20/06/29 05:06:03.77 LuHy/Alh.net
>>784
C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい
2(√3)^n=2+2^n
右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。
(2/√3)^n=2-2/(√3)^n
n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。
したがって n=2 または n=4 である。
Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。
|XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から
3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60°
p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr
差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q)
r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r
r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq
a[2]=p^2+q^2+r^2
=(3-pq)+(3+pq)
=6
a[4]=p^4+q^4+r^4
=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2
=(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2
=18