20/11/01 14:41:21.85 Fdz+cM+e.net
>>696
私が「教師」であるのはこの板だけのことで、
実生活上では別の仕事についています。
780:特別支援学校教諭
20/11/01 14:49:21.30 Fdz+cM+e.net
>>694
＞＜時枝関連＞と＜「可算無限シングルトン」＞の関連スレは…
>>675で「箱入り無数目」と「可算無限シングルトン」を持ち出したのは
◆yH25M02vWFhPさん、あなたですが
注：私は「箱入り無数目」については、著者名を敢えて出さないことにしています
なぜなら記事の内容は、著者自身のアイデアによるものではないからです
それにしても、上記の2件について、あなたはまだご自分の誤りを
認められないようですね・・・教育のし甲斐があるというものです！
正規部分群の定義や、正則行列の件と同じく、あなたが
自分の誤りを認められるよう、導いていきたいと思います
781:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 19:29:03.24 o4gNmK89.net
>>698
スレチだが
>なぜなら 順序数ｘをシングルトンで実現する場合
>その唯一の要素が順序数ｘ－１だからです
ここ、数学的に厳密な証明がない
単なる個人の一つの感想文にすぎない
782:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 19:36:08.22 o4gNmK89.net
>>699-700
>私が「教師」であるのはこの板だけのことで、
なんだ
自白したのか？
妄想だったのか、謀ったのかは知らずｗ
>それにしても、上記の2件について、あなたはまだご自分の誤りを
>認められないようですね
そっくりお返しする
もっとも、さる石と、もう論争するメリットないがね
時枝については、
783:いまどきの数学科生は、おサルの時代と違って、金融数学との関連で、確率論及び確率過程論の修得をしていると見る。大学教程の確率論及び確率過程論の修得していれば、時枝の不成立など一目ですからね 「可算無限シングルトン」も似たようなもので、こちらの勝利は確定しているので、論争する必要なしだ
784:特別支援学校教諭
20/11/01 20:22:59.89 Fdz+cM+e.net
>>701
>ここ、数学的に厳密な証明がない
証明ではなく定義
（Zermelo構成）
aが順序数のとき、{a}をaの後続順序数とする
これだけでは、極限順序数ωを構成する方法は示されない
ωから、ωより小さい任意の順序数ｎへの∈降下列が存在する、としたとき
そのような条件を満たすωは、ωより小さい順序数の無限集合となる
785:特別支援学校教諭
20/11/01 20:30:59.67 Fdz+cM+e.net
>>702
＞もう論争するメリットない
実はこれははじめから「論争」ではない
あなたは間違っているから
私はあなたの間違いを指摘し、
あなたに間違っていることを理解させることで
あなたに数学を理解させるメリットを与える
私には何のメリットはない 純粋な利他行為
「箱入り無数目」に関しては記事を理解していれば
大学の確率論を知らなくても理解できる
100列のうち決定番号が単独最大値の1列を選ばない確率は
あみだくじ100本のうち外れの1本を選ばない確率と同じだから
「可算無限シングルトン」はあなたが極限順序数を知らず
０以外の全ての順序数が後続順序数であると誤解したためのもの
シングルトンとして表せる順序数は後続順序数だけで
ωが後続順序数でないことを理解すればいいだけのこと
786:特別支援学校教諭
20/11/01 20:35:37.58 Fdz+cM+e.net
>>702
蛇足
＞こちらの勝利は確定している
♪勝つと思うな 思えば負けよ
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
787:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 22:02:34.58 o4gNmK89.net
>>703
ほいよ
・自然数の構成法は、後者関数の選び方に任意性がある。しかし、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」
・上記で、標準的なノイマン構成以外に、シングルトンによる自然数構成も可能
・自然数全体の集合N(（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω )の存在は、無限公理から導かれるもの。後者関数の定義とは無関係（後者関数にシングルトンを選んだら云々はド素人）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
(抜粋)
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。 まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。
N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
（上記のノイマン構成法で略す）
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
（注：これがシングルトンによる自然数構成）
つづく
788:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 22:03:27.47 o4gNmK89.net
>>706
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。
解釈と帰結
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と
789:同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合） 独立性 無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。 (引用終り) 以上
790:特別支援学校教諭
20/11/01 22:13:46.69 Fdz+cM+e.net
>>706
＞自然数全体の集合N(ギリシャ文字の ω )の存在は、
＞無限公理から導かれるもの。
ほら、シングルトンじゃないでしょう？
引用文、読みましょうね
無限公理＝シングルトンでない、ですよ
無限公理の式 読みましょうね
791:特別支援学校教諭
20/11/01 22:16:31.51 Fdz+cM+e.net
＞例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
＞0 := {}
＞1 := {0} = {{}}
＞2 := {1} = {{{}}}
＞3 := {2} = {{{{}}}}
＞と非常に単純な自然数になる。
＞（注：これがシングルトンによる自然数構成）
「自然数構成」ですね
ωは自然数ではありませんね
超準自然数だというなら、あなた、完全間違ってます
ωは超準自然数ではありませんよ
ωは無限公理による、とコピー＆ペーストしましたね
つまり、無限集合であって、シングルトンではない、ってことです
792:特別支援学校教諭
20/11/01 22:19:59.51 Fdz+cM+e.net
無限公理は、後続順序数をシングルトンで表す場合なら以下の通り
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃A（{}∈A∧∀x∈A({x}∈A))
つまり A={{},{{}},{{{}}},…}
793:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 23:18:44.86 o4gNmK89.net
>>708-710
・無限公理の本質は、それを表現する式のテクニカルな話ではない。単に、後者関数を帰納的に繰返しただけでは、自然数の集合N（順序数ではω）の存在はすっきり言えないってことです
・無限公理の本質は、下記の極限順序数通り。ある後者関数を選ぶと、帰納的に自然数の元が構成できる。そして、無限公理で、極限順序数ω（それは自然数の集合Nでもある）の存在が導かれる
・その後、ωに後者関数を適用することで、”ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ......”（下記）と続くということです
・後者関数の選び方には、任意性があるが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」
・だから、シングルトンによる後者関数に目くじら立てるのは間違い。シングルトンによる後者関数であっても極限順序数は可能ですよ
∵シングルトンによる後者関数によって全ての自然数の元が尽くせるなら、それらの元を集めた無限集合たる自然数の集合Nが構成可能であって、それは極限順序数ωでもあるのです！
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学でいう順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。
S(α) を α の後続者（successor of α）と呼ぶ。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
つづく
794:現代数学の系譜 雑談
20/11/01 23:19:06.74 o4gNmK89.net
>>711
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。
(引用終り)
なお、これを下記のスレに転載しておきます
795:よ 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/ 以上
796:特別支援学校教諭
20/11/02 06:18:54.78 PUodusEe.net
>>711
噛んで含める説明
>無限公理の本質は
以下の式の通りですよ
「ある集合Aが存在し、Aは空集合を要素とし
Aの任意の要素xについて、その後者S(x)も要素とする」
∃A（{}∈A∧∀x∈A(S(x)∈A))
>それを表現する式のテクニカルな話ではない。
テクニカルな話＝後者関数の形体 ということならその通りですね
つまり、後者関数によって生成される集合がシングルトンか否かとは無関係に、
無限公理によって、無限集合（シングルトンに非ず）の存在が前提される
ということです
797:特別支援学校教諭
20/11/02 06:24:44.23 PUodusEe.net
>>711
>後者関数の選び方には、任意性があるが、
>「二階述語論理によって定式化することで、
> ペアノシステムを同型の違いを除いて
> 一意に定めることができる」
それ、「可算無限シングルトン」と無関係ですね
ちなみに一階述語論理では、一意化できません
それがレーヴェンハイム–スコーレムの定理ですね
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、
可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、
全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、
という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、
そして無限モデルを持つ一階の理論は
同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、
という結論が得られる。
798:特別支援学校教諭
20/11/02 06:30:07.90 PUodusEe.net
>>711
>シングルトンによる後者関数であっても極限順序数は可能ですよ
より正確にいえば
「後者関数による後者がシングルトンであっても、極限順序数は生成可能」
で、核心
◆yH25M02vWFhP氏、がいってるのは
「後者関数による後者がシングルトンならば、極限もシングルトン」
ですよね？
それ、間違ってます(・Д・)９ ﾋﾞｼｯ!
後者関数がいかなるものであっても、
無限公理で定められるωは無限集合（正確には可算無限集合）
799:特別支援学校教諭
20/11/02 06:37:29.51 PUodusEe.net
>>711
大事なことなので繰り返しますね
>シングルトンによる後者関数によって全ての自然数の元が尽くせるなら、
>それらの元を集めた無限集合たる自然数の集合Nが構成可能であって、
>それは極限順序数ωでもあるのです！
ええ、その通りですよ。で、
N（＝ω）は全ての自然数{}、{{}}、{{{}}}、…を集めた無限集合なんでしょう？
だから、N（＝ω）はシングルトンではないですね
具体的に書けば{{},{{}},{{{}}},…}です
決して{…{{{}}}…}ではありません
800:特別支援学校教諭
20/11/02 06:41:54.80 PUodusEe.net
>>712
>なお、これを下記のスレに転載しておきますよ
転載するなら>>713-716でお願いします
特に>>716は◆yH25M02vWFhP氏が
自分の主張を完全否定する文章を
コピペした決定的証拠なので
あなたが忘れないために
必ず実施してくださいね
「ωは可算無限シングルトン」の誤りの矯正指導については以上で終了します
・・・あなたが誤りを認めれば
801:現代数学の系譜 雑談
20/11/02 07:06:47.73 YSe1lExr.net
>>711 補足
１．自然数のノイマン構成(>>706)で、”無限公理”を適用して、可算無限集合 つまりは自然数の集合N（順序数ω）が構成できたとする
２．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), .............................. となる
３．ここに、後者関数 S(α) ：＝ SN(α) ノイマン構成の後者関数である
４．さて、後者関数を S(α) ：＝ SZ(α) シングルトンによる後者関数（Zermelo）に置き換えても、上記２と同じことが言える
５．これを担保するのが、「レーヴェンハイム＝スコーレムの定理：一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ」（>>706）ってことです
なお、これらを下記のスレに転載しておきますよ
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
以上
802:特別支援学校教諭
20/11/02 07:59:12.94 PUodusEe.net
>>711
>「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」
>>718
>「レーヴェンハイム＝スコーレムの定理：一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ」
どっちも、後者関数をどう設定するかとは無関係ですけどね
つまり後者関数を決めたところで、どっちもいえます
「後者関数の任意性」とは無関係です
で、シングルトンによる後者関数（Zermelo）を選んでも
ωはシングルトンにはなりません
じゃ、これもあのスレッドに記録しておきますね（にっこり）
803:現代数学の系譜 雑談
20/11/02 11:25:11.78 o7WhIP+j.net
IUTに関連するので、少しだけ
維新さん、いやさおサルは、抽象化された現代数学が分かってないね
現代数学が理解できていないと言った方がいいかもね
抽象化された現代数学では、その殆どの対象が抽象的な思念の中でしか存在しない
例えば、IUTしかり。下記のIUT記事で、望月教授がスピロ予想を、”「フロベニオイド」と呼ばれる自らが生み出した新たなレヴェルの数学的概念へ変換した”とあるよね
あなた、”「フロベニオイド」など存在しな～い！”などと絶叫しているに等しい
つまり、「フロベニオイド」という存在は、望月教授の思念から生み出されたのです
そんなものは、それまでは 存在していなかった
と同様に、Zermelo先生は「シングルトン使って、自然数の構成を考えてみるべ」といった（>>706の通り）
Zermelo先生は、当然カントールの順序数ωもご存知だった
批判されたのは、「シングルトン使ったら、出来る集合の濃度は常に１だ。順序数は良いけど、基数はどうするんだ？」と
まあ、基数は、それまでに出来たシングルトンを全部集めた集合で作るのが一案。ｎ：＝{0,1,・・,n-1}の如くね（これで濃度はnになる）
で、全ての自然数からなる無限集合N：＝{0,1,・・,n,・・}てこと。これアレフ0です
じゃあ、Zermelo先生流のシングルトンによる順序数ωは？
条件１）このとき、当然ωの濃度は１でなければならない ∵シングルトンだから
条件２）そして、順序数ωは全ての自然数の後に来る最初の極限順序数であること
この二つの条件１）２）を見たすωが存在してはいけないのか？
いけない積極的理由がなければ、数学では存在しうる
∵現代数学では 抽象的な思念として存在しうるならOK！ （「フロベニオイド」に同じ）
QED 以上
つづく
804:現代数学の系譜 雑談
20/11/02 11:26:09.03 o7WhIP+j.net
>>720
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(wired.jp)
WIRED
「異世界からきた」論文を巡って： 望月新一による「ABC予想」の証明と、数学界の戦い
［15年12月21日のQuanta Magazine掲載の記事を翻訳・転載］
2016.07.06 WED 18:30
アンドリュー・ワイルズが1994年に「フェルマーの最終定理」を証明したとき、彼はまさにこの戦略を取った。「2より大きい整数（n）に関して等式『 a^n+b^n = c^n 』を成立させる正の整数の解はない」という問題をただシンプルな等式のまま扱うのではなく、二度の変換を通してより抽象的な定式化を行ったのだ。一度目は楕円曲線で、二度目が楕円曲線の「ガロア表現」と呼ばれる別の数学的手法である。こうして、彼はフェルマーの定理の証明に成功した。
望月教授も同様の戦略を採っている。ABC予想を直接証明するのではなく、スピロ予想の証明にまず着手した。その証明を行うためにまず、スピロ予想の関連のあるすべての情報を「フロベニオイド」と呼ばれる自らが生み出した新たなレヴェルの数学的概念へ変換した。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
基数（きすう、cardinal number又はcardinal）とは、集合の濃度 (cardinality) （大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。
有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。
無限集合の濃度が一つではないことはゲオルグ・カントールによって示された。
(引用終り)
以上
805:特別支援学校教諭
20/11/02 11:46:29.58 PUodusEe.net
>>720
IUTには直接関係しませんが
フロベニオイド云々もシングルトンの件も
あなたは「書いてないことを読み取った」点で
同じです
>Zermelo先生流のシングルトンによる順序数ωは？
>条件１）このとき、当然ωの濃度は１でなければならない ∵シングルトンだから
これが「書かれてないことを読み取った」誤りです
Zermeloは、xの後続は{x}だと定義したにすぎません
つまり、上記の定義では、
いかなる順序数の後続でもない極限順序数については
何も決められていません
>条件２）そして、順序数ωは全ての自然数の後に来る最初の極限順序数であること
「全ての自然数の後に来る」では意味をなさないので
以下のように書きましょう
「そして、順序数ωは、任意の自然数ｎについて
ωからｎに至る∋（有限）降下列を持つこと」
結果として、ωは自然数の無限集合でなくてはなりません
＞この二つの条件１）２）を見たすωが存在してはいけないのか？
いけません
ωはシングルトンどころか有限集合ですらありません
なぜならωが自然数の有限集合である場合、
その最大の要素ｍより大きい自然数ｎについては
ωからｎへの∋（有限）降下列をもたないからです
いけない絶対的理由があるので、ωはシングルトンとしては存在しません
無限集合なら、問題ありませんが
＃フロベニオイドについてはとりあげません
＃そもそも◆yH25M02vWFhP君は理解してないでしょ
＃円分体の自己同型も理解してませんでしたからね
806:現代数学の系譜 雑談
20/11/02 17:17:40.88 o7WhIP+j.net
>>720
(引用開始)
で、全ての自然数からなる無限集合N：＝{0,1,・・,n,・・}てこと。これアレフ0です
じゃあ、Zermelo先生流のシングルトンによる順序数ωは？
条件１）このとき、当然ωの濃度は１でなければならない ∵シングルトンだから
条件２）そして、順序数ωは全ての自然数の後に来る最初の極限順序数であること
この二つの条件１）２）を見たすωが存在してはいけないのか？
いけない積極的理由がなければ、数学では存在しうる
∵現代数学では 抽象的な思念として存在しうるならOK！ （「フロベニオイド」に同じ）
QED 以上
(引用終り)
補足する
上記のような集合ω、濃度は１（＝つまりシングルトン）で
Zermelo先生流のシングルトンによる自然数の構成中で、
全ての有限順序数の後で、かつ 最小の超限順序数
つまりは、「任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数」(>>712)なる集合としてのωの存在
これを数学的に否定できない
（つまりは、「こういうωは矛盾を生じるので存在しえない」ことを証明できない）ならば
そのような、シングルトンの集合ωは存在しうる！！
これが、抽象化された現代数学の結論ですよ
807:特別支援学校教諭
20/11/02 17:27:45.50 PUodusEe.net
>>723
>上記のような集合ω、濃度は１（＝つまりシングルトン）で
誤りです
背理法で証明しましょう
ωがシングルトンだとしましょう
その要素となる自然数ｍが何であれ、ｍ＜ｎとなる自然数ｎが存在します
そして、そのようなｎについてはωからの∋降下列が存在しません
したがってωが全ての自然数より大きい順序数であることと矛盾します
これは完璧な数学的否定です
したがってωは存在しますが、シングルトンではありません
これが、論理に基づく現代数学の結論です
808:特別支援学校教諭
20/11/02 17:39:59.82 PUodusEe.net
>>723
＞現代数学では 抽象的な思念として存在しうるならOK！
「抽象的な思念」としてすら存在し得ないと論理的に証明できるのでNGです
>>724を理解できるまで読み返してください
809:現代数学の系譜 雑談
20/11/02 17:48:55.81 o7WhIP+j.net
>>723
補足の補足
上記>>723は、私の独創でもなんでもない
単に>>706に書かれていることを
小学生にも分かるように解説しただけのことです
それが分からないならば
抽象化された現代数学はムリ！
従って
IUTなど夢のまた夢
（参考）
>>706より
（再録）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
（上記のノイマン構成法で略す）
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
（注：これがシングルトンによる自然数構成）
(引用終り)
以上
810:特別支援学校教諭
20/11/02 17:59:29.75 PUodusEe.net
>>726
>>706のどこにも「ωはシングルトンになる」とは書いてないですよ
書いてないことを、勝手に間違った法則（思考の慣性の誤法則と命名しました）で
導くのはNGですよ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:12番)
ついでいうと、◆yH25M02vWFhP君は安達君と全く同じ誤りをしでかしてます
811:特別支援学校教諭
20/11/02 18:01:51.49 PUodusEe.net
>>726
＞IUTなど夢のまた夢
そうですよ、◆yH25M02vWFhP君
所属∈と包含⊂の違いも分からないようじゃ
IUT、圏論はおろか、集合論も無理ですよ
ま、でも私が指導してあげますよ
・・・IUTはともかく、集合論の初歩なら
812:特別支援学校教諭
20/11/02 18:11:06.03 PUodusEe.net
シングルトンの件を、電車と飛行機に喩えましょうか
０駅を起点として１，２，３・・・の各駅を通る自然数線があるとしましょう
で、ωはこの自然数線の駅でしょうか？
答えは否
つまり、自然数線に延々と乗っていてもωには到着しません
では、ωに行くにはどうするんでしょうか？
実は、自然数線の駅の中には空港の最寄り駅があって
ωとの間を結ぶ飛行機が出ているのです
で、ωから自然数線の０駅に向かう「下り電車」だけを使って
自然数線のどの駅にも行けるようにするには
駅に併設する空港がいくつあればいいでしょうか？
813:１３２人目の素数さん
20/11/03 03:33:27.53 EzLUFeKC.net
>>702
>時枝については、いまどきの数学科生は、おサルの時代と違って、金融数学との関連で、確率論及び確率過程論の修得をしていると見る。大学教程の確率論及び確率過程論の修得していれば、時枝の不成立など一目ですからね
>「可算無限シングルトン」も似たようなもので、こちらの勝利は確定しているので、論争する必要なしだ
なにこの勝利宣言ｗ
おまえはカントールスレでも反論できずじまいだろｗ
寝言は寝て言えｗ
814:現代数学の系譜 雑談
20/11/03 20:02:29.95 aFRh2zmP.net
(>>706より)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
（上記のノイマン構成法で略す）
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
（注：これがシングルトンによる自然数構成）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単集合（たんしゅうごう、英: sing
815:leton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。 例えば、{0} という集合は単集合である。 単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。 (引用終り) ＜数学的に厳密ではないが、直観的理解として＞ ・上記で、人が衣を着ているようなものと思いなよ。カッコ{}が着物だと思いな。例えば、”1 := {0} = {{}}”なら、２重の着物で、0から数えれば一重だ。 ・で、ωってのは、（可算）”無限”に着物を重ね着しているようなものだ。もし、時枝のように無限個の箱が用意できるなら、無限の着物もある。その無限 重ね着が、シングルトンωだ ・そして、ωはいかなる自然数の後者でもない（下記）。従って、ωの直前の前者の自然数もない。但し、それはシングルトンに限らない。それは、ノイマンの後者関数でも同様だよ （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。 任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。 (引用終り) 以上
816:１３２人目の素数さん
20/11/03 20:20:31.73 F9WRUhYe.net
>>731
>シングルトンω
>そして、ωはいかなる自然数の後者でもない。
>従って、ωの直前の前者の自然数もない。
一行目と二行目三行目が矛盾
もしωがシングルトンなら、その要素はω－1
つまりω＝｛ω－１｝
一方、ωの前者ω－１が存在しないという
それならωはシングルトンになり得ない
Mara Papiyasならこういうだろうなぁ、きっと
「ハイ、論破！」
817:１３２人目の素数さん
20/11/03 20:24:43.38 F9WRUhYe.net
>ωの直前の前者の自然数もない。
>それはシングルトンに限らない。
>それは、ノイマンの後者関数でも同様だよ
そうっすね
ω＝X∪{X}となるようなXは存在しないっす
つまり、ノイマンのωも、別に後者関数X∪{X}でつくられたものではないっす
Mara Papiyasならこういうっす、きっと
「今頃気づいたのか？このダラズがぁ！」
818:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 06:34:09.81 dk/KhN0S.net
>>731 補足
シングルトン（＝単集合）による極限順序数ωなり、時枝なり、この程度の数学が理解できないならば、IUTを論じる資格無いよ
要するに、抽象的な現代数学の結構基本的なところが、理解できない あるいは 自分で調べたりで自力解決できないってこと
それじゃ、ショルツェ氏の尻馬に乗って騒ぐくらいが、関の山でしょ
819:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 06:40:34.97 dk/KhN0S.net
>>732-733
>つまり、ノイマンのωも、別に後者関数X∪{X}でつくられたものではないっす
「ノイマンのω"も"」って、自分で"も"を使っているよ
>もしωがシングルトンなら、その要素はω－1
>一方、ωの前者ω－１が存在しないという
ωには、いかなる前者も存在しない
それが、極限順序数ωだ
なのに、「ωがシングルトンなら、その要素はω－1 」とか、意味わからん
（統合失調症の）”クスリが効いていない”としか、理解できない
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
820:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 06:44:49.58 dk/KhN0S.net
>>735 訂正と補足
ωには、いかなる前者も存在しない
↓
ωには、いかなる直前の前者も存在しない
つまりは、ωは”後続順序数ではない”ってこと
821:１３２人目の素数さん
20/11/04 06:49:26.10 26WHSv4q.net
＞シングルトン（＝単集合）による極限順序数ωなり、時枝なり、
＞この程度の数学が理解できないならば、IUTを論じる資格無いよ
じゃ、◆yH25M02vWFhPさん、あなたにIUTを論じる資格はないですね(バッサリ)
だって、シングルトンの件も箱入り無数目の件も間違ってますから
どっちも安達氏レベルの誤読をやらかしてます
ｘの後続順序数を｛ｘ｝と定義しただけでは
実は、極限順序数がシングルトンになる、とはいえないし
実際に、そうなり得ない（つまり矛盾する）
箱入り無数目も記事に書いてある論法を正当とする解釈が存在するので
あなたの解釈のみが正当とする理由がない
（注：ちなみに◆yH25M02vWFhP氏の解釈は、
The Riddleの解釈とも、Prussの拡大解釈とも違う
第三の変態的な解釈といっていい）
>ショルツェ氏の尻馬に乗って騒ぐくらいが、関の山でしょ
そういう◆yH25M02vWFhP氏は加藤文元氏の尻馬に乗って騒ぐ野次馬ですけどね
だからさぁ、数学に興味ないのに、IUTでニッポン自慢するのは、
みっともないからやめなって
自慢するものいくらもあるじゃん、ベビメタとか
あ、でも先月、ブラピン（BLACKPINK）が
Billboard200で2位とっちゃったんだよな
みんなエロいおねえさんが好きなんだな…ボクも好きですけどｗ
822:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 06:50:02.23 dk/KhN0S.net
>>735-736
更に補足すれば
ω－1が考えられるならば、それはノイマンのωも同じこと
じゃ、ノイマンのωで、ω－1は何だ？
ω－1は、存在しない ∵ ωには、いかなる直前の前者も存在しない つまりは、ωは”後続順序数ではない”から
Zermeloのシングルトンによるωに同じ！
823:１３２人目の素数さん
20/11/04 06:53:29.05 26WHSv4q.net
>>735
＞「ωがシングルトンなら、その要素はω－1 」とか、意味わからん
じゃ、ωの唯一の要素となる順序数ｘってズバリなんですか？
意味わからんのは、◆yH25M02vWFhPさん、あなたですよ あ・な・た
ωからｎへのいかなる∋降下列も、真っ先にそのｘを通りますよね？
だってωの要素はｘしかないんですから
ω∋ｘ∋・・・∋ｎ
そのｘってなんですか？
824:１３２人目の素数さん
20/11/04 07:09:31.03 26WHSv4q.net
そもそもωにω－１は存在しません
そしてノイマンのωはそもそもシングルトンじゃないから
ω－１が存在しなくても無問題です
問題はツェルメロのωがシングルトンだとしたときです
実はそう考えた瞬間、ωは後続順序数で、その前者は
ωの唯一の要素と考えざるを得ません
またωが有限集合だとしても、その要素中の最大元が
ωの前者と考えざるを得なくなります
したがって、ツェルメロのωは無限集合ということです
825:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 07:34:32.98 dk/KhN0S.net
>>738 補足
ω－1が、考えられないにも関わらず、「ω－1を考えたら矛盾」とか、それって変
根本的に抽象的な現代数学の考えが、身についていないだろ？（＾＾
826:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 08:13:26.47 dk/KhN0S.net
>>732-733
１．シングルトンのωに対して、そもそも存在しないω－1を考えて、矛盾がおきるから、存在しないというところが変（＾＾
２．それなら、ノイマンの後者関数によるωも同じだ
３．要するに、ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
４．それは、自然数（＝ある前者があって その後者関数から作られる普通の順序数）とは、異なる性質を持って良い！
５．その抽象的な思考ができないと、Zermeloのシングルトンによるωの存在は理解できないだろう
６．一つの直観的な理解は、極限順序数の”極限”から、自然数ｎ→∞の極限として理解することだろうね
７．つまり、シングルトンという性質（＝濃度１）を持つ”極限”の順序数（としての集合）として、ωを理解することだ（それは、ノイマン構成で自然数や実数が、定義できた後でなら可。∵添字集合が使える）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
添字集合
添字集合（そえじしゅうごう、index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
827:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 14:45:17.18 lTaOluRt.net
>>742
> ３．要するに、ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
> ４．それは、自然数（＝ある前者があって その後者関数から作られる普通の順序数）とは、異なる性質を持って良い！
補足説明するよ
・例えば、コーシー列：有理数からなるコーシー列で実数、例えばπなどの超越数ができる
超越数は分数表示ができず、数の性質が”有理数→超越数”に変わっている
・例えば、ωはリーマン球面の北極点に例えることができる
複素数のガウス平面を丸めて、リーマン球面ができる
いわゆる一点コンパクト化（下記）。無限遠の点∞を付け加える。こうすると、理論的にすっきりするのです
点∞はある種の極限で、ガウス平面には存在しない。つまり、他の複素数とは、その性質を異にするのです
・Zermeloのシングルトンによるωも、ある種の一点コンパクト化
で、この種コンパクト化は後者関数の選び方にはよらない
・普通は、”自然数ｎ→∞の極限”とか、”コンパクト化”は書かない。避ける
∵そうかくと、基礎論的にはまずいから。循環論法になるよ
つまり、基礎論として最初は空集合と公理のみからスタートする
その時点では”極限”も”コンパクト化”も言えない
けど、何らかの手段（例えばノイマンとか）で、全部自然数とか実数とか出来上がってからなら、一段高い立場からは言える。それは循環論法でないよね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列（コーシーれつ、Cauchy se
828:quence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。 目次 1 コーシー数列 1.1 実数におけるコーシー列 有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。 実数はコーシー列の極限として定義された。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2 リーマン球面 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 コンパクト化 目次 1 概要 2 基本事項 3 アレクサンドロフの一点コンパクト化
829:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 15:06:33.11 lTaOluRt.net
（>>718より、さらに補足）
１．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
２．ここに、 S(α) は、後者関数である
３．0, 1, 2, 3, ............の部分は、有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいて、後者関数で表現できるのだ
つまり S(n) ：＝S(n-1) だ。ωのみは、後者関数で表現できない
４．じゃ、ωとは何者よ？ 一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。それは、コーシ列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、ωの位置を占めるものになるよね
それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
５．こう解釈して何が悪い？ 抽象化された現代数学での 有理数以上における 数学的概念の対象って、みんなそんなものでしょ？
これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
(引用終り)
以上
830:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:32:57.89 26WHSv4q.net
>>741
>ω－1が、考えられないにも関わらず、
>「ω－1を考えたら矛盾」とか、それって変
文章を正しく読もうな
ωがシングルトンなら、その唯一の要素である順序数は
存在しないはずのω－１と考えざるをえないから矛盾
831:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:33:32.43 26WHSv4q.net
>>742
１および２については◆yH25M02vWFhPの読み間違い
すでに上記で指摘済み 理解できるまで読み返されたい
さて
>ノイマンのωにしろ、Zermeloのシングルトンによるωしろ、
>結局は抽象的な現代数学の思念の産物なのです
抽象的という言葉で何をいいたい？
ωの要素が具体化できない、という言い訳？
そもそもωの要素が何であれ、唯一であるなら
それがω－１とならざるを得ない、といっているのだが
理解できないほど数学的思考能力が欠如しているのか
そうならIUTなど到底理解できないからあきらめたほうがいい
832:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:34:52.45 26WHSv4q.net
>>742
>直観的な理解は、極限順序数の”極限”から、
>自然数ｎ→∞の極限として理解することだろうね
>つまり、シングルトンという性質（＝濃度１）を持つ
>”極限”の順序数（としての集合）として、ωを理解することだ
極限という言葉で
「n+1が｛n｝というシングルトンなんだから、ωもシングルトンの筈だ」
というナイーブな”妄想”が正当化できるわけではない
極限の取り方を一切考えないことが「抽象的」だというなら
それは抽象的という言葉を完全に誤解している
・ω＞ｎ であるとき、そのときのみωからｎへの∋降下列が存在する
・ωの前者ω－１は存在しない
上記２つの条件を満たすとして、
・ωがシングルトンだとすれば、ωの要素はω－１と解釈せざるを得ないから矛盾
・ωが自然数の無限集合なら、ωから任意の自然数ｎへの∋降下列が存在する
したがって、
「ωはシングルトンとしては存在し得ないが、自然数の無限集合としては存在し得る」
といえる
これが答え こんな簡単な推論もできないド素人の君に
IUTの理解なんか無理だからキレイサッパリあきらめろ
833:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:36:59.87 26WHSv4q.net
>>743
>コーシー列
>ωはリーマン球面の北極点に例えることができる
>Zermeloのシングルトンによるωも、ある種の一点コンパクト化
>で、この種コンパクト化は後者関数の選び方にはよらない
何をいってもωはシングルトンにはならんよ
>・普通は、”自然数ｎ→∞の極限”とか、”コンパクト化”は書かない。避ける
> ∵そうかくと、基礎論的にはまずいから。循環論法になるよ
循環論法？いったい何と何が循環すると思ってるんだ？
>つまり、
834:基礎論として最初は空集合と公理のみからスタートする >その時点では”極限”も”コンパクト化”も言えない >けど、何らかの手段（例えばノイマンとか）で、 >全部自然数とか実数とか出来上がってからなら、一段高い立場からは言える。 >それは循環論法でないよね そもそも順序数ωを考えるのに、実数は必要ない つまり射影直線（実際は円）もリーマン球面も必要ない 射影直線やリーマン球面が「一段高い立場」と思ってるなら それは妄想であり誤解 極限の取り方は無限公理の式で決まっているし その式に従うなら、ωはシングルトンではなく無限集合
835:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:39:18.43 26WHSv4q.net
>>744
>ωとは何者よ？
>一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。
>もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
>いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。
ωは「後者関数の性質を受け継ぐ」と思い込んでるのが誤り
>それは、コーシー列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
素人の支離滅裂な妄想
統合失調症？💊飲め
>このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
個々の自然数ｎと、自然数全体の集合ωは、
「自分より、小さな順序数全ての集合」
という点では同じだが
ｎの場合ｎ＝ｘ∪｛ｘ｝となるｘ（＝ｎ－１）が存在するのに対し
ωの場合ω＝ｘ∪｛ｘ｝となるｘが存在しない点で異なる
（つまり、ノイマンのωも後者関数の性質を引き継いでない）
>Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、
>シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、
>ωの位置を占めるものになるよね
ならない
そもそも０＝｛｝で、要素０だから、シングルトンではない
で、実はωも無限集合だから、シングルトンではない
Ｓ（ω）は｛ω｝だからシングルトン
>それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
単に君が愚かにも
「極限順序数も後続順序数と同じ形になる」
と誤解してるだけ
836:１３２人目の素数さん
20/11/04 18:41:14.34 26WHSv4q.net
>>744
（ωはシングルトン）
>こう解釈して何が悪い？
矛盾を導く つまり最低最悪
>抽象化された現代数学での
>有理数以上における 数学的概念の対象って、
>みんなそんなものでしょ？
抽象化は矛盾を許容しないｗｗｗ
君の頭が悪いから具体的に理解できないだけだろうｗ
>これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね
誤 に同じ
正 と同じ
君さ、どこで日本語ならった？
今まで生きてきたけど、口語で
「・・・に同じ」
とかいう日本語を使うのは君が初めてだよ
普通は
「・・・と同じ」
だよね
それ大阪の方言？
おかしいな ボクも関西人の知り合い何人もいるけど
そんな変な日本語使わんけどなあ
もしかして日本人ではない？朝鮮人 中国人 まさかのモンゴル人？
♪ホイヨ～（ホーミー風）
837:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 18:57:28.52 lTaOluRt.net
>>750
>矛盾を導く つまり最低最悪
矛盾導いてないよ
もともと、ωにはω-1つまり直前の前者は存在しない
∵ ωは極限順序数（下記） （だから、”ω-1”を持ち出すことが、最初から間違っている）
そして、濃度が１なる集合ωが存在すると考えるだけのこと
それは、
集合列 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............で、
（ここに、ω以外は、全て直前の前者を要素とするシングルトンであり、ωのみ直前の前者を持たない）
このωは、集合として濃度１と考えるってこと
濃度１と考えるってことと、ω-1が存在しないこととは、なんら数学的な矛盾はない
集合の濃度１だから、シングルトンと呼ぶってことだけさ
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
838:１３２人目の素数さん
20/11/04 19:24:03.90 26WHSv4q.net
＞濃度が１なる集合ωが存在すると考えるだけのこと
それが矛盾を導く
ωの唯一の要素は当然順序数
もしそうでなかったら矛盾
そして、ωの唯一の要素ｘに対して
ω∈ｙ∈ｘとなる、ｘと異なるｙも存在しない
もし存在すれば、ωの要素が唯一という前提と矛盾する
したがってωの要素ｘは、ωの前者である
これはωの前者が存在しないことと矛盾する
◆yH25M02vWFhP はこんな簡単なことも考えられない🐎🦌
IUT？無理無理 あきらめろって
・・・とMara Papiyasならいうだろう
839:１３２人目の素数さん
20/11/04 19:29:43.12 26WHSv4q.net
>>751
>集合列 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............で、
上記の場合、0とω以外の後続順序数はシングルトン
しかし、そうでない順序数はシングルトンではない
これが答え 0以外の全てがシングルトンと考える
◆yH25M02vWFhPは論理的思考力ゼロのidiot！
・・・とMara Papiyasならいうだろう
840:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 21:38:29.56 dk/KhN0S.net
>>751 補足
１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N
841: （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる） さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ） ２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて 0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より） 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になるが ここで、Singl_n：＝{・・・{0}・・・} （つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた また、Zermeloのシングルトンによる自然数の集合Nは、上記１と同様だ（ lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N ） ３．つまり、基礎論的には Neumannの方法がスマートだが、手間を厭わなければ、Zermelo法でも 数学的には同じように自然数の集合Nと順序数ωとが構成できる （なお、後者関数の選び方は、無数に可能だが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」（下記”ペアノの公理”ご参照）） QED （＾＾； つづく
842:現代数学の系譜 雑談
20/11/04 21:39:15.43 dk/KhN0S.net
>>754
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。
また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ≦ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
脚注
[3]^ (von Neumann 1923)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
以上
843:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:11:12.17 26WHSv4q.net
>>754
>N‗n：＝{S‗n}＝{0,1,2,・・・,n}
間違ってます
N‗0:={}
N‗n:={N‗0,…,N‗n-1}
N_ω:=｛N_0,…}
>Singl_n：＝{・・・{0}・・・}
>（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
>ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
>これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
できません あなたの「極限」では集合になりませんから
その証拠に、あなたにはωの要素が書けません
書けないのは当然 集合ではないからです
正しいZermeloのωは、実は
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
という無限集合
844:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:14:39.62 26WHSv4q.net
>正しいZermeloのωは、実は
>{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
>という無限集合
実は上記に限らない
自然数の無限集合でありさえすればいい
845:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:16:47.87 26WHSv4q.net
さらにいうと、Zermeloのnはシングルトンでなくてもいい
n-1を最大元とする自然数の有限集合ならなんでもいい
846:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:20:43.75 26WHSv4q.net
>>758
>n-1を最大元とする自然数の有限集合ならなんでもいい
ここまでいくと、Zermeloの順序数とNeumannの順序数は
根本的には違わないことが分かる
847:１３２人目の素数さん
20/11/04 22:25:36.32 26WHSv4q.net
つまり
0: 空集合
1: ０が最大元となる有限集合
2: １が最大元となる有限集合
3: ２が最大元となる有限集合
・・・
とすればいい
このとき
ω: 最大元をもたぬ自然数の集合
と定義すれば、それは必然的に無限集合である
848:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:32:30.18 lG01yKE6.net
>>754
蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
∵ 最初は、空集合と公理しか使えないのだから
だから、ノイマンがやったことは、過剰に無限集合ができるが、下記
849:のように 出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ （原論文に当たったわけではないが、他にもそう書かれているのを見たので、多分確かだろう） （参考） http://penguinitis.g1.xrea.com/ PENGUINITIS Yuu Kasuga ノート 数について (PDF) http://penguinitis.g1.xrea.com/study/note/number.pdf 数について 春日 悠 2020 年 2 月 1 日 (抜粋) P16 3.3 自然数 略 上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る． N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ } これでわれわれが求めるものを得た…とここで安心するわけにはいかない．自然数 の集合 N が確定した瞬間，自然数の次の数が得られる．N に ω という名前をつける と，その次の数は ω + 1 = N ∪ {N} であり，さらに続く． 略 このようにずっと続いていく．上の操作で得られる集合を超限順序数という． われわれが欲しいのは自然数である．大きすぎる集合は必要ない．上の操作で得ら れる集合で，濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の 集合と定義しよう．すなわち ∀x(0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x ⇒ y ∪ {y} ∈ x) ⇒ N ⊆ x) を満たす集合 N を自然数の集合とする． (引用終り) 以上
850:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:33:59.52 lG01yKE6.net
>>761 タイポ訂正
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
↓
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義したそうだ
分かると思うが（＾＾；
851:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 07:37:40.45 lG01yKE6.net
>>761
＞蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
蛇足の蛇足
・”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になるけれども、出来上がった理論を、出来上がった後に、より高い立場から俯瞰することは、大事だよ
・それは、IUTでも同じだ。IUTを作るのに、厳密なロジックが必要だから、循環論法は許されない。けど、出来上がった理論を俯瞰的に見れば、もっと易しい道があるということが見えてくると思う
・それを期待しています（＾＾；
852:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 10:22:30.40 8UOSK5Ns.net
>>756
>できません あなたの「極限」では集合になりませんから
>その証拠に、あなたにはωの要素が書けません
あなた、気付いていないようだがｗ（＾＾；
その論法は、下記の「0.99999……は１ではない」の
”簡単な証明２
１÷３は永遠に割り切れない。
ゆえに1/3≠0.33333…… 。ゆえに1≠0.99999……”
これに、そっくりそのままに見える
あなたには、抽象化された現代数学は無理だ
統合失調症になって無理になったのか？
はたまた、数学の落ちこぼれのストレスで、統合失調症になったのかは 知らないが
哀れな素人氏に似たレベルの議論だよな、それ
IUTは、あなたには無理。夢のまた夢だよ
（参考）
0.99999……は１ではない その14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
1 名前：哀れな素人[] 投稿日：2020/10/20(火) 09:07:33.99 ID:KAmPBoOE
簡単な証明１
0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。
簡単な証明２
１÷３は永遠に割り切れない。
ゆえに1/3≠0.33333…… 。ゆえに1≠0.99999……
簡単な証明３
0.99999……＝0.9＋0.09＋0.009＋……＝9/10＋9/100＋9/1000＋……
この無限級数は1に近づくが1にはならない。
∴0.99999……≠1
853:現代数学の系譜 雑談
20/11/05 11:05:43.40 8UOSK5Ns.net
>>761
補足
>上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る．
>N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ }
>これでわれわれが求めるものを得た
本当は、ここには無限公理が適用されて、無限集合の存在が言えるのだが
そこはスルーして、自然数の集合 Nができたとすると
これを、あとから振り返ると
無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたってことだ
で、それを時枝で言えば ｽﾚﾘﾝｸ(math板:7番)
”可算無限個”の箱が用意できるって話につながる
じゃ、箱でも括弧 } でも同じように、可算無限個用意できるよね }・・}}・・・ ってね
で、上記列を鏡（カガミ）に写した鏡�
854:怩�れば、逆の括弧の列も、同様に ・・・{{・・{ ってできるよ そして、真ん中に0を入れて、 ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ ってできるよね それだけのことでしょ？ ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、括弧{} が可算無限重に重なっている集合で これがZermeloのシングルトン構成によるωでしょ 自然数の無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたら、ここまでは必然で、簡単な話でしょ この程度のことが理解できないようじゃ IUTはムリ
855:１３２人目の素数さん
20/11/05 19:35:34.92 w3aXX1q1.net
>>764
やれやれ、悔しさのあまり頭に血が上って
訳も分からず口から出任せの云いがかりとか
みっともないったらありゃしない（嘲笑
>>765
>・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、
>括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
その・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・とやらの唯一の要素、
具体的に書いてみ？
ぐ・た・い・て・き・に
書けないからって「チューショー的」とか逃げるなよ
貴様みたいな🐖野郎、チャーシューにして食っちゃろか（嘲笑
その程度の簡単な誤りも気づかないidiot野郎が、IUTとか聞いてあきれる（嘲笑
856:１３２人目の素数さん
20/11/05 19:36:30.06 w3aXX1q1.net
順序数αについて
フォン・ノイマン宇宙V_αは
以下のように定義される
V_0={}
V_n+1=P(V_n) P(X)はXのべき集合
V_λ=∪（β<λ）V_β (λが極限順序数の場合）
とする
実は、ツェルメロの順序数もフォンノイマンの順序数も
順序数nについては
n∈V_n+1 かつ ￢n∈V_n
を満たす
そして「V_ω+1の要素で、V_ωの要素でないもの」は、すべて無限集合
857:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:29:00.96 bMp0VkKr.net
>>765
>・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、
>括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
その・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・とやらの唯一の要素
具体的に書いてみ？
ぐ・た・い・て・き・に
858:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:30:29.88 bMp0VkKr.net
>>768
書けないからって「チューショー的」とか逃げるなよ
このチャーシュー🐖野郎
その程度の簡単な誤りも気づかないidiotが、
IUTとか聞いてあきれる（嘲笑
859:１３２人目の素数さん
20/11/06 06:32:58.64 bMp0VkKr.net
順序数αについて
フォン・ノイマン宇宙V_αは
以下のように定義される
V_0={}
V_n+1=P(V_n) P(X)はXのべき集合
V_λ=∪（β<λ）V_β (λが極限順序数の場合）
とする
実は、ツェルメロの順序数もフォン・ノイマンの順序数も
順序数nについては
n∈V_n+1 かつ ￢n∈V_n
を満たすようにできる
そして「V_ω+1の要素で、V_ωの要素でないもの」は、すべて無限集合
860:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:30:33.60 zpeR/n4w.net
◆yH25M02vWFhPさん >>768に答えられず沈黙…
861:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:31:07.57 zpeR/n4w.net
どこかの国の大統領みたいに往生際が悪かったけど…
862:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:32:08.93 zpeR/n4w.net
まあ、どっちも、自業自得だよなぁ
863:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:33:20.18 zpeR/n4w.net
一番外側の{}がないんじゃそもそも集合じゃない、って、真っ先に気づかなくちゃ
864:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:35:19.43 zpeR/n4w.net
A＝{a1,a2,…}となってたら、Aの要素x（x∈A）は、a1,a2,…のいずれかに限られる これ初歩なｗ
865:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:38:17.02 zpeR/n4w.net
あと、A={{a}}だったら、{a}はAの要素だが、aはAの要素ではない これも初歩なｗ
866:１３２人目の素数さん
20/11/07 08:38:37.40 zpeR/n4w.net
結論：{{},{{}},{{{}}},…}は集合だけど、…{{{}}}…は集合ではない
867:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 10:03:20.16 4jX6N+0z.net
スレチだが
米大統領選が面白いから見てた
選挙はバイデン氏が当確だが、その後の法廷闘争がどうなるかね～（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.nikkei.com)
バイデン氏 過半数へ優勢強まる トランプ氏「絶対諦めない」
2020/11/7 7:28 (2020/11/7 8:19更新)
【ワシントン=永沢毅】米大統領選は6日、当選に必要な「選挙人」の過半数の獲得に迫る民主党候補のジョー・バイデン前副大統領（77）が残る激戦5州のうち3州でリードを広げ、優勢が一段と鮮明になった。追い込まれたドナルド・トランプ大統領（74）は「絶対に諦めない」と表明し、法廷闘争を拡大する方針を示した。
両候補は全米538人の選挙人
868:の過半数270人以上を争う。米メディアによると、米東部時間6日午後5時（日本時間7日午前7時）時点で獲得数はトランプ氏が214人、バイデン氏は253人。勝者が未定の6州のうち、トランプ氏の勝利が確実なアラスカ州（選挙人3人）を除く激戦5州が勝敗を決する。 バイデン氏はトランプ氏が先行していた南部ジョージア（15人）、東部ペンシルベニア（20人）の両州で逆転し、西部ネバダ州（6人）を含む3州で票差を広げた。西部アリゾナ（11人）を含む4州で優位を維持している。トランプ氏がリードしているのは南部ノースカロライナ州（15人）だけだ。
869:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 10:40:22.70 4jX6N+0z.net
>>765
若干スレチだが、行きがかり上
Zermeloのシングルトン構成によるω（＝最小極限順序数（可算無限相当））を考えるに
基礎論としては、ちょっと裏技だが、有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）を使って幾何的にかんがえるのが分り易いと思う
１．要するに、Zermeloのシングルトン構成によるωは、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・” ってことで、タマネギのように芯があって皮が多重になっているよう
その皮が可算無限重だってことだね
２．これを多重同心円として考える
このとき、nの逆数1/nを考えて
1,2,3.・・,n,・・→1/1,1/2,1/3,・・,1/n,・・
という対応で考えるのが見やすい
３．デカルト平面（x,y）で、原点0を中心とする半径rの円、x^2+y^2=r^2
ここで、r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・ という数列を考える
lim n→∞ 1-1/n＝1 （∵ lim n→∞ 1/n＝0 ）
４．r=1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・の円は、原点0を中心とする半径rの（可算）無限に重なった同心円
これで、1,2,3.・・,n,・・で、2以降に対応する円が出来た。1に相当する円を、0～1/2の間に一つ作る。例えば、r=1/4とでもしておく
５．こうして出来た（可算）無限の多重同心円は、内側から1,2,3.・・,n,・・と全ての自然数と対応が付く
６．ここで、各円の北極と南極に切れ目を入れて、左半円と右半円に分ける
分けた左半円を、位相的に変形して”{”、右半円を、同様に変形して”}”とすると
あ～ら不思議、”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”のできあがりぃ～！（＾＾
基礎論として、裏技なのは、
最初はgoo!（グー） ならぬ、空集合と公理しか使えないのに、
”有理数体と数直線、デカルト平面（x,y）、円の方程式”だと？、それ使えないよね？
けど、こう考えたら、別に”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”の存在って、なんら数学として矛盾していないって分かる
なんら数学として矛盾していない存在って、存在するって認めた方が便利なこと多いんだ、数学ではいつものこと
現代数学の抽象的な数学概念って、みんなこんなもの
クロネッカーは言いました！ 自然数以外は、人が勝手にかんがえたものだぁ～！
でも21世紀の数学では、「クロネッカーさん、あんたの考え古いな～！」（＾＾
これが分からないと、IUTムリ
870:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:02:12.54 zpeR/n4w.net
>>779
>Zermeloのシングルトン構成によるωは、
>”・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・”
>ってことで、
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
それ、集合ですか？
集合なら、一番外側の{}がある筈ですよね？
一番外側の{}を取り除いた中身が、要素の列ですから
Q1. ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
の一番外側の{}の位置を具体的に示してください
Q2. ・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・
の一番外側の{}を外した中身を具体的に示してください
Q1に答えられない場合
「・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・は集合でない」
Q2に答えられない場合
「・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・の要素が分からない」
>現代数学の抽象的な数学概念って、みんなこんなもの
{}による具体的な図形として存在しても、
集合の公理を満たさないと、集合ではないですね
それが公理論ですから
IUTとかいう以前じゃないですかね？
P.S
三大「死に体」
1. M氏のIUT
2. T氏の大統領選挙
3. S氏の可算無限重シングルトン
871:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 11:13:41.99
872:4jX6N+0z.net
873:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:14:22.87 zpeR/n4w.net
>>779とは逆に
α．一番外側の円を半径1として
そこから内側に半径1/2,1/3,…,1/n,…の円を描く
β．この場合、一番外側の円も、その中身も明確
γ．しかし、これも集合にはならない
というのは、端的にいえば、芯がないから
基礎の公理を満たすには、有限回の皮剥きで芯に到達しなければならない
しかし、上記の図形は延々と皮むきできるから ＮＧ
δ．とはいえ、そもそも一番外側の皮がどこにあるかわからない>>779よりはまし
874:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:25:21.83 zpeR/n4w.net
順序数ｘについて、その後者を｛ｘ｝と定義しただけでは
極限順序数がシングルトンになる、と言い切ることは
モピロン・・・じゃなかったｗ、モチロン、できません
ｘの後者関数を｛ｘ｝とした場合
ⅹ∈ｙ＆ｙ∈ｚ⇒ｘ∈ｚ
とすることはモチロンできませんが
ｘ＜ｚ⇔ｚからｘへの∋（有限）降下列が存在する
と定義することはできます
そしてωから任意の自然数ｎへの∋有限降下列が存在するためには
ωが自然数の無限集合であることが必要十分です
まず必要性についていえば、もしωが自然数の有限集合だった場合
その要素の中に最大元ｍが存在しますから、ｍより大きなｎについては
ωからｎへの∋有限降下列が存在し得ません もし存在したとすると
列の最初で、ω∋ｐという、ｐが存在することになりますが、
ｐ＞ｍとなりますから、ｍが最大元であることに反します
次に十分性についていえば、任意の自然数ｎについて、ｎ＜=ｍとなる
ωの要素ｍが存在します。ｍからｎへの∋有限降下列は存在しますから
頭にω∋ｍを追加すれば、ωからｎへの∋有限降下列を構成できます
875:１３２人目の素数さん
20/11/07 11:36:05.75 zpeR/n4w.net
{{},{{}},{{{}}},…}（要素が無限個）は基礎の公理を満たします
というのは、上記の「集まり」のどの要素も、
有限回{}が重なったシングルトンであり、
基礎の公理を満たすので
876:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:42:41.38 4jX6N+0z.net
>>784
>{{},{{}},{{{}}},…}（要素が無限個）は基礎の公理を満たします
そっから、ずっこけているのか？
そう言えば、思い出してきたけど、
おぬしと同じ議論を、ガロアスレとかで以前もしたよね（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
したがって、例えばx=xのような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学群関係 Akito Tsuboi's Home Page 坪井明人
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学ＩＩ 坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9
URLﾘﾝｸ(amonphys.web.fc2.com)
あもんノート ～理論物理学のまとめ～
URLﾘﾝｸ(amonphys.web.fc2.com)
あもんノート
目 次
第 21 章 数学基礎論入門
21.12 正則性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
つづく
877:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:45:15.27 4jX6N+0z.net
>>785
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
(引用終り)
ここで、ノイマン構成では
集合として（自然数nを集合と見て）、無限の上昇列ができる
0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n・・・N(最後は、∈の連鎖としての極限で、自然数の集合Nが存在するってこと)
この∈の上昇列は、有限長ではないことは自明だよ
これを逆に辿れば、無限の降下列になるが、正則性公理に反するものではないことは自明
（そもそも、無限の上昇列を禁止したらおかしいぜｗ）
つまり、正則性公理の禁止しているの無限降下列
x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・
であって、底抜けの無限降下列だよ
一方、ノイマン構成の場合は、ある集合から作った上昇列だから、それを逆に辿れば、必ずそのような場合は降下列の底があるよ
だから、それは正則性公理には、反しないよ
それは、Zermeloのシングルトン構成によるωも全く同じことだ
以上
878:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 13:46:41.36 4jX6N+0z.net
>>786 タイポ訂正
つまり、正則性公理の禁止しているの無限降下列
↓
つまり、正則性公理の禁止しているのは無限降下列
879:
20/11/07 13:54:19.61 DWP3K/AV.net
>>778
ｽﾚﾘﾝｸ(eco板:510番)
880:１３２人目の素数さん
20/11/07 16:28:44.01 zpeR/n4w.net
>>786
>ここで、ノイマン構成では
>集合として（自然数nを集合と見て）、無限の上昇列ができる
>0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n・・・N
>(最後は、∈の連鎖としての極限で、自然数の集合Nが存在するってこと)
>この∈の上昇列は、有限長ではないことは自明だよ
”そっから、ずっこけているのか？”
・・・あっ、すみません
某大統領と🐶🐵の中のグレタちゃんみたいな返し、やっちゃいました
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
・・・閑話休題
きっちり書けば誰でもわかる明らかなことですが
0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n∈N
この列・・・有限です
もちろん、いくらでも長い上昇列はつくれますが・・・どれも有限です
要するに、これがポイント
n∈N
Nが任意のnを要素として持つので、こういうことが可能です
これがもし、唯一の要素しか持たないなら、できない芸当ですね
>これを逆に辿れば、無限の降下列になるが、
>正則性公理に反するものではないことは自明
有限列を逆にたどっても有限列なので
正則性公理に反しないことはそれこそ自明
>（そもそも、無限の上昇列を禁止したらおかしいぜｗ）
無限の上昇列は、最後が存在しません
したがって、ひっくりかえしたら、最初が存在しません
それが、>>779でいうと、一番外側の{}が存在しないことにあたります
最後に一言
「とてもばかげている。
◆yH25M02vWFhPは怒りのコントロールに取り組み、
安達氏と大学時代の数学の教科書を読み直さなければならない。
落ち着け◆yH25M02vWFhP、落ち着け！」
・・・ごめん、またやっちゃいました
881:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:09:26.00 4jX6N+0z.net
>>789
維新さん、さー、前から思っているけど、
あんたの数学の理解って、”数学記号の暗記レベル”で止まっていて、
理解浅いと思うんだよね
>0∈1∈2∈3・・・・∈n-1∈n∈N
>この列・・・有限です
>もちろん、いくらでも長い上昇列はつくれますが・・・どれも有限です
>要するに、これがポイント
あのー、それじゃ、添字集合に無限集合たる自然数N使えないじゃん
で、無限列のコーシー列が、有限列になるぜよ
実数の構成（下記）どうすんの？
例えば、円周率 π = 3.14159・・・
これ、有限桁で打ち切れば、πの近似値だよ
小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、π1,π2,・・,πn,・・→∞でπ∞＝π
これ一つのコーシー列の例であって、πは超越数だから、n→∞ に出来ないのはおかしいぜｗ
あんたＩＵＴ無理
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
添字集合
添字集合（index set）は、別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合を言う[1]。
多くの場合、添字は添字記法と呼ばれる、典型的には記号の上方や下方に置かれ、本文に用いられる文字よりやや小さな文字や数字を用いる記法に従って書かれる。添字が、上方に置かれるとき上付き添字（うえつきそえじ、superscript）、下方に置かれるとき下付き添字（したつきそえじ、subscript）と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
コーシー列
コーシー数列
無限数列 (xn) について
im _n,m→∞ |xn-xm|=0
が成立するとき、数列 (xn) はコーシー的である、コーシー性を持つ、あるいはコーシ－列であるという。有限数列 (x1, x2, ..., xk) は xk = xk+1 = xk+2 = … と延長することにより、コーシー列と見なせる。
実数の構成
実数の構成法の一つに、完備化と呼ばれる有理コーシー列から実数を定めるものがある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
円周率とは、円の円周の長さの、円の直径に対する比率のこと[1]
小数点以下35桁までの値は次の通りである。
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …
(引用終り)
以上
882:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:18:55.12 4jX6N+0z.net
>>790
補足
小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、
無限列が２列できる
1, 2，・・, n,・・, ∞
↓↑
π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
こういう一対一対応になるよね
で、下のπの（無限）コーシー列が可能なら
その上の無限自然数列 ”1, 2，・・, n,・・, ∞”も可能だ�
883:�
884:現代数学の系譜 雑談
20/11/07 22:25:02.91 4jX6N+0z.net
>>788
おお、これはこれは
Ｃ＋＋さん、お久しぶりですね
お元気そうでなによりです
レスありがとう
また、米大統領選の情報ありがとう！（＾＾；
885:１３２人目の素数さん
20/11/07 22:38:53.89 zpeR/n4w.net
>>790
>あのー、それじゃ、添字集合に無限集合たる自然数N使えないじゃん
？ 使えますよ
>で、無限列のコーシー列が、有限列になるぜよ
？ ならないよ
>例えば、円周率 π = 3.14159・・・
>これ、有限桁で打ち切れば、πの近似値だよ
>小数第ｎ桁までの近似値をπnとして、
>π1,π2,・・,πn,・・→∞でπ∞＝π
>これ一つのコーシー列の例であって、
>πは超越数だから、n→∞ に出来ないのはおかしいぜｗ
？ なぜ、全く無関係な小数を持ち出すのかな？
0∈1∈2∈3・・・∈n-1∈n・・・
がNで終わる無限列になる、といいはりたい？
では列の最後の…x∈Nのxが何になるか
具体的に書いていただけますか？
ぐ・た・い・て・き に
チューショー的とかいって誤魔化すのは
絶対やめてくださいね 見苦しいから
886:１３２人目の素数さん
20/11/07 22:45:02.66 zpeR/n4w.net
>>791
> 1, 2，・・, n,・・, ∞
> ↓↑
> π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
>こういう一対一対応になるよね
>下のπの（無限）コーシー列が可能なら
>その上の無限自然数列 ”1, 2，・・, n,・・, ∞”も可能だよ
それ・・・∈列にならないですよ
∞のすぐ左の項・・・ないですよね？
∞をNと書き換えたいんですよね？
で、そのとき「∈N」の左に、何も書けないですよね？
それじゃ、∈列じゃないですよね？
考えて書いてます？ 考えずに漫然と書いてます？
書く前に考えませんか？ 考えると頭が痛くなりますか？
もし考えると頭が痛くなるなら、数学向いてないから諦めませんか？
考えずにできることをやったほうがいいんじゃないですか？
887:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 07:41:31.82 rSmWbt0i.net
（転載）
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
243 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/11/03(火) 03:24:47.92 ID:EzLUFeKC
>決して{…{{{}}}…}ではありません
{}:=x1, {{}}:=x2, … とおく。
そもそもx∞は集合たりえない。
なぜなら、正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」を満たさないから。
なぜなら、x∞={x∞}であって、x∞∩x∞=x∞≠{} だから。
(引用終り)
どなたか知らないがレスありがとう
良い質問ですね
１）
・"正則性公理の要件「自分自身と交わらない要素を持つ。」"だから、x∞に極小元の存在を示せば足りる
（下記の「数理論理学ＩＩ 坪井明人」”正則性公理”ご参照）
・x∞の極小元は、明らかに空集合Φ＝{}です。よって、正則性公理に反しないQED
２）
・”x∞={x∞}”の証明がない
・つーか、これ違う
∵多分x∞の定義が違うだろうし、順序数と基数の∞との混同でしょう
つまり、Zermeloのシングルトンによって
{}:=x1, {{}}:=x2, … で、その極限としてωが出来たとして
その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
・なお、この議論は、基礎論的には順序がおかしい
∵ ” lim n→∞”は、ノイマン構成などで、自然数Ｎが出来た後の議論だからね
でも、自然数Ｎが出来た後なら、この議論は許されるよ
つづく
888:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 07:41:52.44 rSmWbt0i.net
>>795
つづき
（参考）>>785より
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
正則性公理
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名基礎の公理（きそのこうり、英: axiom of foundation） とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A≠ Φ ⇒ ∃ x∈ A∀ t∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋ x_1∋ x_2∋ ・・・ は存在しない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
学群関係 Akito Tsuboi's Home Page 坪井明人
URLﾘﾝｸ(www.math.tsukuba.ac.jp)
数理論理学ＩＩ 坪井明人
目 次
第 1 章 公理的集合論の基礎
1.1.10 基礎の公理（正則性公理） . . . . . . . . . . .. . 9
(引用終り)
以上
889:１３２人目の素数さん
20/11/08 07:54:01.96 bKzT4Sg/.net
>>795
>Zermeloのシングルトンによって
>{}:=x1, {{}}:=x2, … で、
>その極限としてωが出来たとして
質問１．極限、どうやってとるの？
>その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
それは誰も否定してないけど
>その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
890:１３２人目の素数さん
20/11/08 07:54:35.80 bKzT4Sg/.net
>>795
>Zermeloのシングルトンによって
>{}:=x1, {{}}:=x2, … で、
>その極限としてωが出来たとして
質問１．極限、どうやってとるの？
>その後に、ω+1＝{ω}、ω+2＝{ω+1}、・・・と続いていくよ
それは誰も否定してないけど
>その隙間を埋める極限として lim n→∞ xn =ω として定義しているってこと
質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
891:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:15:39.92 rSmWbt0i.net
>>794
> 1, 2，・・, n,・・, ∞
> ↓↑
> π1,π2,・・,πn,・・,π∞=π
まあ、そこは
1, 2，・・, n,・・, ω
↓↑
π1,π2,・・,πn,・・,πω=π
と読み替えて貰えば良い
普通、例えば、>>795 のように、”lim n→∞ xn =ω”と書くとき
∞は添え字集合としてのωをも意味するけれども、歴史的慣習として∞を使っているだけのこと
意味同じ
そして、>>795に書いたけれど、Zermeloのシングルトンによる自然数の構成だと、歴史的に�
892:癆ｻされたらしいが、順序数の構成は良いけど、基数はどうするの？ と で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが １．順序数として、0th＝Φ（空集合）、1st={Φ}、2nd={{Φ}}、3rd={{{Φ}}}、・・・、nｔｈ={・・{Φ}・・}、・・→ω ２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・→∞ とすれば、よかんべ これで、上記２の基数の方に、無限公理を適用すれば、無限集合としての自然数の集合Nが出来るよ そこから、あらためて ∞や、ωを定義すれば良い なお、”・・→∞”とか”・・→ω”とかは、ご説明として書いただけで、 数学的には蛇足（循環論法になる）で取った方がいいけど、５ｃｈの議論として分り易くしたんだ これが分からない？ IUT無理 つづく
893:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:16:24.52 rSmWbt0i.net
>>799
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
存在と一意性
・0 := {}
・1:= suc (0)={0}
・2:= suc (1)={0,1}={0,{0}}
・3:= suc (2)={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}}
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
自然数
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
注）
x ∪ {x}が、上記ノイマン構成の後者になっているから、
「任意の要素 x に対して その後者を要素に持つ集合が存在する」と読み替えると
無限公理の意味が、明白になる
以上
894:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 08:57:14.52 rSmWbt0i.net
>>798
>質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
”具体的に”の数学的定義は、な～んだ？ｗ（＾＾
そういう質問って、幼稚だよ
下記の「0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。」に類似
そもそも、高度に抽象化された現代数学に対して、
”ｘは具体的に何？”という質問をするレベルじゃ
IUT無理
（参考）
0.99999……は１ではない その14
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)
1 名前：哀れな素人[] 投稿日：2020/10/20(火) 09:07:33.99 ID:KAmPBoOE
簡単な証明１
0.99999……は小数点以下に9が続くだけだから、１にはならないし、１ではない。
(引用終り)
以上
895:現代数学の系譜 雑談
20/11/08 09:59:31.61 rSmWbt0i.net
>>799 タイポ訂正他
で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが
↓
で、Zermeloが批判にどう応えたかしらないが
あと、>>800で
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
このままの無限公理では、>>799の
"２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"には適用しにくい
二つ方法がある
１）一つは、n番目の集合Snとして、"0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"を使って
別に、Sn＝{,0,{ 0,1}, {1,2}, ・・, {n-2,n-1} }みたく、ノイマンの後者を作って、それを集めた集合Snを作って、それに無限公理を適用して、無限集合を存在させる
２）もう一つは、無限公理を若干手直しして、
任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
↓
任意の要素 x に対して {x} を要素に持つ集合が存在する
とすること （これは、逆数学の発想（下記））
まあ、どっちもありだし、重箱の隅で些末な議論の気がするが（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
逆数学
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。
しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
896:１３２人目の素数さん
20/11/08 10:01:32.91 bKzT4Sg/.net
>>799
>”lim n→∞ xn =ω”
具体的な操作は？
lim n→∞ xn＝∪（n∈N）xnなら、シングルトンになりませんよ
>”・・→∞”とか”・・→ω”とかは、ご説明として書いただけで、
>数学的には蛇足（循環論法になる）で取った方がいいけど、
>５ｃｈの議論として分り易くしたんだ
循環論法以前に、そもそも極限操作が一切書いてありません
中身がないなら分かりようがない 議論になりませんね
まず、具体的な極限操作を書いてくださいね
以前書いた図形の遊びなら、集合にならないので却下されます
897:１３２人目の素数さん
20/11/08 10:13:56.67 bKzT4Sg/.net
>>802
>>質問２．ω＝｛ｘ｝となるというけど、ｘは具体的に何？
>”具体的に”の数学的定義は、な～んだ？ｗ（＾＾
>そういう質問って、幼稚だよ
もしかして、答えられなくて、キレてます？
そもそも要素が何かも考えずに書き込むって、幼稚ですよね？
それじゃ0.999…と1の間に無数の数があるといっときながら
一つも具体例を提示できない安達氏と同じですよ