20/11/04 06:53:29.05 26WHSv4q.net
>>735
＞「ωがシングルトンなら、その要素はω－1 」とか、意味わからん
じゃ、ωの唯一の要素となる順序数ｘってズバリなんですか？
意味わからんのは、◆yH25M02vWFhPさん、あなたですよ あ・な・た
ωからｎへのいかなる∋降下列も、真っ先にそのｘを通りますよね？
だってωの要素はｘしかないんですから
ω∋ｘ∋・・・∋ｎ
そのｘってなんですか？
787:１３２人目の素数さん
20/11/04 07:09:31.03 26WHSv4q.net
そもそもωにω－１は存在しません
そしてノイマンのωはそもそもシングルトンじゃないから
ω－１が存在しなくても無問題です
問題はツェルメロのωがシングルトンだとしたときです
実はそう考えた瞬間、ωは後続順序数で、その前者は
ωの唯一の要素と考えざるを得ません
またωが有限集合だとしても、その要素中の最大元が
ωの前者と考えざるを得なくなります
したがって、ツェルメロのωは無限集合ということです
788:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 07:34:32.98 dk/KhN0S.net
>>738 補足
ω－1が、考えられないにも関わらず、「ω－1を考えたら矛盾」とか、それって変
根本的に抽象的な現代数学の考えが、身についていないだろ？（＾＾
789:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 08:13:26.47 dk/KhN0S.net
>>732-733
１．シングルトンのωに対して、そもそも存在しないω－1を考えて、矛盾がおきるから、存在しないというところが変（＾＾
２．それなら、ノイマンの後者関数によるωも同じだ
３．要するに、ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
４．それは、自然数（＝ある前者があって その後者関数から作られる普通の順序数）とは、異なる性質を持って良い！
５．その抽象的な思考ができないと、Zermeloのシングルトンによるωの存在は理解できないだろう
６．一つの直観的な理解は、極限順序数の”極限”から、自然数ｎ→∞の極限として理解することだろうね
７．つまり、シングルトンという性質（＝濃度１）を持つ”極限”の順序数（としての集合）として、ωを理解することだ（それは、ノイマン構成で自然数や実数が、定義できた後でなら可。∵添字集合が使える）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
添字集合
添字集合（そえじしゅうごう、index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
790:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 14:45:17.18 lTaOluRt.net
>>742
> ３．要するに、ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
> ４．それは、自然数（＝ある前者があって その後者関数から作られる普通の順序数）とは、異なる性質を持って良い！
補足説明するよ
・例えば、コーシー列：有理数からなるコーシー列で実数、例えばπなどの超越数ができる
超越数は分数表示ができず、数の性質が”有理数→超越数”に変わっている
・例えば、ωはリーマン球面の北極点に例えることができる
複素数のガウス平面を丸めて、リーマン球面ができる
いわゆる一点コンパクト化（下記）。無限遠の点∞を付け加える。こうすると、理論的にすっきりするのです
点∞はある種の極限で、ガウス平面には存在しない。つまり、他の複素数とは、その性質を異にするのです
・Zermeloのシングルトンによるωも、ある種の一点コンパクト化
で、この種コンパクト化は後者関数の選び方にはよらない
・普通は、”自然数ｎ→∞の極限”とか、”コンパクト化”は書かない。避ける
∵そうかくと、基礎論的にはまずいから。循環論法になるよ
つまり、基礎論として最初は空集合と公理のみからスタートする
その時点では”極限”も”コンパクト化”も言えない
けど、何らかの手段（例えばノイマンとか）で、全部自然数とか実数とか出来上がってからなら、一段高い立場からは言える。それは循環論法でないよね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。
目次
1 コーシー数列
1.1 実数におけるコーシー列
有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。
実数はコーシー列の極限として定義された。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リーマン球面
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コンパクト化
目次
1 概要
2 基本事項
3 アレクサンドロフの一点コンパクト化
791:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 15:06:33.11 lTaOluRt.net
（>>718より、さらに補足）
１．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
２．ここに、 S(α) は、後者関数である
３．0, 1, 2, 3, ............の部分は、有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいて、後者関数で表現できるのだ
つまり S(n) ：＝S(n-1) だ。ωのみは、後者関数で表現できない
４．じゃ、ωとは何者よ？ 一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。それは、コーシ列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、ωの位置を占めるものになるよね
それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
５．こう解釈して何が悪い？ 抽象化された現代数学での 有理数以上における 数学的概念の対象って、みんなそんなものでしょ？
これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
(引用終り)
以上
792:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:32:57.89 26WHSv4q.net
>>741
>ω－1が、考えられないにも関わらず、
>「ω－1を考えたら矛盾」とか、それって変
文章を正しく読もうな
ωがシングルトンなら、その唯一の要素である順序数は
存在しないはずのω－１と考えざるをえないから矛盾
793:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:33:32.43 26WHSv4q.net
>>742
１および２については◆yH25M02vWFhPの読み間違い
すでに上記で指摘済み 理解できるまで読み返されたい
さて
>ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、
>結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
抽象的という言葉で何をいいたい？
ωの要素が具体化できない、という言い訳？
そもそもωの要素が何であれ、唯一であるなら
それがω－１とならざるを得ない、といっているのだが
理解できないほど数学的思考能力が欠如しているのか
そうならIUTなど到底理解できないからあきらめたほうがいい
794:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:34:52.45 26WHSv4q.net
>>742
>直観的な理解は、極限順序数の”極限”から、
>自然数ｎ→∞の極限として理解することだろうね
>つまり、シングルトンという性質（＝濃度１）を持つ
>”極限”の順序数（としての集合）として、ωを理解することだ
極限という言葉で
「n+1が｛n｝というシングルトンなんだから、ωもシングルトンの筈だ」
というナイーブな”妄想”が正当化できるわけではない
極限の取り方を一切考えないことが「抽象的」だというなら
それは抽象的という言葉を完全に誤解している
・ω＞ｎ であるとき、そのときのみωからｎへの∋降下列が存在する
・ωの前者ω－１は存在しない
上記２つの条件を満たすとして、
・ωがシングルトンだとすれば、ωの要素はω－１と解釈せざるを得ないから矛盾
・ωが自然数の無限集合なら、ωから任意の自然数ｎへの∋降下列が存在する
したがって、
「ωはシングルトンとしては存在し得ないが、自然数の無限集合としては存在し得る」
といえる
これが答え こんな簡単な推論もできないド素人の君に
IUTの理解なんか無理だからキレイサッパリあきらめろ
795:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:36:59.87 26WHSv4q.net
>>743
>コーシー列
>ωはリーマン球面の北極点に例えることができる
>Zermeloのシングルトンによるωも、ある種の一点コンパクト化
>で、この種コンパクト化は後者関数の選び方にはよらない
何をいってもωはシングルトンにはならんよ
>・普通は、”自然数ｎ→∞の極限”とか、”コンパクト化”は書かない。避ける
> ∵そうかくと、基礎論的にはまずいから。循環論法になるよ
循環論法？いったい何と何が循環すると思ってるんだ？
>つまり、基礎論として最初は空集合と公理のみからスタートする
>その時点では”極限”も”コンパクト化”も言えない
>けど、何らかの手段（例えばノイマンとか）で、
>全部自然数とか実数とか出来上がってからなら、一段高い立場からは言える。
>それは循環論法でないよね
そもそも順序数ωを考えるのに、実数は必要ない
つまり射影直線（実際は円）もリーマン球面も必要ない
射影直線やリーマン球面が「一段高い立場」と思ってるなら
それは妄想であり誤解
極限の取り方は無限公理の式で決まっているし
その式に従うなら、ωはシングルトンではなく無限集合
796:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:39:18.43 26WHSv4q.net
>>744
>ωとは何者よ？
>一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。
>もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
>いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。
ωは「後者関数の性質を受け継ぐ」と思い込んでるのが誤り
>それは、コーシー列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
素人の支離滅裂な妄想
統合失調症？💊飲め
>このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
個々の自然数ｎと、自然数全体の集合ωは、
「自分より、小さな順序数全ての集合」
という点では同じだが
ｎの場合ｎ＝ｘ∪｛ｘ｝となるｘ（＝ｎ－１）が存在するのに対し
ωの場合ω＝ｘ∪｛ｘ｝となるｘが存在しない点で異なる
（つまり、ノイマンのωも後者関数の性質を引き継いでない）
>Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、
>シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、
>ωの位置を占めるものになるよね
ならない
そもそも０＝｛｝で、要素０だから、シングルトンではない
で、実はωも無限集合だから、シングルトンではない
Ｓ（ω）は｛ω｝だからシングルトン
>それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
単に君が愚かにも
「極限順序数も後続順序数と同じ形になる」
と誤解してるだけ
797:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:41:14.34 26WHSv4q.net
>>744
（ωはシングルトン）
>こう解釈して何が悪い？
矛盾を導く つまり最低最悪
>抽象化された現代数学での
>有理数以上における 数学的概念の対象って、
>みんなそんなものでしょ？
抽象化は矛盾を許容しないｗｗｗ
君の頭が悪いから具体的に理解できないだけだろうｗ
>これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね
誤 に同じ
正 と同じ
君さ、どこで日本語ならった？
今まで生きてきたけど、口語で
「・・・に同じ」
とかいう日本語を使うのは君が初めてだよ
普通は
「・・・と同じ」
だよね
それ大阪の方言？
おかしいな ボクも関西人の知り合い何人もいるけど
そんな変な日本語使わんけどなあ
もしかして日本人ではない？朝鮮人 中国人 まさかのモンゴル人？
♪ホイヨ～（ホーミー風）
798:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 18:57:28.52 lTaOluRt.net
>>750
>矛盾を導く つまり最低最悪
矛盾導いてないよ
もともと、ωにはω-1つまり直前の前者は存在しない
∵ ωは極限順序数（下記） （だから、”ω-1”を持ち出すことが、最初から間違っている）
そして、濃度が１なる集合ωが存在すると考えるだけのこと
それは、
集合列 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............で、
（ここに、ω以外は、全て直前の前者を要素とするシングルトンであり、ωのみ直前の前者を持たない）
このωは、集合として濃度１と考えるってこと
濃度１と考えるってことと、ω-1が存在しないこととは、なんら数学的な矛盾はない
集合の濃度１だから、シングルトンと呼ぶってことだけさ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
799:１３２人目の素数さん
20/11/04 19:24:03.90 26WHSv4q.net
＞濃度が１なる集合ωが存在すると考えるだけのこと
それが矛盾を導く
ωの唯一の要素は当然順序数
もしそうでなかったら矛盾
そして、ωの唯一の要素ｘに対して
ω∈ｙ∈ｘとなる、ｘと異なるｙも存在しない
もし存在すれば、ωの要素が唯一という前提と矛盾する
したがってωの要素ｘは、ωの前者である
これはωの前者が存在しないことと矛盾する
◆yH25M02vWFhP はこんな簡単なことも考えられない🐎🦌
IUT？無理無理 あきらめろって
・・・とMara Papiyasならいうだろう
800:１３２人目の素数さん
20/11/04 19:29:43.12 26WHSv4q.net
>>751
>集合列 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............で、
上記の場合、0とω以外の後続順序数はシングルトン
しかし、そうでない順序数はシングルトンではない
これが答え 0以外の全てがシングルトンと考える
◆yH25M02vWFhPは論理的思考力ゼロのidiot！
・・・とMara Papiyasならいうだろう
801:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 21:38:29.56 dk/KhN0S.net
>>751 補足
１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N
802: （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる） さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ） ２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて 0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より） 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になるが ここで、Singl_n：＝{・・・{0}・・・} （つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた また、Zermeloのシングルトンによる自然数の集合Nは、上記１と同様だ（ lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N ） ３．つまり、基礎論的には Neumannの方法がスマートだが、手間を厭わなければ、Zermelo法でも 数学的には同じように自然数の集合Nと順序数ωとが構成できる （なお、後者関数の選び方は、無数に可能だが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」（下記”ペアノの公理”ご参照）） QED （＾＾； つづく
803:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 21:39:15.43 dk/KhN0S.net
>>754
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。
また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ≦ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
脚注
[3]^ (von Neumann 1923)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
以上
804:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:11:12.17 26WHSv4q.net
>>754
>N‗n：＝{S‗n}＝{0,1,2,・・・,n}
間違ってます
N‗0:={}
N‗n:={N‗0,…,N‗n-1}
N_ω:=｛N_0,…}
>Singl_n：＝{・・・{0}・・・}
>（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
>ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
>これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
できません あなたの「極限」では集合になりませんから
その証拠に、あなたにはωの要素が書けません
書けないのは当然 集合ではないからです
正しいZermeloのωは、実は
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
という無限集合
805:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:14:39.62 26WHSv4q.net
>正しいZermeloのωは、実は
>{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
>という無限集合
実は上記に限らない
自然数の無限集合でありさえすればいい
806:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:16:47.87 26WHSv4q.net
さらにいうと、Zermeloのnはシングルトンでなくてもいい
n-1を最大元とする自然数の有限集合ならなんでもいい
807:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:20:43.75 26WHSv4q.net
>>758
>n-1を最大元とする自然数の有限集合ならなんでもいい
ここまでいくと、Zermeloの順序数とNeumannの順序数は
根本的には違わないことが分かる
808:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:25:36.32 26WHSv4q.net
つまり
0: 空集合
1: ０が最大元となる有限集合
2: １が最大元となる有限集合
3: ２が最大元となる有限集合
・・・
とすればいい
このとき
ω: 最大元をもたぬ自然数の集合
と定義すれば、それは必然的に無限集合である
809:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:32:30.18 lG01yKE6.net
>>754
蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
∵ 最初は、空集合と公理しか使えないのだから
だから、ノイマンがやったことは、過剰に無限集合ができるが、下記
810:のように 出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ （原論文に当たったわけではないが、他にもそう書かれているのを見たので、多分確かだろう） （参考） http://penguinitis.g1.xrea.com/ PENGUINITIS Yuu Kasuga ノート 数について (PDF) http://penguinitis.g1.xrea.com/study/note/number.pdf 数について 春日 悠 2020 年 2 月 1 日 (抜粋) P16 3.3 自然数 略 上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る． N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ } これでわれわれが求めるものを得た…とここで安心するわけにはいかない．自然数 の集合 N が確定した瞬間，自然数の次の数が得られる．N に ω という名前をつける と，その次の数は ω + 1 = N ∪ {N} であり，さらに続く． 略 このようにずっと続いていく．上の操作で得られる集合を超限順序数という． われわれが欲しいのは自然数である．大きすぎる集合は必要ない．上の操作で得ら れる集合で，濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の 集合と定義しよう．すなわち ∀x(0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x ⇒ y ∪ {y} ∈ x) ⇒ N ⊆ x) を満たす集合 N を自然数の集合とする． (引用終り) 以上
811:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:33:59.52 lG01yKE6.net
>>761 タイポ訂正
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
↓
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義したそうだ
分かると思うが（＾＾；
812:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:37:40.45 lG01yKE6.net
>>761
＞蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
蛇足の蛇足
・”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になるけれども、出来上がった理論を、出来上がった後に、より高い立場から俯瞰することは、大事だよ
・それは、IUTでも同じだ。IUTを作るのに、厳密なロジックが必要だから、循環論法は許されない。けど、出来上がった理論を俯瞰的に見れば、もっと易しい道があるということが見えてくると思う
・それを期待しています（＾＾；
813:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 10:22:30.40 8UOSK5Ns.net
>>756
>できません あなたの「極限」では集合になりませんから
>その証拠に、あなたにはωの要素が書けません
あなた、気付いていないようだがｗ（＾＾；
その論法は、下記の「0.99999……は１ではない」の
”簡単な証明２
１÷３は永遠に割り切れない。
ゆえに1/3≠0.33333……
814:。ゆえに1≠0.99999……” これに、そっくりそのままに見える あなたには、抽象化された現代数学は無理だ 統合失調症になって無理になったのか？ はたまた、数学の落ちこぼれのストレスで、統合失調症になったのかは 知らないが 哀れな素人氏に似たレベルの議論だよな、それ IUTは、あなたには無理。夢のまた夢だよ （参考） 0.99999……は１ではない その14 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1603152453/1 1 名前：哀れな素人[] 投稿日：2020/10/20(火) 09:07:33.99 ID:KAmPBoOE 簡単な証明１ 0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。 簡単な証明２ １÷３は永遠に割り切れない。 ゆえに1/3≠0.33333…… 。ゆえに1≠0.99999…… 簡単な証明３ 0.99999……＝0.9＋0.09＋0.009＋……＝9/10＋9/100＋9/1000＋…… この無限級数は1に近づくが1にはならない。 ∴0.99999……≠1
815:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 11:05:43.40 8UOSK5Ns.net
>>761
補足
>上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る．
>N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ }
>これでわれわれが求めるものを得た
本当は、ここには無限公理が適用されて、無限集合の存在が言えるのだが
そこはスルーして、自然数の集合 Nができたとすると
これを、あとから振り返ると
無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたってことだ
で、それを時枝で言えば ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番)
”可算無限個”の箱が用意できるって話につながる
じゃ、箱でも括弧 } でも同じように、可算無限個用意できるよね }・・}}・・・ ってね
で、上記列を鏡（カガミ）に写した鏡像を作れば、逆の括弧の列も、同様に ・・・{{・・{ ってできるよ
そして、真ん中に0を入れて、
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ ってできるよね
それだけのことでしょ？
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
これがZermeloのシングルトン構成によるωでしょ
自然数の無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたら、ここまでは必然で、簡単な話でしょ
この程度のことが理解できないようじゃ
IUTはムリ
816:１３２人目の素数さん
20/11/05 19:35:34.92 w3aXX1q1.net
>>764
やれやれ、悔しさのあまり頭に血が上って
訳も分からず口から出任せの云いがかりとか
みっともないったらありゃしない（嘲笑
>>765
>・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、
>括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
その・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・とやらの唯一の要素、
具体的に書いてみ？
ぐ・た・い・て・き・に
書けないからって「チューショー的」とか逃げるなよ
貴様みたいな🐖野郎、チャーシューにして食っちゃろか（嘲笑
その程度の簡単な誤りも気づかないidiot野郎が、IUTとか聞いてあきれる（嘲笑
817:１３２人目の素数さん
20/11/05 19:36:30.06 w3aXX1q1.net
順序数αについて
フォン・ノイマン宇宙V_αは
以下のように定義される
V_0={}
V_n+1=P(V_n) P(X)はXのべき集合
V_λ=∪（β<λ）V_β (λが極限順序数の場合）
とする
実は、ツェルメロの順序数もフォンノイマンの順序数も
順序数nについては
n∈V_n+1 かつ ￢n∈V_n
を満たす
そして「V_ω+1の要素で、V_ωの要素でないもの」は、すべて無限集合
818:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:29:00.96 bMp0VkKr.net
>>765
>・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、
>括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
その・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・とやらの唯一の要素
具体的に書いてみ？
ぐ・た・い・て・き・に
819:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:30:29.88 bMp0VkKr.net
>>768
書けないからって「チューショー的」とか逃げるなよ
このチャーシュー🐖野郎
その程度の簡単な誤りも気づかないidiotが、
IUTとか聞いてあきれる（嘲笑
820:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:32:58.64 bMp0VkKr.net
順序数αについて
フォン・ノイマン宇宙V_αは
以下のように定義される
V_0={}
V_n+1=P(V_n) P(X)はXのべき集合
V_λ=∪（β<λ）V_β (λが極限順序数の場合）
とする
実は、ツェルメロの順序数もフォン・ノイマンの順序数も
順序数nについては
n∈V_n+1 かつ ￢n∈V_n
を満たすようにできる
そして「V_ω+1の要素で、V_ωの要素でないもの」は、すべて無限集合
821:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:30:33.60 zpeR/n4w.net
◆yH25M02vWFhPさん >>768に答えられず沈黙…
822:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:31:07.57 zpeR/n4w.net
どこかの国の大統領みたいに往生際が悪かったけど…
823:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:32:08.93 zpeR/n4w.net
まあ、どっちも、自業自得だよなぁ
824:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:33:20.18 zpeR/n4w.net
一番外側の{}がないんじゃそもそも集合じゃない、って、真っ先に気づかなくちゃ
825:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:35:19.43 zpeR/n4w.net
A＝{a1,a2,…}となってたら、Aの要素x（x∈A）は、a1,a2,…のいずれかに限られる これ初歩なｗ
826:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:38:17.02 zpeR/n4w.net
あと、A={{a}}だったら、{a}はAの要素だが、aはAの要素ではない これも初歩なｗ
827:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:38:37.40 zpeR/n4w.net
結論：{{},{{}},{{{}}},…}は集合だけど、…{{{}}}…は集合ではない
828:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 10:03:20.16 4jX6N+0z.net
スレチだが
米大統領選が面白いから見てた
選挙はバイデン氏が当確だが、その後の法廷闘争がどうなるかね～（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
バイデン氏 過半数へ優勢強まる トランプ氏「絶対諦めない」
2020/11/7 7:28 (2020/11/7 8:19更新)
【ワシントン=永沢毅】米大統領選は6日、当選に必要な「選挙人」の過半数の獲得に迫る民主党候補のジョー・バイデン前副大統領（77）が残る激戦5州のうち3州でリードを広げ、優勢が一段と鮮明になった。追い込まれたドナルド・トランプ大統領（74）は「絶対に諦めない」と表明し、法廷闘争を拡大する方針を示した。
両候補は全米538人の選挙人
829:の過半数270人以上を争う。米メディアによると、米東部時間6日午後5時（日本時間7日午前7時）時点で獲得数はトランプ氏が214人、バイデン氏は253人。勝者が未定の6州のうち、トランプ氏の勝利が確実なアラスカ州（選挙人3人）を除く激戦5州が勝敗を決する。 バイデン氏はトランプ氏が先行していた南部ジョージア（15人）、東部ペンシルベニア（20人）の両州で逆転し、西部ネバダ州（6人）を含む3州で票差を広げた。西部アリゾナ（11人）を含む4州で優位を維持している。トランプ氏がリードしているのは南部ノースカロライナ州（15人）だけだ。
830:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 10:40:22.70 4jX6N+0z.net
>>765
若干スレチだが、行きがかり上
Zermeloのシングルトン構成によるω（＝最小極限順序数（可算無限相当））を考えるに
基礎論としては、ちょっと裏技だが、有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）を使って幾何的にかんがえるのが分り易いと思う
１．要するに、Zermeloのシングルトン構成によるωは、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・” ってことで、タマネギのように芯があって皮が多重になっているよう
その皮が可算無限重だってことだね
２．これを多重同心円として考える
このとき、nの逆数1/nを考えて
1,2,3.・・,n,・・→1/1,1/2,1/3,・・,1/n,・・
という対応で考えるのが見やすい
３．デカルト平面（x,y）で、原点0を中心とする半径rの円、x^2+y^2=r^2
ここで、r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ という数列を考える
lim n→∞ 1-1/n＝1 （∵ lim n→∞ 1/n＝0 ）
４．r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・の円は、原点0を中心とする半径rの（可算）無限に重なった同心円
これで、1,2,3.・・,n,・・で、2以降に対応する円が出来た。1に相当する円を、0～1/2の間に一つ作る。例えば、r=1/4とでもしておく
５．こうして出来た（可算）無限の多重同心円は、内側から1,2,3.・・,n,・・と全ての自然数と対応が付く
６．ここで、各円の北極と南極に切れ目を入れて、左半円と右半円に分ける
分けた左半円を、位相的に変形して”{”、右半円を、同様に変形して”}”とすると
あ～ら不思議、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”のできあがりぃ～！（＾＾
基礎論として、裏技なのは、
最初はgoo!（グー） ならぬ、空集合と公理しか使えないのに、
”有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）、円の方程式”だと？、それ使えないよね？
けど、こう考えたら、別に”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”の存在って、なんら数学として矛盾していないって分かる
なんら数学として矛盾していない存在って、存在するって認めた方が便利なこと多いんだ、数学ではいつものこと
現代数学の抽象的な数学概念って、みんなこんなもの
クロネッカーは言いました！ 自然数以外は、人が勝手にかんがえたものだぁ～！
でも21世紀の数学では、「クロネッカーさん、あんたの考え古いな～！」（＾＾
これが分からないと、IUTムリ
831:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:02:12.54 zpeR/n4w.net
>>779
>Zermeloのシングルトン構成によるωは、
>”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”
>ってことで、
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
それ、集合ですか？
集合なら、一番外側の{}がある筈ですよね？
一番外側の{}を取り除いた中身が、要素の列ですから
Q1. ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
の一番外側の{}の位置を具体的に示してください
Q2. ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
の一番外側の{}を外した中身を具体的に示してください
Q1に答えられない場合
「・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・は集合でない」
Q2に答えられない場合
「・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・の要素が分からない」
>現代数学の抽象的な数学概念って、みんなこんなもの
{}による具体的な図形として存在しても、
集合の公理を満たさないと、集合ではないですね
それが公理論ですから
IUTとかいう以前じゃないですかね？
P.S
三大「死に体」
1. M氏のIUT
2. T氏の大統領選挙
3. S氏の可算無限重シングルトン
832:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 11:13:41.99
833:4jX6N+0z.net
834:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:14:22.87 zpeR/n4w.net
>>779とは逆に
α．一番外側の円を半径1として
そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
β．この場合、一番外側の円も、その中身も明確
γ．しかし、これも集合にはならない
というのは、端的にいえば、芯がないから
基礎の公理を満たすには、有限回の皮剥きで芯に到達しなければならない
しかし、上記の図形は延々と皮むきできるから ＮＧ
δ．とはいえ、そもそも一番外側の皮がどこにあるかわからない>>779よりはまし
835:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:25:21.83 zpeR/n4w.net
順序数ｘについて、その後者を｛ｘ｝と定義しただけでは
極限順序数がシングルトンになる、と言い切ることは
モピロン・・・じゃなかったｗ、モチロン、できません
ｘの後者関数を｛ｘ｝とした場合
ⅹ∈ｙ＆ｙ∈ｚ⇒ｘ∈ｚ
とすることはモチロンできませんが
ｘ＜ｚ⇔ｚからｘへの∋（有限）降下列が存在する
と定義することはできます
そしてωから任意の自然数ｎへの∋有限降下列が存在するためには
ωが自然数の無限集合であることが必要十分です
まず必要性についていえば、もしωが自然数の有限集合だった場合
その要素の中に最大元ｍが存在しますから、ｍより大きなｎについては
ωからｎへの∋有限降下列が存在し得ません もし存在したとすると
列の最初で、ω∋ｐという、ｐが存在することになりますが、
ｐ＞ｍとなりますから、ｍが最大元であることに反します
次に十分性についていえば、任意の自然数ｎについて、ｎ＜=ｍとなる
ωの要素ｍが存在します。ｍからｎへの∋有限降下列は存在しますから
頭にω∋ｍを追加すれば、ωからｎへの∋有限降下列を構成できます
836:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:36:05.75 zpeR/n4w.net
{{},{{}},{{{}}},…}（要素が無限個）は基礎の公理を満たします
というのは、上記の「集まり」のどの要素も、
有限回{}が重なったシングルトンであり、
基礎の公理を満たすので
837:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:42:41.38 4jX6N+0z.net
>>784
>{{},{{}},{{{}}},…}（要素が無限個）は基礎の公理を満たします
そっから、ずっこけているのか？
そう言えば、思い出してきたけど、
おぬしと同じ議論を、ガロアスレとかで以前もしたよね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx=xのような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学群関係 Akito Tsuboi's Home Page 坪井明人
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学ＩＩ 坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9
URLﾘﾝｸ(amonphys.web.fc2.com)
あもんノート ～理論物理学のまとめ～
URLﾘﾝｸ(amonphys.web.fc2.com)
あもんノート
目 次
第 21 章 数学基礎論入門
21.12 正則性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
つづく
838:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:45:15.27 4jX6N+0z.net
>>785
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
(引用終り)
ここで、ノイマン構成では
集合として（自然数nを集合と見て）、無限の上昇列ができる
0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n・・・N(最後は、∈の連鎖としての極限で、自然数の集合Nが存在するってこと)
この∈の上昇列は、有限長ではないことは自明だよ
これを逆に辿れば、無限の降下列になるが、正則性公理に反するものではないことは自明
（そもそも、無限の上昇列を禁止したらおかしいぜｗ）
つまり、正則性公理の禁止しているの無限降下列
x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・
であって、底抜けの無限降下列だよ
一方、ノイマン構成の場合は、ある集合から作った上昇列だから、それを逆に辿れば、必ずそのような場合は降下列の底があるよ
だから、それは正則性公理には、反しないよ
それは、Zermeloのシングルトン構成によるωも全く同じことだ
以上
839:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:46:41.36 4jX6N+0z.net
>>786 タイポ訂正
つまり、正則性公理の禁止しているの無限降下列
↓
つまり、正則性公理の禁止しているのは無限降下列
840:
20/11/07 13:54:19.61 DWP3K/AV.net
>>778
ｽﾚﾘﾝｸ(eco板:510番)
841:１３２人目の素数さん
20/11/07 16:28:44.01 zpeR/n4w.net
>>786
>ここで、ノイマン構成では
>集合として（自然数nを集合と見て）、無限の上昇列ができる
>0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n・・・N
>(最後は、∈の連鎖としての極限で、自然数の集合Nが存在するってこと)
>この∈の上昇列は、有限長ではないことは自明だよ
”そっから、ずっこけているのか？”
・・・あっ、すみません
某大統領と🐶🐵の中の
842:グレタちゃんみたいな返し、やっちゃいました https://www.youtube.com/watch?v=8W1rV-1a1Hw ・・・閑話休題 きっちり書けば誰でもわかる明らかなことですが 0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n∈N この列・・・有限です もちろん、いくらでも長い上昇列はつくれますが・・・どれも有限です 要するに、これがポイント n∈N Nが任意のnを要素として持つので、こういうことが可能です これがもし、唯一の要素しか持たないなら、できない芸当ですね >これを逆に辿れば、無限の降下列になるが、 >正則性公理に反するものではないことは自明 有限列を逆にたどっても有限列なので 正則性公理に反しないことはそれこそ自明 >（そもそも、無限の上昇列を禁止したらおかしいぜｗ） 無限の上昇列は、最後が存在しません したがって、ひっくりかえしたら、最初が存在しません それが、>>779でいうと、一番外側の{}が存在しないことにあたります 最後に一言 「とてもばかげている。 ◆yH25M02vWFhPは怒りのコントロールに取り組み、 安達氏と大学時代の数学の教科書を読み直さなければならない。 落ち着け◆yH25M02vWFhP、落ち着け！」 ・・・ごめん、またやっちゃいました
843:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:09:26.00 4jX6N+0z.net
>>789
維新さん、さー、前から思っているけど、
あんたの数学の理解って、”数学記号の暗記レベル”で止まっていて、
理解浅いと思うんだよね
>0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n∈N
>この列・・・有限です
>もちろん、いくらでも長い上昇列はつくれますが・・・どれも有限です
>要するに、これがポイント
あのー、それじゃ、添字集合に無限集合たる自然数N使えないじゃん
で、無限列のコーシー列が、有限列になるぜよ
実数の構成（下記）どうすんの？
例えば、円周率 π = 3.14159・・・
これ、有限桁で打ち切れば、πの近似値だよ
小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、π1,π2,・・,πn,・・→∞でπ∞＝π
これ一つのコーシー列の例であって、πは超越数だから、n→∞ に出来ないのはおかしいぜｗ
あんたＩＵＴ無理
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
添字集合
添字集合（index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
多くの場合、添字は添字記法と呼ばれる、典型的には記号の上方や下方に置かれ、本文に用いられる文字よりやや小さな文字や数字を用いる記法に従って書かれる。添字が、上方に置かれるとき上付き添字（うえつきそえじ、superscript）、下方に置かれるとき下付き添字（したつきそえじ、subscript）と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列
コーシー数列
無限数列 (xn) について
im _n,m→∞ |xn-xm|=0
が成立するとき、数列 (xn) はコーシー的である、コーシー性を持つ、あるいはコーシ－列であるという。有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円周率とは、円の円周の長さの、円の直径に対する比率のこと[1]
小数点以下35桁までの値は次の通りである。
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …
(引用終り)
以上
844:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:18:55.12 4jX6N+0z.net
>>790
補足
小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、
無限列が２列できる
1, 2，・・, n,・・, ∞
↓↑
π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
こういう一対一対応になるよね
で、下のπの（無限）コーシー列が可能なら
その上の無限自然数列 ”1, 2，・・, n,・・, ∞”も可能だよ
845:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:25:02.91 4jX6N+0z.net
>>788
おお、これはこれは
Ｃ＋＋さん、お久しぶりですね
お元気そうでなによりです
レスありがとう
また、米大統領選の情報ありがとう！（＾＾；
846:１３２人目の素数さん
20/11/07 22:38:53.89 zpeR/n4w.net
>>790
>あのー、それじゃ、添字集合に無限集合たる自然数N使えないじゃん
？ 使えますよ
>で、無限列のコーシー列が、有限列になるぜよ
？ ならないよ
>例えば、円周率 π = 3.14159・・・
>これ、有限桁で打ち切れば、πの近似値だよ
>小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、
>π1,π2,・・,πn,・・→∞でπ∞＝π
>これ一つのコーシー列の例であって、
>πは超越数だから、n→∞ に出来ないのはおかしいぜｗ
？ なぜ、全く無関係な小数を持ち出すのかな？
0∈1∈2∈3・・・∈n-1∈n・・・
がNで終わる無限列になる、といいはりたい？
では列の最後の…x∈Nのxが何になるか
具体的に書いていただけますか？
ぐ・た・い・て・き に
チューショー的とかいって誤魔化すのは
絶対やめてくださいね 見苦しいから
847:１３２人目の素数さん
20/11/07 22:45:02.66 zpeR/n4w.net
>>791
> 1, 2，・・, n,・・, ∞
> ↓↑
> π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
>こういう一対一対応になるよね
>下のπの（無限）コーシー列が可能なら
>その上の無限自然数列 ”1, 2，・・, n,・・, ∞”も可能だよ
それ・・・∈列にならないですよ
∞のすぐ左の項・・・ないですよね？
∞をNと書き換えたいんですよね？
で、そのとき「∈N」の左に、何も書けないですよね？
それじゃ、∈列じゃないですよね？
考えて書いてます？ 考えずに漫然と書いてます？
書く前に考えませんか？ 考えると頭が痛くなりますか？
もし考えると頭が痛くなるなら、数学向いてないから諦めませんか？
考えずにできることをやったほうがいいんじゃないですか？
848:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 07:41:31.82 rSmWbt0i.net
（転載）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
243 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/11/03(火) 03:24:47.92 ID:EzLUFeKC
>決して{…{{{}}}…}ではありません
{}:=x1, {{}}:=x2, … とおく。
そもそもx∞は集合たりえない。
なぜなら、正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」を満たさないから。
なぜなら、x∞={x∞}であって、x∞∩x∞=x∞≠{} だから。
(引用終り)
どなたか知らないがレスありがとう
良い質問ですね
１）
・"正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」"だから、x∞に極小元の存在を示せば足りる
（下記の「数理論理学ＩＩ 坪井明人」”正則性公理”ご参照）
・x∞の極小元は、明らかに空集合Φ＝{}です。よって、正則性公理に反しないQED
２）
・”x∞={x∞}”の証明がない
・つーか、これ違う
∵多分x∞の定義が違うだろうし、順序数と基数の∞との混同でしょう
つまり、Zermeloのシングルトンによって
{}:=x1, {{}}:=x2, … で、その極限としてωが出来たとして
その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
・なお、この議論は、基礎論的には順序がおかしい
∵ ” lim n→∞”は、ノイマン構成などで、自然数Ｎが出来た後の議論だからね
でも、自然数Ｎが出来た後なら、この議論は許されるよ
つづく
849:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 07:41:52.44 rSmWbt0i.net
>>795
つづき
（参考）>>785より
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
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数理論理学ＩＩ 坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9
(引用終り)
以上
850:１３２人目の素数さん
20/11/08 07:54:01.96 bKzT4Sg/.net
>>795
>Zermeloのシングルトンによって
>{}:=x1, {{}}:=x2, … で、
>その極限としてωが出来たとして
質問１．極限、どうやってとるの？
>その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
それは誰も否定してないけど
>その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
851:１３２人目の素数さん
20/11/08 07:54:35.80 bKzT4Sg/.net
>>795
>Zermeloのシングルトンによって
>{}:=x1, {{}}:=x2, … で、
>その極限としてωが出来たとして
質問１．極限、どうやってとるの？
>その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
それは誰も否定してないけど
>その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
852:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:15:39.92 rSmWbt0i.net
>>794
> 1, 2，・・, n,・・, ∞
> ↓↑
> π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
まあ、そこは
1, 2，・・, n,・・, ω
↓↑
π1,π2,・・,πn,・・,πω=π
と読み替えて貰えば良い
普通、例えば、>>795 のように、”lim n→∞ xn =ω”と書くとき
∞は添え字集合としてのωをも意味するけれども、歴史的慣習として∞を使っているだけのこと
意味同じ
そして、>>795に書いたけれど、Zermeloのシングルトンによる自然数の構成だと、歴史的に批判されたらしいが、順序数の構成は良いけど、基数はどうするの？ と
で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが
１．順序数として、0th＝Φ（空集合）、1st={Φ}、2nd={{Φ}}、3rd={{{Φ}}}、・・・、nｔｈ={・・{Φ}・・}、・・→ω
２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・→∞ とすれば、よかんべ
これで、上記２の基数の方に、無限公理を適用すれば、無限集合としての自然数の集合Nが出来るよ
そこから、あらためて ∞や、ωを定義すれば良い
なお、”・・→∞”とか”・・→ω”とかは、ご説明として書いただけで、
数学的には蛇足（循環論法になる）で取った方がいいけど、５ｃｈの議論として分り易くしたんだ
これが分からない？
IUT無理
つづく
853:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:16:24.52 rSmWbt0i.net
>>799
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
存在と一意性
・0 := {}
・1:= suc (0)={0}
・2:= suc (1)={0,1}={0,{0}}
・3:= suc (2)={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}}
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
注）
x ∪ {x}が、上記ノイマン構成の後者になっているから、
「任意の要素 x に対して その後者を要素に持つ集合が存在する」と読み替えると
無限公理の意味が、明白になる
以上
854:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:57:14.52 rSmWbt0i.net
>>798
>質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
”具体的に”の数学的定義は、な～んだ？ｗ（＾＾
そういう質問って、幼稚だよ
下記の「0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。」に類似
そもそも、高度に抽象化された現代数学に対して、
”ｘは具体的に何？”という質問をするレベルじゃ
IUT無理
（参考）
0.99999……は１ではない その14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
1 名前：哀れな素人[] 投稿日：2020/10/20(火) 09:07:33.99 ID:KAmPBoOE
簡単な証明１
0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。
(引用終り)
以上
855:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 09:59:31.61 rSmWbt0i.net
>>799 タイポ訂正他
で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが
↓
で、Zermeloが批判にどう応えたかしらないが
あと、>>800で
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
このままの無限公理では、>>799の
"２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"には適用しにくい
二つ方法がある
１）一つは、n番目の集合Snとして、"0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"を使って
別に、Sn＝{,0,{ 0,1}, {1,2}, ・・, {n-2,n-1} }みたく、ノイマンの後者を作って、それを集めた集合Snを作って、それに無限公理を適用して、無限集合を存在させる
２）もう一つは、無限公理を若干手直しして、
任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
↓
任意の要素 x に対して {x} を要素に持つ集合が存在する
とすること （これは、逆数学の発想（下記））
まあ、どっちもありだし、重箱の隅で些末な議論の気がするが（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
逆数学
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。
しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によっては�
856:ｶめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
857:１３２人目の素数さん
20/11/08 10:01:32.91 bKzT4Sg/.net
>>799
>”lim n→∞ xn =ω”
具体的な操作は？
lim n→∞ xn＝∪（n∈N）xnなら、シングルトンになりませんよ
>”・・→∞”とか”・・→ω”とかは、ご説明として書いただけで、
>数学的には蛇足（循環論法になる）で取った方がいいけど、
>５ｃｈの議論として分り易くしたんだ
循環論法以前に、そもそも極限操作が一切書いてありません
中身がないなら分かりようがない 議論になりませんね
まず、具体的な極限操作を書いてくださいね
以前書いた図形の遊びなら、集合にならないので却下されます
858:１３２人目の素数さん
20/11/08 10:13:56.67 bKzT4Sg/.net
>>802
>>質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
>”具体的に”の数学的定義は、な～んだ？ｗ（＾＾
>そういう質問って、幼稚だよ
もしかして、答えられなくて、キレてます？
そもそも要素が何かも考えずに書き込むって、幼稚ですよね？
それじゃ0.999…と1の間に無数の数があるといっときながら
一つも具体例を提示できない安達氏と同じですよ
859:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 10:31:36.64 rSmWbt0i.net
>>802
補足
１．要するに、基数の方から、無限集合たる自然数の集合Nを作って
２．集合Nに対応する順序数の Zermeloシングルトンωを、極限として、抽象的に定義すれば良い
３．ωは、Zermelo法なら、集合としての濃度は１だ。そう定義すればいい。それで良いんじゃ無い？（＾＾
４．因みに、集合{N}は、自然数の集合N ＊）を要素とするシングルトンだよ。それと類似の集合だと思えば良い。但し抽象的な存在のωとしてね
（注＊）N＝ω でもあるけど、 ノイマンならね(>>800より)）
もっとも、自然数の集合Nなるものも、結局は抽象的な存在でしかありえない
「具体的に、集合Nの要素を書けない」という批判は、ノイマンのNに対しても不適当だ
この程度が分からないなら
IUTは無理
860:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 11:10:45.47 rSmWbt0i.net
>>805
補足
>もっとも、自然数の集合Nなるものも、結局は抽象的な存在でしかありえない
>「具体的に、集合Nの要素を書けない」という批判は、ノイマンのNに対しても不適当だ
１．現代の高等数学の多くの概念は、
殆どが抽象的な思念の存在でしかない
２．特に、”無限”がからむ概念はそうだ
リーマン球面の北極点の∞点しかり、射影幾何の無限遠点しかり
３．そもそも、”無限”なる概念は、
哲学としては、古代ギリシャのアリストレスの時代からあったという
４．それが、現代数学では公理的に基礎付けようとして、ZFCなどの公理系として体系付けられたのです
でも、結局、”無限”がからむ概念は、抽象的思念の産物でしかありえない
５．そして、抽象的な”無限”がからむ概念を整備すれば、
数学としては、便利でメリットがあるんだよ
現代の高等数学の多くの概念が、殆どそうだ
そういう概念を整備すれば、議論がすっきりして、見通しよくなるってこと
IUTの”フロベニオイド”、”アナベロイド”に同じ
そこが理解できない、維新さん、いやさ、おサル
現代の高等数学における抽象的概念の存在意義が、分からないなら
IUTは無理
夢のまた夢
861:１３２人目の素数さん
20/11/08 11:21:40.48 bKzT4Sg/.net
>>805
>順序数の Zermeloシングルトンωを、極限として、抽象的に定義すれば良い
だからどう極限をとるんですか？
「抽象的」という言葉を「手順を示さず」と”誤解”してますか？
>ωは、Zermelo法なら、集合としての濃度は１だ。
>そう定義すればいい。それで良いんじゃ無い？
定義できてないので全然良くないですね ぶっちゃけ最悪
それじゃIUTどころか
大学数学も無理ですよ
862:１３２人目の素数さん
20/11/08 12:16:29.45 BM2uk/CN.net
>>795
>・”x∞={x∞}”の証明がない
x∞に一番外側の"{"と"}"が無いならそもそも集合ではありません。
x∞に一番外側の"{"と"}"が有るならそれらを外したものはx∞自身ですから正則性公理に反します。
これ以外のケース（例えば、有り且つ無い）はありませんから、結局x∞は集合の要件を満たしません。
>・x∞の極小元は、明らかに空集合Φ＝{}です。よって、正則性公理に反しないQED
いいえ、{}はx∞の元ではありません。
>・つーか、これ違う
> ∵多分x∞の定義が違うだろうし、順序数と基数の∞との混同でしょう
定義は議論の出発点です。定義が違うと言われても意味不明です。
違う定義の議論をしたいならまずその定義を示して下さい。
863:１３２人目の素数さん
20/11/08 12:25:04.00 BM2uk/CN.net
>>795
>{}:=x1, {{}}:=x2, … で、その極限としてωが出来たとして
まず集合列の収束の定義を示して下さい。
次にその定義に沿って集合列 {}, {{}}, … �
864:ｪ収束することを証明して下さい。 それらが示されない限りあなたの主張はナンセンスです。
865:１３２人目の素数さん
20/11/08 13:32:11.45 bKzT4Sg/.net
>>806
質問に答えられないのが悔しいからって
「ボクはIUTのすべてが理解できるもん！」
泣きながらむしゃぶりつく三歳児みたいな
書き込みはご勘弁願えますから
痛々しすぎて涙が出ちゃう
866:１３２人目の素数さん
20/11/08 15:42:03.69 bKzT4Sg/.net
まとめ
Zermeloのωが
１．{{{…}}}ならω={ω}となり、基礎の公理を満たさない
２．…{{{}}}…ならそもそも最も外側の{}がないので集合ではない（当然、要素もない）
３．任意のｎへの∋降下列を持つのは
無限個の自然数を要素として持つとき、そのときに限る
867:１３２人目の素数さん
20/11/08 15:54:15.83 bKzT4Sg/.net
>>802
>無限公理
>ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
>空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
>このままの無限公理では、
>"２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"
>には適用しにくい
？ ただ適用すればそうなるが
1=0∪{0}={}∪{0}={0}
2=1∪{1}={0}∪{1}={0,1}
3=2∪{2}={0,1}∪{2}={0,1,2}
…
そして、ωは
･0を要素とする
･nを要素とすれば、n+1=n∪{n}を要素とする
ので、{0,1,2,…}
868:１３２人目の素数さん
20/11/08 15:59:47.98 bKzT4Sg/.net
>>802
>二つ方法がある
>１）一つは、n番目の集合Snとして、
>"0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"を使って
>別に、Sn＝{0,{0,1}, {1,2}, ・・, {n-2,n-1} }みたく、ノイマンの後者を作って、
>それを集めた集合Snを作って、それに無限公理を適用して、無限集合を存在させる
何わけわからんこといってるんだろう？この人は
n={0,1,…n-1}に対して
ノイマンの後者n+1は
n∪{n}={0,1,…n-1,n}
となりますが
こんな簡単なことも理解できないんじゃ
IUTどころか微積分も線形代数も…
♪無理～、サファリパーク
869:１３２人目の素数さん
20/11/08 16:05:12.86 bKzT4Sg/.net
>>802
>２）もう一つは、無限公理を若干手直しして、
> 任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
> ↓
> 任意の要素 x に対して {x} を要素に持つ集合が存在する
> とすること
それはツェルメロの後者関数を使った場合のωの作り方だな
1={0}
2={1}={{0}}
3={2}={{{0}}}
この場合も
ωは
･0を要素とする
･nを要素とすれば、n+1={n}を要素とする
ので、{0,1,2,…}
結果は同じ ただ個々の自然数を表す集合が異なるだけ
こんな簡単なことも理解できないんじゃ
IUTどころか微積分も線形代数も…
♪無理～、サファリパーク
870:１３２人目の素数さん
20/11/08 16:12:26.60 bKzT4Sg/.net
>>805
Zermeloの後者関数による無限公理でωをつくっても、
その中の要素には最大元は存在しないので
シングルトンを作ることはできません
極限・極限とわめいてますが、操作が示されてないので作れません
抽象・抽象とわめいてますが、操作も示さずに存在は示せません
こんな簡単なことも理解できないんじゃ
IUTどころか微積分も線形代数も…
♪無理～、サファリパーク
871:１３２人目の素数さん
20/11/08 16:19:34.01 bKzT4Sg/.net
>>806
>現代の高等数学の多くの概念は、殆どが抽象的な思念の存在でしかない
>特に、”無限”がからむ概念はそうだ
>リーマン球面の北極点の∞点しかり、射影幾何の無限遠点しかり
ん？どっちも座標系の張り合わせで具体的に構成できますが？
リーマン球面の場合、w=1/zという張り合わせで、
w=0以外の点は全部zのある点に対応します
そしてw=0の点がzを基準とした場合の無限遠点になります
ｎ次元射影空間も、実は同様の考え方で、
ｎ＋１枚の座標系の張り合わせで実現できます
（リーマン球面は、複素射影直線なので２枚の座標の張り合わせで実現できます）
多様体論の初歩ですね
こんな簡単なことも理解できないんじゃ、IUTは到底…
♪無理～、サファリパーク
872:１３２人目の素数さん
20/11/08 16:25:02.95 bKzT4Sg/.net
ちなみに再三繰り返してる
♪無理～ サファリパーク
の元ネタは・・・こいつ↓です
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
873:１３２人目の素数さん
20/11/08 16:59:03.97 bKzT4Sg/.net
某スレッドでは、◆yH25M02vWFhP氏を
日向坂の齊藤京子にたとえたけど、
実はこいつ↓かもしれんな 出身も関西だし
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
874:１３２人目の素数さん
20/11/08 17:19:11.54 bKzT4Sg/.net
今日の迷言
「現代の高等数学の多くの概念、特に、”無限”がからむ概念は、
殆どが抽象的な思念の存在でしかない
リーマン球面の北極点の∞点しかり、射影幾何の無限遠点しかり」
二行目まではかっこいいんだが、三行目でガクッとズッコケる
いやこれほど具体的な構成、ほかにないって！
875:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 22:51:02.15 rSmWbt0i.net
>>808
どなたか知らないが、レスありがとう
>x∞に一番外側の"{"と"}"が無いならそもそも集合ではありません。
？？？
簡単に素朴集合論に戻るよ、例えば、下記 集合論 花木章秀で
”集合は「xに関する命題P(x)が真となるようなxの集まり」という形で記述される。
このとき、その集合を {x|P(x)} のように表す」という形で記述される”とあるよね
だから、{x|P(x)} とすれば良い。要は、P(x)を作れば良いでしょ（P(x)で、「xはこうだ」と文を書けば良い）
あるいは別法として、空集合Φを使ってシングルトンを作るとき、{Φ}の次に、{(Φ)}みたく内側にカッコを作る。()→{}の置き換えで、{{Φ}}となる
有限の範囲では、内側にカッコを作るか外側かは、違いがないけど、無限になると違う
内側だと{{・・Φ・・}}となる。外側だと・・{{Φ}}・・となる。（分かると思うが、・・のところは、カッコが続いている）
この場合、>>779同様に幾何的に考えると
>>782に維新さんが書いているように、一番外側の円を半径3/4として、そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
円の中心は原点０がある。この原点０を空集合Φと見なせば良い
そして、>>779のように、各円の北極と南極に切れ目を入れて、左半円と右半円に分けて、半円をカッコに変形すれば
集合{{・・Φ・・}}ができる。この集合のカッコには、一番外側を1番として、その内の半径1/2が2番、その内の半径1/3が3番、と順にカッコに附番ができる
そして、附番ｎ以下全ての自然数を渡る。よって、一番外側に"{"と"}"が出来た
QED
（参考）
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(math.shinshu-u.ac.jp)
集合論
花木章秀
2011年度後期(2011/09/12)
P15
Chapter2
2.1集合
集合は「xに関する命題P(x)が真となるようなxの集まり」という形で記述される。このとき、その集合を
{x|P(x)}
のように表す。例えば「100以上の整数の集まり」であれば
{x|x∈Zかつx≧100}
のように表す。
「かつ」というのを省略、あるいは英語で表して
{x|x∈Z,x≧100},{x|x∈Z and x≧100}
のようにも表す。
(引用終り)
以上
876:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 23:10:29.80 rSmWbt0i.net
>>808
どなたか知らないが、レスありがとう
>x∞に一番外側の"{"と"}"が有るならそれらを外したものはx∞自身ですから正則性公理に反します。
？？？
１．下記「正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではない」とあるから、正則性公理を絶対視する必要ないと思うけど
２．されど 折角だから、正則性の公理、下記坪井明人 数理論理学ＩＩ ”空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，を直観的には意味している．”とあるよね
３．シングルトンだから、集合を構成する要素は一つ。それ自身が、極小ですよ
４．さらに、例えば１から始まる自然数の集合N＝{1，2，3・・n・・}で、この要素は可算無限ある ∵Nは可算無限濃度の集合
カッコを外して、並べると、1∈2∈3∈・・∈n∈・・ となる可算無限上昇列ができる
可算無限上昇列は、可だ ∵この場合要素1が、 ∈ に関して極小となる元だから
QED
（参考）>>785より
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
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数理論理学ＩＩ 坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9
基礎の公理（正則性公理）
空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，を直観的には
意味している．基礎の公理は，それがなくても数学が展開できるので，ある意
味で技術的な公理である．しかし，基礎の公理を仮定した方が議論が展開しや
すくなるので，通常は集合論の公理として加える．
(引用終り)
以上
877:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 23:16:09.55 rSmWbt0i.net
>>820
＞一番外側の円を半径3/4として、そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
一番外側の円は、半径3/4として、半径１を外しておくと
次に、1と2の間で、同じように同心円ができるよ
0～1で、ωの同心円で、その外にまた、1～2の間の同心円ができて、
0～2で、2ωの同心円
・
・
・
と続けられる
という仕掛けです（＾＾
878:１３２人目の素数さん
20/11/08 23:34:47.71 BM2uk/CN.net
>>820
ナンセンス。
>x∞に一番外側の"{"と"}"が無いならそもそも集合ではありません。
↑に反論するなら
「一番外側の"{"と"}"が無くても集合である」
を示さなければならないが、まったく明後日のことを述べておりナンセンス。
879:１３２人目の素数さん
20/11/08 23:56:40.81 BM2uk/CN.net
>>821
>１．下記「正則性の公理は必ずしもZF公理系を拡張するために必要なものではない」とあるから、正則性公理を絶対視する必要ないと思うけど
「絶対視」なるものが何を指しているのか不明だが、
ZF公理系上のあらゆる集合は正則性公理の要件を満足している必要がある。
>２．されど 折角だから、正則性の公理、下記坪井明人 数理論理学ＩＩ ”空でない集合 x には ∈ に関して極小となる元 z ∈ x があること，を直観的には意味している．”とあるよね
あるよねと言われても、はあ�
880:ﾆしか言えませんがｗ >３．シングルトンだから、集合を構成する要素は一つ。それ自身が、極小ですよ 「元が一つの場合それ自身が極小元」という主張のようですが、x={x}が反例。 恐らく「∈に関する極小元」の意味を理解していないのでしょう。 >４．さらに、例えば１から始まる自然数の集合N＝{1，2，3・・n・・}で、この要素は可算無限ある ∵Nは可算無限濃度の集合 > カッコを外して、並べると、1∈2∈3∈・・∈n∈・・ となる可算無限上昇列ができる > 可算無限上昇列は、可だ ∵この場合要素1が、 ∈ に関して極小となる元だから だから何でしょう？
881:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:16:01.56 SmS9RLVD.net
>>820
>簡単に素朴集合論に戻るよ、
>例えば、下記 集合論 (人名略）で
>…とあるよね
>だから、{x|P(x)} とすれば良い。
>要は、P(x)を作れば良いでしょ
>（P(x)で、「xはこうだ」と文を書けば良い）
で、肝心のP(x)は何ですか？まっさきに、それ示さないと
882:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:26:07.39 SmS9RLVD.net
>>820
>あるいは別法として、
>空集合Φを使ってシングルトンを作るとき、
>{Φ}の次に、{(Φ)}みたく内側にカッコを作る。
>()→{}の置き換えで、{{Φ}}となる
>有限の範囲では、内側にカッコを作るか外側かは、違いがないけど、
>無限になると違う
>内側だと{{・・Φ・・}}となる。
>外側だと・・{{Φ}}・・となる。
（中略）
>一番外側の円を半径3/4として、
>そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
>円の中心は原点０がある。この原点０を空集合Φと見なせば良い
くだくだ書いてるけど、要するに
「{{…}}じゃなく{{…Φ…}}だから基礎の公理を満たす」
と言い張ってる？
でも{{…Φ…}}の最外側の{}を外しても、同じ{{…Φ…}}だから
有限回でΦには到達できず、結局、基礎の公理は満たさないんだけど
ちゃんと、まじめに考えてる？
お絵かきしただけで、集合ができた！と早とちりしてない？
言葉だけで考え切らないと大学数学は一つも理解できないよ
883:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:33:54.28 SmS9RLVD.net
>>820
>一番外側の円を半径3/4として、
>そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
>円の中心は原点０がある。この原点０を空集合Φと見なせば良い
そもそも見なせないじゃん
Φを原点０としたとき、｛Φ｝となる円はどれ？
任意のε＞０について、1/n＜εとなる1/nがあるよね？
で、1/nより小さい1/m（mはｎより大きな自然数）
は無限にあるよね？
つまり、どの円も｛Φ｝になりえないんだけど
いや、こりゃヌケサクだね
884:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:36:43.31 SmS9RLVD.net
>>821
>正則性公理を絶対視する必要ないと思うけど
なんか、0.999…=1を絶対視する必要ない、とかいって否定したがる
安達弘志氏とまったく同じ言い訳をするね
その言い訳、却下ね 二度と口にしないで 見苦しいから
885:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:52:02.50 SmS9RLVD.net
>821
>シングルトンだから、集合を構成する要素は一つ。それ自身が、極小ですよ
それ、著者の坪井明人氏に確認した？ 聞いてみ？ 間違ってるっていわれるから
そもそも1.1.10の注意８ 読んだ？
ちゃんと読んで！
>注意 8. a ∈ a を満たす集合 a は存在しない：
>そのような a があったとする．
>x = {a} として，基礎の公理を適用すると，
>a は x の中で ∈ に関する極小元なので，
>a ∈ a は成立しないはずである（矛盾）．
君の”理解”だと、シングルトンでありさえすれば
ａ∈ａでも￢ａ∈ａでも極小元だということになってしまうよね
つまり、君、「∈に関する極小元」という言葉の意味を、自分勝手に誤解したんだよ
駄目だよ、自分勝手に意味を捏造しちゃ
数学は君が勝手に作った妄想体系じゃないんだから
886:１３２人目の素数さん
20/11/09 06:57:01.53 SmS9RLVD.net
>>823
>(>>820は)まったく明後日のことを述べておりナンセンス。
◆yH25M02vWFhPは、集合＝{}を用いた”図形”、と思ってるみたい（誤解だけど）
図形が具体的に書けさえすれば、
即、集合として存在する、と思ってるみたい（誤解だけど）
集合の公理とか一つも知らないし、そもそも知る気もないみたい
自分の直感こそが公理だ、と思ってるみたい（実に傲岸不遜な態度だけど）
887:１３２人目の素数さん
20/11/09 07:02:24.05 SmS9RLVD.net
>>821
>例えば１から始まる自然数の集合N＝{1，2，3・・n・・}で、
>この要素は可算無限ある ∵Nは可算無限濃度の集合
0から始めなよ
>カッコを外して、並べると、
>1∈2∈3∈・・∈n∈・・
>となる可算無限上昇列ができる
上記だけじゃできないよ
N={1，2，3・・n・・}
だけじゃ
1∈N,2∈N,3∈N,…,n∈N,…
はいえるけど
1∈2とか、2∈3とか、一つもいえないじゃん
アタマ、オカシイ？
888:１３２人目の素数さん
20/11/09 07:05:54.15 SmS9RLVD.net
そもそも
0∈1∈2∈3∈・・∈n∈・・
を実現したいだけなら、N、要らないし
0={}
1={0}={{}}
2={1}={{{}}}
…
だけで十分だし
つまり、いくらでも長い有限上昇列が存在する
というのが、◆yH25M02vWFhPのいう「無限」上昇列の正体だから
889:１３２人目の素数さん
20/11/09 07:44:53.92 hKG23kof.net
"雑談"なる人物へ
>でも{{…Φ…}}の最外側の{}を外しても、同じ{{…Φ…}}だから
>有限回でΦには到達できず、
より
「{{…Φ…}}には∈に関する極小元が存在しない」
が言えます。
まずは”∈に関する極小元”が何であるか理解してから発言して下さい。
890:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:31:20.71 neBqQ1Mo.net
{}
891:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:31:46.86 neBqQ1Mo.net
{{}}
892:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:32:32.30 neBqQ1Mo.net
{{},{{}}}
893:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:33:02.90 neBqQ1Mo.net
{{},{{}},{{},{{}}}}
894:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:33:24.79 neBqQ1Mo.net
{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}
895:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:33:57.22 neBqQ1Mo.net
{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}
896:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:34:46.14 neBqQ1Mo.net
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897:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:35:50.16 neBqQ1Mo.net
{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}},{{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}}}}
898:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:36:42.60 neBqQ1Mo.net
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899:１３２人目の素数さん
20/11/10 20:37:47.84 neBqQ1Mo.net
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900:現代数学の系譜 雑談
20/11/18 15:16:53.76 mVtq20OO.net
ゴミスレに落ちぶれつつあるが、
参考に貼る
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-
901:１３２人目の素数さん
20/11/18 18:50:38.68 Z62/0mic.net
>>844
♪良スレは 荒らしちゃ ダメダメ らららら～
そろそろマジメに数学書読んだら？
902:１３２人目の素数さん
20/11/19 04:35:41.33 Clp5hM1J.net
Φ_n(x) を円分多項式とする。
p：素数 (p,q)=1 のとき
Φ_{p^e･q} (x) = Φ_{p･q}(x^{p^(e-1)}),
n = Π p^e (素因数分解)
rad(n) = Πp (radical, 根基)
のとき
Φ_n(x) = Φ_rad(n) (x^E(n)),
E(n) = Πp^(e-1) = n/rad(n),
nが奇数のとき
Φ_{2n}(x) = Φ_n(-x),
903:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 11:32:03.57 EWXzW0g+.net
>>844
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:100番)
この感想（まとめ）だけで良いんじゃ無い？
あとは、ゴミでしょ
つまり、” C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3 ”とかさ
テキストの劣化版を貼付けて、これ殆どゴミでしょ
視認性悪いよね。せめて、テキストのページ数でも、付記しておいたらどうよ？
904:１３２人目の素数さん
20/11/23 17:16:24.68 +WuPrKT1.net
>>847
>視認性悪いよね。
頭悪いよね あんた
>せめて、テキストのページ数でも、付記しておいたらどうよ？
梅村の「楕円関数論」買えばわかるんじゃね？
905:１３２人目の素数さん
20/11/23 17:27:43.79 +WuPrKT1.net
◆yH25M02vWFhP以外の方へ
梅村氏の本は親切丁寧
現代的な切り口で理論を再構成してるのもいい
あれで分からないんなら、何読んでも分らんだろうな
主題が具体的だから
ガロア理論の本とかと違って
工学系の人でも読めるだろう
再版されたのは当然だな
906:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 19:44:26.56 EWXzW0g+.net
>>849
ふーん
下記か（＾＾
アマゾン
楕円関数論 増補新装版: 楕円曲線の解析学 (日本語) 単行本 ? 2020/5/27
梅村 浩 (著)
楕円関数論―楕円曲線の解析学 (日本語) 単行本 ? 2000/7/1
梅村 浩 (著)
東京大学出版会; 増補新装版 (2020/5/27)
（旧版）
上位レビュー、対象国： 日本
susumukuni
VINEメンバー
5つ星のうち5.0 楕円関数論の素晴らしい入門書
2004年6月19日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
19世紀数学の華である楕円関数論の従来の教科書・解説書では、2重周期を持つ（即ち、複素トーラス上の）解析関数という観点から、楕円関数の解析的な面が主に扱われており、種数1の代数曲線（即ち、楕円曲線）という代数幾何学的対象の超越的（
907:複素解析的）な面に詳しいものは少なかった。本書は、この「楕円曲線の解析学」として、楕円関数論を論ずる本格的な入門書で、この理論に興味を持つすべての方にお薦めできる好著である。 本書の大きな特徴として、以下の3点を挙げることができる。先ず、楕円関数の理論が、計算を含めて非常に詳しく丁寧に解説されていること。次に、Jacobiの楕円関数とその周期や加法公式などが、テータ関数を経由して巧みに導かれており、「テータ関数」の理論のステキな入門書になっていること。最後に、楕円関数の応用として、算術幾何平均と楕円積分の周期との相互関係、及び楕円関数と5次方程式の解法との関連、などの興味深い話題が詳しく解説されていることである。 私見ではあるが、本書のハイライトは、テータ関数に関する「Riemannのテータ関係式」と「Jacobiの変換公式」、及び4.7節に述べられている楕円積分の周期の解説にあると思う。特に、4.7節に述べられている楕円積分のモジュラスkでの微分計算、及び4つの楕円積分の間に成立する「Legendreの関係式」の証明はまことに素晴らしく、間違いなく本書の一つの頂点に位置すると思う。 本書の平易で丁寧な記述は、この理論を初めて学ばれる方でも、そのかなり高度な内容をフォローする事を可能にしている。平易な記述ながら豊富で充実した内容という両立が難しい要求を見事に満たしている本書は、楕円関数論の現代の名著と言うに相応しい。
908:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 19:51:36.73 EWXzW0g+.net
最近のだと、下記もある
数学科学生だと、大学図書にあるかも。無ければ、リクエストして買わせろ
アマゾン
楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方 (日本語) 単行本 ? 2019/9/25 武部 尚志 (著)日本評論社
【目次】
第0章 イントロ ーー楕円積分と楕円関数の国の俯瞰図
第1章 曲線の弧長 ーー楕円積分への入り口
第2章 楕円積分の分類 ーー道案内板
第3章 楕円積分の応用 ーー旧跡と名所
第4章 ヤコビの楕円関数 ーー天の橋立の股覗き
第5章 ヤコビの楕円関数の応用 ーー路地裏に遊ぶ
第6章 代数関数のリーマン面入門(1)ーー帰って来ても戻っていない
第7章 代数関数のリーマン面入門(2)ーー世界は丸い
第8章 楕円曲線 ーー限りある世界
第9章 複素楕円積分 ーー道案内版を見直す
第10章 上半平面と長方形の対応 ーー鏡の国を通り抜け
第11章 アーベル-ヤコビの定理(1)ーー楕円曲線の住人たち
第12章 アーベル・ヤコビの定理(2)ーー楕円曲線の地図を作ろう
第13章 楕円関数の一般論 ーー定番周遊コース
第14章 ワイエルシュトラスのP関数ーー楕円関数の国の名士
第15章 加法定理 ーー楕円関数の民族性
第16章 加法定理による特徴付けーー楕円関数の国の旗印
第17章 テータ関数(1) ーーねじれた平原
第18章 テータ関数(2) ーー四人で行進
第19章 テータ関数の無限積展開 ーー隣の国へ向かう橋
第20章 ヤコビの楕円関数(複素数版)ーーガイドブックの終わりは旅の始まり
上位レビュー、対象国： 日本
独語学習者
5つ星のうち5.0 中身は本格派です。
2020年11月1日に日本でレビュー済み
Amazonで購入
タイトルは読み物みたいなタイトルですけれどとんでもないです。
中身は完全に数学書で簡単でもありません。
序盤は割とゆっくりな導入ですが、後半はかなり難解で展開も駆け足となります。
まだまだ序盤で苦戦している途中ですが、戸田先生の楕円関数入門と補完しながら読むと読みやすいと思いました。
909:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 19:58:17.00 EWXzW0g+.net
>>851
＞戸田先生の楕円関数入門と補完しながら読むと読みやすいと思いました。
補足
こういう態度大事だよね
一冊の本をじっくり読むのも良いが
ある本でつまづいたら、別の本を同じような箇所を見ているというのもありだ
たまに、誤植があったりするが、誤植なら複数本の比較で分かるし
違う視点から解説されていて、納得できる場合も多い
（つーか、筆者には自明でも、読者のレベルによっては非自明ってある。筆者が面倒がって「自明！」的に飛ばしたところを、別の人は丁寧に解説していたりすることがあるし）
910:１３２人目の素数さん
20/11/23 20:02:38.19 +WuPrKT1.net
>>850
レビューなんかいくら読んでもしゃあないよ
>楕円関数と5次方程式の解法
そうそう、実は6次以上の代数方程式も多変数テータ関数を使って解けるってさ
Mumford "Tata lectures on Theta II"にある梅村氏自身の論文を読め、とさ
911:１３２人目の素数さん
20/11/23 20:13:07.05 +WuPrKT1.net
>>852
＞一冊の本をじっくり読むのも良いが
そう、とにかく「読む」のが良いね
一冊も読み通せないのはダメだね
数学やめたほうがいい
＞ある本でつまづいたら、別の本を同じような箇所を見ているというのもありだ
どの本でも同じ箇所でつまづく場合、
もっと根本的なことがわかってない
と思ったほうがいい
何がわかってないか確認した上で
より基礎的なテキストを読んだほうがいい
複素解析の基礎がわかってないなら複素解析のテキスト
ヤコビアンやグリーンの定理がわかってないなら多変数解析学のテキスト
行列式からわかってないなら線形代数のテキスト
解析学の基礎からわかってないなら微積分のテキスト
数学は積み上げ これ豆な
912:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 22:06:13.87 EWXzW0g+.net
維新さん、相当あたま悪いね
あなた、数学科にあこがれて入ったのかな？
遠山の数学入門を小学生で読んで
でも、ちょっと間違ったんじゃない？
数学科から数学研究者→アカデミックポスト って、あなたにはムリ
それを早く悟った方が良かったと思うよ
むしろ、文系に行った方がよかったろう
”数学は積み上げ これ豆な”か
確かに、お勉強レベルではね
だが、”数学科から数学研究者→アカデミックポス”というコースに乗るには、それだけじゃ足りないんじゃね？
遠山の数学入門には書いてないだろうが
913:１３２人目の素数さん
20/11/23 22:16:00.72 +WuPrKT1.net
>>855
維新？それ誰？
数学科？おれ情報学科出身だけど
遠山の数学入門？あれって高卒レベルじゃん
数学者？アカポス？そんなもん目指したことないな
＞”数学は積み上げ これ豆な”か
＞確かに、お勉強レベルではね
＞だが、”数学科から数学研究者→アカデミックポス”
＞というコースに乗るには、それだけじゃ足りないんじゃね？
あたりまえじゃんｗｗｗｗｗｗｗ
あんた、論理わかってる？
おれが行ってるのは、「積み上げなしに数学は理解できないよ」
あんたは否定できなかった、あんた負けたんだよ
「積み上げだけじゃ数学者になれない」とか負け惜しみかよｗ
あんた数学やめて田舎でトマトでもつくったほうがいいよ
914:１３２人目の素数さん
20/11/23 22:23:33.57 +WuPrKT1.net
維新って、このスレ↓に書いてる奴かい？
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
そんなにそいつが憎いんなら、そのスレで闘ったら？
どうやって闘うのか知らんけどさｗ
915:現代数学の系譜 雑談
20/11/23 22:49:33.55 EWXzW0g+.net
>>856-857
サイコパスのすっとぼけか
相当あたま悪いな
そう謙遜するなよ、維新さん
今日も、”1 位/86 ID中 Total 37”ですよ、維新さん！ｗ（＾＾
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
必死チェッカーもどき
数学 > 2020年11月23日 > ID:+WuPrKT1
1 位/86 ID中 Total 37
使用した名前一覧
１３２人目の素数さん
書き込んだスレッド一覧
0.99999……は１ではない その15
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
純粋・応用数学(含むガロア理論)5
IUTを読むための用語集資料集スレ
実数は可算無限であることの証明
Inter-universal geometry と ABC 予想 43
例
純粋・応用数学(含むガロア理論)5
414 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/23(月) 10:45:36.29 ID:+WuPrKT1
整数論はよくわからないので基本的な質問
１．初等整数論の基本定理といったら何でしょうか？
２．代数的整数論の基本定理といったら何でしょうか？
もちろん複数上げていただいて構いません
916:１３２人目の素数さん
20/11/23 23:01:51.71 EzbQlgRu.net
一番頭悪い奴が人の頭の悪さを笑う
こいつ人間じゃねーや