1016:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:12:12.43 7vxztQCR.net
>>808
ただし k=(n+1)/2 のときは
台形(trapezoid) = h {2sin(π/(n+2)) + h/tan(2π/(n+2))},
h = cos(π/(n+2)) - cos(π/n),
1017:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:50:07.32 xkZAJeQx.net
p(a,b)
=Σa/(a-k)
≒∫[0,b]1/(1-x/a)dx
=-alog(1-b/a)
だから
b=[4a/5]
でa→∞のとき
lim p(a,b)/a = -log(1/5) = log(5)
かな
1018:１３２人目の素数さん
20/07/07 19:59:46.44 V0zbgviH.net
鳩の巣原理という超自明なものから証明される命題が超自明に見えないのはなぜ？？
1019:１３２人目の素数さん
20/07/07 20:31:00.79 bx7umG9D.net
>>965
昭和のうちは、部屋割り論法という呼称だったけどいつから鳩の巣原理に呼称が変わったんだろう？
次はどんな呼称に変わるのだろうなぁ？
1020:１３２人目の素数さん
20/07/07 21:17:50.33 YXX3xhBe.net
放物線C上を点Pが、D上を点Qが、それぞれ独立に動く。
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
このときPQの長さを最小とするようなP,Qの位置を述べよ。
…というような問題で、よくなんの断りもなしに
「PQが最小だから、PでのCの接線とQでのDの接線が平行でなければならない」…(A)
と書いているのを見かけます。
チャート式などの受験参考書に見られます。
(A)は前置きもなしに自明と扱って良いのでしょうか？よろしくお願いします。
1021:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:30.77 gyGhnLCq.net
>>967
このくらいなら出題者・採点者の方針次第のように思う。
論証不足として減点されても文句は言えないレベルだが、大目に見て減点なしとする採点基準の場合もあるだろうな。
自明として扱わずにきちんと論証しておいたほうが無難だとは思う。
受験参考書とのことなので大学受験あたりの話なのかと思うが、主要な大学ほどこういう微妙な判断を要する出題は避ける傾向はあるかもしれない。
ほんの些細なことでも各種予備校からのクレームは厳しいからな。
いずれにせよ、数学の学習において本に自明と書いてあることを自力できちんと論証できるようにしておくことはとても大切である。
1022:１３２人目の素数さん
20/07/07 23:27:49.04 UGF9ZM36.net
分からない問題はここに書いてね461
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1023:１３２人目の素数さん
20/07/08 01:39:18.47 E7sQrDhL.net
>>962-963
n 面積
-----------------------
3 1.113653769170520
5 0.397944967183052
7 0.187485749191523
9 0.105399738651839
11 0.066428110136527
13 0.045288462094167
15 0.032681482667606
31 0.006502342848450
63 0.001434131704510
127 0.000336211588037
255 0.000081395165854
n>>1 では ～ 5/n^2
1024:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 03:28:31 ODJ2yoWq.net
前>>941
>>967
C:y=x^2+1
D:x=2y^2+2
y=x^2+1のP(p,p^2+1)における接線をy=2x+aとおくと、
2p+a=p^2+1
p^2-2p-a+1=0が重解を持つためにa=0,p=1
P(1,2)が判明。
PQの式はy=-(1/2)(x-1)+2
x=2y^2+2
=1-2y+2
=3-2y
=3-(�
1025:�3-1) =2-√3 Q(2-√3,(√3-1)/2)が判明。
1026:１３２人目の素数さん
20/07/08 04:38:30.25 wpJjzlbG.net
>>956-957
すいません、
私の思いつきは的外れでしたね、
失礼しました。
1027:イナ
20/07/08 04:53:28.69 CkzpZnuD.net
前>>971訂正。勇足おわび致す。かたじけない。
>>967
P(1/2,5/4)
Q(5/4,1/2)
ピタゴラスの定理より、
PQ=√(3/4)^2+(3/4)^2
=3√2/4
1028:１３２人目の素数さん
20/07/08 07:34:45.40 I3BoIViR.net
>>967
思考停止のプログラムでの数値解
> PQ <- function(xy){
+ x=xy[1]
+ y=xy[2]
+ P=c(x,x^2+1)
+ Q=c(2*y^2+2,y)
+ sqrt(sum((P-Q)^2))
+ }
>
> opt=optim(par=c(0,0),fn=PQ,method='Nelder')
> x=opt$par[1]
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1029:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:08:33.01 E7sQrDhL.net
>>966
ディリクレ(1805～1859)の死後、明治～大正時代は
「引きだし論法」だったかも。
1030:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:11:46.16 I3BoIViR.net
>>974
図示しないと気持ちがわるいな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
x=seq(-2,2,len=100)
plot(x,x^2+1,xlim=c(-2,5),ylim=c(-2,5),type='l',bty='l',ann=F)
y=seq(-2,2,len=100)
lines(2*y^2+2,y)
points(P[1],P[2],pch=19)
points(Q[1],Q[2],pch=19)
1031:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:32:40 0bsbQgCs.net
正の実数xに対して{x}はxの小数部分を表す。aを正の無理数とする。
（1）n=1,2,...のそれぞれに対し、{na}はすべて異なることを示せ。
（2）（1）と同様にa*{na}を考えたとき、a*{ka}=a*{ma}となる相異なる自然数の組(k,m)が少なくとも1組存在する場合がある。aはどのような無理数か、考えうる全ての場合を求めよ。
1032:１３２人目の素数さん
20/07/08 08:37:03.05 wpJjzlbG.net
みんな頭いいな。
ここの方って中高生向けの数学オリンピックとその予選、
ああいう偏ったタイプの問題を解く自信はありますか？
ああいうのって大学以上の数学とは別ものですよね？
ちなみに、おれが学生の頃は
旧い練習問題のコピーがクラスで流行ってた。
1.5 問くらいしか解けんかったわ。 余裕で予選落ちだ。
1033:１３２人目の素数さん
20/07/08 09:34:26.90 wuJIFs5H.net
>>977
(1)異なる自然数k,mに対して{ka}={ma}と仮定すると ka-ma=(k-m)a が整数となるが、k-m≠0であるからこれはaが無理数であることに矛盾する。
(2)a*{ka}=a*{ma} ⇔ {ka}={ma} であるから(1)よりaがどのような無理数であってもこれを満たす相異なる自然数の組(k,m)は存在しない。
1034:１３２人目の素数さん
20/07/08 10:16:11 XD7Ql8W/.net
C,Dが交わらない微分可能な関数曲線として、
PQが最小値をとるとき、PでのCの接線とQでのDの接線は平行である
ってどうやって証明できるんだろう？
1035:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:22:54.39 wuJIFs5H.net
>>980
条件設定が不十分すぎますが、>>967の話でしょうか？
動点の片方を固定したとき、固定されてないほうの接線がPQに垂直となることを示せば十分ですが
垂直でなければPQを半径とする円と交わるので円の内部の点を取れば最小ではなくなるくらいでよいのではないでしょうか。
1036:１３２人目の素数さん
20/07/08 11:56:09.02 M5YUn+y1.net
X,Yを全順序集合とする。順序を保つ全単射f:X->Yが存在するとき、XとYは順序同型になるか？
なりそうな気がしますがどうでしょうか？
1037:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:44:39 AhepFBJk.net
全順序なら自明じゃね
f が順序を反映することが言えればいいんでしょ？
任意の x, y ∈ X に対して
f (x) ≦ f (y) ならば、 X が全順序なら x ≧ y または x ≦ y だが、
もし x > y なら f が順序を保つことから f(x) ≧ f(y) となるので f(x) = f(y)
これは f の単射性の仮定に矛盾する。
1038:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:56:11 I3BoIViR.net
>>975
鳩の巣原理を知った、動物アイゴ主義者が鳩を１羽用の巣箱に押し込めるのは動物虐待といいだしそうｗ
引き出し論法というのはそういう非難がこないよい命名だな。
1039:１３２人目の素数さん
20/07/08 12:58:19 I3BoIViR.net
>>973
赤がイナ芸人の答
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1040:１３２人目の素数さん
20/07/08 13:10:57 Pt4pRb+l.net
そういやDirichletのひきだし論法って言い方あるな。
どっかの文献でDirichletがひきだし使って説明したのかな？
1041:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:12:29.85 wuJIFs5H.net
>>980
さすがに>>981ではアバウトすぎた気がするので、もう少し丁寧に書いておく。
点Pは点Qを中心とした半径PQの円Oと曲線Cの共有点であるが、交点ではない（理由は後述）から接点である。
つまり点PにおけるCの接線は円Oの接線でもあるので、半径PQと垂直である。
同様に点QにおけるDの接線もPQに垂直であり、同一の直線PQに垂直な2直線は平行である。
（交点ではない理由）
円Oと曲線Cが点Pで交わると仮定すると、円Oの内部に曲線C上の点をとれることになるがこれはPQの最小性に矛盾する。
1042:１３２人目の素数さん
20/07/08 14:45:28.68 ljE/4Hhb.net
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
MPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1043:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:06:41.16 yiO6XJAl.net
lim [t→∞] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = ∞
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-atan(c/t)) = -∞
1044:１３２人目の素数さん
20/07/08 15:31:59.19 yiO6XJAl.net
lim [t→+0] )√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) = c - π
(√(t^2+c^2)-2atan(c/t)) )'
= (√(t^2+c^2)+2c)/(t^2+c^2)>0
1045:イナ
20/07/08 16:30:51.37 5WH5GGpe.net
前>>973訂正。
>>967
P(p,p^2+1)
Q(2q^2+2,q)
PQ^2=(2q^2+2-p)^2+(p^2+1-q)^2
=......
=(2q^2-p^2)^2......
p=q√2のときPQは最小。
PQ^2=8q^4-4(√2+1)q^3+15q^2-2(1+2√2)q+5=f(q)とおき、
f'(q)=32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
この3次方程式が解ければP,Qの位置は決まると思う。
おおよそP(2/3,13/9),Q(22/9,√2/3)ら辺と考えられる。
1046:１３２人目の素数さん
20/07/08 16:53:00.60 wuJIFs5H.net
>>988
点Mを十分遠くにとればMPをいくらでも大きくできるのでMPの最大値は存在しない。
1047:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:16:48.79 I3BoIViR.net
>>981
レスありがとうございました。
図示したらおっしゃることが理解できました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
1048:１３２人目の素数さん
20/07/08 18:39:34.25 I3BoIViR.net
>>991
32q^3-12(√2+1)q^2+30q-2(1+2√2)=0
をWolfram先生に解いてもらいました。
実数解は
q ? 0.318819191675181
だそうです
1049:１３２人目の素数さん
20/07/08 19:08:18.21 NoIq/b5Q.net
MではなくOの間違いでした。ABの中点になっているからMだと勝手に思い込んでいまして、すみませんでした。
AP+BPはともかく、∠APBをどうやって式にするかがわかりません。正弦定理を使ってsinの形にし微分計算に持ち込むことを考えましたが、大変煩雑でがうまくできません。
よろしくお願いします。
【修正】
xy平面に3点O(0,0),A(a,0),B(-a,0)がある。
点P(p,q)が、q>0かつAP+BP=∠APB、を満たすように動く。
OPの最大値が存在するためのaの条件を求めよ。存在する場合にその最大値をaで表せ。
なお∠APBは△APBの内角であり、角の大きさは弧度法で測るものとする。
1050:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/07/08 20:01:55 A4Rmkg0O.net
前>>991
>>994
q=0.318819191675181として、
P(0.45087842481,1.2329135396)
Q(2.20329135396,0.318819191675181)
PQの傾きは-0.914094347924819/1.75241292905＞-1/2
1051:１３２人目の素数さん
20/07/09 01:42:21 t0ZWB8zx.net
一辺の長さが1の正四面体Vの重心をGとする。
また重心を含む平面で、Vとの共通部分が等脚台形となるものを考える。その2つの角をa,π-aとおく。
（1）実数aの取りうる値の範囲を求めよ。
（2）aの下限または最小値をm、上限または最大値をMとする。
平面とVとの共通部分の等脚台形について、その1つの角が(m+M)/2であるようなものの面積を求めよ。
1052:１３２人目の素数さん
20/07/09 02:32:24 XFAfLnLw.net
π/3<a<2π/3
1/4
1053:１３２人目の素数さん
20/07/09 07:39:23 dYeNIQef.net
>>996
最短じゃないみたいだよ。
> P=c(0.45087842481,1.2329135396)
> Q=c(2.20329135396,0.318819191675181)
> sqrt(sum((P-Q)^2))
[1] 1.976492
> (P=c(x,x^2+1))
[1] 0.6189828 1.3831398
> y=opt$par[2]
> (Q=c(2*y^2+2,y))
[1] 2.0814249 0.2017733
> PQ(opt$par)
[1] 1.87999
1054:１３２人目の素数さん
20/07/09 08:04:04 lBO5fTHS.net
問 1. 定規とコンパスがある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
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