20/06/25 22:15:04 ocTjJMbt.net
>>656
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
687:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:21:12 ZOB3qxsf.net
>>653
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
688:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:25:04 joqgUfXO.net
>>655
8/(2+4)+128/(16+32)
689:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/25 22:26:15 H162hOtu.net
前>>610
>>601
y軸も丼鉢といっしょに45°傾け、
y=tで切った残り水の断面積はいくらになる？
半径√tの円を、中心からtの弦で切った欠円の面積だと思うんだけど。
tを0→1で足し集めて残り水の容積が出ると思うんだけど。
690:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:28:16 H9g6cohj.net
10枚のカードで、8888になる確率を尋ねたものです。ありがとうございました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
691:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:36:08.30 pJxwPPea.net
>>657
(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4 , (猫,猫)が0 ということですね。
これら4つの根元事象の確率をこのように定めるということは、つまり佐藤さんが犬を飼っていることを確認したうえで試行を行っているわけで
>>621の条件設定に反するのです。
このように確率を定める場合、1匹目のペットが犬である確率は(1/2)+(1/4)=3/4 , 2匹目も同様に3/4となり
>>621の「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」に反するわけです。
692:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:45:27.49 a4EJWEDG.net
>>653 は明らかに1/2になると思ったのだが、これで意見が割れるとは・・・。
>>657 さんがわかりやすく説明しているように、
（姉、妹）が1/2
（姉、弟）（兄、妹）が1/4ずつ
だと思います。
693:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:41.71 joqgUfXO.net
まぁ意見は分かれるだろ。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やは�
694:阯^えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。
695:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:55.43 a4EJWEDG.net
>>656
「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合は1/3」とのことですので、
「子どもの一人がたまたま娘の同級生で女子であることがわかった場合」も1/3ということでよいでしょうか？
（たまたまという言葉がついているので、>>648 とは異なるのでしょうか？）
696:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:21:21 a4EJWEDG.net
>>664
議論が長くなっているので終わった方がよろしいでしょうか。すみません。
（個人的には、>>653 を1/3とする理屈にはとても不思議に感じるので心残りなのですが・・・。）
697:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:27:07 joqgUfXO.net
>>666
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
698:イナ
20/06/26 01:04:32.76 aMd3Zj61.net
前>>660
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
699:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:22:33.12 0h2AePdI.net
iを虚数単位とする。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
700:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:48:04 /now+Nzk.net
自明解が死ぬほどあるやん。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
701:１３２人目の素数さん
20/06/26 02:01:55 IMq3cxhz.net
そもそも複素整数の定義ってこれであってんの?
702:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:16:08.26 F3NztK4m.net
一晩考えてようやくわかった気がするわ(´・ω・｀)
(1)
まず、>>353 の答えは1/2
4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、
(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。
なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。
(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。
(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
703:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:17:43.25 F3NztK4m.net
>>672
> まず、>>353 の答えは1/2
「>>653 の答えは」の誤りです。
704:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:34:34 R326Stdn.net
nは3以上の自然数で、2の累乗ではないとする。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。
（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。
（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
705:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:35:22 1uISJdvh.net
>>672
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。
条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)が
「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。
だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、
・ 直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、
Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる
とでもいうのか？
ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。
706:１３２人目の素数さん
20/06/26 06:40:47.57 F3NztK4m.net
>>675
うーん。これでもわかりませんか。
Aさんが２つのサイコロをふった。
あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
707:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:22:59 48PsH009.net
>>662
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2
最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ
(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
708:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:20 k8AOi6FK.net
>>664
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。
それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
709:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:53 1uISJdvh.net
>>676
・ Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。
・ Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。
前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
710:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:36:46 1uISJdvh.net
>>677
佐藤さんの例は 1/3 としか解釈のしようがない。
>>679のように余計な条件つけると 1/2 にはできるが、
それはもともとの佐藤さんの例とは問題文が根本的に違う。
711:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:47:19 48PsH009.net
>>675
差があるんだよ
少なくとも1人が女の子であることがどのような方法でわかったかによって変わってくる
A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）
B：両方とも知っている人から「少なくとも1人は女の子」と聞かされた
この二つではもう1人が女の子かどうかの確率は違ってくる
思考実験してみればすぐわかる
二人の子を持つ夫婦を400組用意する
女の子と男の子が生まれる確率が1/2として確率通りに集まったとすると姉妹が100組、姉弟が100組、兄妹が100組、兄弟が100組いることになる
Aの方法で片方を見て女の子であるのは、姉妹100組から100組、姉弟100組から50組、兄妹100組から50組の計200組
このうちもう1人が女の子であるのは姉妹100組だけであるので確率は100/200=1/2
Bの方法で両方とも知っている人が「少なくとも1人は女の子」というのは、300組
このうち2人とも女の子であるのは100組なので確率は100/300=1/3
712:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:54:00 jej8YQEB.net
サイコロ2個のうちの片方を見て奇数だったとき、
それをノーゲームにするかもう片方まで見るか？の違い
713:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:56:47 1uISJdvh.net
>>681
Aが曖昧でダメ。
A_1：どちらか片方を見た。それが上の子なのか下の子なのかは判別がつかない。
A_2：どちらか片方を見た。しかも、それが上の子なのか下の子なのかまで判別がつく。
A_1 なら 1/3 にしかならない。A_2 なら確かに 1/2 になる。しかし、
「 A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）」
という書き方でA_2の意味に確定するとは全く言えない。常識的に考えても、
1人の子供を見たときにそれが女子だったとして、それが上の子なのか下の子なのかまで
そのタイミングで分かるわけがない。つまり、実質的には A の書き方では A_1 の意味であるとしか
解釈できず、ゆえに A の書き方でも 1/3 とするのが妥当。A_2 の意味にしたいなら
ハッキリと A_2 のように書かないとダメ。
714:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:00:56 48PsH009.net
>>679
後者でも1/2だよ
区別がつかなくても別々のサイコロ
偶数偶数が1/4、偶数奇数が1/2、奇数奇数が1/4で出る
1/2の確率で選んだどちらか片方を確認してそれが偶数であるのは（1/4）*1+（1/2）*（1/2）=1/2
片方を確認して偶数で残りも偶数であるのは（1/4）*1+(1/2)0+(1/4）*0=1/4
求める確率は(1/4)/(1/2)=1/2
715:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:01:45 48PsH009.net
>>683
上か下かわからないから>>681のようになるんだけど
716:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:05:27.10 k8AOi6FK.net
ベイズ的に考えてみた。
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）の
事前確率分布が (1/4,1/4,1/4,1/4)
少なくも一人は女子というデータでの尤度は(1,0,1/2,1/2)
事後確率分布∝（1/4,0,1/8,1/8)、
総和が位置になるように規格化すると（1/4,0,1/8,1/8)/(1/4+0+1/8+1/8)=(1/2,0,1/4,1/4)
よって、二人が女子である、すなわち、（姉、妹）である確率は1/2
717:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:06:51.27 1uISJdvh.net
>>685
ならない。>>681の後半部分は条件付き確率の計算の仕方がデタラメ。
「女子である」ことの確認に失敗したケースはノーゲームにしなければ
「 ～～ が 〇〇 だったときの、もう片方が××である確率 」
という条件付き確率は算出できない。>>682で簡潔に指摘されているとおり。
718:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:09:39.74 48PsH009.net
>>687
ノーゲームにしてあるでしょ
姉弟のうちの50組は弟を見てしまうのでノーゲーム
兄妹のうちの50組は兄を見てしまうのでノーゲーム
兄弟はどっちを見てもノーゲーム
719:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:21:10.62 1uISJdvh.net
>>688
こちらが言っているノーゲームとはそういう意味ではない。
(1) 0が書かれたカードと1が書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、0が出る確率も1が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが1なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが0なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある数字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち 0 が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
こちらが言ってる「ノーゲーム」とは(3)の1行目の意味。
つまり、最初に表にしたカードが1のときに、もはやデータを取ることをやめて
2枚をすぐ山に戻して(2)に戻ることを「ノーゲーム」と言っている。
720:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:21:26.74 k8AOi6FK.net
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布が (1/4,1/2,1/4)
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/4,1/4,0)
総和が位置になるように規格化すると（1/2,1/2,0)
よって、犬犬である確率は1/2
721:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:29:18.81 1uISJdvh.net
>>689と全く同じことだが、「0」「1」ではなく「女子」「男子」の方がよかったな。
(1)「女子」と書かれたカードと「男子」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「女子」が出る確率も「男子」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「男子」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「女子」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「女子」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
722:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:29:49.97 48PsH009.net
>>689
それ、全然違うことを計算しているのでは？
佐藤さんのペットの問題での条件付き確率は「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
723:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:31:55 k8AOi6FK.net
ちなみに、
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布を (1/3,1/3,1/3)とすると
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/3,1/6,0)
総和が位置になるように規格化すると(2/3,1/3,0)
よって、犬犬である確率は2/3
724:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:35:19 1uISJdvh.net
>>692
これが全然違うことを計算しているように見えるなら、
条件つき確率が分かってないということ。
男子・女子の例だと、「見かけた1人が女子である」という前提の上での確率なのだから、
データを取る際にも、「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には
データを取らずにやり直すしか解釈のしようがない。
>>>691で言えば、(3)の1行目のようになる。つまり、表にしたカードが「男子」なら、
データを取らずに2枚を山に戻して(2)に戻る(ノーゲーム)ということ。
このように、実際にシミュレーションするときも>>691の(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
725:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:36:04 48PsH009.net
>>691
それを佐藤さんのペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは佐藤さんに新たにペットを2匹飼ってもらうということを見かけた1匹が犬になるまで繰り返した場合に残りの1匹が犬である確率ってことになるよ
726:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:36:41 48PsH009.net
>>694
条件付き確率の場合のノーゲームは条件に合わない場合は除外するってことだよ
727:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:37:36 1uISJdvh.net
全く同じことなので必要ないのだが、一応、「犬」「猫」バージョンも書いておくぞ。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
728:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:40:11 1uISJdvh.net
>>696
だから、>>691でちゃんと、条件に合わない場合はデータを取ってないでしょ。
「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には、データを取っていない。
(3)の1行目のようにね。
そして、N が大きければ k/N は 1/3 に近づく。
729:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:50:42.08 48PsH009.net
>>698
データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
あと>>695は間違ってた、申し訳ない
>>691をペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは見なかったことにして犬を見るまで繰り返すってことになり、
元の問題と全然違うことをやることになる
口説くて申し訳ないがペットの問題を条件付き確率で計算する場合の計算式は、
「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
730:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:54:49.91 1uISJdvh.net
>>699
＞データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
ナンセンス。それでは反復試行にならない。
>>691において、データを取らず、やり直すこともしないなら、
その時点で全ての試行が止まってしまい、それ以上データが取れなくなる。
つまり、君は次のように言っていることになる。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この時点で 全 て の 作 業 を 終 了 す る 。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
これでは反復試行にならない。(3)の1行目で「猫」を引いた時点で終わってしまうからだ。
君は反復試行すら分かってないらしい。どうしようもないな。
731:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:00:24.52 48PsH009.net
>>700
(1)(2)(3)の試行全体を反復すればいいだけだよ
732:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:04:50.46 48PsH009.net
>>700
もうちょっと正確に書くと
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
こういうことだよ
733:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:05:07.64 1uISJdvh.net
>>701
それでは結局>>691と何も変わらないわけで、やはり 1/3 に収束するよ。
何が言いたいんだこの人は。
734:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:07:39.79 48PsH009.net
>>703
すまない >>702に書いておいた
(3)が違う
735:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:09:51.13 1uISJdvh.net
>>702
いや、だからね、これは>>691と言ってることが全く同じでしょ。
「この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いてあるけど、それはつまり
「2枚を山に戻して(2)に戻る」
とだけ書いてるのと一緒だからね。
一応言っておくけど、「データの総数を N として」というのはもちろん
紙にメモされた回数の全体を N としているのであって、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれてないんだよ(メモの前に(2)に戻るから)。
だから、前者の書き方でも後者の書き方でも何も変わらない。
どうしても>>702の書き方でないとイヤならそれでもいいけど、
結局その>>702の試行では 1/3 に収束してしまうわけで、君としてはそれでいいのか？
736:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:19:44.94 48PsH009.net
>>705
>>702でメモに残された(犬の数)/(犬と猫の総数)は1/2になるでしょ
(2)でカードを引いたとき、犬と犬が1/4、犬と猫が1/2、猫と猫が1/4
(3)で1枚めくって猫であるのは(1/4)*1+(1/2)*(1/2)+(1/4)*0=1/2だが記録しない
(3)で1枚めくって犬であるのは同じく1/2だが内訳は犬と犬が1/4、犬と猫が1/4なのでもう一枚めくって記録する犬と猫の数は同数になる
条件付き確率はその条件が起きた場合しか見ないんだよ
737:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:21:35.16 1uISJdvh.net
>>706
その計算は間違っている。
>>702は実際にプログラミングでシミュレーションを組んでみれば分かる。
これは実際に 1/3 に収束する。
738:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:23:07.10 1uISJdvh.net
こちらでも一応、ケチのつかない形の完全版の試行を記述しておく。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
"メモが発生した回数" を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
注意：「メモが発生した回数」を N としているので、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれない。つまり、(3)の1行目は
「表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いているのと全く同じ。
739:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:25:56 1uISJdvh.net
>>702と>>708は言っていることが全く同じなので、どちらでもいいのだが、
この試行は実際にプログラミング組んで実験してみると 1/3 に収束する。
プログラミングが組めないなら、手元で人力で頑張って1000回くらい試してみればいい。
この試行が 1/2 に収束するなんてありえない。これは確実に 1/3 に収束する。
740:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:27:07 k8AOi6FK.net
sim <- function(){ # 1が犬、0が猫に対応
pets=rbinom(2,1,p=0.5) # 0.5の確率で1がでる乱数を2個選んでpetsとする
pet=sample(pets,1,prob=c(1/2,1/2)) # petsから等確率で1個選んでpetとする。
if(pet==1){ # petが１なら
return(sum(pets)==2) # petsの総和が2か否かを返す
}else{ # そうでないなら
return(NA) # NA(Not Available)を返す
}
}
# 100万回シミュレーションして割合=確率を近似
mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
結果は1/2に軍配が上がる
> mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
[1] 0.4997591
741:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:18:27.99 1uISJdvh.net
>>710
こっちでもプログラミング組んでみたら1/2になった。
むかし同じ問題で実験したときは1/3だったはずだが、なぜだ！
742:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:27:03.86 nrysIALE.net
>>669
存在しない。
まず(x,y,z)がすべて自然数の場合は4行目の前提により存在しない。
自然数の3乗は自然数であり、純虚数の3乗は純虚数である。
(x,y,z)のうち1つが純虚数のとき、自然数２つの和または差が純虚数となりそのようなものは存在しない。
(x,y,z)のうち2つが純虚数のとき、純虚数２つの和または差が自然数となる。
純虚数の和または差が実数になるのは差が0のときだけだが、自然数の3乗は0でないのでこのようなものは存在しない。
(x,y,z)すべてが純虚数のとき、それぞれを3乗すると-in^3または+in^3の形になる。
両辺をiで割り必要ならば移行して整理すると、自然数a,b,cを用いて a^3+b^3+c^3=0 または a^3+b^3=c^3 のどちらかの形に変形できる。
いずれの場合もこれを満たす数は存在しない。
>>674
(1)a=0 とすると 2^(km+1)=n^m となる。左辺の素因数はすべて2だが右辺は2以外の素因数をもつため矛盾する。
(2)2^{1/(m+a)}=11/(2^k)であり、1＜2^{1/(m+a)}≦2 であるから k=3
このとき (11/8)^(m+a)=2 から (11/8)^m≦(11/8)^(m+a)＜(11/8)^(m+1) であるが (11/8)^2<2<(11/8)^3 のためこれを満たすのは m=2
このとき 1/a=log_(128/121)[11/8]
ここで (128/121)^5=34359738368/25937424601<11/8=1.375<4398046511104/3138428376721=(128/121)^6 であるから p=5
743:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:38:03.49 1uISJdvh.net
(1) 2匹の全容を知っている第三者が「少なくとも1匹は犬」と小出しに教えている状況では1/3
(2)「あなた」が自分の目で片方だけ確認して犬だったという状況では1/2
(2匹に区別がなくランダムに片方を確認する形式でも1/2)
になるようだ。両者をプログラミングで実験すると、そうなっている。
両者に同じ出題をしながら同時並
744:行でシミュレーションするところを想像してみると、 (2)の設定では、確認した動物が猫だった場合は必ず前提から外れて排除になるが、 (1)だとそういうパターンのうちもう片方が犬のものは必ず前提に乗り上げることになり、 しかもそのケースでは猫が混じっているので「両方とも犬」は起こりえないことが(出題者視点では)分かっている。 つまり、(1)の方が(2)に比べて猫が混じっている出題が通過しやすくなり、「あなた」にとって不利になる。 別の言い方をすると、(2)では「自分の目で確認して犬だった」という前提によって 猫が混じっている出題を事前にある程度排除できているので、(1)より少し有利になる。 また、(2)については、「1匹目を目で確認した」とか「2匹目を目で確認した」とかでなく 「区別がない2匹からランダムに片方を確認した」という形式でも同じ理屈が通用して、 (1)より(2)の方が有利になる。 と考えると、(1)と(2)が少なくとも同じ確率にはならないことは明確になるか。 なんにせよ、すまんかった。
745:１３２人目の素数さん
20/06/26 11:50:28 k8AOi6FK.net
>>708
"
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
"
cards=rep(0:1,1e4) # 0：猫 1:犬のカードが1万枚
"
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
"
sim <- function(){
drawn=sample(cards,2) # 2枚のカードを引き
index=sample(2,1) # 2枚の中から1枚を
turned=drawn[index] # 表のカード
hidden=drawn[-index] # 裏のままのカード
"
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
"
if(turned==0){ # 表のカードが猫0なら
res=NA # 返り値にNA(Not Available)を
}else{ # そうでない（表のカードが犬1なら
res=hidden # 裏のままのカードの記載を返り値に
}
return(res)
}
"この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
メモが発生した回数 を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
"
M=replicate(1e5,sim()) # １０万回繰り返して
N=sum(!is.na(M)) # 返り値がNAでない（＝メモが取られた)回数をNとする
k=sum(M,na.rm=TRUE) # 返り値が犬1である個数を返す
k/N
実行結果は、
> k/N
[1] 0.4981091
746:１３２人目の素数さん
20/06/26 12:12:49 /now+Nzk.net
ね、水掛け論になるでしょ？ww
747:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:31:21.50 /T8TwJiQ.net
Nを自然数の定数とする。
n≦Nにおいて不等式 0 < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をa[n]とおく。
同様に、n≦Nにおいて不等式 1/(n+1) < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をb[n]とおく。
極限l im[N→∞] b[n]/a[n] を求めよ。
748:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:47:00.22 vWIavpz8.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
東大院試2018
749:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:52:35.56 /now+Nzk.net
>>716
メチャメチャ
750:１３２人目の素数さん
20/06/26 14:13:29.51 wF3i1P2Q.net
神野友亜いる？
751:イナ
20/06/26 15:34:24.79 KRtQ4T4I.net
前>>610
>>621
1か🤦♂1が間違ってるね。
1/3じゃない。
理由は題意。
ペットが犬である確率は50%だから、
確率は1/2
∴示された。
752:イナ
20/06/26 15:56:29.60 KRtQ4T4I.net
前>>720アンカー訂正。
前々>>660
753:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:06:41.11 k8AOi6FK.net
>>621
これの問４を改題して
拳銃を一発撃ったときに、狙った相手を撃ち殺す確率は、
Ａは 1/3、Ｂは 1/2（50%）、Ｃは 1/1（100%）とします。
なお、この確率は、全員が知っているものとします。
拳銃を撃つ順番は、Ａ、Ｂ、Ｃの順番で、以降は最後の一人が生き残るまでこの順番を繰り返すものとします。
Ａ、Ｂ、Ｃは拳銃を撃つときに誰を狙っても良いこととします。ただし、一発で二人を狙うことはできません。
Ａ、Ｂ、Ｃの生き残る確率を求めなさい。
とするとどうやって解くのだろう？
シミュレーションしてみたら、A:1/2 B:1/6 C:1/3になった。
解析解は賢者にお任せします。
754:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:13:47.26 k8AOi6FK.net
>>720
ドッグフードを食べる猫やテレビから聞こえた犬の鳴き声の可能性が考慮されていないから、不合格！
755:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:16:27.74 k8AOi6FK.net
>>722
シミュレーションのコードはここ
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:49番)-50
１００万回のシミュレーション結果は
> k=1e6
> re2=replicate(k,f2())
> apply(re2,1,mean)
[1] 0.500167 0.167806 0.332027
756:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:10:20.01 mmW28Nrs.net
>>722
狙う対象に自分を含むケースは無いのだろうか
自分が最も生存できるようにとの前提がないし
757:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:34:08.20 pucURpis.net
>なお、この確率は、全員が知っているものとします。
これは自己生存確率が最大になるように行動する、という意味と解釈してプログラムした。
758:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:53:24.24 F3NztK4m.net
>>715
数学的に明確な表現ならば、水掛け論になってもそこで終わらずに結論が出るというのは数学版の特徴だと思いました。
今回、以下の数学的な命題
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合、二匹とも犬である確率は1/2である。」
を私がすぐに提示できればよかったのですが、色々な例を出して混乱を生じさせてしまいました。
しかしれそれによって私の理解が深まったところはありました。
759:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:54:13.44 F3NztK4m.net
「佐藤さんが一匹の犬を連れているのを見た場合に、二匹とも犬の確率は？」
上記についてですが、素直に解釈すると、
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」
と考えることができるので1/2になると思われます。
ただし「佐藤さんが一匹の犬を散歩させているのを見た場合」というような状況で、
「犬を散歩させることはあっても猫を散歩させることはない」というような前提を置くと、
単に犬が一匹以上いるということ以上の情報はないので確率は1/3になると思われます。
（あまり確信をもって言っているわけではありませんが・・・。）
760:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:55:06.14 F3NztK4m.net
もともとの問題（>>621）の問2ですが、
論拠1は、問題Aが数学的に明確な言葉で書かれているので正しいです。
論拠6は、論理的に正しいです。
論拠2、論拠3は、問題B、問題Cが数学的にあいまいな言葉で書かれているので、色々な解釈をとることができますが、まあ多少のことに目をつぶって自然な解釈をすると正しいと言えます。
論拠4ですが、問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4A)「ペットのうち少なくとも一匹は犬である」という意味で解釈をすると、問題Dの答えは1/3になるので、論拠4は正しくありません。
問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4B)「佐藤さんの家から一匹のペットの鳴き声が聞こえ、それが犬の鳴き声だった」という解釈をすると、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」と同じになりますので、問題Dの答えは1/2になります。
しかし、後者の解釈をとった場合は、論拠5が正しくなくなります。
論拠5の中の場合分けの中の「一匹の犬の鳴き声が聞こえた場合」は、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」という意味ではありません。(解釈4A)の意味に近いものになります。
したがって、
(解釈4B)をとった(D)の答え <= (C)の答え
にはなりません。
以上でどうでしょうか。
761:１３２人目の素数さん
20/06/26 18:54:22.72 nrysIALE.net
>>729
どうかと言われても、その返答を企業の面接担当がどう評価するかなどわかるわけもない。
少なくとも、数学板のスレに書き込むような数学にある程度の興味を持っている人間相手にすら全員一律に納得させるのは難しい
ということはここまでのやり取りでわかるだろう。
いわゆる人によって何が正しいかの感じ方が色々ある問題なので、あなたがそれで正しいと思うのならそれがあなたにとっての正しい解答でしょう。
企業の出題意図としては「正しい回答を出せるか」よりも「相手を納得させられる回答をできるか」を問う
762:問題のように思われますので 解答に説得力があるかどうかを評価点とするのが妥当かと思いますが、その評価方法は数学の話ではないので出題者に聞いて下さい。
763:１３２人目の素数さん
20/06/26 19:52:28.94 k8AOi6FK.net
狙撃成功率しらないとして、相手をランダムに選んで（但し、自分自身は狙撃しない）でシミュレーションしてみたら
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:51番)
A、B、Cの生存確率はほぼ均一になった。
> RandomDuel(1/3,1/2,1)
[1] 0.33318 0.33410 0.33272
ちなみに狙撃成功率が全員１とすると
> RandomDuel(1,1,1)
[1] 0.00000 0.49837 0.50163
Aは必ず撃たれて死亡するという当然の結果になった。
764:１３２人目の素数さん
20/06/26 20:17:37 +EkUCPkX.net
(Case AB)A,Bだけが健在で、手番がAの場合。
この状態から、Aが勝つ確率=1/3+(2/3)(1/2)(1/3)+{(2/3)(1/2)}^2(1/3)+...=1/2
(Case BA)A,Bだけが健在で、手番がBの場合。
この状態から、Bが勝つ確率=1/2+(1/2)(2/3)(1/2)+{(1/2)(2/3)}^2(1/2)+...=3/4
(Case AC)A,Cだけが健在で、手番がAの場合。 この状態から、Aが勝つ確率=1/3
(Case CA)A,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case BC)B,Cだけが健在で、手番がBの場合。 この状態から、Bが勝つ確率=1/2
(Case CB)B,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case CAB)全員健在で、手番がCの場合
CがAを撃てば、CaseBCに移行。Bが勝つ確率=1/2なので、Cの勝つ確率は1/2
CがBを撃てば、CaseACに移行。Aが勝つ確率=1/3なので、Cの勝つ確率は2/3
従って、CはBを撃つのが妥当(※)で、Cの勝つ確率は2/3
(Case BCA)全員健在で、手番がBの場合
BがAを撃ち、当たれば、CaseCBに移行し、C必勝。Bの勝つ確率0
BがCを撃ち、当たれば、CaseABに移行し、Aの勝つ確率は1/2なので、Bの勝つ確率1/2
Bがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseCABに移行。前述の通り、CaseCABになったとき、Bの勝つ確率は0が妥当
Bの最善手は、Cを狙うことで、この時の勝つ確率は、(1/2)*(1/2)=1/4
765:１３２人目の素数さん
20/06/26 20:18:12 +EkUCPkX.net
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがBを撃ち、当たれば、CaseCAに移行し、C必勝。Aの勝つ確率0
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12がこの時のAの勝つ確率
つまり、このゲームにおいて、Aの第一手の最善手は、わざと外すこと。
A:B:Cの勝率 = 5/12:1/4:1-(5/12+1/4) = 5/12 : 3/12 : 4/12 が妥当な勝率(比)と思われる。
766:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/26 20:38:13 KRtQ4T4I.net
前>>720
>>723そんな題意にないことを想定せないかんような入社試験は機能してないだら？
1で答えが出てしもて2以降に触れんのはどうだかいね？ と採否でだれかとてんびんに掛けられたら、あるいはとは思うけども。
767:１３２人目の素数さん
20/06/26 21:29:34.02 48PsH009.net
あんた三河の人だったんか
768:１３２人目の素数さん
20/06/26 22:19:46.57 /now+Nzk.net
一手目のAの戦略がミソだな
769:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/26 22:44:51 KRtQ4T4I.net
前>>734
>>735そうでもないよ。
国一沿いのトイザらス行ったことはある。
770:１３２人目の素数さん
20/06/26 23:45:57.18 F3NztK4m.net
>>733
わかりやすくて見事な解答なので何度も読み返してしまいました。
こういう説明ができるようになりたい。
私が計算したときは、Aがわざと外すに気が付かず、生き残る確率は、
B ＞ A ＞ C
の順番になってました（計算ミスしているかもしれないので詳細は省略（笑））
トップだと思っていたBは実は最下位だったのですね。
771:イナ
20/06/27 02:24:56.12 OMuVACiF.net
前>>737
>>601
y=x^2をy軸について回転させた容器の水のx≧0側半分、容積π/4の物体を、
平面y=xが7:1に分け�
772:驍ｱとが示せれば、 (π/4)(1/8)=π/32 π/2-π/32=15π/32
773:１３２人目の素数さん
20/06/27 06:28:55.24 AZV4v9kW.net
わざと外すというのは狙撃確率が固定されているのでルール違反の気もする。狙撃手が選べるのは誰を狙うかだけが前提の気がするんだが。
コインの表の出る確率が1/2の問題に１回目は表を出しましたと言われた気がした。
774:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:07:00.70 ZrO1xjX+.net
>>740
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、...」「誰を狙っても良い」「一発で二人を狙うことはできない」と書かれているだけなので、ルール上は、わざと外す（誰も狙わずに撃つ）はOKと思われる。
この問題をAIが解けるかという観点で考えてみると、
ルールのスキマを見逃しやすい（今回の例だと「順番に誰か一人を狙って撃つ」と勘違いしてしまう）のはむしろ人間の弱みで、その点はむしろAIの方が強い。
一方で、拳銃を撃つ行為にはわざと外すという行為が可能であり、その行為には失敗がないこと、を知っている必要がありそこはAIが弱いところか。
775:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:07:04.19 AZV4v9kW.net
>>733
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
AがCを撃ち殺す確率は1/3なので
AがCを撃ち殺したのちにBも撃ち殺して生き残る確率は1/3*1/4=1/12 -----(1)
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12 -----(2)
Aの生存確率は(1)+(2)=6/12=1/2になる気がするんだが。
776:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:10:20.02 AZV4v9kW.net
>>741
狙撃手Cにはわざと外すという選択肢がないのだが。
777:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:31:04 AZV4v9kW.net
>>734
ドッグフードを食べていたのは、
犬でも猫でもなくて飼い主の可能性も考慮というレスを期待していたのに。イナ大先生の芸風にほころびがｗ
778:イナ
20/06/27 10:01:57.67 OMuVACiF.net
前>>739
>>597
5分後のＸの水面の高さは5/18
このときＹの水面の高さは、
(5/18)×6=30/18=5/3
満杯になると、
(5/3)×(15/5)=5
高さの比はＸ:Ｙ=1:5だから、
底面積の比はＸ:Ｙ=5:1
ＹをＸの中に置くとＸの底面積は4になるから、
5:4=15:12
∴12分
779:１３２人目の素数さん
20/06/27 10:59:49.17 7F1KO1OI.net
任意の自然数kに対して、
(1/2){(m+n-1)^2+(m-n+1)}=k
を満たす自然数の組(m,n)がただ1組存在することを証明せよ。
またk=1010*2021のとき、(m,n)を求めよ。
780:１３２人目の素数さん
20/06/27 12:03:16.41 rTsmeJAV.net
∀k∈N ∃!x,y∈N
2k = x^2+y,
x≡y (mod 2),
y∈[x^2-x+2, x^2+x]
781:１３２人目の素数さん
20/06/27 12:21:36 aGX51zSu.net
>>746
xy平面の第1象限に含まれる格子点に以下のルールで順序を与え点列とする。
(i)座標の和が小さい点が先
(ii)座標の和が等しい点同士はx座標の小さい点が先
すなわち
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),……
のように並ぶ。
この点列のk番目の座標を(m,n)とすると>>746の条件を満たす。
k=1010*2021のとき、(m,n)=(2020,1)
座標の和に関する群数列として求めるのがよいと思う。
782:１３２人目の素数さん
20/06/27 12:49:09.64 VhLHRJfV.net
自分で思いついた問題で解答もわからない もしかしたら有名題かもしれない
pを５以上の素数とする
正p角形のある相異なる４つの頂点を順にA,B,C,D,とし、
AとC, BとDをそれぞれ結んだときにp角形の内部にできる交点をＥとする。
先に選んだA,B,C,Dと少なくとも一つの点が異なるように相異なる４点A',B',C',D'を選びなおし
同じように対角線の交点をE'とするとき、EとE'は一致しない、は正か
また逆に正n角形において同じ操作を行い、任意のA,B,C,D,A',B',C',D'の組み合わせにおいて
E≠E' が成り立つとき、nは5以上の素数である、は正か
もし高校数学レベルでの解き方があれば方針だけでも教えてもらえると嬉しい
783:１３２人目の素数さん
20/06/27 13:16:59.91 aGX51zSu.net
>>749
5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。
後半は成り立たない。反例は正九角形くらいで十分だろう。
784:１３２人目の素数さん
20/06/27 14:01:44 ZrO1xjX+.net
>>742
その場合は、AがCを狙った場合ですので、5/12には2/3をかける必要があり、
(1/4)x(1/3) + (5/12)x(2/3) = 13/36 になります。
AがCを狙って撃つと、外した場合の勝率(5/12)よりも勝率は低くなるので、Aの第一手の最善手はわざと外すことになります。
785:１３２人目の素数さん
20/06/27 15:42:32.16 AZV4v9kW.net
>>738
自分以外の２人の狙撃成功率が高い相手を自動的に選んで狙撃するという方針、
選んだ相手を固定の確率で撃ち殺すとする（わざと外すのはなし）
Aから始めると私のシミュレーションでもA,B,Cの生存確率は
B ＞ A ＞ Cという順になった。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
BやCから始めてのシミュレーション結果は以下の通り
> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
> apply(replicate(1e6,fn(3)),1,mean) # CAB
[1] 0.334521 0.000000 0.665479
786:１３２人目の素数さん
20/06/27 15:48:30.16 AZV4v9kW.net
> apply(replicate(1e6,fn(2)),1,mean) # BCA
[1] 0.416438 0.249936 0.333626
ちなみにこれは>733の
> c(5/12,1/4,1/3)
[1] 0.4166667 0.2500000 0.3333333
に相当。
787:１３２人目の素数さん
20/06/27 15:53:29.63 AZV4v9kW.net
>>751
ありがとうございます。
> apply(replicate(1e6,fn(1)),1,mean) # ABC
[1] 0.361035 0.416868 0.222097
でのAの生存確率と合致しました。
> 13/36
[1] 0.3611111
788:１３２人目の素数さん
20/06/27 16:23:59.86 AZV4v9kW.net
誤答とわかったので >724は撤回します。
デバッグしたプログラムは
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:57番)
>754を分数表示すると
ABCの順に狙撃するとして、狙撃率が高い相手を選んで与えられた確率で撃ち殺す（わざと外すのはなし）
ABCの生存確率は
13/36,15/36,8/36
789:１３２人目の素数さん
20/06/27 17:41:24.87 rTsmeJAV.net
>>750
> >>749
> 5以上の素数は偶数ではないから前半は成り立つな。
偶数でないとき、三本の対角線が内点の同一点を通らないのは示せるの？
790:１３２人目の素数さん
20/06/27 17:50:14.43 T3mh9v/s.net
>>748
確かに、条件を満足する点列の存在は示している
ただ唯一性は示されていない
唯一性を示す方法はないだろうか、ここばかりは点列による視覚的表現では無理だと思う
ところで10102021は(2020,1)になるんだな、上手い
791:１３２人目の素数さん
20/06/27 18:01:59.75 aGX51zSu.net
>>757
点列による視覚表現で示したつもりはなくて、これだけヒント（ほぼ答え）を示せばあとは自力でなんとかなるだろうと思っただけなんだけどな。全部書くと長くなるし。
ご所望の唯一性を説明しておきます。
>>748の (i)(ii)のルールに従えば、任意の異なる2つの格子点に対して必ず順序が定まる。
したがって2つの異なる格子点のうちどちらかが必ず先に来るので、同じk番目に異なる2つの格子点がくることはあり得ない。
792:１３２人目の素数さん
20/06/27 18:14:48.34 rTsmeJAV.net
>>757
>>747に!ついてるやん
793:１３２人目の素数さん
20/06/27 20:10:36.33 AZV4v9kW.net
>>597
計算しやすいように容量を90とする。
ホースAは90/18=5/分 ホースBは90/15=6/分
5分後にXに5*5=25,Yに6*5=30たまっている。
Xの水位を1とすると底面積は25/1=25
Yの水位は6なので底面積は30/6=5
ドーナツの面積は25-5=20でXの20/25=4/5
ホースAなら(4/5)*18分かかるがホースBを使うため
(4/5)*18*(5/6)=12分で満タン。
794:１３２人目の素数さん
20/06/27 20:20:44 wWzRNyRw.net
>>757
一�
795:ﾓ性を示す つまり (m+n-1)^2+(m-n+1) = 2k が自然数m,nに対して成立していたとする このとき x=m+n-1, y=m-n+1 とおくと m,nが自然数であることから x≧y, x+y≧2 が得られる 置き換えにより x^2+y = 2k, つまり y = 2k-x^2 を得るから これをさっき得た2つの不等式に代入して 1 + x(x-1)/2 ≦ k ≦ x(x+1)/2 を得る f(x)=x(x-1)/2 とおくと これは f(x) ＜ k ≦ f(x+1) と同値である 関数fは自然数zに対して f(z+1)＞f(z) を常にに満たすので f(z) ＜ k ≦ f(z+1) を満たす自然数zは一意的に存在する それをz=wとおけば x=w がいえて よって y=2k-w^2 であるから 問題の一意性が示された 解の存在性は逆をたどれば ほとんど明らかである その際は x,yの偶奇が常に一致していることも用いる ■
796:１３２人目の素数さん
20/06/28 05:01:45 TtBokcEN.net
平面上の3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)が同一直線上にないとする。
このとき3点を通る放物線で、直線ax+by+c=0に平行な準線を持つものが存在することを示せ。
797:１３２人目の素数さん
20/06/28 07:23:54 L5YFZupt.net
回転すると「指定の3点を通るx軸に平行な準線を持つ放物線はあるか？」という問題になるので、y=px^2+qx+rに指定の3点をそれぞれ代入して3元1次連立方程式を得る
この連立方程式が不能であるかどうかは3点が同一直線上にないという条件だけでは判定できない
例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
798:１３２人目の素数さん
20/06/28 07:29:09 L5YFZupt.net
ちなみに放物線が存在するかどうかはこんな感じで判定できる
(x_i^2)p+(x_i)q+r=y_i (i=1,2,3)
左辺の係数行列をA、拡大係数行列をAbと書くとするとrank[A]=rank[Ab]のとき、放物線が存在する
普通に不能かどうかを判定するだけです
とにかく準線に垂直な直線を作ってしまうような2点は通れない（放物線の定義に戻って考えればすぐに分かる）のだから、問題が間違っているよ
799:１３２人目の素数さん
20/06/28 07:56:29 i2npjVvm.net
>>740
狙撃をパスすることもできる、を加えれば狙撃手Cの成功率１との整合性はとれただろうね。
800:１３２人目の素数さん
20/06/28 07:58:14 i2npjVvm.net
>>745
15:12の15の算出はどうやる？
801:１３２人目の素数さん
20/06/28 08:38:06 mgFXKfKs.net
>>765
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、Cさんは1/1」と書かれているだけなので、Cが誰も狙わずに撃つ（わざと外す）ことは、現在のルール上でも禁じられていない。
Aの立場になってみると、命がかかった勝負でルールで禁じられていないことをやって、Bから「反則だ！」と言われても、そんなこと知ったことか（こんなときにお前のマイルールを押し付けるなよ）という思いになるだろう。
802:１３２人目の素数さん
20/06/28 12:22:39 gbpUfWje.net
>>763
>例えば(1,2)(1,3)の2点が入ってるともう無理だね、yはxの一価関数なのだから
それ回転が不十分なだけで反例になってなくね？
適当に回転させれば一価にできるだろ
そもそも x = y^2 だって放物線なわけだし
803:１３２人目の素数さん
20/06/28 12:37:50 cOsRqhwR.net
同一直線上にない3点A,B,Cと0でないベクトルnに対し、
A,B,Cを通り、準線がnと垂直なものが存在する
⇔AB、BC、CAのいずれもがnと平行でない。
でないの？
804:１３２人目の素数さん
20/06/28 12:55:31.04 gbpUfWje.net
ん？待てよ
>>762は任意の同一直線上にない3点 A, B, C と 任意の直線 ax+by+c=0 に対する主張なのか？
それなら確かに>>763の指摘通りだが
「ある直線が存在して（つまり a, b, c は A, B, C に依存して決まる）」なら可能だと思うが、ど
805:っちなんだ？ >>762では直線は任意に与えるのか？
806:１３２人目の素数さん
20/06/28 18:11:21.48 DrzpFm0+.net
>>762
回転すると
u = (bx-ay)/√(aa+bb), v = (ax+by)/√(aa+bb),
となる。
準線は v = -c/√(aa+bb) に平行。 (v = 一定)
⊿ = (u1-u2)(u2-u3)(u3-u1) ≠ 0 のとき、3点A,B,Cを通る2次以下の多項式
v = u^2･p + u･q ＋r,
が１つある。(ラグランジュ補間公式)
p = {(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3}/⊿,
q = {(u2u2-u3u3)v1 + (u3u3-u1u1)v2 + (u1u1-u2u2)v3}/⊿,
r = {u2u3(u3-u2)v1 + u3u1(u1-u3)v2 + u1u2(u2-u1)v3}/⊿,
しかし A,B,C が一直線上にあれば直線(p=0)になる。
放物線となるには
p ≠ 0,
(u3-u2)v1 + (u1-u3)v2 + (u2-u1)v3 ≠ 0,
(x3-x2)y1 + (x1-x3)y2 + (x2-x1)y3 ≠ 0,
807:１３２人目の素数さん
20/06/28 18:40:36 eZfGjR8m.net
nを2以上の自然数の定数とし、f(x)=x^n-axとする。
kを自然数の定数とし、|f(1/2^k)-f(0)|>1となるように実数aを定めたい。
aをnとkで表し、lim[k→∞] a をnで表せ。
808:１３２人目の素数さん
20/06/28 19:32:43.48 noUWUAcc.net
>>772
f(0)=0 , f(1/2^k)=2^(nk)-a*2^k から
a*2^k>2^(nk)+1 または a*2^k<2^(nk)-1
a>(2^k)^(n-1)+1/(2^k) または a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k)
nを固定するとき、任意の実数aに対して十分大きなkをとると a<(2^k)^(n-1)+1/(2^k) を満たすようにできる。
したがって、lim[k→∞] が任意の値をとるように実数aを定めることができる。
809:１３２人目の素数さん
20/06/28 19:43:55.11 LVXyGPds.net
全くわからない 助けﾃ…
ある型のコンピュータの故障率は0.001である。1000台使用した時に故障するのが2台以下である確率を求めたい。故障する台数をXとするとXは2項分布である。
(1)求める確率P(X≤2)を2項係数を用いた式で書きなさい。
(2)E(X) を求めよ。
(3)P(X ≤ 2)を(2)の値をλとするポアソン分布で近似して求めよ。（e=2.718で計算し四捨五入して小数第3位まで求めよ。）
810:１３２人目の素数さん
20/06/28 19:49:34.68 DrzpFm0+.net
>>771
の最後の2式（u^2 の係数）は ±2⊿ABC でつよん。
811:１３２人目の素数さん
20/06/28 21:16:29.69 DrzpFm0+.net
>>774
(1)
n=1000, p=0.001 とおくと
P(X=k) = C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
P(X≦2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
= 0.367695425 + 0.368063488 + 0.184031744
= 0.919790657
(2)
E(X) = Σ[k=1,n] k･P(X=k)
= Σ[k=1,n] k･C[n,k]･(1-p)^(n-k)･p^k
= n･p Σ[k=1,n] C[n-1,k-1] (1-p)^(n-k)･p^(k-1)
= n･p
= 1000・0.001
= 1,
812:１３２人目の素数さん
20/06/28 21:32:23.05 DrzpFm0+.net
>>734
わが国のファーストレディはペット用のセサミンを飲んでたらしいよ。
(2016/02/15 衆院予算委)
それを思えば、>>744 のようなレスにも現実味があると思うよ。
813:イナ
20/06/28 22:08:56.28 8MsMdR0j.net
前>>745
>>766
容器Ｙは15分で満水と題意にあります。
814:１３２人目の素数さん
20/06/28 22:38:49.34 wHOzB8YR.net
整数nを十進法表記したとき、どの桁の数も4,7,9のいずれかであり、かつ、4,7,9のいずれも少なくとも1回は現れるという。
このようなn全体からなる集合をSとしたとき、Sの要素で平方数となるものは存在するか。
815:１３２人目の素数さん
20/06/28 22:55:10.55 peOK/gpr.net
797449
816:１３２人目の素数さん
20/06/28 23:21:38.51 RMx/
817:sM/f.net
818:１３２人目の素数さん
20/06/29 01:00:36.92 ASlt7m8R.net
>>778
容器Xにドーナツ状に注入するからY全部への注入時間を使っちゃだめだろ。
819:１３２人目の素数さん
20/06/29 01:15:22.41 ASlt7m8R.net
>>774
> # Rが使えるなら
> n=1000
> p=0.001
> x=0:1000
> # (1)
> pbinom(2,n,p)
[1] 0.91979065715979891
> #(2)
> sum(x*dbinom(x,n,p)/sum(dbinom(x,n,p)))
[1] 1
> #(3)
> ppois(2,1)
[1] 0.91969860292860584
820:１３２人目の素数さん
20/06/29 01:37:14.17 IYp3fSBH.net
半径1の円Cに内接する正三角形△PQRと、C上を動く点Xを考える。
このとき自然数nの定め方によっては、a[n]=|XP|^n+|XQ|^n+|XR|^n
がnのみに依存する値をとることがある（すなわち、C上のどの位置にXがあってもa[n]の値は不変である）。
そのようなnを全て決定せよ。
821:１３２人目の素数さん
20/06/29 02:03:25 ASlt7m8R.net
>>781
総当たりプログラムの練習にして遊んでみた。
library(gtools)
library(gmp)
v=c(4,7,9)
fn <- function(n){
pm=permutations(3,n,v,rep=T)
f <- function(x){
if(all(v %in% x)){
y=as.numeric(paste0(x,collapse = ''))
if(is.whole(sqrt(y))) return(y)
}
}
unlist(apply(pm,1,f))
}
i=1
flg=is.null(fn(i))
while(flg){
flg=is.null(fn(i))
i=i+1
}
fn(i-1)
> fn(i-1)
[1] 797449
822:１３２人目の素数さん
20/06/29 05:06:03.77 LuHy/Alh.net
>>784
C上のどの位置にあっても不変ならば、Xが点PにあるときとXが弧PQの中点にあるときのa[n]は等しい
2(√3)^n=2+2^n
右辺が整数であるから、左辺が整数になるためにnは偶数である。
(2/√3)^n=2-2/(√3)^n
n≧6 のとき (2/√3)^n≧64/27＞2-2/27≧2-2/(√3)^n であるからこの等式は成り立たない。
したがって n=2 または n=4 である。
Xが弧PQ上にあるとき常にa[2]=6,a[4]=18であることを以下に示すが、弧PQ上,弧QR上にあるときも同様である。
|XP|=p ,|XQ|=q , |XR|=r とする。余弦定理から
3=p^2+q^2-2pqcos120° , 3=p^2+r^2-2prcos60°
p^2+q^2=3-pq , p^2+r^2=3+pr
差をとって (r+q)(r-q)=p(r+q)
r+q>0 だから r-q=p すなわち p+q=r
r^2=(p+q)^2=3-pq+2pq=3+pq
a[2]=p^2+q^2+r^2
=(3-pq)+(3+pq)
=6
a[4]=p^4+q^4+r^4
=(p^2+q^2)^2-2p^2q^2+(3+pq)^2
=(3-pq)^2+(3+pq)^2-2p^2q^2
=18
823:１３２人目の素数さん
20/06/29 09:12:57.77 pLxgzLOg.net
関数 f(x) は
x が無理数の時 、f(x) = 0
x が有理数の時、 x = n/m とし、 f(x) = 1/n をとる。
区間 0 < x < 200 で、
x が有理数の時、
f（x） の最小値 とその時のxの値を答えよ。
824:１３２人目の素数さん
20/06/29 09:31:49 XuyQ1NeQ.net
>>787
最小値は存在しない:
mを1以上の整数とするとき
n=200m-1 とおけば 0＜n/m＜200 であるが
f(n/m)=1/n より f(n/m) = 1/n = 1/(200m-1)
よって, xが0＜x＜200の範囲にある有理数であっても
f(x)はいくらでも0に近い値を取ることができる
一方で f(x)=0 を満たす有理数x＞0は定義上明らかに存在しない
つまり f(x)は問題の条件下では最小値を持たないといえる
825:１３２人目の素数さん
20/06/29 12:32:22.91 aQRI+ZrR.net
>>784 プログラム解 > a=2*pi/3 > P=1+0*1i > Q=cos(a)+1i*sin(a) > R=cos(-a)+1i*sin(-a) > b=seq(-pi,pi,len=100) > X=cos(b)+1i*sin(b) > fn <- function(n){ + y=abs(P-X)^n+abs(Q-X)^n+abs(R-X)^n + if(round(min(y),1)==round(max(y),1)) print(n) + } > for(i in 1:1000) fn(i) [1] 2 [1] 4
827:１３２人目の素数さん
20/06/29 14:43:33.97 4ejNywyM.net
>>748
第一象限の格子点(m,n)全体の集合をKと名付けるならば、
Kの各点に一つの番号を付けて、それを一つの無限点列にすることができる。
すなわち、Kはいわゆる可算（countable, denumerable, abzaelbar）集合である。
次の図は、このような番号付けの例を示すものである。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章 §50. 二重級数 p.173 の右図
828:１３２人目の素数さん
20/06/30 04:23:26 ujUIqCoe.net
>>788
ごめんね、おじさん馬鹿だから。
ちゃんと理解して練り直してくるわ。
829:１３２人目の素数さん
20/06/30 10:13:20 ECJqkbpx.net
>>777
2016/Feb/15 衆院 予算委員会
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) 04:11
(大意)
ペット用のはペットボトルに入れて区別しよう････てワケではない。
830:１３２人目の素数さん
20/07/01 00:17:34.35 Auh+B/Ha.net
三角形の２頂点と内心と傍心の４点を通って中心が外接円上にある円の名前はこの中にあるのでしょうか？
URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com)
831:１３２人目の素数さん
20/07/01 03:16:36 LIgN0JWi.net
a,b,c,d,e,fを整数とする。xy平面において、曲線
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey=0
が放物線または双曲線であるとき、この曲線上には無数の格子点が存在すると言えるか。
832:１３２人目の素数さん
20/07/01 10:49:26 d6MZAXch.net
>>790
高木の本の情報はどうでもいいです
833:１３２人目の素数さん
20/07/01 11:24:45 jgItmxWQ.net
>>794
いえない。
例えば、双曲線 x^2-y^2=1 上の格子点は(1,0),(-1,0)の2点だけである。
(x+y)(x-y)=1 を満たす整数の組を考えればわかるだろう。
834:１３２人目の素数さん
20/07/01 11:45:30 1v4yCAZo.net
lim[k→0] ∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx) dx
の極限と積分の順序交換をして良い理由は何でしょうか。
835:１３２人目の素数さん
20/07/01 11:58:56.84 Lxt/l9fd.net
F(x)＝∫[0,x] (sin(t)/t)dt と置くと、A ＝ lim[x→＋∞] F(x) が有限値で存在する。
特に、F(x)は[0,∞)全体で有界である。｜F(x)｜≦C (x≧0) を満たす定数Cを取っておく。
∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx
＝[F(x)exp(-kx)]_0^∞＋k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞]F(x)exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋Ak∫[0,∞]exp(-kx)dx
＝k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx＋A
ここで、M＞0を任意に取ると
｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜
≦k∫[0,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
＝k∫[0,M]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx＋k∫[M,∞]｜F(x)－A｜exp(-kx)dx
≦(A＋C)k∫[0,M]exp(-kx)dx＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)k∫[M,∞]exp(-kx)dx
≦(A＋C)kM＋(sup[x≧M]｜F(x)－A｜)
なので limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ sup[x≧M]｜F(x)－A｜ となる。
Mは任意だから、M→∞ とすると limsup[k↓0]｜k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx｜≦ 0
となり、つまり lim[k↓0] k∫[0,∞](F(x)－A)exp(-kx)dx ＝ 0 となる。よって
lim[k↓0]∫[0,∞] (sinx/x)*exp(-kx)dx＝A
となる。また、A＝lim[x→＋∞] F(x)＝∫[0,∞](sin(t)/t)dt (右辺は広義積分の意味)である。
よって、結果的に�
836:ﾍこのケースでは極限と積分の順序交換が成り立っている。
837:１３２人目の素数さん
20/07/01 16:06:51.60 oUd/gfq5.net
>>796
xかyを１だけずらせば定数項が0になって問題に合う。
838:
20/07/01 23:06:43.00 2hRevtG6.net
前>>778
12分じゃないの？
839:１３２人目の素数さん
20/07/02 00:03:44.92 tFqlB5eM.net
半径Rの円C上に1点Aが固定されている。
Aを1つの頂点とし、Cに内接する正七角形をSとする。
同様にAを1つの頂点とし、Cに内接する正九角形をTとする。
領域「Sの外部 かつ Tの内部」の面積をRで表せ。
840:１３２人目の素数さん
20/07/02 01:49:26 cNqxcU4E.net
めんどいだけ
841:１３２人目の素数さん
20/07/02 20:35:13.51 ceNKIuAv.net
>>794
fはどこにも使わないんでつか
842:１３２人目の素数さん
20/07/03 04:49:32.90 T/Vo2N/T.net
平面にｎ本の直線を引くときに出来る有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
平面にｎ本の直線を引くときに出来る非有界な領域の最大個数をｎで表すとどうなるか？
843:１３２人目の素数さん
20/07/03 08:15:27.89 4ba1V3lf.net
>>804
高校の教科書に載っているようなカス問題が解けないのか
今までの人生で何やってた？
844:１３２人目の素数さん
20/07/03 09:30:36 YHIalzY2.net
n本目の直線を曳くと、
新たにできる交点のうち最外のものよりも外側の部分で仕切られた
非有界な領域が２つできる。
（ただし、すべての直線が平行な場合は１つに減る。）
・n本目が 1～(n-1)本目 のどれに平行でないとき、
新たな交点が (n-1)個でき、それらの間の(n-2)個の線分で
仕切られた有界な領域が(n-2)個できる。
・n本目が 1～(n-1)本目のどれかに平行なとき
平行線の数だけ交点・線分・領域の数が減る。
有界な領域の数（最大）： (n-1)(n-2)/2,
非有界な領域の数（最大）： 2n
845:１３２人目の素数さん
20/07/03 09:50:13 jLhKI4Rq.net
>>805
お前のような書き込みが一番要らんだろう
回答する気がないのに揶揄するだけだから
846:１３２人目の素数さん
20/07/03 12:18:59.25 YHIalzY2.net
>>801
半径R=1 の場合を求め、あとで RR 倍すればよい。
A(1,0)
B( 0.661337323892269, 0.703240293158150)
(cos(40), sin(40))
を頂点とする△_1
C( 0.460960990844761, 0.818927622982359)
D(-0.074276143175737, 0.941092006073824)
(cos(80), sin(80))
を頂点とする△_2
E(-0.319077014266614, 0.897927007599567)
F(-0.785024867306145, 0.526345994193652)
(cos(120), sin(120))
を頂点とする△_3
G (-cos(π/7), 0.388169314943297)
(cos(160), sin(160))
(cos(200), sin(200))
G~(-cos(π/7), -0.388169314943297)
を頂点とする台形(trapezoid)
の面積を求めてたす。
847:１３２人目の素数さん
20/07/03 12:25:59.38 YHIalzY2.net
△_1 = 0.0265805988291735 (2つ)
△_2 = 0.0268429064059905 (2つ)
△_3 = 0.0261815312905293 (2つ)
台形T = 0.0282756761401363
この7つを合計する。
S/RR = 2(△_1+△_2+△_3) + T = 0.1874857491915230
848:１３２人目の素数さん
20/07/03 13:47:50.90 SEzJko/d.net
この問題の解き方、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方
宿題の問題は以下の通りです。
「縦12センチ(3センチ×4)、横20センチ(10センチ×
849:2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3センチ×10センチの大きさの4種類 (ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？ ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、 1. サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、 2. 各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。 (これら1.、2.の条件を無視した詰め方をすると、 「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。 また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする (今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。 ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」 という宿題です。 回答宜しくお願い致します。
850:１３２人目の素数さん
20/07/03 13:53:33.56 l9EAO2Py.net
>>810
マルチポストな上に宿題丸投げとは驚いた
851:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:05:04.37 1bUTMl+p.net
6x6=36
8x8=64
10x10=100
36+64=100
これって、整数論か文字式で合理的な理由説明できる? それともただの偶然?
852:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:15:17.85 l9EAO2Py.net
>>812
(6, 8, 10) はピタゴラス数だから
原始ピタゴラス数 (3, 4, 5) の2倍
ちなみに、
n^2 + (n+2)^2 = (n+4)^2
を満たす n は 6 と -2 のみ
853:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:18:08.61 9bCtHQa7.net
>>812
ピタゴラス数でググれ
何を偶然と呼ぶのかが問題だけど
854:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:34:16.95 1bUTMl+p.net
中一で習うような(a+b)^2とかの式でキレイに変形してみたら当たり前だよねって説明出来るか否かかな。
>>813,814を検索してみて
ピタゴラス数を作る公式は上の式とかに似てますね。
855:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:39:53.26 lBvnkrP8.net
>>815
次の等式は展開すればすぐわかる:
(d(a^2-b^2))^2 + (2dab)^2 = (d(a^2+b^2))^2
つまり X=d(a^2-b^2), Y=2dab, Z=d(a^2+b^2) とおけば
X^2 + Y^2 = Z^2 が成立している
d=2, a=2, b=1 とすれば X=6, Y=8, Z=10
つまり 6^2 + 8^2 = 10^2
856:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:41:44.92 1bUTMl+p.net
九九の対角線と、最初の三桁の自然数の間の関係が、特別美しく見えたと言う私の"感想"と。
とりあえず、三平方の定理が自然数同士で成り立つ事に合理的な理由があるのは分かりました。
聞きたかったニュアンスとしては、"偶然ではない"ように"感じ"ます。
857:ID:1lEWVa2s
20/07/03 14:52:20.76 kvB40sa8.net
>>816
久しぶり。
858:１３２人目の素数さん
20/07/03 14:52:22.56 SJNnbIMQ.net
>>817
九九の対角線ってのは平方数だからある種の美しさはあるだろうが
最初の三桁の自然数が美しいってのは不思議な感性をしているね。
10進法が他のn進法に比べてそんなに美しいのだろうか。
859:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:03:17.34 1bUTMl+p.net
>>816
ありがとうございます。
最初に全体4で割っておくと、
(A-B)^2+4AB=(A+B)^2
で100%中一数学ですね。
>>819
あとは、偶然って定義とかあったっけ。
860:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:12:52.37 SEzJko/d.net
>>811
私は以下のように考えました。
ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)
の9通りが考えられ、左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り
が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？
何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？他に別解として、どのような解法がありますでしょうか？
ご教示のほど宜しくお願い致します。
861:１３２人目の素数さん
20/07/03 15:15:29.90 l9EAO2Py.net
5 進法で考えれば 3^2 + 4^2 = 10^2
同様に 13 進法で考えれば 5^2 + C^2 = 10^2
…
記数法や n 進法の話はともかく、自然数の組 (a, b, c) に対して
a + b = c
は全ての c ≧ 2 について a, b が存在するが
a^2 + b^2 = c^2
を満たす c は限られる（例えば c = 6 は不可能）し、
a^n + b^n = c^n (n ≧ 3) なら一つもないこと（フェルマーの最終定理）を考えれば
美しいかもしれない
862:１３２人目の素数さん
20/07/03 17:46:47.84 zd8ES0Nb.net
dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
のyを求めたいのですが。
もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
863:１３２人目の素数さん
20/07/03 18:35:55.31 +Y/uxVJK.net
>>823
dの数ちゃうやん？
864:１３２人目の素数さん
20/07/03 19:04:08.44 nArnrYCm.net
どう間違えたらそうなるのか謎だ
865:１３２人目の素数さん
20/07/03 19:38:01.08 pJJSArnZ.net
nを3以上の自然数とするとき、
a^n+b^n=c^n+{2^(n-1)}*ab*cos(∠A)
を満たす自然数a,b,cおよび実数Aは存在するか。
ただしa,b,c,Aは以下の条件を満たす。
（条件）a,b,cはある1つの三角形の3辺の長さとなる。その三角形を△ABCとしたとき、a=BCであり、∠A=∠BACである。
866:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:14:35.09 90y63y3Z.net
>>810
120通り
(1)回転しても同じになるのが24通り
> x2mat(pm1[idx1[24],])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 1 2 3 4
(2)回転すると別の並べ方
> x2mat(pm1[216,])
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 4 3 2 1
[2,] 3 4 1 2
(1)+(2)が216通り
(1)が24通りなので
（216-24)/2 + 24 = 120通り
867:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:16:16.50 90y63y3Z.net
>>810
プログラムを組んで数えさせた。
library(gtools)
pm=unique(permutations(8,8,v=rep(1:4,2),set=FALSE))
x2mat <- function(x) matrix(x,ncol=4,byrow=T) # vector-> matrix
x2mat(c(2,1,3,4,1,3,4,2)) # demo
fn <- function(x){
y=x2mat(x)
all(
all(1:4 %in% y[1,]), # 1st row includes all of 1:4
all(1:4 %in% y[2,]), # 2nd row includes all of 1:4
all(apply(y,2,diff)!=0) # difference in each column is not zero
)
}
idx=which(apply(pm,1,fn))
length(idx)
x2mat(pm[idx[100],]) # demo
"
identical after rotation : 'symmetric'
1234 1234
4321 4321
different after rotatio : 'asymmeric'
2134 2431
1342 4312
"
pm1=pm[idx,]
x2mat(pm1[216,]) # demo
fn1 <- function(x){
(y=x2mat(x))
(
868:z=matrix(c(rev(y[2,]),rev(y[1,])),ncol=4,byrow=T)) # after rotation all(y==z) } idx1=which(apply(pm1,1,fn1)) x2mat(pm1[idx1[24],]) s_as=length(idx) # symmetric + asymmetric sym =length(idx1) # symmetric (s_as-sym)/2 + sym > (s_as-sym)/2 + sym [1] 120
869:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:24:39.95 90y63y3Z.net
>>821
(a,b,c,d)
(d,c,b,a)
だと回転させても回転前と同じになるから、こういうのを含めて２で割ると過小評価になると思う。
870:１３２人目の素数さん
20/07/03 21:50:07 90y63y3Z.net
>>801
作図だけしてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
871:１３２人目の素数さん
20/07/03 22:32:17.22 SJNnbIMQ.net
>>826
存在する。例えばa=b=c=2,∠A=60°
872:１３２人目の素数さん
20/07/03 22:33:22.82 7lES8FSM.net
証明の行間って英語でどう書くのですか？
行間の英訳を検索すると行と行の間の空白部分の英訳が出てしまうのですが、日本語のニュアンスとしては、証明の詳しさ的な感じですよね
873:１３２人目の素数さん
20/07/03 23:03:13.67 90y63y3Z.net
>>832
implicit argument でどうでしょうか？
874:１３２人目の素数さん
20/07/04 11:44:56.83 JsPC4r8O.net
fをアッカーマン関数とする. 以下を証明せよ.
(1)x+y+1<=f(x, y).
(2)f(x,y)<f(x,y+1)<=f(x+1,y).
(3)任意のa,b∈Nに対してc∈Nが存在して任意のy∈Nに対してf(a,f(b,y))<f(c,y).
(4)原始的関数g:N^n→Nに対してc∈Nが存在してg(x_1,...,x_n)<f(c,max(x_1,...,x_n)) (ただしn=0のときmaxの値は0とする).
上記の問題の(4)のgが原始帰納法によって定義された関数である場合の証明が分かりません. どなたかよろしくお願いします.
875:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:22:03.60 bJzWIHZ7.net
実数xに対して、"x"はxの小数部分を表すものとする。
任意の正の数εに対して、不等式
"(3^n)/(2^m)"<ε
を成立させる自然数m,nが存在することを示せ。
876:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:30:40.47 OUWbM4MU.net
ある集合が開集合であるかどうかは絶対的なものではなく、それを含む空間に依存するということですが、
原点を中心とする半径1の開球が開集合でなくなるような容れ物ってありますか？
877:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:32:52.90 OUWbM4MU.net
開球はR^3の部分集合とします。
878:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:34:41.79 OUWbM4MU.net
単位開球⊂X⊂R^3で単位開球がXで開集合でなくなるようなXは存在しますか？という質問です。
879:１３２人目の素数さん
20/07/04 13:48:33.01 bpBdqHUs.net
Xの空間としての位相がR^3から自然に入れたものなら開球は(というかR^3の開集合でXに含まれるものならどんなものでも)開集合
ただしXとしてR^3とは全く関係ない位相を入れた空間と思うなら開球が開集合でなくなることはある
880:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:02:12.96 VlSg+iRT.net
>>835
3/2^m → 0 (m → ∞) なんだから当然じゃね
n と m に自然数以外の条件ないの？
あと普通 x の小数部分は {x} か frac(x) じゃね
881:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:13:28.20 bpBdqHUs.net
多分、整数部分が0でない想定なんだろうけど
その場合は
3^(2^n)=(2^n)k+1
からわかる
882:１３２人目の素数さん
20/07/04 14:53:51.99 8jzJFpef.net
>>835
正数xについて常に"x"<xであるから、"(3^n)/(2^m)"<εが成り立つためには(3^n)/(2^m)<εが成り立てば十分である。
n=1とし、3/ε<2^M となるような自然数m=Mをとればよい。
>>836
いくらでもあるが簡単な例としては、R^3空間にR^3自身と空集合のみを開集合とする位相を入れればよい。密着位相というやつだな。
883:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:04:26 VlSg+iRT.net
>>838
例えば、 X := {x ∊ R^3 | |x| ≦ 2} とすれば （単位開球） ⊂ X ⊂ R^3
884: ここで |x| は R^3 のユークリッドノルムとする。 o(ε) := {x ∊ R^3 | ε ≦ |x| ≦ 2} に対し、 S := {o(ε) | ε ∊ R} を準開基として生成される X の開集合系を O とするとき、 位相空間 (X, O) について単位開球は開集合ではない。
885:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:08:28 bpBdqHUs.net
反例のための位相なら
O(X)={Φ,X}(密着位相)で十分では
886:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:11:11 oAKLKcEG.net
>>824
＞＞dy＋ydxdy=(1－y^2)dx
＞＞のyを求めたいのですが。
＞＞もし解が求まらない場合は、近似解を求めたいのですが。
本当にこのままです。
887:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:32:03.11 oAKLKcEG.net
>>825
あなたが見てきたのは本に書いている解ける微分方程式です。
分からないなら、分からないで構いません。
888:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:33:47 EP1Xe6XC.net
どちみち虹の微小量として消して計算するしかないんじゃない？
dy = (1－y^2)dx
y(x) = (e^(2 x) - e^(2 c))/(e^(2 c) + e^(2 x))
889:１３２人目の素数さん
20/07/04 15:53:31.18 VlSg+iRT.net
とあるサイトに
「一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，
たとえば， x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
890:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:15:39.74 8jzJFpef.net
ディオフォントス方程式の整数解の一般解法は存在しないことが証明されているから未解決ではないぞ。
ある特定のディオフォントス方程式についてということなら、解けるものも解けないものも解く方法が見つかっていないものもあるだろう。
891:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:22:22.24 vADwUpac.net
次の微分方程式を解け。
dy+dx+dxdy = exp(dx)
892:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:24:33.26 VlSg+iRT.net
>>848
再掲します
とあるサイトに
「 x^3 + y^3 + z^3 - 3 = 0 が (1, 1, 1), (4, 4, -5)とその並び換え以外の整数解を持つかどうかはわかっていない．」
と書かれていましたが、本当でしょうか？
現在でも未解決ですか？
893:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:29:07.54 gGXiG/Hn.net
>>833
～例えば
を削除したら文脈が変わるから再掲じゃないんではないですかね
894:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:29:20.85 gGXiG/Hn.net
>>851だった
895:１３２人目の素数さん
20/07/04 16:34:24 VlSg+iRT.net
引用の仕方が良くなかったですかね
ヒルベルトの第10問題（が否定的に解決されたこと）について書かれているサイトの文章だったので
「たとえば，～」が現在でも具体例として有効なのかどうかがわかりません
896:１３２人目の素数さん
20/07/04 17:55:23.51 9wc4jh9T.net
∫dx/(1 - x^2)^(3/2) って、計算可能でしょうか？
897:１３２人目の素数さん
20/07/04 17:57:59.42 VlSg+iRT.net
>>855
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
898:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:28:49.31 9wc4jh9T.net
>>856
なんと、こんな便利なサイトが……！！ とても助かりました、ありがとうございます。
899:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:48:11.54 VlSg+iRT.net
>>851
Wolfram大先生に聞いたら
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
と「答え」を返してきましたけど
実際はどうなんでしょうか？
900:１３２人目の素数さん
20/07/04 18:54:26.05 nLP217oC.net
>>845-846 >>850
それを微分方程式と書く本がおかしい
901:１３２人目の素数さん
20/07/04 19:03:20.56 SXs5Zk63.net
微分形式については次から次へと俺様微分形式が湧いて出るな。
902:１３２人目の素数さん
20/07/04 19:23:29.13 Fvn4+d+y.net
き、きっと>>823は無限次元多様体上のすべての次元の微分形式からなる多元環における方程式なんだよ
え？>>850？そんなもん