20/06/20 19:49:27.58 B6UCbhfA.net
>>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります
y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります
y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります
こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね
波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています
で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ
ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
576:１３２人目の素数さん
20/06/20 21:22:16.39 FErV7Cg/.net
>>522
お願いします
577:１３２人目の素数さん
20/06/20 21:32:57.14 6/06+ZSW.net
ベッセル関数や楕円関数の波もある
578:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:08:11.18 a2GfXqVt.net
非斉次微分方程式の特解って、グリーン関数の方法を使わなければ人によって変わりますよね？なんでそれで大丈夫なんですか？
579:波
20/06/20 22:34:44 xNDcWa2+.net
>>551
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？
三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし
円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです
完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
580:波
20/06/20 22:40:27 xNDcWa2+.net
たぶんyとxをmに習合するとyの面範囲になって確率表現になると思うんですけど
あ、まったくわからないです
581:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:41:06 Kd3tCo0e.net
2＋7=4
4＋6=9
3＋9=？
582:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:41:51 xNDcWa2+.net
いま思っただけです
583:１３２人目の素数さん
20/06/20 23:40:30 3GFxA0wR.net
習合という単語にとんと聞き覚えがないので
辞書を引いてみたんだよね
「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」
なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
584:１３２人目の素数さん
20/06/21 00:54:50.67 2Oslh1MN.net
>>555
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します
Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
585:１３２人目の素数さん
20/06/21 10:08:29.44 TWkOlglI.net
偏微分方程式の変数分離法って方法がありますが、その解の線形結合で表される解以外の解があることってあるんでしょうか？
あんがい応用系の本には載ってないもので…
586:１３２人目の素数さん
20/06/21 10:42:59.50 Wwj5EQcX.net
（１） x^n + y^n = z^n + 1
（２） x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
587:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:08:29 GMWA6QXT.net
1)x=1 y=z=0
2)x=y=0 z=1
588:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:46:01.14 v7KbAOUS.net
>>561
線形なら無い
589:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:47:20.03 6R/grUKn.net
TをXの確率変数として、Pr(x,t)を考えます。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
590:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:50:04.50 cHlUFTfv.net
当たり前
591:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:53:31.95 TWkOlglI.net
>>564
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
592:１３２人目の素数さん
20/06/21 14:03:31.74 TNWiRm1q.net
nは自然数の定数とする。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
593:１３２人目の素数さん
20/06/21 14:21:02.37 Wwj5EQcX.net
>>562
非自明な解は6^3+8^3=9^3-1だけ見つかった。他にあるかどうかは不明
594:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:05:00 nFN2fLDa.net
>>568
k = n
（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。
補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。
補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。
（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。
エレガントな証明は他の人に譲ります
595:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:13:18 Wwj5EQcX.net
>>569 >>562 有名なのがあった 9^3+10^3=12^3+1^3=1729
597:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:21:56 Wwj5EQcX.net
(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1 (オイラー）で無限個あるそうな.-1の方もn=3のときは無限個あるそう
598:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:42:20 6R/grUKn.net
>>565
お願いします
599:１３２人目の素数さん
20/06/21 19:08:17.24 ScL+3aN1.net
>>573
>>566で返答が得られていると思うけども。
この手の自明なことを証明せよということは、定義に忠実に従った記述が求められているわけで
Pr(x,t)やPr(x)の定義が正確に記述されてない以上こちらで勝手に決めつけて答えにくいわけで
自明ですね、となるわけだ
600:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:07:20.38 KCThDFGX.net
>>568
a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
≧ (n,k+1) (1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
601:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:08:37.59 6R/grUKn.net
>>574
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
602:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:59:39.08 ScL+3aN1.net
>>576
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。
確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
603:１３２人目の素数さん
20/06/22 10:35:54.84 HOq0vlXr.net
>>572
n=3 の場合
y^3 = z^3 - x^3 + 1
= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
y = (2x+z)/(z-x)
= 3x/(z-x) +1
= (1/3)(z-x)^3 + 1,
z = x + (z-x),
これより
x = 9t^4,
y = 9t^3 + 1,
z = 9t^4 + 3t,
604:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:00:47.55 qRmIzlOs.net
xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線をL_Pとする。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
605:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:32:25.31 ehbh7JVm.net
lim[x→∞]曲率半径=1
lim[x→-∞]曲率半径=0
606:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:35:46.44 hAoLuEgD.net
lim[x→∞]曲率=1
lim[x→-∞]曲率=0
607:１３２人目の素数さん
20/06/22 15:29:36.80 FzufUNm3.net
f(x)(x+1)＝4(x+1)の時と、f(x)(x+1)＝(2x+3)(x+1)の時では解答に差が出るのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
608:１３２人目の素数さん
20/06/22 15:34:47.67 BAIvlHuK.net
エスパーを待て
609:１３２人目の素数さん
20/06/22 17:13:41.14 0/eLdBm+.net
>>579
初等的に解いてみた
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する
曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。
曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
610:１３２人目の素数さん
20/06/22 17:37:31.54 DpfREwGB.net
ていうか
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
611:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:43:51.70 oXHhmpkM.net
>>585
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
612:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:49:18.07 0/eLdBm+.net
>>585
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
613:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:52:12.15 DpfREwGB.net
>>586
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
614:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:55:19.25 DpfREwGB.net
>>587
その方がシンプルで語弊もなくていいですね
615:１３２人目の素数さん
20/06/23 00:33:55.60 AI4CeC5C.net
>>583
来ないみたいね
616:１３２人目の素数さん
20/06/23 08:37:16.55 aDKneL6R.net
任意の自然数nに対してr^nが無理数となり、r^n-rが有理数となる実数rが存在するならば、それらを全て求めよ。
617:１３２人目の素数さん
20/06/23 11:17:32.20 5kvsRr7n.net
＞＞591
存在しない。
r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
618:１３２人目の素数さん
20/06/23 16:27:19.84 FjhXp1Fi.net
1/(x^2+1)が実数の範囲で一様連続かどうかという問題で、微分係数の形にしないと上手く証明出来ないかなと思ったのですが、δをどのようにとったら上手く証明できますか？
619:１３２人目の素数さん
20/06/24 03:51:36 s7K3jYNh.net
以前lim［n→ ∞］（1＋1/x）^nとかについて聞いた者なんだけど、また質問させて欲しい
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ
Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
620:１３２人目の素数さん
20/06/24 06:28:04.91 vyYURpQJ.net
>>594
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。
あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
621:１３２人目の素数さん
20/06/24 09:51:26.93 NoItLLRp.net
>>593
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh| {∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh| {∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4
∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
622:１３２人目の素数さん
20/06/24 12:49:29 RJnJ6BC8.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
お願いします！
623:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:10:05 854FP7B1.net
624:target="_blank">>>594 まず、コミュニケーションを勉強するんだな
625:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:29:12 NoItLLRp.net
>>597
容積:V = Sx*hx = Sy*hy
5分でXに溜まる量: Sx*h = 5*V/18
5分でYに溜まる量: Sy*6h = 5*V/15
∴ hx/hy = Sy/Sx = 18/(6*15) = 1/5
数的推理
満水量: (Sx - Sy)*hx = T*V/15
∴ 時間 T = (Sx*hx - Sy*hx)*15/V
= (1 - hx/hy)*15
= 4/5 * 15 = 12分
工学的推理 (容器Yは浮力で浮きあがるはず)
V = T*V/15
∴ 15分 (に一番近い 14分が答え)
626:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:51:32.89 77W9lbT7.net
>>597
容器Xの底面積s,高さh、容器Yの底面積S,高さHとおく。sh=SH=V...(1)
ホースAの注水能力はV/18、ホースBの注水能力はV/15
容器XにAで注水した5分後の水量a、容器Yに注水した5分後の水量bは、それぞれ
a=5V/18、b=V/3
bの水面の高さH'がaの水面の高さh'の6倍だから、
H'=6h'
→b/S=6*(a/s)
→H=5h
(1)に代入して
sh=5Sh
→S=(1/5)s
したがってXの中にYを置いたときに出来るドーナツ状の容器の底面積は(4/5)sであり、容積は2sh/3
ここに毎分V/15=sh/15で注水するから、求める時間は(2sh/3)/(sh/15)=10［分］
627:１３２人目の素数さん
20/06/24 15:49:51.58 8w0fjplA.net
xy平面の曲線y=x^2(-1≦x≦1)をy軸の周りに一回転させてできる曲面をDとする。
Dの形に容器をつくり、容器に水を満杯になるまで注ぎ、台の上に置いて支える。
ただし台の上は水平面とし、容器の開口部の円周は台の上と平行な平面上にあるものとする。
いま容器を一方向に45°だけ傾けた。あふれ出る水の量を求めよ。
628:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:44:48 Xsyvn5Xl.net
>>593
f(x)の平均変化率は
{f(x) - f(y)}/(x-y) = {1/(xx+1) - 1/(yy+1)}/(x-y)
= -(x+y)/{(xx+1)(yy+1)},
ここで
(xx+1)(yy+1) = (xx +1/3 +1/3 +1/3)(1/3 +yy +1/3 +1/3)
≧ {|x+y|/√3 +1/3 +1/3}^2
= (1/3)(|x+y|+2/√3)^2
≧ (8/√27)|x+y|, (等号は x=y=±1/√3)
だから
｜{f(x)-f(y)}/(x-y)｜≦ (1/8)√27,
∴ f(x) はリプシッツ連続だから一様連続。
629:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:45:09 JT6s22tv.net
f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
この問題、なかなか上手くいきません
630:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:49:33 rUhlzW45.net
>>603
> f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
> この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
>
> この問題、なかなか上手くいきません
導関数が平行移動、三角関数じゃ？
解き方はわからん。
631:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:18:44.97 JT6s22tv.net
>>604
fが周期関数と仮定するとf(x)=Aexp(i(x-B))とおき、A、Bを決める
g(x)=Aexp(i(x-B-a)
df(x)/dx=iAexp(i(x-B))=g(x)=Aexp(i(x-B-a)
A=0又はi=exp(-ia)となる必要有
a=-π/2ならA、Bは任意で良く、つまり、f(x)=iAexp(x-B)
a≠-π/2ならA=0すなわちf=0
って所までやりましたが、この他に解が無い事をどう示すか悩み所ですね
632:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:21:24.00 NoItLLRp.net
>>601
・∫[0,q] dt √(1-t^2) = ( arcsin(q) + q√(1-q^2) )/2
・∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = B(5/2,1/2) = Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) = 3π/8
・∫[0,1] z*arcsin(√z) = 1/2*arcsin(1) - 1/4*∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = π/4 - 1/4*3π/8 = 5π/32
・∫[0,1]dz z^{3/2}*√(1-z) = B(5/2,3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = π/16
V=∫[0,1]dz { πz/2 + 2∫[0,z]dt √(z-t^2) }
= ∫[0,1]dz { πz/2 + 2z∫[0,√z]dt √(1-t^2) }
= π/4 + ∫[0,1]dz { z*arcsin(√z) + z^{3/2}*√(1-z) }
= π/4 + 5π/32 + π/16
= 15π/32
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
633:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:25:26.87 enFnG/G5.net
確率が出せず困っています。
0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をした時、答えが8888になる確率を教えていただけませんか。
634:１３２人目の素数さん
20/06/24 22:04:47.74 VOVi4KlP.net
1/6300になった
全く自信はない
635:イナ
20/06/24 22:30:52.82 Pgq5JJdI.net
前>>211
>>601
最初の丼鉢がπ∫[t=0→1]tdt=π[t/2]0→1=π/2
45°傾けたとき水面が円なら3π/16だが短軸が長軸の半分と見て、
π(√3/4)(√3/8)=3π/32
∴π/2-3π/32=13π/32
自信ない。
636:イナ
20/06/24 22:49:16.25 Pgq5JJdI.net
前>>609補足。
>>601
丼鉢を、平面y=x-uで切った切り口が楕円でなく、円であるなら、
π∫[-1/4→0](1/2-2u)du=π[u/2-u^2]-1/4→0=π(1/8+1/16)=3π/16
半径√3/4の円を楕円と置き換え、短軸が長軸の半分√3/8であると考えた。
637:１３２人目の素数さん
20/06/24 22:54:51.67 uHXQOLLh.net
>>607
総当りでやってみた。
0123という並びも4桁の数字と考えるとすると384/1814400=1/4725
638:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:24:54.98 vyYURpQJ.net
>>607
「10枚中8枚を使って」ではないところが悩ましいな。
十の位に4のカードと3のカードを2枚重ねて7扱いとする！みたいな使い方をしてそうだ。そうでもしないと10枚使いきれないからな。
とりあえず「10枚中8枚を使って2枚余らせる」とみなした場合を以下に書いておく。
足す2つの4桁の数をA+Bとする。AとBの千の位に0が来ないので、全事象の場合の数（分母）は9*8*8P6。
求める事象の場合の数（分子）について。まず足して18になる組み合わせがないので繰り上がりはあり得ない。つまり各位ごとに和が8になる組み合わせのみ。
千の位は(1,7)(2,6)(3,5)の3通り、百～一の位は(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)の4通りだからA+Bの各位にどのペアが来るかのパターン数は3*3!=18通り。
そしてそのパターンごとにペアの2数をA,Bのどちらに割り振るかで2^4通りずつあるから、全部で18*2^4通りとなる。
したがって答えは(18*16)/(9*8*8P6)=1/5040
だと思うのだが、千の位が0を除いているので>>611との違いは気にならないとしても、>>608と値が異なるので大いに不安ではある。
639:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:47:19.22 uHXQOLLh.net
何通りあるかでなくて、確率を求めよというのが悩ましいが、
0123を4桁とみなす場合
library(gtools)
pm=permutations(10,8,v=0:9)
nrow(pm) # 10!/2=1814400
fn <- function(x){
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
sum(apply(pm,1,fn)) # 384
384/1814400 # = 1/4725=0.0002116402
#--- simulation ----
sim <- function(){
x=sample(0:9,8)
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
mean(replicate(1e7,sim()))
0123を4桁の数とはみなさない場合
f <- function(x){
x[1]!=0 & x[5]!=0
}
pm1=pm[apply(pm,1,f),]
nrow(pm1) # 1451520
sum(apply(pm
640:1,1,fn)) # 288 288/1451520 # = 1/5040 = 0.0001984127
641:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:51:39.88 v5+ynUdM.net
頭の良い方、教えてください。
6の目が5になっているサイコロを1個投げる時、目の出方は5通りで根元事象は{1,2,3,4,5}で合ってますよね？
642:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:55:06.31 VOVi4KlP.net
>>612
俺が間違えてた
643:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:02:43.73 epgEAfuS.net
>>601 別解
z = x^2 + y^2 {このグラフを 45°回転 すると..}
(x+z)/√2 = {(x -z)/√2}^2 + y^2
∴ (√2*z + 1/4) = 1/2* {x- (2z+√2)/2}^2 + y^2
zでの切り口は、楕円(長径:√2, 短径:1) を √(√2*z + 1/4) 倍にスケールしたもの
よって囲む面積は (√2*z + 1/4)*π√2
V1 = ∫[0..1]dz πz = π/2
V2 = ∫[-1/(4√2)..0] dz (√2*z + 1/4)*π√2
= (-√2/64 + 1/(16√2)) * π√2 = (-1/32 + 1/16)π = π/32
溢れる体積: V= V1-V2 = π/2 - π/32 = 15π/32
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
644:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:03:42.17 8oNyfBOb.net
614です。
少し訂正します。
要素は{1,2,3,4,5}で根元事象は{1,2,3,4,5,5'}で合っているでしょうか？
645:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:40:13.12 pJxwPPea.net
>>614が正しくて>>617が誤り。
この場合の根元事象は{1,2,3,4,5}で、根元事象の起こり方が同様に確からしくないだけ。
646:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:49:13.71 8oNyfBOb.net
>>618
例えば確率で2の目が出る確率を考えると、1/6になると思うのですが、この場合は根元事象をどう捉えれば良いのでしょうか？
647:１３２人目の素数さん
20/06/25 01:40:44.61 pJxwPPea.net
>>619
根元事象は{1,2,3,4,5}で2が出る確率は1/6。何の問題もない。
どう捉えるかと言われても、>>618に書いたように同様に確からしくないだけの話だ。
648:１３２人目の素数さん
20/06/25 02:38:31.89 a4EJWEDG.net
(´・ω・｀)
別スレにも書いたのですが回答がないのでこちらにも書きます。
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。
1/2 <= 1/3 の証明のどこに穴があるかを指摘する問題なのですが、分からなくてもやもやします。
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
649:１３２人目の素数さん
20/06/25 07:08:46.76 ZOB3qxsf.net
>>615
10枚から8枚選らぶ順列は10P8=1814400通りで、各々は同様に確からしい。
0123+8765= 8888は4桁の数字の和とは考えないなら、
その確率は288/1814400=1/6300なので正しいと思う。
650:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:17:08.58 ZOB3qxsf.net
>>621
ドッグフードを食べる猫がいるかもしれないし、
犬の声はテレビの音声かもしれない。
以上
651:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:20:13.78 pJxwPPea.net
>>621
(x)が犬である事象をX、(y)が犬である事象をY、事象Sが起こる確率をP(S)、事象Sが起こった時の事象Tの起こる条件付確率をP_S(T)と書くことにする。
まず(A)～(D)はいずれもP_(X∪Y)(X∩Y)を問うものであると解釈すべき問いである。
(1)～(3)に誤りはない。
(4)は「(D)の答えは1/2である。」ここが誤り。
P_X(X∩Y) と P_Y(X∩Y) の値が等しかったとしても、それらの値が P_(X∪Y)(X∩Y) に等しいとは限らない。
実際に P_X(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X),P_Y(X∩Y)=P(X∩Y)/P(Y),P_(X∪Y)(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X∪Y) を P(X∩Y)=P(X)+P(Y)-P(X∪Y) に代入してP(X∩Y)を消去すると
1=1/{P_X(X∩Y)}+1/{P_Y(X∩Y)}-1/{P_(X∪Y)(X∩Y)} となる。これに P_X(X∩Y)=1/2 , P_Y(X∩Y)=1/2 を代入すると P_(X∪Y)(X∩Y)=1/3 が得られる。
(5)は結論こそ正しいが論拠が誤りである。
P_(X∪Y)(X∩Y) と P_(X∩Y)(X∩Y) がともに1/2以上であることは「(C)の答えが(D)の答え以上である」ことの理
652:由にはならない。 (C)の答えと(D)の答えはともにP_(X∪Y)(X∩Y)=1/3で等しいから「(C)の答えが(D)の答え以上である」は正しい。 (6)は正しい論理によって誤った前提から誤った結論を導いている。 ちなみに条件付確率でないと解釈するのであれば、(x)(y)がともに犬である確率は1/4であるからすべて誤りになる。
653:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:30:36.50 ocTjJMbt.net
>>621
数学じゃない部分が入っているように思う
その解釈はおかしいみたいな部分が有るんじゃないだろうか
ディベートに近い
654:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:43:37 pJxwPPea.net
>>622
分母の10P8では千の位が0になる場合を含めて数えて、分子の288では千の位が0になる場合を除いて数えると、その値になると。
つまり、>>607の問いを
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードから8枚を並べる」という試行を行った結果、その8枚が「4桁＋4桁の足し算になり、かつ答えが8888になる」確率
と解釈するとその答えになるというわけか。
>>612は
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をつくる」という試行を行った結果、「答えが8888になる」確率
を求めているから、そりゃ異なる値が出るというわけだ。
どっちの解釈が正しいかというのはこの問題が発生した状況によるだろう。何かのテストで出題されたのなら出題者（採点者）の裁量の範囲だな。
>>612の解釈の方が文章の自然な読み取り方な気はするけど、あくまでも個人的な考えだからな。
655:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:47:33 ugKDGz4C.net
>>603
f が指数関数と仮定する。
f(x) = A･exp(Bx) とおき、A, B を決める。
題意より B = exp(-aB)
・a> -1/e, a≠0 のとき B = (1/a)W(a),
W は LambertのW函数。
・a=0 のときは B=1
656:１３２人目の素数さん
20/06/25 09:59:58.22 RYmcULbD.net
>>621
数学知らない人が、有名問題をネットから拾って数学以外の要素を足してしまったような問いだな
例えば「ドッグフード」が問題にどのような条件を付加するのか不明、他にも同様の箇所があるので、「解答不能」が正解だろう
ところでこの企業ググってみたけどブラックの匂いがプンプンするな。こんなとこ入って大丈夫か？
657:１３２人目の素数さん
20/06/25 10:16:07.31 awxo0n7B.net
区間I=[0,2π)から無作為に実数を1つ選び、それをθとおく。
xy平面上で、直交座標で(cosθ,sinθ),(cos(θ+L),sin(θ+L))と表される2点を両端点とする、光を通さない円弧をCとする。
点(0,10)に点光源が設置されているとき、直線y=-10上にできる影の長さの期待値をLで表せ。
ただし区間Iにおいて実数は一様に分布しているものとする。
658:１３２人目の素数さん
20/06/25 11:06:53.90 a4EJWEDG.net
>>624
回答ありがとうございます。でもまだわかりません(´・ω・｀)
P_(X∪Y)(X∩Y) = 1/3 であるのは、(1)でも示されている通りに理解できます。
1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
659:１３２人目の素数さん
20/06/25 12:58:12 9Oi/hZQR.net
【火星】 世回教師マイト┗ーヤとＵＦＯ 【金星】
URLﾘﾝｸ(lavender)
660:.5ch.net/test/read.cgi/mog2/1592981405/l50 sssp://o.5ch.net/1ofh3.png
661:１３２人目の素数さん
20/06/25 13:21:59.85 kPO5oF2N.net
数学掲示板群 URLﾘﾝｸ(x0000.net)
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ URLﾘﾝｸ(x0000.net)<)
微分幾何学入門
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
662:１３２人目の素数さん
20/06/25 13:50:20.35 pJxwPPea.net
>>630
＞1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りなのだから(犬,犬)である確率は1/3であろう。
条件付確率としてはこうなると言っているだけで、これで納得するかどうかどう感じるのかなど知ったことではない。
それこそ>>625の言う通り数学の範疇ではない。数学板だから数学で答えているだけだ。
＞少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
よくない。1匹連れているのを見かけたときの2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
663:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:14:31.21 ocTjJMbt.net
>>633
それは違うんじゃないのかな？
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りではあるがそれらは等確率ではないのでは？
犬が2匹いると鳴き声が犬Aの場合と犬Bの場合があり得る
1匹の犬を見かけた場合も同様
ただし、2匹の行動が独立という条件があっての話であることはその通りと思う
実際には1匹が鳴くともう1匹も鳴く可能性が高まるだろうから1匹の鳴き声だけが聞こえた場合（犬、犬）である可能性は低くなったりするかも知れないし、
2匹飼っていたら2匹同時に散歩させるはずだとか室外犬と室内犬だと室外犬しか散歩させないとかややこしい話もあり得る
独立であるならこれらの場合は1/2になるんじゃないのかな
2匹とも見た人から「少なくとも1匹は犬」と聞かされたことで「少なくとも1匹は犬」を知った場合は1/3でいいと思う
664:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:35:52.65 gAVHynLj.net
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(鳴犬,黙犬),(黙犬,鳴犬),(鳴犬,黙猫),(黙猫,鳴犬)の4通りだろ
665:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:44:27.06 JiYF8lCe.net
>>636
> 1匹連れているのを見かけたときの
> 2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
これはどう考えても1/2でしょう。
666:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:57:33 ypm90GOl.net
それが1/2に見えるのは条件付き確率が分かってない証拠。
667:１３２人目の素数さん
20/06/25 15:39:33.50 +j1GZSI0.net
円と円の内部の点Pが与えられたとき、Pを通る2直線が円と点A，Bおよび点C，Dで交わるとき
PA・PB＝PC・PD=PT^2 となる点Tはどこにとれるか？（Pが外部のときはTは接点）
668:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:07:36.02 joqgUfXO.net
Pを通りPで2分される弦の端点
669:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:12:01.00 pJxwPPea.net
なんだか>>633のあとに色々書きこまれているが、条件付確率として考えないのであればそりゃ色々な考えがあろうさ。
確率が1/2になるようなケースとしては、例えば
2匹のペットをそれぞれ赤い小屋と青い小屋に1匹づつ飼っているというような追加条件があって
赤い小屋のペットが犬であるとわかった場合の青い小屋の方が犬である確率
というような場合なら条件付確率としても1/2になるな。
>>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になるわけだ。
それがいくら感覚に反するからといって、条件付確率ではこうなるということに変わりはない。
670:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:34:15.41 3lhKYgae.net
n*sin(2pi*n!*e) のn→∞ の極限は2pi らしいのですが
これをURLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com) で求めようとするとうまっくいきません。
ウルフラムに個の極限を出させるにはどうすればいいですか。
671:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:42:49.52 joqgUfXO.net
流石のwolfram先生でもダメなのか。
n!e-[n!e]=1/(n+1)+O(1/n^2)
までは自分で変形するしかないんだろな。
672:１３２人目の素数さん
20/06/25 17:22:22.14 DYnXYcHM.net
>>642
まで自力でいければ後は流石のwolfram大先生
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
673:１３２人目の素数さん
20/06/25 17:47:54 a4EJWEDG.net
>>640
その理屈で言うと、
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人が、自分の娘の同級生なので女子であることがわかっている場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3である（男子である確率は2/3である）
ということでよろしいでしょうか？
また、8人家族で6人の子どもがいることがわかっている家族があって
上記と同様の理由でそのうち5人の子どもが女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/7 である
ということでよいでしょうか？
674:１３２人目の素数さん
20/06/25 18:13:02.27 3lhKYgae.net
>>643
ここまですればもはやウルフラムなくても求めれますｗ
675:１３２人目の素数さん
20/06/25 18:22:49.31 ocTjJMbt.net
>>640
> >>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になる
それはおかしいよ
どちらなのかわからなくても2匹が別々の犬であることには変わりがない
676:１３２人目の素数さん
20/06/25 19:49:42 gAVHynLj.net
量子力学の犬らしい
677:１３２人目の素数さん
20/06/25 20:48:51.12 pJxwPPea.net
>>644
それは両方とも誤り。
前半は、2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
後半も同様に、6人中我が家の子と同級生である5人が女子だとわかっているので、我が家の子と同級生でない残りの一人が女子の確率は1/2。
例えば前者で、娘2人のうち同級生の方が女子とわかっているのではなく、娘2人のうちどちらか一方が女子であることだけわかっているのなら1/3だろう。
>>646
条件付確率の考え方に基づくとどうなるか言っているだけで、それがおかしいと感じるかどうかについては知ったことではない。
678:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:03:33.27 pJxwPPea.net
どうもいつまでも納得しない人がいるようなので、もう少し丁寧に書いてみる。
まず>>621は「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」これが前提条件。
このような書き方をしているということは、それぞれのペットが犬であるか猫であるかを観察するという2つの試行は独立であるとみなしてよい。
独立でないとこんな条件設定はできないはずだからな。
ということで、この2つの試行の結果である(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)(猫,猫)の4つの根源事象の起こり方は同様に確からしく、確率はすべて1/4づつ。
2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)の3つのうち(犬,犬)である確率だから1/3
2頭のうち特定の一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)の2つのうち(犬,犬)である確率だから1/2
条件付確率の公式を用いて説明することもできるが、上記と同じ結論がでるだけ。
679:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:15:17.26 nD7WCD//.net
無限集合Sを
S={2,4,8,...,2^n,...}
と定義する。
Sから相異なる6つの要素a[k](k=1,2,...,6)を選び、2つの有理数p_1=a[3]/(a[1]+a[2])およびp_2=a[6]/(a[4]+a[5])を作る。
ただしa[1]<a[2]<...<a[6]である。
p_1+p_2が整数となるa[k]の選び方があれば、その例を1つ挙げよ。
680:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:18:56.26 joqgUfXO.net
4/(1+2)+64/(8+16)
681:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:25:18.77 a4EJWEDG.net
>>648
> 2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
それならば、「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけた場合」は、
佐藤さんが連れている方（娘の同級生と違って呼び名はありませんが）が犬とわかっているだけで、
残りの一匹が犬の確率は上と同じく1/2ではないでしょうか？
（すなわち、両方とも犬である確率は1/2ではないでしょうか）
> 2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は...1/3
これはその通りですが、
「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけたとき」という条件と
「2頭のうち少なくとも一方が犬であるとき」という条件は違うように思います。
682:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:33:28 a4EJWEDG.net
>>648
もう少しわかりやすい例を考えました。
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3でしょうか？1/2でしょうか？
683:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:34:09 ocTjJMbt.net
>>648
おかしいと感じると言うことを言っているんじゃないよ
(x,y)=(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りあり、
1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
684:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:58:46.08 nD7WCD//.net
>>651
1は使用不可です
685:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:00:54.75 pJxwPPea.net
>>652
佐藤さんが連れているのがどちらのペットかわかってないですよ。
たとえば佐藤さんがペットに赤の首輪と青の首輪をつけて区別していることがあらかじめわかっているような場合なら
赤の首輪の犬を連れて散歩をしてるのを見た場合、青いほうの犬の確率は1/2になりますね。
>>653
1/3ですね。
>>654
＞1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
その通りですね。連れているのが犬である確率は1/2なので、それが犬A～犬Dである確率は1/8ずつですね。
ちなみにそれとは別の話として、(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りの確率もどれも等しく1/4ずつですね。
＞従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
これは誤りですね。連れているのが犬であったという条件のもとでの条件付確率については
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)である確率ですから1/3です。
686:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:15:04 ocTjJMbt.net
>>656
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
687:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:21:12 ZOB3qxsf.net
>>653
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
688:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:25:04 joqgUfXO.net
>>655
8/(2+4)+128/(16+32)
689:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/25 22:26:15 H162hOtu.net
前>>610
>>601
y軸も丼鉢といっしょに45°傾け、
y=tで切った残り水の断面積はいくらになる？
半径√tの円を、中心からtの弦で切った欠円の面積だと思うんだけど。
tを0→1で足し集めて残り水の容積が出ると思うんだけど。
690:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:28:16 H9g6cohj.net
10枚のカードで、8888になる確率を尋ねたものです。ありがとうございました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
691:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:36:08.30 pJxwPPea.net
>>657
(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4 , (猫,猫)が0 ということですね。
これら4つの根元事象の確率をこのように定めるということは、つまり佐藤さんが犬を飼っていることを確認したうえで試行を行っているわけで
>>621の条件設定に反するのです。
このように確率を定める場合、1匹目のペットが犬である確率は(1/2)+(1/4)=3/4 , 2匹目も同様に3/4となり
>>621の「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」に反するわけです。
692:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:45:27.49 a4EJWEDG.net
>>653 は明らかに1/2になると思ったのだが、これで意見が割れるとは・・・。
>>657 さんがわかりやすく説明しているように、
（姉、妹）が1/2
（姉、弟）（兄、妹）が1/4ずつ
だと思います。
693:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:41.71 joqgUfXO.net
まぁ意見は分かれるだろ。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やは�
694:阯^えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。
695:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:55.43 a4EJWEDG.net
>>656
「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合は1/3」とのことですので、
「子どもの一人がたまたま娘の同級生で女子であることがわかった場合」も1/3ということでよいでしょうか？
（たまたまという言葉がついているので、>>648 とは異なるのでしょうか？）
696:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:21:21 a4EJWEDG.net
>>664
議論が長くなっているので終わった方がよろしいでしょうか。すみません。
（個人的には、>>653 を1/3とする理屈にはとても不思議に感じるので心残りなのですが・・・。）
697:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:27:07 joqgUfXO.net
>>666
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
698:イナ
20/06/26 01:04:32.76 aMd3Zj61.net
前>>660
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
699:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:22:33.12 0h2AePdI.net
iを虚数単位とする。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
700:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:48:04 /now+Nzk.net
自明解が死ぬほどあるやん。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
701:１３２人目の素数さん
20/06/26 02:01:55 IMq3cxhz.net
そもそも複素整数の定義ってこれであってんの?
702:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:16:08.26 F3NztK4m.net
一晩考えてようやくわかった気がするわ(´・ω・｀)
(1)
まず、>>353 の答えは1/2
4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、
(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。
なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。
(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。
(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
703:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:17:43.25 F3NztK4m.net
>>672
> まず、>>353 の答えは1/2
「>>653 の答えは」の誤りです。
704:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:34:34 R326Stdn.net
nは3以上の自然数で、2の累乗ではないとする。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。
（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。
（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
705:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:35:22 1uISJdvh.net
>>672
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。
条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)が
「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。
だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、
・ 直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、
Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる
とでもいうのか？
ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。
706:１３２人目の素数さん
20/06/26 06:40:47.57 F3NztK4m.net
>>675
うーん。これでもわかりませんか。
Aさんが２つのサイコロをふった。
あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
707:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:22:59 48PsH009.net
>>662
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2
最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ
(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
708:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:20 k8AOi6FK.net
>>664
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。
それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
709:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:53 1uISJdvh.net
>>676
・ Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。
・ Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。
前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
710:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:36:46 1uISJdvh.net
>>677
佐藤さんの例は 1/3 としか解釈のしようがない。
>>679のように余計な条件つけると 1/2 にはできるが、
それはもともとの佐藤さんの例とは問題文が根本的に違う。
711:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:47:19 48PsH009.net
>>675
差があるんだよ
少なくとも1人が女の子であることがどのような方法でわかったかによって変わってくる
A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）
B：両方とも知っている人から「少なくとも1人は女の子」と聞かされた
この二つではもう1人が女の子かどうかの確率は違ってくる
思考実験してみればすぐわかる
二人の子を持つ夫婦を400組用意する
女の子と男の子が生まれる確率が1/2として確率通りに集まったとすると姉妹が100組、姉弟が100組、兄妹が100組、兄弟が100組いることになる
Aの方法で片方を見て女の子であるのは、姉妹100組から100組、姉弟100組から50組、兄妹100組から50組の計200組
このうちもう1人が女の子であるのは姉妹100組だけであるので確率は100/200=1/2
Bの方法で両方とも知っている人が「少なくとも1人は女の子」というのは、300組
このうち2人とも女の子であるのは100組なので確率は100/300=1/3
712:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:54:00 jej8YQEB.net
サイコロ2個のうちの片方を見て奇数だったとき、
それをノーゲームにするかもう片方まで見るか？の違い
713:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:56:47 1uISJdvh.net
>>681
Aが曖昧でダメ。
A_1：どちらか片方を見た。それが上の子なのか下の子なのかは判別がつかない。
A_2：どちらか片方を見た。しかも、それが上の子なのか下の子なのかまで判別がつく。
A_1 なら 1/3 にしかならない。A_2 なら確かに 1/2 になる。しかし、
「 A：どちらか片方を見た（どちらを見るのかは1/2の確率）」
という書き方でA_2の意味に確定するとは全く言えない。常識的に考えても、
1人の子供を見たときにそれが女子だったとして、それが上の子なのか下の子なのかまで
そのタイミングで分かるわけがない。つまり、実質的には A の書き方では A_1 の意味であるとしか
解釈できず、ゆえに A の書き方でも 1/3 とするのが妥当。A_2 の意味にしたいなら
ハッキリと A_2 のように書かないとダメ。
714:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:00:56 48PsH009.net
>>679
後者でも1/2だよ
区別がつかなくても別々のサイコロ
偶数偶数が1/4、偶数奇数が1/2、奇数奇数が1/4で出る
1/2の確率で選んだどちらか片方を確認してそれが偶数であるのは（1/4）*1+（1/2）*（1/2）=1/2
片方を確認して偶数で残りも偶数であるのは（1/4）*1+(1/2)0+(1/4）*0=1/4
求める確率は(1/4)/(1/2)=1/2
715:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:01:45 48PsH009.net
>>683
上か下かわからないから>>681のようになるんだけど
716:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:05:27.10 k8AOi6FK.net
ベイズ的に考えてみた。
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）の
事前確率分布が (1/4,1/4,1/4,1/4)
少なくも一人は女子というデータでの尤度は(1,0,1/2,1/2)
事後確率分布∝（1/4,0,1/8,1/8)、
総和が位置になるように規格化すると（1/4,0,1/8,1/8)/(1/4+0+1/8+1/8)=(1/2,0,1/4,1/4)
よって、二人が女子である、すなわち、（姉、妹）である確率は1/2
717:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:06:51.27 1uISJdvh.net
>>685
ならない。>>681の後半部分は条件付き確率の計算の仕方がデタラメ。
「女子である」ことの確認に失敗したケースはノーゲームにしなければ
「 ～～ が 〇〇 だったときの、もう片方が××である確率 」
という条件付き確率は算出できない。>>682で簡潔に指摘されているとおり。
718:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:09:39.74 48PsH009.net
>>687
ノーゲームにしてあるでしょ
姉弟のうちの50組は弟を見てしまうのでノーゲーム
兄妹のうちの50組は兄を見てしまうのでノーゲーム
兄弟はどっちを見てもノーゲーム
719:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:21:10.62 1uISJdvh.net
>>688
こちらが言っているノーゲームとはそういう意味ではない。
(1) 0が書かれたカードと1が書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、0が出る確率も1が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが1なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが0なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある数字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち 0 が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
こちらが言ってる「ノーゲーム」とは(3)の1行目の意味。
つまり、最初に表にしたカードが1のときに、もはやデータを取ることをやめて
2枚をすぐ山に戻して(2)に戻ることを「ノーゲーム」と言っている。
720:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:21:26.74 k8AOi6FK.net
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布が (1/4,1/2,1/4)
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/4,1/4,0)
総和が位置になるように規格化すると（1/2,1/2,0)
よって、犬犬である確率は1/2
721:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:29:18.81 1uISJdvh.net
>>689と全く同じことだが、「0」「1」ではなく「女子」「男子」の方がよかったな。
(1)「女子」と書かれたカードと「男子」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「女子」が出る確率も「男子」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「男子」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「女子」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「女子」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
722:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:29:49.97 48PsH009.net
>>689
それ、全然違うことを計算しているのでは？
佐藤さんのペットの問題での条件付き確率は「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
723:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:31:55 k8AOi6FK.net
ちなみに、
犬犬、犬猫、猫猫の
事前確率分布を (1/3,1/3,1/3)とすると
少なくも一匹は犬というデータでの尤度は(1,1/2,0)
事後確率分布∝（1/3,1/6,0)
総和が位置になるように規格化すると(2/3,1/3,0)
よって、犬犬である確率は2/3
724:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:35:19 1uISJdvh.net
>>692
これが全然違うことを計算しているように見えるなら、
条件つき確率が分かってないということ。
男子・女子の例だと、「見かけた1人が女子である」という前提の上での確率なのだから、
データを取る際にも、「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には
データを取らずにやり直すしか解釈のしようがない。
>>>691で言えば、(3)の1行目のようになる。つまり、表にしたカードが「男子」なら、
データを取らずに2枚を山に戻して(2)に戻る(ノーゲーム)ということ。
このように、実際にシミュレーションするときも>>691の(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
725:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:36:04 48PsH009.net
>>691
それを佐藤さんのペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは佐藤さんに新たにペットを2匹飼ってもらうということを見かけた1匹が犬になるまで繰り返した場合に残りの1匹が犬である確率ってことになるよ
726:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:36:41 48PsH009.net
>>694
条件付き確率の場合のノーゲームは条件に合わない場合は除外するってことだよ
727:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:37:36 1uISJdvh.net
全く同じことなので必要ないのだが、一応、「犬」「猫」バージョンも書いておくぞ。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
データの総数を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
条件付き確率での「1/3」ってのはこういうこと。
実際にシミュレーションするときも(1)～(3)にならざるをえないので、
やっぱり 1/3 にしかならない。
728:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:40:11 1uISJdvh.net
>>696
だから、>>691でちゃんと、条件に合わない場合はデータを取ってないでしょ。
「見かけた1人が女子である」という前提が訪れなかった場合には、データを取っていない。
(3)の1行目のようにね。
そして、N が大きければ k/N は 1/3 に近づく。
729:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:50:42.08 48PsH009.net
>>698
データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
あと>>695は間違ってた、申し訳ない
>>691をペットの問題に戻すと、
見かけた1匹が犬でなかったときは見なかったことにして犬を見るまで繰り返すってことになり、
元の問題と全然違うことをやることになる
口説くて申し訳ないがペットの問題を条件付き確率で計算する場合の計算式は、
「見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率」だよ
730:１３２人目の素数さん
20/06/26 08:54:49.91 1uISJdvh.net
>>699
＞データをとらないだけでなくてやり直すこともせず除外するんだよ
ナンセンス。それでは反復試行にならない。
>>691において、データを取らず、やり直すこともしないなら、
その時点で全ての試行が止まってしまい、それ以上データが取れなくなる。
つまり、君は次のように言っていることになる。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この時点で 全 て の 作 業 を 終 了 す る 。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
これでは反復試行にならない。(3)の1行目で「猫」を引いた時点で終わってしまうからだ。
君は反復試行すら分かってないらしい。どうしようもないな。
731:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:00:24.52 48PsH009.net
>>700
(1)(2)(3)の試行全体を反復すればいいだけだよ
732:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:04:50.46 48PsH009.net
>>700
もうちょっと正確に書くと
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
こういうことだよ
733:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:05:07.64 1uISJdvh.net
>>701
それでは結局>>691と何も変わらないわけで、やはり 1/3 に収束するよ。
何が言いたいんだこの人は。
734:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:07:39.79 48PsH009.net
>>703
すまない >>702に書いておいた
(3)が違う
735:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:09:51.13 1uISJdvh.net
>>702
いや、だからね、これは>>691と言ってることが全く同じでしょ。
「この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いてあるけど、それはつまり
「2枚を山に戻して(2)に戻る」
とだけ書いてるのと一緒だからね。
一応言っておくけど、「データの総数を N として」というのはもちろん
紙にメモされた回数の全体を N としているのであって、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれてないんだよ(メモの前に(2)に戻るから)。
だから、前者の書き方でも後者の書き方でも何も変わらない。
どうしても>>702の書き方でないとイヤならそれでもいいけど、
結局その>>702の試行では 1/3 に収束してしまうわけで、君としてはそれでいいのか？
736:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:19:44.94 48PsH009.net
>>705
>>702でメモに残された(犬の数)/(犬と猫の総数)は1/2になるでしょ
(2)でカードを引いたとき、犬と犬が1/4、犬と猫が1/2、猫と猫が1/4
(3)で1枚めくって猫であるのは(1/4)*1+(1/2)*(1/2)+(1/4)*0=1/2だが記録しない
(3)で1枚めくって犬であるのは同じく1/2だが内訳は犬と犬が1/4、犬と猫が1/4なのでもう一枚めくって記録する犬と猫の数は同数になる
条件付き確率はその条件が起きた場合しか見ないんだよ
737:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:21:35.16 1uISJdvh.net
>>706
その計算は間違っている。
>>702は実際にプログラミングでシミュレーションを組んでみれば分かる。
これは実際に 1/3 に収束する。
738:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:23:07.10 1uISJdvh.net
こちらでも一応、ケチのつかない形の完全版の試行を記述しておく。
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
"メモが発生した回数" を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
注意：「メモが発生した回数」を N としているので、
(3)の1行目で猫だったケースは N には含まれない。つまり、(3)の1行目は
「表にしたカードが「猫」なら、この試行は除外し記録に残さず(2)に戻る」
と書いているのと全く同じ。
739:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:25:56 1uISJdvh.net
>>702と>>708は言っていることが全く同じなので、どちらでもいいのだが、
この試行は実際にプログラミング組んで実験してみると 1/3 に収束する。
プログラミングが組めないなら、手元で人力で頑張って1000回くらい試してみればいい。
この試行が 1/2 に収束するなんてありえない。これは確実に 1/3 に収束する。
740:１３２人目の素数さん
20/06/26 09:27:07 k8AOi6FK.net
sim <- function(){ # 1が犬、0が猫に対応
pets=rbinom(2,1,p=0.5) # 0.5の確率で1がでる乱数を2個選んでpetsとする
pet=sample(pets,1,prob=c(1/2,1/2)) # petsから等確率で1個選んでpetとする。
if(pet==1){ # petが１なら
return(sum(pets)==2) # petsの総和が2か否かを返す
}else{ # そうでないなら
return(NA) # NA(Not Available)を返す
}
}
# 100万回シミュレーションして割合=確率を近似
mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
結果は1/2に軍配が上がる
> mean(replicate(1e6,sim()),na.rm=TRUE) # NAを除いて割合を求める
[1] 0.4997591
741:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:18:27.99 1uISJdvh.net
>>710
こっちでもプログラミング組んでみたら1/2になった。
むかし同じ問題で実験したときは1/3だったはずだが、なぜだ！
742:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:27:03.86 nrysIALE.net
>>669
存在しない。
まず(x,y,z)がすべて自然数の場合は4行目の前提により存在しない。
自然数の3乗は自然数であり、純虚数の3乗は純虚数である。
(x,y,z)のうち1つが純虚数のとき、自然数２つの和または差が純虚数となりそのようなものは存在しない。
(x,y,z)のうち2つが純虚数のとき、純虚数２つの和または差が自然数となる。
純虚数の和または差が実数になるのは差が0のときだけだが、自然数の3乗は0でないのでこのようなものは存在しない。
(x,y,z)すべてが純虚数のとき、それぞれを3乗すると-in^3または+in^3の形になる。
両辺をiで割り必要ならば移行して整理すると、自然数a,b,cを用いて a^3+b^3+c^3=0 または a^3+b^3=c^3 のどちらかの形に変形できる。
いずれの場合もこれを満たす数は存在しない。
>>674
(1)a=0 とすると 2^(km+1)=n^m となる。左辺の素因数はすべて2だが右辺は2以外の素因数をもつため矛盾する。
(2)2^{1/(m+a)}=11/(2^k)であり、1＜2^{1/(m+a)}≦2 であるから k=3
このとき (11/8)^(m+a)=2 から (11/8)^m≦(11/8)^(m+a)＜(11/8)^(m+1) であるが (11/8)^2<2<(11/8)^3 のためこれを満たすのは m=2
このとき 1/a=log_(128/121)[11/8]
ここで (128/121)^5=34359738368/25937424601<11/8=1.375<4398046511104/3138428376721=(128/121)^6 であるから p=5
743:１３２人目の素数さん
20/06/26 10:38:03.49 1uISJdvh.net
(1) 2匹の全容を知っている第三者が「少なくとも1匹は犬」と小出しに教えている状況では1/3
(2)「あなた」が自分の目で片方だけ確認して犬だったという状況では1/2
(2匹に区別がなくランダムに片方を確認する形式でも1/2)
になるようだ。両者をプログラミングで実験すると、そうなっている。
両者に同じ出題をしながら同時並
744:行でシミュレーションするところを想像してみると、 (2)の設定では、確認した動物が猫だった場合は必ず前提から外れて排除になるが、 (1)だとそういうパターンのうちもう片方が犬のものは必ず前提に乗り上げることになり、 しかもそのケースでは猫が混じっているので「両方とも犬」は起こりえないことが(出題者視点では)分かっている。 つまり、(1)の方が(2)に比べて猫が混じっている出題が通過しやすくなり、「あなた」にとって不利になる。 別の言い方をすると、(2)では「自分の目で確認して犬だった」という前提によって 猫が混じっている出題を事前にある程度排除できているので、(1)より少し有利になる。 また、(2)については、「1匹目を目で確認した」とか「2匹目を目で確認した」とかでなく 「区別がない2匹からランダムに片方を確認した」という形式でも同じ理屈が通用して、 (1)より(2)の方が有利になる。 と考えると、(1)と(2)が少なくとも同じ確率にはならないことは明確になるか。 なんにせよ、すまんかった。
745:１３２人目の素数さん
20/06/26 11:50:28 k8AOi6FK.net
>>708
"
(1)「犬」と書かれたカードと「猫」と書かれたカードがたくさんある山を用意する。
山から1枚カードを引くとき、「犬」が出る確率も「猫」が出る確率も等しく1/2とする。
"
cards=rep(0:1,1e4) # 0：猫 1:犬のカードが1万枚
"
(2) A君は山から2枚のカードを引き、その2枚を手元でシャッフルし、2枚の中から1枚を表にする。
"
sim <- function(){
drawn=sample(cards,2) # 2枚のカードを引き
index=sample(2,1) # 2枚の中から1枚を
turned=drawn[index] # 表のカード
hidden=drawn[-index] # 裏のままのカード
"
(3) 表にしたカードが「猫」なら、2枚を山に戻して(2)に戻る。
表にしたカードが「犬」なら、もう1枚のカードを表にして、そこに書いてある文字を紙にメモする。
そして、2枚を山に戻して(2)に戻る。
"
if(turned==0){ # 表のカードが猫0なら
res=NA # 返り値にNA(Not Available)を
}else{ # そうでない（表のカードが犬1なら
res=hidden # 裏のままのカードの記載を返り値に
}
return(res)
}
"この作業を延々と繰り返してメモに書かれたデータを蓄積していく。
メモが発生した回数 を N として、N 回分のデータのうち「犬」が書かれた回数を k とすれば、
k/N は N が大きければ大きいほど 1/3 に近づく。
"
M=replicate(1e5,sim()) # １０万回繰り返して
N=sum(!is.na(M)) # 返り値がNAでない（＝メモが取られた)回数をNとする
k=sum(M,na.rm=TRUE) # 返り値が犬1である個数を返す
k/N
実行結果は、
> k/N
[1] 0.4981091
746:１３２人目の素数さん
20/06/26 12:12:49 /now+Nzk.net
ね、水掛け論になるでしょ？ww
747:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:31:21.50 /T8TwJiQ.net
Nを自然数の定数とする。
n≦Nにおいて不等式 0 < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をa[n]とおく。
同様に、n≦Nにおいて不等式 1/(n+1) < sin(n) < 1/n を成立させる自然数nの個数をb[n]とおく。
極限l im[N→∞] b[n]/a[n] を求めよ。
748:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:47:00.22 vWIavpz8.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
東大院試2018
749:１３２人目の素数さん
20/06/26 13:52:35.56 /now+Nzk.net
>>716
メチャメチャ
750:１３２人目の素数さん
20/06/26 14:13:29.51 wF3i1P2Q.net
神野友亜いる？
751:イナ
20/06/26 15:34:24.79 KRtQ4T4I.net
前>>610
>>621
1か🤦♂1が間違ってるね。
1/3じゃない。
理由は題意。
ペットが犬である確率は50%だから、
確率は1/2
∴示された。
752:イナ
20/06/26 15:56:29.60 KRtQ4T4I.net
前>>720アンカー訂正。
前々>>660
753:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:06:41.11 k8AOi6FK.net
>>621
これの問４を改題して
拳銃を一発撃ったときに、狙った相手を撃ち殺す確率は、
Ａは 1/3、Ｂは 1/2（50%）、Ｃは 1/1（100%）とします。
なお、この確率は、全員が知っているものとします。
拳銃を撃つ順番は、Ａ、Ｂ、Ｃの順番で、以降は最後の一人が生き残るまでこの順番を繰り返すものとします。
Ａ、Ｂ、Ｃは拳銃を撃つときに誰を狙っても良いこととします。ただし、一発で二人を狙うことはできません。
Ａ、Ｂ、Ｃの生き残る確率を求めなさい。
とするとどうやって解くのだろう？
シミュレーションしてみたら、A:1/2 B:1/6 C:1/3になった。
解析解は賢者にお任せします。
754:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:13:47.26 k8AOi6FK.net
>>720
ドッグフードを食べる猫やテレビから聞こえた犬の鳴き声の可能性が考慮されていないから、不合格！
755:１３２人目の素数さん
20/06/26 16:16:27.74 k8AOi6FK.net
>>722
シミュレーションのコードはここ
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:49番)-50
１００万回のシミュレーション結果は
> k=1e6
> re2=replicate(k,f2())
> apply(re2,1,mean)
[1] 0.500167 0.167806 0.332027
756:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:10:20.01 mmW28Nrs.net
>>722
狙う対象に自分を含むケースは無いのだろうか
自分が最も生存できるようにとの前提がないし
757:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:34:08.20 pucURpis.net
>なお、この確率は、全員が知っているものとします。
これは自己生存確率が最大になるように行動する、という意味と解釈してプログラムした。
758:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:53:24.24 F3NztK4m.net
>>715
数学的に明確な表現ならば、水掛け論になってもそこで終わらずに結論が出るというのは数学版の特徴だと思いました。
今回、以下の数学的な命題
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合、二匹とも犬である確率は1/2である。」
を私がすぐに提示できればよかったのですが、色々な例を出して混乱を生じさせてしまいました。
しかしれそれによって私の理解が深まったところはありました。
759:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:54:13.44 F3NztK4m.net
「佐藤さんが一匹の犬を連れているのを見た場合に、二匹とも犬の確率は？」
上記についてですが、素直に解釈すると、
「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」
と考えることができるので1/2になると思われます。
ただし「佐藤さんが一匹の犬を散歩させているのを見た場合」というような状況で、
「犬を散歩させることはあっても猫を散歩させることはない」というような前提を置くと、
単に犬が一匹以上いるということ以上の情報はないので確率は1/3になると思われます。
（あまり確信をもって言っているわけではありませんが・・・。）
760:１３２人目の素数さん
20/06/26 17:55:06.14 F3NztK4m.net
もともとの問題（>>621）の問2ですが、
論拠1は、問題Aが数学的に明確な言葉で書かれているので正しいです。
論拠6は、論理的に正しいです。
論拠2、論拠3は、問題B、問題Cが数学的にあいまいな言葉で書かれているので、色々な解釈をとることができますが、まあ多少のことに目をつぶって自然な解釈をすると正しいと言えます。
論拠4ですが、問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4A)「ペットのうち少なくとも一匹は犬である」という意味で解釈をすると、問題Dの答えは1/3になるので、論拠4は正しくありません。
問題Dの「佐藤さんの家から一匹の犬の鳴き声が聞こえた」というのを
(解釈4B)「佐藤さんの家から一匹のペットの鳴き声が聞こえ、それが犬の鳴き声だった」という解釈をすると、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」と同じになりますので、問題Dの答えは1/2になります。
しかし、後者の解釈をとった場合は、論拠5が正しくなくなります。
論拠5の中の場合分けの中の「一匹の犬の鳴き声が聞こえた場合」は、「二匹のペットのうち任意の一匹をとったときにそれが犬だった場合」という意味ではありません。(解釈4A)の意味に近いものになります。
したがって、
(解釈4B)をとった(D)の答え <= (C)の答え
にはなりません。
以上でどうでしょうか。
761:１３２人目の素数さん
20/06/26 18:54:22.72 nrysIALE.net
>>729
どうかと言われても、その返答を企業の面接担当がどう評価するかなどわかるわけもない。
少なくとも、数学板のスレに書き込むような数学にある程度の興味を持っている人間相手にすら全員一律に納得させるのは難しい
ということはここまでのやり取りでわかるだろう。
いわゆる人によって何が正しいかの感じ方が色々ある問題なので、あなたがそれで正しいと思うのならそれがあなたにとっての正しい解答でしょう。
企業の出題意図としては「正しい回答を出せるか」よりも「相手を納得させられる回答をできるか」を問う
762:問題のように思われますので 解答に説得力があるかどうかを評価点とするのが妥当かと思いますが、その評価方法は数学の話ではないので出題者に聞いて下さい。
763:１３２人目の素数さん
20/06/26 19:52:28.94 k8AOi6FK.net
狙撃成功率しらないとして、相手をランダムに選んで（但し、自分自身は狙撃しない）でシミュレーションしてみたら
ｽﾚﾘﾝｸ(hosp板:51番)
A、B、Cの生存確率はほぼ均一になった。
> RandomDuel(1/3,1/2,1)
[1] 0.33318 0.33410 0.33272
ちなみに狙撃成功率が全員１とすると
> RandomDuel(1,1,1)
[1] 0.00000 0.49837 0.50163
Aは必ず撃たれて死亡するという当然の結果になった。
764:１３２人目の素数さん
20/06/26 20:17:37 +EkUCPkX.net
(Case AB)A,Bだけが健在で、手番がAの場合。
この状態から、Aが勝つ確率=1/3+(2/3)(1/2)(1/3)+{(2/3)(1/2)}^2(1/3)+...=1/2
(Case BA)A,Bだけが健在で、手番がBの場合。
この状態から、Bが勝つ確率=1/2+(1/2)(2/3)(1/2)+{(1/2)(2/3)}^2(1/2)+...=3/4
(Case AC)A,Cだけが健在で、手番がAの場合。 この状態から、Aが勝つ確率=1/3
(Case CA)A,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case BC)B,Cだけが健在で、手番がBの場合。 この状態から、Bが勝つ確率=1/2
(Case CB)B,Cだけが健在で、手番がCの場合。 この状態から、Cが勝つ確率=1
(Case CAB)全員健在で、手番がCの場合
CがAを撃てば、CaseBCに移行。Bが勝つ確率=1/2なので、Cの勝つ確率は1/2
CがBを撃てば、CaseACに移行。Aが勝つ確率=1/3なので、Cの勝つ確率は2/3
従って、CはBを撃つのが妥当(※)で、Cの勝つ確率は2/3
(Case BCA)全員健在で、手番がBの場合
BがAを撃ち、当たれば、CaseCBに移行し、C必勝。Bの勝つ確率0
BがCを撃ち、当たれば、CaseABに移行し、Aの勝つ確率は1/2なので、Bの勝つ確率1/2
Bがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseCABに移行。前述の通り、CaseCABになったとき、Bの勝つ確率は0が妥当
Bの最善手は、Cを狙うことで、この時の勝つ確率は、(1/2)*(1/2)=1/4
765:１３２人目の素数さん
20/06/26 20:18:12 +EkUCPkX.net
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがBを撃ち、当たれば、CaseCAに移行し、C必勝。Aの勝つ確率0
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12がこの時のAの勝つ確率
つまり、このゲームにおいて、Aの第一手の最善手は、わざと外すこと。
A:B:Cの勝率 = 5/12:1/4:1-(5/12+1/4) = 5/12 : 3/12 : 4/12 が妥当な勝率(比)と思われる。
766:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/26 20:38:13 KRtQ4T4I.net
前>>720
>>723そんな題意にないことを想定せないかんような入社試験は機能してないだら？
1で答えが出てしもて2以降に触れんのはどうだかいね？ と採否でだれかとてんびんに掛けられたら、あるいはとは思うけども。
767:１３２人目の素数さん
20/06/26 21:29:34.02 48PsH009.net
あんた三河の人だったんか
768:１３２人目の素数さん
20/06/26 22:19:46.57 /now+Nzk.net
一手目のAの戦略がミソだな
769:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/26 22:44:51 KRtQ4T4I.net
前>>734
>>735そうでもないよ。
国一沿いのトイザらス行ったことはある。
770:１３２人目の素数さん
20/06/26 23:45:57.18 F3NztK4m.net
>>733
わかりやすくて見事な解答なので何度も読み返してしまいました。
こういう説明ができるようになりたい。
私が計算したときは、Aがわざと外すに気が付かず、生き残る確率は、
B ＞ A ＞ C
の順番になってました（計算ミスしているかもしれないので詳細は省略（笑））
トップだと思っていたBは実は最下位だったのですね。
771:イナ
20/06/27 02:24:56.12 OMuVACiF.net
前>>737
>>601
y=x^2をy軸について回転させた容器の水のx≧0側半分、容積π/4の物体を、
平面y=xが7:1に分け�
772:驍ｱとが示せれば、 (π/4)(1/8)=π/32 π/2-π/32=15π/32
773:１３２人目の素数さん
20/06/27 06:28:55.24 AZV4v9kW.net
わざと外すというのは狙撃確率が固定されているのでルール違反の気もする。狙撃手が選べるのは誰を狙うかだけが前提の気がするんだが。
コインの表の出る確率が1/2の問題に１回目は表を出しましたと言われた気がした。
774:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:07:00.70 ZrO1xjX+.net
>>740
ルールには「順番に一発ずつ拳銃を撃って」「狙った相手を撃ち殺す確率は、...」「誰を狙っても良い」「一発で二人を狙うことはできない」と書かれているだけなので、ルール上は、わざと外す（誰も狙わずに撃つ）はOKと思われる。
この問題をAIが解けるかという観点で考えてみると、
ルールのスキマを見逃しやすい（今回の例だと「順番に誰か一人を狙って撃つ」と勘違いしてしまう）のはむしろ人間の弱みで、その点はむしろAIの方が強い。
一方で、拳銃を撃つ行為にはわざと外すという行為が可能であり、その行為には失敗がないこと、を知っている必要がありそこはAIが弱いところか。
775:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:07:04.19 AZV4v9kW.net
>>733
(Case ABC)全員健在で、手番がAの場合
AがCを撃ち、当たれば、CaseBAに移行し、Bの勝つ確率は3/4なので、Aの勝つ確率1/4
AがCを撃ち殺す確率は1/3なので
AがCを撃ち殺したのちにBも撃ち殺して生き残る確率は1/3*1/4=1/12 -----(1)
Aがいずれかを撃ち、はずれれば、CaseBCAに移行。
この時のBの最善手は、前述の通りCを狙うことで、
当たれば、CaceABになり、CaseAB下でのAの勝つ確率は 1/2
はずれれば、CaseCABになり、CaseCAB下でのAの勝つ確率は 1/3
当たるか、はずれるかは、Bの命中率に依存するので、(1/2)(1/2+1/3)=5/12 -----(2)
Aの生存確率は(1)+(2)=6/12=1/2になる気がするんだが。
776:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:10:20.02 AZV4v9kW.net
>>741
狙撃手Cにはわざと外すという選択肢がないのだが。
777:１３２人目の素数さん
20/06/27 07:31:04 AZV4v9kW.net
>>734
ドッグフードを食べていたのは、
犬でも猫でもなくて飼い主の可能性も考慮というレスを期待していたのに。イナ大先生の芸風にほころびがｗ
778:イナ
20/06/27 10:01:57.67 OMuVACiF.net
前>>739
>>597
5分後のＸの水面の高さは5/18
このときＹの水面の高さは、
(5/18)×6=30/18=5/3
満杯になると、
(5/3)×(15/5)=5
高さの比はＸ:Ｙ=1:5だから、
底面積の比はＸ:Ｙ=5:1
ＹをＸの中に置くとＸの底面積は4になるから、
5:4=15:12
∴12分
779:１３２人目の素数さん
20/06/27 10:59:49.17 7F1KO1OI.net
任意の自然数kに対して、
(1/2){(m+n-1)^2+(m-n+1)}=k
を満たす自然数の組(m,n)がただ1組存在することを証明せよ。
またk=1010*2021のとき、(m,n)を求めよ。
780:１３２人目の素数さん
20/06/27 12:03:16.41 rTsmeJAV.net
∀k∈N ∃!x,y∈N
2k = x^2+y,
x≡y (mod 2),
y∈[x^2-x+2, x^2+x]
781:１３２人目の素数さん
20/06/27 12:21:36 aGX51zSu.net
>>746
xy平面の第1象限に含まれる格子点に以下のルールで順序を与え点列とする。
(i)座標の和が小さい点が先
(ii)座標の和が等しい点同士はx座標の小さい点が先
すなわち
(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),……
のように並ぶ。
この点列のk番目の座標を(m,n)とすると>>746の条件を満たす。
k=1010*2021のとき、(m,n)=(2020,1)
座標の和に関する群数列として求めるのがよいと思う。