20/07/14 16:35:49.67 izTmRDlW.net
点Oを中心とする半径1の円Kの周上を3点A,B,Cが動く。
（1）内積↑AB・↑ACの最小値を求めよ。
（2）円の周上または内部の点Pが固定されており、OP=p(0≦p≦1)である。(↑PB・↑PC)+(↑PC・↑PA)+(↑PA・↑PB)の最初うちを求めよ。
173:イナ
20/07/14 18:07:58.24 snn++hGJ.net
前>>38
>>166→ABと→ACのなす角をθとすると、
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=0.8660254……
θ=135°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=｛1/2+(1-1/√2)^2｝(-√2/2)=1-√2=-0.41421356……
∴現時点での最初うち0.8660254
174:イナ
20/07/14 18:12:21.63 snn++hGJ.net
前>>167訂正。
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=-0.8660254……
175:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:27:55.90 /1BaD2x6.net
>>168
cos120°=-√3/2 とは、さすがはイナ
>>166(1)
内積最小となるのが対称性からAB=ACのときであることを認めるのなら
∠AOB=∠AOC=θとおいて
↑AB・↑AC=↑OB・↑OC-↑OA・↑OB-↑OA・↑OC+|↑OA|^2
=cos(360°-2θ)-cosθ-cosθ+1
=cos(2θ)-2cosθ+1
=2(cosθ)^2-2cosθ
=2{cosθ-(1/2)}-(1/2)
cosθ=1/2 すなわち θ=60°のとき最小値-1/2。このとき∠BAC=120°
176:イナ
20/07/14 18:35:57.41 snn++hGJ.net
前>>168
>>166(2)→PB・→PC+→PC・→PA+→PA・→PBはBとCが重なって∠APB=120°のとき、
1・1cos0°-√3/2-√3/2=1-√3=-0.7320508……
現時点で暫定的に最小。
177:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:47:57.60 ggC1zGXW.net
>>166
プログラム解
f <- function(x,y){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
pracma::dot(A-B,A-C)
}
optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
> optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
$par
[1] -1.047095 1.047197
$value
[1] -0.5
最小値は -0.5
３Dグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
178:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:52:10.61 PbG4W1iE.net
>>104
それほど煩雑ぢゃないかも。
原点Oを内部に含む凸閉曲線Lを考える。
L上に定点A,B,Cおよび動点Pをとる。
ABCPAの順に並ぶとし、線分AC と BP のを交点をXとおく。
対頂角より ∠AXP = ∠BXC,
題意により、Lで方べきの定理が成り立つ。
AX･CX = BX･PX,
AX：PX = BX：CX
二辺挟角より △APX ∽ △BCX
∴ ∠P = ∠C,
円周角の定理の逆により
点Pは、定点A,B,Cを通る円の周上を動く。
この円の中心を（a,b）、半径をrとすれば
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 （終）
179:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:07:54.98 ggC1zGXW.net
>>166
プログラム解
library(pracma)
fn <- function(x,y,z,p=0.5){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
P=c(p*cos(z),p*sin(z))
dot(P-B,P-C)+dot(P-C,P-A)+dot(P-A,P-B)
}
g <- function(p){
optim(par=c(1,1,1),
fn=function(w) fn(w[1],w[2],w[3],p),method='L')$value
}
g=Vectorize(g)
optimize(g,c(0,1))
> optimize(g,c(0,1))
$minimum
[1] 0.3333333
$objective
[1] -1.333333
ｐが1/3のときに最小値 -4/3
180:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:31:20.75 PbG4W1iE.net
>>172
〔円周角の定理〕
円Eの周上に3点A,B,Cがあるとき
∠APB > ∠C ⇔ PはEの内部にある。
∠APB = ∠C ⇔ PはEの周上にある。
∠APB < ∠C ⇔ PはEの外部にある。
181:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:44:55.88 wq+T/sxX.net
>>172
いや、題意はそうじゃなくて円の方程式そのものを導出せよだろな
円上の点A(x,y)に対してB(x,2b-y)、C(a-r,b)、D(a+r,b)とP(x,b)に対して方べきの定理より
AP BP = CP DP
∴ (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
∴ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
↑こんなの意味あんのって事でしょ？
182:イナ
20/07/14 22:15:38.31 snn++hGJ.net
前>>170
>>169cos150°だっけ(-｡-;じゃあ-1/2だ、最小値。
183:１３２人目の素数さん
20/07/15 00:20:53.69 +VNqdAmi.net
>>104 では「円」の方程式は未知としている。
点Aが「円」上にあっても B、C、Dが「円」上にあるとは限らない。
この「円」について分かっていることは
・閉曲線である。
・方べきの定理が成立つ。
ことだけ
184:１３２人目の素数さん
20/07/15 00:24:23.43 h5RaWPZl.net
円の方程式‥‥を導け
は
(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式が
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
となる事を示せ
ではないの？
185:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:22:11.32 +VNqdAmi.net
>>172
が示したのは「方べきの定理が成立つ閉曲線は円に限る」ということ。
>>175
「円」と直線 y=b の交点を C(a-r,b) D(a+r,b) とおく。
線分CD上の点P(x,b) を通る鉛直線と「円」の交点をA(x,y) B(x,2b-y) とする。
（ここで「円」は直線 y=b について対称と仮定した。）
方べきの定理より
AP BP = CP DP
････
意味はある。
186:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:31:50.95 Nn5BJat7.net
>>165
悪いな、面倒だから照明してないんだ
ピタゴラス三角形の直角部分を3つ付けて
直角の隅になるようにすれば斜面の面積以外は整数にできるから
斜面をピタゴラス三角形2つをつないで作る事にして
ピタゴラス三角形の関係式を弄る方法を思い付いただけだ
187:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:47:08.06 pnrlHIku.net
>>180
そうですか。
まぁ元の問題が一個見つけろだから一個あればそれでいいんだけど。
>>142はひとつxまたはyを止めるごとに楕円曲線になるから、その有理点の位数が無限であるのがひとつでも見つかればいいんだけど、与えられた極大点の位数が有限か無限か決定する方法見つからなくてそこで諦めた。
多分無限にあるんだろうけどなぁ。
188:１３２人目の素数さん
20/07/15 03:49:26.71 svsaQ0OF.net
教えて下さい。
角度の「１分」の読み方は、「�
189:｢っぷん」「いちふん」どちらでしょうか？
190:１３２人目の素数さん
20/07/15 04:39:16.91 Xky2IxhV.net
>>182
別に決まってるわけではないし単に日本語の問題だから読みやすい方でいいかと
いっぷんのほうが自然には感じるが
191:ID:1lEWVa2s
20/07/15 04:53:04.21 L7/PWm9A.net
ほうべきのていりって成り立たないの知ってた?
証明してみな。
192:１３２人目の素数さん
20/07/15 06:52:54.84 svsaQ0OF.net
>>183
１分の角とか１分角と呼ぶらしいけど、「１分」自体の読み方で時刻との使い分けはしないのですね。回答ありがとうございました。
193:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:26:58.40 x6rKDZjg.net
↓の問題教えてください！
｢X1,X2,…,Xn:互いに独立な同一の確率変数で、以下のfxi(x)を確率密度関数とする。
fxi=2x(0<x<1),0(その他)
このとき、
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n
のモーメント母関数を求め、lim(n→∞)Ynを求めましょう。｣
全くわからないです馬鹿でスミマセン
問題文↓
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
194:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:42:20.52 wXF+pkiu.net
sinc(x)出てくるやつだな、多分
195:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:53:50.64 nne+yodD.net
a,b,cは実数の定数とし、a>0とする。
実数xについての関数
f(x)=ax^2+bx+c
について『f(q) - f(p) = q - p』となる実数p,qが存在するためのa,b,cの条件を求めよ。
196:１３２人目の素数さん
20/07/15 20:06:51.21 x+Ab4uAl.net
>>188
p=-b/(2a) , q=(1/a)-b/(2a) とすれば必ず成り立つからa≠0なら a,b,c は何でもいい。
197:１３２人目の素数さん
20/07/15 20:09:25.01 9v8EKDM9.net
>>188
平均値の定理みたいなもんかな
直線 y = x + α と y = f(x) との交点は常に条件を満たすはず
だから a ≠ 0 なら a, b, c に特に条件は必要ない
198:１３２人目の素数さん
20/07/16 00:31:33.68 tskpc1iK.net
円周率って円周の直径に対する比率のことですよね？
何で面積で円周率が出てくるんですか？
199:１３２人目の素数さん
20/07/16 00:38:28.78 A0cS44Co.net
何を都合よく忘れてるんだ
200:１３２人目の素数さん
20/07/16 01:34:18.28 il/+SxrL.net
円の面積は円周長を底辺長とし高さが半径長である三角形の面積に等しいから。
証明はどこかにある。頑張って探してね。
201:１３２人目の素数さん
20/07/16 06:35:10.08 kpkIZ/FM.net
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n は n→∞で 平均2/3 標準偏差1/√(18n) の正規分布に近づく ことはわかった。
後は意味がわからん。
202:１３２人目の素数さん
20/07/16 06:56:18.13 kpkIZ/FM.net
>>191
三角形の三辺の長さの和と面積の関係を考えてみると面白いかも。
新たな発見があるはずｗ
203:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:03:38.37 kpkIZ/FM.net
三辺の和が一定のときに面積が最大になる三角形はどんな三角形か？
予想される某芸人の答
(1)
ヘロンの公式を偏微分して答を出す。
(2)
最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
それが同じになるのは正三角形のときである。
∴示された
204:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:11:52.31 mfBWrGyg.net
>>196
> 最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
なんで？
205:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:29:42.35 QIPnOtMS.net
>>186
n回の独立試行の場合、標本平均Yn の期待値は母平均ぢゃね？
E(X) = ∫ X･f(X)dX = ∫[0,1] 2XX dX = 2/3.
206:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:53:50.86 rh7lP/A1.net
lim[n→∞](n・e^-an) �
207:ｽだしaは正の実数 これが0になることを証明するにはどうすればいいんでしょうか
208:１３２人目の素数さん
20/07/16 09:08:35.81 QIPnOtMS.net
e^(an/2) ≧ ean/2,
e^an ≧ (ean/2)^2,
(与式) = n/(e^an) ≦ n･(2/ean)^2
= 4/{(ea)^2･n} → 0 (n→∞)
209:１３２人目の素数さん
20/07/16 09:20:14.18 QIPnOtMS.net
>>198
n回の独立試行では
f(X_1,X_2,････,X_n) = Π[i=1,n] f(X_i)
モーメント母関数は
E(e^(tY)) = ∫････∫ e^{t(X1+X2+････Xn)/n} f(X1,X2,････Xn) dX1dX2････dXn
= {∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX}^n
= g(t)^n,
ここで
g(t) = ∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX
= ∫[0,1] e^(tX/n) 2X dX
= { [ (2n/t)e^(tX/n)･(X -n/t) ](x=0,1)
= (2n/t){e^(t/n)･(1-n/t) + n/t},
= Σ[k=0,∞] 2/{k!(k+2)}・(t/n)^k
= 1 + (2/3)(t/n) + (1/4)(t/n)^2 + (1/15)(t/n)^3 + (1/72)(t/n)^4 + (1/420)(t/n)^5 + ････
≒ 1 + (2/3n)t,
したがって
E(e^(tY)) = {g(t)}^n
= 1 + (2/3)t + {(2/9) +1/(36n)}t^2 + {(4/81) +1/(54n) -1/(810nn)}t^3 + {(2/243) +1/(162n) -17/(38880nn) -3/(38880n^3)}t^4 + ････
≒ e^(2t/3 + (1/36n)t^2)
= e^(μt + (1/2)(σt)^2)
∴ μ = 2/3, σ^2 = 1/(18n),
210:神戸 大作
20/07/16 09:22:58.39 8FDXLF3v.net
>>191
直感的に理解するための実演
・半径30cmの 大きい円 を ピザの生地 で作る。
・中心から 半径が微小な値 (1 ナノメートル) の小さい円 を書いて、
その形に切り込みを入れる。
今回は、便宜上、 微小な値を 1cm とする。
・大円から微小円をくり抜いて、
DVDのような形のピザ生地にする。
・このDVDに右向きへざっくりと切り込みを入れて
ぺろりと剥がす
（ロールケーキを剥がしたような感じの形状になる）
・これを長方形になるように、ちょっとずつ、成型していく。
結果として
縦が r cm、 横が 円周の長さ2πrの半分 = πr
の長方形が得られる。
r x πr = πr^2
211:神戸 大作
20/07/16 09:28:09.00 8FDXLF3v.net
>>193
円の面積がそういう三角形の面積に等しい
っていうのは説明として分かりづらい。
四角形で説明した方がいい。
円の面積は
円周長の「半分」を底辺として、
高さが半径長である「四角形の面積」に等しい。
212:１３２人目の素数さん
20/07/16 10:09:32.19 noU6c5FB.net
>>197
それが芸風。
ネタにマジレスｗ
213:１３２人目の素数さん
20/07/16 10:18:21.83 rNTuDAjM.net
>>199
n＞Nのとき|n/e^an - 0|＜εとなるNを探したい
n/e^an＞0だから|n/e^an|=n/e^an
またn＜e^nなので
n/e^an ＜ e^n/e^an = 1/e^(a-1)n
n＞Nなのでe^(a-1)n ＞ e^(a-1)Nだから
1/e^(a-1)n ＜ 1/e^(a-1)N
よってこれが＜εとなるようにN=εe^(a-1)/2とすればよい
214:イナ
20/07/16 10:38:40.73 1YUi9xc3.net
前>>176
>>191半径kの円の円周が2πkだから、
k=0からrまで円周を足し集めると円の面積になる。
∫[0→r]2πkdk=πr^2
215:１３２人目の素数さん
20/07/16 11:14:30.08 QIPnOtMS.net
>>200
任意のε>0 に対して
N = 4/{(ea)^2･ε},
とおけば
n>N ⇒ (与式) < ε,
216:１３２人目の素数さん
20/07/16 12:34:21.66 XqopcvjN.net
>>196
16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦(a+b+c)[(1/3){(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}]^3=(a+b+c)^4/27
217:１３２人目の素数さん
20/07/16 12:56:39.06 kpkIZ/FM.net
>201の
ｎ→∞で
σ^2 = 1/(18n)→0
になるので、何が求められているのからなかったのだけど、
>194でよかったのか。
218:１３２人目の素数さん
20/07/16 13:03:42.00 kpkIZ/FM.net
>>196
三辺の和を３にしてグラフを書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
219:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:32:52.85 mdrHdLJY.net
（RSA暗号に関する疑問）
RSA暗号は要点だけ書けば次のような仕組みです。
1.素数a,bを決める
2.c=abとおく
3.d=(a-1)(b-1)とおく
4.dと互いに素な自然数eを一つ決める
5.feをdで割った余りが1となる自然数fを求める
6.ペア(c,e)を公開鍵、ペア(c,f)を秘密鍵とする
7.平文（を自然数列に変換した項の一つ）をmとすると、暗号文はm^eをcで割った余りnである
8.暗号文がnのとき、n^fをcで割った余りはmであるので復号できる（∵数論のオイラーの定理）
よく一般向けの解説等では、
「a,bを十分大きくとればcからa,bを求めるのが事実上不可能なのでRSA暗号は安全」
と書かれてますが、
「a,bを知ることなく何か巧妙な手段でfを求めるのもやはり事実上不可能」
だと言えますか？
もちろんそうでないと現実的におかしいのですが、しばらく考えてみても理由が思いつかなかったので
分かる方教えてください。
多分数行の算数でわかるような単純なことだろうと思われるのですが
220:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:42:54.91 ZJkUgW8W.net
>>211
そもそもその“cからa,bを求めるのが事実上不可能”(=計算量が指数的に増大しないアルゴリズムは存在しない)が証明されてないからなぁ。
221:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:48:07.77 mdrHdLJY.net
>>212
…まあ確かにそれはそうなんですが、
「そこへの還元の出来なさ」が言えそうで言えないのがもどかしいのです
222:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:52:44.97 ZJkUgW8W.net
>>213
つまりc,e,f全部知ってる人はa,bも全部少ない手間で計算できるのか？ですね。
どーなんだろ？
223:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:13:27.40 IcDJMxIW.net
量子コンピュータなら秒殺という時代になってきたから新たな暗号形式が求められているようだな
量子コンピュータを悪者が手にするようになる前に堅牢な暗号が開発されなかったらどうなっちゃうん？
224:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:24:00.58 ImuqW7JC.net
RSAはもう脆弱扱いで
ラインダール（SHA2）が主流なんだっけ
225:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:45:06.43 /36E2JhK.net
>>194
>>198
ありがとうございます
226:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:46:08.15 kpkIZ/FM.net
>>196
(1)
a+b+c=2s
c=2s-a-b
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
16S^2
=(a+b+(2s-a-b))(-a+b+(2s-a-b))(a-b+(2s-a-b))(a+b-(2s-a-b))
=2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s)
∂/∂a(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(b-s)(2a+b-2s)
a=s-b/2
∂/∂b(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(a-s)(a+2b-2s)
b=s-a/2
s=a+b/2=b+a/2
b=a, s=(3/2)a
c=2s-a-b=a
∴ a=b=c
227:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:57:30.95 kpkIZ/FM.net
辺の長さの和が一定の多角形で面積が最大なものは正多角形である
って正しそうだけど、証明は難しいのかなぁ？
三角形と四角形なら私にもできるけど。
228:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:06:08.36 ZJkUgW8W.net
>>219
プレートシュナイダーの公式使えばそうでもない。
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
229:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:37:14.24 kpkIZ/FM.net
>>211
面白そうなので、ちょっと実験してみた。
暗号文ｍは123
> library(numbers)
> library(gmp)
> options(digits=22)
> k=1e3
> (ab=sample(Primes(k),2))
[1] 911 47
> # 1
> a=ab[1] ; b=ab[2] ; GCD(a,b)
[1] 1
> # 2
> (c=a*b)
[1] 42817
> # 3
> (d=(a-1)*(b-1))
[1] 41860
> # 4
> flg=FALSE
> while(!flg){
+ e=sample(k,1)
+ flg <- GCD(d,e)==1
+ }
> e ; GCD(d,e)
[1] 361
[1] 1
> # 5
> flg=FALSE
> f=0
> while(!flg){
+ f=f+1
+ flg <- (f*e)%%d==1
+ }
> f ; (f*e)%%d
[1] 18321
[1] 1
> # 6
> (public=c(c,e))
[1] 42817 361
> (secret=c(c,f))
[1] 42817 18321
> # 7
> m=as.bigz(123)
> (n=m^e%%c)
Big Integer ('bigz') :
[1] 3047
> #8
> n^f%%c
Big Integer ('bigz') :
[1] 123
復号されていて面白い。理屈はさっぱりわからんけどｗ
230:イナ
20/07/16 16:37:33.85 kkpWrwmd.net
前>>206
>>216n角形は1つの頂点から対角線をn-3本引くことでn-2個の三角形に分割できるから、1つの三角形が最大になるように頂点をとるなら最寄りの2つの頂点のなるべく中間にいたほうが三角形の面積が大きくなるのは当たり前だろうが。
231:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:38:57.20 kpkIZ/FM.net
>>220
ありがとうございます。
長方形でしか考えておりませんでした。 (_ _)
232:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:06:28.87 zpHFCDP2.net
同周長で面積を最大にするn角形があれば凸である
(凹なところはそこを反転させると面積が増やせる)
また隣り合う辺の長さは等しい
(違っていればその辺の和を保って二等辺にすることでその三角形部分の面積を増やせる)
さらに隣り合う内角の大きさは等しい
(違っていればその隣り合う二角を等しくすることでその四角形部分の面積を増やせる、なぜなら>>220によってその四角形部分は対角の和が180度のとき最大になり、そのとき四角形部分は円に内接する形であり、いま3辺は長さが等しいのでそれは二角が等しいときである)
という感じか
233:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:09:24.25 A0cS44Co.net
隣り合う2辺が作る3角形と3辺が作る4角形で証明すれば充分だろ
234:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:18:34.30 xXRek5Av.net
k,nは自然数の定数で、数列{a[j]}は
a[1]=n
a[2]=(kn,n)
a[j+1]=(a[j],a[j-1])
ただし(x,y)=xCyの二項係数
このときa[j]のnについてのオーダーはどのようになりますか？
235:１３２人目の素数さん
20/07/16 18:18:08.72 ZJkUgW8W.net
>>225
まぁそうなんだけど
AB=BC=CD=a
AD=b
が束縛条件で面積最大が等脚台形のときがまぁまぁ
メンドそう。
オレは昔の人が便利な定理残してくれてるんだからありがたく使わせていただくの大好き。
236:１３２人目の素数さん
20/07/16 20:38:16.31 kpkIZ/FM.net
>>220
プレートシュナイダーの公式
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
T=(p+q+r+s)/2
S=sqrt((T-p)*(T-q)*(T-r)*(T-s)-p*q*r*s*(cos(A/2+C/2))^2)
を使ってプログラムに最大となる四角形を探索させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
四辺の長さの和が20(T=10に相当)として作図させてみた。
四角形ABCDでDを原点、Cをx軸上の点としてA,Bを任意に動かす。
A,Bの位置が決まるとDA,ABの長さが決まる。
BC+CDが20-DA-ABの長さになるようにCを決定する。
これで決定された四角形にプレートシュナイダーの公式を使って面積S
237:を計算。 Sが最大になるA,Bの位置をコンピューターに探索させる。 その結果は、やはり、最初の直感通りであったｗ https://i.imgur.com/NuinABd.png Rのコードはここ https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/188
238:１３２人目の素数さん
20/07/16 20:46:51.55 kpkIZ/FM.net
n辺の和が一定のn角形の面積が最大になる形状をn人で和になって考えた。答が唯一なら誰がみても同じ形になるはずなので正n角形のときが面積が最大である。
∴示された。
239:１３２人目の素数さん
20/07/16 23:26:52.66 p7VJoc9B.net
球に内接する12面体で体積最大のものは正12面体であることを証明せよ。
240:１３２人目の素数さん
20/07/17 01:31:40.73 7KjVzawt.net
>>222
P,Q,R を隣合う頂点とし、 PQ≠QR と仮定する。
Qを通りPRに平行な直線をLとする。
Lに関してRと対称な点R'をとる。
PR'の中点をQ'とおけば
PQ+QR = PQ+QR' > PR' = PQ'+Q'R,
かつ △PQR = △PQ'R
Q' を少し持ち上げて PQ+QR = PQ"+Q"R となるようにすれば
△PQR < △PQ"R (矛盾)
∴ 面積が最大になるのは PQ=QR の場合しかないな。
241:１３２人目の素数さん
20/07/17 01:39:43.25 PvhkH04x.net
いつもの芸風www
242:１３２人目の素数さん
20/07/17 02:22:14.23 kTL0oe/X.net
>>230
コンセヴィッチとかが一晩ガチで考えたらモジュライ空間に謎の不変量か測度作って超アクロバティックな一発計算でカッコよく示しそう
243:１３２人目の素数さん
20/07/17 04:35:09.61 Q4XvViXw.net
∫[0,∞] {exp(-x)}*arctan(x) dx
を求めよ。
244:１３２人目の素数さん
20/07/17 05:26:27.85 l8XG6+rW.net
>>234
Wolfram先生によると
≈0.6214496242358133576392657282153393238931646769197054169479755316419305616213745298777519239036674507
245:１３２人目の素数さん
20/07/17 07:47:36.89 ttgxO5zW.net
分散がσ^2である母集団からn個のデータx = (x_1,…,x_n)を得た。
σ^2の値を推定せよ。
s^2 = [(x_1 - avg(x))^2 + … + (x_n - avg(x))^2] / (n - 1)
が正しい推定値だそうですが、なぜですか？
246:１３２人目の素数さん
20/07/17 10:25:16.85 ZOhan8rk.net
E(s^2) を計算すればわかる
247:１３２人目の素数さん
20/07/17 11:43:34.48 7KjVzawt.net
n個の確率変数
x_1 - avg(x), x_2 - avg(x), ････, x_n - avg(x)
の和は0なので、自由度は n-1 しかありません。(*)
∴ E( 標本分散 ) = σ^2・(n-1)/n,
∴ E(s^2) = σ^2.
*) (1,1,････,1) 方向のバラツキは標本分散に寄与しません。
248:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:10:27.94 RJQRB/S9.net
そう、よく言われるのは
サンプルデータは統計的自由度が1つ少ない
という説明(なんかモヤモヤするやつ)
自分の理解としては
そもそも分散の定義式自体に起因するというもの
母集団{m_i |1≦i≦N}からサンプル{x_i |1≦i≦n}を抽出するとして
母集団の分散σ^2=Σ(m_i-(Σm_j)/N)^2/Nを変形すれば
(Σ(m_i)^2/(NC1)-Σ_(i<j)m_im_j)/(NC2))×((N-1)/N)…[母]
となる(ここでNCrは二項係数)
同じように、サンプルの(通常の)分散を変形すれば
(Σ(x_i)^2/(nC1)-Σ_(i<j)x_ix_j)/(nC2))×((n-1)/n)…[サ]
となる([母]と全く同じ形)
さてサンプルに
m_iが選ばれている確率は(nC1/NC1)
m_im_jが選ばれている確率は(nC2/NC2)
なので[サ]の期待値を取れば
「[サ]の((n-1)/n)以外の部分」
249:から 「[母]の((N-1)/N)以外の部分」がキレイに復元される しかし、 この困った部分(n-1)/n は(N-1)/Nへ変換されない ここの調整を先にサンプルの分散にn/(n-1)×(N-1)/Nを掛けて行っていると思える ただ、通常Nはとても大きい数なので(N-1)/N≒1となり、普通はn/(n-1)のみ掛けて調整される つまり分散の式が ("スケール共変"な良い部分) × (困った部分(N-1)/N) という形の定義になっているのが原因と思える
250:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:30:16.89 ttgxO5zW.net
>>237-239
ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、P(X)をXのすべての部分集合の集合を表すとします。P(P(X))というのはハウスドルフの公理系に出てきます。
P(P(P(X)))、P(P(P(P(X))))、…が数学において登場しないのはなぜでしょうか？
251:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:31:19.59 ttgxO5zW.net
人間の頭がついていけないから登場しないが、それらを使えば、新しい理論が拓けるという可能性はありますか？
252:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:56:58.38 RJQRB/S9.net
>>240
普通に登場してそうだけどね
複雑な構造はちゃんと書き下すとPPP(X)とか必要になるやつありそう
253:１３２人目の素数さん
20/07/17 13:11:56.62 7KjVzawt.net
>>234
(与式) = [ -exp(-x)arctan(x) ](0,∞) + ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= f(1)
= 0.6214496242358
ここに
f(a) = ∫[0,∞] exp(-ax)/(1+xx) dx, (a>0)
より
f(a) + f "(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = 1/a,
これを解くと
f(a) = ∫[0,∞] sin(y)/(y+a) dy
= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
= ∫[a,∞] {-cosθ･sin(a) + sinθ･cos(a)}/θ dθ
= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),
ここに
Ci(a) = -∫[a,∞] (cosθ)/θ dθ, 余弦積分
Si(a) = ∫[0,a] (sinθ)/θ dθ, 正弦積分
これに
Ci(1) = 0.337403922901
π/2 - Si(1) = 0.6247132564277
cos(1) = 0.54030230586814
sin(1) = 0.8414709848079
を入れる。
254:１３２人目の素数さん
20/07/17 14:25:01.13 bL69k409.net
>>240
基数や順序数の定義を公理で確認しながらやると無限に出てくるな
255:１３２人目の素数さん
20/07/17 14:30:15.15 bL69k409.net
>>239
一般に k 個のパラメータを推定して残差の分散を求めると n-k で割る式になる
平均だけ求めた場合は k=1 になるだけの話
256:１３２人目の素数さん
20/07/17 15:57:20 Z5TXaNb3.net
>>236
avg(x) = (1/n) Σx_i も変数。計算が面倒だけど
n=3 で試すと E(s^2) = 2 σ^2 になる。
257:１３２人目の素数さん
20/07/17 16:05:26 7wm9h5Jt.net
E(s^2) = σ^2
258:１３２人目の素数さん
20/07/17 17:47:22.69 ttgxO5zW.net
みなさん、ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、松坂和夫の集合位相入門に「Sの空でない部分集合Oが開集合であるための必要十分条件は、
Oの任意の点xに対して、Oがxの近傍となっていることである。」という定理があります。
259:なぜわざわざ「Sの空でない」と制限しているのでしょうか？
260:１３２人目の素数さん
20/07/17 18:04:15.57 ttgxO5zW.net
内田伏一の集合と位相でも同様の「制限」をしています。
261:１３２人目の素数さん
20/07/17 18:10:28.18 7wm9h5Jt.net
空だと任意の点xが選べないからでは
262:１３２人目の素数さん
20/07/17 18:28:12.39 UeyQb7DG.net
命題「x∈O ⇒ Oはxの近傍である」が真である
みたいな回りくどい書き方にするのが嫌だったんじゃね？
空集合は開に決まってるんだから判定方法自体が必要ないし。
263:１３２人目の素数さん
20/07/17 18:37:13.28 RJQRB/S9.net
∀O∈P(S)((∀x((x∈O)→∃V(V∈V_x)∩(V⊂O))→(O∈O(S))
論理的にはOが空のとき仮定x∈Oのところが偽だから問題ないって話か
264:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:11:07.54 RJQRB/S9.net
>>245
なるほど
気になるんだけど、式変形的にはどうやる？
265:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:27:37.48 bDjRL7OB.net
□ABCDはAB=4,BC=5,CD=6,DA=7,BD=xである。
□ABCDが円に内接するよう、実数xの値を定めよ。
266:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:39:40.31 ttgxO5zW.net
みなさん、ありがとうございました。
>>252
そうです。松坂和夫の集合位相入門にはわざわざ「p⇒q」はpが偽なら真であるということを述べていますし、空集合がすべての集合の部分集合であることを証明したりもしています。
267:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:41:25.09 UeyQb7DG.net
>>254
ここまで典型的な問題が質問されるのも逆に新鮮みを感じる。
∠BAD=θとすると∠BCD=180°-θで、cos∠BAD=cos∠BCD=cosθ
△BADに余弦定理で x^2=4^2+7^2-2*4*7cosθ
△BCDに余弦定理で x^2=5^2+6^2-2*5*6cosθ
x^2とcosθについての2元1次連立方程式として解く。
268:１３２人目の素数さん
20/07/17 19:45:15.66 bDjRL7OB.net
>>256
ありがとうございます。間が抜けていまして、これはxとθの連立方程式ですね
cosθが入っているので解けないと勝手に勘違いしていました。
269:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:17:05.20 l8XG6+rW.net
>>236
母分散の値がわかっていれば推定する必要はないのでは？
母分散の値が不明なときに/(n-1)になるんじゃなかったかな？
270:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:20:37.65 l8XG6+rW.net
>>221
これm<cでないと復号できないみたい。
271:１３２人目の素数さん
20/07/17 20:27:27.18 0QWA/Fv2.net
>>255
集合・位相入門って、あとがきかなんかで、いくつかの命題で空集合を敢えて除外した理由とか書いてあった気がするが
272:１３２人目の素数さん
20/07/17 21:19:02.91 bL69k409.net
「前提が成り立たない場合は正しい」という論理の基礎がわかってない人への配慮でしょ
273:１３２人目の素数さん
20/07/17 21:23:39.48 bL69k409.net
>>253
最小二乗法の正規方程式を代入するだけ
行列計算が結構必要だよ
数式が扱えない所でやるもんじゃ無いな
274:１３２人目の素数さん
20/07/17 23:24:53.00 RJQRB/S9.net
>>262
なるほど、今度勉強してみます
自分が考えてた方向性は
「キュムラントの擬再現性」的なもの
2次キュムラントである分散は
(再現部分) × (N(N-1)÷N^2)
となった
3次キュムラントならば
(再現部分) × (N(N-1)(N-2)÷N^3)
となり
一般にi次キュムラントは
(再現部分) × (N(N-1)…(N-i)÷N^i)
と
i乗と階差i乗の分だけズレが生じる
調べてみたらこの方向性はK-statistics(K統計量)とかの話らしいですね
275:１３２人目の素数さん
20/07/17 23:50:45.72 RJQRB/S9.net
うーん、正確には4次以上のところでは
(再現部分)の中にさらに擬再現な項も現れてくる(？)
276:イナ
20/07/17 23:58:32.43 ++P9BJNj.net
前>>206
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
277:イナ
20/07/17 23:58:37.79 ++P9BJNj.net
前>>206
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
278:
20/07/18 00:12:50.00 1dbHrhNp.net
前>>265-266図を描くとBD≒8だから、あってる。
279:
20/07/18 00:18:20.53 1dbHrhNp.net
前>>267分数式で表すなら、
√53041/29
280:１３２人目の素数さん
20/07/18 01:20:53.74 xiJ191gm.net
>>239
ここでの補正部分はn/(n-1)×(N-1)/Nであるのに
多くの論説でn/(n-1)しか計算で出てこないのは
サンプルの変数x_iたちを独立とみなして計算しているからか
x_i≠x_j(i≠j)という束縛条件の有無
つまり同時抽出か反復抽出かで若干結果が異なる
自分のは同時抽出でx_iたちが独立ではないときの計算だけどこれは面倒だからあまり教科書ではされていない(？)
母数Nが大きいとき、これらにほとんど差異はなくなる
281:１３２人目の素数さん
20/07/18 12:28:48.73 r2iC/k0g.net
>>254
トレミーより AC･BD = 4･6 + 5･7 = 59,
また
BD = x = √(59･31/29) = 7.941597164
AC = y = √(59･29/31) = 7.429236057
282:１３２人目の素数さん
20/07/18 12:45:46.60 r2iC/k0g.net
対角線 AC と BD の交点をXとすれば
AX = 14L, BX = 10L,
CX = 15L, DX = 21L,
AC = 29L, BD = 31L,
ここに L = √{59/(29･31)} = 0.25618
283:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:07:33.47 gExieBKv.net
すごいな。こんな問題にすら計算機教が現れるのか。たいした釣り師だ。逆に感心する。
284:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:08:12.51 g+jGXdCT.net
>>221
暗号化前の数値mが123の間違いだな。
暗号はｎの3047
n=3047からm=123へ公開鍵(c=42817,e=361)を使って復号できるか？
### 暗号解読 ###
rm(list=ls())
# 公開鍵 (c,e)
c=42817
e=361
# 暗号
n=3047
# 素因数分解してdを決定
library(gmp)
(c1=gmp::factorize(c)) # 計算機にcを素因数分解させて
(d=prod((c1-1))) # 素因数-1の積dを求める
# fを虱潰しに探す
fmax=1e6 # 探索させる秘密鍵 (c,f)のｆの上限=10^6
f=0 # 初期値
flg=FALSE # 条件をみたすか否かのフラッグ
re.f=NULL # fの候補を容れる数列
# fmax以下でf*eをdで割った余りが1となるfの値を数をre.fに追加する
while(!flg | f<=fmax){
f=f+1 # 1増やして
flg <- (f*e)%%d==1 # f*e (mod d)が1に等しいか?
if(flg & f<=fmax) re.f=c(re.f,f) # 等しければre.fに追加
}
re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
decode=NULL # 秘密鍵(c,f)を使っての復号
for(f in re.f){
decode=append(decode,asNumeric(mod.bigz(pow.bigz(n,f),c)))
}
decode
285:１３２人目の素数さん
20/07/18 13:38:45.87 g+jGXdCT.net
復号完了！
> re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
[1] 18321 60181 102041 143901 185761 227621 269481 311341 353201 395061 436921
[12] 478781 520641 562501 604361 646221 688081 729941 771801 813661 855521 897381
[23] 939241 981101
> decode
[1] 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123
[21] 123 123 123 123
286:１３２人目の素数さん
20/07/18 14:48:46.25 HGNI/JlE.net
例えば、符号理論とか暗号理論とか数学が現実に役立っている理論において選択公理を使わなければ証明できないような応用上有用な結果ってあるんですか？
287:１３２人目の素数さん
20/07/18 15:00:38.02 c0qYyQXD.net
>>275
確かwikiの選択公理のとこに選択公理ないと証明できない定理の一覧みたいなのあったと思うけど
288:１３２人目の素数さん
20/07/18 15:54:20.20 V+gucW7C.net
計算機狂に捧ぐ
176: 2020/06/02(火) 14:05:44 ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、 均衡素数を20個見つけよ
289:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:13:59.41 gExieBKv.net
回りくどい言い方をしているが、「"6の倍数-1"ではない素数を20個挙げよ」というだけだな。
290:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:34:57.33 ILbvGgBu.net
いや
x以下の≡1 (mod 6)である素数と≡5(mod 6)である素数の数が等しくなるxじゃね？
. 5
7 ◯
11
. 13 ◯
17
. 19 ◯
. 23
. 29
31
37 ◯
‥‥
じゃね？
291:１３２人目の素数さん
20/07/18 16:43:28.40 0zzOlKhr.net
ペアノの公理からsuc(x)≠xってどう示せますか
292:１３２人目の素数さん
20/07/18 17:02:27.36 ILbvGgBu.net
>>280
succ(0)≠0 (∵ 公理)
succ(x)≠xとする。
succ(succ(x))=succ(x)とする。
この時succ(c)=x (∵ 公理)
コレは仮定に矛盾。
∴succ(succ(x))≠succ(x)
293:１３２人目の素数さん
20/07/18 19:12:25 g+jGXdCT.net
>>277
小中学生でも問題の意味がわかるような問題とか、暗号みたいに何かの役に立っている数理をプログラムするのが楽しい。
例えば、こういう問題。内容的には中学入試らしいね。
容量8Lの袋と容量5Lの袋を使って池の水を丁度4L集めたい。袋に目盛りはついていません。
袋から袋への移し替えは全量で行います。
池からとる水の量や池に捨てる水の量には制限はありません。
最初に片方に満たした作業を１回目として丁度4Lを集めるのに最低何回の移動が必要か？
294:１３２人目の素数さん
20/07/18 19:57:15 oF5UZ0tr.net
集合 S の元 x に対する命題 P(x) と、整数に値をとる関数 N(x) に対し、
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。
(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
が成り立つならば P(x) は真である。
このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。
295:１３２人目の素数さん
20/07/18 20:12:54 RTC5RHCh.net
プログラムって
操作の組み合わせを総当たりで試すんか？
296:１３２人目の素数さん
20/07/18 20:26:21.61 unuiJqv3.net
掃出法で解きました合ってますか？合ってなかったから回答と途中式欲しいです
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
297:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:11:31.90 azmKl2Z7.net
次の２階微分方程式について，ラプラス変換を用いて解け.
y′′ − y′ − 6y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1
途中式もお願いします
298:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:14:57.49 LpM8jle/.net
多分筆記体のbなんだろうがhに見えるな
299:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:26:01.09 ZQ2fc39a.net
uもaの出来損ないみたいで気持ち悪い
300:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:29:05.79 xiJ191gm.net
>>283
命題ってただのS→{真,偽}のこと？
それなら偽の逆像の元で|N(x)|の最少値を探せば矛盾するから逆像は空集合、よって全て真が言えそう
301:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:
302:43:48.61 ID:gExieBKv.net
303:１３２人目の素数さん
20/07/18 21:59:31.88 r2iC/k0g.net
>>285
(上)
連立１次方程式
4x -3y -4z +3u -4v = -5 … (1)
-x +y +2z -v = 1 … (2)
-x -2z -2u +5v = 1 … (3)
を解け。
(略解)
(1) + (2)･3 + (3) より
u -2v = -1 … (4)
u= 2b-1, v=b,
(2)+(3)+(4)･2 より
-2x +y = 0,
これらより
[x] [-2a+b+1]
[y] [-4a+2b+2]
[z] = [a]
[u] [2b-1]
[v] [b]
ただし a,bは任意。
304:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:00:44.95 gExieBKv.net
>>289さんの方針でも清書してみました。
A={x∈S∥P(x)が偽} , B={|N(x)|∥x∈A} とする。
非負整数の集合であるBの最小値を与えるAの要素のうちの1つをx1とする。
(iii)の対偶から、P(x)が偽であるならば「|N(y)| < |N(x)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在する」が成り立つ
したがってP(x1)が偽であるから|N(y)| < |N(x1)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在することになるが、これはx1の最小性に矛盾する。
305:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:04:03.59 ZQ2fc39a.net
|N|の値域で帰納法使えばいいんじゃないの？
306:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:12:42.43 g+jGXdCT.net
>>277
N以下の素数で均衡素数を表示させてみた。
F <- function(N){
library(numbers)
prime=Primes(N)
n_p=length(prime)
f1 <- function(x) x%%6==1
f5 <- function(x) x%%6==5
p1=prime[sapply(prime,f1)]
p5=prime[sapply(prime,f5)]
f <- function(p) sum(p1<=p)==sum(p5<=p)
p=NULL
i=1
lp=length(p)
while(i <= n_p){
x=prime[i]
if(f(x)==TRUE) p=c(p,x)
lp=length(p)
i=i+1
}
p
}
> F(1e3)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e4)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e5)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e6)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
あとは知らん。
307:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:17:22.61 r2iC/k0g.net
>>286
0 = tt-t-6 = (t-3)(t+2),
より 特性根は -2, 3.
ラプラス変換を
y = a{e^(-2x) -1} + b{e^(3x) -1}
とおく。
これを与式に代入して解くと
a=0, b=1/3,
y = {e^(3x) - 1}/3.
308:１３２人目の素数さん
20/07/18 22:20:20.76 /8opNUl+.net
>>291
ありがとうございます！掃出法でちゃんと解きなおせました
309:１３２人目の素数さん
20/07/18 23:27:53.72 V+gucW7C.net
>>294
計算機を使っても11個でお手上げ
ということですねわかりました
310:１３２人目の素数さん
20/07/18 23:39:26.08 azmKl2Z7.net
>>295
ありがとうございます
311:イナ
20/07/19 02:55:30.35 54rhSWVW.net
前>>268
>>282
1回目、5Lにとる。
2回目、8Lに移し替える。
3回目、5Lにとる。
4回目、8Lに3L移し替え8L満水、5Lに2L残る。
5回目、8L捨てる。
6回目、2L
312:を8Lに移し替える。 7回目、5Lとる。 8回目、8Lに移し替える。 9回目、5Lとる。 10回目、8Lに1L移し替え8L満水、5Lに4L残る。 ∴最低10回必要。
313:イナ
20/07/19 03:08:39.24 54rhSWVW.net
前>>299
>>282今仮に8Lの袋が満水で45°傾けて0.5L残る形状をしてたとしたら、
0.5×8=4(L)
∴最低8回必要とすることも可能。
314:イナ
20/07/19 03:13:52.63 54rhSWVW.net
前>>300あごめ、やっぱなしで。移して足し集めんなんで8+8=16(回)必要か。下手したら24回。
315:１３２人目の素数さん
20/07/19 03:28:40.17 Q0c7dRJp.net
傾けて半分にでけるんなら一発やん
316:１３２人目の素数さん
20/07/19 05:59:57.58 e2hOYqh2.net
>>297
コンピュータの使い方が下手だと解けないって問題かな
317:１３２人目の素数さん
20/07/19 06:01:02.12 HvlOJzdZ.net
放物線y=x^2のx≧0の部分をC、直線y=ax(a>0)とCの交点で原点OでないものをAとする。
C上の相異なる2点P(p,p^2),Q(q,q^2)に対し、直線PQを以下の全ての条件を満たすように定めたい。
それは可能か。可能ならばp,qをaで表せ。
（条件）
・0<p<a,a<q
・Cと直線OAと直線PQとで囲まれる3つの有限領域の面積が全て等しい
318:１３２人目の素数さん
20/07/19 08:51:57.00 w6BaQv4H.net
>>302
それだから問題を袋にした。
319:１３２人目の素数さん
20/07/19 08:52:40.08 VR45Obof.net
AB=5,BC=12,CA=13の△ABCにおいて、∠BCA=θ°とする。
360°<16θ<370°を示せ。
320:１３２人目の素数さん
20/07/19 09:41:49.25 w6BaQv4H.net
>>301
いや>299が想定した正解。
高校数学スレのグラフを使っての解法をプログラムして
値を変えても応用できるようにしただけ。
321:１３２人目の素数さん
20/07/19 10:50:24.47 w6BaQv4H.net
>>307
１３リットルの容器と７リットルの容器の移し替えで前者に１０リットルを満たすステップは１８回になったな。
プロラムにバクが紛れているかもしれんからもっと少ない回数で可能かもしれない。
１８回未満のステップがあれば提示希望。
13L 7L
1 13 0
2 6 7
3 6 0
4 0 6
5 13 6
6 12 7
7 12 0
8 5 7
9 5 0
10 0 5
11 13 5
12 11 7
13 11 0
14 4 7
15 4 0
16 0 4
17 13 4
18 10 7
322:イナ
20/07/19 11:18:32.16 54rhSWVW.net
前>>301
>>302題意より、それはできないよ。
袋にしたのは傾けて1/2にならないって意味だ。
放物線の回転体なら1/16になる。
半径1高さ1なら満杯でπ/2
45°傾けて∫[t=0→1]……dt
π/2-π/16=15π/32
満水:流出:残留=16:15:1
323:１３２人目の素数さん
20/07/19 11:35:51.27 w6BaQv4H.net
>>306
Wolfram先生によると
θ=22.6198649480404261729490108766797211594872729681881102887427570043581852608784595213388154454546402776839224441176...
だそうです。
324:１３２人目の素数さん
20/07/19 12:03:48.85 w6BaQv4H.net
>>308
１３Lと７Lだと１０Lを満たすのが一番ステップが多いな。
目的とする量を変化させてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
325:１３２人目の素数さん
20/07/19 12:16:25.84 w6BaQv4H.net
容器が21Lと１0Lの時は5と16が最小移動回数28回みたい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
326:イナ
20/07/19 13:29:13.36 54rhSWVW.net
前>>309
>>306
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5+0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
327:１３２人目の素数さん
20/07/19 13:48:16 kwUK2gxo.net
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
内田伏一『集合と位相』問16.6
(X, O)を位相空間とし、(Y, O_Y)をその部分空間とする。A⊂Yに対して、部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合は、位相空間(X, O)における
Aの導集合A^dとYとの共通部分A^d∩Yに一致することを示せ。
上の解答は見ただけで読んでいませんが、そうする必要は本当にありますか？
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明ではないですか？
328:１３２人目の素数さん
20/07/19 13:50:06 oSlxGVNN.net
自明ならすぐに証明できるはずですよね
329:いな ◆/7jUdUKiSM
20/07/19 14:27:57 54rhSWVW.net
前>>313訂正。>>306
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5÷0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
330:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:32:20 IjxIbCKw.net
>>306
tanθ=5/12 , tan(2θ)=120/119＞1=tan45°から 2θ＜45°すなわち 360°<16θ
0<x<π/2 で tanx＞x であるから tan(2θ-π/4)＞2θ-π/4
tan(2θ-π/4)={(120/119)-1}/{1+(120/119)}=1/239
2θ＜(π/4)+(1/239)＜(π/4)+(π/144)=370°/8
よって 16θ＜370°
331:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:38:08 w6BaQv4H.net
>>309
傾けるとこういう形になるのはイメージわくけど、体積計算はどうすればいい？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
332:306
20/07/19 14:40:44 IKMLtEXi.net
306（合計50点）
・12と13が挟む角θからtan2θを計算し、360°<16θを示す（18点）
・（注意）三角関数の計算によらない他の方針であっても勿論良い
・5,12,13の直角三角形を2つ張り合わせて、先の2θと図形的考察で16θ<370°（32点）
・三角関数などの考察を用いても勿論良い、テイラー展開を用いても良いが上下から不等式評価をしていなければ減点する
・（注意）ソフトウェアを利用した計算については、当該部及びその影響する部分に点を与えない。
333:306
20/07/19 14:42:07 IKMLtEXi.net
>>316
ゴミ、価値なし
334:306
20/07/19 14:42:46 IKMLtEXi.net
>>317
想定以上の素晴らしい解答
点数ではなく給付金を与えたい
335:１３２人目の素数さん
20/07/19 14:44:30 w6BaQv4H.net
16θ=361.917839168646818767184174026875538551796367491009764619884112069730964174055352341421047127274244442942759105881...
∴示されたｗ
336:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:07:36.97 WIR0lTu1.net
>>317
0<x<π/2 ⇒ x < tan(x),
を使うのでござるか。
∴ 2θ - π/4 < tan(2θ -π/4) = 1/239,
∴ 16θ < 2π + 8/239 = 361.91785036°
誤差 0.0000112°
かなり近い…
337:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:50:10.37 v8DrEVQJ.net
f(x) を整数係数の 1 変数多項式とする。正の整数 n に対し、
有限個の n を除いて f(n) が素数となるような f は定数に限ることを証明せよ。
338:１３２人目の素数さん
20/07/19 16:52:50.00 m6+VaLKl.net
f(a)=p⇒f(a+np)=p for almost every n
339:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:02:10.09 WIR0lTu1.net
>>304
弓形OPA = (1/6)(a-0)^3,
弓形PAQ = (1/6)(q-p)^3
が等しいことから、必要条件
q-p = a-0,
が出るが、さて････
OA： y = ax,
PQ： y = (p+q)x -pq,
の交点Xは (pq/(p+q-a), apq/(p+q-a))
340:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:33:10.24 kwUK2gxo.net
>>314
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明であり、集積点の定義をそのまま使った素直な解答だと思います。なぜ
URLﾘﾝｸ(www.shokabo.co.jp)
のような解答なのかが分かりません。
341:１３２人目の素数さん
20/07/19 17:51:41.26 WIR0lTu1.net
続き
OA： y = ax,
PQ： y = (2q-a)x - (q-a)q,
の交点Xは (q/2, aq/2)
題意から
p^3 -3aap + a^3 = 0,
３つの実根のうち 0<p/a<1 を満たすものは
p = 0.3472963553338607 a,
q = 1.3472963553338607 a,
かな？
342:イナ103
20/07/19 17:52:29.04 54rhSWVW.net
前>>316
>>318
ほかスレで最近やって欠円を足し集めるんだったような、
やろうとして放置してたような。
放物線1回転を満杯でπ/2になるのは∫[t=0→1]πtdt=π/2
∵半径√tだから。
343:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:06:08.32 ql20IEpN.net
>>327
一応「閉包」と言ってもXでの閉包とYでの閉包で異なる、ということに注意が必要ってことかな
まあYでの閉包=Xでの閉包∩Yなんだけどそれは少し考えておく必要がある
344:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:39:01.97 IjxIbCKw.net
>>304
直線OAと直線x=pの交点をB、直線PQと直線x=aとの交点をC、直線OAと直線PQの交点をEとする。
囲まれる3つの有限領域について、O-P間を領域S,P-A間を領域T,A-Q間を領域Uとする。
>>326からq=a+pのとき領域SとUの面積は等しいので、あとは領域SとTの面積が等しければよい。
点E(>>326における点X)のx座標は (a+p)/2 であるから、線分ABの中点がEなので△APEと△BPEは面積が等しい。
したがって、Sから△BPEを除いた領域とTから△APEを除いた面積は等しい。
∫[0~p](ax-x^2)dx=(1/6)(a-p)^3
3ap^2-2p^3=(a-p)^3
a^3-3a^2p+p^3=0
あかん、この3次方程式解けんわ。ギブアップ。
345:１３２人目の素数さん
20/07/19 18:49:27.87 ql20IEpN.net
>>325
f(a+np)=pではなく無限個のnに対して(±pとは異なる)pの倍数になるってことかな
それで>>324が示せてますね
346:１３２人目の素数さん
20/07/19 19:37:07.01 G6h2CBYL.net
>>277
>>294
10億まで調べたが（GPUで10分ぐらい）それ以降のが見つからんな
import math
import sys
from tqdm import tqdm
MAX=int(sys.argv[1])
merk=int(MAX/20)
record=dict()
sosu=[2,3,]
kinko_sosu=[2,3,]
def isPrime(n):
m = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
for p in sosu:
if n % p == 0:
return False
if p >= m:
return True
cnt_1mod6=cnt_5mod6=0
cnt_p=2
for i in tqdm(range(5,MAX)):
if isPrime(i):
cnt_p+=1
sosu.append(i)
if i % 6 == 1:
cnt_1mod6 += 1
elif i % 6 == 5:
cnt_5mod6 += 1
if cnt_1mod6 == cnt_5mod6:
kinko_sosu.append(i)
if i % merk == 0:
record[i] = str(round(100*(cnt_5mod6 - cnt_1mod6)/cnt_1mod6,3))+'%'
print(kinko_sosu)
print(record)
100%|██████████| 99999995/99999995 [09:58<00:00, 167059.18it/s]
[2, 3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 163, 223, 229]
{5000000: '0.075%', 10000000: '0.057%', 15000000: '0.063%', 20000000: '0.056%',
25000000: '0.027%', 30000000: '0.041%', 35000000: '0.054%', 40000000: '0.038%',
45000000: '0.039%', 50000000: '0.011%', 55000000: '0.028%', 60000000: '0.02%',
65000000: '0.033%', 70000000: '0.033%', 75000000: '0.029%', 80000000: '0.028%',
85000000: '0.02
347:1%', 90000000: '0.021%', 95000000: '0.016%'}
348:１３２人目の素数さん
20/07/19 19:39:45.44 G6h2CBYL.net
>>333
まちがえた10億じゃなく1億
sys.argv[1]を10**8で実行した結果
349:１３２人目の素数さん
20/07/19 20:56:06 w6BaQv4H.net
>>329
残った水の立体イメージがわかないなぁ。
ようやく容器の３D画像が作図できた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
350:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:15:56 w6BaQv4H.net
>>331
Wolfram先生に聞いたらどうでしょうか？
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
351:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:25:08.67 w6BaQv4H.net
>>336
p = (i ((-2 + 2 i sqrt(3))^(2/3) (sqrt(3) + i) - 2 2^(1/3) (sqrt(3) + -i)) a)/(4 (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = ((-2 + 2 i sqrt(3) + 2^(1/3) (-1 - i sqrt(3)) (-1 + i sqrt(3))^(2/3)) a)/(2 2^(2/3) (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = (1/(1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3) + (1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3)) a
と表示されたので実数解なし？
352:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:36:13 J+xnJajH.net
実数係数の1変数3次方程式は少なくとも一つは実数解を持つことを示せ。
353:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:41:37 w6BaQv4H.net
y = x^3-3*a^2*x+a^3
dy/dx = 3*x^2 -3*a^2 = 3(x+a)(x-a)
-Inf -a a Inf
増加 0 減少 0 増加
実数解が3個ありそう。
354:１３２人目の素数さん
20/07/19 21:58:30.92 w6BaQv4H.net
>>338
微分して=0は二次方程式になりその実数解は０か２個だから。
355:イナ
20/07/19 22:10:55.14 54rhSWVW.net
前>>329
>>318
残り水エリア全体のうち左1/4の地点の底がもっとも深くなる。
答えはπ/32になると思ったんやが、
∫[t=0→1]｛tθ-t√(t-t^2)｝dt=π/32
こうするしかないの。
356:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:37:18 ql20IEpN.net
f(p)=p^3-3a^2p+a^3
は
f(0)=a^3>0
f(a)=-a^3<0
極値は±a
だから
0<p<aの範囲内では実数解を1つ必ず含む
その解をβとしたとき
p=β、q=a+β
が題意を満たす唯一の場合
でいいのでは？
357:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:40:59 EEvJArmH.net
x→∞とx→-∞で符号が変わる
中間値の定理から根をもつ、終了
358:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:45:15 ql20IEpN.net
>>343
一般にはそれでいいけどこの場合は0<p<aの解の存在を確認する必要がある
359:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:50:04 IjxIbCKw.net
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
360:１３２人目の素数さん
20/07/19 22:50:08 IjxIbCKw.net
遅くなって申し訳ない。>>331の続き。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
361:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:19:01.19 ql20IEpN.net
>>346
解が1つしかないというのは確認しておくべきかと思いました
それとu^3,v^3に対してu,vは一般には1の3乗根1,ω,ω^2分不定性がありますが、そのうちどれが正しく0<p<aの解を与えるかってすぐ分かりますか？
362:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:39:12.35 w6BaQv4H.net
>>341
x＝x^2+t^2
α=1/2 (1 - sqrt(1 - 4 t^2))
β=1/2 (1 + sqrt(1 - 4 t^2))
t=[-1/2,1/2]
β-α=sqrt(1-4*t^2)
f=function(x) (sqrt(1-4*x^2))^3/6
数値積分して
integrate(f, -1/2,1/2)$value
> integrate(f, -1/2,1/2)$value
[1] 0.09817476
> pi/32
[1] 0.09817477
なのであってる。
363:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:44:51.84 IjxIbCKw.net
>>347
ωu+ω^2v 型と ω^2u+ωv 型は実数にならんやろ。
364:１３２人目の素数さん
20/07/19 23:58:22.11 ql20IEpN.net
>>349
三つとも実数解ですよ
365:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:00:35.78 XR4sAz1M.net
>>350
そうなんか。ならわからんわ。すまんな。
366:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:11:24.07 nmySNGOX.net
d2(X,Y)=min{d(X,Y), d(X,P)+d(Q,Y), d(X,Q)+d(P,Y)}
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
367:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:22:46.71 RqCIPLxB.net
>>352
全然違うでしょ
その定義なら d2(P, Q) = 0 だし
368:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:28:43.79 nmySNGOX.net
そ、そうなの？
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
369:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:30:49.15 RqCIPLxB.net
>>354
え？ d は距離関数じゃないの？ d の定義は？
370:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:03.63 nmySNGOX.net
dの定義は
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
371:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:34:39.63 nmySNGOX.net
d(x,y)=d(y,x)だった
372:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:36:37.40 RqCIPLxB.net
一般的な距離関数か
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
373:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:39:17.81 nmySNGOX.net
あなるほどX=P,Y=Qと置けば矛盾してるってことですか？
374:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:42:56.87 RqCIPLxB.net
あれ、>>356の定義には非負性がないな
書き忘れただけ？
375:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:45:32.49 5DiCRFL4.net
ところで、もしかして擬距離にはなるとか？
376:１３２人目の素数さん
20/07/20 00:46:56.48 nmySNGOX.net
非負性書き忘れました
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
377:
20/07/20 00:51:44.37 X97OSaWf.net
前>>341
>>348あってるのはわかる。微積やってたころは授業無視して内職したり帰って図書館行ったら母校の元校長先生がお勤めだったり、遅刻して校長室におかん呼び出されたり、そういう時期だから、微積やってたっていっても我流なんだよ。せやでちゃんと計算過程というか立式、式変形をやってほしい。それとも今の微積はこんなちんぷんかんぷんな分野に変わり果ててしまったのか？
378:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:16:13.32 nUrDVePB.net
>>363
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
379:１３２人目の素数さん
20/07/20 01:27:08.61 nUrDVePB.net
>>363
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
380:イナ
20/07/20 02:04:18.52 X97OSaWf.net
前>>363
>>364
半分流れ出るのは20°ぐらい傾けたころか。
381:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:12:44.79 7L+So4zP.net
>>328
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
382:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:23:48.30 7L+So4zP.net
>>337 >>345-347
実根が1つのときはカルダノの解法が使えるけど、
実根が3つのときはチェビシェフT_3 ですよ。
ついでに
複素数の累乗根を求めるときは、一般には三角関数やその逆関数を使わざるを得ない。
それを「代数的」解法と呼ぶのはチョト違和感ある。
383:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:25:50.40 5DiCRFL4.net
なるほど！
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
384:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:31:35 5kHP8VXE.net
地上51階建ての超高層ビルの1階にある1つのエレベーターの昇りに50人の乗客が乗っている。
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
385:１３２人目の素数さん
20/07/20 02:44:12 5DiCRFL4.net
一般に3次式は
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
386:イナ
20/07/20 03:58:11.49 X97OSaWf.net
前>>366
>>370エレベーターが止まる回数は、
51-2=49(回)
50人乗っていて必ずどこかの階で降りるなら、
2人以上降りる階が存在する確率は100%。
387:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:07:34.30 wDVO0y0E.net
上リーマン積分をinfU(f,P)になるようにU(f,P)を定義すると、［a,b］の分割Pとa≦x≦bで［a,x］の分割P*に対して、U(f,P)≧U(f,P*)としてもいいのでしょうか？
388:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:26:44.23 nUrDVePB.net
>>366
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
389:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:48:23.29 nUrDVePB.net
>>374
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
390:１３２人目の素数さん
20/07/20 06:56:18.13 nUrDVePB.net
>>363
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
URLﾘﾝｸ(www5a.biglobe.ne.jp)
391:１３２人目の素数さん
20/07/20 08:09:56.40 nUrDVePB.net
放物線回転体でなくて半球面の容器だったら何度傾けたら半分が流出するんだろうな？
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
392:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:16:50.22 YQeFWcOT.net
なんでn次元球の体積にガンマ関数出てくるの？？
393:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:18:46.51 5DiCRFL4.net
まあガウス積分から出ると言えばそれまでなんだけど、何か不思議な感じはする
何か他の説明もあるかもね
394:１３２人目の素数さん
20/07/20 09:44:43.18 5DiCRFL4.net
ガンマ関数のせいでπのべきが2次元ごとに上がる仕組みになるけど、これの幾何学的な見方あるのか気になるわ
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
395:１３２人目の素数さん
20/07/20 10:28:42.34 7L+So4zP.net
>>371
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
396:１３２人目の素数さん
20/07/20 11:14:37.47 TUZtsszF.net
>>373
ここは大学レベルの解析できる人いない。大学で聞きな。
397:イナ
20/07/20 12:07:25.70 X97OSaWf.net
前>>372
>>376
83年やったら赤本で解いとるな。俺を押しあげた原動力やないか。
体積Vを傾きθの関数として式で表したりはせえへんのやな。
398:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:15:50.15 8U06FTgH.net
>>373
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
399:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:17:54.56 nmySNGOX.net
R^2 の部分集合A;B を
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
400:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:23:45.00 Q6FR/3IX.net
n次元ガウス積分を球殻の積分に変換して、n次元球殻の式を求めて、 n次元球体積 を計算。
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れ�
401:髣摎Rに思い悩むこともない。
402:１３２人目の素数さん
20/07/20 12:40:57 8U06FTgH.net
>>385
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
403:１３２人目の素数さん
20/07/20 13:19:47.04 XR4sAz1M.net
>>385
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
404:１３２人目の素数さん
20/07/20 14:27:26.64 s1vVv4OY.net
加法群Qから加法群Zへの準同型をすべて求めよ。
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
405:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 14:59:24 X97OSaWf.net
前>>383
>>375二次関数なのか？
Ｖ=π(θ-63.43495)^2/(2×63.43495^2)
406:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:06:23 8U06FTgH.net
>>389
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
407:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 15:13:29 X97OSaWf.net
前>>390
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
408:１３２人目の素数さん
20/07/20 15:18:27 nmySNGOX.net
>>388
なるほど(2)そんな感じで変形すればすぐ00って分かるのか・・・
本当助かりました
409:ID:1lEWVa2s
20/07/20 16:13:58.63 RzdnH0aw.net
15-20°らへんで大丈夫。
410:１３２人目の素数さん
20/07/20 17:37:57.52 lAt0w4jn.net
レベルが低くて申し訳ありません。
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
411:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:23:20 teO71RHL.net
>>395
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
412:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:31 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
413:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/20 18:32:32 X97OSaWf.net
前>>392
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
414:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:41:56.87 IpCAikQP.net
>>396
それ計算すると結局12/25じゃね
415:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:51:09.27 pd+n799G.net
>>392
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
416:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:53:54.56 /Dhz880Y.net
>>399
だねw
質問者がどういう考え方なのかイマイチわからんけど解答は合ってると思うw
417:１３２人目の素数さん
20/07/20 18:55:46.66 XNmsd8xI.net
交換云々は考える必要が無く、12枚引けると考えていい
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
418:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:47:18.50 pd+n799G.net
>>395
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
419:１３２人目の素数さん
20/07/20 19:59:10.33 pd+n799G.net
>>403（バグ修正）
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
420:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:00:11.71 pd+n799G.net
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
421:395
20/07/20 20:15:01.76 fuln0D8r.net
皆様方ご丁寧にありがとうございます。
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
422:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:52:49.04 32P3Et7b.net
>>405
困った。数理解の方が正しく思えるが
どこにバグがあるかわからん:(
423:１３２人目の素数さん
20/07/20 20:59:40.00 32P3Et7b.net
最初の10枚にレアカードがあったのに交換で失ってしまう可能性があるから、確率は12/25より小さくなる気がするのでシミュレーションの方が正解に近い
424:気がする。
425:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:06:31.84 xIvtqjxr.net
レアカードを故意に破棄ってのは選ばない前提なんじゃないのか
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
426:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:20:08.11 pd+n799G.net
>>409
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
427:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:38:34.97 32P3Et7b.net
カードは裏返したまま（レアカードかどうかは確認できない）で交換とすると２枚になると場合分けが面倒だな。
428:395
20/07/20 21:47:48.67 fuln0D8r.net
混乱させてしまっているので後出しで申し訳ありませんが追記します。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
429:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:09.28 pd+n799G.net
>>411
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
430:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:42.01 xIvtqjxr.net
>>412
それなら>>402で合ってると思う
431:１３２人目の素数さん
20/07/20 21:53:56.41 pd+n799G.net
>>412
そういう設定だと、数学問題として面白くないなぁ。