1019:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:19:50.52 XyNDA0Mg.net
>>905
＞・数学者：無限遠点を考える方がすっきりするよ。ＺＦＣでは無矛盾だよ
◆yH25M02vWFhP：ωは無限遠点だよ ド素人のボクにも絵が見えた！
・・・正真正銘のidiot
1020:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:22:33.82 XyNDA0Mg.net
>>905
＞レーヴェンハイム?スコーレムの定理
＞ 定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は
＞ 無限のモデルを持たねばならないことをも示す
◆yH25M02vWFhP：無限は超準（ノンスタンダード）自然数！（キリッ）
・・・正真正銘のidiot
1021:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:24:20.06 XyNDA0Mg.net
>>905
＞モデル理論
＞ 一階述語論理では、すべての無限濃度は可算である言語にとっては同じに見える
＞ 区別できないってことでしょ？
◆yH25M02vWFhP：いかなる無限も同じ可算濃度！（キリッ）
・・・正真正銘のidiot
1022:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:27:11.01 XyNDA0Mg.net
素人が必ずつまづく点
０，１，２，・・・，ω は 整列順序だが
ω，・・・，２，１，０ は 整列順序でない
なぜなら 反転させた場合、ωの後者が存在しない
（反転させる前なら、ωの前者が存在しない）
1023:１３２人目の素数さん
20/11/28 10:33:30.97 XyNDA0Mg.net
整列集合
数学において、整列順序付けられた集合または
整列集合（せいれつしゅうごう、英: wellordered set）とは、
整列順序を備えた集合のことをいう。
整列集合 X の任意の元 s は、それが X の最大元でない限り、
ただ一つの後者（successor; 後継、次の元、直後の元）を持つ。
これはつまり、s よりも大きな X の元全体の成す部分集合における
最小元として s の後者が決まるということである。
また、整列集合 X の中で上に有界な任意の部分集合は
（その上界全体の成す X の部分集合に最小元がとれるから）
必ず上限を持つ。
あるいは整列集合 X には、前者（predecessor; 直前の元）
を持たない元が必ず存在する
（それはもちろん、X 全体における最小元である）。
1024:現代数学の系譜 雑談
20/11/28 11:39:07.36 OgYXcJu7.net
維新さんの批判は、ノイマン構成の無限集合 自然数集合Ｎ にも当てはまる
自然数集合Ｎで、要素を列挙したとき、最後の要素はなんだ？
”要素を列挙したとき、最後の要素を書ききれない”なら、集合ではない？
数学科のオチコボレくんには、困ったも
1025:のだよ（＾＾；
1026:１３２人目の素数さん
20/11/28 11:58:02.19 XyNDA0Mg.net
>>911
＞維新さんの批判は
維新って誰よｗ
あんたも安達同様、誰も彼も維新に見える精神病にかかってるね
＞ノイマン構成の無限集合 自然数集合Ｎ にも当てはまる
何がどうあてはまる？
＞自然数集合Ｎで、要素を列挙したとき、最後の要素はなんだ？
ないよｗ
＞”要素を列挙したとき、最後の要素を書ききれない”なら、集合ではない？
安達弘志じゃあるまいし、そんな🐎🦌なこと誰もいわないよ
＞数学科のオチコボレくんには、困ったものだよ
あんたこそ、大学１年の数学で落ちこぼれるわけだ
高校じゃ、公式だけ覚えてテスト乗り切った口だな
ま、高校までの数学はしょせん計算技能の習得だからな
論理がわからん🐎🦌でもできる しかし大学はそれじゃ無理
工学部ってあんたみたいな大学１年の４月で数学落ちこぼれた奴の巣窟
そういう奴が大企業でエリート面してるんだから滑稽
唯の白痴じゃねえかｗ
1027:現代数学の系譜 雑談
20/11/28 23:42:02.45 OgYXcJu7.net
>>912
>維新って誰よｗ
維新さんは、下記です
”idiot”連発のサイコパスのことです
（ｽﾚﾘﾝｸ(math板:3番) ご参照）
スレ”楕円関数・テータ関数・モジュラー関数”の主（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
必死チェッカーもどき
数学 > 2020年11月28日 > ID:XyNDA0Mg
書き込み順位＆時間帯一覧
3 位/84 ID中 Total 29
使用した名前一覧
１３２人目の素数さん
書き込んだスレッド一覧
0.99999…は１ではない その16
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 49
IUTを読むための用語集資料集スレ
純粋・応用数学(含むガロア理論)5
＜例＞
IUTを読むための用語集資料集スレ
906 ：１３２人目の素数さん[sage]：2020/11/28(土) 10:19:50.52 ID:XyNDA0Mg
・・・正真正銘のidiot
楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
121 ：１３２人目の素数さん[]：2020/11/28(土) 19:12:39.36 ID:XyNDA0Mg
URLﾘﾝｸ(hissi.org)
必死チェッカーもどき
数学 > 2020年11月28日
順位 ID レス数 スレッド数 使用した名前一覧
1 ID:LpYp+oBb 62 1 １３２人目の素数さん フェルマーの最終定理の証明
2 ID:DmX1fS04 32 1 １３２人目の素数さん 0.99999…は１ではない その16
3 ID:0fpuH75L 29 1 日高
3 ID:XyNDA0Mg 29 5 １３２人目の素数さん
1028:現代数学の系譜 雑談
20/11/28 23:53:17.23 OgYXcJu7.net
>>912
>高校じゃ、公式だけ覚えてテスト乗り切った口だな
おれたち工科にとって、数学は縁の下の力持ちにすぎない
ある意味道具
道具は使ってなんぼの世界ですよ
コンピュータプログラムに同じ
入力→計算→出力
”計算”＝数学
コンピュータプログラムが正しいかどうか？
プログラム読んで”証明”もありでしょうけど
”お試し計算”やって合うかどうかが手っ取り早いよね
だいたい、使って枯れた コンピュータプログラムが、バグが取れていて良いんだ
数学テキストでも、誤植あったりする
それと同じです
繰返すが
数学はしょせん道具
道具は使ってなんぼの世界ですよ
あなた、アカデミックポストをゲットできなかったのでしょ？
数学はしょせん道具
そういう世界もあるってことができないのでしょうね
アカデミックポストをゲットできる夢みてる？
かわいそうに
いまからでも、社会人ドクターでも目指したらどう？（＾＾；
1029:現代数学の系譜 雑談
20/11/28 23:54:31.20 OgYXcJu7.net
>>914 タイポ訂正
そういう世界もあるってことができないのでしょうね
↓
そういう世界もあるってことが理解できないのでしょうね
おっさん、いっぱしの数学者きどりでいるんだ
笑えるぜ
1030:１３２人目の素数さん
20/11/29 06:12:34.15 YHrQm0L/.net
>>913 妄想は黙殺ｗ
>>914
>おれたち工科にとって、数学は縁の下の力持ちにすぎない
>ある意味道具 道具は使ってなんぼの世界ですよ
他の工科の人は、あんたと一緒にされたくないとさｗ
「任意の行列に、逆行列がある。余因子展開で求まる」（キリッ）
とか工科でもあり�
1031:ｦないっしょｗ さっそく、この話、同期の工学系出身者たちにしてみたよ 第一声は 「ありえねー」 「酷い、酷すぎる」 で、大阪大の工学部卒とかいう話をしたら、同窓の奴には 「こんな奴が同じ大学の同じ学部だったらマジで恥ずかしい 頼むから、ウソであってくれ！」 と真顔で訴えられた 俺もこんな奴が同窓だったら同じこと思うわｗ
1032:１３２人目の素数さん
20/11/29 06:21:49.87 YHrQm0L/.net
>>914
>(数学は)コンピュータプログラムに同じ
あのさぁ・・・以前から気になってたんだけど
「日本語、おかしくね？」
コンピュータプログラム「と」同じ、じゃね？
「に」って・・・方言？あんた、出身、何県？
閑話休題
>入力→計算→出力
>”計算”＝数学
ま、あんたが
「数学を「計算方法」としてしか理解せず
それ以外の理解の仕方ができない
”中等教育で数学はオシマイ”の人」
ってことは、最初から気づいてたよ
「任意の行列に、逆行列がある。余因子展開で求まる」（キリッ）
っていうのは、まさに
「プログラムだけ知って、
”不適切な入力では、出力がかえってこない”
という想定すら抜けてるヌケサク野郎」
だからね
おれの専門でいえば、あんたは
プログラムの事後条件(post-condition)を満たす
最弱事前条件(weakest pre-condition)
が全然わかってない奴だな 最弱ｗ
＃どうです？K先生 まだ覚えてましたよｗ
1033:１３２人目の素数さん
20/11/29 06:33:12.65 YHrQm0L/.net
>>914
＞あなた、アカデミックポストをゲットできなかったのでしょ？
その通りだね（しれっ）
＞アカデミックポストをゲットできる夢みてる？
いや 若いころならともかく
もう歳だし 貯金あるし
定年後の職はいらないｗ
あんたはアカポスについてるの？
え？行列式もしらない、
任意の行列の逆行列が余因子展開の公式で求まる（キリッ）
とか言っちゃう馬鹿が？ｗ
何、教えてるの？
ま、数学は全然使わない話なんだろうな
連立線形方程式すら、一度も解いたことないのバレバレだもんな
悪いけど、道具として数学使ってたらそんな間違い口にしねえわ
だって絶対気づくからねえ 逆行列が存在しない行列があるってことくらい
そしたら、なんでそうなるか調べるわな そうすれば確実に知るわな
行列式が０だったら逆行列が存在しない、ってことは
なんでそうなるか理解できなかったとしてもさ
＞数学はしょせん道具
と言い切るにしてもさ、せめて大学１年の線形代数を勉強して
連立線形方程式系の解の一意性
と 行列の正則性
と 行列式が０にならないこと
が同値であることくらい知っててほしいわｗ
こんなの理工系出身者なら、ドベの奴でも知ってる最低限の常識っしょ
・・・あ、ドベの意味は知ってるよね？関東ではビリっていうけどね
1034:１３２人目の素数さん
20/11/29 06:39:55.19 YHrQm0L/.net
>>915
＞おっさん、いっぱしの数学者きどりでいるんだ
＞笑えるぜ
えー、行列の正則性に関する初歩的な知識を親切に教えただけで
「いっぱしの数学者きどり」とか拗ねられちゃたまんねぇなあ
ま、でも、許すよ
文字を見るとクラクラするディスレクシアのあんたが
頑張ってどこの大学だか知らんけど工学部にもぐりこんで
とにもかくにも卒業したんだろ？大変だっただろうな
でもな、大阪○○大学の○○を略して大阪大学とかフカすのはやめようなｗ
ありえねーからｗ 国立大学に受かるレベルなら
「任意の行列に、逆行列がある。余因子展開で求まる」（キリッ）
なんていわないから
関西なら和歌山でも滋賀でもどこでもさｗ
ま、しょうがないよな、Fランじゃ
1035:１３２人目の素数さん
20/11/29 06:51:02.88 YHrQm0L/.net
蛇足
>>914
>コンピュータプログラムが正しいかどうか？
>プログラム読んで”証明”もありでしょうけど
>”お試し計算”やって合うかどうかが手っ取り早いよね
似非工系クンがやらかしそうなこと
行列式が
1036:0の行列の逆行列を求めようとして プログラム使ったらエラーが出たのでこう言い放つ 「ダメだ、このプログラムは間違ってる」（きりっ）
1037:
20/11/29 08:40:41.70 0h2WKpme.net
>>919
＞でもな、大阪○○大学の○○を略して大阪大学とかフカすのはやめようなｗ
ジモターから情報を提供しましょう
大阪市立大学は文系大学で、理系学部はありません
大阪府立大学は理系大学で、文系学部はありません
そして一般的には
理系：大阪府立大学＜関西学院大学＜神戸大学＜大阪大学
文系：関西学院大学＜：大阪市立大学＜神戸大学＝一橋大学＝大阪大学
が入試の難易度として認定されています、あくまで入試であることには留意ください
1038:情報屋
20/11/29 08:41:47.20 YHrQm0L/.net
新スレ 立ててみた
【🐎🦌】数学はしょせん道具 使ってなんぼの世界【上等】
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1039:１３２人目の素数さん
20/11/29 08:59:38.22 YHrQm0L/.net
（大阪○○大学について）
＞大阪市立大学は文系大学で、理系学部はありません
今調べたけど、1949年の創立時から理工学部があったみたいだよ
1949年（昭和24年） - 新制大阪市立大学発足、商・経済・法文・理工・家政の5学部を設置。
＞大阪府立大学は理系大学で、文系学部はありません
創立当時はなかったみたいだけど、そのあと経済学部ができたみたいよ
1954年 経済学部を設置
・・・で、国立でも府立でも市立でもない
私立の大阪○○大学があるんだな
73 大阪医科薬科大(医-医)
67 大阪医科薬科大(看護)
65 大阪医科薬科大(薬)
57 大阪歯科大(歯)
54 大阪工業大(情報科) 大阪工業大(工) 大阪工業大(ロボティクス＆デザイン工)
52 大阪産業大(工) 大阪産業大(デザイン工) 大阪歯科大(医療保健) 大阪保健医療大(保健医療)
51 大阪電気通信大(医療健康科) 大阪信愛学院大(看護)
50 大阪学院大(情報) 大阪大谷大(薬)
49 大阪電気通信大(工) 大阪電気通信大(情報通信工) 大阪物療大(保健医療)
48 大阪人間科学大(保健医療) 大阪河﨑リハビリテーション大(リハビリテーション) 大阪行岡医療大(医療)
1040:１３２人目の素数さん
20/11/29 13:26:15.49 vgFanAut.net
>>905
屁理屈はいいので、その列の∞なる項が何項目かを答えて下さい
1041:１３２人目の素数さん
20/11/29 13:41:09.39 vgFanAut.net
>>914
>道具は使ってなんぼの世界ですよ
定義の確認すらしないあなたに数学が使える訳無いでしょ
1042:１３２人目の素数さん
20/11/29 16:19:24.63 YHrQm0L/.net
大阪○○大学の○○の予想
1. ”ヌル”（つまり国立大阪大学）はない
2. 府立または市立もない
3. 私立の場合、偏差値順だとおおむね以下の通り（工学系のみ）
工業＞産業＞電気通信
おそらく３の中のいずれか・・・どこでもいいけどｗ
1043:１３２人目の素数さん
20/11/29 16:47:22.79 YHrQm0L/.net
>>925
＞定義の確認すらしないあなた（＝◆yH25M02vWFhP）に
＞数学が使える訳無いでしょ
◆yH25M02vWFhPにとっての数学って結局
「連立方程式で変数を消去していく消去法の計算手続き」みたいな
「全然思考しなくても反射的にできる行為」のことみたいだな
ただ、ほんとに漫然とやってるだけなんで
「変数がどういう場合だったら解けるか？」
という条件の理解はない
だから、平然と
「任意の正方行列は逆行列を持つ」（キリッ）
と言い切ってしまう
それじゃ大学数学の初歩からつまづくよな
1044:粋蕎
20/11/29 18:49:46.95 SKpsFDZs.net
成程のう。こりゃ数学板案件じゃのうて何でもアリ板案件じゃな､
瀬田氏は「0.999…≠1とする数学も有る」と言い張る精神で「不定連立方程式を解ける数学も有る」と言い張っとる訳か｡
1045:１３２人目の素数さん
20/11/29 19:29:43.85 YHrQm0L/.net
実際には、
「集合論では解が存在しないことが証明できない不定方程式」
が存在します、というか、集合論で証明できない論理式があれば
それを不定方程式にコード化することで、具体的に構成できます
ただ、こういう技が昔気質の数学者に
1046:嫌われる所以です かつてＫ平Ｋ彦さんはこういいました 「ゲーデルの不完全性定理はなんとかわかった でもコーエンのフォーシングはちっともわからなかった！」 専門外の最先端のことが理解できないのはあるあるですが それで「こんなん数学として意味ねぇ」とかいうのは 論理差別なんでやめてくださいね
1047:１３２人目の素数さん
20/11/29 19:48:13.11 gjPQIdYs.net
>>921
南部陽一郎「」
山中伸弥「」
1048:１３２人目の素数さん
20/11/29 19:48:54.23 gjPQIdYs.net
921はまじアフォｗ
1049:
20/11/29 20:12:47.50 0h2WKpme.net
>>930
山中氏は神戸大ではあっても医学部、医学部はさすがに別物ですよ、地方の国公立医学部であっても東大非医学理系より難しいのです
南部氏は大阪市立大学の教授でありましたが、入学した大学は東大です、>>921 は入試の話に限定していますし、その旨 >>921 に書きました
1050:１３２人目の素数さん
20/11/29 21:44:56.19 Q9vjl04c.net
>>932
スレの主旨からは外れるけど、地方国立医の圧倒的多数は東大理系より簡単だよ。神戸医は最近難化したから東大レベルと言っても良いけど。思われてるより難しいのが東大で、思われてるより難しくないのが地方医学部
1051:１３２人目の素数さん
20/11/30 04:30:26.30 cg4Gs1lk.net
市大は大学院大学ではない
理系の学部は存在する
>>932はデマ吐き
1052:現代数学の系譜 雑談
20/11/30 20:55:19.16 NGIgN7Bj.net
>>928
>「0.999…≠1とする数学も有る」
そば屋のおっさん
人違いだよ
それ言っているのは、テレンス・タオ（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
0.999...
無限小を含む体系
超実数
例えばテレンス・タオが超極限 (ultralimit) と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, ? の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, ?)] は 1 より無限小だけ小さい。より一般に、階数 H の無限大超自然数の位置に最後の 9 がくる超実数 uH = 0.999?;?999000?, はより厳密な不等式 uH < 1 を満足する。これに応じて、「無限個の 9 のあとに 0 が続く」ことの別解釈を
略[22]
と理解することができる。このように解釈した "0.999?" は 1 に「無限に近い」。イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999? は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた[23]。
1053:粋蕎
20/12/01 00:51:37.51 upzTgLnk.net
>>935
65535回読み直せ。単に其れ「0.999…に無限に近い『非実数超実数』の『具体的構成例』」を述べとるに過ぎず
一方 0.999… は依然として実数であり 1 の儘じゃけぇ別物じゃし 0 でない桁に終わりが有る非永続無限小数｡
従来からの無限小数は例え無限小超実数域の桁でも0でない桁に終わりは無く永続｡
1054:粋蕎
20/12/01 01:22:52.26 upzTgLnk.net
スレ主は移行原理でも集合論でも別物に成る Σ[k=1,H]9/10^k と Σ[k=1,∞]9/10^k とを一緒朽多にしとるが
此れはつまり Σ[k=1,H]9/10^k と Σ[k=1,H+1]9/10^k も Σ[k=1,H+2]9/10^k 一緒朽多にする行為。つまり
10^(H+1)*{(Σ[k=1,H+1]9/10^k)-(Σ[k=1,H]9/10^k)} (=9) も
10^(H+1)*{(Σ[k=1,H+1]9/10^k)-(Σ[k=1,H+1]9/10^k)} (=0) も
10^(H+1)*{(Σ[k=1,H+1]9/10^k)-(Σ[k=1,H+2]9/10^k)} (=-9/10) も
一緒朽多にしでかした為に 9 も 0 も -9/10 も一緒朽多にする「ミソもクソも一緒」行為をスレ主は
1055:やらかしとると云う事｡ 数学と理学的誤差論を丸っきり履き違えとる。プラス、ここ何年かはマトモに働いとらん模様｡ 明らかに薬を呑むべきはスレ主じゃ云う事が分かる｡
1056:現代数学の系譜 雑談
20/12/01 07:33:01.75 6EkVCjG3.net
>>936
蕎麦屋のおっさん
あんたが、テレンス・タオを百回読み直したら済む話だろ
テレンス・タオは、実数を拡張した
「超実数」（>>935）を考えた
「超実数」は、超冪構成（英語版）で、
「0.999・・・ は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法だと、イアン・スチュアートはいう
それだけのこと
勿論、0.999・・・ ＝1もあり
現代数学では、
両方の立場がありうるってことじゃね？（＾＾
1057:粋蕎
20/12/01 10:28:45.45 upzTgLnk.net
タオが言ったんは
[[H∈無限超自然数]]&[Σ[k=1,H]9/10^H] = 0.999…;…999999 (9がH桁つまり有効桁非永続)
であって
Σ[k=1,∞]9/10^H] = 0.999…;…999999… (最後が … つまり有効桁永続)
と違う
1058:粋蕎
20/12/01 12:58:59.19 upzTgLnk.net
世界基準超実数、及びタオ式構成超実数の理念
0.999…;…000000≠0.999…;…999999≠0.999…;…999999…=0.999…=1
つまり実数⇔超実数間移行原理にも集合論に基づく各要素同定にも適合する公的通用の認知理念
誤認初学者、及び初学時誤認座成り者、及びコピペ濫用専門永久非学者瀬田式の超実数の観念
0.999…;…000000≠0.999…;…999999=0.999…;…999999…=0.999…≠1
つまり実数⇔超実数間移行原理にも集合論に基づく各要素同定にも適合しない我田引水俺(=瀬田)式の認知観念(∈トンデモ)
>>MaraPapiyasまたは当該代弁者
此の我田引水瀬田式認知観念を馬と鹿の交雑種と本当に言わんのか、分かり切った事ながら新たに改めて判定してくれ
1059:現代数学の系譜 雑談
20/12/01 18:17:38.19 mY/U6brk.net
次スレ
IUTを読むための用語集資料スレ2
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1060:１３２人目の素数さん
20/12/01 19:40:50.64 gRCeSSmI.net
>>935
>超極限 (ultralimit) と呼ぶ
>数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成
>に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は
>1 より無限小だけ小さい。
上記が0.999…じゃないってわからん◆yH25M02vWFhPって
正真正銘のパクチー野郎だなｗ
上記は蕎麦屋いうところの
0.999…；…999000…
[(0.9, 0.99, 0.999, …)]
「(0,0.9,0.99,…)]
「(-9,0,0.9,…)]
「(-99,9,0,0.9,…)]
…
上記をどんどん続けていっても
いかなる
0.999…999000；…000…
よりも大きい
で、その間の数が存在するか？
実は存在する
1-1/10^(1/2),1-1/10^1,1-1/10^(3/2),…
という列を考えればいい
で、自然数の超準モデルを固定した上で、
いかなる超準自然数桁についても
9であるような小数ならば1となるか？
といえば、それは理屈上そうなるだろう
1061:粋蕎
20/12/01 22:54:39.64 upzTgLnk.net
パクチーに失礼。其れに儂の書き方じゃあない、アルバート・ハロルド・ライトストーンの書き方じゃ｡
A. H. Lightstone - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
1062:１３２人目の素数さん
20/12/02 06:22:50.87 pV8MmGTK.net
そのネタは
「0.99999…は１ではない」
に書きなよ
◆yH25M02vWFhPは安達と同類の馬鹿
1063:埋立業者
21/01/06 08:03:25.46 /0IX7Oxo.net
本スレッドは、用途廃止につき、埋立いたします
1064:埋立業者
21/01/06 08:03:48.62 /0IX7Oxo.net
埋立開始
1065:埋立業者
21/01/06 08:05:13.37 /0IX7Oxo.net
数学における楕円曲線（だえんきょくせん、英: elliptic curve）とは
種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、
特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う。
1066:埋立業者
21/01/06 08:05:54.77 /0IX7Oxo.net
楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 O を単位元とする
（必ず可換な）群をなすように、積を代数的に定義することができる。
1067:埋立業者
21/01/06 08:06:10.05 /0IX7Oxo.net
すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。
1068:埋立業者
21/01/06 08:06:49.01 /0IX7Oxo.net
楕円曲線は、代数幾何学的には、
射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線
として見ることもできる。
1069:埋立業者
21/01/06 08:08:10.98 /0IX7Oxo.net
より正確には、射影平面上、楕円曲線は
ヴァイエルシュトラス方程式あるいは
ヴァイエルシュトラスの標準形により定義された
非特異な平面代数曲線に双有理同値である
（有理変換によってそのような曲線に変換される）。
1070:埋立業者
21/01/06 08:09:05.82 /0IX7Oxo.net
また、係数体（英語版）の標数が 2 でも 3 でもないとき、
楕円曲線は、アフィン平面上定義された
非特異な平面代数曲線に双有理同値である。
1071:埋立業者
21/01/06 08:09:42.70 /0IX7Oxo.net
非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、
自分自身と交叉したりはしないということである。
1072:埋立業者
21/01/06 08:10:37.60 /0IX7Oxo.net
Pが重根を持たない三次多項式として、y^2 = P(x) とすると、
種数 1 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。
1073:埋立業者
21/01/06 08:11:16.14 /0IX7Oxo.net
Pが次数 4 で無平方とすると、これも種数 1 の平面曲線となるが、
しかし、単位元を自然に選び出すことができない。
1074:埋立業者
21/01/06 08:11:54.36 /0IX7Oxo.net
さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような
種数 1 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。
1075:埋立業者
21/01/06 08:12:18.46 /0IX7Oxo.net
例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。
1076:埋立業者
21/01/06 08:13:11.24 /0IX7Oxo.net
楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線は
トーラスの複素射影平面への埋め込みに対応することを
示すことができる。
1077:埋立業者
21/01/06 08:14:01.12 /0IX7Oxo.net
トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。
1078:埋立業者
21/01/06 08:14:19.81 /0IX7Oxo.net
したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。
1079:埋立業者
21/01/06 08:14:51.94 /0IX7Oxo.net
楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。
1080:埋立業者
21/01/06 08:15:32.17 /0IX7Oxo.net
例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）
証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている。
1081:埋立業者
21/01/06 08:15:57.00 /0IX7Oxo.net
また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。
1082:埋立業者
21/01/06 08:16:50.67 /0IX7Oxo.net
楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。
1083:埋立業者
21/01/06 08:17:23.01 /0IX7Oxo.net
このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。
1084:埋立業者
21/01/06 08:17:50.38 /0IX7Oxo.net
１．一次元のアーベル多様体
1085:埋立業者
21/01/06 08:18:12.95 /0IX7Oxo.net
２．三次の平面代数曲線で、有理点を持つもの
1086:埋立業者
21/01/06 08:18:40.73 /0IX7Oxo.net
３．複素数を加法群とみて、二重周期を持つ格子で割った商空間
1087:埋立業者
21/01/06 08:20:23.51 /0IX7Oxo.net
射影平面で考えると、すべての滑らかな三次曲線上の群構造を定義することができる。
1088:埋立業者
21/01/06 08:21:30.77 /0IX7Oxo.net
射影平面上、楕円曲線がヴァイエルシュトラスの標準形によりあらわされるとき、
そのような三次曲線は斉次座標 [0 : 1 : 0] である無限遠点 O を持ち、
Oは群の単位元となる。
1089:埋立業者
21/01/06 08:22:09.48 /0IX7Oxo.net
曲線は x-軸で対称であるので、任意の点 Pが与えられると、
－P はその反対側の点として取ることができる。
－O は O とする。
1090:埋立業者
21/01/06 08:22:53.71 /0IX7Oxo.net
P と Q が曲線上の二点であれば、
一意に第三の点 P + Q を
次の方法で定義することができる。
1091:埋立業者
21/01/06 08:23:21.10 /0IX7Oxo.net
まず、P と Q を通る直線を引く。
1092:埋立業者
21/01/06 08:23:57.53 /0IX7Oxo.net
この直線は一般に第三の点 R で曲線と交わる。
1093:埋立業者
21/01/06 08:24:13.68 /0IX7Oxo.net
P + Q を R の反対の点である －R とする。
1094:埋立業者
21/01/06 08:24:58.97 /0IX7Oxo.net
この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。
1095:埋立業者
21/01/06 08:25:27.18 /0IX7Oxo.net
一つ目の例外は、加算する点の片方が O であるときである。
1096:埋立業者
21/01/06 08:26:01.73 /0IX7Oxo.net
このとき、P + O = P = O + P と定義し、O は群の単位元となる。
1097:埋立業者
21/01/06 08:26:34.08 /0IX7Oxo.net
第二の例外は、P と Q が�
1098:ﾝいに反対側の点である場合である。
1099:埋立業者
21/01/06 08:27:06.49 /0IX7Oxo.net
この場合は、P + Q = O と定義する。
1100:埋立業者
21/01/06 08:27:52.84 /0IX7Oxo.net
最後の例外は、P = Q の場合である。
1101:埋立業者
21/01/06 08:28:13.25 /0IX7Oxo.net
このとき一点しかないため、これを通る直線を一意に定義できない。
1102:埋立業者
21/01/06 08:28:45.99 /0IX7Oxo.net
そこで、この点での曲線の接線を使う。
1103:埋立業者
21/01/06 08:29:38.79 /0IX7Oxo.net
ほとんどの場合、
接線は第二の点 R で曲線と交叉するため、
反対の点をとることができる。
1104:埋立業者
21/01/06 08:30:23.28 /0IX7Oxo.net
しかしながら、P がたまたま変曲点（そこで曲線の凹み方が変わるような点）
であるようなときは、接線は P でしか曲線と交叉しない。
1105:埋立業者
21/01/06 08:31:09.82 /0IX7Oxo.net
そこで、R を P 自身として、P + P を単純に点の反対の点とする。
1106:埋立業者
21/01/06 08:31:46.23 /0IX7Oxo.net
ヴァイエルシュトラス標準形ではない三次曲線に対しては、
九つある変曲点のうちの一つを単位元 O とすることで
群構造を定義することができる。
1107:埋立業者
21/01/06 08:32:22.20 /0IX7Oxo.net
射影平面内では、多重度を考慮にいれると、三次曲線と任意の直線は三つの点で交叉する。
1108:埋立業者
21/01/06 08:32:59.95 /0IX7Oxo.net
点 P に対し、－P は O と P を通る第三の点として一意に定義される。
1109:埋立業者
21/01/06 08:33:48.29 /0IX7Oxo.net
そして、任意の P と Q に対する P + Q は、
R を P と Q を含む直線上の第三の点としたとき、
P + Q = －R として定義される。
1110:埋立業者
21/01/06 08:34:02.84 /0IX7Oxo.net
９
1111:埋立業者
21/01/06 08:34:16.98 /0IX7Oxo.net
８
1112:埋立業者
21/01/06 08:34:29.22 /0IX7Oxo.net
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1113:埋立業者
21/01/06 08:34:42.62 /0IX7Oxo.net
６
1114:埋立業者
21/01/06 08:34:54.21 /0IX7Oxo.net
５
1115:埋立業者
21/01/06 08:35:10.03 /0IX7Oxo.net
４
1116:埋立業者
21/01/06 08:35:22.02 /0IX7Oxo.net
３
1117:埋立業者
21/01/06 08:35:37.56 /0IX7Oxo.net
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