【おっちゃんの定理】オイラーの定数γは有理数

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1:トンデモウォッチャー
 20/07/02 14:53:11.30 aOg/A0t4.net
おっちゃん曰く 
【定理】　オイラーの定数γは有理数 
【証明】 
γが無理数であったとする。任意の有理数 1/p pは3以上の整数 に対して 
|γ－1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p | 
　　　　　　　＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n－log(n) )－1/p 
　　　　　　　＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p 
　　　　　　　＝1＋1/2＋…＋1/(p－1)－log(p) 
　　　　　　　＞0、 
従って、或る2以上の正整数kが存在して、p≧k のとき |γ－1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p－log(p) )－1/p＞1/k≧1/p。 
γは無理数だから、0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。 
既約有理数 q/p p≧2 が 0＜|γ－q/p|＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たすとする。すると、 
三角不等式から、0＜|γ－1/p|－|γ－q/p|≦|(q－1)/p|＝|q－1|/p となる。 
p≧2 から |γ－q/p|＜1/p^2≦1/4 だから、γ＞1/4 から qが負の整数となることはあり得ない。 
従って、p＞0 から |q－1|/p＝(q－1)/p であって、(q－1)/p＞0 から q≧2、 
よって q/p≧2/p から、γ－2/p≧γ－q/p＞0。故に、M＝max(2,k) とおけば、或る2以上の正整数mが存在して、 
q/p p≧M 2≦q≦m なる任意の既約有理数 q/p が 0＜|γ－q/p|＝γ－q/p＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たす。 
q＝m とすれば、0＜γ－m/p、よって、γ＜3/5 から m＜p・γ＜p・3/5＝3p/5、故に、m/p＜3/5。 
m≧2 から、3p/5＞2 となって p≧4＞10/3。故に、N＝max(4,M) とおけば q/p p≧N 2≦q≦m なる 
任意の既約有理数 q/p が 0＜γ－q/p＜1/p^2＜|γ－1/p| を満たす。 
q＝2、p＝N とすれば、0＜γ－2/N＜1/N^2 から、γ＜2/N＋1/N^2≦2/4＋1/4^2＝9/16。 
しかし、γ＜9/16 は γ≧57/100＞9/16 なることに反し、矛盾する。 
γを無理数としたことで矛盾が導けたから、背理法が使える。故に、背理法を適用すると、γは有理数である。

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