20/05/10 13:43:22 mjl0bfS3.net
そういう話なら
行列は一般に、非可換だが
可換な行列の属があるよね
例えば、対称行列で”可換 (AB = BA) ”になる属は、そうだよね
（参考）
URLﾘﾝｸ(blog.goo.ne.jp)
担当授業のこととか，なんかそういった話題。
(抜粋)
可換な行列。Part IV ― 正規行列からのアプローチ。2012-03-12 23:56:50 | mathematics
可換な行列同士の間柄
もうかれこれ2年近く前に，ふとしたことから可換な行列同士の間柄についてあれこれ考えたことがある。
※ 「可換な行列。」というタイトルの過去の一連の記事 Part I，Part II，Part III を参照。
当時，ブログを見てくれていた友人 gk 氏から，2つの行列が正規行列ならば肯定的な答えが得られるということを教えていただいた。
2つの正規行列 A と B が積に関して可換であるとき，A と B を同時に対角化するような共通のユニタリ行列 U をとることができる，という，実に強力な『同時対角化可能定理』というのがある。
その定理の証明まで含めてようやく理解できるに至ったわけだが，その証明から，その定理の適用限界といったようなものまで読み取ることができた。
ここで肝心なのは，A の固有値が全て非縮退である，つまり A の固有方程式が重解を持たないという条件である。
まず，A と B が同時対角化可能ならば，そもそも対角化されたあとの行列をイメージすれば事足りそうである。つまり，A と B として対角行列を考えることにするのである。
対角行列同士は可換なので，積が可換であるかどうかをチェックする必要もない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
対称行列
二つの対称行列の和と差はやはり対称となるが、積は必ずしもそうではない。対称行列 A, B の積 AB が対称となるのは A と B とが可換 (AB = BA) となるときであり、かつそのときに限る。