20/06/15 19:46:20.31 V+0qMkPB.net
たとえばトライ中学生の講義だとこんなかんじ
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
478:１３２人目の素数さん
20/06/15 19:48:22.54 cce83oWe.net
ご回答いただいた皆様ありがとうございます。私としては、>>456
で書かれてるように思っていました。
方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
479:１３２人目の素数さん
20/06/15 19:55:26 c9kHryWL.net
これは難しい問題だな
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
480:１３２人目の素数さん
20/06/15 20:18:26.52 E3RuoH8H.net
>>459
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、
そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
481:１３２人目の素数さん
20/06/15 21:24:31.85 qWGy1lbr.net
>>459
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？
＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題な
482:ので 「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。 「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。
483:１３２人目の素数さん
20/06/15 21:37:42.84 ifGf5gss.net
蛇足だから×って乱暴だな
484:１３２人目の素数さん
20/06/15 21:43:08 cce83oWe.net
>>461
中1の教科書には左がx座標で右がy座標ということは書いています。
485:１３２人目の素数さん
20/06/15 21:51:02 E3RuoH8H.net
>>464
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
486:１３２人目の素数さん
20/06/15 22:01:43.33 sqOEFPjz.net
座標を求めるなら(2,5)が一番正確だが、
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
487:１３２人目の素数さん
20/06/15 22:30:35.78 sqOEFPjz.net
ちなみに厳密にいえば、方程式の解を「x=2」みたいに書き表すのも間違い
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
488:１３２人目の素数さん
20/06/15 22:31:40.85 RCsCqPnq.net
>>465
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
489:１３２人目の素数さん
20/06/15 22:59:50 E3RuoH8H.net
>>468
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
490:１３２人目の素数さん
20/06/15 23:10:51.38 cXGUeLEg.net
>>469
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない
要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
491:１３２人目の素数さん
20/06/15 23:20:34.87 4U/+A0FS.net
こちらを教えて欲しいです。
お願いします。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
492:１３２人目の素数さん
20/06/15 23:29:45.55 E3RuoH8H.net
>>470
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
493:１３２人目の素数さん
20/06/15 23:49:37.70 cXGUeLEg.net
>>472
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない
整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな
現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
494:１３２人目の素数さん
20/06/16 00:05:48.41 3yLgVs0A.net
みなさま色々なご意見ありがとうございました。
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
495:１３２人目の素数さん
20/06/16 01:31:48.26 0OScLIAy.net
思い込みには気をつけるんだな
496:１３２人目の素数さん
20/06/16 03:43:30.88 4svmpCM1.net
A=a+√((a+b)(a+c))
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする
(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ
展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
497:１３２人目の素数さん
20/06/16 03:51:17.21 G/kW9rJq.net
平面上に定点Oをとり、Oを原点とする2次元座標を導入することを考える。
（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
498:１３２人目の素数さん
20/06/16 04:52:38.21 NJOHSbaF.net
lim［n→♾］（1+1/n）^n=e=2.7182818284590...
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
499:１３２人目の素数さん
20/06/16 05:19:34.62 iW1kgSuD.net
xyz空間の単位円周C:x^2+y^2=1(z=0)上を、半径rの円板Dが以下のようにして動く。
(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるC
500:の接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。 Dが動いてできる曲面を分類せよ。
501:１３２人目の素数さん
20/06/16 11:26:38.90 pgPo+umu.net
>>478
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？
総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
502:１３２人目の素数さん
20/06/16 11:50:33.53 pgPo+umu.net
>>477
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。
(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
503:１３２人目の素数さん
20/06/16 12:10:30.96 MA7a0AZ4.net
>>476
まず
A - a = A' B - b = B' C - c = C'
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s) (← 展開する)
= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
= A'B'C' - (st-u)
+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},
題意により
A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
B'C' - (b+c)A' = 0,
C'A' - (c+a)B' = 0,
A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
504:１３２人目の素数さん
20/06/16 12:47:20.18 4svmpCM1.net
>>482
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
505:１３２人目の素数さん
20/06/16 13:21:53.96 4svmpCM1.net
いま少し思ったのは
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね
この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について
A+B+C=ABC
を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
506:１３２人目の素数さん
20/06/16 13:49:02.08 0OScLIAy.net
マルチなのに無視されんかったんか
507:１３２人目の素数さん
20/06/16 13:58:13.62 MA7a0AZ4.net
いま少し思ったのは
ab+bc+ca=1 で規格化すると
a = 1/tanα, b = 1/tanβ, c = 1/tanγ,
α+β+γ = π, (⊿の3つの角)
とおける。このとき
A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって ⊿の3つの角だから
A+B+C = ABC.
508:１３２人目の素数さん
20/06/16 14:06:56 4svmpCM1.net
>>486
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！
三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
509:１３２人目の素数さん
20/06/16 14:16:40 4svmpCM1.net
いや、単純に3変数の加法定理でいいのか
tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0
よりα+β+γ=nπ(nはある整数)
cot(
510:(α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
511:１３２人目の素数さん
20/06/16 16:02:39.30 NXbumSQO.net
3次元空間の異なる位置に点P_1,P_2,...,P_nを置いていく。
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
512:１３２人目の素数さん
20/06/16 17:47:19.31 LARge507.net
領域の不変性という以下の定理がブラウアーの不動点定理の系として得られるようなのですが
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください
(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
513:１３２人目の素数さん
20/06/16 18:31:32 pgPo+umu.net
>>489
n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき 一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。
任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。
つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
514:１３２人目の素数さん
20/06/16 18:40:27 vq+fSYnv.net
>>491
>n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
515:１３２人目の素数さん
20/06/16 18:41:22 pgPo+umu.net
>>491
盛大なる勘違いをしていた。>>491は根本的に間違いです。無視してくださいすみません。
516:１３２人目の素数さん
20/06/16 21:22:43.29 MA7a0AZ4.net
>>488
ABC予想が解決ですか｡｡｡
517:１３２人目の素数さん
20/06/17 01:14:00.51 dd2G4ZPa.net
>>480
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
518:１３２人目の素数さん
20/06/17 01:22:00.02 TiPmT7LZ.net
>>478
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
519:１３２人目の素数さん
20/06/17 02:10:01.92 jU+nQbRs.net
>>478
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
520:１３２人目の素数さん
20/06/17 10:40:03.36 3vfYYD40.net
>>495
つまり>>478のlim［n→∞](1+1/n)^n=e から lim［n→∞](1-1/n)^(-n)=e を示せばええんやな？
n=N+1 とおくと、n→∞ のとき N→∞ である。
(1-1/n)^(-n)={1-1/(N+1)}^(-N-1)
={N/(N+1)}^(-N-1)
={(N+1)/N}^(N+1)
=(1+1/N)^(N+1)
=(1+1/N)*(1+1/N)^N
→1*e=e
521:１３２人目の素数さん
20/06/17 11:08:25.33 RULVX7n4.net
今まで恋人がいなかった時間と、これから巡り会うまでの時間は無関係だとすると、
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
522:１３２人目の素数さん
20/06/17 13:06:57.47 ubQWTkww
523:.net
524:１３２人目の素数さん
20/06/17 13:21:46.05 rkakzL0r.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
525:１３２人目の素数さん
20/06/17 13:34:42.04 rkakzL0r.net
>>501
よく考えたら答え3かなあ
526:１３２人目の素数さん
20/06/17 13:42:07.58 lMu+/WT6.net
BC=a,CA=b,AB=c,0<a≦b≦cの△ABCにおいて、∠CAB=α,∠ABC=β,∠BCA=γとする。
以下のx,y,zの大小を比較せよ。
x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
527:１３２人目の素数さん
20/06/18 09:42:13.50 CYG0FbB2.net
(1/a)+(1/b)-(1/c)=1/d
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。
（1）a=b=c=d
（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。
（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。
（4）a,b,c,dはすべて異なる。
528:１３２人目の素数さん
20/06/18 10:51:55.03 pULdTssQ.net
２変数多項式f(x,y)が任意のx,y,zに対して以下の二条件を満たすときの一般解を求めよ
（１） f(x,y)=f(y,x)
（２） f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
529:１３２人目の素数さん
20/06/18 12:14:49.53 yuRO46b1.net
>>504
1/a + 1/b = 1/c + 1/d,
(1) 無数にある。
(2) ない。
(3) 無数にある。 (x,y,z) = (3n,2n,6n) (4n,3n,6n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
530:１３２人目の素数さん
20/06/18 12:32:12.75 yuRO46b1.net
(3) 無数にある。 (x,y,z) = ((2m-1)n, mn, m(2m-1)n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)
*) １組あれば、そのa～dをn倍したものも可
531:１３２人目の素数さん
20/06/18 15:21:21.18 F4jhkTZx.net
有限生成アーベル群の 部分群は有限生成である事を示してください。
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
532:１３２人目の素数さん
20/06/18 15:52:50.07 PKg1Ay6A.net
>>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。
主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
533:１３２人目の素数さん
20/06/18 16:47:27.86 MooqUMpf.net
>>508
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①
特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
534:１３２人目の素数さん
20/06/18 16:59:04.59 yuRO46b1.net
>>550
f(x,y) = a xy + b(x+y) + c,
ここに bb-b-ac = 0.
535:１３２人目の素数さん
20/06/18 17:14:13.95 F4jhkTZx.net
>>509 ありがとうございます。理解できました。
>>510 ネーター云々は私にはレベルが高すぎました。申し訳ない。
M :=＜s1,s2,..,sM＞, M' ⊂ M
L := ＜s2,..,sM＞ ⊂ M
N := M/L = ＜[s1]＞
L':= L∩M' {有限生成 ∵L'⊂L}
N':= M'/L' {有限生成 ∵M'/L'≃(M'+L)/L ⊂ M/L=N}
完全系列: 0→ L'=L∩M' → M' → M'/L'=N' → 0
補題より M' は 有限生成
536:１３２人目の素数さん
20/06/18 17:40:23.24 O0ypD0fT.net
数直線上の点0に点Pが置かれている。
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。
（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。
（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
537:１３２人目の素数さん
20/06/18 19:22:33.51 ScdplQZO.net
>>505
これ、連続関数ならどうなるんだろ？
538:１３２人目の素数さん
20/06/18 19:58:33 yuRO46b1.net
>>511 以外にもある？
539:１３２人目の素数さん
20/06/18 20:42:46.67 ++bXFhVL.net
n=6のとき最大
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)
(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)
(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
540:１３２人目の素数さん
20/06/18 20:55:34.92 pULdTssQ.net
f(x,y)=(x+y)/(1-xy) とかもOKみたい
((x+y)/(1-xy)+z)/(1- (x+y)z/(1-xy)) -(x+(z+y)/(1-zy))/(1-x(z+y)/(1-zy))=0
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
541:１３２人目の素数さん
20/06/18 21:51:08.22 ScdplQZO.net
>>517
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)
他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
542:１３２人目の素数さん
20/06/18 22:14:48 ScdplQZO.net
可換かつ結合的な演算●があるところへ全単射gがあれば
f(x,y)=g^-1(g(x)●g(y))
として可換かつ結合的な演算を得られるのか
>>511 はg(x)=ax+bで、●として通常の積を採用したものになってる
>>517 はg(x)=arctanxで、●として通常の和を採用したものになってる
543:１３２人目の素数さん
20/06/18 22:58:37.92 MpFvMcz/.net
>>516
lim[n→∞] a[n] はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
544:１３２人目の素数さん
20/06/18 22:59:28.79 xkP0ZjJZ.net
>>520
2/7
545:１３２人目の素数さん
20/06/19 05:06:07.60 GCb30kF+.net
X1, ...., Xnをベルヌーイ分布に従う独立な確率変数
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
546:１３２人目の素数さん
20/06/19 06:18:12.97 47T3iJLT.net
ならない
547:１３２人目の素数さん
20/06/19 13:52:04.59 HefmQN8k.net
>>521
せいかい
>>513を厳密に解きたい方はこちらへ
URLﾘﾝｸ(zakii.la.coocan.jp)
他スレに貼られた応用問題もこれでいける
548:１３２人目の素数さん
20/06/19 14:03:16 GCb30kF+.net
>>523
>>522がですか？
549:１３２人目の素数さん
20/06/19 14:32:01.89 IfhMapdU.net
>>503
x ≦ y ≦ z,
(左側)
〔補題〕 ⊿の辺と角は同順序
0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα (←正弦定理)
= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2) (←和積公式)
= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2) (←α+β+γ=π)
= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2), etc. (終)
よって題意より
0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,
これより
1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,
f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2 とおくと
x = f(b/a, c/b)
y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴ x ≦ y,
(右側)
uvw=1 のとき u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v, ････ (*)
∴ y ≦ z,
*) 佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
p.26 演習問題1.75
550:１３２人目の素数さん
20/06/19 18:27:26.70 GCb30kF+.net
>>522
どなたかおねがいまします
551:１３２人目の素数さん
20/06/19 19:29:00.40 IfhMapdU.net
(補題) の略証
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ, (←正弦定理)
・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
sin は 0～90°で単調増加だから成立。
・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。
*)
(u/w + u/w + w/v)/3
= (u/w + u/w + uww)/3 (← uvw=1)
≧ u, (← AM-GM)
巡回的にたす。
552:波の人
20/06/20 14:08:16.68 vxR4m7V3.net
桜じゃありません。本当にわからないです
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです
よろしくお願いします。
553:１３２人目の素数さん
20/06/20 14:16:43.70 6/06+ZSW.net
「波になる」てどう言う意味？
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
554:１３２人目の素数さん
20/06/20 14:19:53.37 C
555:tYe69Zx.net
556:イナ
20/06/20 15:15:20.09 m+z4y6nz.net
前>>386
>>531
(a-1)^2/p＞b＞pa^2のとき、
pc^2＞d＞(c-1)^2/p
pa^2＞b＞(a-1)^2/pのとき、
(c-1)^2/p＞d＞pc^2
辺々掛けてc^2(a-1)^2＞bd＞a^2(c-1)^2
またはa^2(c-1)^2＞bd＞c^2(a-1)^2
557:１３２人目の素数さん
20/06/20 16:13:42.11 3GFxA0wR.net
>>529
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
558:１３２人目の素数さん
20/06/20 16:17:22.97 3GFxA0wR.net
>>529
三角関数使いたくなかったら
y=exp(i*x)+exp(-i*x)とかどうかなあｗ
559:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:09:54.07 Y1MEvwr9.net
>>530
>>533
ありがとうございます。波にならないですね
(y^2+1/y^2)=(x^2+1/x^2)
この式ならどうでしょう？このサイトでもグラフ化されなかったのですが
560:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:11:07.71 Y1MEvwr9.net
>>534
虚数も使いたくないです
561:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:23:14.86 Y1MEvwr9.net
色々式変えてみたのですが、yとxだけで波になるのは難しいようですね
もし見つかりましたら教えてください
562:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:26:58.90 2707bbaz.net
波になるってのが何かわからんとわからん
563:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:32:42.42 3GFxA0wR.net
>>535 のグラフ作れるよ
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
微分方程式ならできるけど、これも嫌だとするともうお手上げか
y + (d/dx)^2 y == 0
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
564:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:44:21 Y1MEvwr9.net
>>539
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
565:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:48:32 hsq8T7LL.net
テイラー展開を有限項で切れば途中までは波っぽくなるだろうけど
数学的には>>538だな
566:１３２人目の素数さん
20/06/20 17:53:22.15 UxxrWUEm.net
>>540
＞物理の単位を作りたいのでNGです
マクスウェル方程式知らないの？
567:１３２人目の素数さん
20/06/20 18:02:40.03 3GFxA0wR.net
>>540
単位なんか時定数かければ揃えられる
((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
568:１３２人目の素数さん
20/06/20 18:19:07.40 rSe2B6jP.net
T=0 ｔ＝T
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0 （PU時）
→YT（D）＝ｄY０ （PD時）
C０→CT（U）
→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D） CT＝CT（U）,CT（D） XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
｛ ０（YT－K<０）｝
569:１３２人目の素数さん
20/06/20 18:21:08.89 RpizhPTb.net
y = 4 (-1)^[x/π] {x/π} (1-{x/π})
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
570:１３２人目の素数さん
20/06/20 18:41:10 tzFG6qz7.net
Rで描いてみた
f <- function(x,y) (y^2 + y^-2)*x^-2
x=y=seq(-20,20,len=200)
z=outer(x,y,f)
contour(x,y,z,levels = 1, bty='n',drawlabels = F,asp=1)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
g <- function(x,y) x^2+x^-2 - y^2 -y^-2
w=outer(x,y,g)
contour(x,y,w,levels=0, bty='n', drawlabels=F, asp=1)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
571:１３２人目の素数さん
20/06/20 18:47:41 gxQjJnHj.net
三角関数は、単振動とかで現れる波そのものなんだから、三角関数使いたくないということは、
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
572:１３２人目の素数さん
20/06/20 19:00:42 RpizhPTb.net
>>545
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
573:１３２人目の素数さん
20/06/20 19:19:13.35 RpizhPTb.net
>>545
|y - sin(x)| ≦ 0.05601
＠ x = (n±0.1502333)π
574:１３２人目の素数さん
20/06/20 19:43:09.76 RpizhPTb.net
>>535 >>539
g(x,y) = y^2 + 1/(y^2) - x^2 - 1/(x^2)
= (y^2 - x^2) + (x^2 - y^2)/(xy)^2
= (y^2 - x^2){(xy)^2 - 1}/(xy)^2
= (y-x)(y+x)(xy+1)(xy-1)/(xy)^2,
よって
y = ±x, (45°線、原点を除く)
y = ±1/x, (直角双曲線)
の4つに退化する。
575:１３２人目の素数さん
20/06/20 19:49:27.58 B6UCbhfA.net
>>537
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります
y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります
y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります
こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね
波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています
で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ
ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
576:１３２人目の素数さん
20/06/20 21:22:16.39 FErV7Cg/.net
>>522
お願いします
577:１３２人目の素数さん
20/06/20 21:32:57.14 6/06+ZSW.net
ベッセル関数や楕円関数の波もある
578:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:08:11.18 a2GfXqVt.net
非斉次微分方程式の特解って、グリーン関数の方法を使わなければ人によって変わりますよね？なんでそれで大丈夫なんですか？
579:波
20/06/20 22:34:44 xNDcWa2+.net
>>551
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？
三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし
円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです
完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
580:波
20/06/20 22:40:27 xNDcWa2+.net
たぶんyとxをmに習合するとyの面範囲になって確率表現になると思うんですけど
あ、まったくわからないです
581:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:41:06 Kd3tCo0e.net
2＋7=4
4＋6=9
3＋9=？
582:１３２人目の素数さん
20/06/20 22:41:51 xNDcWa2+.net
いま思っただけです
583:１３２人目の素数さん
20/06/20 23:40:30 3GFxA0wR.net
習合という単語にとんと聞き覚えがないので
辞書を引いてみたんだよね
「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」
なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
584:１３２人目の素数さん
20/06/21 00:54:50.67 2Oslh1MN.net
>>555
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します
Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
585:１３２人目の素数さん
20/06/21 10:08:29.44 TWkOlglI.net
偏微分方程式の変数分離法って方法がありますが、その解の線形結合で表される解以外の解があることってあるんでしょうか？
あんがい応用系の本には載ってないもので…
586:１３２人目の素数さん
20/06/21 10:42:59.50 Wwj5EQcX.net
（１） x^n + y^n = z^n + 1
（２） x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
587:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:08:29 GMWA6QXT.net
1)x=1 y=z=0
2)x=y=0 z=1
588:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:46:01.14 v7KbAOUS.net
>>561
線形なら無い
589:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:47:20.03 6R/grUKn.net
TをXの確率変数として、Pr(x,t)を考えます。
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
590:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:50:04.50 cHlUFTfv.net
当たり前
591:１３２人目の素数さん
20/06/21 11:53:31.95 TWkOlglI.net
>>564
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
592:１３２人目の素数さん
20/06/21 14:03:31.74 TNWiRm1q.net
nは自然数の定数とする。
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
593:１３２人目の素数さん
20/06/21 14:21:02.37 Wwj5EQcX.net
>>562
非自明な解は6^3+8^3=9^3-1だけ見つかった。他にあるかどうかは不明
594:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:05:00 nFN2fLDa.net
>>568
k = n
（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。
補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。
補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。
（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。
エレガントな証明は他の人に譲ります
595:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:13:18 Wwj5EQcX.net
>>569 >>562 有名なのがあった 9^3+10^3=12^3+1^3=1729
597:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:21:56 Wwj5EQcX.net
(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1 (オイラー）で無限個あるそうな.-1の方もn=3のときは無限個あるそう
598:１３２人目の素数さん
20/06/21 16:42:20 6R/grUKn.net
>>565
お願いします
599:１３２人目の素数さん
20/06/21 19:08:17.24 ScL+3aN1.net
>>573
>>566で返答が得られていると思うけども。
この手の自明なことを証明せよということは、定義に忠実に従った記述が求められているわけで
Pr(x,t)やPr(x)の定義が正確に記述されてない以上こちらで勝手に決めつけて答えにくいわけで
自明ですね、となるわけだ
600:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:07:20.38 KCThDFGX.net
>>568
a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
≧ (n,k+1) (1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
601:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:08:37.59 6R/grUKn.net
>>574
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
602:１３２人目の素数さん
20/06/21 20:59:39.08 ScL+3aN1.net
>>576
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。
確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
603:１３２人目の素数さん
20/06/22 10:35:54.84 HOq0vlXr.net
>>572
n=3 の場合
y^3 = z^3 - x^3 + 1
= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
y = (2x+z)/(z-x)
= 3x/(z-x) +1
= (1/3)(z-x)^3 + 1,
z = x + (z-x),
これより
x = 9t^4,
y = 9t^3 + 1,
z = 9t^4 + 3t,
604:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:00:47.55 qRmIzlOs.net
xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線をL_Pとする。
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
605:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:32:25.31 ehbh7JVm.net
lim[x→∞]曲率半径=1
lim[x→-∞]曲率半径=0
606:１３２人目の素数さん
20/06/22 13:35:46.44 hAoLuEgD.net
lim[x→∞]曲率=1
lim[x→-∞]曲率=0
607:１３２人目の素数さん
20/06/22 15:29:36.80 FzufUNm3.net
f(x)(x+1)＝4(x+1)の時と、f(x)(x+1)＝(2x+3)(x+1)の時では解答に差が出るのでしょうか？
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
608:１３２人目の素数さん
20/06/22 15:34:47.67 BAIvlHuK.net
エスパーを待て
609:１３２人目の素数さん
20/06/22 17:13:41.14 0/eLdBm+.net
>>579
初等的に解いてみた
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する
曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。
曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
610:１３２人目の素数さん
20/06/22 17:37:31.54 DpfREwGB.net
ていうか
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
611:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:43:51.70 oXHhmpkM.net
>>585
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
612:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:49:18.07 0/eLdBm+.net
>>585
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
613:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:52:12.15 DpfREwGB.net
>>586
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
614:１３２人目の素数さん
20/06/22 18:55:19.25 DpfREwGB.net
>>587
その方がシンプルで語弊もなくていいですね
615:１３２人目の素数さん
20/06/23 00:33:55.60 AI4CeC5C.net
>>583
来ないみたいね
616:１３２人目の素数さん
20/06/23 08:37:16.55 aDKneL6R.net
任意の自然数nに対してr^nが無理数となり、r^n-rが有理数となる実数rが存在するならば、それらを全て求めよ。
617:１３２人目の素数さん
20/06/23 11:17:32.20 5kvsRr7n.net
＞＞591
存在しない。
r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
618:１３２人目の素数さん
20/06/23 16:27:19.84 FjhXp1Fi.net
1/(x^2+1)が実数の範囲で一様連続かどうかという問題で、微分係数の形にしないと上手く証明出来ないかなと思ったのですが、δをどのようにとったら上手く証明できますか？
619:１３２人目の素数さん
20/06/24 03:51:36 s7K3jYNh.net
以前lim［n→ ∞］（1＋1/x）^nとかについて聞いた者なんだけど、また質問させて欲しい
x= ∈Rの時
lim［n→∞］（1＋1/x）^n=lim［n→∞］（1＋1/-x）^-x=e
を証明せよ
Rの指数法則
0<a,b a≠1,b≠1 x,y ∈ Rに対して
（1） R a^x＋y=a^x・a^y
（2） R （a^x）^y=a^xy
（3） R （ab）^x=a^x・b^x
（4） R a^0=1,1^0=1
（5） R a^-x:=1/a^x
（6） R a^1/n=n√a
（7） R a^無理数
620:１３２人目の素数さん
20/06/24 06:28:04.91 vyYURpQJ.net
>>594
nとxがごちゃまぜになっているようなので正確に書いてくれるか。
あと質問自体とは全く無関係ではあるが
そのRの指数法則って書いているものは表記がおかしい部分があるもののおおむね意味は分かるが
最後の「a^無理数」これだけ意味が分からんのだがどういうことだ？
621:１３２人目の素数さん
20/06/24 09:51:26.93 NoItLLRp.net
>>593
f(x) := 1/(x^2+1)
|f(x+h)-f(x)| = ... = |(2hx + hh)/{((x+h)^2+1)(x^2+1)}|
≦ |2hx|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)| + |hh|/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|
≦ |2hx|/|x^2+1| + |hh| {∵ |1/((x+h)^2+1)|≦1, 1/|((x+h)^2+1)(x^2+1)|≦1}
≦ |h| + |hh| {∵ |2x/x^2+1|≦1}
≦ (|h|+1/2)^2 - 1/4
∀ε＞0, ∃δ = √(ε+1/4) - 1/2
|h| < δ ⇒ |f(x+h)-f(x)| < ε
622:１３２人目の素数さん
20/06/24 12:49:29 RJnJ6BC8.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
お願いします！
623:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:10:05 854FP7B1.net
624:target="_blank">>>594 まず、コミュニケーションを勉強するんだな
625:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:29:12 NoItLLRp.net
>>597
容積:V = Sx*hx = Sy*hy
5分でXに溜まる量: Sx*h = 5*V/18
5分でYに溜まる量: Sy*6h = 5*V/15
∴ hx/hy = Sy/Sx = 18/(6*15) = 1/5
数的推理
満水量: (Sx - Sy)*hx = T*V/15
∴ 時間 T = (Sx*hx - Sy*hx)*15/V
= (1 - hx/hy)*15
= 4/5 * 15 = 12分
工学的推理 (容器Yは浮力で浮きあがるはず)
V = T*V/15
∴ 15分 (に一番近い 14分が答え)
626:１３２人目の素数さん
20/06/24 13:51:32.89 77W9lbT7.net
>>597
容器Xの底面積s,高さh、容器Yの底面積S,高さHとおく。sh=SH=V...(1)
ホースAの注水能力はV/18、ホースBの注水能力はV/15
容器XにAで注水した5分後の水量a、容器Yに注水した5分後の水量bは、それぞれ
a=5V/18、b=V/3
bの水面の高さH'がaの水面の高さh'の6倍だから、
H'=6h'
→b/S=6*(a/s)
→H=5h
(1)に代入して
sh=5Sh
→S=(1/5)s
したがってXの中にYを置いたときに出来るドーナツ状の容器の底面積は(4/5)sであり、容積は2sh/3
ここに毎分V/15=sh/15で注水するから、求める時間は(2sh/3)/(sh/15)=10［分］
627:１３２人目の素数さん
20/06/24 15:49:51.58 8w0fjplA.net
xy平面の曲線y=x^2(-1≦x≦1)をy軸の周りに一回転させてできる曲面をDとする。
Dの形に容器をつくり、容器に水を満杯になるまで注ぎ、台の上に置いて支える。
ただし台の上は水平面とし、容器の開口部の円周は台の上と平行な平面上にあるものとする。
いま容器を一方向に45°だけ傾けた。あふれ出る水の量を求めよ。
628:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:44:48 Xsyvn5Xl.net
>>593
f(x)の平均変化率は
{f(x) - f(y)}/(x-y) = {1/(xx+1) - 1/(yy+1)}/(x-y)
= -(x+y)/{(xx+1)(yy+1)},
ここで
(xx+1)(yy+1) = (xx +1/3 +1/3 +1/3)(1/3 +yy +1/3 +1/3)
≧ {|x+y|/√3 +1/3 +1/3}^2
= (1/3)(|x+y|+2/√3)^2
≧ (8/√27)|x+y|, (等号は x=y=±1/√3)
だから
｜{f(x)-f(y)}/(x-y)｜≦ (1/8)√27,
∴ f(x) はリプシッツ連続だから一様連続。
629:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:45:09 JT6s22tv.net
f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
この問題、なかなか上手くいきません
630:１３２人目の素数さん
20/06/24 20:49:33 rUhlzW45.net
>>603
> f∈C^∞(R)、a≠0に対し、g=f(・-a)とする
> この時、df/dx=gを満たすfを求め、実際にdf/dx=gを満たす事も示せ
>
> この問題、なかなか上手くいきません
導関数が平行移動、三角関数じゃ？
解き方はわからん。
631:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:18:44.97 JT6s22tv.net
>>604
fが周期関数と仮定するとf(x)=Aexp(i(x-B))とおき、A、Bを決める
g(x)=Aexp(i(x-B-a)
df(x)/dx=iAexp(i(x-B))=g(x)=Aexp(i(x-B-a)
A=0又はi=exp(-ia)となる必要有
a=-π/2ならA、Bは任意で良く、つまり、f(x)=iAexp(x-B)
a≠-π/2ならA=0すなわちf=0
って所までやりましたが、この他に解が無い事をどう示すか悩み所ですね
632:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:21:24.00 NoItLLRp.net
>>601
・∫[0,q] dt √(1-t^2) = ( arcsin(q) + q√(1-q^2) )/2
・∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = B(5/2,1/2) = Γ(5/2)Γ(1/2)/Γ(3) = 3π/8
・∫[0,1] z*arcsin(√z) = 1/2*arcsin(1) - 1/4*∫[0,1]dz z^{3/2}/√(1-z) = π/4 - 1/4*3π/8 = 5π/32
・∫[0,1]dz z^{3/2}*√(1-z) = B(5/2,3/2) = Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(4) = π/16
V=∫[0,1]dz { πz/2 + 2∫[0,z]dt √(z-t^2) }
= ∫[0,1]dz { πz/2 + 2z∫[0,√z]dt √(1-t^2) }
= π/4 + ∫[0,1]dz { z*arcsin(√z) + z^{3/2}*√(1-z) }
= π/4 + 5π/32 + π/16
= 15π/32
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
633:１３２人目の素数さん
20/06/24 21:25:26.87 enFnG/G5.net
確率が出せず困っています。
0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をした時、答えが8888になる確率を教えていただけませんか。
634:１３２人目の素数さん
20/06/24 22:04:47.74 VOVi4KlP.net
1/6300になった
全く自信はない
635:イナ
20/06/24 22:30:52.82 Pgq5JJdI.net
前>>211
>>601
最初の丼鉢がπ∫[t=0→1]tdt=π[t/2]0→1=π/2
45°傾けたとき水面が円なら3π/16だが短軸が長軸の半分と見て、
π(√3/4)(√3/8)=3π/32
∴π/2-3π/32=13π/32
自信ない。
636:イナ
20/06/24 22:49:16.25 Pgq5JJdI.net
前>>609補足。
>>601
丼鉢を、平面y=x-uで切った切り口が楕円でなく、円であるなら、
π∫[-1/4→0](1/2-2u)du=π[u/2-u^2]-1/4→0=π(1/8+1/16)=3π/16
半径√3/4の円を楕円と置き換え、短軸が長軸の半分√3/8であると考えた。
637:１３２人目の素数さん
20/06/24 22:54:51.67 uHXQOLLh.net
>>607
総当りでやってみた。
0123という並びも4桁の数字と考えるとすると384/1814400=1/4725
638:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:24:54.98 vyYURpQJ.net
>>607
「10枚中8枚を使って」ではないところが悩ましいな。
十の位に4のカードと3のカードを2枚重ねて7扱いとする！みたいな使い方をしてそうだ。そうでもしないと10枚使いきれないからな。
とりあえず「10枚中8枚を使って2枚余らせる」とみなした場合を以下に書いておく。
足す2つの4桁の数をA+Bとする。AとBの千の位に0が来ないので、全事象の場合の数（分母）は9*8*8P6。
求める事象の場合の数（分子）について。まず足して18になる組み合わせがないので繰り上がりはあり得ない。つまり各位ごとに和が8になる組み合わせのみ。
千の位は(1,7)(2,6)(3,5)の3通り、百～一の位は(0,8)(1,7)(2,6)(3,5)の4通りだからA+Bの各位にどのペアが来るかのパターン数は3*3!=18通り。
そしてそのパターンごとにペアの2数をA,Bのどちらに割り振るかで2^4通りずつあるから、全部で18*2^4通りとなる。
したがって答えは(18*16)/(9*8*8P6)=1/5040
だと思うのだが、千の位が0を除いているので>>611との違いは気にならないとしても、>>608と値が異なるので大いに不安ではある。
639:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:47:19.22 uHXQOLLh.net
何通りあるかでなくて、確率を求めよというのが悩ましいが、
0123を4桁とみなす場合
library(gtools)
pm=permutations(10,8,v=0:9)
nrow(pm) # 10!/2=1814400
fn <- function(x){
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
sum(apply(pm,1,fn)) # 384
384/1814400 # = 1/4725=0.0002116402
#--- simulation ----
sim <- function(){
x=sample(0:9,8)
sum(x[1:4]*10^(3:0))+sum(x[5:8]*10^(3:0))==8888
}
mean(replicate(1e7,sim()))
0123を4桁の数とはみなさない場合
f <- function(x){
x[1]!=0 & x[5]!=0
}
pm1=pm[apply(pm,1,f),]
nrow(pm1) # 1451520
sum(apply(pm
640:1,1,fn)) # 288 288/1451520 # = 1/5040 = 0.0001984127
641:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:51:39.88 v5+ynUdM.net
頭の良い方、教えてください。
6の目が5になっているサイコロを1個投げる時、目の出方は5通りで根元事象は{1,2,3,4,5}で合ってますよね？
642:１３２人目の素数さん
20/06/24 23:55:06.31 VOVi4KlP.net
>>612
俺が間違えてた
643:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:02:43.73 epgEAfuS.net
>>601 別解
z = x^2 + y^2 {このグラフを 45°回転 すると..}
(x+z)/√2 = {(x -z)/√2}^2 + y^2
∴ (√2*z + 1/4) = 1/2* {x- (2z+√2)/2}^2 + y^2
zでの切り口は、楕円(長径:√2, 短径:1) を √(√2*z + 1/4) 倍にスケールしたもの
よって囲む面積は (√2*z + 1/4)*π√2
V1 = ∫[0..1]dz πz = π/2
V2 = ∫[-1/(4√2)..0] dz (√2*z + 1/4)*π√2
= (-√2/64 + 1/(16√2)) * π√2 = (-1/32 + 1/16)π = π/32
溢れる体積: V= V1-V2 = π/2 - π/32 = 15π/32
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
644:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:03:42.17 8oNyfBOb.net
614です。
少し訂正します。
要素は{1,2,3,4,5}で根元事象は{1,2,3,4,5,5'}で合っているでしょうか？
645:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:40:13.12 pJxwPPea.net
>>614が正しくて>>617が誤り。
この場合の根元事象は{1,2,3,4,5}で、根元事象の起こり方が同様に確からしくないだけ。
646:１３２人目の素数さん
20/06/25 00:49:13.71 8oNyfBOb.net
>>618
例えば確率で2の目が出る確率を考えると、1/6になると思うのですが、この場合は根元事象をどう捉えれば良いのでしょうか？
647:１３２人目の素数さん
20/06/25 01:40:44.61 pJxwPPea.net
>>619
根元事象は{1,2,3,4,5}で2が出る確率は1/6。何の問題もない。
どう捉えるかと言われても、>>618に書いたように同様に確からしくないだけの話だ。
648:１３２人目の素数さん
20/06/25 02:38:31.89 a4EJWEDG.net
(´・ω・｀)
別スレにも書いたのですが回答がないのでこちらにも書きます。
たまたま目にした企業の入社試験なのですが問2がわかりません。
1/2 <= 1/3 の証明のどこに穴があるかを指摘する問題なのですが、分からなくてもやもやします。
URLﾘﾝｸ(dotup.org)
649:１３２人目の素数さん
20/06/25 07:08:46.76 ZOB3qxsf.net
>>615
10枚から8枚選らぶ順列は10P8=1814400通りで、各々は同様に確からしい。
0123+8765= 8888は4桁の数字の和とは考えないなら、
その確率は288/1814400=1/6300なので正しいと思う。
650:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:17:08.58 ZOB3qxsf.net
>>621
ドッグフードを食べる猫がいるかもしれないし、
犬の声はテレビの音声かもしれない。
以上
651:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:20:13.78 pJxwPPea.net
>>621
(x)が犬である事象をX、(y)が犬である事象をY、事象Sが起こる確率をP(S)、事象Sが起こった時の事象Tの起こる条件付確率をP_S(T)と書くことにする。
まず(A)～(D)はいずれもP_(X∪Y)(X∩Y)を問うものであると解釈すべき問いである。
(1)～(3)に誤りはない。
(4)は「(D)の答えは1/2である。」ここが誤り。
P_X(X∩Y) と P_Y(X∩Y) の値が等しかったとしても、それらの値が P_(X∪Y)(X∩Y) に等しいとは限らない。
実際に P_X(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X),P_Y(X∩Y)=P(X∩Y)/P(Y),P_(X∪Y)(X∩Y)=P(X∩Y)/P(X∪Y) を P(X∩Y)=P(X)+P(Y)-P(X∪Y) に代入してP(X∩Y)を消去すると
1=1/{P_X(X∩Y)}+1/{P_Y(X∩Y)}-1/{P_(X∪Y)(X∩Y)} となる。これに P_X(X∩Y)=1/2 , P_Y(X∩Y)=1/2 を代入すると P_(X∪Y)(X∩Y)=1/3 が得られる。
(5)は結論こそ正しいが論拠が誤りである。
P_(X∪Y)(X∩Y) と P_(X∩Y)(X∩Y) がともに1/2以上であることは「(C)の答えが(D)の答え以上である」ことの理
652:由にはならない。 (C)の答えと(D)の答えはともにP_(X∪Y)(X∩Y)=1/3で等しいから「(C)の答えが(D)の答え以上である」は正しい。 (6)は正しい論理によって誤った前提から誤った結論を導いている。 ちなみに条件付確率でないと解釈するのであれば、(x)(y)がともに犬である確率は1/4であるからすべて誤りになる。
653:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:30:36.50 ocTjJMbt.net
>>621
数学じゃない部分が入っているように思う
その解釈はおかしいみたいな部分が有るんじゃないだろうか
ディベートに近い
654:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:43:37 pJxwPPea.net
>>622
分母の10P8では千の位が0になる場合を含めて数えて、分子の288では千の位が0になる場合を除いて数えると、その値になると。
つまり、>>607の問いを
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードから8枚を並べる」という試行を行った結果、その8枚が「4桁＋4桁の足し算になり、かつ答えが8888になる」確率
と解釈するとその答えになるというわけか。
>>612は
「0.1.2.3.4.5.6.7.8.9の10枚のカードを使って、4桁＋4桁の足し算をつくる」という試行を行った結果、「答えが8888になる」確率
を求めているから、そりゃ異なる値が出るというわけだ。
どっちの解釈が正しいかというのはこの問題が発生した状況によるだろう。何かのテストで出題されたのなら出題者（採点者）の裁量の範囲だな。
>>612の解釈の方が文章の自然な読み取り方な気はするけど、あくまでも個人的な考えだからな。
655:１３２人目の素数さん
20/06/25 08:47:33 ugKDGz4C.net
>>603
f が指数関数と仮定する。
f(x) = A･exp(Bx) とおき、A, B を決める。
題意より B = exp(-aB)
・a> -1/e, a≠0 のとき B = (1/a)W(a),
W は LambertのW函数。
・a=0 のときは B=1
656:１３２人目の素数さん
20/06/25 09:59:58.22 RYmcULbD.net
>>621
数学知らない人が、有名問題をネットから拾って数学以外の要素を足してしまったような問いだな
例えば「ドッグフード」が問題にどのような条件を付加するのか不明、他にも同様の箇所があるので、「解答不能」が正解だろう
ところでこの企業ググってみたけどブラックの匂いがプンプンするな。こんなとこ入って大丈夫か？
657:１３２人目の素数さん
20/06/25 10:16:07.31 awxo0n7B.net
区間I=[0,2π)から無作為に実数を1つ選び、それをθとおく。
xy平面上で、直交座標で(cosθ,sinθ),(cos(θ+L),sin(θ+L))と表される2点を両端点とする、光を通さない円弧をCとする。
点(0,10)に点光源が設置されているとき、直線y=-10上にできる影の長さの期待値をLで表せ。
ただし区間Iにおいて実数は一様に分布しているものとする。
658:１３２人目の素数さん
20/06/25 11:06:53.90 a4EJWEDG.net
>>624
回答ありがとうございます。でもまだわかりません(´・ω・｀)
P_(X∪Y)(X∩Y) = 1/3 であるのは、(1)でも示されている通りに理解できます。
1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
659:１３２人目の素数さん
20/06/25 12:58:12 9Oi/hZQR.net
【火星】 世回教師マイト┗ーヤとＵＦＯ 【金星】
URLﾘﾝｸ(lavender)
660:.5ch.net/test/read.cgi/mog2/1592981405/l50 sssp://o.5ch.net/1ofh3.png
661:１３２人目の素数さん
20/06/25 13:21:59.85 kPO5oF2N.net
数学掲示板群 URLﾘﾝｸ(x0000.net)
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ URLﾘﾝｸ(x0000.net)<)
微分幾何学入門
URLﾘﾝｸ(x0000.net)
662:１３２人目の素数さん
20/06/25 13:50:20.35 pJxwPPea.net
>>630
＞1匹の犬の鳴き声が聞こえた場合に、2匹とも犬である確率は1/2のように感じてしまいます。
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りなのだから(犬,犬)である確率は1/3であろう。
条件付確率としてはこうなると言っているだけで、これで納得するかどうかどう感じるのかなど知ったことではない。
それこそ>>625の言う通り数学の範疇ではない。数学板だから数学で答えているだけだ。
＞少し例を変えると、佐藤さんが1匹の犬を連れ歩いているのを見た場合、2匹とも犬である確率（＝もう1匹も犬である確率）は、1/2でよいですよね？
よくない。1匹連れているのを見かけたときの2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
663:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:14:31.21 ocTjJMbt.net
>>633
それは違うんじゃないのかな？
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(x,y)=(犬,犬),(犬,猫),(猫,犬)の3通りではあるがそれらは等確率ではないのでは？
犬が2匹いると鳴き声が犬Aの場合と犬Bの場合があり得る
1匹の犬を見かけた場合も同様
ただし、2匹の行動が独立という条件があっての話であることはその通りと思う
実際には1匹が鳴くともう1匹も鳴く可能性が高まるだろうから1匹の鳴き声だけが聞こえた場合（犬、犬）である可能性は低くなったりするかも知れないし、
2匹飼っていたら2匹同時に散歩させるはずだとか室外犬と室内犬だと室外犬しか散歩させないとかややこしい話もあり得る
独立であるならこれらの場合は1/2になるんじゃないのかな
2匹とも見た人から「少なくとも1匹は犬」と聞かされたことで「少なくとも1匹は犬」を知った場合は1/3でいいと思う
664:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:35:52.65 gAVHynLj.net
1匹の鳴き声が聞こえた場合にあり得るのは(鳴犬,黙犬),(黙犬,鳴犬),(鳴犬,黙猫),(黙猫,鳴犬)の4通りだろ
665:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:44:27.06 JiYF8lCe.net
>>636
> 1匹連れているのを見かけたときの
> 2匹とも犬である条件付確率は1/3だ。
これはどう考えても1/2でしょう。
666:１３２人目の素数さん
20/06/25 14:57:33 ypm90GOl.net
それが1/2に見えるのは条件付き確率が分かってない証拠。
667:１３２人目の素数さん
20/06/25 15:39:33.50 +j1GZSI0.net
円と円の内部の点Pが与えられたとき、Pを通る2直線が円と点A，Bおよび点C，Dで交わるとき
PA・PB＝PC・PD=PT^2 となる点Tはどこにとれるか？（Pが外部のときはTは接点）
668:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:07:36.02 joqgUfXO.net
Pを通りPで2分される弦の端点
669:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:12:01.00 pJxwPPea.net
なんだか>>633のあとに色々書きこまれているが、条件付確率として考えないのであればそりゃ色々な考えがあろうさ。
確率が1/2になるようなケースとしては、例えば
2匹のペットをそれぞれ赤い小屋と青い小屋に1匹づつ飼っているというような追加条件があって
赤い小屋のペットが犬であるとわかった場合の青い小屋の方が犬である確率
というような場合なら条件付確率としても1/2になるな。
>>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になるわけだ。
それがいくら感覚に反するからといって、条件付確率ではこうなるということに変わりはない。
670:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:34:15.41 3lhKYgae.net
n*sin(2pi*n!*e) のn→∞ の極限は2pi らしいのですが
これをURLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com) で求めようとするとうまっくいきません。
ウルフラムに個の極限を出させるにはどうすればいいですか。
671:１３２人目の素数さん
20/06/25 16:42:49.52 joqgUfXO.net
流石のwolfram先生でもダメなのか。
n!e-[n!e]=1/(n+1)+O(1/n^2)
までは自分で変形するしかないんだろな。
672:１３２人目の素数さん
20/06/25 17:22:22.14 DYnXYcHM.net
>>642
まで自力でいければ後は流石のwolfram大先生
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
673:１３２人目の素数さん
20/06/25 17:47:54 a4EJWEDG.net
>>640
その理屈で言うと、
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人が、自分の娘の同級生なので女子であることがわかっている場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3である（男子である確率は2/3である）
ということでよろしいでしょうか？
また、8人家族で6人の子どもがいることがわかっている家族があって
上記と同様の理由でそのうち5人の子どもが女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/7 である
ということでよいでしょうか？
674:１３２人目の素数さん
20/06/25 18:13:02.27 3lhKYgae.net
>>643
ここまですればもはやウルフラムなくても求めれますｗ
675:１３２人目の素数さん
20/06/25 18:22:49.31 ocTjJMbt.net
>>640
> >>630は連れている犬が2匹のうちのどちらなのかわかってないから1/3になる
それはおかしいよ
どちらなのかわからなくても2匹が別々の犬であることには変わりがない
676:１３２人目の素数さん
20/06/25 19:49:42 gAVHynLj.net
量子力学の犬らしい
677:１３２人目の素数さん
20/06/25 20:48:51.12 pJxwPPea.net
>>644
それは両方とも誤り。
前半は、2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
後半も同様に、6人中我が家の子と同級生である5人が女子だとわかっているので、我が家の子と同級生でない残りの一人が女子の確率は1/2。
例えば前者で、娘2人のうち同級生の方が女子とわかっているのではなく、娘2人のうちどちらか一方が女子であることだけわかっているのなら1/3だろう。
>>646
条件付確率の考え方に基づくとどうなるか言っているだけで、それがおかしいと感じるかどうかについては知ったことではない。
678:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:03:33.27 pJxwPPea.net
どうもいつまでも納得しない人がいるようなので、もう少し丁寧に書いてみる。
まず>>621は「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」これが前提条件。
このような書き方をしているということは、それぞれのペットが犬であるか猫であるかを観察するという2つの試行は独立であるとみなしてよい。
独立でないとこんな条件設定はできないはずだからな。
ということで、この2つの試行の結果である(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)(猫,猫)の4つの根源事象の起こり方は同様に確からしく、確率はすべて1/4づつ。
2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)(猫,犬)の3つのうち(犬,犬)である確率だから1/3
2頭のうち特定の一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は(犬,犬)(犬,猫)の2つのうち(犬,犬)である確率だから1/2
条件付確率の公式を用いて説明することもできるが、上記と同じ結論がでるだけ。
679:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:15:17.26 nD7WCD//.net
無限集合Sを
S={2,4,8,...,2^n,...}
と定義する。
Sから相異なる6つの要素a[k](k=1,2,...,6)を選び、2つの有理数p_1=a[3]/(a[1]+a[2])およびp_2=a[6]/(a[4]+a[5])を作る。
ただしa[1]<a[2]<...<a[6]である。
p_1+p_2が整数となるa[k]の選び方があれば、その例を1つ挙げよ。
680:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:18:56.26 joqgUfXO.net
4/(1+2)+64/(8+16)
681:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:25:18.77 a4EJWEDG.net
>>648
> 2人のうち同級生な方が女子とわかっているわけなので残りの一人が女子の確率は1/2。
それならば、「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけた場合」は、
佐藤さんが連れている方（娘の同級生と違って呼び名はありませんが）が犬とわかっているだけで、
残りの一匹が犬の確率は上と同じく1/2ではないでしょうか？
（すなわち、両方とも犬である確率は1/2ではないでしょうか）
> 2頭のうち少なくとも一方が犬であるときの両方とも犬である条件付確率は...1/3
これはその通りですが、
「佐藤さんが1匹の犬を連れているのを見かけたとき」という条件と
「2頭のうち少なくとも一方が犬であるとき」という条件は違うように思います。
682:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:33:28 a4EJWEDG.net
>>648
もう少しわかりやすい例を考えました。
例えば、4人家族で子どもが二人いるということがわかっている家族があって、
子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合、
もう一人の子どもが女子である確率は1/3でしょうか？1/2でしょうか？
683:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:34:09 ocTjJMbt.net
>>648
おかしいと感じると言うことを言っているんじゃないよ
(x,y)=(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りあり、
1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
684:１３２人目の素数さん
20/06/25 21:58:46.08 nD7WCD//.net
>>651
1は使用不可です
685:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:00:54.75 pJxwPPea.net
>>652
佐藤さんが連れているのがどちらのペットかわかってないですよ。
たとえば佐藤さんがペットに赤の首輪と青の首輪をつけて区別していることがあらかじめわかっているような場合なら
赤の首輪の犬を連れて散歩をしてるのを見た場合、青いほうの犬の確率は1/2になりますね。
>>653
1/3ですね。
>>654
＞1匹を見かけてそれが犬であるのは、犬Aを見たとき、犬Bを見たとき、犬Cを見たとき、犬Dを見たときの4通りありこれらが等確率
その通りですね。連れているのが犬である確率は1/2なので、それが犬A～犬Dである確率は1/8ずつですね。
ちなみにそれとは別の話として、(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）、（猫、猫）の4通りの確率もどれも等しく1/4ずつですね。
＞従ってもう1匹が犬であるのは1/2だよ
これは誤りですね。連れているのが犬であったという条件のもとでの条件付確率については
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)である確率ですから1/3です。
686:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:15:04 ocTjJMbt.net
>>656
いや、違うって
(犬A、犬B)、(犬C、猫）、（猫、犬D）の３つのうち(犬A、犬B)が1/2、(犬C、猫）、（猫、犬D）がそれぞれ1/4だよ
それら3つは等確率じゃない
687:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:21:12 ZOB3qxsf.net
>>653
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）は同じ確率とすると
どちらか一人が女の子であった場合に、もう一人の子供が女の子である条件付き確率は1/3でいいと思う。
688:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:25:04 joqgUfXO.net
>>655
8/(2+4)+128/(16+32)
689:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/25 22:26:15 H162hOtu.net
前>>610
>>601
y軸も丼鉢といっしょに45°傾け、
y=tで切った残り水の断面積はいくらになる？
半径√tの円を、中心からtの弦で切った欠円の面積だと思うんだけど。
tを0→1で足し集めて残り水の容積が出ると思うんだけど。
690:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:28:16 H9g6cohj.net
10枚のカードで、8888になる確率を尋ねたものです。ありがとうございました。
8枚しか使わないので2枚残ります。
そして、8人の人が順にカードをひき、その順の通りに並べて計算すると、8888になるという場合を想定しました。そうなると、0が千の位にくる場合も計算に入れないといけないのかな？と思っていました。
691:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:36:08.30 pJxwPPea.net
>>657
(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4 , (猫,猫)が0 ということですね。
これら4つの根元事象の確率をこのように定めるということは、つまり佐藤さんが犬を飼っていることを確認したうえで試行を行っているわけで
>>621の条件設定に反するのです。
このように確率を定める場合、1匹目のペットが犬である確率は(1/2)+(1/4)=3/4 , 2匹目も同様に3/4となり
>>621の「ペットはそれぞれ犬・猫のどちらかで、それぞれ犬である確率は50％であるとする」に反するわけです。
692:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:45:27.49 a4EJWEDG.net
>>653 は明らかに1/2になると思ったのだが、これで意見が割れるとは・・・。
>>657 さんがわかりやすく説明しているように、
（姉、妹）が1/2
（姉、弟）（兄、妹）が1/4ずつ
だと思います。
693:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:41.71 joqgUfXO.net
まぁ意見は分かれるだろ。
これで意見が割れるんだから数学の問題として成立してない。
数学の確率なんだから哲学とは違う。
意見が割れれば実験して白黒つけることになるが、逆に言えば、その段階でどんなシミュを組めばいいか微妙な段階では問題としての定式化が出来てない。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
それらの試行のうち「ある日犬を連れて散歩してるのを見かけた」というのをどう解釈するのかで、万人が一意に解釈は定まらないだろう。
この条件を「犬を連れて散歩してたんだから弾かれる試行は猫猫のみ」と考えるのは少しも奇異ではない。
やは�
694:阯^えられた条件をどうシミュするかで議論が残るようなら数学の確率の問題と評価できる問題になってない。
695:１３２人目の素数さん
20/06/25 22:59:55.43 a4EJWEDG.net
>>656
「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった場合は1/3」とのことですので、
「子どもの一人がたまたま娘の同級生で女子であることがわかった場合」も1/3ということでよいでしょうか？
（たまたまという言葉がついているので、>>648 とは異なるのでしょうか？）
696:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:21:21 a4EJWEDG.net
>>664
議論が長くなっているので終わった方がよろしいでしょうか。すみません。
（個人的には、>>653 を1/3とする理屈にはとても不思議に感じるので心残りなのですが・・・。）
697:１３２人目の素数さん
20/06/25 23:27:07 joqgUfXO.net
>>666
やりたきゃいいだろうけど、問題の根源がそもそも「どう数学的に解釈すべきか」と言う数学以前の話だから「オレはこう思う」以上の意見が出るはずもなく永遠の水掛け論に終わるのがオチ。
大体この手の議論には巻き込まれないようにするのが吉。
698:イナ
20/06/26 01:04:32.76 aMd3Zj61.net
前>>660
丼鉢の半分はπ/4
残り水を除いた容積と残り水の容積の比をx:1とおくと、
x=7が導ければよいことになる。
699:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:22:33.12 0h2AePdI.net
iを虚数単位とする。
自然数nを用いて実数tがt=nまたはt=±inと表せるとき、tを複素整数と呼ぶ。
複素整数の組(x,y,z)で、x^3+y^3=z^3を満たすものは存在するか。結論と理由を述べよ。
必要ならば「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の組(x,y,z)は存在しない」ことを証明なしに用いてよい。
700:１３２人目の素数さん
20/06/26 01:48:04 /now+Nzk.net
自明解が死ぬほどあるやん。
非自明なら実数二つ、虚数一つとかあり得ないし。
701:１３２人目の素数さん
20/06/26 02:01:55 IMq3cxhz.net
そもそも複素整数の定義ってこれであってんの?
702:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:16:08.26 F3NztK4m.net
一晩考えてようやくわかった気がするわ(´・ω・｀)
(1)
まず、>>353 の答えは1/2
4人家族で子どもが二人いるという前提のみの場合は
（姉、妹）（兄、弟）（姉、弟）（兄、妹）
は同じ確率（1/4ずつ）だが、
(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
という条件の元では、
（姉、妹）の確率は1/2
（兄、弟）の確率は0
（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/4
になる。
なお、参考までに、条件Aではなく
(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
という条件の元では、
（姉、妹）（姉、弟）（兄、妹）の確率はそれぞれ1/3
（兄、弟）の確率は0
になる。
(2)
元の問題の（D)だが、
「一匹の犬の鳴き声が聞こえた」という条件は、
「任意の一匹を選んだときにそれが犬だった」という条件とは異なり、
単に犬が一匹以上いるということしか言っていない。
したがって、(D)の答えは1/2ではなく1/3で、元の問題の論拠(4)が誤り。
(3)
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合は、(1)と同じく1/2。
ただし、もしも、「佐藤さんが犬を散歩させているのを見た」という条件で、
かつ、犬は散歩に連れて行くことがあるが猫を散歩に連れて行くことはない
という前提をおいてもよい場合は、(2)と同じになるので1/3になる。
703:１３２人目の素数さん
20/06/26 04:17:43.25 F3NztK4m.net
>>672
> まず、>>353 の答えは1/2
「>>653 の答えは」の誤りです。
704:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:34:34 R326Stdn.net
nは3以上の自然数で、2の累乗ではないとする。
2を底とする対数log2_[n]を、自然数k,m、0≦a<1の実数aを用いて
log2_[n] = k + 1/(m+a)
と表すことを考える。
（1）どのようにnをとっても、a=0とはならない。その理由を簡潔に述べよ。
（2）n=11のときk,mを求め、さらに1/(p+1)≦a≦1/pを満たす自然数pを求めよ。
705:１３２人目の素数さん
20/06/26 05:35:22 1uISJdvh.net
>>672
＞(条件A) 二人の子どものうち任意の一人をとったときにそれが女子だった
＞(条件B) 二人の子どものうち少なくとも一人女子がいることがわかっている
ナンセンスだな。条件Aと条件Bにどんな差があるんだよ。
条件Bで「少なくとも一人女子がいることがわかっている」ということは、誰かしら(Xとする)が
「少なくとも一人は女子であることを直接目撃して確かめている」わけだろ。
だったら、Xにとっては条件Aと条件Bは変わらんだろうが。それとも、
・ 直接確かめたXにとっては条件Aなので 1/2 だが、
Xの情報を人づてに聞いただけの第三者にとっては条件Bで 1/3 になる
とでもいうのか？
ちなみに、>>653の答えは普通に 1/3 だよ。1/2 とかありえない。
706:１３２人目の素数さん
20/06/26 06:40:47.57 F3NztK4m.net
>>675
うーん。これでもわかりませんか。
Aさんが２つのサイコロをふった。
あなたは２つのサイコロのうちの任意の一つの目を教えてもらったところ、サイコロの目は偶数だった。
もう一つのサイコロの目が偶数である確率はいくつか？ → あなたはこれを1/3と言っていますよ。
707:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:22:59 48PsH009.net
>>662
違うよ
根元事象の確率はそれぞれ1/4だよ
「(犬,犬)が1/2 , (犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4」というのは「見かけた1匹が犬であったとき佐藤さんが飼っているペットの内訳はどうなっているか」という条件付き確率だよ
これを使ってさらにもう一匹が犬である確率を求めると（1/2）*1+（1/4）*0+（1/4）*0=1/2
最後の値を条件付き確率で求めるなら
見かけた1匹が犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*（1/2）+（1/4）*（1/2）+（1/4）*0=1/2
見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率=（1/4）*1+（1/4）*0+（1/4）*0+（1/4）*0=1/4
求める確率=見かけた1匹が犬でもう一匹も犬である確率/見かけた1匹が犬である確率=（1/4）/（1/2）=1/2
となってやっぱり1/2
1/3ではないよ
(犬,猫)が1/4 , (猫,犬)が1/4というのをまとめて「犬2匹が1/4、犬と猫が1/2、猫2匹が1/4」としても計算できる
708:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:20 k8AOi6FK.net
>>664
＞2匹のペットを選ぶ思考は確率1/4で犬犬、犬猫、猫犬、猫猫を選ぶところはいい。
2匹のペットを選ぶ思考は確率1/3で犬犬、犬猫、猫猫を選ぶと考えもあるとは思う。
それには
順列でのペアと組合せでのペアのどちらが同様に確からしいと考える差ではないだろうか？
709:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:32:53 1uISJdvh.net
>>676
・ Aさんは2つのサイコロを順番に振る。「あなた」は1番目と2番目のどちらのサイコロを確認してもよい。
・ Aさんは2つのサイコロを同時に振る。「あなた」は、もはや区別のつかない2つのサイコロのどちらを確認してもよい。
前者の場合は、確認しなかった方が偶数である確率は 1/2 で、後者だと 1/3 になる。
>>653は「子どもの一人をたまたま見かけて女子であることがわかった」としか言ってないので後者になり、1/3 になる。
「上の子が女子であることがわかった」なら下の子が女子の確率は 1/2 になるし、
同じく「下の子が女子であることがわかった」なら上の子が女子の確率は 1/2 になる。
他の例として出てきた「佐藤さんが犬を連れているのを見た」という条件の場合も後者になり、1/3 になる。
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが最初に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが次に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になるし、同じく
「佐藤さんが犬を連れているの見て、しかもその犬は佐藤さんが2番目に飼い始めた動物であることを佐藤さんに確認してある」なら、
佐藤さんが最初に飼い始めた動物が犬である確率は 1/2 になる。
710:１３２人目の素数さん
20/06/26 07:36:46 1uISJdvh.net
>>677
佐藤さんの例は 1/3 としか解釈のしようがない。
>>679のように余計な条件つけると 1/2 にはできるが、
それはもともとの佐藤さんの例とは問題文が根本的に違う。