21/01/06 08:10:37.60 /0IX7Oxo.net
Pが重根を持たない三次多項式として、y^2 = P(x) とすると、
種数 1 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。
1065:埋立業者
21/01/06 08:11:16.14 /0IX7Oxo.net
Pが次数 4 で無平方とすると、これも種数 1 の平面曲線となるが、
しかし、単位元を自然に選び出すことができない。
1066:埋立業者
21/01/06 08:11:54.36 /0IX7Oxo.net
さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような
種数 1 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。
1067:埋立業者
21/01/06 08:12:18.46 /0IX7Oxo.net
例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。
1068:埋立業者
21/01/06 08:13:11.24 /0IX7Oxo.net
楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線は
トーラスの複素射影平面への埋め込みに対応することを
示すことができる。
1069:埋立業者
21/01/06 08:14:01.12 /0IX7Oxo.net
トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。
1070:埋立業者
21/01/06 08:14:19.81 /0IX7Oxo.net
したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。
1071:埋立業者
21/01/06 08:14:51.94 /0IX7Oxo.net
楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。
1072:埋立業者
21/01/06 08:15:32.17 /0IX7Oxo.net
例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）
証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている。
1073:埋立業者
21/01/06 08:15:57.00 /0IX7Oxo.net
また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。
1074:埋立業者
21/01/06 08:16:50.67 /0IX7Oxo.net
楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。
1075:埋立業者
21/01/06 08:17:23.01 /0IX7Oxo.net
このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。
1076:埋立業者
21/01/06 08:17:50.38 /0IX7Oxo.net
１．一次元のアーベル多様体
1077:埋立業者
21/01/06 08:18:12.95 /0IX7Oxo.net
２．三次の平面代数曲線で、有理点を持つもの
1078:埋立業者
21/01/06 08:18:40.73 /0IX7Oxo.net
３．複素数を加法群とみて、二重周期を持つ格子で割った商空間
1079:埋立業者
21/01/06 08:20:23.51 /0IX7Oxo.net
射影平面で考えると、すべての滑らかな三次曲線上の群構造を定義することができる。
1080:埋立業者
21/01/06 08:21:30.77 /0IX7Oxo.net
射影平面上、楕円曲線がヴァイエルシュトラスの標準形によりあらわされるとき、
そのような三次曲線は斉次座標 [0 : 1 : 0] である無限遠点 O を持ち、
Oは群の単位元となる。
1081:埋立業者
21/01/06 08:22:09.48 /0IX7Oxo.net
曲線は x-軸で対称であるので、任意の点 Pが与えられると、
－P はその反対側の点として取ることができる。
－O は O とする。
1082:埋立業者
21/01/06 08:22:53.71 /0IX7Oxo.net
P と Q が曲線上の二点であれば、
一意に第三の点 P + Q を
次の方法で定義することができる。
1083:埋立業者
21/01/06 08:23:21.10 /0IX7Oxo.net
まず、P と Q を通る直線を引く。
1084:埋立業者
21/01/06 08:23:57.53 /0IX7Oxo.net
この直線は一般に第三の点 R で曲線と交わる。
1085:埋立業者
21/01/06 08:24:13.68 /0IX7Oxo.net
P + Q を R の反対の点である －R とする。
1086:埋立業者
21/01/06 08:24:58.97 /0IX7Oxo.net
この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。
1087:埋立業者
21/01/06 08:25:27.18 /0IX7Oxo.net
一つ目の例外は、加算する点の片方が O であるときである。
1088:埋立業者
21/01/06 08:26:01.73 /0IX7Oxo.net
このとき、P + O = P = O + P と定義し、O は群の単位元となる。
1089:埋立業者
21/01/06 08:26:34.08 /0IX7Oxo.net
第二の例外は、P と Q が互いに反対側の点である場合である。
1090:埋立業者
21/01/06 08:27:06.49 /0IX7Oxo.net
この場合は、P + Q = O と定義する。
1091:埋立業者
21/01/06 08:27:52.84 /0IX7Oxo.net
最後の例外は、P = Q の場合である。
1092:埋立業者
21/01/06 08:28:13.25 /0IX7Oxo.net
このとき一点しかないため、これを通る直線を一意に定義できない。
1093:埋立業者
21/01/06 08:28:45.99 /0IX7Oxo.net
そこで、この点での曲線の接線を使う。
1094:埋立業者
21/01/06 08:29:38.79 /0IX7Oxo.net
ほとんどの場合、
接線は第二の点 R で曲線と交叉するため、
反対の点をとることができる。
1095:埋立業者
21/01/06 08:30:23.28 /0IX7Oxo.net
しかしながら、P がたまたま変曲点（そこで曲線の凹み方が変わるような点）
であるようなときは、接線は P でしか曲線と交叉しない。
1096:埋立業者
21/01/06 08:31:09.82 /0IX7Oxo.net
そこで、R を P 自身として、P + P を単純に点の反対の点とする。
1097:埋立業者
21/01/06 08:31:46.23 /0IX7Oxo.net
ヴァイエルシュトラス標準形ではない三次曲線に対しては、
九つある変曲点のうちの一つを単位元 O とすることで
群構造を定義することができる。
1098:埋立業者
21/01/06 08:32:22.20 /0IX7Oxo.net
射影平面内では、多重度を考慮にいれると、三次曲線と任意の直線は三つの点で交叉する。
1099:埋立業者
21/01/06 08:32:59.95 /0IX7Oxo.net
点 P に対し、－P は O と P を通る第三の点として一意に定義される。
1100:埋立業者
21/01/06 08:33:48.29 /0IX7Oxo.net
そして、任意の P と Q に対する P + Q は、
R を P と Q を含む直線上の第三の点としたとき、
P + Q = －R として定義される。
1101:埋立業者
21/01/06 08:34:02.84 /0IX7Oxo.net
９
1102:埋立業者
21/01/06 08:34:16.98 /0IX7Oxo.net
８
1103:埋立業者
21/01/06 08:34:29.22 /0IX7Oxo.net
７
1104:埋立業者
21/01/06 08:34:42.62 /0IX7Oxo.net
６
1105:埋立業者
21/01/06 08:34:54.21 /0IX7Oxo.net
５
1106:埋立業者
21/01/06 08:35:10.03 /0IX7Oxo.net
４
1107:埋立業者
21/01/06 08:35:22.02 /0IX7Oxo.net
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1108:埋立業者
21/01/06 08:35:37.56 /0IX7Oxo.net
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