20/05/26 06:11:51.69 CbOFlWoA.net
>>117
聞かないとわからんのかい？
n=#A とする
n=0 のとき A={}、2^A={{}}
#2^A = #{{}} = 1 = 2^0 = 2^n = 2^#A
n=k で #2^A = 2^#A = 2^n が成立するとき、
n=k+1 で A={a1, ..., ak, a(k+1)}
2^A = 2^{a1, ..., ak} ∪ {B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}}
#2^A = #2^{a1, ..., ak} + #{B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}} = 2^k + 2^k = 2^(k+1) = 2^n = 2^#A
∴#2^A = 2^#A □
123:１３２人目の素数さん
20/05/26 07:14:26.50 Y/FbNJcJ.net
fは他変数の狭義凸関数とします
このとき(x,y,...,z)→f'(x,y,...,z)は単射になると思うのですが示し方を教えて下さい
124:１３２人目の素数さん
20/05/26 14:32:22 Tyc5fBIq.net
>>119
全微分可能なら
125:１３２人目の素数さん
20/05/26 15:40:06 Bk4Rv0jy.net
SL(n,R)の2つの元
cos(2π/5)? -sin(2π/5)
sin(2π/5)? cos(2π/5)
1? 0
0? -1
で生成されるSL(n,R)の部分群の位数を求めよ
126:１３２人目の素数さん
20/05/26 15:48:52 7xF0ePc4.net
{x^3+y^3+z^3≦1|x,y,z≧0} が凸集合というのはどうやって証明するのでしょうか？
図を書くと感覚的にわかるのですが不等式で説明することは難しいのでしょうか？
127:１３２人目の素数さん
20/05/26 15:50:58 7xF0ePc4.net
問題文をタイプミスしたので修正します
{(x,y,z)∈R^3|x,y,z≧0, x^3+y^3+z^3≦1} が凸集合であることを示せ でした
128:１３２人目の素数さん
20/05/26 15:53:26 moFWvn2F.net
n=2 と思われるので SL(2,R) として
[ cos(2π/m), -sin(2π/m) ]
[ sin(2π/m), cos(2π/m) ]
[1, 0]
[0,-1]
2π/m の回転と鏡映は正m角形を保つ。
∴ 二面体群Ｄ_m
mが奇数のとき 2m,
mが偶数のとき m,
129:１３２人目の素数さん
20/05/26 15:56:54 +pGttQn9.net
出来るやつおらんか？
字汚くてすまん
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
130:１３２人目の素数さん
20/05/26 16:07:35 UT4VAn94.net
いないんじゃない
131:１３２人目の素数さん
20/05/26 16:14:09 PQqy1reC.net
>>122
全微分可能とします
|∂f(x,y)/∂x|<φ(y)が成り立つならルベーグの収束定理から微分可能になると思うのですがそれを使うんですかね？
132:１３２人目の素数さん
20/05/26 16:14:56 moFWvn2F.net
>>125
それに含まれる2点
P_0 (x_0, y_0, z_0)
P_1 (x_1, y_1, z_1)
を結んだ線分上の点を
P_λ ((1-λ)x0+λx1, (1-λ)y0+λy1, (1-λ)z0+λz1)
= (x_λ, y_λ, z_λ)
とする。ここに 0<λ<1. Jensenにより
(x_λ)^3 =｛(1-λ)x_0 + λx_1}^3 ≦（1-λ)(x_0)^3 + λ(x_1)^3,
3成分の和をとると
x^3+y^3+z^3 ≦（1-λ)(x0^3+y0^3+z0^3) + λ(x1^3+y1^3+z1^3)
≦（1-λ）+ λ
= 1
∴ 線分P0-P1上の点はすべてそれに含まれる。
∴ 凸集合。
133:１３２人目の素数さん
20/05/26 16:32:47 moFWvn2F.net
>>127
ddx/(dt)^2 + 3(dx/dt）+ 2x = 5
を次のように2元連立の微分方程式に変形した
場合、以下の問に答えよ。
dx/dt = y, ････（1)
dy/dt = -2x -3y + 5, ････（2)
(1）+（2）より
d(x+y)/dt = -2(x+y）+5,
x + y = C e^(-2t) + 5/2,
(1)*2 +（2）より
d(2x+y)/dt = -（2x+y）+5,
2x + y = C' e^(-t）+ 5,
辺々引いて
x(t）= C' e^(-t）- C e^(-2t) + 5/2,
134:１３２人目の素数さん
20/05/26 16:36:55.94 tZAgiR8E.net
問いはどれだよ
135:１３２人目の素数さん
20/05/26 17:14:24.03 7xF0ePc4.net
>>130
なるほど x→x^3 が凸関数であることを用いるのですね すっきり射精できました
136:１３２人目の素数さん
20/05/26 19:02:06.35 moFWvn2F.net
>>132
そんなに凝視(みつ)めるな わかい友
････
問ひはそのままに答へであり
堪へる痛みもすでにひとつの睡眠(ねむり)だ。
････
伊藤静雄「そんなに凝視(みつ)めるな」より
「知性」 1939年12月号に発表。
第４詩集「反響」(1947/Nov) /「凝視と陶醉」の部
「伊藤静雄 詩集」新潮文庫 (1957/May) 桑原武夫・富士正晴 編
「伊藤静雄 詩集」岩波文庫 (緑125-1) (1989/Aug) 杉本秀太郎 編
137:１３２人目の素数さん
20/05/26 19:12:12.14 moFWvn2F.net
訂正
× 伊藤静雄
○ 伊東静雄（1906/12/10～1953/03/12）
138:１３２人目の素数さん
20/05/26 19:42:38 UIS3fs51.net
行列の問題なんですけれど
「tAA=Aならば、Aは冪等かつ対称行列である事を示せ。」って言うのがわかりません。
Aが正則行列の時は右側からA^-1を掛ければ良いというのは分かるんですけど、Aが特異行列の時は分かりません。
139:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:03:04 0vZgvSBx.net
なぜ右側からA^-1を掛ければ良いと思ったのだろう
140:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:07:35 UIS3fs51.net
>>137
A=Eまたは0だと思ってそれを示すのかと思ったからです...
141:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:28:15 tZAgiR8E.net
>>136
両辺の転置行列を考えればすぐにわかる
142:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:46:08.11 tZAgiR8E.net
非自明な例: A を全成分が 1/2 の2次正方行列とすれば、 tAA = A を満たす
143:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:55:48.40 UIS3fs51.net
>>139
本当だ...なんで気付かなかったんだろ.....
>>140
そうですね..
144:１３２人目の素数さん
20/05/26 20:56:25.32 UIS3fs51.net
>>139
>>140
ありがとうございます!
145:１３２人目の素数さん
20/05/26 22:27:20.92 yjy3nSpM.net
>>121
お願いします
146:１３２人目の素数さん
20/05/26 22:44:10 ahok8bQN.net
. ⬜⬜⬜３
⬜⬜⬜）⬜⬜⬜７⬜⬜
⬜０⬜
⬜⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜８
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜３
147:１３２人目の素数さん
20/05/26 22:49:32 aYF++qy3.net
>>143
p,qにおける微分が等しいときp,qにおける接平面で分けられる閉半空間のうち、曲面Sを含
148:む側をD,Eとする。 D⊂Eとしてよい。E⊂Dでないとすると∂E∩D=φであるから特にqはDに含まれない。 これはDがSを含む事に反する。 ∴D=E ∴{p}=∂D∩S=∂E∩S={q}
149:１３２人目の素数さん
20/05/27 00:00:34 EEh4Oo8H.net
フーリエ解析で、下記のように2変数関数u(x,t)をu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離せよと指示のある問題がありました
問題では触れられていませんが、2変数関数を1変数関数の積として表すことは常に可能なのでしょうか。よろしくおねがいします。
（略記して引用）
u(x,t)は位置xの時刻tでの温度を表し、kは正の定数である。
1次元の熱伝導は、偏微分方程式du/dt=k{d^2(u)/d(x^2)}で記述される。
t?0に対し、0?x?πでの1次元の熱伝導を
境界条件：u(0,t)=u(π,t)=0
初期条件：u(x,0)=x(π-x)
のもとで考える。以下の問に答えよ。
(1)u(x,t)をxのみに依存する関数X(x)とtのみに依存する関数T(t)を用いてu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離する。
（以下略）
150:１３２人目の素数さん
20/05/27 00:24:44 t80rJokb.net
できないに決まっとる
積で表わした関数の無限和なら表わせるから
その1要素を求めただけだ
151: 【小吉】
20/05/27 00:39:41 d2had85F.net
前>>107
>>144
. 1923
109)210700
. 109
. 1016
. 981
. 257
. 218
. 390
. 327
. 93
ちょっと違うかな。
152:１３２人目の素数さん
20/05/27 13:14:55 rcBdjVRU.net
>>119
どなたかよろしくお願いします
153:１３２人目の素数さん
20/05/27 15:20:42 V5ZLvCf0.net
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(x)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
154:１３２人目の素数さん
20/05/27 15:25:36 +panK6vA.net
yがない
155:１３２人目の素数さん
20/05/27 15:37:37 zD5bFHNY.net
a,b,cを三角形の辺の長さとし
Max{ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)} が最小となるようなx,y (0<x<1, y>1, xy<1)
を求めたいのですがどうやればよいのでしょうか
156:１３２人目の素数さん
20/05/27 16:37:45.81 LgPYlvxO.net
すいません修正しました
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
157:１３２人目の素数さん
20/05/27 17:38:18.23 sG8aLkL9.net
>>153
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。
158:１３２人目の素数さん
20/05/27 17:42:42.88 BBxAM4to.net
よろしくお願いします。
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
159:１３２人目の素数さん
20/05/27 17:44:43.95 BBxAM4to.net
>>148
分かりにくい書き方にもかかわらずありがとうございます。
>>155にお絵かきしました。
４段目が10□7だと思うのですが、他がさっぱりで
お力を貸していただければ幸いです。
160:１３２人目の素数さん
20/05/27 17:55:29.26 +panK6vA.net
>>154
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？
ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない
161:１３２人目の素数さん
20/05/27 18:41:41.67 sG8aLkL9.net
>>157
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。
162:１３２人目の素数さん
20/05/27 20:16:14.51 +panK6vA.net
>>158
失礼しました
左辺が定数になるとは限らないという意味だったのですね
163:１３２人目の素数さん
20/05/27 20:19:33.98 yJB/+0CE.net
209700 ÷ 109 = 1923...93
164:１３２人目の素数さん
20/05/27 21:02:37 2I72JytV.net
>>148
除数も商も余りも合って�
165:驍ﾌに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。 そういう芸風かなぁ。
166:１３２人目の素数さん
20/05/27 21:21:39.35 YBRlYR0b.net
次の微分方程式の解を級数の形で表せ。
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2
167:
20/05/28 00:13:44.24 d04cfjJJ.net
前>>148
>>156あってたのか。難しかったよ。たまたま一瞬あった気がして、なんか違う気もして、まぁでもあってたんならいいや。
168:１３２人目の素数さん
20/05/28 00:46:13.15 9QoKXLHk.net
虫食い箇所が多すぎてプログラムを組む意欲も起きなかったなぁ。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。
169:１３２人目の素数さん
20/05/28 04:41:03.85 e0wa2dxi.net
>>119
お願いします！！！
170:１３２人目の素数さん
20/05/28 05:27:38.72 QWw9heQI.net
>>119
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h
171:１３２人目の素数さん
20/05/28 05:35:39.78 2Lt89WE9.net
>>166
あ、間違い、取り消し
172:１３２人目の素数さん
20/05/28 05:40:13.62 hlB013/4.net
>>129の仮定ないと無理かな？
173:１３２人目の素数さん
20/05/28 07:46:49 zx1346jI.net
nは4以上の自然数とする。
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。
174:１３２人目の素数さん
20/05/28 08:15:53 gqsfoKB6.net
>>119
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。
まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。
きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。
175:１３２人目の素数さん
20/05/28 08:35:24 k/UthnYZ.net
>>169
1/6
176:１３２人目の素数さん
20/05/28 10:08:04.86 oUSg4sQZ.net
台形ABCD（AD//BC,∠C＝∠D＝９０度)の対角線ACとBDの交点をE、
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを
177:１３２人目の素数さん
20/05/28 10:26:24 k/UthnYZ.net
>>172
C、Dが直角っている？
178:１３２人目の素数さん
20/05/28 10:32:50 zgAWm5Kd.net
>>172
相似の比
179:１３２人目の素数さん
20/05/28 10:43:28.86 k/UthnYZ.net
底辺と高さが同じ三角形をたくさん描いて
それを同じ高さのとこで切ってみよう
180:１３２人目の素数さん
20/05/28 10:45:04.14 BJbMJzAu.net
AD と FG の距離 をp、FG と BC の距離をq とする。
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.
なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).
181:１３２人目の素数さん
20/05/28 13:28:40 GIR4qfeb.net
笠原 微分積分学 96頁
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せ�
182:ﾎあとは無限小となる。だから、 f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)} となる理由がわかりません。 教えてください。
183:１３２人目の素数さん
20/05/28 14:31:07.04 TQptIbY7.net
>>177
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }
δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}
184:１３２人目の素数さん
20/05/28 14:54:46.58 WQbB9YiU.net
Tax=ax(1-x)、X=Iについて、0<a<1とするとき、x=0は漸近安定であることを示せ。
185:１３２人目の素数さん
20/05/28 15:45:09 iE+U98Zx.net
タックスヘイヴン
186:１３２人目の素数さん
20/05/28 18:46:50 BJbMJzAu.net
>>172
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
(BM/MC）= 1,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
187:１３２人目の素数さん
20/05/28 18:50:19 qPWg5K0m.net
質問です。よろしくお願いします。
命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？
もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？
さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？
188:１３２人目の素数さん
20/05/28 19:45:45 BJbMJzAu.net
>>172
ABの延長線とCDの延長線の交点をXとおく。
AD < BC としてもよい。
題意より
AD//BC
(XA/AB）=（XD/DC) ･･･ (*)
対角線ACと△BMX についてメネラウスの定理より
(XA/AB)(BC/CM)(ME/EX）= 1,
対角線BDと△CMX についてメネラウスの定理より
(XD/DC)(CB/BM)(ME/EX）= 1.
辺々割るとチェヴァの定理になる。
(*）を使えば
BM = MC,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
189:１３２人目の素数さん
20/05/28 22:32:04.82 WQbB9YiU.net
>>179
お願いします。
190:１３２人目の素数さん
20/05/28 22:55:11.55 9QoKXLHk.net
対偶命題「Pでない⇒Qでない」 P，Q逆では？
191:１３２人目の素数さん
20/05/28 23:36:48 BJbMJzAu.net
>>152
題意より
ay/(y-1）> a,
b/(1-xy）> b,
c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
ay/(y-1）→ a,
b/(1-xy）→ b,
c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。
192:１３２人目の素数さん
20/05/29 00:17:07.80 khrWcU0Q.net
次の等式を成立させる非負整数a,bが存在することを示せ。
331777=(2^a)(3^b)+1
193:１３２人目の素数さん
20/05/29 00:53:47.95 cO4rYgZj.net
331777 = 331775 + 2
= 25･13271 + 2
= 25･23･577 + 2
=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
= 24^4 + 1
=（2^3･3)^4 + 1
= (2^12)(3^4) + 1,
a=12, b=4
194:１３２人目の素数さん
20/05/29 11:11:49 E//gMgrq.net
331776を素因数分解するだけと違うのか
195:１３２人目の素数さん
20/05/29 11:50:13.80 UevLPu9R.net
局所系係数のホモロジーの計算例の中で以下のような式が出てきたのですが
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います
Sを2単体⊿^2上の加群の局所系として、⊿^2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)
自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺は�
196:vラスになるのではないかと考えたのですが
197:１３２人目の素数さん
20/05/29 14:10:25.58 UevLPu9R.net
>>190ですが条件を勘違いしていました
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します
198:１３２人目の素数さん
20/05/29 14:57:59 gle8IriP.net
>>182
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね
命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います
199:１３２人目の素数さん
20/05/29 18:08:37 BSexcaa/.net
6桁の整数A=331777を考える。
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。
N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。
200:１３２人目の素数さん
20/05/29 18:08:59 exRuj6v4.net
>>185
>>192
有難うございます。
対偶のとり方を間違えていました。
>>192さんに書いていただいたことは理解できたと思います。
ということは、>>182の
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は 真 であるということですよね？
他のスレの論争を見ていて、
(1)命題からその裏の命題は導けない
という主張に
(2)命題からその裏の命題が必ず導けるとは限らない(導かれないこともある)
の方が正しいという理由で(1)は間違いであると主張している人を見かけて気になっているのですが、
(1)が正しいと考えてよいでしょうか？
201:１３２人目の素数さん
20/05/29 18:55:01 rGF7AKvE.net
>>194
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます
202:１３２人目の素数さん
20/05/29 20:44:50 cO4rYgZj.net
>>186
0<ε<1 に対して
xy = 1/y < ε/2,
とすれば
x < (ε/2)^2 < ε/2,
Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),
203:１３２人目の素数さん
20/05/30 17:03:38.11 J1GIAwOu.net
Sを自己交差がなくて凸な閉曲線とする
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します
204:１３２人目の素数さん
20/05/30 17:04:43.65 J1GIAwOu.net
>>197
Sの長さ/Sの直径の間違いですね
205:１３２人目の素数さん
20/05/30 18:47:40 glWePjKP.net
∫ cos(sin(x)-nx) dxは特殊関数でしょうか。そうだとしたら何か有名な名前がついているのでしょうか。
206:１３２人目の素数さん
20/05/30 18:47:54 yxx6tiHU.net
>>198
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね
perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
URLﾘﾝｸ(emis.matem.unam.mx)
にリストがありました。
207:１３２人目の素数さん
20/05/30 19:19:43 J1GIAwOu.net
>>200
ありがとうございます
円以外もあったのは意外でした
208:１３２人目の素数さん
20/05/30 19:42:46.21 /4eUvG4U.net
>>197
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？
209:１３２人目の素数さん
20/05/30 20:00:33.41 yxx6tiHU.net
>>202
ルーローの三角形かそれに近いものでも出来る？
210:１３２人目の素数さん
20/05/30 20:11:17.15 K69xm63V.net
二つの全単射 f:X→Y,g:Y→Zについて
（g○f）^－１=ｆ^－１○g^－１
を証明せよ
211:１３２人目の素数さん
20/05/30 20:24:40.10 K69xm63V.net
すみません、どなたか教えてください
212:１３２人目の素数さん
20/05/30 20:36:00.63 LlGyfuWv.net
gof(x)=g(f(x)) くらい自明な式に見えるけど
213:１３２人目の素数さん
20/05/30 21:02:29.27 /4eUvG4U.net
>>203
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした
ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう
214:１３２人目の素数さん
20/05/30 21:57:53.38 S25iSUll.net
>>204
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。
書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)
任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x
任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z
215:１３２人目の素数さん
20/05/30 23:42:36.37 LeA2HC3M.net
>>199
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。
216:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/05/31 11:19:17 igjoNL49.net
前>>163
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC―?
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB―?
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC―?
???よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE
217:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/05/31 11:28:30 igjoNL49.net
前>>210円番号がスマホだと表示されないみたいだから数で書いてみる。
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC―1
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB―2
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC―3
1,2,3よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE
218:１３２人目の素数さん
20/05/31 14:11:30.80 y6pgY8Uk.net
g○f≠g(f(x))となる例はありますか？
219:１３２人目の素数さん
20/05/31 14:18:08.81 CSQH3/k8.net
(g○f)(x) の定義を述べよ
220:１３２人目の素数さん
20/05/31 14:27:42.08 i0/8EjZD.net
(f○g)○h≠f○(g○h)となるような例はありますか
221:１３２人目の素数さん
20/05/31 14:29:59.86 CSQH3/k8.net
((f○g)○h)(x) と (f○(g○h))(x) の定義を述べよ
222:１３２人目の素数さん
20/05/31 21:00:40 iYJi09IL.net
>>199
ベッセル関数らしいということが分かりました
223:１３２人目の素数さん
20/06/01 00:30:27.24 2A9Cuc38.net
>>213 で終わっとるな
224:１３２人目の素数さん
20/06/01 11:07:46.25 UpVWBF1C.net
>>199
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな
225:sage
20/06/01 15:44:09 ML+TDmnc.net
次の問題が全く分かりません。
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。
（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。
226:１３２人目の素数さん
20/06/01 16:44:54.38 Z80HAnMt.net
ググれば出てくるけど、{0^n 1^n | n≧1}の応用
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう
URLﾘﾝｸ(www.classes.cs.uchicago.edu)
227:１３２人目の素数さん
20/06/01 17:18:12 AJrNS5uJ.net
>>219
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう
228:sage
20/06/02 11:34:34 IHawnFaK.net
>>220 >>221
回答ありがとうございます。
実はまだよく分かっていませんがもう少し勉強してみます。
これくらいのことになじめない自分がいやになりますが。
229:１３２人目の素数さん
20/06/02 11:51:25.63 vItFFN+D.net
「ある実数列についてコーシー列ならば収束列であり収束列ならばコーシー列であることを示せ」
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？
230:１３２人目の素数さん
20/06/02 12:40:41.61 NhHP3q63.net
ε=0のときが言えてしまうなら、N<n, mですべてのn, mのときにa_n = a_mがいえてることになるわけど
そんな強い主張はしてない
231:１３２人目の素数さん
20/06/02 13:02:18 lu0YtqDw.net
極限の定義だからしょうがない
232:１３２人目の素数さん
20/06/02 13:04:16 AxDwLsNK.net
εが近いときという定義ができない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない
233:１３２人目の素数さん
20/06/02 14:45:30 vItFFN+D.net
てことは定数列はコーシー列じゃないんですね
ありがとうごさいました
234:１３２人目の素数さん
20/06/02 14:51:38.36 iA0eGlWC.net
ワロタ
235:１３２人目の素数さん
20/06/02 14:56:48.61 2TG821s2.net
四次元対称群S4の元(1,2,3,4)で生成される部分群Hを考える。S4のHによる右剰余類で(1,2)を含むものの元を全て書け。
236:１３２人目の素数さん
20/06/02 15:11:25.30 iA0eGlWC.net
ただの計算問題
237:１３２人目の素数さん
20/06/02 15:18:39.17 AxDwLsNK.net
>>227
定数列は距離の公理から距離0なのでコーシー列
238:１３２人目の素数さん
20/06/02 15:21:05.27 2TG821s2.net
>>229
詳しくお願いします
239:１３２人目の素数さん
20/06/02 15:36:46 iA0eGlWC.net
詳しくも何も…
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ
240:１３２人目の素数さん
20/06/02 20:26:25.58 TPydHgX/.net
任意の ε>0 に対応して番
241:号Nが定められて m>N, n>N なるとき |a_m - a_n| < ε なることを俗に「コーシー列」と云う････ 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961) 第１章、§6 p.11 定理8
242:１３２人目の素数さん
20/06/02 23:10:11 NhHP3q63.net
なんで「俗に」と断ってるのかと思ったらカントールが導入したからなのか
243:１３２人目の素数さん
20/06/03 00:23:46.35 VkvJF3Uh.net
コーシーの収束判定法が前にあったのね
244:１３２人目の素数さん
20/06/03 01:34:46.82 A/oBSiFD.net
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。
245:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/03 03:25:01 UPuHTaSO.net
前>>211
>>237
P(a√3+α,α^3-3a^2α)
とりあえず保留。
この書き込みでええよ。
246:１３２人目の素数さん
20/06/03 11:03:29.92 Qk11SEl/.net
微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
247:１３２人目の素数さん
20/06/03 11:16:16 qGrSmPS7.net
>>239
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。
連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？
248:１３２人目の素数さん
20/06/03 11:25:43 bMmgCo9S.net
>>239
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能
249:１３２人目の素数さん
20/06/03 14:25:40 VkvJF3Uh.net
にゃるほど
250:１３２人目の素数さん
20/06/03 19:22:01.89 Qk11SEl/.net
>>240－241
ありがとうございました。
開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？
1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。
2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。
251:１３２人目の素数さん
20/06/03 20:11:09 Vo8/q3R+.net
正規分布N(μ,σ^2)に従うX1,...,Xnがあったとき、対数尤度関数のヘッセ行列が半負定値だということは示せますか？
252:１３２人目の素数さん
20/06/03 20:21:06.34 Vj2o+qIA.net
>>216
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。
253:１３２人目の素数さん
20/06/03 22:10:32 TQOEN1pN.net
同次形微分方程式
(1)dy/dx＝2y/x+x/y
(2)dy/dx＝x+2y/2x+y
一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式
(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx
(2)dy/dx-2xy＝e^x2
(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？
254:１３２人目の素数さん
20/06/03 22:13:38 ii0n5Inq.net
大学の課題は自力でやれ
255:１３２人目の素数さん
20/06/04 00:07:29.07 Utt0lBXH.net
局所系の係数版のポアンカレ双対定理を円周S^1について直接計算して確かめろという問題がわからず困っています
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Z
256:と同型になる場合は2種類の局所系があり (特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので) その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません どのように考えればよいのか教えてください
257:１３２人目の素数さん
20/06/04 00:09:37.35 9uYllowd.net
lim(1+2^n)^1/n
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；
258:１３２人目の素数さん
20/06/04 00:32:31.83 Mr+nuLRr.net
上から抑えるのに1+2^n≦2^n+2^n=2^(n+1)を使う
下からは1を落とせばいい
259:１３２人目の素数さん
20/06/04 01:20:36 UZmO2K4a.net
２項公式から
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････
∴ 2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),
260:１３２人目の素数さん
20/06/04 01:27:16 UZmO2K4a.net
>246
大学の課題は「大学学部レヴェル質問スレ」でやれ
と言いたいが生憎 複素函数論の入口辺りで渋滞してるので･･･
同次形
(1) は y(x) = x･u(x) とおけば
dy/dx = u(x) + x(du/dx),
y(x) = ±x√(Cxx-1), (C>0)
(2) は x-y=u, x+y=v とおけば
dy/dx = {(dv/du)-1}/{(dv/du)+1},
(x+2y)(2x+y) = (3v-u)/(3v+u),
より
dv/du = 3v/u,
v = Cu^3,
x+y = C(x-y)^3,
一階線形方程式は
(1)
{y･e^(2sin(x))} ' = e^(2sin(x))sin(x)cos(x),
y･e^(2sin(x)) = (1/4){2sin(x)-1} e^(2sin(x)) + C,
y = (1/4){2sin(x)-1} + C･e^(-2sin(x)),
(2)
{y･e^(-xx)} ' = 1,
y･e^(-xx) = x + C,
y(x) = (x+C)e^(xx),
(3)
非線型項 y^n があれば y^(1-n) = u(x) とおく。
本問では 1/yy = u(x)
du/dx -2u = -6 e^x,
{u･e^(-2x)} ' = -6 e^(-x),
u･e^(-2x) = 6 e^(-x) + C,
1/yy = u(x) = 6 e^x + C e^(2x),
261:１３２人目の素数さん
20/06/04 02:33:46.45 z+kFYubS.net
>252
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！
262:１３２人目の素数さん
20/06/04 06:38:08.69 5HIsplv4.net
統計学です！解いて欲しいです！
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ
263:１３２人目の素数さん
20/06/04 07:46:37 Pgvxf920.net
>>254
平均0.3
分散0.00021
Pr[p>=0.33] 0.02158184
264:１３２人目の素数さん
20/06/04 08:16:48 Yp3HIN/j.net
aは正の実定数とする。
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。
（1）p=2αを示せ。
（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。
265:１３２人目の素数さん
20/06/04 08:52:21.17 5HIsplv4.net
>>255
ありがとうございます！
266:１３２人目の素数さん
20/06/04 10:45:27.66 9uYllowd.net
>>251
>>250
解けました！
ありがとうございます
267:１３２人目の素数さん
20/06/04 12:53:13.13 Pgvxf920.net
>>255
1億回シミュレーションして検算
> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068
268:１３２人目の素数さん
20/06/04 15:43:46 42DHXRSz.net
グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。
269:１３２人目の素数さん
20/06/04 16:57:02.52 /UqpSIUW.net
>>260
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0
f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)
f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)
270:１３２人目の素数さん
20/06/04 17:00:56.88 eoDnCkjr.net
>>260
純粋に代数的に示すのは無理じゃね？
普通に導関数の符号を調べるのが一番早そう
271:１３２人目の素数さん
20/06/04 17:11:13 eoDnCkjr.net
>>261
>f''(m)<0 かつ f''(M)>0
なぜ？
これは極大極小の必要条件ではないはず
272:１３２人目の素数さん
20/06/04 18:37:03 X1b8kr8I.net
範囲Dが√x+√y ≦ 1, x≧0, y≧0で
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．
273:１３２人目の素数さん
20/06/04 19:34:27 y85xeNzV.net
>>260
3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
f(m)>f(M) で決めることになる。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9 と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b が この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9) が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M) ならば、m<M がいえる。
二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
274:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:09:48 eqr6gvOP.net
離散力学系について質問です。
T^px=T'(T^(p-1)x)T'(T^(p-2)x)...T'(x)を示せ
275:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:13:28 Pgvxf920.net
>>259
ウォルフラム先生によれば
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
276:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:14:33.18 Pgvxf920.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
277:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:19:03.07 8nukpxTG.net
∫1/(x^4-x^3)^(1/2)dxが分かりません
278:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:21:35.40 Pgvxf920.net
>>268
正規分布近似が精度が低いなぁ
> pnorm(0.33,0.3,sqrt(0.00021),lower=F)
[1] 0.019216965118390775
279:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:24:02.46 Pgvxf920.net
>>269
2*√((x-1)*x^3) / x^2
280:１３２人目の素数さん
20/06/04 20:59:12 /UqpSIUW.net
>>260
確かに>>263の指摘の通り>>261は説明不足でした。あと「3次の係数→2次の係数」も間違いですね。すみません。
「一般に二回微分可能な関数f(x)について、f(x)がx=tで極大値をとるならばf''(t)≦0である。>>260のf(x)について f''(m)=3(m-M)≠0 であるから f''(m)＜0」
を追記する必要があります。
3次関数について極大値＞極小値が成り立つのを認める前提であれば>>265の方針も良いのだと思います。
281:１３２人目の素数さん
20/06/04 21:14:06 SGJYxQyS.net
>>266 分かりやすいサイトでもいいのでぜひお願いします
283:１３２人目の素数さん
20/06/04 21:14:23 eoDnCkjr.net
>>265
興味深い議論だが、
>3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
>f(m)>f(M) で決めることになる。
>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？
284:１３２人目の素数さん
20/06/04 21:42:15.32 eoDnCkjr.net
>>262
この方針による証明も書いておこう
まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。
285:１３２人目の素数さん
20/06/04 21:57:14.07 nBS1qh/q.net
>>260
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■
286:１３２人目の素数さん
20/06/04 22:05:46 nBS1qh/q.net
書いたあとに気づいたが >>265 と同じ方法だった
>>265 の人は「二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負」
という記述の部分で誤解されたみたいだが
それは単に数式で起こった現象をあえて言葉でも説明しているだけで
>>265 の方法はこれで既に正しいとおもう
人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行
287:１３２人目の素数さん
20/06/04 22:12:36 eoDnCkjr.net
>>277
>人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
>追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行
まさにそこの説明が>>260の問題で求められていることなのでは？
それがいえれば m = s < t = M なので>>260の証明は終わる
288:１３２人目の素数さん
20/06/04 23:17:10.66 eoDnCkjr.net
ちなみに f(m) > f(M) は m < M と同値です
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
289:１３２人目の素数さん
20/06/05 00:35:26.42 a0X9VG4+.net
>>274
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。
このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。
極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、 極大値 ＞ 極小値 で確定。
四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。
290:１３２人目の素数さん
20/06/05 05:47:30.27 gPkvRYC5.net
>>269
x=1/t とおく。以上
>>270
日本ぢゃ未だにＮ(np, np(1-p)）で近似するのか････こりゃ参った。
先進国ではＮ(np+(p-1/2), (n+1)p(1-p)) を使うらしいが。
これ、計算が（見かけより）重いから（大した量でもないが）、
安物の教科書では端折ったり誤魔化したりしてるけど、
スターリングの公式と (1+1/m)^(m+1/2) = e を使って丁寧にやれば
きっちり合うものだ。
一度じっくり取り組むと力になるよ～
291:１３２人目の素数さん
20/06/05 07:08:42.83 a3w5V/C1.net
>>264
r=2 θ=π/4でも成立するから
0≦r≦1からして間違っている。
292:１３２人目の素数さん
20/06/05 07:12:37.04 zyMsw8vK.net
>>282
> r=2 θ=π/4でも成立するから
え？
293:１３２人目の素数さん
20/06/05 07:24:02.02 a3w5V/C1.net
cos(π/4)^4=1/4 sin(π/4)^4=1/4
294:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:21:18.47 a3w5V/C1.net
>>282
>284は嘘書いた、撤回します。
295:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:38:29.11 a3w5V/C1.net
>>72
> re=0
> for(b in 2:5){
+ re = re + choose(7,b)*choose(5,5-b)
+ }
> re
[1] 756
296:１３２人目の素数さん
20/06/05 08:55:22.78 a3w5V/C1.net
>>286
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。
> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951
297:１３２人目の素数さん
20/06/05 09:11:30 j3STgGwY.net
>>264
θは任意の実数値をとり得る。
298:１３２人目の素数さん
20/06/05 10:29:10.37 jT734fJW.net
>>280
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
そのことを証明しなければ意味がない
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
それがまさに f(m) > f(M) であり、>>279にあるように、それは m < M と同値
あなたが言っていることはまさに循環論法か、
あるいは>>260は自明と言っているだけ
299:１３２人目の素数さん
20/06/05 11:24:13 xBFmnZ1b.net
X=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)
xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？
300:１３２人目の素数さん
20/06/05 11:35:09 jT734fJW.net
>>280
さらに言えば
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、 f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない
301:１３２人目の素数さん
20/06/05 12:11:32.48 a0X9VG4+.net
>>289
>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない
なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。
二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
こ�
302:ﾌ二点の傾きは、 {f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9) これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという 問題の設定から、f'(x)=0 →、3x^2+2ax+b=0 の解 が二つの実数解を持つ という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。 というだけ。 投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。 それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、 反論の為の反論を行うのは止めなさい。
303:１３２人目の素数さん
20/06/05 12:23:48.56 jT734fJW.net
>>292
なるほど
確かにそれなら
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
は証明できているね
ただし、それから従うのは
{f(M)-f(m)}/(M-n) < 0
だけであって、あなたは
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
を証明しただけにすぎない
したがって、あなたの議論は>>260の証明にはなっていない
304:１３２人目の素数さん
20/06/05 13:23:07 a0X9VG4+.net
260の証明になっていないと思っているのはあなただけではないだろうか？
260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。
つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値 ＞ 極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。
しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c としたとき、
a,b,c 等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？ と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。
305:１３２人目の素数さん
20/06/05 13:26:07 a0X9VG4+.net
×：「停留点に於ける微係数が負なら極大」
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します
306:１３２人目の素数さん
20/06/05 13:35:18.32 jT734fJW.net
>>294
>極大値 ＞ 極小値
これは一般には成り立たないので、
なぜ f(x)=x^3+ax^2+bx+c なら成り立つのかということが説明できなければ意味がない
また、同様な式変形による厳密な証明は、>>272で与えられている
>となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
定義を勝手に変更されましても
あとは、「同値な主張を仮定して議論しても意味がない」とだけ
307:１３２人目の素数さん
20/06/05 13:37:26.01 wTPNLp/M.net
投稿者が納得するかと数学的な証明になっているかというのは異なる
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ
308:１３２人目の素数さん
20/06/05 13:41:33 OOzg85/a.net
そやねー
309:１３２人目の素数さん
20/06/05 14:44:57.47 jT734fJW.net
2次関数なら「平方完成」によってちょうど1つの極値点を持つことと、
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？
310:１３２人目の素数さん
20/06/05 17:29:24.36 jT734fJW.net
>>299
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも
311:１３２人目の素数さん
20/06/05 17:40:26.98 jT734fJW.net
>>300
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない
312:１３２人目の素数さん
20/06/05 17:59:18.82 tQwvLtjk.net
確率論がまったくわからないので教えてください！
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）
上記の公理を使いP（A^C）＝1－P（A）を証明せよ
313:１３２人目の素数さん
20/06/05 18:05:09.95 PqYH7W6A.net
>>302
(3)を直したら(2)(3)から自明だろ
314:１３２人目の素数さん
20/06/05 18:05:37.39 jT734fJW.net
>>302
その公理おかしくない？
315:１３２人目の素数さん
20/06/05 21:21:00.03 VYyezARq.net
>>303
すいません、わかりません
どうすればいいですか？
316:１３２人目の素数さん
20/06/05 21:47:08.05 jT734fJW.net
もし俺が知っている公理と同じなら、補集合の定義を考えれば明らかだが
317:１３２人目の素数さん
20/06/05 23:11:10 j3STgGwY.net
>>305
＞どうすればいいですか？
公理の(3)を正しいものに直せばよい。
318:１３２人目の素数さん
20/06/05 23:28:30 PqYH7W6A.net
>>305
ほぼ何もしなくていい
319:１３２人目の素数さん
20/06/06 00:16:40.41 bNUuWuEC.net
整数b,cで、b^2-4c≧0を満たすものを考える。
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。
320:１３２人目の素数さん
20/06/06 00:19:31 I/Bajz2G.net
>>260
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c
x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）
pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d) のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、√(a^2-3bd)>0 なので、極小
従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d , M={-a+√(a^2-3bd)}/3d となる。
dが正なら、m<M だし、dが負なら、m>Mとなる
321:１３２人目の素数さん
20/06/06 00:50:02 pfv3JzJm.net
>>302
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)
322:１３２人目の素数さん
20/06/06 01:08:18 0/4QKsok.net
>>310
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？
323:１３２人目の素数さん
20/06/06 01:29:27.83 RyPojoqR.net
>>309
(-1+√33)/8 = 0.593070
f(x) = xx +bx +c とおくと、題意より
f((-1+√33)/8)･f(0.6) < 0,
これより
(b,c) = (-(9+5n),5+3n) |b|+|c| = 14+8n,
(b,c) = (23+5n,-(14+3n)) |b|+|c| = 37+8n,
は題意を満たす。nは非負整数 (n≧0)。
最小の解は
(b,c) = (-9,5), |b|+|c| = 14, (9-√61)/2 = 0.594875
324:１３２人目の素数さん
20/06/06 01:52:00 FDjhvHjP.net
>>312
> 基準となる量を明示的に書けますか？
そりゃあ書けるでしょ。
325:例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。 でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？
326:１３２人目の素数さん
20/06/06 11:16:16 0/4QKsok.net
>>314
ありがとうございます
おかげで、具体例でちゃんと成立していることが確認できました
327:１３２人目の素数さん
20/06/06 16:20:26.00 n3K4YLbj.net
1から6の目が等確率で出るサイコロをn回振ったときの、k回目（k=1,2,...,n）に出た目をa[k]とする。
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。
328:１３２人目の素数さん
20/06/06 16:27:16.56 0/4QKsok.net
期待値の極限？
(0.777…) / 2 じゃなくて？
329:１３２人目の素数さん
20/06/06 19:29:24.21 dnuHAH8y.net
シミュレーションしてみた。
> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493
7/18でいいみたい。
330:１３２人目の素数さん
20/06/06 19:34:08.47 dnuHAH8y.net
k桁目とk+1桁目の和の期待値が7だからか。
なるほどね。
331:１３２人目の素数さん
20/06/06 19:48:39.89 tmPQ1XGR.net
実数を成分とし,
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。
どのように説明すればいい？
332:１３２人目の素数さん
20/06/06 20:01:06.99 pfv3JzJm.net
1秒考えてベクトル空間になるわけないとわかる
333:１３２人目の素数さん
20/06/06 20:09:36.39 RyPojoqR.net
SL(2,R) も SO(2) も和については閉じてないんぢゃ？
[ cosθ, sinθ] + [cosθ, -sinθ] = [2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ] [sinθ, cosθ] [0, 2cosθ]
行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,
思い違いかな？
334:１３２人目の素数さん
20/06/06 20:12:01.97 3GP6u7Kw.net
ここにいる人って自分の興味で数学勉強してるの?
それとも学業とか仕事なのかな
335:１３２人目の素数さん
20/06/06 20:23:01 TR+Z6nNi.net
>>320
零行列の行列式は1でない、で終了
336:１３２人目の素数さん
20/06/07 04:47:04 iuWMJ9OX.net
>>322
実数倍についても閉じてない。
det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,
ケッタイな問題だな。
337:１３２人目の素数さん
20/06/07 05:39:46 2Ax++7Oa.net
>>319
各桁の期待値が(1+2+..+5+6)/6=3.5で0.77777..../2の方がわかりやすいな。
338:１３２人目の素数さん
20/06/07 09:49:17.21 9yUbaQlI.net
三角形ABCの内接円のBC,CA,AB上の接点を各々D,E,Fとする.
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。
339:１３２人目の素数さん
20/06/07 16:33:04.63 YxIQHYV+.net
微分の定義
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ
証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください
340:１３２人目の素数さん
20/06/07 16:40:28.37 h2/tqLC4.net
随分と変わった定義だな
341:１３２人目の素数さん
20/06/07 17:08:49.99 axvUCwvb.net
>>328
最初は恐らくlim ⊿y→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う
342:１３２人目の素数さん
20/06/07 17:52:39 axvUCwvb.net
?y→0が?x→0の誤りじゃないかってことね
343:１３２人目の素数さん
20/06/07 17:58:46 1GHLlal/.net
同じ記号が使われていても、文脈によって意味が変わるってことだろ
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ
344:１３２人目の素数さん
20/06/07 18:14:34 VQUHw7VB.net
そもそも何の証明でその仮定は何かというのを聞いたらダメなのか
345:１３２人目の素数さん
20/06/07 18:20:21 wrvFfNlQ.net
チェインルールの話っぽいが
346:１３２人目の素数さん
20/06/07 18:55:19.27 YxIQHYV+.net
最初の△ｙ→０は間違いでした
おっしゃるとおり△ｘ→０です
証明ですが
二つの関数ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ),ｚ＝ｇ(ｙ)の合成
ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ)→ｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ)
の微分を考える。ｘを△ｘ増分させると
ｘ＋△ｘ→ｙ＋△ｙ＝ｆ(ｘ＋△ｘ)→
→ｚ＋△ｚ＝ｇ(ｙ＋△ｙ)＝ｇ(ｆ(ｘ＋△ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ＋△ｘ)
となり、△ｘ→０⇒△ｙ→０⇒ｚ→０に注意して
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)
＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝ｄｚ/ｄｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｘ]△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｙ]△ｙ/△ｘ
＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
即ち
ｄｚ/ｄｘ＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
詳しい記法では
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝[ｄ/ｄｙ・ｇ(ｙ)]・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)｝
・ｄ/ｄｘ・ｆ(ｘ)
ここで記法「・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)}」の意味は・・・の中の計算が完了してから
・・・の中のｙにｆ(ｘ)を代入するということである。
347:１３２人目の素数さん
20/06/07 19:01:44.19 1GHLlal/.net
なんだ、合成関数の微分か
それならその「証明」ではダメで、有名な回避方法がある
記号の使い方がイマイチなのが気になるが
348:１３２人目の素数さん
20/06/07 20:19:23.12 YxIQHYV+.net
>>336
どんな方法ですか？
349:１３２人目の素数さん
20/06/07 20:45:48.04 1GHLlal/.net
>>337
微分の定義を、商を使わない形に書き換える
解析概論に載っている方法なら、 y = f(x) について、 Δx ≠ 0 のとき
Δy = f'(x)Δx + εΔx
と置くと、 x を固定すれば、 Δx → 0 のとき ε → 0 になる
ただし、 Δx = 0 のときは ε = 0 と定義する
逆に、 Δx ≠ 0 のとき、A = A(x) を x に依存するが Δx には依存しない定数として
Δy = AΔx + εΔx
かつ Δx → 0 のとき ε → 0 と仮定すると、 A = f'(x) が成り立つ
350:１３２人目の素数さん
20/06/07 20:51:43.62 mPW34IpN.net
ボードゲームの必勝法の存在等の質問はどこでしたらいいですか?
351:１３２人目の素数さん
20/06/07 21:09:45.84 oTitshF2.net
総論的な話ならここでいいんじゃないでしょうか
352:１３２人目の素数さん
20/06/07 21:29:07 mPW34IpN.net
コネクト4(7x6の重力つき四目ならべ)が先手必勝であると証明されているとwikipediaに記載がありました。
重力つき四目ならべのルールは...
タテヨコのマス目に下に地面が存在
2人のプレイヤーが交互に、コマをおく
列を作るために下にコマがない場所(空中)にコマを置く事は出来ない
タテ・ヨコ・ナナメのいずれかに4個ないしそれ以上の数を先に列を作れば勝利
1.実際にその論文を読む方法、読んだ方、説明・要約できる方等について聞きたいです。
また、コンピューターで総当たりした等の証明ですか?
2.先手必勝である理由は、盤面が有限だからという事が関わってきますか?
3.高さが無限であれば、先手必勝ではなく最善手同士ならば永久に勝負がつかないですか?
または
353:そのようにあなたは予測しますか? 4.左右も無限である場合の予測はどうですか。 5.コネクト4(7x6マスの玩具)に限った話で、終盤でのハメ手の例を思いついたら教えて下さい。 0.ルールの記載に不備ありましたら、指摘と意図を汲んだ修正をお願いします。
354:１３２人目の素数さん
20/06/07 22:48:13 +lCwK3dr.net
>>341
まさにそのwikipediaにリンクが張られているんだから読めばいいやん。
URLﾘﾝｸ(tromp.github.io)
355:１３２人目の素数さん
20/06/07 23:16:10.65 nTGQavmk.net
ベルトランの仮設の拡張として
nとmを1以上の整数としたときに
mn<p<(m+1)n (1≦m≦n)
となる素数pが少なくとも一つ存在する
という命題が成立すると考えられます。
356:１３２人目の素数さん
20/06/07 23:20:47 nTGQavmk.net
>>343 訂正
×ベルトランの仮説
〇ベルトラン＝チェビシェフの定理
357:341
20/06/07 23:26:45.95 mPW34IpN.net
>>342
感謝です。
あっ、91ページのpdfは見つけました。
358:１３２人目の素数さん
20/06/07 23:44:43.99 nTGQavmk.net
アホは○○○、○○○ばかり言っているが
整数論は、その学者しかいないと思っているんだろうか？
笑える
359:１３２人目の素数さん
20/06/08 00:38:02.91 4nsS10XA.net
>>281
チョト改良････
μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},
σ^2 = (n+1)p(1-p),
非対称な（歪度≠0）ものを対称関数で近似するのはナニだが。
360:１３２人目の素数さん
20/06/08 00:45:53.29 2ahVV7wM.net
放物線y=x^2と、y軸上に中心がある円x^2+(y-a)^2=r^2が接するような実数a,rの条件を求める問題が出ました。
円の式に放物線の式を代入して
y+(y-a)^2=r^2
とyの方程式を作りました。
そこから(i)2点で接する場合、(ii)1点で接する場合に分けて、それぞれ異なる2実数解・重解を持つようにa,rを定めたのですが、答案はバツでした。
何か致命的な勘違いをしているのでしょうか。よろしくお願いします。
361:１３２人目の素数さん
20/06/08 00:54:18.61 DAWjkcK7.net
（どうして採点者に聞かないんだろう…）
362:１３２人目の素数さん
20/06/08 01:14:09.71 s1acojnt.net
>>348
横だけど、作った方程式ってあってる?
1点の場合って多分原点だよね?
先に場合分けした方がいいかもしれん?
363:１３２人目の素数さん
20/06/08 05:44:37 V6xKWCOM.net
>>348
共有点の個数が３～４個の場合は
そのやり方ではどう見分けるんでしょうね？
364:１３２人目の素数さん
20/06/08 05:53:54 YvwIXFOn.net
接してるのか交わってるのか区別つかんよね
まあ、1交点はたまたま1接点になるけど
365:１３２人目の素数さん
20/06/08 08:02:48.11 4nsS10XA.net
>>347
σ^2 = {n+1 -1/(2(n+1))}p(1-p),
366:１３２人目の素数さん
20/06/08 12:30:08.08 wTwxOqKF.net
>>348
その方針からスタートして誤答ではない答案を作成することは可能なため、あなたのその書き込みからバツの原因は特定できません。
367:１３２人目の素数さん
20/06/08 13:57:31.57 +EJdNoyh.net
nは自然数とする。
nの2以上の約数dで、(n^2+1)/dが整数となるようなdを全て求めよ。
368:１３２人目の素数さん
20/06/08 14:08:15.46 wTwxOqKF.net
>>355
存在しない
(n^2+1)/d=((n^2)/d)+(1/d)
(n^2)/dは整数で(1/d)は整数でないからその和が整数となることはない。
369:１３２人目の素数さん
20/06/08 14:53:34.48 0U3J3S1u.net
1
370:１３２人目の素数さん
20/06/08 20:28:04.56 UIis0W50.net
>>348
接するのはどれだろ？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
371:１３２人目の素数さん
20/06/08 20:29:51.21 UIis0W50.net
>>358
２点で接するなら
接点(p,p^2)
2p*(p^2-a)/p=-1
2(p^2-a)=-1
p^2=a-1/2
x^2+(y-a)^2=r^2
p^2+(p^2-a)^2=r^2
a-1/2 + (-1/2)^2=r^2
a=r^2+1/4
かなぁ？
372:１３２人目の素数さん
20/06/08 22:08:33.92 y2+c9ZP7.net
接点１箇所ならa=-r
接点１箇所交点２箇所ならa=r
373:１３２人目の素数さん
20/06/08 22:16:08.76 y2+c9ZP7.net
>>359
作図して検証
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
374:１３２人目の素数さん
20/06/08 22:57:36.71 1QsCrAe9.net
xyz空間の放物線z=x^2(y=0)の0≦x≦1の部分をz軸の周りに一回転してできる曲面をCとする。
いま、曲面Cで囲まれる領域D(0≦z≦1)にz軸の正の方向から水を注いでいっぱいにする。z軸の正の方向からDに球を近づけていき、Cに接するまで水の中に沈めていく。
（1）球がDに完全に沈み込むような、球の半径の最大値を求めよ。
（2）球の半径をrとする。Dからあふれ出す水の量をrで表せ。
375:１３２人目の素数さん
20/06/08 23:49:15.06 F6+f8K00.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
知ってる人も居るかも知れんが、わしはこの答えに納得してない
376:１３２人目の素数さん
20/06/09 00:34:10.89 kCo3hFna.net
２種類のくじがあり、一方は一万分の一の確率で「当たり」があり、
もう一つは、百分の一の確率で「当たり」があるとする。
この２種類のくじを一つづつ引いて、どちらかが「当たり」だったとする。
引いた当たりは、どちらの「当たり」であった可能性が高いか？
当然、百分の一で起こる当たりの可能性の方が高いと考えるだろう。
希にしか起こらないことを「当たり」と呼ぶこととしよう。
陽性と判定されるのは、
実際に感染していて、検査も正しく判定された場合と、
実際には感染していないが、検査が誤った場合がある。
実際に感染している「１万分の１の当たり」か、誤判定という「１００分の１の当たり」か
どちらを引いたと考える方が、可能性が高いと考えられるか？
377:１３２人目の素数さん
20/06/09 00:39:02.84 oSQqqW1K.net
まあ、心にストンと落ちるとは限らんよね
人間心理というか、脳のヒューリスティックな「論理学」や「確率論」は多分に本能的な感覚なんだから
378:１３２人目の素数さん
20/06/09 01:08:01.36 Rz+Wm47s.net
精度って(TP+TN)/(TP+TN+FP+FN)が定義だけど
どういう意味で使っているのだろう？
379:１３２人目の素数さん
20/06/09 01:37:44.77 Rz+Wm47s.net
>>362
(1) 1/2
380:１３２人目の素数さん
20/06/09 08:34:39 Rz+Wm47s.net
作図の練習
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
381:１３２人目の素数さん
20/06/09 08:36:34 Rz+Wm47s.net
>>365
ベイズ統計学はまさにそれだよね。
CIは信頼区間confidence intervalじゃなくて信用区間credibility intervalと区別する人もいるくらい。
382:１３２人目の素数さん
20/06/09 08:48:45 PxyeUa/U.net
数学は門外漢なんだが、『1万人に1人』感染するのなら0.01%だろ？
それが100%でない検査受けたら1%って、なんで100倍になってんの？
383:１３２人目の素数さん
20/06/09 08:49:10 8E687h52.net
>>363
問題文の1行目がないと知らなければほぼ全員が「条件不足で答えられない」という正答を出せない問題
384:１３２人目の素数さん
20/06/09 09:26:09 PxyeUa/U.net
『1万人に1人』でも『1,000万人に1人』の奇病でも、診断結果が99%の確率で陽性と判断したんなら感染確率は99%じゃないの？
385:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:03:21.48 kCo3hFna.net
>>372
そのような感覚をお持ちの方のために書いたのが >>364 です。お読み下さい。
>>371
「ほぼ全員」というの
386:は、「全員ではない」ということがミソですね。同意です。 罹患率と検査精度の問題として出されたのなら、「納得いかない」と感じる人が いるかもしれないが、数学的にはそれが正しいのだろうという、コンセンサスが得られている。 もし、罹患率が不明なら、たとえ検査精度が「これこれ」だという情報があっても、 その「これこれ」が実際に罹患している確率ではないことも、同様と思われる。 しかし「二つの封筒問題」として出された場合は、異常な方向へ問題が進展してしまった。 本質的には、罹患率不明（言及無し）、検査精度既知（0.5）の問題と差がないのに、 「条件不足で答えられない」という回答を受け入れられない人が、なんと多く現れたことか．．．。 嘆かわしい。
387:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:09:57.74 Rz+Wm47s.net
精度の定義をはっきりさせないと議論にならない。
388:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:12:24.65 kCo3hFna.net
>>372
あ、逆に読んでしまった。
「初見の「二つの封筒問題」」
と同様、ほとんどの人が引っかかってしまうことを指摘されていたんですね。
全くの同意です。
389:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:13:37.92 kCo3hFna.net
上の>>372 は>>371の誤りです。
390:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:23:15.80 Rz+Wm47s.net
精度accuracyは感度sensitivity,特異度specificity,有病率prevalenceによって決まる。
的中率も同様
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
391:１３２人目の素数さん
20/06/09 10:56:51.37 RkEgBQdt.net
3次元空間において連立不等式
x^2+y^2+z^2≦(1+x)(1+y)(1+z)≦x^2-2y^2+4z^2
0≦x
0≦y
0≦z
を満たす(x,y,z)全体からなる領域Dで、x+y+zを最大とする点の座標を求めよ。
392:１３２人目の素数さん
20/06/09 16:10:44.43 Sbp1Zf6U.net
フビニの定理をリーマン積分の範囲内で証明してください。
393:１３２人目の素数さん
20/06/09 19:35:40.85 wS/gz0XH.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
割合の問題
１．もっと「なるほど！」的な回答ある？
２．分かりやすい図にできる？
３．植木算とか鶴亀算とかあるじゃん。どういう分野の問題？どうぐぐればよい？
394:１３２人目の素数さん
20/06/09 20:13:57 HnWzlOeg.net
エレベーターのカウンターウェイト(ロープのカゴと反対側につけるおもり)の重さについて。
おもりの重さはどのようにして決定されているのか、または最適な重さはどれくらいなのかと言う疑問がありました。
工学的には、かごの重量と、モーターの最大可搬重量の半分、の和が最も昇降出来る重量が大きくなると言う理由から設定されるそうです。
さて、数学的に最適なカウンターウェイトの重量の定義とその求め方は何が考えられますか?
数学的とか、物理的、統計的、経済的とか、このような点を重視し、○○が最小(最大)になるのが最善とし、その計算方法は...等の解答をお願いします。
例)一ヶ月間の使用電力が最も少ない重さが経済的に最適
395:１３２人目の素数さん
20/06/09 20:37:07 Sbp1Zf6U.net
東京大学の入試問題の類題です。
ものすごい計算量になってしまいました。対称性を活用して式変形できないでしょうか。
y=x^3-3xの-1≦x≦1の曲線をC、Cをx軸方向にs,y軸方向にtだけ平行移動させた曲線をC(s,t)とする。
（1）s,tを色々と変化させる。CとC(s,t)の共有点はいくつあるか。ありえる値を全て求めよ。
（2）（1）において、ちょうど2個の共有点を持つようなs,tの範囲をst平面上に図示せよ。
396:１３２人目の素数さん
20/06/09 21:18:40.87 oCR5MqlE.net
>>378
自然数nに対して
f(x) = x^2 + n^2 + n^2 - (1+n)^2･
397:(1+x), とおく。 f(x) = (x-1){x-n(n+2)} -4n -1 < (x-1){x-n(n+2)}, f(x)=0 は2つの正根をもつ。 小さい根は0と1の間にあり、大きい根は n(n+2) より大きい。 大きい根を x_n とおくと (x, y, z) = (x_n, n, n) ∈ D x+y+z > n(n+4) → ∞ (n→∞)
398:１３２人目の素数さん
20/06/09 21:21:55.40 UnPmrfda.net
>>343
この命題は、ルジャンドル予想を解決したから書いているんですからね
変な反応は止めていただきたい
399:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/09 22:43:21 w9sW93J5.net
>>382
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3,3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
400:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/06/09 22:57:26 w9sW93J5.net
前>>385訂正。
>>382
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
(2)(1)よりst平面の領域が決まると思う。
401:１３２人目の素数さん
20/06/09 23:04:56 eYq+xinT.net
>>382
そうでもなくね？
まず、 -1 ≦ x ≦ 1 の条件から、C と C(s,t) が共有点を持つための必要条件として、
-2 ≦ s ≦ 2 がわかる
f(x) = x^3 - 3x とおくと、 f(x) は閉区間 [-1, 1] で狭義単調減少だから、
s = 0 の場合は無数の共有点を持つ（C(0, 0) = C）か、あるいは1つも共有点を持たない
s ≠ 0 のとき、 C と C(s, t) が共有点を持つとすると、 x についての2次関数が得られるから、
共有点の個数はその2次関数の判別式 D の符号で決まる
g(s) = D/3s とおくと、 g(s) は3次関数で、閉区間 [-2, 2] で狭義単調増加であることがわかる
あとは s > 0 と s < 0 で場合分けすれば st 平面上の範囲が求められるはず
402:１３２人目の素数さん
20/06/09 23:24:01 eYq+xinT.net
>>387
狭義単調減少と狭義単調増加の件は特に必要ではなかったわすまん
403:１３２人目の素数さん
20/06/09 23:49:24.76 eYq+xinT.net
>>387
いやごめん
交点の x 座標が実際に -1 ≦ x ≦ 1 になるための条件も必要だったわ
忘れてくれ
404:１３２人目の素数さん
20/06/10 00:37:00.58 FUV1MKkx.net
>>260
f'(s)=f'(t)=0, s＜t となったとする(問題の前提条件)
すでに繰り返し述べられているように
f(s)＞f(t) は簡単に示せる(f(x)をf'(x)で割り算する)
さて, f(x)が x=s で極大値を取ることを示そう
f'(x)は因数定理より f'(x)=3(x-s)(x-t) とかけるから
x＞s で f'(x)＜0 であり x＜s で f'(x)＞0 だから
f(x)は x=s で極大値を取ることがいえる
同様に x=t で極小値を取ることがいえる
この解法のほうが高校数学的かもしれない
高校数学だと極値を取るかどうかの判定が前後で符号変化するかどうかがメインだからね
極値の定義から直接議論するなら これも既にあるようにテイラー展開するのがいいだろう f(x)がすでに多項式の形をしてるからテイラー展開の概念を知らなくても ただの式変形で議論できる これも代数的かつ初等的 ただし高校数学的とはいえないだろう
405:１３２人目の素数さん
20/06/10 00:44:52.16 fnMO25U7.net
>>390
高校数学的な話は>>261,>>272で終わっとるんやで。あとは蛇足や。
406:１３２人目の素数さん
20/06/10 01:27:25 Z+Aga7J8.net
>>383
x_n = {(n+1)^2 + √[(nn+2n-1)^2 + 4(4n+1)]}/2
> {(n+1)^2 + (nn+2n-1)}/2
= n(n+2),
407:１３２人目の素数さん
20/06/10 03:00:47 5lQkKW5h.net
>>380
溶液の濃度計算の問題と同型だからそれで答えると
塩分濃度９０%の水に塩分濃度１０%の水を等量混ぜ合わせると
塩分濃度５０%の水になる。
塩分濃度８０%の水に塩分濃度０%の水をほんの少しだけ混ぜると
塩分濃度が８０パーセントより少しだけ小さな水になる。
混ぜ合わせる溶液の量と塩分量を明示する
（天秤図、天秤法とか言うものもあるそうな）
408:１３２人目の素数さん
20/06/10 07:22:10.16 rbCHh/Gv.net
>>380
こういうのではどうでしょうか？
# シンプソンのパラドックス
#
# ある仮想疾患の治癒率
#
# 軽症 重症
# Ｋ大学 10/10 10/90
# Ｔ大学 70/90 0/10
# 放置 40/50 5/50
#
# Ｋ大学の方が軽症・重症とも成績がよいが
# 総数比較ではＴ大学の方が成績がよい。
# この疾患は自然治癒率が45%とされています。
# この疾患のＴ医大での治癒率は70%です。
# これに対しＫ大学での治癒率はわずか20%です。
409:１３２人目の素数さん
20/06/10 08:03:48.53 Z+Aga7J8.net
重症患者の割合xに対して
K大学は 1 - (80/90)x,
T大学は (70/90)(1-x),
放置は (40/50) - (45/50)x,
同じxで比べれば
K大学 > 放置 > T大学
ですが
K大学はx=0.9 放置はx=0.5 T大学はx=0.1
で比べれば逆転します。
410:１３２人目の素数さん
20/06/10 10:15:44.51 DqbTfruJ.net
A組、B組でテストを行った。
男子の平均点はB組の方が上
女子の平均点もB組の方が上
だが、クラス全体の平均点ではA組が上
A組男子={90,80+a} ; a=1～9
A組女子={70}
B組男子={90}
B組女子={80,70}
411:１３２人目の素数さん
20/06/10 12:54:19.56 8iYrxUBe.net
統計的決定問題の枠組みで回帰問題は扱えますか？
もし扱えるなら特に線形回帰の場合の統計的決定問題のモデルを教えて下さい
412:１３２人目の素数さん
20/06/10 15:44:04.97 QcYGbPiy.net
最小二乗法でも見るんだな
413:１３２人目の素数さん
20/06/10 17:43:22.65 8iYrxUBe.net
>>398
データはどういう確率分布族から生成されてると思えばいいんでしょうか？
例えば線形回帰だとp(y|x)が正規分布に従うとかはわかるんですが、p(x)はどういうのが仮定されるのでしょうか？
いくつかのxを固定して観測していくパターンとランダムにxを観測するパターンの2通りがあると思いますが両方お願いします
414:１３２人目の素数さん
20/06/10 18:01:54.83 zhFU3eSZ.net
楕円E上に２点O,P_1をとる。P_1を通るEの接線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_2とする。
次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
P_1=P_nとなるある自然数nが存在するのはO,P_1がどういう条件を満たす場合か？
415:１３２人目の素数さん
20/06/10 19:46:44.21 fnMO25U7.net
>>400
＞次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
＞P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
ここのP_k(k≧3)のとりかたとして、点Oと一致してもいいのか？
一致していいなら、点P_kを点Oと一致するようにとればP_(k+1)=P_1となるので求める条件は「なんでもいい」となる。
一致しないようにとるのなら、P_1=P_nとなるのはOとP_1が一致しているときに限る。このときP_1=P_2であり、P_3以降は定義できない。
もしP_1=P_nとなる自然数n(n≧3)が存在すると仮定すると直線P_(n-1)P_1と直線OP_1が平行となるが、同じ点P_1を通る平行な2直線なので一致することになり
楕円と直線の交点は高々2個だから点P_(n-1)が点Oと一致することになるがこれは点P_(k+1)の取り方に反する。
P_2だけP_3以降と点の取り方が違うので、P_1=P_2だけあり得ることになる。
416:１３２人目の素数さん
20/06/10 20:30:43 zhFU3eSZ.net
>>401
「P_kとP_1を結ぶ直線がOを通る接線に平行な場合はO=P_(k+1)とする」というつもりでした。
Oの接線に平行になる場合が存在するのはどういうときかっていう問題です。
417:１３２人目の素数さん
20/06/10 20:44:19.36 fnMO25U7.net
>>402
完全に別問題となるような条件を後出しするものではない。その条件を新たにくわえて返答したとしても、どうせさらに後出しがあるのだろう。
そもそも>>400の問題文の時点で突っ込みどころ満載で、文章の変なところを最大限好意的に解釈して答えたのにこの仕打ちかよ。
問題文は改変せず正確に漏れなく全文かけ。