20/07/29 11:39:00 ruijdO0n.net
コウモリは、ノンスタも勉強しなさいよｗ（＾＾
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超準解析入門
-超実数と無限大の数学-
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日～8 月 3 日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに 1 を足せば，
より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このよう
な無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられて
きました（いわゆる「無限小解析」）．その後 19 世紀に入り，厳密さを備えた ε-δ 論法
が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．
超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱
う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた
無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を
構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
目 次
3 超実数 *R の構成 8
3.1 基本的な考え方と問題点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 フィルターと超フィルター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 超積を用いた超実数 *R の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 超積とフォンノイマン環 21
5.1 関数解析とフォンノイマン環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 フォンノイマン環の超積とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
最後に
以上見てきたように，フォンノイマン環論において超積は極めて有効な道具です．コンヌ
の研究以来，超積は普遍的な道具の一つとして扱われており，もはやこれなしでの研究はあ
り得ないと言ってよいほどです．
超準解析から生まれた超積は，非常に一般的で有効な考え方です．そしてフォンノイマン
環論においては，その有効性はさらに顕著になっているように思います．それは上で見たよ
うに，フォンノイマン環の超積が簡単には定義出来ない事に端を発しているのでしょう．