20/07/07 08:19:21.62 8QVuUDNk.net
>>923
完全にランダムであり、同じ確率です。
割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。
ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、
「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」
と読み替えてください。
974:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:20:39.38 8QVuUDNk.net
>>923
>>927の条件をつければ
計算できると思います。
975:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:22:01.48 UFb6e8CE.net
>>924
バカだろw
消えろ
976:１３２人目の素数さん
20/07/07 09:07:28 yR/EvhWJ.net
クーポンコレクターの亜種か
977:１３２人目の素数さん
20/07/07 10:37:19 BqvccBWc.net
まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
978:１３２人目の素数さん
20/07/07 11:07:50 gyGhnLCq.net
>>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
979:イナ
20/07/07 11:39:31.32 BoTxtUvK.net
前>>918
>>921
七夕🎋なんで五色といえば、
赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。
期待値の問題じゃないかな。
五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。
2回目2色目がわかる確率は4/5
３回目3色目がわかる確率の3/5と、
4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。
4×3×2/5^3=24/125
2割弱か。そんなもんだろ。
980:１３２人目の素数さん
20/07/07 11:42:01.50 8QVuUDNk.net
>>933
計算機、スプレッドシートで手計算してみる！
981:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/07 12:09:13 BoTxtUvK.net
前>>933
>>921
4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(……
7ぐらいまでやればわかるかも。
982:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:14:22 LSsU1iyt.net
期待値なら即答されてる
983:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:16:41 8QVuUDNk.net
アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。
動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。
i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
984:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:28:25 8QVuUDNk.net
>>922 が答えなの？
ありがとうございます！
計算してみました。
式 100/100+100/99+‥+100/21
= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159
つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
985:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:34:24 LSsU1iyt.net
いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた
確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
986:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:56:15 8QVuUDNk.net
>>922 >>939
サンクス！！
・5色のうちの4色 6.4 回
・10色のうちの8色 14 回
・50色のうちの40色 79 回
・100色のうちの80色 159回
・500色のうちの400色 803回
8割の色を出すには、色数 x 1.61 個 ほど
引けばいいようです。
987:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/07 12:59:13 BoTxtUvK.net
前>>935
７回。
988:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:07:49 bx7umG9D.net
>>921
シミュレーションしてみた。
> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明�
989:ﾅ終了 + record=NULL # 記録された色 + color=0 # 記録された色の種類 + count=0 # 試行回数 + while(color!=m){ # m色記録されないなら + count=count+1 # １個取り出して + record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消 + color=length(record) # 記録された色の種類 + } + return(count) # 試行回数を返す + } > > mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める [1] 6.414439 >
990:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:12:25 bx7umG9D.net
>>924
１． 単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
991:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:26:21 bx7umG9D.net
>>924
正規分布近似
> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404
カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
992:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:31:59 bx7umG9D.net
>>937
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
993:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:36:00 bx7umG9D.net
>>945
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
994:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:06:09.05 bx7umG9D.net
>>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
995:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:26:47 bx7umG9D.net
>>931
百万回のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())
> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
996:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:35:25 bx7umG9D.net
>>931
２．のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6
1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
997:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:40:26 8QVuUDNk.net
>>941-946
みなさん、ありがとうございます。
数行でかけるんですね。
こっちは スプレッドシートを500行 並べて
総和 SUM（A:B） と 総乗 PRODUCT(A:B) して
>>940 の値を求めた。
1.61 ？ くらいに漸近するような感じ
998:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:43:24 8QVuUDNk.net
>>950
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。
ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
999:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:51:31 8QVuUDNk.net
>>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。
色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のように おおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる
5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と 色数を大きくしていくと
ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？
1000:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:56:43.91 8QVuUDNk.net
>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！
おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
1001:１３２人目の素数さん
20/07/07 16:04:51.88 8QVuUDNk.net
ln (e!) x (a/b) !
↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。
全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、
a x {ln (e!) x (a/b) !} 回
�
1002:ﾌような気がする。
1003:A欄既卒
20/07/07 16:20:10.61 8QVuUDNk.net
大学で 「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？
>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。
>>940 から俺が閃いた 漸近する値 についてのナゾの式
（>>951 および >>952） の内容は正しいのか？
間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。
10兆色のうちの8兆色 とかで計算してさ。
1004:１３２人目の素数さん
20/07/07 16:43:48 bx7umG9D.net
>>940
１０００色までやってみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356
> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm
Call:
lm(formula = y ~ n)
Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
1005:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:11:00 bx7umG9D.net
>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910
１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
1006:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:22:49 wjRMaac8.net
内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
1007:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:24:30 wjRMaac8.net
E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
1008:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:43:00 xkZAJeQx.net
φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
1009:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:53:41 wjRMaac8.net
ありがとうございました。
1010:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:09:06.17 7vxztQCR.net
>>808 の計算
正n角形Sの頂点を S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。
Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。 ↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。 ↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに ↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
= L m * (1/2)
1011:T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1}) = L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}), ここで T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)), ∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2), より △(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
1012:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:12:12.43 7vxztQCR.net
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
1013:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:50:07.32 xkZAJeQx.net
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
1014:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:59:46.44 V0zbgviH.net
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
1015:１３２人目の素数さん
20/07/07 20:31:00.79 bx7umG9D.net
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
1016:１３２人目の素数さん
20/07/07 21:17:50.33 YXX3xhBe.net
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
1017:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:30.77 gyGhnLCq.net
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
1018:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:49.04 UGF9ZM36.net
分からない問題はここに書いてね461
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1019:１３２人目の素数さん
20/07/08 01:39:18.47 E7sQrDhL.net
>>962-963
n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854
n>>1 では ～ 5/n^2
1020:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 03:28:31 ODJ2yoWq.net
前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(√3-1)
=2-√3
Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。
1021:１３２人目の素数さん
20/07/08 04:38:30.25 wpJjzlbG.net
>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
1022:イナ
20/07/08 04:53:28.69 CkzpZnuD.net
前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
1023:１３２人目の素数さん
20/07/08 07:34:45.40 I3BoIViR.net
>>967
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1024:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:08:33.01 E7sQrDhL.net
>>966
ディリクレ(1805～1859)の死後、明治～大正時代は
「引きだし論法」だったかも。
1025:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:11:46.16 I3BoIViR.net
>>974
図示しないと気持ちがわるいな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
1026:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:32:40 0bsbQgCs.net
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
1027:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:37:03.05 wpJjzlbG.net
みんな頭いいな。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
1028:１３２人目の素数さん
20/07/08 09:34:26.90 wuJIFs5H.net
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
1029:１３２人目の素数さん
20/07/08 10:16:11 XD7Ql8W/.net
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
1030:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:22:54.39 wuJIFs5H.net
>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？
動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
1031:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:56:09.02 M5YUn+y1.net
X,Yを全
1032:順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？ なりそうな気がしますがどうでしょうか？
1033:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:44:39 AhepFBJk.net
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
1034:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:56:11 I3BoIViR.net
>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
1035:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:58:19 I3BoIViR.net
>>973
赤がイナ芸人の答
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1036:１３２人目の素数さん
20/07/08 13:10:57 Pt4pRb+l.net
そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
1037:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:12:29.85 wuJIFs5H.net
>>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。
点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。
（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。
1038:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:45:28.68 ljE/4Hhb.net
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1039:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:06:41.16 yiO6XJAl.net
lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
1040:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:31:59.19 yiO6XJAl.net
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
1041:イナ
20/07/08 16:30:51.37 5WH5GGpe.net
前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。
おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。
1042:１３２人目の素数さん
20/07/08 16:53:00.60 wuJIFs5H.net
>>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。
1043:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:16:48.79 I3BoIViR.net
>>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1044:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:39:34.25 I3BoIViR.net
>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
1045:１３２人目の素数さん
20/07/08 19:08:18.21 NoIq/b5Q.net
MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1046:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 20:01:55 A4Rmkg0O.net
前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2
1047:１３２人目の素数さん
20/07/09 01:42:21 t0ZWB8zx.net
一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
1048:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:32:24 XFAfLnLw.net
π/3<a<2π/3
1/4
1049:１３２人目の素数さん
20/07/09 07:39:23 dYeNIQef.net
>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1050:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:04:04 lBO5fTHS.net
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
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