net
シグマ記号が消えてますがm=0~∞のSUMです
646:
20/07/25 00:09:54.09 LdWPvIRs.net
前>>574
>>528
y=sinx
y'=cosx
点(a,sina)における接線y=xcosa-acosa+sinaは、
y軸と点(0,sina-acosa)で交わり、おそらく3π/2＜x＜πでx軸と交わるときワインは半分こぼれる。
接線の傾きは｛sina-(sina-acosa)｝/a=cosa
何度かは90°引いて鋭角で答えていいと思うんやが、
やっぱり積分せないかんのか。
こんなシンプルな立体だれかがやってると思うんやが。