20/07/03 14:34:16.95 1bUTMl+p.net
中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。
>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
855:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:39:53.26 lBvnkrP8.net
>>815
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2
つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している
d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
856:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:41:44.92 1bUTMl+p.net
九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
857:ID:1lEWVa2s
20/07/03 14:52:20.76 kvB40sa8.net
>>816
久しぶり。
858:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:52:22.56 SJNnbIMQ.net
>>817
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
859:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:03:17.34 1bUTMl+p.net
>>816
ありがとうございます。
最初に全体4で割っておくと、
(A-B)^2+4AB=(A+B)^2
で100%中一数学ですね。
>>819
あとは、偶然って定義とかあったっけ。
860:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:12:52.37 SEzJko/d.net
>>811
私は以下のように考えました。
ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り
が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？
何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？
ご教示のほど宜しくお願い致します。
861:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:15:29.90 l9EAO2Py.net
5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
862:１３２人目の素数さん
20/07/03 17:46:47.84 zd8ES0Nb.net
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
863:１３２人目の素数さん
20/07/03 18:35:55.31 +Y/uxVJK.net
>>823
dの数ちゃうやん？
864:１３２人目の素数さん
20/07/03 19:04:08.44 nArnrYCm.net
どう間違えたらそうなるのか謎だ
865:１３２人目の素数さん
20/07/03 19:38:01.08 pJJSArnZ.net
nを3以上の自然数とするとき、
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。
（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
866:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:14:35.09 90y63y3Z.net
>>810
120通り
(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4
(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので
（216-24)/2 + 24 = 120通り
867:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:16:16.50 90y63y3Z.net
>>810
プログラムを組んで数えさせた。
library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321
different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(
868:z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation all(y==z) } idx1=which(apply(pm1,1,fn1)) x2mat(pm1[idx1[24],]) s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric sym =length(idx1) # symmetric (s_as-sym)/2 + sym > (s_as-sym)/2 + sym [1] 120
869:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:24:39.95 90y63y3Z.net
>>821
(a,b,c,d)
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
870:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:50:07 90y63y3Z.net
>>801
作図だけしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
871:１３２人目の素数さん
20/07/03 22:32:17.22 SJNnbIMQ.net
>>826
存在する。例えばa=b=c=2,∠A=60°
872:１３２人目の素数さん
20/07/03 22:33:22.82 7lES8FSM.net
証明の行間って英語でどう書くのですか？
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
873:１３２人目の素数さん
20/07/03 23:03:13.67 90y63y3Z.net
>>832
implicit argument でどうでしょうか？
874:１３２人目の素数さん
20/07/04 11:44:56.83 JsPC4r8O.net
fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).
上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
875:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:22:03.60 bJzWIHZ7.net
実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
876:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:30:40.47 OUWbM4MU.net
ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
877:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:32:52.90 OUWbM4MU.net
開球はR^3の部分集合とします。
878:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:34:41.79 OUWbM4MU.net
単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。
879:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:48:33.01 bpBdqHUs.net
Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合
ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
880:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:02:12.96 VlSg+iRT.net
>>835
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
881:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:13:28.20 bpBdqHUs.net
多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
882:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:53:51.99 8jzJFpef.net
>>835
正数xについて常に"x"<xであるから、"(3^n)/(2^m)"<εが成り立つためには(3^n)/(2^m)<εが成り立てば十分である。
n=1とし、3/ε<2^M となるような自然数m=Mをとればよい。
>>836
いくらでもあるが簡単な例としては、R^3空間にR^3自身と空集合のみを開集合とする位相を入れればよい。密着位相というやつだな。
883:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:04:26 VlSg+iRT.net
>>838
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3
884: ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。 o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2} に対し、 S := {o(ε) | ε ∊ R} を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、 位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。
885:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:08:28 bpBdqHUs.net
反例のための位相なら
O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では
886:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:11:11 oAKLKcEG.net
>>824
＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
本当にこのままです。
887:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:32:03.11 oAKLKcEG.net
>>825
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
888:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:33:47 EP1Xe6XC.net
どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？
dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
889:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:53:31.18 VlSg+iRT.net
とあるサイトに
「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
890:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:15:39.74 8jzJFpef.net
ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
891:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:22:22.24 vADwUpac.net
次の微分方程式を解け。
dy+dx+dxdy = exp(dx)
892:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:24:33.26 VlSg+iRT.net
>>848
再掲します
とあるサイトに
「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
893:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:29:07.54 gGXiG/Hn.net
>>833
～例えば
を削除したら文脈が変わるから再掲じゃないんではないですかね
894:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:29:20.85 gGXiG/Hn.net
>>851だった
895:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:34:24 VlSg+iRT.net
引用の仕方が良くなかったですかね
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
896:１３２人目の素数さん
20/07/04 17:55:23.51 9wc4jh9T.net
∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？
897:１３２人目の素数さん
20/07/04 17:57:59.42 VlSg+iRT.net
>>855
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
898:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:28:49.31 9wc4jh9T.net
>>856
なんと、こんな便利なサイトが……！！ とても助かりました、ありがとうございます。
899:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:48:11.54 VlSg+iRT.net
>>851
Wolfram大先生に聞いたら
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
と「答え」を返してきましたけど
実際はどうなんでしょうか？
900:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:54:26.05 nLP217oC.net
>>845-846 >>850
それを微分方程式と書く本がおかしい
901:１３２人目の素数さん
20/07/04 19:03:20.56 SXs5Zk63.net
微分形式については次から次へと俺様微分形式が湧いて出るな。
902:１３２人目の素数さん
20/07/04 19:23:29.13 Fvn4+d+y.net
き、きっと>>823は無限次元多様体上のすべての次元の微分形式からなる多元環における方程式なんだよ
え？>>850？そんなもん
903:知らんな
904:１３２人目の素数さん
20/07/04 20:46:47.74 SXs5Zk63.net
>>861
そう解釈すると一次のとこの解>>847が二次の方程式満たしそうにないから解なしだな。
905:１３２人目の素数さん
20/07/05 11:41:48.76 6pnuWzuz.net
∫[0,∞] exp(-x^3) dx
の値は知られていますか？
-x^3の場合の記述が見つからなかったので、ここでお聞きしました。
906:１３２人目の素数さん
20/07/05 11:45:57.39 b6WTgL0g.net
置換積分とガンマ関数で表わす
907:１３２人目の素数さん
20/07/05 14:47:10.85 6pnuWzuz.net
xyz空間の６点A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),E(0,0,1),P(a,b,c)を頂点とするn面体Kを考える。
（１）c<0の条件のもとで、Kが凸n面体となるような実数a,b,cの範囲を求めよ。
（２）△PABの重心をG、△PECの重心をHとする。a,b,cが（１）で求めた範囲を動くとき、線分GHが通過する領域をＸとする。Ｘを平面z=t(ｃ≦t≦1)で切った切り口の面積を求めよ。切り口が1点や線分である場合、または存在しない場合の面積は0とする。
（３）Kの体積を求めよ。
908:１３２人目の素数さん
20/07/05 17:20:29.39 2QM6mHlN.net
定積分の問題です。
mathematicaで Integrate[Sin[ax]x/(1+x^2)^c,{x,0,∞}](ただし aは正の実数,cは実数)
とすると、
(2^(1/2-c) a^(-1/2+c) Pi^(1/2)BesselK[-3/2+c,a])/Gamma[c]（ただしｃ>1/2)
と出てきます。
これを証明したいのですが、できません。
留数を使うと思うので、そちらの文献を少しは調べてみたのですが、、、。
どなたか、上の定積分の証明をお分かりの方がいれば、
ご教示のほど、よろしくおねがいいたします。
909:１３２人目の素数さん
20/07/05 17:55:46.16 mES7tl/s.net
>>847
御解答ありがとうございます。
おっしゃる通りです。
私の計算でもwolframの計算でもその解答です。
しかし
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のydxdyを無視してはいけないことに気付きました。
近似解でも良いから求められないでしょうか。
910:１３２人目の素数さん
20/07/05 18:45:55.97 LpPEvrn4.net
有名な話で恐縮ですが、ガンマ関数と解析接続の
γ(-1)=-1/12=Σ1/n^(-1)=Σn=∞
という式はどう解釈すれば良いでしょうか。
計算していけばγ(-1)=-1/12となるのは納得できます。となるとΣ1/n^aにおいてa<0を考えたことに誤りがあるのでしょうか。
ご教示お願いいたします。
911:１３２人目の素数さん
20/07/05 18:47:02.00 wQ7bH17G.net
何かをモデル化してその数式を導いたなら、モデル化か数式化がおかしいとしか言えない
近似も何も、モデル化や数式化が近似なのだから、その数式になるせめてもう一歩手前が分からんことにはどうにもならない
912:１３２人目の素数さん
20/07/05 18:50:15.66 277VsiZx.net
>>868
Γ(s+1)=sΓ(s)で解析接続する。
Γ(s)=Γ(s+2)/(s(s+1))
で右辺はs=-1で一位の極。
913:１３２人目の素数さん
20/07/05 19:04:31.69 iV7kmL62.net
>>864 に従って
x^n = t とおく。
∫[0,∞] exp(-x^n) dx
= (1/n)∫[0,∞] t^(1/n -1) exp(-t) dt
= (1/n)Γ(1/n)
= Γ(1+1/n),
n=1 のとき Γ(2) = 1,
n=2 のとき Γ(3/2) = (√π)/2 = 0.886226925452758････
n=2.166226964260763････ で最小値 0.8856031944108887
n→∞ のとき 正方形（1×1）に近付く。
数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らか。(Kelvin)
914:１３２人目の素数さん
20/07/05 19:44:07.30 iV7kmL62.net
>>855
(1)
∫ dx/(1 - x^2)^(3/2) = ∫{1/√(1 - x^2) + x^2 /(1 - x^2)^(3/2)} dx
= x/√(1-x^2),
(2)
x = tanh(t) とおく。
(3)
x = sin�
915:ﾆ とおく。
916:１３２人目の素数さん
20/07/05 22:15:33.76 rpUuAKzr.net
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*pi*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*pi*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*pi*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
917:１３２人目の素数さん
20/07/05 22:35:01.86 rpUuAKzr.net
（脱字修正）
有病率が0.5%の疫病で10人の集団感染が認めれらたとき再生産数の期待値の計算はこれで正しい？
n=10
p=0.005
感染源がi人である確率は nCi*p^i*(1-p)^(n-i) , i=1,2,..,n
i人がn-i人に感染させているから、１人当たり感染させた人数は(n-i)/i
Σ{(n-i)/i * nCi*p^i*(1-p)^(n-i)} / Σ nCi*p^i*(1-p)^(n-i) = 8.887473379
手計算は面倒なのでプログラムして計算
R0 <- function(n,p){
i=1:n
w=dbinom(i,n,p)
r0=(n-i)/i
sum(r0*w)/sum(w)
}
R0(10,0.005)
> R0(10,0.005)
[1] 8.887473379
918:１３２人目の素数さん
20/07/05 22:39:23.42 zaLNiyGh.net
f(x) のn階導函数を求めよ
(1) f(x) =1 /x(x + 1)
(2) f(x) = cos2xcos4x
919:１３２人目の素数さん
20/07/05 22:40:55.41 zaLNiyGh.net
arctanx + arccos 2/ 3 = 0 を満たす x を求めよ.
cosarcsinx の導函数を求めよ.
920:１３２人目の素数さん
20/07/05 22:47:28.53 zaLNiyGh.net
f(x) =1/ 2x(x^2 −1) (x < 0)
x(e^x − 3/ 2) (x ≥ 0)のとき
(1) f′(0)を求めよ.
(2) f′(x)を求めよ.
(3) f ∈ C＾n(R)としたとき, 最大のn ∈N∪{0}を求めよ
ただし、以上のうちで定まらないものがあればその理由を述べよ
921:１３２人目の素数さん
20/07/05 23:00:59.02 b6WTgL0g.net
ただの計算問題はツマラン
922:１３２人目の素数さん
20/07/05 23:34:34.60 6pnuWzuz.net
A君が坂の途中のP地点に立っている。
A君がP地点から東に歩いたときの勾配は3/4であり、南に歩いた時の勾配は2/3であった。
この坂の勾配が最もきついのはP地点から見てどの方角か。
923:１３２人目の素数さん
20/07/05 23:40:10.31 XbdysAQ6.net
>>875
(1)(1/x)(x+1)か1/{x(x+1)}か微妙な表記なのでスルーしておく。
(2)積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい。
>>876
(前半)これも (arccos2)/3 か arccos(2/3) か怪しい表記だが、どちらにせよ答えは x=-tan(arccos2/3)
(後半)-sin(arcsinx)/√(1-x^2)
>>877
これも (1/2)x(x^2-1) か {1/(2x)}(x^2-1) か 1/{2x(x^2-1)} か微妙な表記なのでスルーしておく。
924:１３２人目の素数さん
20/07/06 00:04:29 /c2y1QbB.net
>>879
坂の形状がわからないので、坂が平面であると勝手に決めつけて答えてみる。
東をx軸正の向き、南をy軸正の向き、上をz軸正の向き、A君の位置を原点としたxyz座標空間上で、坂平面の方程式を ax+by+cz=0 とする。
xz平面との交線が z=(3/4)x だから a=(-3/4)c 、yz平面との交線が z=(2/3)y だから b=(-2/3)c 。坂平面の方程式は 9x+8y-12z=0
この坂平面とxy平面の交線は y=-(9/8)x で、これに垂直な直線 y=(8/9)x が求める方角である。
すなわち南東方向に真東からみてarctan(8/9)の方角。
925:１３２人目の素数さん
20/07/06 00:11:26 cE8uMBSB.net
>>880
さすがにarccos2ってことは無いだろう。
arccos(2/3)だとすると>>876前半は x=-(√5)/2
926:イナ
20/07/06 02:27:41.24 EjjkoMDB.net
前>>800
>>865
(1)x+y+z＜1
x-y+z＜1
-x-y+z＜1
-x+y+z＜1
の領域にPがある。
∴a+b+c＜1
a-b+c＜1
-a-b+c＜1
-a+b+c＜1
(2)保留
(3)(1/3)×2×1+(1/3)×2×c=(2+2c)/3
927:１３２人目の素数さん
20/07/06 05:46:30.4
928:8 ID:IqOckpzP.net
929:１３２人目の素数さん
20/07/06 06:44:49 IqOckpzP.net
>>879
library(pracma)
east=c(4,0,3)
south=c(0,-3,2)
(nv=pracma::cross(east,south)) # c(9,-8,-12) 外積=法線ベクトル
"
dot(c(x,y,z),nv)==0
9x-8y-12z=0 平面の式
z=(9x-8y)/12
fn <- function(x,y) 9*x - 8*y # 最大値でいいので/12は無視
x=cosθ, y=sinθとおいて
"
fn <- function(theta) 9*cos(theta) - 8*sin(theta)
curve(fn(x),-pi,pi)
(th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
°で表示すると
> th*180/pi
[1] -41.63352
東から南に向かって41.6°の角度が最大の勾配
930:１３２人目の素数さん
20/07/06 06:56:57 IqOckpzP.net
>>885
勾配０の方向のθは（degree表示)
> uniroot(fn,c(-pi,0))$root*180/pi
[1] -131.6335
> uniroot(fn,c(0,pi))$root*180/pi
[1] 48.36646
931:１３２人目の素数さん
20/07/06 07:04:42 IqOckpzP.net
>>885
Wolfram先生によるとθ＝ -2arctan(8/(9+√145)のときが最大とのこと。
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
> -2*atan(8/(9+sqrt(145)))
[1] -0.7266423
> (th=optimise(fn,c(-pi,pi),maximum = TRUE)$max)
[1] -0.726642
まあ、あってる
932:１３２人目の素数さん
20/07/06 09:51:08 yUYT+NI/.net
恥ずかしながら、どう着手したらいいか分かりません...。
小学生レベルの私に解法ご教示ください。
出発地点から峠を越えて目的地に着き、すぐに来た道を通って出発地点に戻った。
行きは6時間半を要し、帰りは7時間半を要した。
出発地点から目的地までの道のりを求めよ。
ただし、峠を上るには毎時6kmで歩き、下るには毎時8kmで歩くとする。
933:１３２人目の素数さん
20/07/06 10:17:02 b/qHWYwf.net
>>888
中学生レベルなら教えられるが小学生に教えるのは難しいかな
934:１３２人目の素数さん
20/07/06 10:22:07 uh4BMQna.net
>>888
出発地点から峠までの道のりをx(km)
峠から目的地までの道のりをy(km)
と置いて式を２つ立て、そこからxとyを求め、x+yを回答する
935:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/06 11:10:10 EjjkoMDB.net
前>>883
>>888
道のりをＬkmとすると、
峠までの道のりlkmと峠から目的地までの道のり(Ｌ-l)kmについて、
行きはl/6+(Ｌ-l)/8=6.5
帰りは(Ｌ-l)/6+l/8=7.5
辺々24倍し4l+3Ｌ-3l=156
l+3Ｌ=156―?
4Ｌ-4l+3l=180
4Ｌ-l=180―?
?+?より、
7Ｌ=336
∴Ｌ=48(km)
936:１３２人目の素数さん
20/07/06 11:22:28 s8I58AGk.net
>>888
これは問題がいやらしいな。
行き帰りでコストが異なる非対称の距離の問題、
それをあえて、身近な坂道で例えて
簡単そうに見せかけている。
出題者のねちっこい性格を表している。
937:１３２人目の素数さん
20/07/06 11:28:58 s8I58AGk.net
>>888
行きの上り 斜面を x km 、 下り斜面 を ykm とする。
（帰りは、この 上りと下りを逆にすればよい）
行きに要した時間より式A、 帰りに要した時間より式B
A. x/6 + y/8 = 6.5
B. x/8 + y/6 = 7.5
見やすいように両辺を 24倍して
A … 4x + 3y = 24 * 6.5
B … 3x + 4y = 24 * 7.5
ここで、 （A + B） とすると
より 7x + 7y = 24 * (6.5+7.5) が得られる。
7 * (x+y) = 24 * 14
(x + y) = 24 * 14 ÷ 7 = 48
答え 48 km
938:１３２人目の素数さん
20/07/06 11:51:46 ET+hu8oz.net
>>888
帰りのほうが長い時間かかっているので帰りのほうが上りの距離が長い
つまり峠の頂点は出発地点に近い側にある
出発地点から峠までの距離と同じ距離だけ峠から下った地点をAとすると、行きに出発地点からAまでにかかる時間と帰りにAから出発地点までにかかる時間は同じ
従って行きと帰りの差1時間は、行きにAから目的地までにかかる時間と帰りに目的地からAまでかかる時間の差
この区間は行きは下りなので時速8km、帰りは上りなので時速6km
例えば48kmをそれぞれの速さで進むと6時間と8時間かかるから2時間差（※）
だから「Aから目的地」は24km(X）ってことになる
ここを行きは3時間、帰りは4時間かけて歩いている
残りの「出発地点からA」は上りと下りが同じ距離であり、行きも帰りも3時間半
例えば上りも下りも24kmずつだとそれぞれ4時間、3時間かかるので計7時間(※）
なので「出発地点からA」上りも下りも12kmずつの計24km(Y）
よって「出発地点から目的地」はXとYを足して48km
また出発地点から峠まで12km、峠から目的地まで36kmなので検算してみると、
行きは上りに2時間下りに4.5時間で計6.5時間、帰りは上りに6時間下りに1.5時間で計7.5時間で合っている
※のところは計算しやすい数値を用いているだけ
939:イナ
20/07/06 12:18:17.93 EjjkoMDB.net
前>>891
小学生は作文の時間に、たとえば感想文とかを書くとき、ちょっと書ける子でも3行60文字ぐらいで詰まる。したがって答案に使う文字数もそのぐらいにしたほうがいい。
940:１３２人目の素数さん
20/07/06 13:20:23.54 b/qHWYwf.net
現実的には48km歩いて直ちに行きと同じペースで引き返すとか無理ゲー
941:１３２人目の素数さん
20/07/06 13:43:20.61 ET+hu8oz.net
鳥居強右衛門レベル
942:875
20/07/06 14:05:23.49 /0aqWtmc.net
補足です
f(x) のn階導函数を求めよ
(1) f(x) =1 /{x(x+1)}
(2) f(x) = cos2xcos4x
943:１３２人目の素数さん
20/07/06 14:14:43.88 uITHUiBq.net
>>898
「n階導函数を求めよ」とかいう問題は一般項を推測できれば帰納法で証明できることが多いよね
もし一般項の推測ができないなら、具体的に f'(x), f''(x), f'''(x), f^(4)(x), … を書いてみれば
誰か推測してくれるかもよ
まさかこの程度の計算もせずに書き込んでいるわけじゃないでしょ？
944:１３２人目の素数さん
20/07/06 14:20:20.67 HPDcrjtp.net
鳥居みゆきレヴェル
鳥居ユキの服なんか持ってないのに･･･
945:１３２人目の素数さん
20/07/06 14:56:04 HPDcrjtp.net
>>888
本問では、峠の両側の勾配に大差ない（平均で見て）と思われる。
場所によって勾配が大きく変わる場合も
「ある場所を上るときの速さは、そこを下るときの速さの 3/4 とする」
とすれば、所要時間は求まる。
(行き)
出 → 峠 2時間
峠 → 目 4時間半
(帰り)
目 → 峠 6時間
峠 → 出 1時間半
946:１３２人目の素数さん
20/07/06 15:13:44.59 cE8uMBSB.net
>>898
(1) 1/{x(x+1)}=(1/x)-1/(x+1) と部分分数分解してから微分し始めるとよい
(2) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
947:888
20/07/06 15:47:33.22 mK7KZ70L.net
皆さま、ご回答ありがとうございます！
理解できるよう内容確認させて頂きます！
948:１３２人目の素数さん
20/07/06 15:59:54.57 qGWlc6nd.net
次の函数の3階導函数を求めよ
① cosxcos3x
②e^x sinh2x (x > 0)
949:１３２人目の素数さん
20/07/06 16:06:32.26 uITHUiBq.net
このスレにもWolfram大先生のテンプレ貼ったほうがいいんじゃね
高校数学の質問スレPart405
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:1番)-4
950:１３２人目の素数さん
20/07/06 16:09:19.43 y/W8tFYs.net
R^nの部分距離空間Aの点aが孤�
951:ｧ点だとします。{a}はAの開集合ですが、違和感があります。{a}が開集合であるということが何かの役に立つんですか？
952:１３２人目の素数さん
20/07/06 16:21:21.76 vZuo8Rqd.net
かつ閉集合でもあるからいいんじゃない
閉かつ開に違和感持ったらp進解析できないよ
953:１３２人目の素数さん
20/07/06 17:09:52.57 FI2iVHF+.net
>>906
{a}は開集合か？と言う問に答えられる
954:１３２人目の素数さん
20/07/06 18:16:54.23 cE8uMBSB.net
>>904
(1) 積→和の公式を用いてから微分し始めるとよい
(2) {e^(3x)-e^(-x)}/2 の形から微分していけばよい。
955:１３２人目の素数さん
20/07/06 18:55:05.17 zrqa/esz.net
（無限）連分数ですべての実数が表記できるというのは、証明は簡単ですか？
956:１３２人目の素数さん
20/07/06 21:00:06.32 uITHUiBq.net
>>910
ググれば出てくるし初等的だけど簡単ではないかも
大体こんな感じか
[ ] をガウス記号とする。
実数 x に対し、 x の連分数 α を以下の「操作」によって再帰的に定める。
操作
a_0 := [x] とする。
x - a_0 = 0 ならば、 α := a_0 として操作を終える。
x - a_0 ≠ 0 ならば、 b_1 := 1/(x - a_0) として、
a_1 := [b_1] とし、操作 A(1) を実行する。
ここで、操作 A(n) は以下のように再帰的に定める。
操作 A(n)
b_n - a_n = 0 ならば、 α := a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n)))))) として操作を終える。
b_n - a_n ≠ 0 ならば、 b_{n+1} := 1/(b_n - a_n) として、
a_{n+1} := [b_{n+1}] とし、操作 A(n+1) を実行する。
以上の操作が有限回で終わるとき、 α は有限連分数であると言う。
そうでないとき、 α は無限連分数であると言い、
α := lim[n→∞] a_0 + (1/(a_1 + (1/(a_2 + ( … (1/a_n))))))
とする。
【定理】全ての実数 x に対し、 x の連分数 α が存在して、 α = x が成り立つ。
（証明の方針）
(1) x が有理数のとき、 α は有限連分数となることを示し、実際に α = x となることを示す。
(2) x が無理数のとき、 α は無限連分数となることを示し、極限値 α は収束して α = x が成り立つことを示す。
957:１３２人目の素数さん
20/07/06 22:07:54.10 fgaeIocv.net
πだとこんな感じ
> pi
[1] 3.1415926535897931
> 3+1/(7+1/(15+1/(1+
+ 1/(292+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+
+ 1/(1+1/(3+1/(1+1/(14+1/(3
+ +1/(3+1/(23+1/(1+1/(1+
+ 1/(7+1/(4+1/(35+
+ 1/(1+1/(1+1/(1+1/2)))))))))))))))))))))))
[1] 3.1415926535897931
958:１３２人目の素数さん
20/07/07 00:30:06.00 yBUx0unO.net
手間はかかるけど証明は自明に近いな
959:１３２人目の素数さん
20/07/07 00:37:20.29 gyGhnLCq.net
2.34567=2+(3+(4+(5+(6+7/10)/10)/10)/10)
みたいな要領で無限小数を無限連分数に表していくのは簡単なんだけど、普通はこの形を連分数とは言わないからなぁ…
分子が全部1で分母の方に連なっていく形の連分数で表そうとすると、それなりに手間がかかるのか。
960:１３２人目の素数さん
20/07/07 01:03:12 UC0vv9cS.net
Farey数列がらみの話ですな。
961:１３２人目の素数さん
20/07/07 01:31:23.54 DRPGbRnk.net
f(x)は[0,∞)で定義された実数xについての関数で、少なくとも1回は微分可能な関数とする。
g(a,x)は[0,∞)で定義された実数aおよびxについての関数で、aでもxでも少なくとも1回は微分可能な関数とする。
I(a) = ∫[0,∞] g(a,x)/f(x) dx
とするとき、I(a)が連続でないようなf(x)およびg(a,x)の例を1つ挙げよ。
962:１３２人目の素数さん
20/07/07 01:41:26 UC0vv9cS.net
f(x)=exp(2πix)
g(a,x)=1/(1/4+a^2)sinc(x/(1/4+a^2))
963:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/07 02:08:51 BoTxtUvK.net
前>>895
>>865(2)
ヒットエンドラン♪
長さ√2/3
傾き(0,1,1)
GHの単位ベクトルは(1/√2)(0,1,1)
体積の微分かな？
964:１３２人目の素数さん
20/07/07 04:45:31 LT2FasoV.net
多様体をユークリッド空間に埋め込んで議論している本は
杉浦 解析入門2
ミルナー 微分トポロジー講義
ギルマン、ポラック 微分位相
965:幾何 以外にありますか？
966:１３２人目の素数さん
20/07/07 05:06:33 8QVuUDNk.net
>>903
ワイの>>893 の説明が一番わかり易いから
他は無視してええぞ。
三角定規を置いて、それを山に見立てる。
左側の斜面の長さを x km、 右側の斜面の長さを y km
として考えたら、一目瞭然。
967:１３２人目の素数さん
20/07/07 06:09:38 8QVuUDNk.net
ゲームの課金ガチャを引いて、
だいたい、どういう中身が出てくるのかを
おおざっぱに紹介する動画を作ろうと思った。
しかし、何個くらい引くのがいいのか分からん。
で、それを一般化すると
以下のような問題に落とし込めたので
どなたかお願いします。その数だけのガチャを引いて紹介動画にします。
・問1.1
全5色のいずれかの色のついた球が
入った巨大な袋がある。
（袋は巨大であり、大量の数の球が入っている）
その5色が何色かは分からない。
（ e.g. 例えば、 ｛赤、青、緑、紫, 水色｝ かもしれない)
「袋から球を1つ取り出し、その色を記録し、球を破壊する。
これを繰り返す」
全5色のうち、4色が判明したら終了とする。
4色が分かるまでに、何回の操作が必要か？
（または、何回の操作が必要だと見積もられるか？）
・問1.2
色の数を全100色にして、
100色のうち80色が判明するまで続ける。
その場合は、何回の操作が必要か？
（メモ。 80色が必要なので最低でも80回以上なのは分かるんですが…）
968:１３２人目の素数さん
20/07/07 06:14:50 UC0vv9cS.net
5/5+5/4+5/3+5/4
100/100+100/99+‥+100/21
969:１３２人目の素数さん
20/07/07 07:54:42.82 yR/EvhWJ.net
>>921
5色がどういう割合で入っているのかわかっていないなら計算出来ないと思う
970:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:01:20.77 xPi9MVYZ.net
答えを教えて欲しいです。
１．正常な硬貨を無造作に投げることを2000回続けたとき，表の出る回数の期待度数は1000であることは自明である．それでは，表の出る回数がそこから60回以上ずれる確率を求めよ．なお２項分布の正規分布近似とカイ二乗分布を使う
2.平均がμ=22.0, 分散が未知の正規母集団から大きさ５の標本の特性Ｘの値が
24.3 18.9 23.7 23.0 17.4 であった
(i) このとき, 不偏分散U2を求めよ．
(ii) F が講義資料第８回目（p.8) の式としたときＦの実現値F0を求めよ．
さらに，確率Pr {F >F0}を求めよ．
971:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:06:22.24 hqf5T3vF.net
>>924
＞F が講義資料第８回目（p.8) の式としたとき
考える気失せる
972:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:11:12.21 xPi9MVYZ.net
>>925
すみません。
2の問題は無視して下さい。
973:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:19:21.62 8QVuUDNk.net
>>923
完全にランダムであり、同じ確率です。
割合に関しては、各色はいずれも とても大量の個数が、
同じ割合で偏りなく入っています。
大量の個数なので1万や1億個の球は誤差とします、
よって、袋の中の各色の割合は1億個取り出したとしても、
変わらないものとします。
ひょっとして、条件が不足しているのかな。
もしも条件が必要ならば、
「統計的に95%以上の確率で5色のうち4色を出すには、何回の操作が…」
と読み替えてください。
974:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:20:39.38 8QVuUDNk.net
>>923
>>927の条件をつければ
計算できると思います。
975:１３２人目の素数さん
20/07/07 08:22:01.48 UFb6e8CE.net
>>924
バカだろw
消えろ
976:１３２人目の素数さん
20/07/07 09:07:28 yR/EvhWJ.net
クーポンコレクターの亜種か
977:１３２人目の素数さん
20/07/07 10:37:19 BqvccBWc.net
まぢ意味不
1.10個の球が袋に入っている。このうち3個が赤である。袋から1個取り出したらまた戻す。初めて赤球を取り出すまでにかかった回数をXとする。
(1)P(X=4)を求めよ
(2)確率変数Xの平均を求めよ。（公式を使う）
2.10個の球が袋に入っている。このうち6個が赤である。袋から一度に5個取り出したときの赤球の個数をXとする。Xの確率分布表を書きなさい。（例3のようにX=kのとりうる範囲に注意）
978:１３２人目の素数さん
20/07/07 11:07:50 gyGhnLCq.net
>>931
1.(1) 1~3回目が赤以外かつ4回目が赤。(7/10)^3*(3/10)
1.(2) 使うべき公式とやらが書いてないので、どんな解答を要求されているのかわかりません。
2.P(X=k)=6Ck*4C(5-k)/10C5 で k=0~5 でかけばよい。
979:イナ
20/07/07 11:39:31.32 BoTxtUvK.net
前>>918
>>921
七夕🎋なんで五色といえば、
赤、白、黄色、青が緑、黒か紫の５つ。
期待値の問題じゃないかな。
五色の玉が1/5ずつ袋に入っているとして1回目なにを引こうが1色わかる。
2回目2色目がわかる確率は4/5
３回目3色目がわかる確率の3/5と、
4回目4色目がわかる確率の2/5をかければどうだ。
4×3×2/5^3=24/125
2割弱か。そんなもんだろ。
980:１３２人目の素数さん
20/07/07 11:42:01.50 8QVuUDNk.net
>>933
計算機、スプレッドシートで手計算してみる！
981:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/07 12:09:13 BoTxtUvK.net
前>>933
>>921
4(24/125)+5(24/125)(1/5+2/5+3/5)+6(24/125)(……
7ぐらいまでやればわかるかも。
982:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:14:22 LSsU1iyt.net
期待値なら即答されてる
983:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:16:41 8QVuUDNk.net
アカン、スプレッドシート？が
アホすぎて計算ができひん。
動作の軽いプログラミング言語を使った
再帰関数が必要だわ、書ける人は >>921を100色でやってみてほしい。
i 回の繰り返しで、
100色のうち、80色目の色が揃ったら停止させる。
i が いくらの時に80色目が出たか。
そのスクリプトを10周くらい回して、その平均値を教えてクレメンザ。
984:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:28:25 8QVuUDNk.net
>>922 が答えなの？
ありがとうございます！
計算してみました。
式 100/100+100/99+‥+100/21
= 80個の総和 = 1 + 1.01 + 1.02 + ... = 158.9.... ≒ 159
つまり、159回 やったら100色のうち、80色は
確率的には判明するんですね。 ありがとうございます。
ガチャを159回やります。
985:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:34:24 LSsU1iyt.net
いや、だから期待値なら>>922が即答してるよ
期待値の計算を書き込もうと思ってスレ見てみたらすでに書かれてた
確率pで起きることは何回の試行で起きるかという期待値は1/pで与えられる
5色の場合、
1色目は何色でもいいので確率1だから1回で出る
2色目は残りの4色どれかが出る確率が4/5だから5/4回、3色目は5/3回、4色目は5/2回
合わせて1+5/4+5/3+5/2=77/12
5色全部出るまでの期待値はさらに5回
986:１３２人目の素数さん
20/07/07 12:56:15 8QVuUDNk.net
>>922 >>939
サンクス！！
・5色のうちの4色 6.4 回
・10色のうちの8色 14 回
・50色のうちの40色 79 回
・100色のうちの80色 159回
・500色のうちの400色 803回
8割の色を出すには、色数 x 1.61 個 ほど
引けばいいようです。
987:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/07 12:59:13 BoTxtUvK.net
前>>935
７回。
988:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:07:49 bx7umG9D.net
>>921
シミュレーションしてみた。
> sim <- function(n=5,m=4){ # n色のうちm色判明�
989:ﾅ終了 + record=NULL # 記録された色 + color=0 # 記録された色の種類 + count=0 # 試行回数 + while(color!=m){ # m色記録されないなら + count=count+1 # １個取り出して + record=unique(append(record,sample(n,1))) # 記録に追加して重複抹消 + color=length(record) # 記録された色の種類 + } + return(count) # 試行回数を返す + } > > mean(replicate(1e6,sim())) # 百万回繰り返して平均を求める [1] 6.414439 >
990:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:12:25 bx7umG9D.net
>>924
１． 単に足し算して求めた
> sum(dbinom(c(0:(1000-60),1060:2000),2000,0.5))
[1] 0.0077771189019787117
991:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:26:21 bx7umG9D.net
>>924
正規分布近似
> n=2000
> p=0.5
> mu=n*p
> sd=sqrt(n*p*(1-p))
> pnorm(1000-60,mu,sd)+pnorm(1000+60,mu,sd,lower=FALSE)
[1] 0.0072903580915356404
カイ二乗分布を使うという記述の意味がわからん。
992:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:31:59 bx7umG9D.net
>>937
> mean(replicate(1e4,sim(100,80))) # １万回繰り返して平均を求める
[1] 158.953
993:１３２人目の素数さん
20/07/07 13:36:00 bx7umG9D.net
>>945
> n=21:100
> sum(100/n)
[1] 158.963786
わりといい線いっている。
994:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:06:09.05 bx7umG9D.net
>>931
(1) 幾何分布なのでdgeo(4-1,3/10)
(2) p=3/10 で期待値の公式は1/p=10/3
(3)超幾何分布なので
> data.frame(X=0:5,Pr=dhyper(0:5,6,4,5))
X Pr
1 0 0.00000000000
2 1 0.02380952381
3 2 0.23809523810
4 3 0.47619047619
5 4 0.23809523810
6 5 0.02380952381
995:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:26:47 bx7umG9D.net
>>931
百万回のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(3,7))
sim <- function(){
ball=0
count=0
while(ball==0){
count=count+1
ball=sample(bag,1)
}
return(count)
}
re=replicate(1e6,sim())
> mean(re==4) # (1)
[1] 0.102998
> mean(re) # (2)
[1] 3.338686
996:１３２人目の素数さん
20/07/07 14:35:25 bx7umG9D.net
>>931
２．のシミュレーション解
bag=rep(1:0,c(6,4))
sim <- function(x) sum(sample(bag,5))
re=replicate(1e6,sim())
table(re)/1e6
1 2 3 4 5
0.024026 0.237994 0.476124 0.238167 0.023689
997:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:40:26 8QVuUDNk.net
>>941-946
みなさん、ありがとうございます。
数行でかけるんですね。
こっちは スプレッドシートを500行 並べて
総和 SUM（A:B） と 総乗 PRODUCT(A:B) して
>>940 の値を求めた。
1.61 ？ くらいに漸近するような感じ
998:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:43:24 8QVuUDNk.net
>>950
1.6 あたりに漸近するんだけどさ。
ln (e !) x (a/b) ! = 1.63789 に近づいていくのかな。
999:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:51:31 8QVuUDNk.net
>>921 の問題
>>922 が一瞬で答えてくれた。
色の数n を増やして
実際に計算してみると
>>940 のように おおむね 1.6+ あたりへ
漸近していくのが見て取れる
5色のうち4色 →
10億色のうち8億色と 色数を大きくしていくと
ln (e!) x (a/b) ! = 1.63789......
に漸近するんかな？
1000:１３２人目の素数さん
20/07/07 15:56:43.91 8QVuUDNk.net
>>942
すんません。
もっと大きな数
10億色のうち8億色 とか 10兆色のうち8兆色で
計算していただけませんか！
おそらく、 10兆 x 1.63789 回になる
1001:１３２人目の素数さん
20/07/07 16:04:51.88 8QVuUDNk.net
ln (e!) x (a/b) !
↑ 根拠はないけど、
電卓いじってたらこの数式が頭に浮かんだ。
全a色の球が入った巨大な袋から、
取り出して色を記録していって、b色が判明するのに必要な
試行回数の期待値。
a（およびb）が 非常に大きい整数であれば、
a x {ln (e!) x (a/b) !} 回
�
1002:ﾌような気がする。
1003:A欄既卒
20/07/07 16:20:10.61 8QVuUDNk.net
大学で 「確率」とか「解析学」を
履修した理系の人たち、いませんか？
>>921 → >>922 で問題は解けて納得したけどさ。
>>940 から俺が閃いた 漸近する値 についてのナゾの式
（>>951 および >>952） の内容は正しいのか？
間違っているなら、「漸近する値が間違っているぞ」
という反例を挙げて欲しい。
10兆色のうちの8兆色 とかで計算してさ。
1004:１３２人目の素数さん
20/07/07 16:43:48 bx7umG9D.net
>>940
１０００色までやってみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
線形回帰で係数をもとめたら 1.609356
> # n種類のガチャからm種類を集めるまでの期待値
> collector <- function(n=100,m=80,print=TRUE){
+ library(gmp)
+ x=(n-m+1):n
+ x=as.bigq(x)
+ y=sum(n/x)
+ if(print) print(y)
+ return(asNumeric(y))
+ }
> collector(5,4)
Big Rational ('bigq') :
[1] 77/12
[1] 6.416666667
> collector(100,80)
Big Rational ('bigq') :
[1] 10075468010284923492783367185945796008025/63382159299738615604121644486647548688
[1] 158.963786
> n=1:1000
> r=0.8
> y=sapply(n,function(x)collector(x,round(r*x),print=F))
> plot(n,y,bty='l',col='gray')
> lm=lm(y~n) ; lm
Call:
lm(formula = y ~ n)
Coefficients:
(Intercept) n
-1.941193 1.609356
1005:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:11:00 bx7umG9D.net
>>955
10億色のうち8億色でやってみた
> collector(1e9,8e8,F)
[1] 1609437910
１兆でやろうと思ったら
> collector(1e12,8e11,F)
Error: cannot allocate vector of size 5960.5 Gb
と怒られたｗ
1006:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:22:49 wjRMaac8.net
内田伏一の集合と位相の問題8.7が分かりません。集合Eの巾集合をXとする。写像φ:X->Xが包含関係による順序を保つ写像であれば、Eの部分集合E_0でφ(E_0)=E_0となるものが必ず存在することを示せ。
1007:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:24:30 wjRMaac8.net
E_0をφ(A)⊂Aとなるような全集合の共通部分とします。するとφ(E_0)⊂E_0が成り立つことまでは分かりました。等号が成り立つのはなぜですか？
1008:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:43:00 xkZAJeQx.net
φ(A)⊂Aなら
φ(φ(A))⊂φ(A)
となりφ(A)も方程式φ(X)⊂Xを満たす集合。
しかしE_0はかな方程式を満たす最小集合
1009:１３２人目の素数さん
20/07/07 17:53:41 wjRMaac8.net
ありがとうございました。
1010:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:09:06.17 7vxztQCR.net
>>808 の計算
正n角形Sの頂点を S_k（cos(2kπ/n), sin(2kπ/n)）
正(n+2)角形Tの頂点を T_k（cos(2kπ/(n+2)), sin(2kπ/(n+2))）
とおく。
辺S_{k-1}S_k と 辺T_{k-1}T_k の交点をU
辺S_{k-1}S_k と 辺T_k T_{k+1} の交点をV
とおく。
Uは辺T_{k-1}T_k 上にある。 ↑u = (1-L)↑t_k + L ↑t_{k-1},
Vは辺T_k T_{k+1}上にある。 ↑v = (1-m)↑t_k + m ↑t_{k+1},
U,Vは辺S_{k-1}S_k にある：
↑u・↑s_{k-1/2} = ↑v・↑s_{k-1/2} = cos(π/n),
ここに ↑s_{k-1/2} = (↑s_{k-1} + ↑s_k)/(2cos(π/n)),
これを解いて
L = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k-1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
m = {cos(π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)}
/ {cos(2(k+1)π/(n+2)-(2k-1)π/n) - cos(2kπ/(n+2)-(2k-1)π/n)},
△(U T_k V) = (1/2)UT_k・VT_k sin(∠UT_kV)
= L m * (1/2)
1011:T_{k-1}T_k・T_kT_{k+1} sin(∠T_{k-1} T_k T_{k+1}) = L m *△(T_{k-1} T_k T_{k+1}), ここで T_{k-1}T_k = T_k T_{k+1} = 2sin(π/(n+2)), ∠(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = π - 2π/(n+2), より △(T_{k-1} T_k T_{k+1}) = 2{sin(π/(n+2))}^2 sin(2π/(n+2)),
1012:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:12:12.43 7vxztQCR.net
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
1013:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:50:07.32 xkZAJeQx.net
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
1014:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:59:46.44 V0zbgviH.net
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
1015:１３２人目の素数さん
20/07/07 20:31:00.79 bx7umG9D.net
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
1016:１３２人目の素数さん
20/07/07 21:17:50.33 YXX3xhBe.net
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
1017:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:30.77 gyGhnLCq.net
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
1018:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:49.04 UGF9ZM36.net
分からない問題はここに書いてね461
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1019:１３２人目の素数さん
20/07/08 01:39:18.47 E7sQrDhL.net
>>962-963
n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854
n>>1 では ～ 5/n^2
1020:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 03:28:31 ODJ2yoWq.net
前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(√3-1)
=2-√3
Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。
1021:１３２人目の素数さん
20/07/08 04:38:30.25 wpJjzlbG.net
>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
1022:イナ
20/07/08 04:53:28.69 CkzpZnuD.net
前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
1023:１３２人目の素数さん
20/07/08 07:34:45.40 I3BoIViR.net
>>967
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1024:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:08:33.01 E7sQrDhL.net
>>966
ディリクレ(1805～1859)の死後、明治～大正時代は
「引きだし論法」だったかも。
1025:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:11:46.16 I3BoIViR.net
>>974
図示しないと気持ちがわるいな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
1026:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:32:40 0bsbQgCs.net
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
1027:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:37:03.05 wpJjzlbG.net
みんな頭いいな。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
1028:１３２人目の素数さん
20/07/08 09:34:26.90 wuJIFs5H.net
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
1029:１３２人目の素数さん
20/07/08 10:16:11 XD7Ql8W/.net
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
1030:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:22:54.39 wuJIFs5H.net
>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？
動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
1031:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:56:09.02 M5YUn+y1.net
X,Yを全
1032:順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？ なりそうな気がしますがどうでしょうか？
1033:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:44:39 AhepFBJk.net
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
1034:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:56:11 I3BoIViR.net
>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
1035:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:58:19 I3BoIViR.net
>>973
赤がイナ芸人の答
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1036:１３２人目の素数さん
20/07/08 13:10:57 Pt4pRb+l.net
そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
1037:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:12:29.85 wuJIFs5H.net
>>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。
点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。
（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。
1038:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:45:28.68 ljE/4Hhb.net
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1039:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:06:41.16 yiO6XJAl.net
lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
1040:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:31:59.19 yiO6XJAl.net
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
1041:イナ
20/07/08 16:30:51.37 5WH5GGpe.net
前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。
おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。
1042:１３２人目の素数さん
20/07/08 16:53:00.60 wuJIFs5H.net
>>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。
1043:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:16:48.79 I3BoIViR.net
>>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1044:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:39:34.25 I3BoIViR.net
>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
1045:１３２人目の素数さん
20/07/08 19:08:18.21 NoIq/b5Q.net
MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1046:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 20:01:55 A4Rmkg0O.net
前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2
1047:１３２人目の素数さん
20/07/09 01:42:21 t0ZWB8zx.net
一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
1048:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:32:24 XFAfLnLw.net
π/3<a<2π/3
1/4
1049:１３２人目の素数さん
20/07/09 07:39:23 dYeNIQef.net
>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1050:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:04:04 lBO5fTHS.net
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
1051:1001
Over 1000 Thread .net
このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 51日 8時間 38分 48秒
1052:過去ログ ★
[過去ログ]
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています