20/07/07 23:26:07.20 UGF9ZM36.net
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね460
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
(使用済です: 478)
2:１３２人目の素数さん
20/07/08 02:39:22.28 +oSko8de.net
Γ(3)
3:１３２人目の素数さん
20/07/08 16:50:43 PRCw00D2.net
>>2
Γ(3)＝2!＝2、つまり乙か
おつおつ
4:１３２人目の素数さん
20/07/08 22:41:04 Wj1QdLQI.net
この問題の解き方教えてください！
「任意の4桁の数字を選び、その数字に関して、
ストレート(４桁の各数字と並びの順序が一致)や
ボックス(４桁の各数字が一致（並びの順序は問わない）)という当たり方がある、ナンバーズ4という宝くじに関して、巷で言われている、ある「理論」について考察してみよう。
それは、ナンバーズ4の達人と巷で騒がれている、
ミラクル・チャーリー氏が提唱する、「足す9理論」である。
これは、「4つの数字の中の2つは足して9になる数字を選ぶこと」らしい。
例えば「0935」の0+9=9、「3468」の3+6=9などが該当する。
なお、足して9になるペアを1つ作れば、他の2つの数字は何でも可とするらしい。
(つまり、0945のように、足して9になるペアが2つあってもよい。)
(1)
2秒で(つまり、直感で(※))、
以下の事象の確率を予想せよ。
(出題者の意図などを忖度せず、正直に答えること。)
(※)…直感については、
神永正博著
『直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 (ブルーバックス)』
などを、この問題に取り組んだ後にでも参照することを薦める。まずは、この問題に取り組もう。
(制限時間:2秒)
------------------------------------------------------
「足す9理論」が当選番号に生じている確率
------------------------------------------------------
予想はどうだっただろうか？
実はこの「理論」、過去の抽選100回中49回の当選番号に出現している、つまり、出現率49%を誇る理論と巷では言われている。(2019年8月9日時点)
「高っ！」と思っただろうか。
それとも、「低くない？」だろうか。
いやいや、「そんなもんだろ。」だろうか。
どう思ったかは兎も角、
(2)へ進もう。
(2)
(1)で扱った事象の確率を、今度は直感ではなく、計算して求めよ。
5:１３２人目の素数さん
20/07/08 22:41:17 Wj1QdLQI.net
(3)
(2)の結果を踏まえて、(1)での直感での予想との比較や、この「理論」の実績値について、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号(下部に添付)も参照しつつ考察せよ。
特に、「足す9理論」を理論として、支持するor支持しないorどちらでもない、
のどの立場を取るか、その理由とともに明記すること。
最新100回(5373回～5472回)(後ろのほうが最新)の当選番号
→
2808.5857.1913.9958.9209.0978.4752.8713.8836.0335.
8687.9217.2207.1775.0425.0773.9447.5706.3983.4477.
4097.7214.5351.3012.6240.2973.5141.2598.4906.9561.
4717.4489.8864.7838.7034.1092.7573.2175.4803.4017.
2861.7072.5078.9836.0426.2402.2929.1429.8886.4893.
7278.8472.3775.0029.0828.1149.0491.3417.4430.2116.
9011.7471.6531.6845.2369.4996.3752.1598.7886.5859.
7709.4767.1447.2739.7732.8473.3036.0517.8183.3061.
8609.3730.0881.8475.9617.0722.8256.1944.8970.6754.
8139.7206.6079.4370.9421.1341.9147.0386.9856.7437(最新)」
という宿題です。
回答のほど宜しくお願い致します。
6:１３２人目の素数さん
20/07/09 01:33:10 99JjRDb8.net
実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x<a)、=x(x≧a)で定める
値域のRにユークリッド位相を入れたとき、{f_a}_{a∈R}による始位相は何か
答えはあるr>0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
7:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:01:55 XFAfLnLw.net
です
8:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:02:37 XFAfLnLw.net
>>6
> 実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
> まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
>>6
> 実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
> まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
9:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:03:19 XFAfLnLw.net
皆さまスマヌ
操作ミス
10:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:23:08.05 XFAfLnLw.net
>>6
その始位相には[1,1+r)の形の開集合は含まれない希ガス
11:１３２人目の素数さん
20/07/09 06:13:09.06 dYeNIQef.net
>>4
思考停止の虱潰しプログラム解
rm(list=ls())
(comb=combn(4,2)) # comb : 4つから２個を選ぶ組み合わせ６通り
f9 <- function(x){ # x:4個の数列,xの2個の和が9になるかTRUE/FALSEを返す
i=1 # i:1~6
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 2個の和が9か否かのフラッグ
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 次のcombの組み合わせで判定
i=i+1
}
return(flg)
}
# demo
(x=sample(0:9,4,replace=TRUE)) ; f9(x)
n4 <- function(num, N=10, digit = 4){ # 9 -> 0 0 0 9
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
nums=sapply(0:9999,n4) # 0 0 0 0 ～ 9 9 9 9 の行列
mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
> mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
[1] 0.463
12:１３２人目の素数さん
20/07/09 06:21:31.23 dYeNIQef.net
>>5
data=c(2808,5857,1913,9958,9209,0978,4752,8713,8836,0335,
8687,9217,2207,1775,0425,0773,9447,5706,3983,4477,
4097,7214,5351,3012,6240,2973,5141,2598,4906,9561,
4717,4489,8864,7838,7034,1092,7573,2175,4803,4017,
2861,7072,5078,9836,0426,2402,2929,1429,8886,4893,
7278,8472,3775,0029,0828,1149,0491,3417,4430,2116,
9011,7471,6531,6845,2369,4996,3752,1598,7886,5859,
7709,4767,1447,2739,7732,8473,3036,0517,8183,3061,
8609,3730,0881,8475,9617,0722,8256,1944,8970,6754,
8139,7206,6079,4370,9421,1341,9147,0386,9856,7437)
N4=Vectorize(n4)
mean(apply(N4(data),2,f9))
> mean(apply(N4(data),2,f9))
[1] 0.44
p=0.463で表がでる確率のサイコロを100回投げて44回でるのは偶然の範囲か？
という問題に帰結できる。
> binom.test(44,100,0.463)
Exact binomial test
data: 44 and 100
number of successes = 44, number of trials = 100, p-value =
0.6889
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3408360 0.5428125
sample estimates:
probability of success
0.44
13:１３２人目の素数さん
20/07/09 07:02:56.31 dYeNIQef.net
コメントに間違いあった。
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
↓
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEでiが6以下であれば
14:１３２人目の素数さん
20/07/09 07:10:41.61 dYeNIQef.net
>>4
49/100でもやってみた。
> binom.test(49,100,0.463)
Exact binomial test
data: 49 and 100
number of successes = 49, number of trials = 100, p-value = 0.6168
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3886442 0.5919637
sample estimates:
probability of success
0.49
15:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:04:53 lBO5fTHS.net
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
16:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:05:43 lBO5fTHS.net
>>4
高校の休み時間に ブルーバックス読んでそう
17:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:12:16 dYeNIQef.net
>>5
２つの和は０＋０から９＋９まで
和の値と何通りの並べ方があるか列挙すると
> data.frame(sum=0:18,how_many=sum2)
sum how_many
1 0 523
2 1 974
3 2 1485
4 3 1924
5 4 2423
6 5 2850
7 6 3337
8 7 3752
9 8 4227
10 9 4630
11 10 4227
12 11 3752
13 12 3337
14 13 2850
15 14 2423
16 15 1924
17 16 1485
18 17 974
19 18 523
確率にしてグラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
和が９になる確率が一番高い。
18:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:52:59 G1Zs5JSn.net
>>15
問１（目盛なしの定規では）できない 問２できる
いずれも既に解決された問題である。「作図可能数」「立方体倍積問題」「折り紙公理」などで調べるとよいだろう。
具体的な実際の証明は知らん。
19:イナ
20/07/09 12:34:47.82 UN7iPTZa.net
(1)足して9になる2数がある組は100組中44組ある。
∴44%
(2)たとえば左端の数字を1としたら残り3桁に8が出れば当たり。
(1/10)+(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.1+0.09+0.081=0.271
左から2桁目に8が出ず、9/10の確率で出たその数字たとえば4と足して9になる数字5が残り2桁に出る確率は、
(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.09+0.081=0.271
54.2%かというとさにあらず。
8が出ず4が出て5がでないかわりに8が出てる場合を数えてるから引かないかん。
(9/10)(1/10)+(9/10)(8/10)(1/10)=0.09+0.072=0.162
足すと0.271+0.162=0.433
∴43.3%
20:イナ
20/07/09 12:57:10.00 UN7iPTZa.net
前>>19
>>5(3)
(2)で求めた43.3%という値は(1)の44%というたまたま出た値と近いので、あってる可能性があり、この「足す9理論」なかなかおもしろい。しかしながらたまたま近い確率で起きるだけで、足すと9になる数字があることと当選番号になる、すなわち当たることとのあいだに相関関係がない。したがって指示するわけがない。しかも50%以上負けるなら、早めに辞めてほかに当たるべき。
21:１３２人目の素数さん
20/07/09 13:19:04.86 dYeNIQef.net
>>5
実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
最新100回のデータから「足すｎ理論(n=0～18)」の合致割合を出してグラフ化した。
棒グラフが理論値、●が最近100回のデータ
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
22:１３２人目の素数さん
20/07/09 13:44:24 dYeNIQef.net
>>21
＞実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
を検証してみる。
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
> data.frame(n=0:18,p.value=p_value)
n p.value
1 0 0.06694115
2 1 0.73486354
3 2 0.15838056
4 3 1.00000000
5 4 0.81649567
6 5 0.50653530
7 6 0.28929290
8 7 0.83650318
9 8 0.68631874
10 9 0.68887759
11 10 0.36279682
12 11 0.09787803
13 12 0.13732421
14 13 0.74018774
15 14 0.19849042
16 15 0.61374346
17 16 0.09087549
18 17 0.30811398
19 18 0.82095381
いずれもｐ値は0.05なので有意差なしといえる。
結論 ： 足すｎ理論で当たる確率を有意に上昇させることはできない。
23:１３２人目の素数さん
20/07/09 13:47:06 dYeNIQef.net
>>20
43.3%が既に間違い。
高校数学スレで正解がでているよ。
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:352番)
24:１３２人目の素数さん
20/07/09 13:56:56 dYeNIQef.net
>22(補足説明)
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
↓
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と
最近100件の実績での割合で「足すｎ理論」が有意差をもって成立するかをみるために二項検定でｐ値を出してみた
25:１３２人目の素数さん
20/07/09 14:08:51 dYeNIQef.net
>>20
理論も実績でも0.5を超えていないのはイナ大先生の仰せの通り。
0.5の線を引いてグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
26:１３２人目の素数さん
20/07/09 14:20:40 dYeNIQef.net
>>20
最近１００回のデータで
１の位は奇数であるだと、合致率0.58
１０の位は奇数であるだと、合致率0.59
１００の位は偶数であるだと、合致率0.56
１０００の位は偶数であるだと、合致率0.54
これをもって、どれが有利だといっても簡単すぎて誰もだまされないけど
「足す９理論」だと簡単には計算できないから騙される椰子がでそうだな。
ミラクル・チャーリー氏って 和が９になる確率が一番高い ことを知っているのではないかなぁ。
27:１３２人目の素数さん
20/07/09 14:30:39 dYeNIQef.net
>>22(脱字修正)
いずれもｐ値は0.05以上なので有意差なしといえる。
28:１３２人目の素数さん
20/07/09 14:43:05 RT+Tfjil.net
私の中学は後々聞いた話によると4人に1人が東大に行ってたそうなのですが
大学だとどのレベルの当たるのでしょう私はドロップアウトしたので
数学ができませんのでよろしくお願いしますm(_ _)m
29:１３２人目の素数さん
20/07/09 15:04:33.68 Ff6orw4Q.net
>>26
でも、彼のアメブロ
2020.06.27 14:40の「足す９理論・恐るべし！」という題名のアメブロ内で、
「以前は足す１０理論が最強だと思っていましたが今は足す９理論だと確信しております。」
と書いてるくらいだから、確率分かってるのか疑いたくもなる。
30:１３２人目の素数さん
20/07/09 15:25:24.46 Ff6orw4Q.net
足す9って、やっぱり、単なる経験則から言ってる事なのかね。
31:１３２人目の素数さん
20/07/09 15:30:58 Sj6DNfks.net
1/n+(1/n)^2+...+(1/n)^k = 1+(1/2)^n+...+(1/m)^n
を満たす自然数(n,k,m)の組が存在するならば、全て決定せよ。
32:１３２人目の素数さん
20/07/09 15:51:16 5Qw7UOqY.net
まさかこな足す9理論がここまでバズるとは
33:１３２人目の素数さん
20/07/09 16:26:35 SjJN6S2I.net
ランダムに選んだ数に和が９になる数字の組み合わせが頻発するからといって、和が９になる数字の組み合わせを含めた番号が当選しやすくなるわけじゃないぞ
34:１３２人目の素数さん
20/07/09 17:43:29.49 2IXNWIKB.net
>>31
n≧2 のとき
左辺 < 1/(n-1) ≦ 1 < 右辺
にて 不成立。
n=1 のとき
左辺 = k, 右辺 = H_m,
(n,k,m) = (1,1,1)
調和数列が自然数値をとらないなら、他にはない。
35:１３２人目の素数さん
20/07/09 17:46:38.69 dYeNIQef.net
>>32
>4の求めているのはプログラム解ではないのだろうな。
数学苦手の俺にはプログラム組む方が苦痛がなくていい。
36:１３２人目の素数さん
20/07/09 17:55:28.17 Sj6DNfks.net
>>34
ありがとうございます。n=1→自然数にならないを使うのはなるほどです、解けました。
37:１３２人目の素数さん
20/07/09 19:59:20.34 dYeNIQef.net
>>20
４つ足すと０以上になる番号を選べば勝率１００％と主張すると、嘘がすぐにバレるけど。
少し面倒な手順だと騙される人がでそう。
＞しかも50%以上負けるなら、
当選番号に足すと9になる数字がある確率は0.463と計算できたけど。
１００検体に４４検体が陽性のなんらかの所見があった場合に、陽性率が５０％を超える確率は
> pbeta(0.5,1+44,1+56,lower.tail=FALSE)
[1] 0.1161502
くらいあるから、役に立つ所見かもしれない。
38:イナ
20/07/09 20:02:36.48 v7wAitDN.net
前>>20
>>5(2)択一式なら、数えたりないこともありえるんで3%増しの46.3%を選んだほうが当たりやすい。
39:１３２人目の素数さん
20/07/09 21:44:44.58 vk7j87vO.net
この式変形がよくわからないんだけど、どうして二行目の形になるの？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
40:１３２人目の素数さん
20/07/09 22:05:50.89 K0j5JFoE.net
>>39
eの二次以降無視して主要項だけ比較してるんでね？
((1+le)^(1/le))^(-lT) (1-le)l
≒ ((1-le)^(-1/le))^(-lT) (1-le)l
= (1-le)^((-1/le)(-lT)) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e-1) l
= P(T)
41:１３２人目の素数さん
20/07/09 22:08:17.19 rGd/zfcB.net
>>33
計算させているうちにそれを混同してしまうのを狙っているんじゃないかな。
末尾が奇数なら当たる確率は約５０％と主張しているのと変わらんのだけどね。
42:１３２人目の素数さん
20/07/09 23:40:11 2IXNWIKB.net
>>34
〔補題〕m>1 のとき、調和数列 H_m は自然数ではない。
{1,2,････,m} を素因数分解したとき、2の指数の最大値は
e = [ log(m)/log(2) ]
であるが、この値をとる m は 2^e ただ一つである。
(2[m/2]+1)!!・2^(e-1)・H_m は半奇数である。
∴ H_m は自然数でない。 （終）
43:１３２人目の素数さん
20/07/10 03:18:08.60 GS5Vg5gt.net
（1）4以上のどのような自然数nに対しても、以下が成立することを示せ。
「ある1つの頂点に集まる辺の数が3であり、またある1つの頂点に集まる辺の数がn-1であるような凸n面体が、少なくとも1つ存在する。」
（2）凸2020面体の各頂点に集まる辺の数を小さい順にa[1],a[2],...,a[2020]と表す。これらの中に異なる数がx種類あるとして、xを最小にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
（3）（2）において、xを最大にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
44:１３２人目の素数さん
20/07/10 06:19:35 zO+7FxbR.net
>>42 (訂正)
であるが、この値(e)をとる m以下の自然数は 2^e ただ一つである。
45:１３２人目の素数さん
20/07/10 09:51:48 6RgBOybN.net
>>40
うーん、、
一番下の行からの流れはそれっぽいんだけど、一行目から二行目の近似が違う気がすんのよね
近似じゃなくてきれいに=で結べるはず
46:１３２人目の素数さん
20/07/10 11:27:06.86 pQuR8dtS.net
>>45
もし最初の≒以外が全部正しくて全体が一次近似でなく“完全に＝”であるなら
(1+le)^(1/le)=(1-le)^(-1/le)
が“完全に＝”という事になってしまう。
47:１３２人目の素数さん
20/07/10 12:03:52.03 z5Ec+T/R.net
>>43
(1) (n-1)角錐が条件を満たす。
(2) 2018角柱はx=1の2020面体である。
(3) わからん。誰か賢い人頼む。
48:１３２人目の素数さん
20/07/10
49:12:42:56.91 ID:sKWx9pyj.net
50:１３２人目の素数さん
20/07/10 13:19:23.63 uMeV9IwL.net
>>47
四角錐の頂点って４辺が集まっているのでは？
51:１３２人目の素数さん
20/07/10 13:32:22 pQuR8dtS.net
(2)合ってんだから見逃してやれよ。
そもそも数学的に意味ありそうなの(3)だけだけどコレは答え出そうにないし。
52:１３２人目の素数さん
20/07/10 13:33:08 xXosNU27.net
数学掲示板群 URLﾘﾝｸ(x0000.net)
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ URLﾘﾝｸ(x0000.net)<)
微分幾何学入門
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
53:１３２人目の素数さん
20/07/10 14:40:27.94 sFmsKvbI.net
>>49
底面は3だから良いじゃんか
>>43
(3) 隣り合った頂点を結ぶ辺長を0に連続的変形して
面数を変えず頂点と辺を1づつ減らす変形が可能,合体した頂点は辺数が増える
逆の操作をすれば辺数4以上の頂点を2つに分離して各頂点の辺数を減らせる
この操作を繰り返せばオイラーの多面体定理「面数+頂点数-辺数=2」を満たす限り
2018角柱から頂点と辺数の合計を減らしながら各頂点の辺数を増やせる
あとは手間の問題
54:ソクラテス
20/07/10 14:42:31.32 sKWx9pyj.net
>>48 です、
よろしくおねがいします。
55:１３２人目の素数さん
20/07/10 14:55:50.51 lRZCaj3x.net
>>52
イヤ、それでx=…の解を見つけてもそれがxの最大値である事示すの無理じゃない？
示せる？
56:１３２人目の素数さん
20/07/10 15:23:56.45 cMA3nUyw.net
(3)をやってみた
もっと効率のいい方法がありそう
5角形12枚、6角形n-12枚からなる
凸n面体を用意する。
頂点は2n-4個、辺は3n-6本となる。
元の面を5角錐、6角錐、…、(n+4)角錐に
置き換える。この頂点が、点に集まる
頂点の数の多様性を満たす。
辺どうしは元の凸n面体の辺に対応する位置で
1本ずつ接するようにし、残りの辺は
元の凸n面体の頂点ごとに
3、4、5、6角形を適当に貼り付けて
ひとつの凸多面体にする。
5, 6, 7, 8, 9角錐の頂点のうち5, 4, 3, 2, 1個には
余った辺を置くことができず、このような頂点は
最小で7個となるように配置できる。
残りの頂点に集まる辺の本数を
（0～1個の頂点を除き）すべて奇数とすると、
辺の本数の半分（端数切捨て）の多角形で
それぞれの頂点を埋めることができる。
方法は、3つの辺に近い順に対応する辺同士を
同一平面（ねじれの位置でない）にすることで
3, 4, 4, ..., 4, 5(または6) 角形で埋める。
以上の方法で元の凸n面体から作られる
新しい凸多面体の面の数は
(5+6+...+n-4)+(1/2){(5+6+...+n-4)-(3n-6)-(2n-4-7)}
=(3n^2+7n+68)/4
凸2020面体を作るときのnの最大値は
不等式 (3n^2+7n+68)/4≦2020 を解いて
n≦50
n=50のとき、最大で54角錐の貼り付いた
立体となる。面の数を表す多項式の値は
1979.5 となるので、余った辺が1つの頂点だけ
偶数本集まった 1980 面体ができる。
残りの40枚は、角錐の辺を増やす、または
余った辺の間に貼る面の数を増やす
（辺同士をねじれの位置にし、間に貼る4角形を
3角形2枚に変えて増やす）
ことで補正できる。
出来上がった立体の図示は省略。
57:１３２人目の素数さん
20/07/10 15:34:01.63 lRZCaj3x.net
>>55
その手の論法では
この方法でできるのは高々50
とか言えてるだけじゃないの？
その不等式はその方法で作れる限界が50以下って言ってるだけでしよ？
58:１３２人目の素数さん
20/07/10 15:37:37.70 uMeV9IwL.net
>>52
なるほど、一つでもあればいいのか。
59:１３２人目の素数さん
20/07/10 15:49:54.73 lRZCaj3x.net
オイラーの公式使ってもViをi分岐の頂点の数として2E=ΣkVk、S=2020としてVk≧1として得られる不等式
ΣVk - 1/2ΣkVk + 2020 = 2
2018 = Σ(k/2-1)Vk ≧ Σ[k=3,n] (k/2-1)
から得られる上限は50よりずっと大きい。
なので少なくともオイラーの公式だけから上限が50をいうのは無理だろ？
60:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:18:13.19 sFmsKvbI.net
当然だ
だから>>52 は各頂点の辺数を増やすと頂点と辺数の合計が減るのを使うのさ
61:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:24:38.71 kfYIbCP4.net
>>10
ああ、確かにa=1のときは(-∞,1+r)を含む集合でないといけないですね
a≠1のときはどうですか？
62:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:26:36.48 kfYIbCP4.net
a=1って何のことや……1の近傍ですね
1以外の近傍はどうですか？
63:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:27:14.56 xoHZLO9Z.net
nを自然数の定数とする。
I[p] = ∫[0,pπ] exp(-x^2n)*cos(x) dx
とするとき、有理数a,bを用いて
I[p] = aπ+b
となるように有理数pを定めることはできるか。
64:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:44:29.57 9F9BYvXY.net
>>60
それはいけると思ふ
65:１３２人目の素数さん
20/07/10 22:51:42.99 ItWjQjPC.net
以下の問題を解いたところ解答は合っていたのですが、求めたA^nにn=0を代入しても単位行列にならないのはなぜでしょうか？
あと5chでの行列の書き方はこれで良いでしょうか。左から順に第1,2,3行です。
次のAに対し、A^nを求めよ。
A=[1,2,0][-1,-2,0][0,0,1]
（答え）
A^n=
[(-1)^(n+1),2(-1)^(n+1),1+(-1)^n]
[(-1)^n,2(-1)^n,(-1)^(n+1)]
[0,0,1]
66:１３２人目の素数さん
20/07/10 23:04:34.05 9F9BYvXY.net
>>64
固有値が1,0,-1だから各成分は1^n、(-1)^n、0^nの線形結合。
67:１３２人目の素数さん
20/07/10 23:42:10.18 kfYIbCP4.net
>>63
ありがとうございます
68:１３２人目の素数さん
20/07/11 01:12:29 B2yGq7SY.net
ATANってどの数式で求めるのが一番良いの？
69:１３２人目の素数さん
20/07/11 02:08:18 DoTGX5Lp.net
>>65
ありがとうございます。実際に確認してみて理解できました。
ところでA^nにn=0を代入しても単位行列にならない場合、Aはどんな行列なのでしょうか。これは有名な話なのでしょうか。
70:１３２人目の素数さん
20/07/11 02:14:28 MbAvdViR.net
>>68
いやA^nのnにn=0代入したらいつでも0。
対角化可能な場合には固有値0を持ってて0^nを0にしてしまうとずれる。
例えば
A=[[2,0],[0,0]]
のとき
A^n=[[2^n,0],[0,0^n]]であってA^n=[[2^n,0],[0,0]]ではない(少なくともn=0で成立しない、左辺はE、右辺は[[1,0],[0,0]]になるから)
71:１３２人目の素数さん
20/07/11 09:45:23.72 ZnhtLn45.net
A^0 = E,
nが正の整数のとき
A^n =
[(-1)^(n+1), 2(-1)^(n+1), ０]
[(-1)^n, 2(-1)^n, ０]
[0, 0, 1]
nが正の奇数（1,3,5,････）のとき
A^n = A,
nが2以上の偶数（2,4,6,････）のとき
A^n =
[ -1, -2, 0]
[ 1, 2, 0]
[0, 0, 1]
ぢゃね？
72:１３２人目の素数さん
20/07/11 10:02:19.67 ZnhtLn45.net
>>48
「賢くなるパズル」(宮本哲也 著、学研、660円～）が解けるということ。
73:ソクラテス
20/07/11 11:01:31.55 4+vl7bxq.net
>>71
おれとか小学1年の頃に
正13角形の作図が5分で出来たわ
74:１３２人目の素数さん
20/07/11 11:14:55.53 ZnhtLn45.net
>>71
賢くなるパズル（読売夕刊、隔週土曜日）
解き方とルール
￣￣￣￣￣￣￣
★マス目に1～5の数字入れて 表を完成させる。
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、指定の数になる。
・同列（タテ、ヨコとも）に同じ数字は入らない。
75:１３２人目の素数さん
20/07/11 11:17:26.08 ZnhtLn45.net
例題（2020/07/04 練習問題）
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━┯━━┓
┃12│ 12 │ 12 ┃
┃ │ ┌─┴─┐ ┃
┃ │ │ 25 │ ┃
┃ ├─┴─┐ └─┨
┃ │ 16 │ ┃
┠─┴─┐ ├──┨
┃10 │ │ 12┃
┃ ┌─┴─┴─┐ ┃
┃ │ 12 │ ┃
┗━┷━━━┷━┛
76:ソクラテス
20/07/11 11:32:41.67 4+vl7bxq.net
>>71-73
そんな子供騙しは俺にはヌルすぎる。
甥っ子にでもやらせるわ。
77:１３２人目の素数さん
20/07/11 12:27:28.29 zlHZ4H/g.net
>>74
不完全作じゃないか
@4p23
43@p2
324@p
p@234
2p34@
78:１３２人目の素数さん
20/07/11 14:02:01.94 OLZkSUss.net
有限次元ベクトル空間V→Vで任意の基底に対して同じ表現行列を持つような線形写像を求めてほしいです
79:１３２人目の素数さん
20/07/11 14:03:13.87 q/EjM3fZ.net
>>77
0とid
80:１３２人目の素数さん
20/07/11 14:05:04.10 q/EjM3fZ.net
いや、idの定数倍
81:１３２人目の素数さん
20/07/11 16:36:50 LJSi5jQi.net
線形代数が苦痛なんですけど統計学のためには必須だそうで困っています
楽しく学ぶ方法を教えてください
82:１３２人目の素数さん
20/07/11 17:01:16 ZWTaEOa/.net
>>80
まずあなたにとっての「楽しい」を定義してください。
83:１３２人目の素数さん
20/07/11 17:31:28.95 ZnhtLn45.net
>>76
おみごと！
{@, p} = {1, 5}
ですね。
今日(11日)の夕刊の「前回(7月4日掲載)の答え」には
*前回の練習問題は答えが二つあります。
とあり、二つの答えが載っている。
その前まで ずっと一通りだったのに
前回だけ変えるのなら
出題のとき言ってほしいねぇ。
････とぼやいても後の祭か。
ぬるぽ
84:１３２人目の素数さん
20/07/11 18:07:35 C4App0qh.net
>>82
がっ
85:１３２人目の素数さん
20/07/11 18:22:18 wclDJC1O.net
>>81
勉強が始まって3分以内にドーパミンとエンドルフィンの量がピーク時の5/6以上となることです
86:１３２人目の素数さん
20/07/11 18:22:39 wclDJC1O.net
すいません
なぜかIDが変わっていました
87:１３２人目の素数さん
20/07/11 18:59:40.72 B8bpZBVV.net
>>85
別人がなりすましてるだけだろ
つまんねえから消えて
88:１３２人目の素数さん
20/07/11 19:24:25.67 B2yGq7SY.net
統計学が楽しいと思えていないなら二重の苦しみだね
89:１３２人目の素数さん
20/07/11 20:50:41.04 0IBr+fyw.net
>>87
統計と女の涙は信じるな と教わったぞｗ
英文のこっちの方が面白いけど。
Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.
90:１３２人目の素数さん
20/07/12 02:10:24.00 k/vM+55F.net
N を正の整数全体の集合とする。
n ∊ N に対し、 N^3 の部分集合 S(n) を
S(n) := {(a, b, c) ∊ N^3 | 0 < a < b < c かつ gcd(a, b, c) = 1 かつ lcm(a, b, c) = n}
によって定める。
ここで gcd(a, b, c) は a, b, c の最大公約数とし、 lcm(a, b, c) は a, b, c の最小公倍数とする。
S(n) の元の個数 #S(n) を全て決定せよ。
【例】 p, q を相異なる素数とすると、
#S(1) = 0
#S(p) = 0
#S(pq) = 4
#S((p^2) * q) = 10
91:１３２人目の素数さん
20/07/12 03:24:14.07 6807U8q+.net
2019/12/21 練習問題
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━┯━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠──┴─┼─┘ ┃
┃20 │ ┃
┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━┷━┷━━┛
92:１３２人目の素数さん
20/07/12 03:46:21.06 KuggHdvU.net
>>82
パズルとしてはちょっとね
>>90
>>73を前提に考えたら解が無さそう
00032
0002
0021
21345
32451
93:１３２人目の素数さん
20/07/12 03:48:43.49 KuggHdvU.net
整形してみる
┏━┯━━┯━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠──┴─┼─┘ ┃
┃20 │ ┃
┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━┷━┷━━┛
94:１３２人目の素数さん
20/07/12 04:04:36.77 6807U8q+.net
>>91
下2行は正しい。
95:１３２人目の素数さん
20/07/12 04:41:26.81 KuggHdvU.net
15234
43512
54123
21345
32451
きちんと認識できたようだ
96:ソクラテス
20/07/12 06:38:40.46 IPFJCByQ.net
自然対数 e = 2.718281828 について
小数点以下の
第9位までを暗記したい
方法A
e = "2.7 " + "1828" + "1828"
2.7 のあとに "1828" が2回繰り返される
方法B
e = "2.71" + {"828"←1→"828"}
2.71 の後に回文（1を軸にして 828 が左右対称に）
どちらが覚えやすいか？
97:１３２人目の素数さん
20/07/12 06:53:46.96 IPFJCByQ.net
しまった、昨日から
クソコテ 付けっぱなしだった…
アタシっていつもこう…orz
98:１３２人目の素数さん
20/07/12 06:54:49.33 6807U8q+.net
>>94
正解です!!
>>95
Aの場合は
e = 2.7 + 1828/99990 (?)
99:１３２人目の素数さん
20/07/12 10:33:59.42 k/vM+55F.net
>>89
例えば、 n = p^k （ p は素数）の場合、
#S(p^k) = k-1 ( k = 1, 2, 3, … )
となるので、 n が 1 つの素数のべき乗のときは完全に決定できる
ところが、 n の素因数が 2 種類以上になると途端に難しい
100:１３２人目の素数さん
20/07/12 11:49:50 k/vM+55F.net
予想
>>89の問題において、 n = p_1 * p_2 * … * p_k （ p_1, p_2, … , p_k は相異なる素数）のとき、
#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
= 2^(2+3+…+k) = 2^((k-1)(k+2)/2)
( k = 2, 3, 4, … )
この予想は真か偽か？
101:１３２人目の素数さん
20/07/12 11:49:55 PLqlj++l.net
n=1～100までをプログラム組んでだしてみた。
> m100
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23]
0 0 0 1 0 4 0 2 1 4 0 10 0 4 4 3 0 10 0 10 4 4 0
[,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44]
16 1 4 2 10 0 32 0 4 4 4 4 22 0 4 4 16 0 32 0 10
[,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50] [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56] [,57] [,58] [,59] [,60] [,61] [,62] [,63] [,64] [,65]
10 4 0 22 1 10 4 10 0 16 4 16 4 4 0 68 0 4 10 5 4
[,66] [,67] [,68] [,69] [,70] [,7
102:1] [,72] [,73] [,74] [,75] [,76] [,77] [,78] [,79] [,80] [,81] [,82] [,83] [,84] [,85] [,86] 32 0 10 4 32 0 34 0 4 10 10 4 32 0 22 3 4 0 68 4 4 [,87] [,88] [,89] [,90] [,91] [,92] [,93] [,94] [,95] [,96] [,97] [,98] [,99] [,100] 4 16 0 68 4 10 4 4 4 28 0 10 10 22>>95 >>95 こうやって習ったような記憶がある。 e = 2.718281828459045… 鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい （ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
103:１３２人目の素数さん
20/07/12 11:55:59 k/vM+55F.net
>>99
訂正
最初の漸化式
>#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
については k > 2 とする。
104:１３２人目の素数さん
20/07/12 13:05:39.70 V/YTPeNS.net
>>95
俺はAで覚えた
105:１３２人目の素数さん
20/07/12 13:24:37.73 IPFJCByQ.net
>>100
e = 2.718281828459045…
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい
（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
面白い覚え方ですね！
語呂合わせで覚えやすいし。
ただ、少数以下15位まで覚える事に
価値があるとは思えないので遠慮しときます。
>>102
>>95
俺はB派。
まず、おおむね、 2.71 だと覚える。
それから 「828」 を 数字の1 で左右対称の回文にする。
106:１３２人目の素数さん
20/07/12 16:13:42 1f2zAf6u.net
xy平面上の原点Oを内部に含む円を考え、方べきの定理を用いることで円の方程式
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
を導け。
に意味はありますか？ただ煩雑なだけだと思いますが、過程に発見でもあるんでしょうか。
107:１３２人目の素数さん
20/07/12 17:24:58.38 zYGftRSq.net
>>104
解答の方針をどのように立てるかのセンスを問う、煩雑な計算を正確にこなす能力を問う、などの出題意図が考えられます。
単に能力を問う問題であり、とくに発見はないかと。解答能力を試す問題ですから、意味はあるといえるでしょう。
108:１３２人目の素数さん
20/07/12 18:11:38.01 V/YTPeNS.net
やらない理由を求めてるだけだろ
109:１３２人目の素数さん
20/07/12 18:30:49.62 zYGftRSq.net
やらない理由を求めているだけではないだろうか、と憶測することはできますが
もしそうであったとしても質問スレであるから質問に対して解答をするのが妥当だろうと考え返答しました。
>>106さんの求める対応とは異なったようですので申し訳ありません。
110:１３２人目の素数さん
20/07/12 19:32:17.25 6807U8q+.net
>>95
Aはエジプト分数で書ける：
e = 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
>>99
k=2 (n=p･q) #S = 4 = 2^2 真
k=3 (n=p･q･r) #S = 32 = 2^5 真
k=4 #S = 208 ≠ 2^9 偽
#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) -1},
らしい。
111:１３２人目の素数さん
20/07/12 19:54:58 6807U8q+.net
>>89
T(n) := {(a,b,c) ∈ N^3 | gcd(a,b,c)=1 かつ lcm(a,b,c)=n }
とおく。
nにおける素因数pの指数をeとすると、題意により、
a,b,c におけるpの指数は {0,e',e} (0≦e'≦e)
e'=0 または e'=e の場合が各 3 とおり、
0<e'<e の場合が各 3!=6 とおりある。
∴ 合計 6e とおり。
n = (p_1)^(e_1)･(p_2)^(e_2) …… (p_k)^(e_k)
(p_1,p_2,…,p_k は相異なる素数) とすれば、
#T(n) = Π[i=1,…,k] 6(e_i) = (6^k)Π[i=1,…,k] (e_i)
T(n) は a=b=c を含まないが、a=b, b=c, c=a を含んでいる。
a=b ⇔ {i=1,…,k について、p_i の指数が等しい}
⇔
∀(1≦i≦k) (a,b,c) における p_i の指数は (0,0,e_i) または (e_i,e_i,0)
∴ 2^k とおり。
b=c, c=a についても同じ。
∴ T(n) のうちで 0<a<b<c を満たすものの数は
#S =
112:{#T - 3(2^k)}/6, ------------------------------------------------------- とくに nが平方因子を含まない (square-free) とき e_i = 1, (i=1,…,k) #T = 6^k, #S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) - 1},
113:１３２人目の素数さん
20/07/12 20:13:37 IPFJCByQ.net
>>97 >>108
よく使う定数の暗記のコツ を
つぶやいたつもりだけど、
予想以上のどエライ レス、
e = 多項式の形 が来てビックリした。
完全に高校のレベルを越えとるな。
複利計算の e = lim n→∞ (1+1/n)^n
の形しか分からんちん。
114:１３２人目の素数さん
20/07/12 21:40:27.47 k/vM+55F.net
>>109
すごい！
まさかここまで完璧にわかるとは
予想は k = 3 までしか計算していなかったことがバレてしまいました
#S(n) よりも #T(n) のほうが計算しやすいんですね
素因数の指数を使った数え上げがお見事です
115:１３２人目の素数さん
20/07/12 22:51:32.58 V/YTPeNS.net
>>107
そんな事は気にすんな
116:１３２人目の素数さん
20/07/12 23:57:09.33 wXCgZmRG.net
水理学の問題を聞いてもよろしいでしょうか？
117:１３２人目の素数さん
20/07/13 02:34:56 HRSk4TdL.net
実数a,b,cはある三角形の3辺の長さをなし、a<b<cである。
数列{a[n]}を以下の手続きにより定める。
・a[1],a[2],a[3]はa,b,cのいずれかであり、どの2つも相異なる。
・任意の自然数nについて、a[n],a[n+1],a[n+2]はある三角形の3辺の長さをなす。またn≧2のときa[n+2]≠a[n-1]である。
n≧4のとき、a[n]が取りうる値の範囲をa,b,cで表せ。
118:１３２人目の素数さん
20/07/13 09:00:58.64 lzIuvsEN.net
>>113
分野的には物理に近いから基本的には板違いだけど、質問内容が数学であればここでよい。
119:１３２人目の素数さん
20/07/13 09:27:47.91 lzIuvsEN.net
>>114
その条件ではa[n]は定まっていない。
多分(0,∞)になると思うけどきちんと書くのは面倒だな。
120:１３２人目の素数さん
20/07/13 11:25:13 56uC+FfU.net
相変わらず問題文書けてないけど
a[4]の範囲は[ |c-b|, |c+b| ]
n≧5に対しa[n]の範囲は(0, F[n-3]b + F[n-2]c] (ただしF[n]はFibonacci数列)。
121:１３２人目の素数さん
20/07/13 12:04:11.92 IUBSZ97G.net
モチーフ、weilコホモロジーのワキをみると
射影となってるんですが射影ではない場合は不成立なんですか
なんで射影なんだろうと
122:どんぐり
20/07/13 16:19:51 NpAoyxhb.net
以下の定積分を、途中式も含めて教えてください。
?(0,π) sin^2(Nx)/sin^2(x) dx
(?は普通のインテグラル)
123:１３２人目の素数さん
20/07/13 16:23:31 IKnK6y/n.net
>>117
問題文の不備はもう諦めた(´・ω・｀)
c-b > b-a のとき、a[1]=c とおくと
a[4] の下限をより小さい (b-a) にできる
あと区間はすべて
閉区間 [ ] ではなく開区間 ( )
区間の両端を許すと
途中で三角形がつぶれる
124:１３２人目の素数さん
20/07/13 16:37:04 tR49RdlH.net
>>120
あぁ、いずれかか。
125:１３２人目の素数さん
20/07/13 17:11:53.09 gelwpDGl.net
以下の条件を全て満たす四面体が存在することを示せ。
(1)どの辺の長さも整数
(2)どの面の面積も整数
(3)体積が整数
126:１３２人目の素数さん
20/07/13 17:23:05.81 tR49RdlH.net
>>119
In=∫(sin(Nx)/sin(x))^2dx=∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
とおいて積和公式から
I(n+1)+I(n-1)
=2∫(1-cos(2Nx)cos2x)/(sin(x)^2dx
=2∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
. + 2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
=2In
∴In=nπ
127:１３２人目の素数さん
20/07/13 17:37:19.11 tR49RdlH.net
>>122
O(0,0,0)
A(117,0,0)
B(117,520,0)
C(0,0,576)
など
128:１３２人目の素数さん
20/07/13 17:48:03.67 lzIuvsEN.net
>>124
BCもCAも整数ではないのだが
129:１３２人目の素数さん
20/07/13 18:01:20 90GcBM/H.net
ピタゴラス数からなる三角を組みあわせればいいのかな？
130:どんぐり
20/07/13 18:22:50.16 1vhLRIrd.net
>>123
2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
は奇関数だから0ってことですかね
あと解答の
=2ln
の部分からの詳細も教えて頂けるとありがたいです
131:１３２人目の素数さん
20/07/13 18:23:18.88 lzIuvsEN.net
>>126
それで実現できるのならそれでも十分ですが、辺の長さと面積がともに整数な三角形は直角三角形に限りません。
例えばピタゴラス三角形２つをくっつけた 13,37,40 の三角形なども面積は整数です。
132:１３２人目の素数さん
20/07/13 18:27:03.40 6erkOO0v.net
△ABCがピタゴラス三角形を貼り付けた形になれば良いのでしょうか？
133:１３２人目の素数さん
20/07/13 18:35:31.61 kPikv0hM.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ガウスとストークスの定理なんですが解説していただきたいです。
134:１３２人目の素数さん
20/07/13 18:55:49.28 nRP7fpY9.net
>>127
cos の倍角公式
1 - cos(2x) = 2sin(x)^2 から
∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/sin(x)^2 dx
= ∫2cos(2Nx) dx
=［ sin(2Nx) /N ](x=0,π)
= {sin(2Nπ) - sin(0)} /N
= 0, (周期性により0)
漸化式
I(N+1) + I(N-1) = ････ = 2I(N),
と
I(0) = ∫(0,π) 0 dx = 0,
I(1) = ∫(0,π) 1 dx = π,
から
I(N) = Nπ.
>>123
数学では、nとNは別の文字でつ。。。
135:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:02:10.84 tR49RdlH.net
>>125
あれ？昔作ったプログラムで出てきた答えなんだけど。
家帰ったら見直してみる
136:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:15:05.64 nRP7fpY9.net
>>119
直接計算するなら
D(x) = sin(Nx)/sin(x)
= {sin(Nx) - sin(-Nx)}/{2sin(x)}
= cos((N-1)x) + cos((N-3)x) + ････ + cos((3-N)x) + cos((1-N)x)}
= Σ[k=1,N] cos((-1-N+2k)x),
D(x)^2 = Σ[k=1,N］Σ[L=1,N] cos((-1-N+2k)x)・cos((-1-N+2L)x)
= (1/2)Σ[k=1-N,N-1］Σ[L=1-N,N-1] {cos(2(k-L)x)＋cos(2(-1-N+k+L)x)}
k=L となる項が N項、k+L=N+1 となる項が N項ある。
これらの項を積分すると ∫(0,π) dx = π,
その他の項を積分すると、周期性により 0,
よって、
I(N) = Nπ.
チト回りくどいが、D(x)はディリクレ核とか云うらしい。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第6章 Fourier式展開 §74 p.276 (5)の辺り
137:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:30:25.63 tR49RdlH.net
>>125
昔作ったプログラムでピタゴラス三角形四枚で四面体になるやつ探すやつで
(1,40/9,41/9)
(1,84/13,85/13)
(41/9,84/13,855625/13689)
(40/9,85/13,855625/13689)
は全部ピタゴラス三角形で四面体の4面になるはず
138:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:40:15.76 lzIuvsEN.net
>>134
ピタゴラス三角形4枚で四面体を作るだけなら、合同な三角形を4枚張り合わせるだけでええんやで。
体積整数をどうクリアするかって問題や。
139:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:49:02.72 tR49RdlH.net
>>135
いや、コレは体積も有理数
140:パズルマン
20/07/13 19:49:46.00 94MQ43DM.net
>>122
A-B
| |
C-D
AB=CD=3
AC=BD=4
AD=CE=5
体積＝0
141:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:51:43.27 lzIuvsEN.net
>>136
ってことは分母の公倍数をかければ>>122の答えになるんか。
ありがとうございますありがとうございます。
142:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:51:46.81 tR49RdlH.net
座標では
143:O(0,0,0) A(1,0,0) B(1,40/9,0) C(0,0,84/13) で4つともピタゴラス三角形。 OCは△OABに垂直なので体積も有理数
144:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:56:13.21 lzIuvsEN.net
>>139
AB=(2/3)√10 なんやけど。そのプログラムおかしくない？
145:１３２人目の素数さん
20/07/13 19:57:59.05 lzIuvsEN.net
私が勘違いしてましたすみませんすみません。
146:１３２人目の素数さん
20/07/13 20:13:44.22 tR49RdlH.net
オレの作ったプログラムは局面
(2x/(1-x^2))^2+(2y/(1-y^2))^3+1=z^2
の有利点を虱潰しに探していくプログラム
(x,y)=(1/4,3/11),(1/4,17/28),(4/5,6/7),‥
といっぱいある。>>134は3番目の解から作ったやつ。
おそらく無限にあると予想。
147:１３２人目の素数さん
20/07/13 20:52:00 nRP7fpY9.net
・稜長
OA = 1, OB = 41/9, OC = 84/13,
AB = 40/9, AC = 85/13, BC = 925/117,
・面積
OA⊥AB より ?OAB = OA･AB /2 = 20/9,
OA⊥OC より ?AOC = OA･OC /2 = 42/13,
OB⊥OC より ?BOC = OB･OC /2 = 574/39,
AB⊥AC より ?BAC = AB･AC /2 = 1700/117,
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 560/117,
148:１３２人目の素数さん
20/07/13 21:04:37 NLezK73X.net
1. ベクトル関数𝑭𝑭(𝑥,𝑦,𝑧)=(7𝑥－5𝑦+11𝑧)𝒊+(5𝑦－11𝑧+7𝑥)𝒋+(11𝑧－7𝑥+5𝑦)𝒌について、Gauss の発散定理や Stokes の定理を用いて、以下の演算を行え。ただし、 閉曲面 S に囲まれている領域の体積は 7 である。また、閉曲線 C は xy 平面の内部に存 在し、その向きは z が正の側から見て反時計回りの方向とする。閉曲線 C に囲まれて いる平面の面積は 17 である。
(1)∫∫ s𝑭∙ 𝒏d𝑆
(2)∫ c𝑭 ∙𝑑𝒓
教えてほしいです。
149:１３２人目の素数さん
20/07/13 21:06:29 NLezK73X.net
>>144
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
すみませんこれです。
150:１３２人目の素数さん
20/07/13 21:39:24 nRP7fpY9.net
>>143
・座標
O (0, 0, 0)
A (1, 0, 0)
B (1, 2x/(1-xx), 0)
C (0, 0, 2y/(1-yy))
・稜長
OA = 1, OB = (1+xx)/(1-xx), OC = 2y/(1-yy),
AB = 2x/(1-xx), AC = (1+yy)/(1-yy), BC = z,
・面積
OA⊥AB より ?OAB = OA･AB/2 = x/(1-xx),
OA⊥OC より ?AOC = OA･OC/2 = y/(1-yy),
OB⊥OC より ?BOC = OB･OC /2 = (1+xx)y/{(1-xx)(1-yy)},
AB⊥AC より ?BAC = AB･AC /2 = x(1+yy)/{(1-xx)(1-yy)},
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 2xy/{3(1-xx)(1-yy)},
151:１３２人目の素数さん
20/07/13 21:43:32 nRP7fpY9.net
>>142 のデータから
(x, y, z，2x/(1-xx), 2y/(1-yy))
= (1/4, 3/11, 1073/840，8/15, 33/56)
(1/4, 17/28, 221/99，8/15, 952/495)
(4/5, 6/7, 925/117，40/9, 84/13)
指数3ぢゃなくて２でつね。
152:１３２人目の素数さん
20/07/13 22:23:18.05 tR49RdlH.net
>>147
そうそう^3じゃなくて^2。
昔この話題が出たときピタゴラス三角形四枚貼ってできないのかな？と思って理詰めではわかんなかったのでプログラム組んで探してみたらいっぱいあるやんと思ったやつ。
いっぱいあるだけで有限個なのか無限にあるのかは不明。
153:１３２人目の素数さん
20/07/13 22:38:44 XZzDguGr.net
>>144
F の発散と回転を計算すると ∇・F = 23, ∇×F = (16,18,12)
(1) Gauss定理から発散の体積積分だから 23×7
(2) Stokesの定理から回転の面積分で z 成分(zの法面)だから 12×17
154:１３２人目の素数さん
20/07/13 23:38:03.70 1imKQP6h.net
>>148
無限にあることの証明は容易
155:１３２人目の素数さん
20/07/13 23:44:26.23 tR49RdlH.net
>>150
どうやんの？
>>142の曲面に無限に非自明な解があるの示せるの？
156:１３２人目の素数さん
20/07/14 11:35:39.13 3BRP1M0T.net
6つある選択肢から好きなだけ選ぶ（ただし最低1つは選ぶ�
157:j場合の組み合わせの数を求める式は 6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6＝63になると思いますが、 これをさらに簡略化した式にすることは可能ですか？
158:１３２人目の素数さん
20/07/14 12:01:37.40 r8Eh/xbe.net
>>152
2^6-1
159:１３２人目の素数さん
20/07/14 12:46:14.46 ggC1zGXW.net
納i=0,n]nCi=2^n
n個から0取り出す場合の数って日常的イメージがわかないな。
nCi=nCn-iが成立するには1じゃないといけないけど。
160:１３２人目の素数さん
20/07/14 12:47:50.35 +ajg8F9c.net
すみません数字がまったく駄目なので質問させてください
車通勤のa君は片道20kmの一般道を平均時速70km/hで信号等もあるのでだいたいいつも45分で会社に着きます
法定速度の50km/h厳守で同じ道のりを走ったらどのくらいの時間がかかるでしょうか
馬鹿な僕には分からないので教えてくれませんか
161:１３２人目の素数さん
20/07/14 12:49:23.98 Qjs63CAj.net
>>150
面倒な方法しか思いつかん
162:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:00:50 r8Eh/xbe.net
>>155
平均が70ってとんでもない爆走じゃねえか
最高が70なんじゃないの？
止まってる時間や加速している時間、50を超えてる時間がどれくらいあるのかとか複雑で実際に50を守って走って検証したほうが早い
163:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:01:51 mTkA7bih.net
>>155
70km/hで走行したとき20kmの道のりは20/70[h]=17.143[min]かかるはず
つまり信号などで45-17=28[min]停止している
50km/hで走行したとき20kmの道のりは
20/50[h]=24[min]かかるはず
信号に70km/hのときの同じだけ時間が取られるとすると24+28=52[min]かかる
…ことにはなるけど、信号で停まりすぎな気がするし、同じだけ信号にかかるのかも不明なので問題がよくわからん
164:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:02:13 YRRsm6P6.net
高校数学スレからの発展問題
あるタクシー会社のタクシーには１から通し番号がふられている。
タクシー会社の規模から保有タクシー台数は１００台以下とわかっている。
何台観察したかは不明だが最大の番号が６０であった。
この会社の保有するタクシー台数の期待値を求めよ
尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
シミュレーションしてみたら
> # 観察された台数が不明なときのシミュレーション
> sim <- function(){
+ M=m=0 # m:観察台数 M:最大番号 (初期値0)
+ while(M!=60){ # M=60でないなら
+ N=sample(60:100,1) # タクシー総数Nを60 ~ 100から選ぶ
+ m=sample(1:N,1) # 観察する台数mを1 ~ Nから選ぶ
+ M=max(sample(1:N,m)) # N台からm台選択して最大値をMにいれる
+ }
+ return(N) # タクシー総数を返す
+ }
> re=replicate(1e4,sim()) # 1万回繰り返して平均値(期待値)を算出
> mean(re)
[1] 62.422
という値になった。
165:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:07:18 YRRsm6P6.net
>>155
信号の待ち時間が車速によらないと仮定すると
> 20/50*60 + (45-(20/70)*60)
[1] 51.85714
約52分
166:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:10:08 r8Eh/xbe.net
>>155
仮に、途中は時速70kmか止まっているかしかなくて20kmを45分だとすると走っている時間は17分弱ってことになる
時速50kmか止まっているかで20km進む場合、走っている時間は24分
止まって�
167:｢る時間が同じなら、7分ちょっと遅くなるだけってことになるから52分ちょっとかかることになる 現実的には流れに乗って走るのが一番だよ
168:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:13:33 YRRsm6P6.net
>>159
>尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
の意味
保有台数は60台から100台の間だから70台である確率も90台である確率も全部同じで1/(100-60+1)=1/41
保有台数が80台なら観察する台数が1台である確率も50台である確率も同じで1/80
といういう風に勝手に決めて計算。
169:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:18:38 YRRsm6P6.net
時速70ｋｍ走行での信号待ち時間が45-(20/70)*60=27.85714のとき
時速50ｋｍ走行での信号待ち時間はどう設定するのが合理的だろう？
ゆっくりだと信号にかかりやすいので27.85714*70/50でいい？
170:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:48:45.57 YRRsm6P6.net
>>162（自己レス）
これはだめだな。
観察する台数が60を超えたら最大数が60という前提に矛盾するから。
保有台数が例えば80台のときには観察台数の候補は１～80じゃなくて1～60にしないとだめだな。
171:１３２人目の素数さん
20/07/14 13:51:05.81 I71mojFF.net
>>156
面倒な方法でもいいので教えてたも。
172:１３２人目の素数さん
20/07/14 16:35:49.67 izTmRDlW.net
点Oを中心とする半径1の円Kの周上を3点A,B,Cが動く。
（1）内積↑AB・↑ACの最小値を求めよ。
（2）円の周上または内部の点Pが固定されており、OP=p(0≦p≦1)である。(↑PB・↑PC)+(↑PC・↑PA)+(↑PA・↑PB)の最初うちを求めよ。
173:イナ
20/07/14 18:07:58.24 snn++hGJ.net
前>>38
>>166→ABと→ACのなす角をθとすると、
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=0.8660254……
θ=135°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=｛1/2+(1-1/√2)^2｝(-√2/2)=1-√2=-0.41421356……
∴現時点での最初うち0.8660254
174:イナ
20/07/14 18:12:21.63 snn++hGJ.net
前>>167訂正。
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=-0.8660254……
175:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:27:55.90 /1BaD2x6.net
>>168
cos120°=-√3/2 とは、さすがはイナ
>>166(1)
内積最小となるのが対称性からAB=ACのときであることを認めるのなら
∠AOB=∠AOC=θとおいて
↑AB・↑AC=↑OB・↑OC-↑OA・↑OB-↑OA・↑OC+|↑OA|^2
=cos(360°-2θ)-cosθ-cosθ+1
=cos(2θ)-2cosθ+1
=2(cosθ)^2-2cosθ
=2{cosθ-(1/2)}-(1/2)
cosθ=1/2 すなわち θ=60°のとき最小値-1/2。このとき∠BAC=120°
176:イナ
20/07/14 18:35:57.41 snn++hGJ.net
前>>168
>>166(2)→PB・→PC+→PC・→PA+→PA・→PBはBとCが重なって∠APB=120°のとき、
1・1cos0°-√3/2-√3/2=1-√3=-0.7320508……
現時点で暫定的に最小。
177:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:47:57.60 ggC1zGXW.net
>>166
プログラム解
f <- function(x,y){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
pracma::dot(A-B,A-C)
}
optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
> optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
$par
[1] -1.047095 1.047197
$value
[1] -0.5
最小値は -0.5
３Dグラフにしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
178:１３２人目の素数さん
20/07/14 18:52:10.61 PbG4W1iE.net
>>104
それほど煩雑ぢゃないかも。
原点Oを内部に含む凸閉曲線Lを考える。
L上に定点A,B,Cおよび動点Pをとる。
ABCPAの順に並ぶとし、線分AC と BP のを交点をXとおく。
対頂角より ∠AXP = ∠BXC,
題意により、Lで方べきの定理が成り立つ。
AX･CX = BX･PX,
AX：PX = BX：CX
二辺挟角より △APX ∽ △BCX
∴ ∠P = ∠C,
円周角の定理の逆により
点Pは、定点A,B,Cを通る円の周上を動く。
この円の中心を（a,b）、半径をrとすれば
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 （終）
179:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:07:54.98 ggC1zGXW.net
>>166
プログラム解
library(pracma)
fn <- function(x,y,z,p=0.5){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
P=c(p*cos(z),p*sin(z))
dot(P-B,P-C)+dot(P-C,P-A)+dot(P-A,P-B)
}
g <- function(p){
optim(par=c(1,1,1),
fn=function(w) fn(w[1],w[2],w[3],p),method='L')$value
}
g=Vectorize(g)
optimize(g,c(0,1))
> optimize(g,c(0,1))
$minimum
[1] 0.3333333
$objective
[1] -1.333333
ｐが1/3のときに最小値 -4/3
180:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:31:20.75 PbG4W1iE.net
>>172
〔円周角の定理〕
円Eの周上に3点A,B,Cがあるとき
∠APB > ∠C ⇔ PはEの内部にある。
∠APB = ∠C ⇔ PはEの周上にある。
∠APB < ∠C ⇔ PはEの外部にある。
181:１３２人目の素数さん
20/07/14 19:44:55.88 wq+T/sxX.net
>>172
いや、題意はそうじゃなくて円の方程式そのものを導出せよだろな
円上の点A(x,y)に対してB(x,2b-y)、C(a-r,b)、D(a+r,b)とP(x,b)に対して方べきの定理より
AP BP = CP DP
∴ (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
∴ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
↑こんなの意味あんのって事でしょ？
182:イナ
20/07/14 22:15:38.31 snn++hGJ.net
前>>170
>>169cos150°だっけ(-｡-;じゃあ-1/2だ、最小値。
183:１３２人目の素数さん
20/07/15 00:20:53.69 +VNqdAmi.net
>>104 では「円」の方程式は未知としている。
点Aが「円」上にあっても B、C、Dが「円」上にあるとは限らない。
この「円」について分かっていることは
・閉曲線である。
・方べきの定理が成立つ。
ことだけ
184:１３２人目の素数さん
20/07/15 00:24:23.43 h5RaWPZl.net
円の方程式‥‥を導け
は
(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式が
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
となる事を示せ
ではないの？
185:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:22:11.32 +VNqdAmi.net
>>172
が示したのは「方べきの定理が成立つ閉曲線は円に限る」ということ。
>>175
「円」と直線 y=b の交点を C(a-r,b) D(a+r,b) とおく。
線分CD上の点P(x,b) を通る鉛直線と「円」の交点をA(x,y) B(x,2b-y) とする。
（ここで「円」は直線 y=b について対称と仮定した。）
方べきの定理より
AP BP = CP DP
････
意味はある。
186:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:31:50.95 Nn5BJat7.net
>>165
悪いな、面倒だから照明してないんだ
ピタゴラス三角形の直角部分を3つ付けて
直角の隅になるようにすれば斜面の面積以外は整数にできるから
斜面をピタゴラス三角形2つをつないで作る事にして
ピタゴラス三角形の関係式を弄る方法を思い付いただけだ
187:１３２人目の素数さん
20/07/15 02:47:08.06 pnrlHIku.net
>>180
そうですか。
まぁ元の問題が一個見つけろだから一個あればそれでいいんだけど。
>>142はひとつxまたはyを止めるごとに楕円曲線になるから、その有理点の位数が無限であるのがひとつでも見つかればいいんだけど、与えられた極大点の位数が有限か無限か決定する方法見つからなくてそこで諦めた。
多分無限にあるんだろうけどなぁ。
188:１３２人目の素数さん
20/07/15 03:49:26.71 svsaQ0OF.net
教えて下さい。
角度の「１分」の読み方は、「�
189:｢っぷん」「いちふん」どちらでしょうか？
190:１３２人目の素数さん
20/07/15 04:39:16.91 Xky2IxhV.net
>>182
別に決まってるわけではないし単に日本語の問題だから読みやすい方でいいかと
いっぷんのほうが自然には感じるが
191:ID:1lEWVa2s
20/07/15 04:53:04.21 L7/PWm9A.net
ほうべきのていりって成り立たないの知ってた?
証明してみな。
192:１３２人目の素数さん
20/07/15 06:52:54.84 svsaQ0OF.net
>>183
１分の角とか１分角と呼ぶらしいけど、「１分」自体の読み方で時刻との使い分けはしないのですね。回答ありがとうございました。
193:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:26:58.40 x6rKDZjg.net
↓の問題教えてください！
｢X1,X2,…,Xn:互いに独立な同一の確率変数で、以下のfxi(x)を確率密度関数とする。
fxi=2x(0<x<1),0(その他)
このとき、
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n
のモーメント母関数を求め、lim(n→∞)Ynを求めましょう。｣
全くわからないです馬鹿でスミマセン
問題文↓
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
194:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:42:20.52 wXF+pkiu.net
sinc(x)出てくるやつだな、多分
195:１３２人目の素数さん
20/07/15 19:53:50.64 nne+yodD.net
a,b,cは実数の定数とし、a>0とする。
実数xについての関数
f(x)=ax^2+bx+c
について『f(q) - f(p) = q - p』となる実数p,qが存在するためのa,b,cの条件を求めよ。
196:１３２人目の素数さん
20/07/15 20:06:51.21 x+Ab4uAl.net
>>188
p=-b/(2a) , q=(1/a)-b/(2a) とすれば必ず成り立つからa≠0なら a,b,c は何でもいい。
197:１３２人目の素数さん
20/07/15 20:09:25.01 9v8EKDM9.net
>>188
平均値の定理みたいなもんかな
直線 y = x + α と y = f(x) との交点は常に条件を満たすはず
だから a ≠ 0 なら a, b, c に特に条件は必要ない
198:１３２人目の素数さん
20/07/16 00:31:33.68 tskpc1iK.net
円周率って円周の直径に対する比率のことですよね？
何で面積で円周率が出てくるんですか？
199:１３２人目の素数さん
20/07/16 00:38:28.78 A0cS44Co.net
何を都合よく忘れてるんだ
200:１３２人目の素数さん
20/07/16 01:34:18.28 il/+SxrL.net
円の面積は円周長を底辺長とし高さが半径長である三角形の面積に等しいから。
証明はどこかにある。頑張って探してね。
201:１３２人目の素数さん
20/07/16 06:35:10.08 kpkIZ/FM.net
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n は n→∞で 平均2/3 標準偏差1/√(18n) の正規分布に近づく ことはわかった。
後は意味がわからん。
202:１３２人目の素数さん
20/07/16 06:56:18.13 kpkIZ/FM.net
>>191
三角形の三辺の長さの和と面積の関係を考えてみると面白いかも。
新たな発見があるはずｗ
203:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:03:38.37 kpkIZ/FM.net
三辺の和が一定のときに面積が最大になる三角形はどんな三角形か？
予想される某芸人の答
(1)
ヘロンの公式を偏微分して答を出す。
(2)
最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
それが同じになるのは正三角形のときである。
∴示された
204:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:11:52.31 mfBWrGyg.net
>>196
> 最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
なんで？
205:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:29:42.35 QIPnOtMS.net
>>186
n回の独立試行の場合、標本平均Yn の期待値は母平均ぢゃね？
E(X) = ∫ X･f(X)dX = ∫[0,1] 2XX dX = 2/3.
206:１３２人目の素数さん
20/07/16 08:53:50.86 rh7lP/A1.net
lim[n→∞](n・e^-an) �
207:ｽだしaは正の実数 これが0になることを証明するにはどうすればいいんでしょうか
208:１３２人目の素数さん
20/07/16 09:08:35.81 QIPnOtMS.net
e^(an/2) ≧ ean/2,
e^an ≧ (ean/2)^2,
(与式) = n/(e^an) ≦ n･(2/ean)^2
= 4/{(ea)^2･n} → 0 (n→∞)
209:１３２人目の素数さん
20/07/16 09:20:14.18 QIPnOtMS.net
>>198
n回の独立試行では
f(X_1,X_2,････,X_n) = Π[i=1,n] f(X_i)
モーメント母関数は
E(e^(tY)) = ∫････∫ e^{t(X1+X2+････Xn)/n} f(X1,X2,････Xn) dX1dX2････dXn
= {∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX}^n
= g(t)^n,
ここで
g(t) = ∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX
= ∫[0,1] e^(tX/n) 2X dX
= { [ (2n/t)e^(tX/n)･(X -n/t) ](x=0,1)
= (2n/t){e^(t/n)･(1-n/t) + n/t},
= Σ[k=0,∞] 2/{k!(k+2)}・(t/n)^k
= 1 + (2/3)(t/n) + (1/4)(t/n)^2 + (1/15)(t/n)^3 + (1/72)(t/n)^4 + (1/420)(t/n)^5 + ････
≒ 1 + (2/3n)t,
したがって
E(e^(tY)) = {g(t)}^n
= 1 + (2/3)t + {(2/9) +1/(36n)}t^2 + {(4/81) +1/(54n) -1/(810nn)}t^3 + {(2/243) +1/(162n) -17/(38880nn) -3/(38880n^3)}t^4 + ････
≒ e^(2t/3 + (1/36n)t^2)
= e^(μt + (1/2)(σt)^2)
∴ μ = 2/3, σ^2 = 1/(18n),
210:神戸 大作
20/07/16 09:22:58.39 8FDXLF3v.net
>>191
直感的に理解するための実演
・半径30cmの 大きい円 を ピザの生地 で作る。
・中心から 半径が微小な値 (1 ナノメートル) の小さい円 を書いて、
その形に切り込みを入れる。
今回は、便宜上、 微小な値を 1cm とする。
・大円から微小円をくり抜いて、
DVDのような形のピザ生地にする。
・このDVDに右向きへざっくりと切り込みを入れて
ぺろりと剥がす
（ロールケーキを剥がしたような感じの形状になる）
・これを長方形になるように、ちょっとずつ、成型していく。
結果として
縦が r cm、 横が 円周の長さ2πrの半分 = πr
の長方形が得られる。
r x πr = πr^2
211:神戸 大作
20/07/16 09:28:09.00 8FDXLF3v.net
>>193
円の面積がそういう三角形の面積に等しい
っていうのは説明として分かりづらい。
四角形で説明した方がいい。
円の面積は
円周長の「半分」を底辺として、
高さが半径長である「四角形の面積」に等しい。
212:１３２人目の素数さん
20/07/16 10:09:32.19 noU6c5FB.net
>>197
それが芸風。
ネタにマジレスｗ
213:１３２人目の素数さん
20/07/16 10:18:21.83 rNTuDAjM.net
>>199
n＞Nのとき|n/e^an - 0|＜εとなるNを探したい
n/e^an＞0だから|n/e^an|=n/e^an
またn＜e^nなので
n/e^an ＜ e^n/e^an = 1/e^(a-1)n
n＞Nなのでe^(a-1)n ＞ e^(a-1)Nだから
1/e^(a-1)n ＜ 1/e^(a-1)N
よってこれが＜εとなるようにN=εe^(a-1)/2とすればよい
214:イナ
20/07/16 10:38:40.73 1YUi9xc3.net
前>>176
>>191半径kの円の円周が2πkだから、
k=0からrまで円周を足し集めると円の面積になる。
∫[0→r]2πkdk=πr^2
215:１３２人目の素数さん
20/07/16 11:14:30.08 QIPnOtMS.net
>>200
任意のε>0 に対して
N = 4/{(ea)^2･ε},
とおけば
n>N ⇒ (与式) < ε,
216:１３２人目の素数さん
20/07/16 12:34:21.66 XqopcvjN.net
>>196
16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦(a+b+c)[(1/3){(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}]^3=(a+b+c)^4/27
217:１３２人目の素数さん
20/07/16 12:56:39.06 kpkIZ/FM.net
>201の
ｎ→∞で
σ^2 = 1/(18n)→0
になるので、何が求められているのからなかったのだけど、
>194でよかったのか。
218:１３２人目の素数さん
20/07/16 13:03:42.00 kpkIZ/FM.net
>>196
三辺の和を３にしてグラフを書いてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
219:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:32:52.85 mdrHdLJY.net
（RSA暗号に関する疑問）
RSA暗号は要点だけ書けば次のような仕組みです。
1.素数a,bを決める
2.c=abとおく
3.d=(a-1)(b-1)とおく
4.dと互いに素な自然数eを一つ決める
5.feをdで割った余りが1となる自然数fを求める
6.ペア(c,e)を公開鍵、ペア(c,f)を秘密鍵とする
7.平文（を自然数列に変換した項の一つ）をmとすると、暗号文はm^eをcで割った余りnである
8.暗号文がnのとき、n^fをcで割った余りはmであるので復号できる（∵数論のオイラーの定理）
よく一般向けの解説等では、
「a,bを十分大きくとればcからa,bを求めるのが事実上不可能なのでRSA暗号は安全」
と書かれてますが、
「a,bを知ることなく何か巧妙な手段でfを求めるのもやはり事実上不可能」
だと言えますか？
もちろんそうでないと現実的におかしいのですが、しばらく考えてみても理由が思いつかなかったので
分かる方教えてください。
多分数行の算数でわかるような単純なことだろうと思われるのですが
220:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:42:54.91 ZJkUgW8W.net
>>211
そもそもその“cからa,bを求めるのが事実上不可能”(=計算量が指数的に増大しないアルゴリズムは存在しない)が証明されてないからなぁ。
221:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:48:07.77 mdrHdLJY.net
>>212
…まあ確かにそれはそうなんですが、
「そこへの還元の出来なさ」が言えそうで言えないのがもどかしいのです
222:１３２人目の素数さん
20/07/16 14:52:44.97 ZJkUgW8W.net
>>213
つまりc,e,f全部知ってる人はa,bも全部少ない手間で計算できるのか？ですね。
どーなんだろ？
223:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:13:27.40 IcDJMxIW.net
量子コンピュータなら秒殺という時代になってきたから新たな暗号形式が求められているようだな
量子コンピュータを悪者が手にするようになる前に堅牢な暗号が開発されなかったらどうなっちゃうん？
224:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:24:00.58 ImuqW7JC.net
RSAはもう脆弱扱いで
ラインダール（SHA2）が主流なんだっけ
225:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:45:06.43 /36E2JhK.net
>>194
>>198
ありがとうございます
226:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:46:08.15 kpkIZ/FM.net
>>196
(1)
a+b+c=2s
c=2s-a-b
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
16S^2
=(a+b+(2s-a-b))(-a+b+(2s-a-b))(a-b+(2s-a-b))(a+b-(2s-a-b))
=2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s)
∂/∂a(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(b-s)(2a+b-2s)
a=s-b/2
∂/∂b(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(a-s)(a+2b-2s)
b=s-a/2
s=a+b/2=b+a/2
b=a, s=(3/2)a
c=2s-a-b=a
∴ a=b=c
227:１３２人目の素数さん
20/07/16 15:57:30.95 kpkIZ/FM.net
辺の長さの和が一定の多角形で面積が最大なものは正多角形である
って正しそうだけど、証明は難しいのかなぁ？
三角形と四角形なら私にもできるけど。
228:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:06:08.36 ZJkUgW8W.net
>>219
プレートシュナイダーの公式使えばそうでもない。
URLﾘﾝｸ(ja.m.wikipedia.org)
229:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:37:14.24 kpkIZ/FM.net
>>211
面白そうなので、ちょっと実験してみた。
暗号文ｍは123
> library(numbers)
> library(gmp)
> options(digits=22)
> k=1e3
> (ab=sample(Primes(k),2))
[1] 911 47
> # 1
> a=ab[1] ; b=ab[2] ; GCD(a,b)
[1] 1
> # 2
> (c=a*b)
[1] 42817
> # 3
> (d=(a-1)*(b-1))
[1] 41860
> # 4
> flg=FALSE
> while(!flg){
+ e=sample(k,1)
+ flg <- GCD(d,e)==1
+ }
> e ; GCD(d,e)
[1] 361
[1] 1
> # 5
> flg=FALSE
> f=0
> while(!flg){
+ f=f+1
+ flg <- (f*e)%%d==1
+ }
> f ; (f*e)%%d
[1] 18321
[1] 1
> # 6
> (public=c(c,e))
[1] 42817 361
> (secret=c(c,f))
[1] 42817 18321
> # 7
> m=as.bigz(123)
> (n=m^e%%c)
Big Integer ('bigz') :
[1] 3047
> #8
> n^f%%c
Big Integer ('bigz') :
[1] 123
復号されていて面白い。理屈はさっぱりわからんけどｗ
230:イナ
20/07/16 16:37:33.85 kkpWrwmd.net
前>>206
>>216n角形は1つの頂点から対角線をn-3本引くことでn-2個の三角形に分割できるから、1つの三角形が最大になるように頂点をとるなら最寄りの2つの頂点のなるべく中間にいたほうが三角形の面積が大きくなるのは当たり前だろうが。
231:１３２人目の素数さん
20/07/16 16:38:57.20 kpkIZ/FM.net
>>220
ありがとうございます。
長方形でしか考えておりませんでした。 (_ _)
232:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:06:28.87 zpHFCDP2.net
同周長で面積を最大にするn角形があれば凸である
(凹なところはそこを反転させると面積が増やせる)
また隣り合う辺の長さは等しい
(違っていればその辺の和を保って二等辺にすることでその三角形部分の面積を増やせる)
さらに隣り合う内角の大きさは等しい
(違っていればその隣り合う二角を等しくすることでその四角形部分の面積を増やせる、なぜなら>>220によってその四角形部分は対角の和が180度のとき最大になり、そのとき四角形部分は円に内接する形であり、いま3辺は長さが等しいのでそれは二角が等しいときである)
という感じか
233:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:09:24.25 A0cS44Co.net
隣り合う2辺が作る3角形と3辺が作る4角形で証明すれば充分だろ
234:１３２人目の素数さん
20/07/16 17:18:34.30 xXRek5Av.net
k,nは自然数の定数で、数列{a[j]}は
a[1]=n
a[2]=(kn,n)
a[j+1]=(a[j],a[j-1])
ただし(x,y)=xCyの二項係数
このときa[j]のnについてのオーダーはどのようになりますか？
235:１３２人目の素数さん
20/07/16 18:18:08.72 ZJkUgW8W.net
>>225
まぁそうなんだけど
AB=BC=CD=a
AD=b
が束縛条件で面積最大が等脚台形のときがまぁまぁ
メンドそう。
オレは昔の人が便利な定理残してくれてるんだからありがたく使わせていただくの大好き。
236:１３２人目の素数さん
20/07/16 20:38:16.31 kpkIZ/FM.net
>>220
プレートシュナイダーの公式
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
T=(p+q+r+s)/2
S=sqrt((T-p)*(T-q)*(T-r)*(T-s)-p*q*r*s*(cos(A/2+C/2))^2)
を使ってプログラムに最大となる四角形を探索させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
四辺の長さの和が20(T=10に相当)として作図させてみた。
四角形ABCDでDを原点、Cをx軸上の点としてA,Bを任意に動かす。
A,Bの位置が決まるとDA,ABの長さが決まる。
BC+CDが20-DA-ABの長さになるようにCを決定する。
これで決定された四角形にプレートシュナイダーの公式を使って面積S
237:を計算。 Sが最大になるA,Bの位置をコンピューターに探索させる。 その結果は、やはり、最初の直感通りであったｗ https://i.imgur.com/NuinABd.png Rのコードはここ https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/188
238:１３２人目の素数さん
20/07/16 20:46:51.55 kpkIZ/FM.net
n辺の和が一定のn角形の面積が最大になる形状をn人で和になって考えた。答が唯一なら誰がみても同じ形になるはずなので正n角形のときが面積が最大である。
∴示された。
239:１３２人目の素数さん
20/07/16 23:26:52.66 p7VJoc9B.net
球に内接する12面体で体積最大のものは正12面体であることを証明せよ。
240:１３２人目の素数さん
20/07/17 01:31:40.73 7KjVzawt.net
>>222
P,Q,R を隣合う頂点とし、 PQ≠QR と仮定する。
Qを通りPRに平行な直線をLとする。
Lに関してRと対称な点R'をとる。
PR'の中点をQ'とおけば
PQ+QR = PQ+QR' > PR' = PQ'+Q'R,
かつ △PQR = △PQ'R
Q' を少し持ち上げて PQ+QR = PQ"+Q"R となるようにすれば
△PQR < △PQ"R (矛盾)
∴ 面積が最大になるのは PQ=QR の場合しかないな。
241:１３２人目の素数さん
20/07/17 01:39:43.25 PvhkH04x.net
いつもの芸風www
242:１３２人目の素数さん
20/07/17 02:22:14.23 kTL0oe/X.net
>>230
コンセヴィッチとかが一晩ガチで考えたらモジュライ空間に謎の不変量か測度作って超アクロバティックな一発計算でカッコよく示しそう
243:１３２人目の素数さん
20/07/17 04:35:09.61 Q4XvViXw.net
∫[0,∞] {exp(-x)}*arctan(x) dx
を求めよ。
244:１３２人目の素数さん
20/07/17 05:26:27.85 l8XG6+rW.net
>>234
Wolfram先生によると
≈0.6214496242358133576392657282153393238931646769197054169479755316419305616213745298777519239036674507
245:１３２人目の素数さん
20/07/17 07:47:36.89 ttgxO5zW.net
分散がσ^2である母集団からn個のデータx = (x_1,…,x_n)を得た。
σ^2の値を推定せよ。
s^2 = [(x_1 - avg(x))^2 + … + (x_n - avg(x))^2] / (n - 1)
が正しい推定値だそうですが、なぜですか？
246:１３２人目の素数さん
20/07/17 10:25:16.85 ZOhan8rk.net
E(s^2) を計算すればわかる
247:１３２人目の素数さん
20/07/17 11:43:34.48 7KjVzawt.net
n個の確率変数
x_1 - avg(x), x_2 - avg(x), ････, x_n - avg(x)
の和は0なので、自由度は n-1 しかありません。(*)
∴ E( 標本分散 ) = σ^2・(n-1)/n,
∴ E(s^2) = σ^2.
*) (1,1,････,1) 方向のバラツキは標本分散に寄与しません。
248:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:10:27.94 RJQRB/S9.net
そう、よく言われるのは
サンプルデータは統計的自由度が1つ少ない
という説明(なんかモヤモヤするやつ)
自分の理解としては
そもそも分散の定義式自体に起因するというもの
母集団{m_i |1≦i≦N}からサンプル{x_i |1≦i≦n}を抽出するとして
母集団の分散σ^2=Σ(m_i-(Σm_j)/N)^2/Nを変形すれば
(Σ(m_i)^2/(NC1)-Σ_(i<j)m_im_j)/(NC2))×((N-1)/N)…[母]
となる(ここでNCrは二項係数)
同じように、サンプルの(通常の)分散を変形すれば
(Σ(x_i)^2/(nC1)-Σ_(i<j)x_ix_j)/(nC2))×((n-1)/n)…[サ]
となる([母]と全く同じ形)
さてサンプルに
m_iが選ばれている確率は(nC1/NC1)
m_im_jが選ばれている確率は(nC2/NC2)
なので[サ]の期待値を取れば
「[サ]の((n-1)/n)以外の部分」
249:から 「[母]の((N-1)/N)以外の部分」がキレイに復元される しかし、 この困った部分(n-1)/n は(N-1)/Nへ変換されない ここの調整を先にサンプルの分散にn/(n-1)×(N-1)/Nを掛けて行っていると思える ただ、通常Nはとても大きい数なので(N-1)/N≒1となり、普通はn/(n-1)のみ掛けて調整される つまり分散の式が ("スケール共変"な良い部分) × (困った部分(N-1)/N) という形の定義になっているのが原因と思える
250:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:30:16.89 ttgxO5zW.net
>>237-239
ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、P(X)をXのすべての部分集合の集合を表すとします。P(P(X))というのはハウスドルフの公理系に出てきます。
P(P(P(X)))、P(P(P(P(X))))、…が数学において登場しないのはなぜでしょうか？
251:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:31:19.59 ttgxO5zW.net
人間の頭がついていけないから登場しないが、それらを使えば、新しい理論が拓けるという可能性はありますか？
252:１３２人目の素数さん
20/07/17 12:56:58.38 RJQRB/S9.net
>>240
普通に登場してそうだけどね
複雑な構造はちゃんと書き下すとPPP(X)とか必要になるやつありそう
253:１３２人目の素数さん
20/07/17 13:11:56.62 7KjVzawt.net
>>234
(与式) = [ -exp(-x)arctan(x) ](0,∞) + ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= f(1)
= 0.6214496242358
ここに
f(a) = ∫[0,∞] exp(-ax)/(1+xx) dx, (a>0)
より
f(a) + f "(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = 1/a,
これを解くと
f(a) = ∫[0,∞] sin(y)/(y+a) dy
= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
= ∫[a,∞] {-cosθ･sin(a) + sinθ･cos(a)}/θ dθ
= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),
ここに
Ci(a) = -∫[a,∞] (cosθ)/θ dθ, 余弦積分
Si(a) = ∫[0,a] (sinθ)/θ dθ, 正弦積分
これに
Ci(1) = 0.337403922901
π/2 - Si(1) = 0.6247132564277
cos(1) = 0.54030230586814
sin(1) = 0.8414709848079
を入れる。
254:１３２人目の素数さん
20/07/17 14:25:01.13 bL69k409.net
>>240
基数や順序数の定義を公理で確認しながらやると無限に出てくるな
255:１３２人目の素数さん
20/07/17 14:30:15.15 bL69k409.net
>>239
一般に k 個のパラメータを推定して残差の分散を求めると n-k で割る式になる
平均だけ求めた場合は k=1 になるだけの話