20/07/17 19:27:37.48 bDjRL7OB.net
□ABCDはAB=4,BC=5,CD=6,DA=7,BD=xである。
□ABCDが円に内接するよう、実数xの値を定めよ。
266:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:39:40.31 ttgxO5zW.net
みなさん、ありがとうございました。
>>252
そうです。松坂和夫の集合位相入門にはわざわざ「p⇒q」はpが偽なら真であるということを述べていますし、空集合がすべての集合の部分集合であることを証明したりもしています。
267:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:41:25.09 UeyQb7DG.net
>>254
ここまで典型的な問題が質問されるのも逆に新鮮みを感じる。
∠BAD=θとすると∠BCD=180°-θで、cos∠BAD=cos∠BCD=cosθ
△BADに余弦定理で x^2=4^2+7^2-2*4*7cosθ
△BCDに余弦定理で x^2=5^2+6^2-2*5*6cosθ
x^2とcosθについての2元1次連立方程式として解く。
268:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:45:15.66 bDjRL7OB.net
>>256
ありがとうございます。間が抜けていまして、これはxとθの連立方程式ですね
cosθが入っているので解けないと勝手に勘違いしていました。
269:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:17:05.20 l8XG6+rW.net
>>236
母分散の値がわかっていれば推定する必要はないのでは？
母分散の値が不明なときに/(n-1)になるんじゃなかったかな？
270:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:20:37.65 l8XG6+rW.net
>>221
これm<cでないと復号できないみたい。
271:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:27:27.18 0QWA/Fv2.net
>>255
集合・位相入門って、あとがきかなんかで、いくつかの命題で空集合を敢えて除外した理由とか書いてあった気がするが
272:１３２人目の素数さん
20/07/17 21:19:02.91 bL69k409.net
「前提が成り立たない場合は正しい」という論理の基礎がわかってない人への配慮でしょ
273:１３２人目の素数さん
20/07/17 21:23:39.48 bL69k409.net
>>253
最小二乗法の正規方程式を代入するだけ
行列計算が結構必要だよ
数式が扱えない所でやるもんじゃ無いな
274:１３２人目の素数さん
20/07/17 23:24:53.00 RJQRB/S9.net
>>262
なるほど、今度勉強してみます
自分が考えてた方向性は
「キュムラントの擬再現性」的なもの
2次キュムラントである分散は
(再現部分) × (N(N-1)÷N^2)
となった
3次キュムラントならば
(再現部分) × (N(N-1)(N-2)÷N^3)
となり
一般にi次キュムラントは
(再現部分) × (N(N-1)…(N-i)÷N^i)
と
i乗と階差i乗の分だけズレが生じる
調べてみたらこの方向性はK-statistics(K統計量)とかの話らしいですね
275:１３２人目の素数さん
20/07/17 23:50:45.72 RJQRB/S9.net
うーん、正確には4次以上のところでは
(再現部分)の中にさらに擬再現な項も現れてくる(？)
276:イナ
20/07/17 23:58:32.43 ++P9BJNj.net
前>>206
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
277:イナ
20/07/17 23:58:37.79 ++P9BJNj.net
前>>206
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
278:
20/07/18 00:12:50.00 1dbHrhNp.net
前>>265-266図を描くとBD≒8だから、あってる。
279:
20/07/18 00:18:20.53 1dbHrhNp.net
前>>267分数式で表すなら、
√53041/29
280:１３２人目の素数さん
20/07/18 01:20:53.74 xiJ191gm.net
>>239
ここでの補正部分はn/(n-1)×(N-1)/Nであるのに
多くの論説でn/(n-1)しか計算で出てこないのは
サンプルの変数x_iたちを独立とみなして計算しているからか
x_i≠x_j(i≠j)という束縛条件の有無
つまり同時抽出か反復抽出かで若干結果が異なる
自分のは同時抽出でx_iたちが独立ではないときの計算だけどこれは面倒だからあまり教科書ではされていない(？)
母数Nが大きいとき、これらにほとんど差異はなくなる
281:１３２人目の素数さん
20/07/18 12:28:48.73 r2iC/k0g.net
>>254
トレミーより AC･BD = 4･6 + 5･7 = 59,
また
BD = x = √(59･31/29) = 7.941597164
AC = y = √(59･29/31) = 7.429236057
282:１３２人目の素数さん
20/07/18 12:45:46.60 r2iC/k0g.net
対角線 AC と BD の交点をXとすれば
AX = 14L, BX = 10L,
CX = 15L, DX = 21L,
AC = 29L, BD = 31L,
ここに L = √{59/(29･31)} = 0.25618
283:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:07:33.47 gExieBKv.net
すごいな。こんな問題にすら計算機教が現れるのか。たいした釣り師だ。逆に感心する。
284:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:08:12.51 g+jGXdCT.net
>>221
暗号化前の数値mが123の間違いだな。
暗号はｎの3047
n=3047からm=123へ公開鍵(c=42817,e=361)を使って復号できるか？
### 暗号解読 ###
rm(list=ls())
# 公開鍵 (c,e)
c=42817
e=361
# 暗号
n=3047
# 素因数分解してdを決定
library(gmp)
(c1=gmp::factorize(c)) # 計算機にcを素因数分解させて
(d=prod((c1-1))) # 素因数-1の積dを求める
# fを虱潰しに探す
fmax=1e6 # 探索させる秘密鍵 (c,f)のｆの上限=10^6
f=0 # 初期値
flg=FALSE # 条件をみたすか否かのフラッグ
re.f=NULL # fの候補を容れる数列
# fmax以下でf*eをdで割った余りが1となるfの値を数をre.fに追加する
while(!flg | f<=fmax){
f=f+1 # 1増やして
flg <- (f*e)%%d==1 # f*e (mod d)が1に等しいか?
if(flg & f<=fmax) re.f=c(re.f,f) # 等しければre.fに追加
}
re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
decode=NULL # 秘密鍵(c,f)を使っての復号
for(f in re.f){
decode=append(decode,asNumeric(mod.bigz(pow.bigz(n,f),c)))
}
decode
285:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:38:45.87 g+jGXdCT.net
復号完了！
> re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
[1] 18321 60181 102041 143901 185761 227621 269481 311341 353201 395061 436921
[12] 478781 520641 562501 604361 646221 688081 729941 771801 813661 855521 897381
[23] 939241 981101
> decode
[1] 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123
[21] 123 123 123 123
286:１３２人目の素数さん
20/07/18 14:48:46.25 HGNI/JlE.net
例えば、符号理論とか暗号理論とか数学が現実に役立っている理論において選択公理を使わなければ証明できないような応用上有用な結果ってあるんですか？
287:１３２人目の素数さん
20/07/18 15:00:38.02 c0qYyQXD.net
>>275
確かwikiの選択公理のとこに選択公理ないと証明できない定理の一覧みたいなのあったと思うけど
288:１３２人目の素数さん
20/07/18 15:54:20.20 V+gucW7C.net
計算機狂に捧ぐ
176: 2020/06/02(火) 14:05:44 ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、 均衡素数を20個見つけよ
289:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:13:59.41 gExieBKv.net
回りくどい言い方をしているが、「"6の倍数-1"ではない素数を20個挙げよ」というだけだな。
290:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:34:57.33 ILbvGgBu.net
いや
x以下の≡1 (mod 6)である素数と≡5(mod 6)である素数の数が等しくなるxじゃね？
. 5
7 ◯
11
. 13 ◯
17
. 19 ◯
. 23
. 29
31
37 ◯
‥‥
じゃね？
291:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:43:28.40 0zzOlKhr.net
ペアノの公理からsuc(x)≠xってどう示せますか
292:１３２人目の素数さん
20/07/18 17:02:27.36 ILbvGgBu.net
>>280
succ(0)≠0 (∵ 公理)
succ(x)≠xとする。
succ(succ(x))=succ(x)とする。
この時succ(c)=x (∵ 公理)
コレは仮定に矛盾。
∴succ(succ(x))≠succ(x)
293:１３２人目の素数さん
20/07/18 19:12:25 g+jGXdCT.net
>>277
小中学生でも問題の意味がわかるような問題とか、暗号みたいに何かの役に立っている数理をプログラムするのが楽しい。
例えば、こういう問題。内容的には中学入試らしいね。
容量8Lの袋と容量5Lの袋を使って池の水を丁度4L集めたい。袋に目盛りはついていません。
袋から袋への移し替えは全量で行います。
池からとる水の量や池に捨てる水の量には制限はありません。
最初に片方に満たした作業を１回目として丁度4Lを集めるのに最低何回の移動が必要か？
294:１３２人目の素数さん
20/07/18 19:57:15 oF5UZ0tr.net
集合 S の元 x に対する命題 P(x) と、整数に値をとる関数 N(x) に対し、
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。
(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
が成り立つならば P(x) は真である。
このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。
295:１３２人目の素数さん
20/07/18 20:12:54 RTC5RHCh.net
プログラムって
操作の組み合わせを総当たりで試すんか？
296:１３２人目の素数さん
20/07/18 20:26:21.61 unuiJqv3.net
掃出法で解きました合ってますか？合ってなかったから回答と途中式欲しいです
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
297:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:11:31.90 azmKl2Z7.net
次の２階微分方程式について，ラプラス変換を用いて解け.
y′′ − y′ − 6y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1
途中式もお願いします
298:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:14:57.49 LpM8jle/.net
多分筆記体のbなんだろうがhに見えるな
299:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:26:01.09 ZQ2fc39a.net
uもaの出来損ないみたいで気持ち悪い
300:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:29:05.79 xiJ191gm.net
>>283
命題ってただのS→{真,偽}のこと？
それなら偽の逆像の元で|N(x)|の最少値を探せば矛盾するから逆像は空集合、よって全て真が言えそう
301:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:
302:43:48.61 ID:gExieBKv.net
303:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:59:31.88 r2iC/k0g.net
>>285
(上)
連立１次方程式
4x -3y -4z +3u -4v = -5 … (1)
-x +y +2z -v = 1 … (2)
-x -2z -2u +5v = 1 … (3)
を解け。
(略解)
(1) + (2)･3 + (3) より
u -2v = -1 … (4)
u= 2b-1, v=b,
(2)+(3)+(4)･2 より
-2x +y = 0,
これらより
[x] [-2a+b+1]
[y] [-4a+2b+2]
[z] = [a]
[u] [2b-1]
[v] [b]
ただし a,bは任意。
304:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:00:44.95 gExieBKv.net
>>289さんの方針でも清書してみました。
A={x∈S∥P(x)が偽} , B={|N(x)|∥x∈A} とする。
非負整数の集合であるBの最小値を与えるAの要素のうちの1つをx1とする。
(iii)の対偶から、P(x)が偽であるならば「|N(y)| < |N(x)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在する」が成り立つ
したがってP(x1)が偽であるから|N(y)| < |N(x1)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在することになるが、これはx1の最小性に矛盾する。
305:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:04:03.59 ZQ2fc39a.net
|N|の値域で帰納法使えばいいんじゃないの？
306:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:12:42.43 g+jGXdCT.net
>>277
N以下の素数で均衡素数を表示させてみた。
F <- function(N){
library(numbers)
prime=Primes(N)
n_p=length(prime)
f1 <- function(x) x%%6==1
f5 <- function(x) x%%6==5
p1=prime[sapply(prime,f1)]
p5=prime[sapply(prime,f5)]
f <- function(p) sum(p1<=p)==sum(p5<=p)
p=NULL
i=1
lp=length(p)
while(i <= n_p){
x=prime[i]
if(f(x)==TRUE) p=c(p,x)
lp=length(p)
i=i+1
}
p
}
> F(1e3)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e4)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e5)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e6)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
あとは知らん。
307:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:17:22.61 r2iC/k0g.net
>>286
0 = tt-t-6 = (t-3)(t+2),
より 特性根は -2, 3.
ラプラス変換を
y = a{e^(-2x) -1} + b{e^(3x) -1}
とおく。
これを与式に代入して解くと
a=0, b=1/3,
y = {e^(3x) - 1}/3.
308:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:20:20.76 /8opNUl+.net
>>291
ありがとうございます！掃出法でちゃんと解きなおせました
309:１３２人目の素数さん
20/07/18 23:27:53.72 V+gucW7C.net
>>294
計算機を使っても11個でお手上げ
ということですねわかりました
310:１３２人目の素数さん
20/07/18 23:39:26.08 azmKl2Z7.net
>>295
ありがとうございます
311:イナ
20/07/19 02:55:30.35 54rhSWVW.net
前>>268
>>282
1回目、5Lにとる。
2回目、8Lに移し替える。
3回目、5Lにとる。
4回目、8Lに3L移し替え8L満水、5Lに2L残る。
5回目、8L捨てる。
6回目、2L
312:を8Lに移し替える。 7回目、5Lとる。 8回目、8Lに移し替える。 9回目、5Lとる。 10回目、8Lに1L移し替え8L満水、5Lに4L残る。 ∴最低10回必要。
313:イナ
20/07/19 03:08:39.24 54rhSWVW.net
前>>299
>>282今仮に8Lの袋が満水で45°傾けて0.5L残る形状をしてたとしたら、
0.5×8=4(L)
∴最低8回必要とすることも可能。
314:イナ
20/07/19 03:13:52.63 54rhSWVW.net
前>>300あごめ、やっぱなしで。移して足し集めんなんで8+8=16(回)必要か。下手したら24回。
315:１３２人目の素数さん
20/07/19 03:28:40.17 Q0c7dRJp.net
傾けて半分にでけるんなら一発やん
316:１３２人目の素数さん
20/07/19 05:59:57.58 e2hOYqh2.net
>>297
コンピュータの使い方が下手だと解けないって問題かな
317:１３２人目の素数さん
20/07/19 06:01:02.12 HvlOJzdZ.net
放物線y=x^2のx≧0の部分をC、直線y=ax(a>0)とCの交点で原点OでないものをAとする。
C上の相異なる2点P(p,p^2),Q(q,q^2)に対し、直線PQを以下の全ての条件を満たすように定めたい。
それは可能か。可能ならばp,qをaで表せ。
（条件）
・0<p<a,a<q
・Cと直線OAと直線PQとで囲まれる3つの有限領域の面積が全て等しい
318:１３２人目の素数さん
20/07/19 08:51:57.00 w6BaQv4H.net
>>302
それだから問題を袋にした。
319:１３２人目の素数さん
20/07/19 08:52:40.08 VR45Obof.net
AB=5,BC=12,CA=13の△ABCにおいて、∠BCA=θ°とする。
360°<16θ<370°を示せ。
320:１３２人目の素数さん
20/07/19 09:41:49.25 w6BaQv4H.net
>>301
いや>299が想定した正解。
高校数学スレのグラフを使っての解法をプログラムして
値を変えても応用できるようにしただけ。
321:１３２人目の素数さん
20/07/19 10:50:24.47 w6BaQv4H.net
>>307
１３リットルの容器と７リットルの容器の移し替えで前者に１０リットルを満たすステップは１８回になったな。
プロラムにバクが紛れているかもしれんからもっと少ない回数で可能かもしれない。
１８回未満のステップがあれば提示希望。
13L 7L
1 13 0
2 6 7
3 6 0
4 0 6
5 13 6
6 12 7
7 12 0
8 5 7
9 5 0
10 0 5
11 13 5
12 11 7
13 11 0
14 4 7
15 4 0
16 0 4
17 13 4
18 10 7
322:イナ
20/07/19 11:18:32.16 54rhSWVW.net
前>>301
>>302題意より、それはできないよ。
袋にしたのは傾けて1/2にならないって意味だ。
放物線の回転体なら1/16になる。
半径1高さ1なら満杯でπ/2
45°傾けて∫[t=0→1]……dt
π/2-π/16=15π/32
満水:流出:残留=16:15:1
323:１３２人目の素数さん
20/07/19 11:35:51.27 w6BaQv4H.net
>>306
Wolfram先生によると
θ=22.6198649480404261729490108766797211594872729681881102887427570043581852608784595213388154454546402776839224441176...
だそうです。
324:１３２人目の素数さん
20/07/19 12:03:48.85 w6BaQv4H.net
>>308
１３Lと７Lだと１０Lを満たすのが一番ステップが多いな。
目的とする量を変化させてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
325:１３２人目の素数さん
20/07/19 12:16:25.84 w6BaQv4H.net
容器が21Lと１0Lの時は5と16が最小移動回数28回みたい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
326:イナ
20/07/19 13:29:13.36 54rhSWVW.net
前>>309
>>306
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5+0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
327:１３２人目の素数さん
20/07/19 13:48:16 kwUK2gxo.net
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
内田伏一『集合と位相』問16.6
(X, O)を位相空間とし、(Y, O_Y)をその部分空間とする。A⊂Yに対して、部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合は、位相空間(X, O)における
Aの導集合A^dとYとの共通部分A^d∩Yに一致することを示せ。
上の解答は見ただけで読んでいませんが、そうする必要は本当にありますか？
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明ではないですか？
328:１３２人目の素数さん
20/07/19 13:50:06 oSlxGVNN.net
自明ならすぐに証明できるはずですよね
329:いな ◆/7jUdUKiSM
20/07/19 14:27:57 54rhSWVW.net
前>>313訂正。>>306
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5÷0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
330:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:32:20 IjxIbCKw.net
>>306
tanθ=5/12 , tan(2θ)=120/119＞1=tan45°から 2θ＜45°すなわち 360°<16θ
0<x<π/2 で tanx＞x であるから tan(2θ-π/4)＞2θ-π/4
tan(2θ-π/4)={(120/119)-1}/{1+(120/119)}=1/239
2θ＜(π/4)+(1/239)＜(π/4)+(π/144)=370°/8
よって 16θ＜370°
331:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:38:08 w6BaQv4H.net
>>309
傾けるとこういう形になるのはイメージわくけど、体積計算はどうすればいい？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
332:306
20/07/19 14:40:44 IKMLtEXi.net
306（合計50点）
・12と13が挟む角θからtan2θを計算し、360°<16θを示す（18点）
・（注意）三角関数の計算によらない他の方針であっても勿論良い
・5,12,13の直角三角形を2つ張り合わせて、先の2θと図形的考察で16θ<370°（32点）
・三角関数などの考察を用いても勿論良い、テイラー展開を用いても良いが上下から不等式評価をしていなければ減点する
・（注意）ソフトウェアを利用した計算については、当該部及びその影響する部分に点を与えない。
333:306
20/07/19 14:42:07 IKMLtEXi.net
>>316
ゴミ、価値なし
334:306
20/07/19 14:42:46 IKMLtEXi.net
>>317
想定以上の素晴らしい解答
点数ではなく給付金を与えたい
335:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:44:30 w6BaQv4H.net
16θ=361.917839168646818767184174026875538551796367491009764619884112069730964174055352341421047127274244442942759105881...
∴示されたｗ
336:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:07:36.97 WIR0lTu1.net
>>317
0<x<π/2 ⇒ x < tan(x),
を使うのでござるか。
∴ 2θ - π/4 < tan(2θ -π/4) = 1/239,
∴ 16θ < 2π + 8/239 = 361.91785036°
誤差 0.0000112°
かなり近い…
337:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:50:10.37 v8DrEVQJ.net
f(x) を整数係数の 1 変数多項式とする。正の整数 n に対し、
有限個の n を除いて f(n) が素数となるような f は定数に限ることを証明せよ。
338:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:52:50.00 m6+VaLKl.net
f(a)=p⇒f(a+np)=p for almost every n
339:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:02:10.09 WIR0lTu1.net
>>304
弓形OPA = (1/6)(a-0)^3,
弓形PAQ = (1/6)(q-p)^3
が等しいことから、必要条件
q-p = a-0,
が出るが、さて････
OA： y = ax,
PQ： y = (p+q)x -pq,
の交点Xは (pq/(p+q-a), apq/(p+q-a))
340:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:33:10.24 kwUK2gxo.net
>>314
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明であり、集積点の定義をそのまま使った素直な解答だと思います。なぜ
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
のような解答なのかが分かりません。
341:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:51:41.26 WIR0lTu1.net
続き
OA： y = ax,
PQ： y = (2q-a)x - (q-a)q,
の交点Xは (q/2, aq/2)
題意から
p^3 -3aap + a^3 = 0,
３つの実根のうち 0<p/a<1 を満たすものは
p = 0.3472963553338607 a,
q = 1.3472963553338607 a,
かな？
342:イナ103
20/07/19 17:52:29.04 54rhSWVW.net
前>>316
>>318
ほかスレで最近やって欠円を足し集めるんだったような、
やろうとして放置してたような。
放物線1回転を満杯でπ/2になるのは∫[t=0→1]πtdt=π/2
∵半径√tだから。
343:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:06:08.32 ql20IEpN.net
>>327
一応「閉包」と言ってもXでの閉包とYでの閉包で異なる、ということに注意が必要ってことかな
まあYでの閉包=Xでの閉包∩Yなんだけどそれは少し考えておく必要がある
344:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:39:01.97 IjxIbCKw.net
>>304
直線OAと直線x=pの交点をB、直線PQと直線x=aとの交点をC、直線OAと直線PQの交点をEとする。
囲まれる3つの有限領域について、O-P間を領域S,P-A間を領域T,A-Q間を領域Uとする。
>>326からq=a+pのとき領域SとUの面積は等しいので、あとは領域SとTの面積が等しければよい。
点E(>>326における点X)のx座標は (a+p)/2 であるから、線分ABの中点がEなので△APEと△BPEは面積が等しい。
したがって、Sから△BPEを除いた領域とTから△APEを除いた面積は等しい。
∫[0~p](ax-x^2)dx=(1/6)(a-p)^3
3ap^2-2p^3=(a-p)^3
a^3-3a^2p+p^3=0
あかん、この3次方程式解けんわ。ギブアップ。
345:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:49:27.87 ql20IEpN.net
>>325
f(a+np)=pではなく無限個のnに対して(±pとは異なる)pの倍数になるってことかな
それで>>324が示せてますね
346:１３２人目の素数さん
20/07/19 19:37:07.01 G6h2CBYL.net
>>277
>>294
10億まで調べたが（GPUで10分ぐらい）それ以降のが見つからんな
import math
import sys
from tqdm import tqdm
MAX=int(sys.argv[1])
merk=int(MAX/20)
record=dict()
sosu=[2,3,]
kinko_sosu=[2,3,]
def isPrime(n):
m = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
for p in sosu:
if n % p == 0:
return False
if p >= m:
return True
cnt_1mod6=cnt_5mod6=0
cnt_p=2
for i in tqdm(range(5,MAX)):
if isPrime(i):
cnt_p+=1
sosu.append(i)
if i % 6 == 1:
cnt_1mod6 += 1
elif i % 6 == 5:
cnt_5mod6 += 1
if cnt_1mod6 == cnt_5mod6:
kinko_sosu.append(i)
if i % merk == 0:
record[i] = str(round(100*(cnt_5mod6 - cnt_1mod6)/cnt_1mod6,3))+'%'
print(kinko_sosu)
print(record)
100%|██████████| 99999995/99999995 [09:58<00:00, 167059.18it/s]
[2, 3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 163, 223, 229]
{5000000: '0.075%', 10000000: '0.057%', 15000000: '0.063%', 20000000: '0.056%',
25000000: '0.027%', 30000000: '0.041%', 35000000: '0.054%', 40000000: '0.038%',
45000000: '0.039%', 50000000: '0.011%', 55000000: '0.028%', 60000000: '0.02%',
65000000: '0.033%', 70000000: '0.033%', 75000000: '0.029%', 80000000: '0.028%',
85000000: '0.02
347:1%', 90000000: '0.021%', 95000000: '0.016%'}
348:１３２人目の素数さん
20/07/19 19:39:45.44 G6h2CBYL.net
>>333
まちがえた10億じゃなく1億
sys.argv[1]を10**8で実行した結果
349:１３２人目の素数さん
20/07/19 20:56:06 w6BaQv4H.net
>>329
残った水の立体イメージがわかないなぁ。
ようやく容器の３D画像が作図できた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
350:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:15:56 w6BaQv4H.net
>>331
Wolfram先生に聞いたらどうでしょうか？
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
351:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:25:08.67 w6BaQv4H.net
>>336
p = (i ((-2 + 2 i sqrt(3))^(2/3) (sqrt(3) + i) - 2 2^(1/3) (sqrt(3) + -i)) a)/(4 (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = ((-2 + 2 i sqrt(3) + 2^(1/3) (-1 - i sqrt(3)) (-1 + i sqrt(3))^(2/3)) a)/(2 2^(2/3) (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = (1/(1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3) + (1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3)) a
と表示されたので実数解なし？
352:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:36:13 J+xnJajH.net
実数係数の1変数3次方程式は少なくとも一つは実数解を持つことを示せ。
353:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:41:37 w6BaQv4H.net
y = x^3-3*a^2*x+a^3
dy/dx = 3*x^2 -3*a^2 = 3(x+a)(x-a)
-Inf -a a Inf
増加 0 減少 0 増加
実数解が3個ありそう。
354:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:58:30.92 w6BaQv4H.net
>>338
微分して=0は二次方程式になりその実数解は０か２個だから。
355:イナ
20/07/19 22:10:55.14 54rhSWVW.net
前>>329
>>318
残り水エリア全体のうち左1/4の地点の底がもっとも深くなる。
答えはπ/32になると思ったんやが、
∫[t=0→1]｛tθ-t√(t-t^2)｝dt=π/32
こうするしかないの。
356:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:37:18 ql20IEpN.net
f(p)=p^3-3a^2p+a^3
は
f(0)=a^3>0
f(a)=-a^3<0
極値は±a
だから
0<p<aの範囲内では実数解を1つ必ず含む
その解をβとしたとき
p=β、q=a+β
が題意を満たす唯一の場合
でいいのでは？
357:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:40:59 EEvJArmH.net
x→∞とx→-∞で符号が変わる
中間値の定理から根をもつ、終了
358:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:45:15 ql20IEpN.net
>>343
一般にはそれでいいけどこの場合は0<p<aの解の存在を確認する必要がある
359:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:50:04 IjxIbCKw.net
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
360:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:50:08 IjxIbCKw.net
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
361:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:19:01.19 ql20IEpN.net
>>346
解が1つしかないというのは確認しておくべきかと思いました
それとu^3,v^3に対してu,vは一般には1の3乗根1,ω,ω^2分不定性がありますが、そのうちどれが正しく0<p<aの解を与えるかってすぐ分かりますか？
362:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:39:12.35 w6BaQv4H.net
>>341
x＝x^2+t^2
α=1/2 (1 - sqrt(1 - 4 t^2))
β=1/2 (1 + sqrt(1 - 4 t^2))
t=[-1/2,1/2]
β-α=sqrt(1-4*t^2)
f=function(x) (sqrt(1-4*x^2))^3/6
数値積分して
integrate(f, -1/2,1/2)$value
> integrate(f, -1/2,1/2)$value
[1] 0.09817476
> pi/32
[1] 0.09817477
なのであってる。
363:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:44:51.84 IjxIbCKw.net
>>347
ωu+ω^2v 型と ω^2u+ωv 型は実数にならんやろ。
364:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:58:22.11 ql20IEpN.net
>>349
三つとも実数解ですよ
365:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:00:35.78 XR4sAz1M.net
>>350
そうなんか。ならわからんわ。すまんな。
366:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:11:24.07 nmySNGOX.net
d2(X,Y)=min{d(X,Y), d(X,P)+d(Q,Y), d(X,Q)+d(P,Y)}
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
367:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:22:46.71 RqCIPLxB.net
>>352
全然違うでしょ
その定義なら d2(P, Q) = 0 だし
368:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:28:43.79 nmySNGOX.net
そ、そうなの？
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
369:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:30:49.15 RqCIPLxB.net
>>354
え？ d は距離関数じゃないの？ d の定義は？
370:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:03.63 nmySNGOX.net
dの定義は
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
371:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:39.63 nmySNGOX.net
d(x,y)=d(y,x)だった
372:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:36:37.40 RqCIPLxB.net
一般的な距離関数か
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
373:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:39:17.81 nmySNGOX.net
あなるほどX=P,Y=Qと置けば矛盾してるってことですか？
374:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:42:56.87 RqCIPLxB.net
あれ、>>356の定義には非負性がないな
書き忘れただけ？
375:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:45:32.49 5DiCRFL4.net
ところで、もしかして擬距離にはなるとか？
376:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:46:56.48 nmySNGOX.net
非負性書き忘れました
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
377:
20/07/20 00:51:44.37 X97OSaWf.net
前>>341
>>348あってるのはわかる。微積やってたころは授業無視して内職したり帰って図書館行ったら母校の元校長先生がお勤めだったり、遅刻して校長室におかん呼び出されたり、そういう時期だから、微積やってたっていっても我流なんだよ。せやでちゃんと計算過程というか立式、式変形をやってほしい。それとも今の微積はこんなちんぷんかんぷんな分野に変わり果ててしまったのか？
378:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:16:13.32 nUrDVePB.net
>>363
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
379:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:27:08.61 nUrDVePB.net
>>363
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
380:イナ
20/07/20 02:04:18.52 X97OSaWf.net
前>>363
>>364
半分流れ出るのは20°ぐらい傾けたころか。
381:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:12:44.79 7L+So4zP.net
>>328
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
382:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:23:48.30 7L+So4zP.net
>>337 >>345-347
実根が1つのときはカルダノの解法が使えるけど、
実根が3つのときはチェビシェフT_3 ですよ。
ついでに
複素数の累乗根を求めるときは、一般には三角関数やその逆関数を使わざるを得ない。
それを「代数的」解法と呼ぶのはチョト違和感ある。
383:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:25:50.40 5DiCRFL4.net
なるほど！
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
384:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:31:35 5kHP8VXE.net
地上51階建ての超高層ビルの1階にある1つのエレベーターの昇りに50人の乗客が乗っている。
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
385:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:44:12 5DiCRFL4.net
一般に3次式は
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
386:イナ
20/07/20 03:58:11.49 X97OSaWf.net
前>>366
>>370エレベーターが止まる回数は、
51-2=49(回)
50人乗っていて必ずどこかの階で降りるなら、
2人以上降りる階が存在する確率は100%。
387:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:07:34.30 wDVO0y0E.net
上リーマン積分をinfU(f,P)になるようにU(f,P)を定義すると、［a,b］の分割Pとa≦x≦bで［a,x］の分割P*に対して、U(f,P)≧U(f,P*)としてもいいのでしょうか？
388:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:26:44.23 nUrDVePB.net
>>366
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
389:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:48:23.29 nUrDVePB.net
>>374
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
390:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:56:18.13 nUrDVePB.net
>>363
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp)
391:１３２人目の素数さん
20/07/20 08:09:56.40 nUrDVePB.net
放物線回転体でなくて半球面の容器だったら何度傾けたら半分が流出するんだろうな？
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
392:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:16:50.22 YQeFWcOT.net
なんでn次元球の体積にガンマ関数出てくるの？？
393:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:18:46.51 5DiCRFL4.net
まあガウス積分から出ると言えばそれまでなんだけど、何か不思議な感じはする
何か他の説明もあるかもね
394:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:44:43.18 5DiCRFL4.net
ガンマ関数のせいでπのべきが2次元ごとに上がる仕組みになるけど、これの幾何学的な見方あるのか気になるわ
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
395:１３２人目の素数さん
20/07/20 10:28:42.34 7L+So4zP.net
>>371
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
396:１３２人目の素数さん
20/07/20 11:14:37.47 TUZtsszF.net
>>373
ここは大学レベルの解析できる人いない。大学で聞きな。
397:イナ
20/07/20 12:07:25.70 X97OSaWf.net
前>>372
>>376
83年やったら赤本で解いとるな。俺を押しあげた原動力やないか。
体積Vを傾きθの関数として式で表したりはせえへんのやな。
398:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:15:50.15 8U06FTgH.net
>>373
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
399:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:17:54.56 nmySNGOX.net
R^2 の部分集合A;B を
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
400:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:23:45.00 Q6FR/3IX.net
n次元ガウス積分を球殻の積分に変換して、n次元球殻の式を求めて、 n次元球体積 を計算。
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れ�
401:髣摎Rに思い悩むこともない。
402:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:40:57 8U06FTgH.net
>>385
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
403:１３２人目の素数さん
20/07/20 13:19:47.04 XR4sAz1M.net
>>385
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
404:１３２人目の素数さん
20/07/20 14:27:26.64 s1vVv4OY.net
加法群Qから加法群Zへの準同型をすべて求めよ。
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
405:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 14:59:24 X97OSaWf.net
前>>383
>>375二次関数なのか？
Ｖ=π(θ-63.43495)^2/(2×63.43495^2)
406:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:06:23 8U06FTgH.net
>>389
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
407:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 15:13:29 X97OSaWf.net
前>>390
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
408:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:18:27 nmySNGOX.net
>>388
なるほど(2)そんな感じで変形すればすぐ00って分かるのか・・・
本当助かりました
409:ID:1lEWVa2s
20/07/20 16:13:58.63 RzdnH0aw.net
15-20°らへんで大丈夫。
410:１３２人目の素数さん
20/07/20 17:37:57.52 lAt0w4jn.net
レベルが低くて申し訳ありません。
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
411:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:23:20 teO71RHL.net
>>395
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
412:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:31 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
413:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:32 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
414:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:41:56.87 IpCAikQP.net
>>396
それ計算すると結局12/25じゃね
415:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:51:09.27 pd+n799G.net
>>392
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
416:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:53:54.56 /Dhz880Y.net
>>399
だねw
質問者がどういう考え方なのかイマイチわからんけど解答は合ってると思うw
417:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:55:46.66 XNmsd8xI.net
交換云々は考える必要が無く、12枚引けると考えていい
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
418:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:47:18.50 pd+n799G.net
>>395
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
419:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:59:10.33 pd+n799G.net
>>403（バグ修正）
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
420:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:00:11.71 pd+n799G.net
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
421:395
20/07/20 20:15:01.76 fuln0D8r.net
皆様方ご丁寧にありがとうございます。
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
422:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:52:49.04 32P3Et7b.net
>>405
困った。数理解の方が正しく思えるが
どこにバグがあるかわからん:(
423:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:59:40.00 32P3Et7b.net
最初の10枚にレアカードがあったのに交換で失ってしまう可能性があるから、確率は12/25より小さくなる気がするのでシミュレーションの方が正解に近い
424:気がする。
425:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:06:31.84 xIvtqjxr.net
レアカードを故意に破棄ってのは選ばない前提なんじゃないのか
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
426:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:20:08.11 pd+n799G.net
>>409
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
427:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:38:34.97 32P3Et7b.net
カードは裏返したまま（レアカードかどうかは確認できない）で交換とすると２枚になると場合分けが面倒だな。
428:395
20/07/20 21:47:48.67 fuln0D8r.net
混乱させてしまっているので後出しで申し訳ありませんが追記します。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
429:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:09.28 pd+n799G.net
>>411
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
430:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:42.01 xIvtqjxr.net
>>412
それなら>>402で合ってると思う
431:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:56.41 pd+n799G.net
>>412
そういう設定だと、数学問題として面白くないなぁ。
432:イナ
20/07/20 22:05:53.05 X97OSaWf.net
前>>398
>>395あってる。
違うかもしれないけど、少なくとも俺といっしょ。
433:１３２人目の素数さん
20/07/20 22:29:11.21 cBy6LBhJ.net
>>415
間違った解答しといて面白さ語るなよ
434:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:16:40.33 LoyrGSpM.net
>>386
>∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1}
これがβ関数で表せるからそこからΓ関数に繋がるってこと？
式の上からはそれに過ぎないんだろうけど･･･・
435:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:29:56 hy6n0Ewp.net
オレが勉強した教科書の証明は
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
436:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:46:02 32P3Et7b.net
>>417
手札がみえないルールなら間違いじゃないと思うんだが。
違うかな？
437:１３２人目の素数さん
20/07/20 23:51:49 5DiCRFL4.net
>>386
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
438:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:10:39 tHJleHyC.net
>>383
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
439:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:19:12 tHJleHyC.net
>>422
こういうイメージ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
440:N7.png
441:１３２人目の素数さん
20/07/21 00:47:44.66 D7ZsfA32.net
20度ちょいくらいだろ
多分、有名角ではない
442:イナ
20/07/21 01:02:27.68 kN76GBZR.net
前>>416
>>422
30°ぐらいかな？
半円より大きい欠円0から1/√3まで足し集めて、πのあるのとないのと、
文字変えて半円より小さい欠円0から1/3まで足し集めて。
443:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:22:06.22 Con3FeDK.net
計算してみたら
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
444:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:39:18.85 Con3FeDK.net
つまり昨日全く別の問題に出てきてた0<p<aの
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
445:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:47:51.17 tHJleHyC.net
>>422
これをRを使って数値重積分して計算
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
446:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:50:03.74 Ghc4RW5f.net
>>422
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
447:１３２人目の素数さん
20/07/21 01:52:45.60 tHJleHyC.net
>>426
arcsin(2cos4π/9) というふうな厳密解を出せるひとは尊敬しちゃう。
448:イナ
20/07/21 02:15:08.92 kN76GBZR.net
前>>425
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
449:１３２人目の素数さん
20/07/21 03:49:02.27 Ghc4RW5f.net
3次方程式: x^3 - αx + β = 0 の解について
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
450:１３２人目の素数さん
20/07/21 04:42:59.47 QOVK0uT9.net
n = 0, 1, 2, … に対し、数列 s_n を中心二�
451:係数 C[2k,k] の 0 から n までの和 s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k] によって定める。 例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, … s_n が素数となる n を小さい順に並べると、 1, 3, 12, 39, 90, … である。 (1) s_n は常に奇数であることを示せ。 (2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。 (3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
452:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:06:14.68 I/ak7vxZ.net
よくある継ぎ足しのタレの問題なのですが
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
453:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:17:06.86 8kVtiIOn.net
いつ補充するかをわざとぼかすのもよくあるパターン
454:434
20/07/21 07:20:01.68 I/ak7vxZ.net
>>435
なるほど。
1リットル減った時に1リットル補充すると考えてください。
455:１３２人目の素数さん
20/07/21 07:44:36.50 tDfVZCTB.net
(4.7/5.7)^n=0.05
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
456:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:01:52.75 I/ak7vxZ.net
>>437
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
457:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:14:22.08 tDfVZCTB.net
最初の式を両辺のlogをとって変形しているだけ
458:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:20:48.58 FSXP587j.net
複素解析の部分分数分解で
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
459:１３２人目の素数さん
20/07/21 08:31:24.22 I/ak7vxZ.net
>>439
どうもありがとうございました。
460:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:14:57.52 tHJleHyC.net
>>431
レスありがとうございます。
>422は>423の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
461:１３２人目の素数さん
20/07/21 09:49:19.91 Con3FeDK.net
>>433
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
462:１３２人目の素数さん
20/07/21 10:04:50.41 tHJleHyC.net
>>422
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満た�
463:ｵたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？ 蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ https://i.imgur.com/b1r26CQ.jpg
464:１３２人目の素数さん
20/07/21 11:44:07.42 Ej/+Q6H+.net
>>434
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
465:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:29:30.94 Ej/+Q6H+.net
>>445
乱数発生させた（いわゆるモンテカルロシミュレーションの）結果
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
466:１３２人目の素数さん
20/07/21 12:45:28.10 Ghc4RW5f.net
>>444
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
467:１３２人目の素数さん
20/07/21 14:42:00.42 qIxFlRCH.net
x(0) = 100, x' = x/20 から x = 100 exp(t/20) なので exp(t/20) = 1/2 となる t
468:イナ
20/07/21 15:14:03.97 kN76GBZR.net
前>>431
>>442
θ傾けた半球型の丼鉢の水深がもっとも深い位置で1-sinθです。
もっとも深い地点t=0から水面1-sinθまで円の面積を足し集めたんだったと思います。
469:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:35:47.26 9tQwpxFD.net
π＝180度 だから 1ラジアン＝π／１８０度
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
470:１３２人目の素数さん
20/07/21 15:46:57.24 +UXAZdD6.net
>>447
>>449
早速のレスありがとうございます。
作図しながら解説を味わいます。
471:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:01:02.74 Mg42vVn3.net
>>450
考えればわかるだろ
ってか間違ってねえか？それ
472:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:14:30.51 ntb0ZuKd.net
△ABCが与えられたとき、辺AB,BC,CA上にそれぞれ点P,Q,Rをとり、それらを結ぶと正三角形（△PQR）となるようにしたい。
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
473:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:19:08.17 8uN4k8pv.net
なんの話をしてるの?
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
474:１３２人目の素数さん
20/07/21 16:41:49.06 Mg42vVn3.net
>>453
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平�
475:sな直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
476:１３２人目の素数さん
20/07/21 17:20:37.32 Ej/+Q6H+.net
>>453
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
単なる遊びです。
477:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:17:00.23 BRWO1FKC.net
>>454
まさか本当に1[rad]=π/180°だと思い込んでるんじゃなかろうね？
478:１３２人目の素数さん
20/07/21 18:29:33.65 Q73vct+1.net
>>440
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
479:１３２人目の素数さん
20/07/21 19:51:45.93 Con3FeDK.net
>>443
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
480:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:04:28.44 Con3FeDK.net
まあ
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
481:１３２人目の素数さん
20/07/21 20:37:51 Con3FeDK.net
証明は
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
482:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/21 23:23:45 kN76GBZR.net
前>>449
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
483:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:36:13 RbNL0Wrv.net
次の連立方程式を解け。
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
484:１３２人目の素数さん
20/07/21 23:39:44 9JMwZhpJ.net
lim(x→0,y→0)の極限値
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
485:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:09:53 mIrEMvJa.net
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
486:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:12:03 mIrEMvJa.net
>>463
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
487:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:20:17 hoJC5UHO.net
>>464
この手の極限は極座標変換して考えるのが定石かな
488:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:44:42 h9mML7y2.net
>>466
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
489:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:49:46 hoJC5UHO.net
solveを外せば他の解も見れる
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
490:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:51:08 h9mML7y2.net
>>468
wolfram大先生、大変失礼しました
表示を増やすタップすると全部ありました
491:１３２人目の素数さん
20/07/22 00:52:33 h9mML7y2.net
こういう巡回型の式でx<y<zなる実数解は持たない、って一般に言えたりするんかな
492:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:14:43 h9mML7y2.net
いや、うまく関数形とればありうるか
493:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:26:33 h9mML7y2.net
例えば
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
494:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:32:08 h9mML7y2.net
どうせ出すならこういう引っ掛けがある方が面白いな
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
495:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:46:32 98nkM0Qa.net
>>465
答えて頂きありがとうございます
496:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:48:11 98nkM0Qa.net
>>467
極座標で上手くいかなかったのです
497:１３２人目の素数さん
20/07/22 01:49:07 98nkM0Qa.net
もしよろしければ極座標変換での導出も教えていただきたいです…
498:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:03:06.77 hoJC5UHO.net
一般に、
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
499:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:06:48.67 hoJC5UHO.net
>>478
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
500:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:15:53.77 hoJC5UHO.net
>>476
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
501:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:40:57 YueyQrDp.net
>>477
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
502:１３２人目の素数さん
20/07/22 02:47:02 hoJC5UHO.net
>>481
親切に見せかけて意地悪でワロタ
503:１３２人目の素数さん
20/07/22 03:33:57 98nkM0Qa.net
>>481
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
504:１３２人目の素数さん
20/07/22 07:34:04.52 oygEfVDW.net
>>462
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
505:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:39:00.16 h9mML7y2.net
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
506:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:54:36.00 2+maBY71.net
>>485
今月のはやめとけ
507:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:55:27.98 h9mML7y2.net
>>485
nは2以上の自然数とします
508:１３２人目の素数さん
20/07/22 09:58:23.20 h9mML7y2.net
>>486
数学は自由です
509:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:00:50.83 zRV0rVgH.net
>>483
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
510:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:07:46.10 +hG6alzn.net
>>488
数学の世界を盛り上げようとがんばってる人の足引っ張ったらあか�
511:�
512:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:18:35.28 h9mML7y2.net
>>490
よくわからないです
513:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:56:53.84 oygEfVDW.net
h=1/2の盃とすると
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
514:１３２人目の素数さん
20/07/22 12:59:07.71 U4xy9LSi.net
x = y = z,
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
515:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:08:46.39 bX0IOpf0.net
>>491
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
516:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:25:43.90 U4xy9LSi.net
>>473-474
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
517:１３２人目の素数さん
20/07/22 13:36:23.14 8WMoMZNt.net
X1, X2, · · · , Xn を独立で同分布な確率変数とする
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
518:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:01:26 hoJC5UHO.net
>>489
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
519:ID:1lEWVa2s
20/07/22 14:04:20 92x6EIRK.net
大体3.14でよし。
520:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:08:30 LggH8/mi.net
>>496
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
521:高橋
20/07/22 14:39:48.32 aQ2MPjL1.net
こんにちは
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
522:１３２人目の素数さん
20/07/22 14:40:34.14 Mq7sSAPW.net
>>492 その先も検算してみてよ。
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413
523:099107351 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=1.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 20.322037016506141867920614451404025971 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 h=2.0; t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h); t*180/Pi = 90.000000000000000000000000000000000000 intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x) = 0.50000000000000000000000000000000000001 この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので 計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
524:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:02:26.88 aQ2MPjL1.net
表記が反映されなかった問題もあるので、それはお許しいただきたいです
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
525:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:03:59.60 vA4uV7us.net
大体5分12秒でよし。
526:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:03:59.69 YUV8uy9s.net
加法群Qの自己同型群は何か。
誰か教えて
527:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:04:31.05 vA4uV7us.net
R←Sの恒等射でよし。
528:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:05:16.36 vA4uV7us.net
RrS=Qとする。
529:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:10:06.99 FCXnFCw8.net
>>502
丸投げw
運営にアクセス禁止の通報しておくわ
530:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:10:31.89 9OOM9ADs.net
アーベル群。
531:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:11:04.77 wJE2kxwP.net
>>504
Hom_Z(Q,Q) ≡ Q
via
f → f(1)
532:ID:1lEWVa2s
20/07/22 15:12:22.80 9OOM9ADs.net
彼はほもです。
533:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:28:49 U4xy9LSi.net
>>497
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
534:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:39:19 aQ2MPjL1.net
丸投げというか、適当な回答が
535:分からなかったので… 気分を害してしまったのならごめんなさい
536:１３２人目の素数さん
20/07/22 15:44:54 hoJC5UHO.net
>>504
多分>>389と同一人物だと思うけど>>391と同様に考えればわかる
Q の自己同型は f(1) の値によって完全に決定されることがポイント
あとは自力でどうぞ