20/05/09 22:30:14.99 wuUnu6Xu.net
自然数と足し算の定義は既知とする a + b = b + aも既知とする
自然数 m と 自然数 n について
m ｘ n を m を n 回足した数と定義する
＜補題１＞
任意の自然数 p, q, rに対し、
p x (q + r) = p x q + p x r
証明
左辺は定義より pをq + r 回足した数 これは、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。
右辺は、 pを q回足した数に、 pを r回足した数を加えた数である。
したがって左辺と右辺は等しい
＜補題２＞
任意の自然数 p, q, rに対し、
(p + q) x r = p x r + q x r
証明
左辺は定義より p + qをr回足した数である。これは結局、pをr回足した数にqをr回足した数を加えた数になる
右辺は、 pをr回足した数に、 qをr回足した数を加えた数である。
したがって左辺と右辺は等しい
＜定理 １＞
任意の自然数 p, q, r, sに対し、
(p + q) x (r + s) = p x r + p x s + q x r + q x s
証明
補題 1補題2より成立する
定理 2
任意の自然数 p, qに対し
p x q = q x p
証明
帰納法で証明する p = 1, q = 1については成立する
p = m、q = nで成り立てば すなわち m x n = n x mであれば
p = m + 1、q = nに対し
(m + 1) x n = m x n + n
n x (m + 1) = n x m + n
∴ (m + 1) x n = n x (m + 1)
p = m、q = n + 1に対し
m x (n +1) = (n+1) x m
よって、任意の自然数についてp x q = q x pが示された