20/06/28 14:42:11.28 bfBvt+85.net
>>415 補足
(引用開始)
”ε-δ”だけを、近視眼的に考える
それは、20世紀の日本の大学数学教育の欠点だったように思う
これから 21世紀は、下記の川平 友規先生のような視点（「これからの数学はもっと，『やわらかいもの』になるだろう．」）が、メインストリームになるのではないだろうか？
(引用終り)
21世紀は、”ε-δ”だけを、近視眼的に考えるのではなく
１．”ε-δ”法を、位相空間論の中に位置付ける
２．さらに一般化して、ネットやフィルターを考える
３．圏論の極限余極限を考える
４．超準（無限小・無限大）を考える
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超準解析
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間
3 具体例
3.1 距離空間の位相構造
5 連続写像
5.1 一点での連続性
7 収束
7.1 点列の収束
7.2 連続性との関係
7.4 一般化
一般化
距離空間の場合、点列の収束の概念を用いることで連続性や閉集合といった基礎的概念を特徴づけることができたが、一般の位相空間ではそのような事はできない。(これが可能な空間を列型空間という)。
これは点列という概念が、自然数という限定的な添え字しか許さないことや、点の列だけで集合の列を考慮していない事などが原因である。
しかし、そうした側面に対して点列の概念を一般化したものである有向点族やフィルターの概念を用いれば、前述した基礎的概念をこれらの収束性で特徴づけることができる。
これらの収束性を考える利点はもうひとつあり、点列の収束性では必要性しかいえない命題が、これらの収束性を用いれば、必要十分性が言えるときがある。
例えば点列の収束の一意性は、前述したハウスドルフ性の必要条件に過ぎないが、有向点族の収束の一意性はハウスドルフ性の必要十分条件となる。
一様連続と一様収束
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である
しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である