20/06/27 13:04:25 jEjJjPRO.net
>>419
つづき
たとえば，関数 f : R → R の連続性は，各点ごとの近傍
において点列の収束やら ε-δ やらを使い定義されていた．
すなわち，ユークリッド空間における連続性とは局所的な概念であり，局所的な定義で事足りたのである．
開集合などという（どこか大域的なテイストをもつ）言葉は一切必要なかった．
数学者が上のような定義に到達した背景はよくわからないが，次のように順を追って考えると納得できるかもしれない．
3.5.1 距離空間における連続写像
1 次元関数の連続性. まず，もっとも素朴な 1 次元関数 f : R → R について連続性をおさ
らいしておこう．一般的なのは，つぎの ε-δ を用いる定義である：
関数 f : R → R が点 p ∈ R で連続であるとは，任意に小さい ε > 0 にたいしある δ > 0
が存在して，|x - p| < δ のとき |f(x) - f(p)| < ε が成り立つときをいう．
任意の p ∈ R において f が連続であるとき，単に f は連続であるという．
まず局所的に（各点において）連続性を定義して，それから全体の連続性を定義している
ことに注意しよう．
距離空間における連続性. これを踏まえて，連続性の定義を距離空間に拡張してみよう．
(S, d) および (S′, d′) を距離空間とする．また，(S, d) における p ∈ S 中心半径 r の開球を
B(p, r) で表し，(S′, d′) における q ∈ S
′ 中心半径 s の開球を B′(q, s) で表すことにする．
この記号の元で，
定義１（連続写像）：写像 f : (S, d) → (S′, d′) が点 p ∈ S で連続であるとは，任意に小さ
い ε > 0 にたいしある δ > 0 が存在して，f(B(p, δ)) ⊂ B′
(f(p), ε) が成り立つときをいう．
また，任意の p ∈ S において f が連続であるとき，単に f は連続であるという．
R の距離を d(x, y) = d′
(x, y) = |x - y| と定め距離空間とみなせば，定義１は ε-δ 式の連続性の定義そのものである．
つづく