20/05/13 11:45:00.52 uMe8boWM.net
>>561 戻る
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(2015-02).pdf
[17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
で P5 に
”一種の「同義反復的解決」”というのが出てくる
「同義反復的な解決」の意味が、正確には分からないが
すぐ浮かぶのが、”再帰”というキーワードだ
”再帰”になると、一階述語論理の範囲外だ
(引用終り)
IUTは実は二階で、ショルツ先生は一階で考えていたとか
そういう説明がつけば良いのだが（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
再帰理論
(抜粋)
定義可能性、証明、計算可能性の相互関係
再帰理論は二階算術（自然数と自然数の集合に関する形式的理論）とも関係している。特定の集合が計算可能だったり相対的に計算可能だったりする場合、それらの集合は二階算術の中の弱い体系内で定義できることがよくある。
逆数学の研究プログラムは、よく知られた数学的定理に内在する計算不可能性を測る尺度としてこれらの体系を用いる。Simpson (1999) は二階算術と逆数学に関する様々な話題を取り上げている。
証明論の分野の研究対象には、二階算術とペアノ算術の他にも、ペアノ算術よりも弱い自然数に関する形式的体系などがある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
他の論理との比較
・型つき一階述語論理は変項や項に型または種を導入したものである。型の個数が有限個であれば普通の一階述語論理と大きな違いはなく、有限個の単項述語で型を記述し、いくつかの公理を追加すればよい。真理値として Ω という特殊な型を持つ場合があるが、その場合の論理式は Ω 型の項となる。
・二階述語論理は部分集合および関係、すなわち全ての述語の量化を許すものである。
・新たな量化子を加えた一階述語論理は、例えば「……であるような多くの x が存在する」といった意味の新たな量化子 Qx, ..., を持つ。
こうした論理の多くは、一階述語論理の何らかの拡張と言える。
679:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 11:46:54.45 uMe8boWM.net
>>601-602
五歳児のチコちゃん、無理するなｗ（＾＾；
680:１３２人目の素数さん
20/05/13 11:59:56.80 YxiDM0Si.net
>>604
ψに入る式が無限個あるのだから、公理としては無限個ですが、何か？
681:１３２人目の素数さん
20/05/13 12:04:51.66 YxiDM0Si.net
>>603
＞IUTは実は二階で、ショルツ先生は一階で考えていたとか
＞そういう説明がつけば良いのだが
素人考え 休むに似たり
＞”再帰”になると、一階述語論理の範囲外だ
そりゃ嘘ですね
帰納法も一階述語論理では公理図式として導入可能ですから
（注：単一の公理ではない）
682:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:10:02 uMe8boWM.net
>>603 追加
（参考）
はてなブログ/entry/2018/10/13/193343
2018-10-13 はてなブログ 亀岡亮太
Russell のパラドクスと λx.xx (または自己言及がもたらす豊かさと危うさについて)
Russell のパラドクス
既にご存知の読者も多いと思うが，念のため Russell のパラドクスについての紹介をしておく．
[Math Processing Error] なる集合を考える．つまり [Math Processing Error] は，自分自身を要素として含まない集合全体の集合である．
まず，[Math Processing Error] と仮定すると，[Math Processing Error] の定義より [Math Processing Error] であるはずなので矛盾する．
一方，[Math Processing Error] と仮定すると，[Math Processing Error] の定義より [Math Processing Error] となるはずなので，こちらも矛盾する．
Russell の階型理論
「束縛変数を含む命題や関数は何であれ，それ自身を引数として入力してはいけない」という制約を敷く．
この悪循環原理を形式的に遂行するため，命題関数の量化を反映した階層構造を設定した上で，項がどの階層に属するかを分類し，命題や関数の引数として出現できる項の種類に制限を加えるのが階型理論の目的である．
随分と抽象的な説明になってしまったので，具体例を見てみよう．分類は以下のように行われる．
・命題でも関数でもない対象を individuals と呼ぶ (これは0階とみなされる)
・引数に individual のみが出現する関数を1階の関数と呼ぶ
・ある関数において，引数または束縛変数として n 階の変数が最高位の変数として出現するならば，その関数は n+1 階である
このような階層構造を導入することにより，Russell は「[Math Processing Error] は [Math Processing Error] の要素である」のような記述はそもそも項として存在し得ず，無意味であると主張する．
かくして Russell のパラドクスは片付く*17 *18．
つづく
683:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:11:16 uMe8boWM.net
>>607
つづき
型無しラムダ計算
20年ほど時代を下り，1930年代に話題を移そう．若き日の Alonzo Church は，自由変数を用いない*19形式論理学の記法あるいは計算体系として，ラムダ計算を提案する．
初出は1932年の A Set of Postulates for the Foundation of Logic であるようで，表題からも分かる通り，この頃の Church はラムダ計算を論理学の基礎として据えようと考えていたらしく，項として種々の論理定項を含んでいる．
しかし，このオリジナルの体系は証明力が強すぎたため，後に Stephen Kleene と John Barkley Rosser らにより矛盾を導くことが証明された*20．
単純型付ラムダ計算
1940年に発表された A Formulation of the Simple Theory of Types という論文が，型付きラムダ計算の初出とされている．
ラムダ計算と階型理論を統合することで，どのような嬉しい性質が生じるのかはこの論文には記されていないが，ともかく Church は 従来のラムダ計算に加えて，型という概念を導入する．
つづく
684:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:12:48 uMe8boWM.net
>>608
停止性問題・Godel の不完全性定理・対角線論法
Russell のパラドクスに始まり，[Math Processing Error] や [Math Processing Error] といった自己言及・自己適用を含んだ表現について見てきたが，計算機科学の素養がある読者なら，停止性問題の決定不能性の証明が，ある種の自己適用を用いたものだったことを思い出すかもしれない*27．
Godel の不完全性定理に登場する「この文は証明できない」といういわゆる Godel 文も自己言及を含んでいる．このように，ある種の自己言及を仮定すると矛盾を導く論法は対角線論法として知られている．
終わりに
これまで見てきたように，制限のない自己言及はしばしば矛盾を引き起こす．
これを防ぐために Russell は型の概念を発明し，論理学における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加え，Church はこのアイディアを拝借し，ラムダ計算における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加えた．
Russell の型理論も Church のラムダ計算も，論理学，ひいては数学の基礎付けを与えるという願いを成就することはできなかった．
しかし，これらが組み合わさった際に，プログラムと証明との間に対応関係が浮かび上がり，再び論理学の世界へと通じる道が開くことは Curry-Howard 同型対応としてよく知られている．
結局のところ，両者の思想ともに，人間の思考の根源的な営みである論理や推論と言った概念にどこか根ざしているように思われて仕方ないのである．
(引用終り)
以上
685:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:21:41 uMe8boWM.net
>>607
追加
URLﾘﾝｸ(userweb.mnet.ne.jp)
ノームラーのCUI大好き
ラッセルのパラドックス(2001.05.15)
(抜粋)
ラッセルのパラドックス
ラッセルのパラドックスはイギリスの哲学者バートランド・ラッセルが発見した有名なパラドックスだ。どういうパラドックスかというと、「自分を要素として含まない集合の集合」は自分自身を要素として含むかどうか決定できないということだ。
つまり、述語論理学(述語を変数にすることができる二階述語論理学の場合)では、命題が必ず真か偽の値のどちらかをとるということは保証されていない。(二階)述語論理学では排中律が成立しないのである。
ラッセルのパラドックスが起きるのは「全て」という量化記号が自己言及が起きたときにパラドックスを引き起こすためである。
したがって、（二階)述語論理学では「全て」という量化記号を無制限で使用するとパラドックスが起きてしまうことになる。(2003.5.30)
(引用終り)
以上
686:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:35:28 uMe8boWM.net
>>610 追加
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
J-STAGE home/Kagaku tetsugaku/Volume 9 (1976)
様相 パラドックス 内井 惣七
(抜粋)
1 様相 と自己言及
7 算術 と必然的自己言及
(iii)言語の階層の区別を設ける.
ウソつきパラドックスおよび一般に意味論的パラドックスを解決する場合と
同様,述語アプローチを維持するためには,おそらくこれが最も妥当な解決策
であろう.
ただしこの場合には,様相概念を厳密に扱うためには,かなり強力
な論理の枠組(一種の高階述語算)を前提するわけであるから,様相論理の他
のアプローチと較べて論理的および哲学的により好ましいかどうかは,はなは
だ疑問である.
第二の方向に沿う解決策については,多くを述べる必要はあるまい.現代の
様相論理の体系はすべてこの方策にしたがっているからである.そしてクリプ
キが様相子としての必然性に,ペアノ算術�
687:ﾉおける証明可能性などの解釈を与 えて意味論を展開したことも周知のことである.このアプローチでパラド ックスが生じない理由は簡単である.すなわち,一つの論理結合子(日常言語 では副詞)としての必然性は,文に述語づけられない.したがって自分自身 の必然性や非必然性を主張する文は,様相子に加えて意味論的述語(例えば25 「真」)を援用しないかぎり構成できないのである.つまり様相子だけでは言 語の階層の区別を破る文は構成できない.それがこのアプローチでパラドック スを回避できる理由である. (引用終り) 以上
688:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:43:39 uMe8boWM.net
>>610-611
>ラッセルのパラドックス
>つまり、述語論理学(述語を変数にすることができる二階述語論理学の場合)では、命題が必ず真か偽の値のどちらかをとるということは保証されていない。(二階)述語論理学では排中律が成立しないのである。
従来、ラッセルのパラドックスなどを回避するために
階型理論のように、できるだけ 一階述語に限定して
「自己言及」のような（あるいは、広い意味での再帰の）記述は、数学では避けて来たのだった
では、>>603の IUTの 「同義反復的な解決」が、果たして、一階述語の範囲に収まっているのかどうか？
ZFCGの問題よりも、こちらをはっきりさせる方が 重要だという気がする
689:１３２人目の素数さん
20/05/13 13:49:30 YxiDM0Si.net
>>610
これはひどい・・・
URLﾘﾝｸ(userweb.mnet.ne.jp)
生年 昭和29年(1954年)
性別 男
職業 内科医
趣味 特にありません。面白いことなら何でも。昼寝。とにかくよく寝ます。
もっとましなHPを見てくださいよ
690:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:50:40 uMe8boWM.net
>>612
いまどき、圏論－高階論理は 普通なので、それはそれで、はっきりさせれば良い
但し、高階論理を使うなら、ZFCとかに 拘る意味は薄い
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論
(抜粋)
歴史
集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。
意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
URLﾘﾝｸ(www.utp.or.jp)
東京大学出版会
圏論による論理学
高階論理とトポス
清水 義夫 著
ISBN978-4-13-012057-9発売日:2007年12月14日判型:A5ページ数：232頁
教科書
人文科学 > 哲学・思想・倫理
内容紹介
20世紀後半，数学，計算機科学，論理学などの分野で採用されてきている圏論．関数概念を基本として現象をとらえようというこの方法を，関数型高階論理とトポスを題材にして丁寧に解説する．論理学の観点を中心に，圏論の考え方を紹介するテキスト．
691:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:52:37 uMe8boWM.net
>>613
>生年 昭和29年(1954年)
>性別 男
>職業 内科医
おれ的には
あなたより ましに見える
”職業 無職” よりも
692:１３２人目の素数さん
20/05/13 13:56:43 YxiDM0Si.net
どうせならこういうところをみてくださいよ
なおytb氏こと矢田部氏は本物の論理学者です
ラッセルのパラドックスと基礎付けの公理
「∈-無限降下列が存在しないことを主張するZFの公理は、
Axiom of regurality（正則性公理）とも
Axiom of Fondation（基礎付けの公理）とも
整礎性公理とも呼ばれ、ややこしい存在です。
さて、ラッセルのパラドックスを巡る俗説の一つに
「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」
というものがあります。
たしかに基礎付けの公理を仮定すれば、ラッセルのパラドックスを起こす
ラッセル集合「自分自身を元として含まない集合」は集合として存在しません。
でも、これはたまたまであって、別にラッセルのパラドックスを防ぐために
導入されたとか、そういう訳ではありません。
だいたい、（よく指摘されることではありますが）もしもZFが無矛盾であれば、
ZF�
693:ｩら基礎付けの公理を除去した部分体系ZF-だって当然無矛盾なはずです。」
694:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 14:01:30 uMe8boWM.net
>>614 補足
普通の数学では
自己言及のような、再帰（定義、算法、論法など）は、普通は使わない
対角線論法などは、例外としてね
IUTの「同義反復的解決」（>>603）というのが
果たして、何者かだよね（＾＾；
695:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:03:49 YxiDM0Si.net
なお、ytb氏のあいまいな本日の私には
ラッセルのパラドックスのいろいろな解決法について
これでもかというほどふんだんに書かれているので
是非読んでいただきたい
（注：はてなブログですが、リンクはNGワードになってます）
さて
>>615
＞おれ的にはあなたより ましに見える
「的」は要らないですね
＞”職業 無職” よりも
職業にはついてますが、仮に無職だとしても
医者のNOMURAが正しくて私が間違ってる
という証明にはならないですね
696:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:12:47 YxiDM0Si.net
>>617
＞普通の数学では
＞自己言及のような、再帰（定義、算法、論法など）は、普通は使わない
＞対角線論法などは、例外としてね
これまた酷い・・・
自然数の定義は再帰の典型ですけどね
・ｎが自然数なら、ｓ（ｎ）も自然数である
この他にも再帰的定義は枚挙に暇がありません
さらにいうと、再帰関数の定義にはＹコンビネータを使うんですが
これ、対角線論法が元になってます
Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))
不動点コンビネータ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
697:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:16:24 YxiDM0Si.net
>>617
＞IUTの「同義反復的解決」というのが果たして、何者かだよね
気になるんなら、望月氏本人に直接聞いてみたら？
素人が勝手に憶測するよりいいと思うけど
どこから「高階」が出てきたのか知らんけど
今の段階では見当違いの可能性が非常に高い
698:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:23:12 YxiDM0Si.net
「あいまいな本日の私」より
2007-09-12 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1)
普通、通俗的な本でラッセル・パラドックスの紹介をすると、
「包括原理 (the comprehension principle) が悪いのです、
だからZFが建設され問題が解決されました、めでたしめでたし」
という結論になってしまうのですが、それは間違っています。
それ以外にもいろいろな解決法が提案されていて、どれも一長一短があります。
さて、Fefermanによれば、ラッセル・パラドックスの解決法は、
以下のように分類することができます。
Restriction of syntax: つまりラッセル集合の定義文は「文法違反」だ、というもの
Restriction of logic: つまりパラドックスは古典論理のせいだ、
だから古典論理を制限／変更しようというもの
Restriction of basic principles: つまり包括原理が問題だ、というもの
699:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:36:26.73 YxiDM0Si.net
「あいまいな本日の私」より
2007-09-12 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1)：Restriction of basic principles
2007-09-15 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (2) : Restriction of syntax
2007-09-17 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3) : Restriction of logic
(1)は、主にZFCによる解決法
(2)は、ラッセルの型理論による解決
(3)は、古典論理の修正による解決
個人的なお薦めは(3)のシリーズですね
というか、ytb氏が(3)について書きたかったので
この話をしたのが丸わかりです
700:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/13 15:25:38 PCZ7zAff.net
>>599
此処を其うしちゃいかんでしょうに｡
特に KingOfUniverse ◆667la1PjK2 が御肛臨なさったら最悪｡
×御光臨 △御降臨 ○御肛臨
701:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:54:47 uMe8boWM.net
>>616
> さて、ラッセルのパラドックスを巡る俗説の一つに
> 「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」
> というものがあります。
同意（＾＾
１）IUTの「同義反復的解決」（>>603）が、ラッセルのパラドックス同様の自己言及（二階述語）と見て
２）「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」という俗説に 引っ掛かって
３）基礎付けの公理に絡んで、“∈-structure”とか あるいは
”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
などと 言い訳を言っている気がする
俗説に 引っ掛かってｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020
P1 Abstract
Finally, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - the foundational/settheoretic issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice by introducing and studying the basic properties of the notion of a “species”,
which may be thought of as a sort of formalization, via set-theoretic formulas, of the intuitive notion of a “type of mathematical object”.
These foundational issues are closely related to the central role played in the present series of papers by various results from absolute anabelian geometry,
as well as to the idea of gluing together distinct models of conventional scheme theory, i.e., in a fashion that lies outside the framework of conventional scheme theory.
Moreover, it is precisely these foundational issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice that led naturally to the introduction of the term “inter-universal”.
つづく
702:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:55:20 uMe8boWM.net
>>624
つづき
P3
Finally, in §3, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - certain foundational issues underlying the theory of the present series of papers. Typically in mathematical discussions [i.e., by mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] - such
as, for instance, the theory developed in the present series of papers! - one defines various “types of mathematical objects” [i.e., such as groups, topological
spaces, or schemes], together with a notion of “morphisms” between two particular examples of a specific type of mathematical object [i.e., morphisms between
groups, between topological spaces, or between schemes].
P6
Indeed, from the point of view of the “∈-structure” of axiomatic set theory, there is no way to treat sets constructed at distinct levels of this ∈-structure
as being on a par with one another. On the other hand, if one focuses not on the level of the ∈-structure to which a set belongs, but rather on species, then the notion of a species allows one to relate - i.e., to treat on a par with one another - objects belonging to the species that arise from sets constructed at distinct levels of the ∈-structure.
That is to say, the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).
つづく
703:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:55:38 uMe8boWM.net
>>625
つづき
P8
Acknowledgements:
I would like to thank Kentaro Sato for useful comments concerning the set-theoretic and foundational aspects of the present paper,
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the present §3, we develop - albeit from an extremely naive/non-expert point of view, relative to the theory of foundations! - the language of species.
Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a “group”, a “ring”, a “scheme”, etc.
In some sense, this language may be thought of
as an explicit description of certain tasks typically executed at an implicit, intuitive level by mathematicians [i.e., mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] via a sort of “mental arithmetic” in the course of interpreting various mathematical arguments.
In the context of the theory developed in the present series of papers, however, it is useful to describe these intuitive operations explicitly
P68
- where n ranges over the natural numbers. On the other hand, by the axiom of
foundation, there do not exist infinite descending chains of universes
V0 ∋ V1 ∋ V2 ∋ V3 ∋ ... ∋ Vn ∋ ...
- where n ranges over the natural numbers.
つづく
704:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:56:05 uMe8boWM.net
>>626
つづき
P74
Remark 3.3.1.
(i) One well-known consequence of the axiom of foundation of axiomatic set
theory is the assertion that “∈-loops”
a ∈ b ∈ c ∈ ... ∈ a
can never occur in the set theory in which one works. On the other hand, there are many situations in mathematics in which one wishes to somehow “identify”
mathematical objects that arise at higher levels of the ∈-structure of the set theory under consideration with mathematical objects that arise at lower levels of this ∈-structure.
In some sense, the notions of a “set” and of a “bijection of sets” allow one to achieve such “identifications”.
That is to say, the mathematical objects at both higher and lower levels of the ∈-structure constitute examples of the same mathematical notion of a “set”, so that one may consider “bijections of sets” between those sets without violating the axiom of foundation. In some sense, the notion of a species may be thought of as a natural extension of this observation.
That is to say, the notion of a “species” allows one to consider, for instance, speciesisomorphisms between species-objects that occur at different levels of the ∈-structure of the set theory under consideration - i.e., roughly speaking, to “simulate ∈-loops” - without violating the axiom of foundation.
(引用終り)
以上
705:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:57:54 uMe8boWM.net
>>623
粋蕎さん
レスありがとう（＾＾
706:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:11:17.68 YxiDM0Si.net
>>624
ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
任意の集合Sについて{x∈S|￢(x∈x)}は存在する
上記の集合は実はSと同じだが、S∈Sでないから問題ない
さてZFCから基礎の公理を抜いて、代わりにy={y}のような集合を認める
公理AFAを入れても無矛盾である
例えば{x∈y|￢(x∈x)}の場合、空集合になる
707:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:23:23.22 YxiDM0Si.net
「圏の圏」は圏だとするとラッセルパラドックスを引き起こす
・・・ただし、古典論理を捨てれば、問題は解決できるかもしれん
――
「あいまいな本日の私」より
2007-09-20 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.1) : グリシン論理 (1)
体系 GS
さて、以下のように定義を与えます。
古典論理から縮約規則を除去した体系をグリシン論理（もしくはCFLew）と呼ぶ。
また、グリシン論理上で包括原理のみを持つ体系を GS と呼ぶ。
このとき
（定理） GSは無矛盾である
自己言及性の楽園
さて、この体系のすばらしい点は、包括原理がある訳ですから、
ラッセル集合が集合として存在することです。
「集合全体の集合」などもしかり。
それだけでなく、以下のような強烈な定理が成立します。
（再帰定理） GLにおいて、任意の論理式 P(x,y) に関して以下が成立する。
∃z∀x [x∈z ⇔ P(x,z)]
――
ヤベェ…鳥肌立ってきた（続く）
708:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:26:24.39 YxiDM0Si.net
>>630
しかし・・・うまい話には裏がある
ーーー
2007-09-22 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.2) : グリシン論理 (2)
さて、前回はグリシン論理上包括原理を持つ体系 GS の良い点、特に自己言及的集合の楽園であることをご紹介いたしました。今回は、GSの問題点についてご紹介いたします。
・外延性公理を仮定すると矛盾（ラッセル・パラドックス経由！）が導かれてしまう
：外延性を満たさないので、GS で定義される {x:P(x)} が「集合」の名に値するか疑問が残る
・古典的解析学や算術が十分に展開できない（っぽ
709:い） ・古典論理のタルスキ意味論に匹敵するような、わかりやすい意味論を持たない ーーー とんだぬか喜び・・・OTL （続く）
710:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:47:39.55 YxiDM0Si.net
>>631
しかし、ここであきらめるのはまだ早い
実はここから面白い
ーーー
2007-10-07 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2) : 多値論理
2007-10-07 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2) : ウカシェーヴィチ3値論理・・・失敗例
2007-10-13 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.3) : ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L・・・包括原理の限界
ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L
真理値が[0,1]の実数であるような、ウカシェーヴィチ多値論理の拡張を考えましょう。
・これは真理値として [0,1] 区間の実数全体（[0,1]={x: 0≦x≦1}）をとる。
・論理結合子に関して、以下の二つを持つ。v(A)を、論理式Aの真理値を定める付値とします。このとき
・否定 ￢に関して: v(￢A)=1-v(A)
・A→Bに関して： v(A→B)=min{1, 1-v(A)+v(B)}
・他の論理結合子（∧, ∨, etc.）は否定と→を組み合わせて作成する（A∨B は￢A→Bの略記、などなど）。
・v(∀xP(x))=inf{v(P(a): aはモデルのドメインの元}、同様に∃は￢∀￢で定義する。
∀L+包括原理の無矛盾性証明の困難・・・証明論的アプローチ編
∀Lは帰納的に公理化不可能であることが証明されています。
すなわち、 ∀Lのどんなモデルで真理値が必ず1となる文（1-tautology と呼ばれます）の集合は、
帰納的に枚挙可能ではない（Scarpellini 1962 による）。
従って、形式化する際には、Hilbert style + 無限個の推論ルールを持つ形で形式化するしかありません（Hay 1963）による）。
ちなみに、「∀Lの形式化」という言葉で意味しているのは、
∀Lの1-tautologyをちょうど導出するような、形式的体系のことです。
証明論的アプローチ：Whiteの無矛盾性証明
定理：White (1979)
Hは無矛盾である。
（∀L+包括原理の体系を、Hayによる無限的に形式化された体系上、
規則として包括原理に相当する abstraction rule を付け加えた論理体系を
H と名付ける（Hは Hay のHです））
Hとラッセル・パラドックス
ラッセル・パラドックスについて。
・Hではラッセル集合 R も存在する。
・R∈R の真理値も ￢(R∈R) の真理値も0.5
・ラッセル・パラドックスの推論 R∈R→￢(R∈R) の真理値は1、
その意味で正しい推論である（1-tautologyである）。
∀Lと縮約規則
論理 ∀L は、証明論的な視点からは、どのような特徴があるのでしょうか？
まとめると
・グリシン論理の拡張である：つまりグリシン論理で証明できる定理は全て証明できる。
・また、古典論理の部分論理である。∀Lが複雑な原因だった「無限的な推論ルール」とは、縮約規則の断片に対応している。
・つまり、グリシン論理／ ∀L／古典論理の差は、
縮約規則がどれだけ含まれているかのみであり、
その他の点では同一である。
つまり、図式にまとめると以下のようになります。
グリシン論理→→ウカシェーヴィチ無限値述語論理（∀L）→→古典論理
（縮約なし） （縮約規則の断片を含む） （縮約をフルに含む）
ーーー
711:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:58:38 YxiDM0Si.net
>>632
ーーー
Hと再帰性・算術の展開
上の結果は、言い換えれば、包括原理でどこまで数学を展開できるか知りたかったら、
Hで数学が展開できれば調べればよい、ということです。
グリシン論理の時にお話ししましたが、包括原理は再帰定理と同値で、
再帰定理は（計算機科学の根幹である）再帰的計算の一般化です。
というわけで、Hは、再帰的計算によってどこまで数学が展開できるのか、
その限界を指し示すとも言えます。
では、具体的に見ていきましょう。
集合論 Hでは、
・もちろん外延性公理を仮定すると矛盾が起こる（グリシンのパラドックス）。
・再帰定理が証明できる。
再帰定理によって、自然数全体の集合ωが定義され、
その上の演算（足し算／かけ算など）が関係として定義される。
しかし、相変わらず関数として定義されるかどうかはまだわかっていない。
・古典論理上の算術と決定的に違う点は、以下の通りである。
数学的帰納法を仮定すると矛盾が導出される（Hajek 2004）。
っていうかH自身がω-矛盾である。
実際、インフォーマルな言い方をすれば、
全てのHのモデルにおいて、ωは超準的自然数を持つ。
ちなみに、この証明は、莫少揆のパラドックスの直接的な応用となります。
この結果は、数学的帰納法と一般化された再帰法は、極限において矛盾する、と言い直すことができます。
よく知られた結果ですが、タイプ理論等では、再帰オペレーター（recursor）を持ちながら
不動点オペレーターを持つ体系を考えることで、再帰法が使えるが数学的帰納法は成立しない体系を作ることができます。
古典論理上のタイプ理論とHで同様な現象が起こるという事実は、
古典論理上のタイプ理論での矛盾の導出がどれくらい弱い論理で可能であるかを
考察するという視点からも、研究する必要があるのかもしれません。
ーーー
なんか、しまいのほうは「ω矛盾」とか
「数学的帰納法と一般化された再帰法は、極限において矛盾する」とか
実にオソロシゲなことが書いてありますね
しかしこれこそが論理研究の醍醐味でしょう（ホンマけ？）
712:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 17:12:24 uMe8boWM.net
>>629
>ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
そうだね
フレンケル分出公理 1908年 {x ｜ x not∈ x} は構成できない
置換公理 フレンケル 1922年も同じ
正則性公理はジョン・フォン・ノイマン 1925年 、彼はどちらかというと 「∈」 が、”∈による順序が 等号を含まない ”＜”（不等号）” ということを規定した気がする（>>464ご参照）（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
パラドックスの回避
ツェルメロが ZF の元となる公理系を1908年に発表した最大の動機は、実数が整列可能だとする彼の証明を弁護することであった。
しかし、同時に彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、 ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。 これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。 例えば、ラッセルのパラドックスで用いられる
{x ｜ x not∈ x}
という集まりは ZFC の中では構成できないし、 リシャールのパラドックスで用いられる構成は論理式で記述できない。
正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。
713:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 17:22:53 uMe8boWM.net
>>624 補足
> ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
１．”violating the axiom of foundation ”は、当然ながら、公理系の中では許されない
２．では、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””とは、具体的に何なのか？ IUTでどういう役割を果たすのか？ きっと重要なのでしょうね、望月先生は一生懸命書いてあるから
３．なんとなく、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””を成り立たせるための仕掛けが、IUT IIIまでにしてあって
そこ、ショルツ先生に理解されなかったのでは？
きっと、奇妙に見えることをしているのでは？
で、ショルツ先生から「奇妙にしか見えない！」と ずばり指摘されて
「おまえ
714:は 分かっていない！！」と つい叫んでしまった 望月先生だった という構図では、ないでしょうか？ｗ (゜ロ゜;
715:１３２人目の素数さん
20/05/13 17:25:51 YxiDM0Si.net
「圏の圏」を擬圏ではなく圏として実現するのであれば、分出公理図式のように
包括原理（内包公理）に制限を設ける解決策は捨てるしかない
その場合、論理自体を変えるしかない、というのが>>630-633
しかしその結果出て来てしまったのが
・数学的帰納法は矛盾する！
・ω矛盾
というオモシロイ＆オソロシイ副作用なのだった
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
（ぶっちゃけショルツの指摘がこの話につながると
面白いんだがなぁと勝手に妄想してる次第）
716:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 18:12:19.19 uMe8boWM.net
メモ：圏論と環の関係の資料
<ローヴェア理論>
URLﾘﾝｸ(www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp)
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行 名大 情報学研究科 20200403
まえがき
本レクチャーノートは，元々は名古屋大学情報学部の講義のために作成した講義ノートを拡張したものである．
本稿を読むためには，数学系学科の学部初年度程度の集合算の知識（商集合など）と，代数学についてちょっと聞き齧ったことがある（たとえば群の概念を知っている）程度の知識があれば十分である．
P5
■代数構造による重み付け: 記号たちのなす代数構造を考えることによって，辺の重みの概念を統一的に扱いたい．代数構造としてよく知られるものとしては，群・環・体などがあるが，圏の理論で最も重要な役割を果たす代数構造は，それらのいずれでもなく，モノイドと呼ばれるものであ
る．
P29
§ 3. 自由代数，等式理論，ローヴェア理論
等式理論の定義を与えよう．ただし，次の等式理論と項モデルの項目は，その後のローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）に進むための中間ステップに過ぎないので，あまり理解できなくともローヴェア理論のところまで進んでしまって，等式理論とローヴェア理論を見比べながら読むといいかもしれない．
3.2. ローヴェア理論
等式理論のグラフ表示法として，ローヴェア理論(Lawvere theory) と呼ばれるものがある．
定義3.17. C を有限積を持つ圏であるとする．ある1 つの頂点□ ∈ C の有限積としてすべての頂点x ∈ C を表すことができるとき，C をローヴェア理論(Lawvere theory) と呼ぶ．
P41
環R を固定した上でのR-加群(R-module) などは，ローヴェア理論およびそのモデルとして取り扱える．しかし，たとえば，先ほどと同様にして，環R にも選択の余地がある場合には，環R とそれが作用する加群M の2 つの構造付き集合を指定する必要があり，ロー
ヴェア理論とならなくなってしまう．
このように，複数の集合が絡み合っている構造は，数学にはありふれている．このような構造も，ローヴェア理論の拡張として取り扱いたいと考えるのは自然であろう．この問題を解消するのが，多ソート(multi-sorted) の理論である．
717:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 18:14:53.68 uMe8boWM.net
>>636
>（ぶっちゃけショルツの指摘がこの話につながると
> 面白いんだがなぁと勝手に妄想してる次第）
ああ
そうなのか
それも面白いね
ぶっちゃけ、当方ヤジウマなので、そういう展開もあり。面白そうだ(゜ロ゜;
718:１３２人目の素数さん
20/05/13 19:52:53 YxiDM0Si.net
単純に面白いか否かでいえば
望月の証明がひっくり返されるほうが
断然面白い
719:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:00:40 fChrPFrq.net
>>639
>望月の証明がひっくり返されるほうが
>断然面白い
可能性は、３つ
１．ショルツのいうように、IUTは全然ダメ。箸にも棒にもかからない。修正不能
２．多少ギャップはあるが、成立しており、修正可能
３．パーフェクトに成立している
まあ、２でしょうね
３は、いまでもちょこちょこ直しているし、どうかな？
パーフェクトの定義にもよるが、語句訂正くらいはあるかな？
１って？
面白いがあり得ない。少なくとも、ショルツの指摘は間違い
そうでないと、「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかないでしょ（＾＾；
720:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:17:17 fChrPFrq.net
>>637
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の圏
(抜粋)
数学の特に圏論における（単位的・結合）環の圏（かんのけん、英: category of rings）Ring は、すべての（単位元持つ）環を対象とし、すべての（単位元を保つ）環準同型を射とする圏である。他の多くの例と同じく、環の圏は大きい（すなわち、すべての環の成す類は集合でない真の類である）。
具体圏として
環の圏 Ring は具体圏（英語版）、すなわちその対象は集合に追加の構造（いまの場合、加法と乗法）を入れたものであり、その射はそれら構造を保つ写像である。環の圏から集合の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Ring → Set が、各環をその台となる集合へ写すことによって（つまり、加法と乗法という演算を「忘れる」ことによって）与えられる。
この忘却函手の左随伴 F: Set → Ring は各集合 X に X の生成する自由環を対応させる自由函手である。
環の圏を、アーベル群の圏 Ab 上の、あるいはモノイドの圏（英語版）[要リンク修正] Mon 上の具体圏と見ることもできる。具体的に、乗法あるいは加法をそれぞれ忘れることによって、二つの忘却函手 A: Ring → Ab および M: Ring → Mon が得られる（つまりA は環の加法群を取り出す函手、M は環の吸収元付き乗法モノイドを取り出す函手である）。
この二つはいずれも左随伴を持つ。A の左随伴は、任意のアーベル群 X に対し（それを Z-加群と見て）テンソル環 T(X) を割り当てる函手である。また M の左随伴は、任意のモノイド G に整係数モノイド環 Z[G] が対応する。
つづく
721:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:17:46 fChrPFrq.net
>>641
つづき
射について
数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring の任意の二対象の間には必ずしも射が存在するわけではない。これは（単位的）環準同型が単位元を保つという事実の反映である。例えば、零環 0 = {0} から任意の非零環への射は存在しない。環 R から S への射が存在するためには、S の標数が R の標数を割り切ることが必要条件である。
射集合が空となることがあってさえ、それでも始対象が存在するから、環の圏 Ring は連結（英語版）である。
部分圏について
環の圏 Ring はいくつも重要な部分圏を持っている。例えば、可換環、整域、主イデアル環、体それぞれの全体の成す充満部分圏などが挙げられる。
体の圏
体の圏 Field は、すべての可換体を対象とする CRing の充満部分圏である。体の圏はほかの代数圏のようにはよく振る舞わない。特に「自由体」（すなわち忘却函手 Field → Set の左随伴となるもの）は存在しない。したがって、Field は CRing の反映的部分圏ではない。
体の圏 Field は有限完備（英語版）でも有限余完備でもない。特に、Field は積も余積も持たない。
もう一つ体の圏 Field の著しい点は、任意の射が単型射となることである。
アーベル群の圏 Ab から擬環の圏 Rng への忠実充満函手が、各アーベル群を、それに自明な積を入れた零擬環に対応させることで与えられる。
(引用終り)
以上
722:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:33:18 fChrPFrq.net
>>641
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環論
(抜粋)
基本的な定義と導入
全ての（単位的）環と環準同型を合わせて考えたもの�
723:ﾍ、（単位的）環の圏とよばれる圏を成す。環論において重要な概念であるイデアルは、環準同型の核として得られる特定の種類の部分集合であり、剰余環を定義するのに用いられる。 イデアル、準同型および剰余環についての基本的な事実は、準同型定理および中国の剰余定理として述べることができる。 代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。 非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。 一般化 任意の環は単一対象前加法圏 (preadditive category) とみなすことができる。 従って、任意の前加法圏を自然に環の概念の一般化と考えることができるが、実際に環に対して通常考えられる多くの定義や定理を、もっと一般の前加法圏に対する文脈でも適当に翻訳して扱うことができる。 たとえば、前加法圏の間の加法的函手は環準同型を一般化するものであり、前加法圏のイデアルは射の集合であって、射の和と任意の射による合成とに関して閉じているようなものとして定義することができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_theory Ring theory http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory.html The development of Ring Theory Algebra index History Topics Index Article by: J J O'Connor and E F Robertson 2004
724:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:31:51.32 fChrPFrq.net
>>637
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田同値
(抜粋)
代数学において、森田同値（もりたどうち、英: Morita equivalence）とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
動機
環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら可換環が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な環の中心が環同型なことから従う。
定義
（結合的で単位元を持つ）環 R, S が（森田）同値であるとは、（左）R 加群の成す圏 R-Mod と（左）S 加群の成す圏 S-Mod との間に圏同値があることを言う。左加群の成す圏 R-Mod と S-Mod とが森田同値である必要十分条件は、右加群の成す圏 Mod-R と Mod-S とが森田同値であることを示すことができる[1]。
さらに圏同値を与えるどんな R-Mod から S-Mod への関手も自動的に加法的であることを示すことができる。
つづく
725:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:32:40.13 fChrPFrq.net
>>644
つづき
同値不変な性質
多くの性質が加群の圏の対象による森田同値を与える関手によって保たれる。一般的に、（台集合の元や環に依らずに）加群とその準同型のみで定義される加群の性質は、森田同値を与える関手によって保たれる圏論的性質である。
たとえば F(?) が R-Mod から S-Mod への森田同値を与える関手ならば、R 加群 M が次の性質をもつ必要十分条件は S 加群 F(M) がその性質を持つことである：入射的・射影的・平坦・有限生成・有限表示的・アルティン的・ネーター的。森田同値不変とは限らない性質には自由であることや巡回的であることがある。
多くの環論的性質はその環上の加群のことばで述べられるので、これらの性質は森田同値な環の間で保たれる。森田同値な環で共有される性質は森田不変量と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Morita equivalence
(抜粋)
Significance in K-theory
If two rings are Morita equivalent, there is an induced equivalence of the respective categories of projective modules since the Morita equivalences will preserve exact sequences (and hence projective modules).
Since the algebraic K-theory of a ring is defined (in Quillen's approach) in terms of the homotopy groups of (roughly) the classifying space of the nerve of the (small) category of finitely generated projective modules over the ring, Morita equivalent rings must have isomorphic K-groups.
以上
726:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:48:24.01 fChrPFrq.net
>>644-645
１）森田同値ね（＾＾；
環上の加群の圏を考えるのが1つか
２）「任意の環は単一対象前加法圏 (preadditive category) とみなすことができる」（>>643）か
３）環の圏という考えがある。これは、結構普通ですね
４）だれか、「環が２圏」（2-圏は下記）とか間違って、David Roberts氏に突っ込まれていた。が、そんな間違いは 私でも分かるぜよｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
小さい圏の圏
(抜粋)
数学の特に圏論における（小さい）圏の圏（ちいさいけんのけん、英: category of small categories）Cat は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、Cat は自然変換を二次元の射（英語版） (2-射) とする二次圏（英語版） (2-圏) を成すものと見なせる。
Cat の始対象は対象も射も持たない空圏 0 であり[1]、終対象はただ一つの対象とただ一つの射（唯一の対象上の恒等射）のみからなる圏 1（自明圏あるいは終圏という）である[2]。
小さい圏の圏 Cat それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理（の圏版）を避けるには「すべての（小さいとは限らない）圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi-category[注釈 1] of categories) CATを考える[注釈 2]ことはできる（擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない）。
性質
圏の圏 Cat は、各圏に対してその恒等射と射の合成を忘れることにより、箙の圏 Quiv への忘却函手（英語版） U: Cat → Quiv が定義できる。この忘却函手 U の左随伴 F: Quiv → Cat は各箙にそれが生成する自由圏（英語版）を対応させる自由函手である。
注
注釈
1^ 高次圏論において、これとは異なる意味で (∞-圏のモデルとして) quasi-category（英語版） という語が用いられる[3]が、それと混同してはならない
2^ CAT in nLab などを見よ
727:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 22:18:39.96 fChrPFrq.net
「Joyal の species の理論 (カテゴリー論的母関数の理論) 」か（＾＾
なるほど
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
組合せ論におけるカテゴリー論的方法(代数的組合せ論とその周辺)
Author(s) 吉田, 知行
Citation 数理解析研究所講究録 (2006), 1476: 120-126
Joyal の species の理論 (カテゴリー論的母関数の理論)
●種 (species) の$\text{理_{}\vec{\mathrm{n}}\mathrm{R}}^{\mathrm{a}\mathrm{A}}$ (Joyal 1981). これは母$\ovalbox{\tt\small R
728:EJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \text{数^{}\prime}$の$\text{理_{}\overline{\beta}\vec{\mathrm{R}}\mathrm{R}}^{\neq \mathrm{A}}$ のカテゴリー化 として有名である. bij を有限集合と全単射のなすカテゴリーとする, 種species) とはファンクター $M$ : bij $arrow \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}$ のことである. ただ, bij はきわめて良くないカテゴリーである.
729:１３２人目の素数さん
20/05/13 22:53:29.47 1AYYOpy0.net
猫に小判
730:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 23:00:09.66 fChrPFrq.net
メモ
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Francois Bergeron, Mathematics, UQAM
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Publications Francois Bergeron, Mathematics, UQAM
＜ Species＞
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Introduction to the Theory of Species of Structures
Fran，cois Bergeron, Gilbert Labelle, and Pierre Leroux
November 25, 2013
731:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 23:02:56.82 fChrPFrq.net
>>648
ブタに真珠 も
いやね、＜ Species＞と
IUT IV（>>624）
”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
の関係というか、繋がりを探しているが
どうも “simulate ∈-loops”？（＾＾；
という感じなんだ(゜ロ゜；
732:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 00:16:07.21 xfdjzzyp.net
>>650
補足
１．今まで調べた ＜ Species＞の中には ∈-loopsとかが出てくる箇所がない
つまり、 ＜ Species＞は 一般の組合わせ論（いわゆる数え上げ論）みたい
２． ∈-loopsの話は、IUT側から出てくる話で
IUTの「同義反復的解決」（>>603）と関連する話みたいだな
３．なんで、 ∈-loops？
例えば、 ｘ＝ｘとか ｘ≡ｘとか、同型とか 全単射とか 、それじゃダメ！！ ってことなのです
多分、「同義反復」は、自己言及（>>607）や 広い意味での再帰的定義（>>612）みたいなこと
それを IUTではやっているのではないだろうか？
もし そうであれば、２階述語という話だが
圏論は、”高階論理との親和性がある”（>>614）というから
それなら、問題ないのかも？
もう少し調べてみよう（＾＾；
733:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 07:39:00.45 xfdjzzyp.net
あんまり関係ないが、メモ貼る
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Algebraic combinatorics
(抜粋)
Algebraic combinatorics is an area of mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra.
Contents
1 History
2 Scope
3 Important topics
3.1 Symmetric functions
3.2 Association schemes
3.3 Strongly regular graphs
3.4 Young tableaux
3.5 Matroids
3.6 Finite geometries
History
The term "algebraic combinatorics" was introduced in the late 1970s.[1] Through the early or mid-1990s, typical combinatorial objects of interest in algebraic combinatorics either admitted a lot of symmetries
(association schemes, strongly regular graphs, posets with a group action) or possessed a rich algebraic structure, frequently of representation theoretic origin (symmetric functions, Young tableaux).
This period is reflected in the area 05E, Algebraic combinatorics, of the AMS Mathematics Subject Classification, introduced in 1991.
Scope
Algebraic combinatorics has come to be seen more expansively as an area of mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant.
Thus the combinatorial topics may be enumerative in nature or involve matroids, polytopes, partially ordered sets, or finite geometries. On the algebraic side, besides group and representation theory, lattice theory and commutative algebra are common.
734:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 07:57:19.75 xfdjzzyp.net
>>637
><ローヴェア理論>
下記の Lawvere Ph.D. thesis は、一読の価値あるな
”The authors comments are F. William Lawvere, 2004.”の部分だけでも、読んでおく価値がある！（＾＾
URLﾘﾝｸ(www.tac.mta.ca)
Functorial Semantics of Algebraic Theories and Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories
F. William Lawvere
Originally published as:
Ph.D. thesis, Columbia University, 1963
and
in Reports of the Midwest Category Seminar II, 1968, 41-61,
The authors comments are F. William Lawvere, 2004.
URLﾘﾝｸ(www.tac.mta.ca)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures. For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study.
History
Starting with William Lawvere's thesis in 1963, techniques from category theory have become important in universal algebra.[9]
Footnotes
9 Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Category theory
Historical notes
Main article: Timeline of category theory and related mathematics URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Category theory may be viewed as an extension of universal algebra, as the latter studies algebraic structures, and the former applies to any kind of mathematical structure and studies also the relationships between structures of different nature.
735:１３２人目の素数さん
20/05/14 09:37:15 yUsAr7Ai.net
>>640
＞可能性は、３つ
＞１．ショルツのいうように、IUTは全然ダメ。箸にも棒にもかからない。修正不能
＞２．多少ギャップはあるが、成立しており、修正可能
＞３．パーフェクトに成立している
その３つではないな
A．IUT理論の前提は無矛盾であり、系3.12の十分条件となっている
（注：望月の証明が記載として十分かどうかとは別）
B．IUT理論の前提は無矛盾であるが、系3.12の十分条件ではない
つまりIUT理論をの前提を満たしていても、系3.12が不成立となる反例がある
C．そもそもIUT理論が矛盾している
＞まあ、２でしょうね
あなた個人の願望として、うけとっておきます
私の分類でいえばAですね
＞１って？面白いがあり得ない。
＞少なくとも、ショルツの指摘は間違い そうでないと、
＞「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかないでしょ
「査読にミスがない筈」というのも、あなた個人の願望としてうけとっておきます
ショルツの指摘が私の分類でのBなのかCなのかはよくわかりませんが
Cなら望月にとって大打撃ですね 実に面白いｗ
Bでも望月にとっては打撃ですね ただこれはテクニカルな話になりそうなので
素人にとってはチンプンカンプンでつまらなそうだ
個人的にはC、しかも素人にも分かる大穴を希望します ｗｋｔｋ
736:１３２人目の素数さん
20/05/14 09:49:53 yUsAr7Ai.net
>>651
Joyalのspeciesは望月のspeciesとは無関係ですよ
言葉だけで検索するとドツボにはまります
737:１３２人目の素数さん
20/05/14 10:03:12 Yps2d5Sj.net
>>654
ショルツの指摘は、ショルツ的にはCだろうが、
IUTeich [Alien]で、Example 3.11.4.のように、反例で扱かならば、、
Bなのだろうね。
A～Cの分類だと、８年前から、そのままで何も変わってない ｗ
738:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:04:46.47 Nw2MXZic.net
>>640 >少なくとも、ショルツの指摘は間違い そうでないと、「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかない さすがはIUT密教コピペ信者さん いわしのあたまも信心から
740:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:06:56.23 +/wwAOsh.net
>>654
えーと、まず
私ら、世の中を現実的にしか見ませんので（妄想が激しくなったら お薬を飲みましょう）
もう少し下のレベルの論点を 以下
＜論点整理＞
論点１．査読は何をしたのか？
論点２．査読の記者会見の意味は？
論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？
論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？
論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？
さて、
論点１．査読は何をしたのか？：
当然、査読したのです！ｗｗ（＾＾
プロ数学者 複数が、IUT論文は正しいと判断した！（＾＾
論点２．査読の記者会見の意味は？：
多分 何か意図があったのでしょう！ｗ
おそらく、IUT国際会議の前の発表したかったのでは？
論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
さあ？ｗ
少なくとも、査読陣とRIMS会見の玉川＆柏原両氏は、「SSレポートにダメ出し」です
論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？：
国際会議は中止になりました。新型コロナの影響で
数学界も同じで 対面の議論はできない。でも、テレワーク風の会議なりの工夫は出てくるのでは？
ヤジウマとして 期待しています（少なくとも、５月予定の会議の論文は集まっているはずなので、それをネタとして何かやれると思いますが）
論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？：
それは、とてつもない影響を、数論研究に及ぼすでしょうね
なにせ簡単な式ですからね
”a+b=c”これだけで終りです
三つ組み（a,b,c）に、ある関係（不等式）が成り立つ
簡単すぎて、どこにでも影響しそうです
それ以外に、楕円曲線のSzpiroとか、Vojtaとか、どこまで定理になるかとか
影響、大きすぎです！ｗ これから、もっと議論になるでしょうね
論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？：
Woitブログの9割は、IUT素人のヤジウマ
５ｃｈの10割は、IUT素人のヤジウマ
皆でIUT祭りを、楽しみましょう～！！ｗ（＾＾
以上
741:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:07:52.96 +/wwAOsh.net
>>657
コメントありがとう
>>658をばｗ（＾＾
742:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:13:59.41 +/wwAOsh.net
>>656
どうも
コメントありがとう
>A～Cの分類だと、８年前から、そのままで何も変わってない ｗ
Woitブログの9割の IUT素人のヤジウマ達にはそうでしょうね
しかし、ABCが定理とか、楕円曲線のSzpiroとか、Vojtaとか、どこまで定理になるかとか
そういうことを考えなければいけない、IUTに近い分野の研究者にとっては
対岸の火事ではすまない
１）火消をする、２）家事から避難する、３）その他
の３択しかない
”３）その他”というのは、ABCが定理とか認めて、その先を研究するという意味ですがね
さあ、どうなっていくのでしょうか？ お楽しみ お楽しみ～ｗ
743:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:15:24.38 +/wwAOsh.net
>>660 誤変換訂正
１）火消をする、２）家事から避難する、３）その他
↓
１）火消をする、２）火事から避難する、３）その他
分かると思うが（＾＾；
744:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:34:38 44IPwDRu.net
>>658
>論点１．査読は何をしたのか？：
>当然、査読したのです！ｗｗ（＾＾
>プロ数学者 複数が、IUT論文は正しいと判断した！（＾＾
人数非公表、査読者非公表、査読プロセス非公表（普通のことではあるが）なので、
査読が正しく行われた保証はない
そもそも誰も「正しい」とは言ってなくね？
ジャーナルが論文アクセプト = ジャーナルが論文の内容は正しいと判断
ではない
745:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:39:09 oGJAKvwN.net
記者会見
「望月教授自身が反論もしており(ショルツからの)再反論もない」
「(査読過程は)墓場まで持っていく」
こんなんで身内査読を信用するのは無理だわ
746:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:45:39 yUsAr7Ai.net
>>658
＞私ら
「私は」ですね
「自分以外の仲間がいる」というのは妄想なので薬を飲みましょう
＞世の中を現実的にしか見ませんので
「私も」ですよ
おかしいですね
＞＜論点整理＞
＞論点１．査読は何をしたのか？
只、論理をトレースしただけじゃないですかね
しかも、誤りを見つけるつもりで見てない
プロって具体的に誰ですかね
玉川、サイード、フェセンコ、・・・
みなさん、望月氏のお仲間ですからね
見る目が甘いんじゃないですかね？
＞論点２．査読の記者会見の意味は？
数学的には無意味でしょう
つまり、意味があるとすれば、数学以外のことでしょうね
＞論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
どうなったんでしょうね？
少なくとも柏原氏は何も具体的に言及してないので
ただ記者会見の場にいただけで
「柏原氏はSSレポートを１から１０まで理解した上で完全否定した！」
というのは妄想でしょう おクスリのみましょう
＞論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？
前者はいくらやっても無駄っぽいですね
後者も望月氏の側から説明がないかぎり
「理解不能」でほっとかれますね
＞論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？
理解不能じゃ、意味ないでしょうね
あなたのいうのは
「ABC予想が正しいとしたら」であって、
「IUT理論が正しいとしたら」じゃないので
IUTの有用性については全く語れてません
＞論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？
ワイルズのフェルマー予想の証明 理解して活用しました？
ペレルマンのポアンカレ予想の証明 理解して活用しました？
してないでしょ？
つまり、素人的には無風ってことですよ
747:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:59:53 yUsAr7Ai.net
じゃ、今度は、こっちから反撃
論点７．もしIUT理論が間違ってたとしたら？
そりゃもう大騒ぎさｗ
え？プロがよってたかって査読してミスが見つけられなかった？
世界の柏原が出席したあの記者会見は茶番？
SSレポートに対する「∧と∨の取り違え」の反論は何だったの？
そしてきっとこんな本が出る
「IUT理論 －そして世界が騙された－」
数学史に残る大事件だな wktk
748:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:00:29 oGJAKvwN.net
結局望月のSSレポートに対する反論の以下の問題も解決してないよね
946 １３２人目の素数さん sage 2020/04/15(水) 00:08:10.06 ID:9qDykosb
S・Sレポ8月版のRemark 5について拘っている人たちがいるが、これは逆に望月氏の方が恥ずかしい議論だよ。
S・Sはあっさり書いているが、当然望月氏も知っているはずだろうと思って書いていたはず。
これは“Faltings’ theorem (Shafarevich conjecture) applied to the Weil restriction”した場合の話だよ。
Finite Weil restriction of curves
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
S・Sからすればどちらが学部・修士レベル何だろうね、ということになる。
749:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:06:12 yUsAr7Ai.net
>>663
＞「(査読過程は)墓場まで持っていく」
メロドラマ風展開
T川「「な、いいだろ？」といってムリヤリ・・・」
M月「何云ってるんだ！君も合意の上だっただろ」
ワイドショーMC「この展開、どう思いますか？ゲストの新垣結衣さん」
新垣結衣 「なんか気持ち悪いですね。数学者ってもっとロマンチックな人かと思ってました」
ワイドショーMC「同じくゲストの長澤まさみさんは如何ですか？」
長澤まさみ 「ま、数学者っていってもオトコですからね。こんなもんすよ。ハハッ」
750:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:38:07 eTzTtea+.net
>>658
＞少なくとも、査読陣とRIMS会見の玉川＆柏原両氏は、「SSレポートにダメ出し」です
根拠は？
「ショルツ氏は「望月教授は実質的な反論をしていない」と語った。」
ということのようだが
751:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 13:50:22 +/wwAOsh.net
>>662-668
みんな、面白いな～（＾＾
よく分かるけど
ちょっと、事実を曲げ
752:ちゃ おかしいよね 確かに、玉川先生プレス慣れしていないし プレスの記者（文系さん）への説明も下手 だから、想定問答集も作っていなかったのでしょね（＾＾ プレス用レジュメも、つくっていなかったのか？ｗ ＜私なら、想定問答集を作っておくね＞ ダ玉川その１：「ショルツ氏は「望月教授は実質的な反論をしていない」と語った。」 Ｇ玉川その１：「ショルツ氏のレポートは、査読陣も検討し、問題ないと判断した。なお、ショルツ氏のその後の反論もない」 ダ玉川その２：「(査読過程は)墓場まで持っていく」 Ｇ玉川その２：「査読は適正に行われた。それは私も確認した。但し、査読者の名前は普通は公開しない。今回も同じ。望月論文は正しいと思ってもらって良いです」 ダ玉川その３：「(SSレポートなど数学の専門的事項について、完全にスルーしてしまったのだった）」 Ｇ玉川その３：「(SSレポートなど数学の専門的事項について）今日は、一般のマスコミ向けの会見です。数学の専門的な議論は、今年の国際会議や、日本数学会あるいは、海外の数学会の場で議論していく予定です。新たな動きがあれば、またプレス発表して行く」 （”ダ玉川”、”Ｇ玉川”は、未定義用語とする） なお、ついでに 朝日の海外に異論ありの記事がダメなのは、「数学者という人種の特性が分かっていないから」です IUTの場合、数学者にとってIUT論文は望月HPに掲載されているのは事実で、一般プレス発表などでは、数学の専門的な内容が殆ど皆無だから 「納得できない」というのは、当然のことです（想定内です）（＾＾ 記事書くなら、もっと、日本の数学者とかの意見を取材して書けよと言いたいですね（「IUTダメ」の意見でも良い） （＾＾；
753:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:18:41 yUsAr7Ai.net
>>669
＞Ｇ玉川：「望月論文は正しいと思ってもらって良いです」
＞（”Ｇ玉川”は、未定義用語とする）
Ｂ玉川ではなく？
今後の魔展開
ＰＳルツ「ＩＵＴ論文の矛盾を証明したので論文書いた！」
Ｍ月Ｓ一「ガッデェェェェェム！！！」
Ｋ原Ｍ樹「私はただ頼まれて記者会見出ただけだからね！」
ＭＳ文 「記者会見の出席断ってよかった・・・」
Ｎ島Ｈ 「・・・なんかあったんですか？」
754:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:23:40 44IPwDRu.net
なんだ、結局ただの妄想か
755:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:32:13 vu4SAa7P.net
まーたアンチが騒いでるのか。
756:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/14 14:54:54 wmtQoKkt.net
100%正しい事なら命も全財産も賭ける事ができる､
間違ってたら全身束縛しノコギリで3週間かけて凌遅刑、途中で唐辛子を摺り込む｡
757:１３２人目の素数さん
20/05/14 15:07:20 eTzTtea+.net
>>669
>「数学者という人種の特性]
ってなんすか
758:１３２人目の素数さん
20/05/14 15:54:38 yUsAr7Ai.net
>>673
「無矛盾で完全な数学」の夢がゲーデルの不完全性定理によって
打ち砕かれた後のヒルベルトの落胆は察するに余りある
759:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:18:39 VrX8wCNY.net
自称おっちゃんです。
>>580
私は、削除された旧ガロアスレのどこかにオイラーの定数γの有理性の証明を書いたことがある。
◆e.a0E5TtKE や、◆e.a0E5TtKE からよく「ピエロ」とか「おさる」と呼ばれている人物などのような、
どう見ても、一定数の旧ガロアスレの関係者はこのことを知っている筈。
760:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:21:23.23 44IPwDRu.net
間違っていたのか
761:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 17:24:16.22 +/wwAOsh.net
>>674
>>「数学者という人種の特性]
>ってなんすか
お答えします
「数学者という人種の特性]は
１．訳も分からず 証明を読みたがる
２．訳も分からず 厳密性を求めたがる
３．訳も分からず 偉い人のいうことも 疑う性格になっている
４．訳も分からず 些末なギャップに拘る
５．訳も分からず 大所高所の視点�
762:揩ﾆうとしない こんなところですかね？（＾＾； 私ら工学系ですからｗ １．訳が分からんから 証明などは ななめ読みｗ ２．訳が分からんから 厳密性よりも 全体の流れで 成否を判断する ３．訳が分からんから 偉い人だからというよりも ”この人は信用できるかどうか” を見抜くようにしている ４．訳が分からんから 些末なギャップは無視。どうぜ、そのうちだれかが指摘手直すだろう。但し、自分が気づいたら、そこはチェックする（アリの一穴から全体が崩れるときもあるから） ５．訳が分からんから 常に大所高所の視点をからの判断を優先します とまあ、こんな感じですｗｗ(゜ロ゜; なお、IUTの証明は、私は 読む気は全く無く ただ眺めています（なお、眺めているだけで、分かることも多い） 前にも書いたけど、だれかが エグゼクティブサマリーレポートを書いてくれたときに、それが読めるようにｗ（＾＾
763:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:30:02.15 VrX8wCNY.net
>>677
余り具体的な間違いは指摘されたことがない。
◆e.a0E5TtKE からよく「ピエロ」とか「おさる」と呼ばれている人物
からは背理法について数理論理と絡めて批判されたことがある。
それで激しい口論をしたことはある。
764:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 17:32:46 +/wwAOsh.net
>>676
おっちゃん、どうも
>私は、削除された旧ガロアスレのどこかにオイラーの定数γの有理性の証明を書いたことがある。
１．削除されたのは、最終スレNo84のみで、テンプレ貼りまでしか使われていない
２．旧ガロアスレの初代からNo83までは、Dat落ちしただけであって、読もうと思うば、いまでも読めるよ
３．「オイラーの定数γの有理性の証明」なんてのは、万一証明が正しいとしてもｗ、こんな５ｃｈに書ききれるはずがないので、PDFでも作って公開することをお薦めしたはず
以上です（＾＾；
765:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:34:17 2NOWxv+e.net
安達さん…主様…
おっちゃんさんも…
…勘悪ｽｷﾞ… (絶句…
766:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 17:38:53 +/wwAOsh.net
>>678 タイポ訂正
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点をからの判断を優先します
↓
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点からの判断を優先します
分かると思うが（＾＾
767:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:41:21 2NOWxv+e.net
゜。＊゜。○゜。
。○゜✳。…信ｼﾞﾗﾚﾅｨ…゜(ﾉ´A)゜
768:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:41:55 VrX8wCNY.net
それじゃ、自称おっちゃんもう寝る。
769:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:42:08 yUsAr7Ai.net
>>678
訳も分からずは無意味な間投詞なので省きますｗ
＞「数学者の特性]
＞１．証明を読みたがる
証明は単なる正当性の証拠ではなく
重要な情報を持ちますから
読むのは当然です
＞２．厳密性を求めたがる
厳密性というより微細な精密性が重要です
＞３．偉い人のいうことも 疑う性格になっている
数学に限りませんが、学問において権威は無意味です
＞４．些末なギャップに拘る
些末にみえることが重要な場合が多々あります
＞５．大所高所の視点を持とうとしない
大所高所の視点は当然あります
ただし、素人はそのような視点からみても
何をやってるのかチンプンカンプンでしょうけど
770:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:43:42 2NOWxv+e.net
>>684
あー、あたしもー
771:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:52:03 yUsAr7Ai.net
>>678
訳がわからんからは無意味な間投詞なので省きますｗ
＞「工学系の特性」
＞１．証明などは ななめ読みｗ
そもそも読まないし、読んだって論理が分らないから理解できない
＞２．厳密性よりも 全体の流れで 成否を判断する
そもそも流れ以前に
「偉い先生が云ってるから」
「本に書いてあるから」
正しいと思ってる
宗教だね
＞３．偉い人だからというよりも ”この人は信用できるかどうか” を見抜くようにしている
そうやって騙される
＞４．些末なギャップは無視。どうぜ、そのうちだれかが指摘手直すだろう。但し、自分が気づいたら、そこはチェックする（アリの一穴から全体が崩れるときもあるから）
バグは自分が気づかないから失敗する
自分を信頼したら負け
＞５．常に大所高所の視点をからの判断を優先します
実際は自分に分かることだけで判断する
それが実に狭い範囲だということは気づかない
772:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:56:14 yUsAr7Ai.net
>>678
＞IUTの証明は、私は 読む気は全く無く ただ眺めています
壁の染みを眺めるようなものだね
＞（なお、眺めているだけで、分かることも多い）
分かった気になるのと分かるのは違うね
＞だれかが エグゼクティブサマリーレポートを書いてくれたときに、それが読めるように
加藤文元氏の本が、世間一般の人が理解できるレベルのサマリー
エグゼクティブとかいったってオツムは世間一般の人レベル
773:１３２人目の素数さん
20/05/14 18:01:45 yUsAr7Ai.net
IUTどころか19世紀の数論やら保型関数ですら
工学系にとっては無用なものだろう
774:１３２人目の素数さん
20/05/14 18:52:45 vu4SAa7P.net
工学も金融も数学結構やる人いるけどね。
工学にマウントとってる劣化数学系は結構多い。
775:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:03:51.21 yUsAr7Ai.net
>>690
式を計算するだけの数学ユーザーと
数学を作る数学研究者は全然違う
776:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:12:36.34 vu4SAa7P.net
>>691
その上で言ってるんだけどねん。
感情的なだけの望月アンチ組にいちいちケチつけてるレベルの人の作る数学は知れたもんよ。
777:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:14:17.18 vu4SAa7P.net
>>692
感情的なだけの望月アンチ組の数学はたかが知れてるな。
に訂正。
778:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:16:09.90 vu4SAa7P.net
Scholzeが出てきた動きに乗っかって理解できずにアンチやってる数学関係者は
PDEの理屈証明なしに使ってるクオンツと大差ないわ。
779:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:19:51.46 yUsAr7Ai.net
>>692-693
感情的ですな
望月新一本人？
780:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:33:48 yUsAr7Ai.net
>>694
＞PDEの理屈証明なしに使ってるクオンツ
タブロー法を「充足不能なら必ず閉じる」証明抜きに使ってる奴
みたいな感じか
IUTもそういう馬鹿チョンで使えるものがあるなら
素人でも関心をもつ意味がありそうだが
・・・まあ、ないだろうな
781:１３２人目の素数さん
20/05/14 19:56:50 yUsAr7Ai.net
例えばABC予想について
c<K(ε)rad(abc)^(1+ε)
となるK(ε)を具体的に求められる、
というなら（実用性はともかく）
素人にも食いつく余地がありそうだ
782:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:06:28 LujeaHtR.net
>>694
これに関してアンチ望月にならないための反論ある？
946 １３２人目の素数さん sage 2020/04/15(水) 00:08:10.06 ID:9qDykosb
S・Sレポ8月版のRemark 5について拘っている人たちがいるが、これは逆に望月氏の方が恥ずかしい議論だよ。
S・Sはあっさり書いているが、当然望月氏も知っているはずだろうと思って書いていたはず。
これは“Faltings’ theorem (Shafarevich conjecture) applied to the Weil restriction”した場合の話だよ。
Finite Weil restriction of curves
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
S・Sからすればどちらが学部・修士レベル何だろうね、ということになる。
783:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 20:20:39 xfdjzzyp.net
>>681
ID:2NOWxv+e さん、どうも
いつもアドバイスありがとう
”女の勘”ってやつですか？（＾＾；
ID:yUsAr7Aiが、おサルってことでしょ
ようやく分かりましたｗ（＾＾；
784:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:29:18 LujeaHtR.net
アンチ望月は良くなかったな
アンチIUTだ
785:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:35:04 z0KM+WKG.net
横からだが
ここは応援スレって書いてあるだろ
アンチがわざわざ乗り込んでくるあたり
アンチの方がズレたこと言ってそうだな
マナー違反してるし
786:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:46:40 yUsAr7Ai.net
一番のアンチは見当違いな応援で贔屓の引き倒ししてる人じゃないかな
787:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:49:36.33 PdNgfaSM.net
>>702
おい、お前な、みんな黙ってさしあげてんだろうが！！
788:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:51:47.05 z0KM+WKG.net
やっぱマナー違反してるな
アンチも信憑性ないなこりゃ
789:１３２人目の素数さん
20/05/14 20:56:32.07 LujeaHtR.net
単純に数学的にどうかを見てるだけで、アンチになりたくてなってるわけではない人も少なからずいるだろう
Remark 5に対する望月の反論が実は正解であるというような数学的説明があれば応援側も増えると思う
790:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 21:00:54.77 xfdjzzyp.net
>>698
>これに関してアンチ望月にならないための反論ある？
それ 意味分かんないけど
S・Sレポ8月版 って、2018年でしょ？
そして、2020年4月3日に「査読終り。IUT成立。SSレポートはアウト」の記者会見
その後、Woitブログで、ショルツ先生 vs Dupuy先生のバトルが、下記
URLﾘﾝｸ(www.math.columbia.edu) （woitブログ）
Not Even Wrong Latest on abc Posted on April 3, 2020 by woit
より、以下抜粋
１）
Peter Scholze says:
April 17, 2020 at 7:15 pm
PS: I just realized that maybe the following information is worth sharing. Namely, as an outsider one may wonder that the questions being discussed at length in these comments (e.g., the issue of distinct copies etc.) are very far from the extremely intricate definitions in Mochizuki’s manuscripts (his notation is famously forbidding, some of it surfaced in Taylor’s comments),
and feel almost philosophical, so one might wonder that one is not looking at the heart of the matter.
However, the discussions in Kyoto went along extremely similar lines, and these discussions were actually very much led, certainly initially, by Mochizuki.
He first wanted to carefully explain the need for distinct copies, by way of perfections of rings, and then of the log-link, leading to discussions rather close to the one I was having with UF here.
He agreed that one first has to understand these basic points before it makes sense to introduce all further layers of complexity. (I should add that we did also go through the substance of the papers, but kept getting back at how this reflects on the basic points, as we all agreed that this is the key of the matter.)
要するに、いまさら、「IUTは難しいので、基本的なポイントを理解する必要がある」などという
つづく
791:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 21:02:03.68 xfdjzzyp.net
>>706
つづき
２）
Peter Scholze says:
April 30, 2020 at 3:32 am
Dear Taylor,
I certainly understood your point there ? you might also take the ring Z[√(-1)].
There is of course a big difference between the ring Z and the “theory” it defines, i.e. roughly the class of all subsets of all finite powers Z^n that are definable by polynomial equations.
The latter is indeed a highly nontrivial category (where morphisms are given by definable graphs); it is of course not equivalent to a category with one object and two morphisms.
If a category like this is in place in Mochizuki’s work, I’m happy to hear about it!
Reading the IUT papers, however, you are presented with some extremely difficult notion of a Hodge theater, together with a highly non-obvious notion of isomorphisms of such: Isomorphisms do not preserve nearly as much structure as you would expect them to, and this is by design as Mochizuki points out.
So I find it very hard to “guess” what something like a surrounding “theory” might be. For all I can see, Hodge theaters fit neither into the framework of “structures” as used in the wikipedia entry URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(model_theory) you linked to, nor the topos-theoretic framework of Caramello.
(Regarding the first one: A “structure” in the sense of model theory has first of all an underlying set. I find it hard to take a Hodge theater and produce some interesting set that is functorial in isomorphisms of Hodge theaters, the problem being the very lax notion of isomorphisms of Hodge theaters.)
However, these long discussions are all about interpretations. Regarding the mathematics proper: I stand by the claim made in our manuscript, and have indicated the proof ab
792:ove. つづく
793:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 21:02:46.61 xfdjzzyp.net
>>707
つづき
要するに、「IUTの論文を読むと、非常に難しいHodge劇場の概念と、そのような同型性の概念が提示されています。
これは望月が指摘するように設計されています。だから、周囲の「理論」のようなものが何であるかを「推測」するのは非常に難しいと思います。
ホッジ劇場の同型性の概念が非常に甘いことが問題なのですが、私はホッジ劇場の同型性の中でファンクショナルな面白い集合を作るのは難しいと思っています)。
しかし、このような長い議論は、すべて解釈の問題である。ちゃんとした数学について。私は原稿中の主張を支持し、上記の証明を示しました。」
３）
Peter Scholze says:
May 1, 2020 at 4:42 pm
Dear Taylor,
I’m happy to continue any further discussions by e-mail.
Best wishes!
Peter
要するに「これ以上の議論はメールで続けたい。」
(引用終り)
以上
794:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 21:07:11.19 xfdjzzyp.net
>>706-708
さらに纏めると
１．ショルツ先生も、望月IUT難しすぎで、分からないことがある
２．でも、自分が正しいと思う（数学的には証明になってないみたいｗ（＾＾； ）
３．Dupuy先生納得せず。”I’m happy to continue any further discussions by e-mail.”（あとは、メールで）と ショルツ先生
どう見ても、よくて引き分け
ショルツ先生は、IUT難しくてワカランとか
押されていましたね～ｗ（＾＾；
そういうことじゃ、ないでしょうか？
圧倒的に、ショルツ先生が正しいとか
全く、そんなことは無かったと思いますけどｗｗ（＾＾；
795:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:10:20.54 2NOWxv+e.net
>>699
お「サル」はﾋﾄﾞｨ…゜。(ﾉД`)。
796:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:14:12 2NOWxv+e.net
。゜。✳゜。(ﾉД`)゜✳。゜
皆ｻﾏ。。。ｺﾞﾒﾝﾅｻｨ…
797:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:18:43 2NOWxv+e.net
許ｼﾃｱｹﾞﾃ…ｸﾀﾞｻ~ｨ…
゜。✳゜。゜○。゜(ﾉД`)゜。゜
798:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:22:32 2NOWxv+e.net
失礼ｼﾏｼﾀ~… ΣΣﾋﾟｭｯ!=│
799:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:31:14 vu4SAa7P.net
ここで書かれてるような話は数学者同士でやってるんじゃないの？知らんけど。
800:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:33:10 44IPwDRu.net
>>706
>それ 意味分かんないけど
意味がわからないならあなたのコピペは何の意味もないですね
801:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:34:22 vu4SAa7P.net
>>696
例えがよくわからんけど。
802:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:35:28 vu4SAa7P.net
ミスター維新がいる臭いな
803:１３２人目の素数さん
20/05/14 21:38:45.08 LujeaHtR.net
望月が誤っていることに目を伏せてIUTアンチだの語るのはよく分からないな
間違っているのだから「反(anti-)」側に着こうとするのは自然な判断であろう
804:１３２人目の素数さん
20/05/14 22:02:05.09 yUsAr7Ai.net
vu4SAa7Pは贔屓の引き倒し型アンチですね
応援するフリして足を引っ張るなんて悪辣ですね
805:１３２人目の素数さん
20/05/14 22:06:01.01 eTzTtea+.net
そもそも数学の証明に応援っていうのはおかしくないか？
応援して正されるものではない
806:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 22:15:27.74 xfdjzzyp.net
>>669
追加
ダ玉川その４：「（論文は手直ししたか？） 論文は直していない」
Ｇ玉川その４：「（論文は手直ししたか？） 論文は 分かり難いところなど、かなり手直しした。また、ショルツ先生の指摘のCor3.12の証明はかなり手を入れて分り易くなったと思う。但し、証明のストーリーは、大きくは変わっていない」
この程度に言っておく方が、受け手は「あっ、新しい版が出ているんだ」と気付く
そういう気遣いが欲しかったな（＾＾
807:１３２人目の素数さん
20/05/14 22:22:27.25 vu4SAa7P.net
>>720
同意。
808:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 22:24:50.38 xfdjzzyp.net
ID:eTzTtea+さん、どうも
コメントありがとう
>>720
>そもそも数学の証明に応援っていうのはおかしくないか？
数学の証明に応援なら、むしろ擁護でしょうね
私の応援は、数学ではなく、人です。望月、玉川、柏原・・などなど
＞応援して正されるものではない
同意
�
809:ｩつ、ここ５ｃｈですよｗ（＾＾ こんなところで、IUTの数学を学会レベルでやろうなんて（＾＾； ここで、やっているのはせいぜい ”ごっこ”でしょ ”ごっこ”までいかない、お笑いエンタですよねｗ
810:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 23:42:30 xfdjzzyp.net
代数的整数論は、日本の伝統であり、お家芸とも言えるものです！
高木－志村五郎・谷山豊－（Shimura varieties）－岩澤理論－（ノイキルヒ・）内田－＜中村博明、玉川、望月（遠アーベル幾何学）＞
その伝統の上に IUTがあるので～す！！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的整数論
目次
1 代数的整数論の歴史
1.1 ディオファントス
ヒルベルト
彼は類体論に関する一連の予想をたてた。構想は非常に影響的で、彼自身の貢献はヒルベルト類体と局所類体論（英語版）のヒルベルト記号（英語版）の名前に生き続けている。結果は高木貞治による研究の後1930年までにはほとんど証明された[注 1]。
現代理論
1955年頃、日本人数学者志村五郎と谷山豊は2つの一見全く異なる数学の分野、楕円曲線とモジュラー形式の間につながりがあるかもしれないことを観察した。結果のモジュラー性定理（志村・谷山予想）は、すべての楕円曲線はモジュラー（英語版）である、つまり一意的なモジュラー形式に付随できる、という主張である。
アンドリュー・ワイルズ
証明はまた、スキームの圏や岩澤理論や、フェルマーには利用可能でなかった他の20世紀の技術のような、現代的な代数幾何の標準的な構成を用いる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In the 1960s, Goro Shimura introduced Shimura varieties as generalizations of modular curves.[20] Since the 1979, Shimura varieties have played a crucial role in the Langlands program as a natural realm of examples for testing conjectures.[21]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ノイキルヒ・内田の定理
＜中村博明、玉川、望月＞
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
遠アーベル幾何学
811:１３２人目の素数さん
20/05/15 01:48:06 3dOo0xKH.net
数論には興味ないんじゃなかったっけ？
812:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/15 07:47:16 Jy/2KfWb.net
>>725
コメントありがとう
数論には特に興味はない
が
１．IUTとは何か？
文元本（算数（たし算かけ算））より上の大学レベルの数学的説明がほしい
（遠アーベルからの差分は何か？）
２．IUT論文が、果たして成立しているのかどうか？
その行く末やいかに～！！
ヤジウマとして
ここらを、興味津々で眺めていま～すｗ（＾＾
813:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/15 07:52:58 Jy/2KfWb.net
補足
・本当にABCを解決していれば、少なくとも国内の学会賞の1つや2つは、取れるでしょ
・あとは、ICM 2022 までに、IUTが世界で認められるかどうか？
・RIMSさん、がんばって～！！（＾＾
（新型コロナ騒動が、ICM 2022 にどう影響するかが、分からないが）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.mathunion.org)
ICM 2022
The International Congress of Mathematicians 2022 (ICM 2022) will
814:be held in St Petersburg, Russia, 6 - 14 July 2022.
815:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/15 08:00:08 Jy/2KfWb.net
下記のArithmetic geometry
Mid-to-late 20th century: developments in modularity, p-adic methods, and beyond
のその先にIUTが位置するのだろうと 見ています（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Arithmetic geometry
(抜粋)
Overview
The classical objects of interest in arithmetic geometry are rational points: sets of solutions of a system of polynomial equations over number fields, finite fields, p-adic fields, or function fields, i.e. fields that are not algebraically closed excluding the real numbers.
Rational points can be directly characterized by height functions which measure their arithmetic complexity.[5]
The structure of algebraic varieties defined over non-algebraically-closed fields has become a central area of interest that arose with the modern abstract development of algebraic geometry.
Over finite fields, etale cohomology provides topological invariants associated to algebraic varieties.[6] p-adic Hodge theory gives tools to examine when cohomological properties of varieties over the complex numbers extend to those over p-adic fields.[7]
History
Mid-to-late 20th century: developments in modularity, p-adic methods, and beyond
In 1983, Gerd Faltings proved the Mordell conjecture, demonstrating that a curve of genus greater than 1 has only finitely many rational points (where the Mordell?Weil theorem only demonstrates finite generation of the set of rational points as opposed to finiteness).[25][26]
In 2001, the proof of the local Langlands conjectures for GLn was based on the geometry of certain Shimura varieties.[27]
In the 2010s, Peter Scholze developed perfectoid spaces and new cohomology theories in arithmetic geometry over p-adic fields with application to Galois representations and certain cases of the weight-monodromy conjecture.[28][29]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数論幾何学
816:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/15 10:16:09 zHVN/jcs.net
>>678
(引用開始)
「数学者という人種の特性]は
１．訳も分からず 証明を読みたがる
５．訳も分からず 大所高所の視点を持とうとしない
私ら工学系ですからｗ
１．訳が分からんから 証明などは ななめ読みｗ
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点をからの判断を優先します
(引用終り)
（補足）
私と、大天才を比べる気は、全く無いが （＾＾；
１．Tao先生(>>531)、ショルツ先生（>>706-708）両先生とも、
明らかに IUTは斜め読み
２．そして、Tao先生は 「IUT IVのZFCGは 保存拡大ではない」というところを、ずばり 指摘した
また、「IUT で最後のところだけ、ABCの非自明なところと繋がるのが奇妙だ」ということも指摘した
３．ショルツ先生は、彼なりに読んで、「Cor3.12の証明にギャップがある」 「こう考えるとIUTは原理的に不成立（反例あり）」
と、SSレポートを出した
４．つまり、両先生とも IUTのIの最初の命題の組立てを一から追うのではなく、まずはざっと全体像を掴もうとしたことは、間違いないだろう
プロ数学研究者は、これをやるという。毎月山ほど出る数学論文。ゴミと重要論文と、自分に関係するものと しないものと、その仕分けが重要だ
５．かつ、両先生とも、高校時代から先取りで大学レベルの数学を独習で学んでいたという
独習で学ぶとき、早く全体像を掴むことが大事なのだ。 両先生とも、それが見についているのでしょうね。IUTもそういう読み方をした と見ました（＾＾；
817:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/15 11:23:42 zHVN/jcs.net
>>729 誤変換訂正
独習で学ぶとき、早く全体像を掴むことが大事なのだ。 両先生とも、それが見についているのでしょうね。IUTもそういう読み方をした と見ました（＾＾；
↓
独習で学ぶとき、早く全体像を掴むことが大事なのだ。 両先生とも、それが身についているのでしょうね。IUTもそういう読み方をした と見ました（＾＾；
分かると思うが（＾＾；
818:現代数学の系譜 雑談
20/05/15 12:02:33.57 zHVN/jcs.net
>>708
(抜粋)
３）
Peter Scholze says:
May 1, 2020 at 4:42 pm
Dear Taylor,
I’m happy to continue any further discussions by e-mail.
(引用終り)
Taylor Dupuyの勝利に終わったのか？
それは、ともかく Taylor Dupuyのカベは、ショルツ先生には破れないだろうな（＾＾；
（参考）
math jin：（IUTT情報サイト） URLﾘﾝｸ(twitter.com)
(抜粋)
math_jinさんがリツイート
Taylor Dupuy
5月3日
返信先: @Rz6rX さん, @math_jin さん 他2人
The manuscript with Stix has problems. The worst being the diagram in section 2.2.
That does not appear in Mochizuki’s manuscript. I think people should stop citing it.
math_jinさんがリツイート
太郎 @Rz6rX
5月3日
返信先: @DupuyTaylor さん, @math_jin さん 他2人
Excuse me, It may have been asked many times, but is Professor Scholze's point true?
(deleted an unsolicited ad)