20/05/12 16:04:23.09 ksM7a2Vt.net
>>551
>>552の未解決問題の解決に関する話は現在の5チャンの話ではなく、以前の2チャンでの話な。
601:１３２人目の素数さん
20/05/12 16:40:26.50 gmSQkuCI.net
>>547
圏論を展開するのにZFCのような強い理論は必要ないといわれてますね
マクレーンは、ツェルメロの集合論Zより弱い集合論を考えたといわれてますし
ああ、それから、公理図式(axiom schema)を使わない公理系を
「有限公理化可能」というんですが、ZFCだけでなくペアノ算術も
有限公理化不可能です（ペアノ算術では数学的帰納法が公理図式）
あと、NBG集合論�
602:ﾅは、クラスに関する限量子を認めるので有限公理化可能です つまり、望月氏がZFCではなくNBGと書いていれば、 公理の個数を書いても問題なかったでしょう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E5%9E%8B
603:１３２人目の素数さん
20/05/12 16:59:46.14 gmSQkuCI.net
ただ、正直、IUTの種(species)の理論が、ABC予想の証明の問題点とは思えませんが
注：問題点がない、という意味ではありません
問題点があるとすれば別にある、という意味です
604:現代数学の系譜 雑談
20/05/12 17:15:41.27 jIkDYE6o.net
>>554-555
ああ、コメントありがとう
>あと、NBG集合論では、クラスに関する限量子を認めるので有限公理化可能です
>つまり、望月氏がZFCではなくNBGと書いていれば、
>公理の個数を書いても問題なかったでしょう
問題意識は同じだね
圏論を普通に使うなら、クラスの存在をきちんと認める公理系を使う方がすっきりしている気がする
それが何か？ 21世紀の圏論の定番公理系が存在するのかどうか、良く知らないのだが
あと、ご紹介の URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 公理型
「公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。」
で、5 高階論理において
”一階述語論理における型変数は、二階述語論理においては通常は除去できる。何故なら、型変数は何らかの理論中に現れる要素間で成り立つ性質や関係そのものを代入可能な変数として位置付けられることが多いからである。
上で挙げた帰納法 と置換 の型は正にそうした例に当る。高階述語論理では量化変数を用いてあらゆる性質や関係を渡るような記述ができる。”
とあるように、高階述語論理を考えていく方が、正統ではないかという気がしています。21世紀なんだしね（＾＾；
>ただ、正直、IUTの種(species)の理論が、ABC予想の証明の問題点とは思えませんが
ああ、IUTの種(species)の理論はIUT IVからで、ショルツ先生指摘のCor3.12 は その前の IUT IIIですからね
そうかも（＾＾；
605:現代数学の系譜 雑談
20/05/12 17:19:19.45 jIkDYE6o.net
>>552-553
おっちゃん、レスありがとう
>◆e.a0E5TtKE は2000年代前半から2チャンをやっていたみたいだけど、
うん
でも、数学板は2012年のガロアスレ初代からです
>それなら、2チャンで解決した未解決問題があることは知っている筈。
知らないし、夢でも見ているんじゃない？
あるいは、ゴミみたいな 未解決とかｗｗ（＾＾；
606:１３２人目の素数さん
20/05/12 17:28:20.78 ksM7a2Vt.net
>>557
＞>◆e.a0E5TtKE は2000年代前半から2チャンをやっていたみたいだけど、
＞
＞うん
＞でも、数学板は2012年のガロアスレ初代からです
何だ、大学教授が2000年代前半近くの2チャンの数学板に書き込んでいた話も聞いたことないのか。
それじゃ、話にならないな。
607:１３２人目の素数さん
20/05/12 17:42:55.53 gmSQkuCI.net
>>558
＞それじゃ、話にならないな。
結局、あなたも、その
「数学板で解決された未解決問題」
を御存知ないってことですか？
それじゃ、話にならないですね
608:１３２人目の素数さん
20/05/12 17:48:58.40 ksM7a2Vt.net
>>559
その「数学板で解決された未解決問題」は知らないけど、
2000年代前半近くの2チャンの数学板には、
当時の某国立大学の教授が実名で書き込んでいたことは否定出来ない事実。
609:現代数学の系譜 雑談
20/05/12 17:53:54.95 jIkDYE6o.net
>>556 補足
＞高階述語論理を考えていく方が、正統ではないかという気がしています。21世紀なんだしね（＾＾；
例えば
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
望月 出張・講演
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(2015-02).pdf
[17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
で P5 に
”一種の「同義反復的解決」”というのが出てくる
また P6 に
”「同義反復的な解決」が成立するような「補助の舞台」を構築した上で”（注：「補助の舞台」が ホッジシアターかな？（＾＾ ）
と出てくる
「同義反復的な解決」の意味が、正確には分からないが
すぐ浮かぶのが、”再帰”というキーワードだ
”再帰”になると、一階述語論理の範囲外だ
IUTの「同義反復的な解決」というのが、果たして 一階述語論理の範囲内なのか、そうでないのか？
が、一つの論点になると思う
もし、一階述語論理の範囲外となると
ZFCとかZFCGだけを論じても
あんまり意味ないってことになるし
ここらが、どうなるか？
興味を持って、注目しています（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
再帰
(抜粋)
再帰呼出し
ある手続き中で再びその手続き自身を呼び出すことを認める場合が多い。
これを再帰呼出しといい、階乗計算やフィボナッチ数列のように、本来再帰的な構造をもつアルゴリズム（再帰的アルゴリズム）を記述するのに適している。
610:現代数学の系譜 雑談
20/05/12 17:57:42.32 jIkDYE6o.net
>>560
おっちゃん、どうも
>2000年代前半近くの2チャンの数学板には、
>当時の某国立大学の教授が実名で書き込んでいたことは否定出来ない事実。
2000年代前半は、SNSがまだ未発達だったころ
逆に２ｃｈは賑わっていたんだ
でもいま、「国立大学の教授が実名で書き込んで」だったら
ツイッターとかブログでやるでしょ
２ｃｈ（いま５ｃｈ）なんて、やらないよねｗ（＾＾；
611:１３２人目の素数さん
20/05/12 17:59:36.63 gmSQkuCI.net
>>560
>その「数学板で解決された未解決問題」は知らないけど、
じゃ、>>552で
>2チャンで解決した未解決問題があることは知っている筈。
なんていわないほうがよかったですね
>単に見聞きした話に過ぎないけど、
事実ではなかった可能性大ですね
>そのようなことが書かれたレスはどこかにあった筈。
レスすらみつからないんじゃねぇ・・・
しかもそのレスですら、どういう問題か書いてなかったんでしょ？
それじゃ、話にならないですね
「2000年代前半頃だと思うが、
2ch 数学板で解決した未解決問題があると
聞いた覚えががあるが、御存知ないか？」
という質問ならわかりますが
もしかして「質問したら負け」だとか思ってます？
612:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:00:37.48 Wcl7UiUc.net
現代数学の今月号(2020年6月号)の山下純一の記事に、
望月論文の雑誌掲載とそれに対する批判の経緯が載ってる。
来月号に続く記事なので、早く続きを読みたい。
613:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:04:21.69 ksM7a2Vt.net
>>562
私が解決出来たかも知れない問題は既に幾つかある。
オイラーの定数γの有理性もその1つ。
614:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:07:33.74 ksM7a2Vt.net
>>563
私は5チャンでマウントを取ることに付き合う気はないのであしからず。
615:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:07:55.94 gmSQkuCI.net
>>565
そういう話は新たにスレッド立てて、そこで話してくれますか？
616:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:08:48.66 ksM7a2Vt.net
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
617:１３２人目の素数さん
20/05/12 18:15:23.83 gmSQkuCI.net
>>561
あくまで個人的感想ですが、ABC予想が
ZFCでは解決できないほど難しいディオファントス問題
と考える積極的理由はないと思います
要するに望月氏の主張は大袈裟に過ぎるように思います
618:１３２人目の素数さん
20/05/12 19:04:33 JMB+HJV+.net
>>569
その理由は ？
どうやって、掛け算と足し算からなる命題を解く ？
619:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 20:23:49 SSKfv1SN.net
>>569
>要するに望月氏の主張は大袈裟に過ぎるように思います
私は、全く逆に考えています
話は飛びますが、昔の「大学への数学」って雑誌があって（ご存知と思うが）
大学入試問題が、大学レベルの数学を少し落として、高校レベルで問題を作っている場合がある
その場合に、大学レベルの一般論で 大げさに大学入試問題を解くことを、「牛刀を用いてニワトリを裂く」と称していました
で、ちょっと工夫して、（受験数学テクニックで）変数変換したりすると、問題が簡単になって 高校数学レベルで解ける。エレガントな解答かもしれませんがね
（細かい話は忘れましたが（＾＾； ）
いまは IUT→ABCを解く話で、まずは、「牛刀を用いてニワトリを裂く」で良いんだと思いますよ
>ZFCでは解決できないほど難しいディオファントス問題
>と考える積極的理由はないと思います
それはそうかも知れないが、グロタンディークが希代の圏論使いだったことを思い出しましょう！（＾＾
グロタンディークの数学は、圏論あってこそです
ZFCとかに拘らずに
620:、ばんばん圏論使ってIUTの数学をやれば良い ”IUT→ABCを解く”が出来てから、ZFC内か否かを考えれば良い いまは、とにかく ”IUT→ABCを解く”に集中すべきときです （参考） https://kotobank.jp/word/%E7%89%9B%E5%88%80%E3%82%92%E3%82%82%E3%81%A3%E3%81%A6%E9%B6%8F%E3%82%92%E5%89%B2%E3%81%8F-477247 コトバンク 牛刀をもって鶏を割く 牛刀(ぎゅうとう)をもって鶏(にわとり)を割(さ)く デジタル大辞泉の解説 《「論語」陽貨から》小さな物事を処理するのに必要以上の大がかりな手段を用いることのたとえ。
621:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 20:25:03 SSKfv1SN.net
>>568
おっちゃん、お休みなさい（＾＾
622:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 20:26:42 SSKfv1SN.net
>>565
＞オイラーの定数γの有理性もその1つ。
初めて聞く人は分からないと思うが
「オイラーの定数γが、実は 有理数である」という証明を得たという・・（＾＾；
623:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 20:48:09 SSKfv1SN.net
>>564
>現代数学の今月号(2020年6月号)の山下純一の記事に、
>望月論文の雑誌掲載とそれに対する批判の経緯が載ってる。
へー、山下純一氏がねー（＾＾；
その記事は読んでないけど
山下純一氏は、研究論文を専門誌に投稿した経験ないのでしょうね
「望月論文の雑誌掲載とそれに対する批判」という、この20文字弱のみを読んだ感想ですが
全く、論点が 的外れ という気がします（はっきり言って悪いけど、ｘｘじゃね？）
学会の専門誌の査読システムが、いつから始まったか知らないが
フェルマーとかガウスとかは、専門誌投稿とか、殆どしていないでしょう？ でも、立派な数学者です
つまりは、雑誌掲載とか査読とかは、副次的な話であって
望月氏のIUTが、彼のホームページに2020年現在掲載されているという事実は、だれも否定できない。そこが一番のポイントでしょうに（＾＾；
（たとえ、ある期間雑誌掲載が遅れても、問題の本質は全く変わらない）
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
クレレ誌
歴史
この学術雑誌はオーガスト・レオポルト・クレレにより、1826年に創刊され、1855年に彼が亡くなるまで、クレレによって編纂された。
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
王立学会
王立学会（おうりつがっかい）は、1660年にロンドンで作られた民間の科学に関する団体であるthe Royal Society of Londonのことである[1]。
出版物
フィロソフィカル・トランザクションズ1665年版の表紙
学会の機関誌として、「フィロソフィカル・トランザクションズ 」(The Philosophical Transactions of the Royal Society)がある。
発会時からメンバーだったヘンリー・オルデンバーグ(1619-1677)は初代事務総長で、科学者間の実験哲学や数理哲学に関する情報ネットワークの構築に尽力した。
オルデンバーグは情報発信のために個人の費用でこの雑誌を1665年に創刊した。数年後に学会の刊行物となった[21]。
624:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 22:08:08 SSKfv1SN.net
>>475
>たぶん、ガッキーより多部ちゃんのほうがモテる
遠隔レス すまん（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
あいみょん、「マリーゴールド」アコースティックver.弾き語り 多部未華子とCM共演 「淡麗グリーンラベル」新CMが公開
2020/04/17
maidigitv
チャンネル登録者数 105万人
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URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
シンガー・ソングライターのあいみょんさんと女優の多部未華子さんが共演する発泡酒「淡麗グリーンラベル」（キリンビール）の新CM「GREEN JUKEBOX 風」編が4月17日、公開された。新緑の中で、あいみょんさんが自身の人気曲「マリーゴールド」のアコースティックバージョンをギターの弾き語りで披露している。
「GREEN JUKEBOX」編は、これまでロックバンド「SEKAI NO OWARI」（セカオワ）のFukaseさん、「RADWIMPS（ラッドウィンプス）」の野田洋次郎さん、「back number（バックナンバー）」の清水依与吏（いより）さんらが出演し、自身の人気曲のアコースティックバージョンを披露してきた。
シリーズ第9弾となる「GREEN JUKEBOX 風」編は、緑豊かな自然の中で不思議なJUKEBOXに出会った多部さんが、「風」と書かれたボタンを押すと、どこからか歌声が聞こえてくる。あいみょんさんがギターを弾きながら歌う「マリーゴールド」を聴いていた多部さんの麦わら帽子が、風に飛ばされて……という展開。
CMの終盤にはあいみょんさんにギターを教わっている多部さんの姿や、風に飛ばされて木の上に引っかかった帽子を取ろうとジャンプする多部さんの笑顔が映し出されている。
4月20日から全国で順次放送される。
625:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/12 22:29:39 JxKxPdjg.net
あいみょんは男顔である｡
二階堂ふみは男顔を通り越してオッサン顔である｡
626:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 22:56:04 SSKfv1SN.net
>>576
>あいみょんは男顔である｡
>二階堂ふみは男顔を通り越してオッサン顔である｡
粋蕎さん、どうも
二階堂ふみ さんは、いま朝ドラで ”しゅん”の人か
”男顔”の女性は、女性ファンに好かれるかもね
宝塚の男役みたいなものかもね（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
二階堂 ふみ（にかいどう ふみ、1994年9月21日 - ）は、日本の女優、ファッションモデル、タレント。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
沖縄県那覇市出身[2]。ソニー・ミュージックアーティスツ所属。
2018年放送のNHK大河ドラマ『西郷どん』では、西郷隆盛の2番目の妻で西郷が奄美大島に流刑となったときの島妻となる愛加那を好演し、西郷役の主演・鈴木亮平からは「感性のバケモノ」と称賛を受ける[21][22]。
2020年度前期放送の『エール』でNHK連続テレビ小説に初出演[24]。「ぜひこの作品に携わりたい」としてヒロインオーディションに臨み、オーディションで見せた熱演と歌唱力により応募者2,082人の中から選出されて、作曲家古関裕而の妻・金子をモデルとするヒロイン・関内音を演じる[24][25][26]。
627:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/12 22:58:32 SSKfv1SN.net
話変わるけど
おサル見ているんだろうね（＾＾ <
628:br> そのうち、こっそり、ほとぼりが冷めた頃に、一般人を装って、出てくるんだろうな（＾＾ それは、想定内だ（＾＾；
629:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/12 23:00:00 JxKxPdjg.net
いや二階堂ふみの場合は食べ物を食う時の顔がオッサンでしたぞ。一瞬、完全なゴリ顔に成った｡
630:１３２人目の素数さん
20/05/13 00:44:22.42 aRkbFXYG.net
>>565
> >>562
> オイラーの定数γの有理性もその1つ。
本当？
631:１３２人目の素数さん
20/05/13 05:57:21.82 tiW6QYt6.net
>>578
安達さんみたぃ…
勘が悪過ｷﾞｲｨｯ! (笑
632:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:13:38.06 YxiDM0Si.net
>>543
＞居なくなると、こんなに、議論のレベルが上がるんだ～！
…なんか笑ってしまった
633:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:20:34.17 tiW6QYt6.net
＞居なくなると 誤∧(爆
(*´∀`) (ｹﾞﾗｹﾞﾗ
634:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:23:21.14 YxiDM0Si.net
姐さん、絵文字は止めたの？
635:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:34:00.47 tiW6QYt6.net
どっちの姐さんのことですか?
(笑
ｺﾃﾊﾝはやめたんですか?
636:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:41:32.32 YxiDM0Si.net
おや、女性は一人しかいないんじゃね？
コテハンは必死な自己アピがダサい
637:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:50:11.75 tiW6QYt6.net
ﾊｯ!?Σ(´Д`;)…粋蕎ﾁｬﾝﾁﾞｬﾅｨ…?!
…主様を笑えなぃ…(〃‥〃)
ｽﾙﾙｪﾚﾍﾞﾙをsageただけだった。。゜。*゜。✳゜゜。゜
…ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ゜✳゜。゜(ﾉД`)。
638:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:56:13 tiW6QYt6.net
ｵｿﾊﾞﾁｬﾝはチコちゃんｽﾙﾙｪで
ﾁｺちゃんのこと✨🌹姐さん🌹✨って言ってたよぅな。
(チコ姐さんとなると…女子力はネカマBBAを凌いでるな)って。
639:１３２人目の素数さん
20/05/13 06:57:16 YxiDM0Si.net
＞。゜。*゜。✳゜゜。゜
女の涙は美しい
640:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:02:56 tiW6QYt6.net
朝イチでネカマっちもめー様にはひっかかっちゃったけど。。。
（ノ∀`）
。。。めーちゃまも気づぃてなぃんですね。。。
もっちーフォロワーには女性がいるみたぃ。。。❔
641:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:05:25 tiW6QYt6.net
>>589
めーさまのすぅ学も
✨🌟✨美しぃ✨‎🌟✨
642:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:07:55 YxiDM0Si.net
>>588
ちょっと何云ってんのかわかんないけど・・・
「姐さん」のイメージは02:25~05:25
URLﾘﾝｸ(www.bilibili.com)
643:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:08:50 tiW6QYt6.net
>めー様
合ってます？
※尚、お返事は。。。
必要茄子 (ｹﾞﾗｹﾞﾗ
でございます (笑
644:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:13:53 YxiDM0Si.net
>>593
今日の気分は・・・シオリスト
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
645:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:18:34 tiW6QYt6.net
ﾊｨｯ!正解～!
ヽ(*´∀`)ﾉ♪ﾔｯﾀ~!
(蘇る自信)
おｿﾊﾞちゃんと間違えたことをなかったことにしたぃ…
( ﾟдﾟ)ﾊｯ!…ｽﾙﾙｪの数学ﾚﾍﾞﾙをsageﾃｼﾏｯﾀ…
ｽﾙﾙｪが壊れちゃ～ぅ!?
削除されたら大変だから…
もぅ消えま~す。。。お邪魔しました~…
646:１３２人目の素数さん
20/05/13 07:23:25 tiW6QYt6.net
。。。めーちゃま💗可愛ｅ💗。。。
やっぱり。。。
我慢できなーぃｯ！
ﾁｭｯ!💓💞
(*˘(>>594)
主様ｺﾞﾒﾝﾅｻ~ｨ…!
|≡３ ﾋﾟｭｯ!
647:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 07:29:53 fChrPFrq.net
いやいや
皆さん、ありがとう
５ｃｈらしくなってきたな～！ｗ（＾＾
648:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/13 08:35:27 PCZ7zAff.net
んあ？
649:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 09:59:41 uMe8boWM.net
>>598
粋蕎さん、どうも
私は、５ｃｈなんて、こんなものだと
１２年前は、どうでしたか？ まあ、大分違ったのでしょうね？ （＾＾；
650:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 11:09:03 uMe8boWM.net
>>556 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理型（公理図式とも）（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）
公理型の例
・置換の公理型（英語版）：集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
について、ダメ押しを しておこう
１．まず、置換公理は、下記のように 論理式 ψ をパラメータとして含む ことを確認しよう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
置換公理 "関数クラス"による集合の像は集合である：
∀ x∀ y∀ z((ψ (x,y) ∧ ψ (x,z))→ y＝z)→ ∀ X∃ A∀ y(y ∈ A ⇔ ∃ x ∈ Xψ (x,y)) 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式（公理型とも）である。
２．さて、これを方程式に例えてみよう
x=cosΘ,y=sinΘ Θ：0～2πの実数 として x^2+y^2＝1 より、Θをパラメータとして 単位円の方程式
で、例えば Θ＝0なら 点(1,0), Θ＝πなら 点(-1,0) を表す
だが、パラメータΘに具体的数値与えた Θ＝0とか Θ＝πとか それは もう 単位円の方程式ではない
（パラメータ表示の方程式 x=cosΘ,y=sinΘ には、連続無限の点が含まれるのだが）
３．これを、置換公理 パラメータψ に具体的な 論理式を当てはめたものと対比すると
この場合は、もう 公理型（あるいは公理図式）とは、呼べないと考えることができる
つまり、置換公理は、無限のパラメータψを含意するとしても、具体的な パラメータψを適用したものは、公理型ではない！
∴置換公理は、”一つ” の公理型と考えるべきであって、無限の公理型と 数えるべきではない！！ と理解すべき
QEDｗｗ（＾＾；
651:１３２人目の素数さん
20/05/13 11:32:30.29 YxiDM0Si.net
>>600
＞具体的な パラメータψを適用したものは、公理型ではない！
ええ、公理です
つまり、公理型としては１つでも、公理としては無限
652:１３２人目の素数さん
20/05/13 11:36:15.77 YxiDM0Si.net
x^2+y^2＝1 は式としては１つだが、点としては無数
653:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 11:45:00.52 uMe8boWM.net
>>561 戻る
(引用開始)
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)(2015-02).pdf
[17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）
で P5 に
”一種の「同義反復的解決」”というのが出てくる
「同義反復的な解決」の意味が、正確には分からないが
すぐ浮かぶのが、”再帰”というキーワードだ
”再帰”になると、一階述語論理の範囲外だ
(引用終り)
IUTは実は二階で、ショルツ先生は一階で考えていたとか
そういう説明がつけば良いのだが（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
再帰理論
(抜粋)
定義可能性、証明、計算可能性の相互関係
再帰理論は二階算術（自然数と自然数の集合に関する形式的理論）とも関係している。特定の集合が計算可能だったり相対的に計算可能だったりする場合、それらの集合は二階算術の中の弱い体系内で定義できることがよくある。
逆数学の研究プログラムは、よく知られた数学的定理に内在する計算不可能性を測る尺度としてこれらの体系を用いる。Simpson (1999) は二階算術と逆数学に関する様々な話題を取り上げている。
証明論の分野の研究対象には、二階算術とペアノ算術の他にも、ペアノ算術よりも弱い自然数に関する形式的体系などがある。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一階述語論理
他の論理との比較
・型つき一階述語論理は変項や項に型または種を導入したものである。型の個数が有限個であれば普通の一階述語論理と大きな違いはなく、有限個の単項述語で型を記述し、いくつかの公理を追加すればよい。真理値として Ω という特殊な型を持つ場合があるが、その場合の論理式は Ω 型の項となる。
・二階述語論理は部分集合および関係、すなわち全ての述語の量化を許すものである。
・新たな量化子を加えた一階述語論理は、例えば「……であるような多くの x が存在する」といった意味の新たな量化子 Qx, ..., を持つ。
こうした論理の多くは、一階述語論理の何らかの拡張と言える。
654:現代数学の系譜 雑談
2020/05/1
655:3(水) 11:46:54.45 ID:uMe8boWM.net
656:１３２人目の素数さん
20/05/13 11:59:56.80 YxiDM0Si.net
>>604
ψに入る式が無限個あるのだから、公理としては無限個ですが、何か？
657:１３２人目の素数さん
20/05/13 12:04:51.66 YxiDM0Si.net
>>603
＞IUTは実は二階で、ショルツ先生は一階で考えていたとか
＞そういう説明がつけば良いのだが
素人考え 休むに似たり
＞”再帰”になると、一階述語論理の範囲外だ
そりゃ嘘ですね
帰納法も一階述語論理では公理図式として導入可能ですから
（注：単一の公理ではない）
658:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:10:02 uMe8boWM.net
>>603 追加
（参考）
はてなブログ/entry/2018/10/13/193343
2018-10-13 はてなブログ 亀岡亮太
Russell のパラドクスと λx.xx (または自己言及がもたらす豊かさと危うさについて)
Russell のパラドクス
既にご存知の読者も多いと思うが，念のため Russell のパラドクスについての紹介をしておく．
[Math Processing Error] なる集合を考える．つまり [Math Processing Error] は，自分自身を要素として含まない集合全体の集合である．
まず，[Math Processing Error] と仮定すると，[Math Processing Error] の定義より [Math Processing Error] であるはずなので矛盾する．
一方，[Math Processing Error] と仮定すると，[Math Processing Error] の定義より [Math Processing Error] となるはずなので，こちらも矛盾する．
Russell の階型理論
「束縛変数を含む命題や関数は何であれ，それ自身を引数として入力してはいけない」という制約を敷く．
この悪循環原理を形式的に遂行するため，命題関数の量化を反映した階層構造を設定した上で，項がどの階層に属するかを分類し，命題や関数の引数として出現できる項の種類に制限を加えるのが階型理論の目的である．
随分と抽象的な説明になってしまったので，具体例を見てみよう．分類は以下のように行われる．
・命題でも関数でもない対象を individuals と呼ぶ (これは0階とみなされる)
・引数に individual のみが出現する関数を1階の関数と呼ぶ
・ある関数において，引数または束縛変数として n 階の変数が最高位の変数として出現するならば，その関数は n+1 階である
このような階層構造を導入することにより，Russell は「[Math Processing Error] は [Math Processing Error] の要素である」のような記述はそもそも項として存在し得ず，無意味であると主張する．
かくして Russell のパラドクスは片付く*17 *18．
つづく
659:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:11:16 uMe8boWM.net
>>607
つづき
型無しラムダ計算
20年ほど時代を下り，1930年代に話題を移そう．若き日の Alonzo Church は，自由変数を用いない*19形式論理学の記法あるいは計算体系として，ラムダ計算を提案する．
初出は1932年の A Set of Postulates for the Foundation of Logic であるようで，表題からも分かる通り，この頃の Church はラムダ計算を論理学の基礎として据えようと考えていたらしく，項として種々の論理定項を含んでいる．
しかし，このオリジナルの体系は証明力が強すぎたため，後に Stephen Kleene と John Barkley Rosser らにより矛盾を導くことが証明された*20．
単純型付ラムダ計算
1940年に発表された A Formulation of the Simple Theory of Types という論文が，型付きラムダ計算の初出とされている．
ラムダ計算と階型理論を統合することで，どのような嬉しい性質が生じるのかはこの論文には記されていないが，ともかく Church は 従来のラムダ計算に加えて，型という概念を導入する．
つづく
660:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:12:48 uMe8boWM.net
>>608
停止性問題・Godel の不完全性定理・対角線論法
Russell のパラドクスに始まり，[Math Processing Error] や [Math Processing Error] といった自己言及・自己適用を含んだ表現について見てきたが，計算機科学の素養がある読者なら，停止性問題の決定不能性の証明が，ある種の自己適用を用いたものだったことを思い出すかもしれない*27．
Godel の不完全性定理に登場する「この文は証明できない」といういわゆる Godel 文も自己言及を含んでいる．このように，ある種の自己言及を仮定すると矛盾を導く論法は対角線論法として知られている．
終わりに
これまで見てきたように，制限のない自己言及はしばしば矛盾を引き起こす．
これを防ぐために Russell は型の概念を発明し，論理学における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加え，Church はこのアイディアを拝借し，ラムダ計算における式がどのような文脈で出現できるかに制限を加えた．
Russell の型理論も Church のラムダ計算も，論理学，ひいては数学の基礎付けを与えるという願いを成就することはできなかった．
しかし，これらが組み合わさった際に，プログラムと証明との間に対応関係が浮かび上がり，再び論理学の世界へと通じる道が開くことは Curry-Howard 同型対応としてよく知られている．
結局のところ，両者の思想ともに，人間の思考の根源的な営みである論理や推論と言った概念にどこか根ざしているように思われて仕方ないのである．
(引用終り)
以上
661:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:21:41 uMe8boWM.net
>>607
追加
URLﾘﾝｸ(userweb.mnet.ne.jp)
ノームラーのCUI大好き
ラッセルのパラドックス(2001.05.15)
(抜粋)
ラッセルのパラドックス
ラッセルのパラドックスはイギリスの哲学者バートランド・ラッセルが発見した有名なパラドックスだ。どういうパラドックスかというと、「自分を要素として含まない集合の集合」は自分自身を要素として含むかどうか決定できないということだ。
つまり、述語論理学(述語を変数にすることができる二階述語論理学の場合)では、命題が必ず真か偽の値のどちらかをとるということは保証されていない。(二階)述語論理学では排中律が成立しないのである。
ラッセルのパラドックスが起きるのは「全て」という量化記号が自己言及が起きたときにパラドックスを引き起こすためである。
したがって、（二階)述語論理学では「全て」という量化記号を無制限で使用するとパラドックスが起きてしまうことになる。(2003.5.30)
(引用終り)
以上
662:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:35:28 uMe8boWM.net
>>610 追加
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
J-STAGE home/Kagaku tetsugaku/Volume 9 (1976)
様相 パラドックス 内井 惣七
(抜粋)
1 様相 と自己言及
7 算術 と必然的自己言及
(iii)言語の階層の区別を設ける.
ウソつきパラドックスおよび一般に意味論的パラドックスを解決する場合と
同様,述語アプローチを維持するためには,おそらくこれが最も妥当な解決策
であろう.
ただしこの場合には,様相概念を厳密に扱うためには,かなり強力
な論理の枠組(一種の高階述語算)を前提するわけであるから,様相論理の他
のアプローチと較べて論理的および哲学的により好ましいかどうかは,はなは
だ疑問である.
第二の方向に沿う解決策については,多くを述べる必要はあるまい.現代の
様相論理の体系はすべてこの方策にしたがっているからである.そしてクリプ
キが様相子としての必然性に,ペアノ算術における証明可能性などの解釈を与
えて意味論を展開したことも周知のことである.このアプローチでパラド
ックスが生じない理由は簡単である.すなわち,一つの論理結合子(日常言語
では副詞)としての必然性は,文に述語づけられない.したがって自分自身
の必然性や非必然性を主張する文は,様相子に加えて意味論的述語(例えば25
「真」)を援用しないかぎり構成できないのである.つまり様相子だけでは言
語の階層の区別を破る文は構成できない.それがこのアプローチでパラドック
スを回避できる理由である.
(引用終り)
以上
663:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:43:39 uMe8boWM.net
>>610-611
>ラッセルのパラドックス
>つまり、述語論理学(述語を変数にすることができる二階述語論理学の場合)では、命題が必ず真か偽の値のどちらかをとるということは保証されていない。(二階)述語論理学では排中律が成立しないのである。
従来、ラッセルのパラドックスなどを回避するために
階型理論のように、できるだけ 一階述語に限定して
「自己言及」のような（あるいは、広い意味での再帰の）記述は、数学では避けて来たのだった
では、>>603の IUTの 「同義反復的な解決」が、果たして、一階述語の範囲に収まっているのかどうか？
ZFCGの問題よりも、こちらをはっきりさせる方が 重要だという気がする
664:１３２人目の素数さん
20/05/13 13:49:30 YxiDM0Si.net
>>610
これはひどい・・・
URLﾘﾝｸ(userweb.mnet.ne.jp)
生年 昭和29年(1954年)
性別 男
職業 内科医
趣味 特にありません。面白いことなら何でも。昼寝。とにかくよく寝ます。
もっとましなHPを見てくださいよ
665:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:50:40 uMe8boWM.net
>>612
いまどき、圏論－高階論理は 普通なので、それはそれで、はっきりさせれば良い
但し、高階論理を使うなら、ZFCとかに 拘る意味は薄い
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論
(抜粋)
歴史
集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。
意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
URLﾘﾝｸ(www.utp.or.jp)
東京大学出版会
圏論による論理学
高階論理とトポス
清水 義夫 著
ISBN978-4-13-012057-9発売日:2007年12月14日判型:A5ページ数：232頁
教科書
人文科学 > 哲学・思想・倫理
内容紹介
20世紀後半，数学，計算機科学，論理学などの分野で採用されてきている圏論．関数概念を基本として現象をとらえようというこの方法を，関数型高階論理とトポスを題材にして丁寧に解説する．論理学の観点を中心に，圏論の考え方を紹介するテキスト．
666:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 13:52:37 uMe8boWM.net
>>613
>生年 昭和29年(1954年)
>性別 男
>職業 内科医
おれ的には
あなたより ましに見える
”職業 無職” よりも
667:１３２人目の素数さん
20/05/13 13:56:43 YxiDM0Si.net
どうせならこういうところをみてくださいよ
なおytb氏こと矢田部氏は本物の論理学者です
ラッセルのパラドックスと基礎付けの公理
「∈-無限降下列が存在しないことを主張するZFの公理は、
Axiom of regurality（正則性公理）とも
Axiom of Fondation（基礎付けの公理）とも
整礎性公理とも呼ばれ、ややこしい存在です。
さて、ラッセルのパラドックスを巡る俗説の一つに
「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」
というものがあります。
たしかに基礎付けの公理を仮定すれば、ラッセルのパラドックスを起こす
ラッセル集合「自分自身を元として含まない集合」は集合として存在しません。
でも、これはたまたまであって、別にラッセルのパラドックスを防ぐために
導入されたとか、そういう訳ではありません。
だいたい、（よく指摘されることではありますが）もしもZFが無矛盾であれば、
ZFから基礎付けの公理を除去した部分体系ZF-だって当然無矛盾なはずです。」
668:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 14:01:30 uMe8boWM.net
>>614 補足
普通の数学では
自己言及のような、再帰（定義、算法、論法など）は、普通は使わない
対角線論法などは、例外としてね
IUTの「同義反復的解決」（>>603
669:）というのが 果たして、何者かだよね（＾＾；
670:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:03:49 YxiDM0Si.net
なお、ytb氏のあいまいな本日の私には
ラッセルのパラドックスのいろいろな解決法について
これでもかというほどふんだんに書かれているので
是非読んでいただきたい
（注：はてなブログですが、リンクはNGワードになってます）
さて
>>615
＞おれ的にはあなたより ましに見える
「的」は要らないですね
＞”職業 無職” よりも
職業にはついてますが、仮に無職だとしても
医者のNOMURAが正しくて私が間違ってる
という証明にはならないですね
671:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:12:47 YxiDM0Si.net
>>617
＞普通の数学では
＞自己言及のような、再帰（定義、算法、論法など）は、普通は使わない
＞対角線論法などは、例外としてね
これまた酷い・・・
自然数の定義は再帰の典型ですけどね
・ｎが自然数なら、ｓ（ｎ）も自然数である
この他にも再帰的定義は枚挙に暇がありません
さらにいうと、再帰関数の定義にはＹコンビネータを使うんですが
これ、対角線論法が元になってます
Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))
不動点コンビネータ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
672:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:16:24 YxiDM0Si.net
>>617
＞IUTの「同義反復的解決」というのが果たして、何者かだよね
気になるんなら、望月氏本人に直接聞いてみたら？
素人が勝手に憶測するよりいいと思うけど
どこから「高階」が出てきたのか知らんけど
今の段階では見当違いの可能性が非常に高い
673:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:23:12 YxiDM0Si.net
「あいまいな本日の私」より
2007-09-12 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1)
普通、通俗的な本でラッセル・パラドックスの紹介をすると、
「包括原理 (the comprehension principle) が悪いのです、
だからZFが建設され問題が解決されました、めでたしめでたし」
という結論になってしまうのですが、それは間違っています。
それ以外にもいろいろな解決法が提案されていて、どれも一長一短があります。
さて、Fefermanによれば、ラッセル・パラドックスの解決法は、
以下のように分類することができます。
Restriction of syntax: つまりラッセル集合の定義文は「文法違反」だ、というもの
Restriction of logic: つまりパラドックスは古典論理のせいだ、
だから古典論理を制限／変更しようというもの
Restriction of basic principles: つまり包括原理が問題だ、というもの
674:１３２人目の素数さん
20/05/13 14:36:26.73 YxiDM0Si.net
「あいまいな本日の私」より
2007-09-12 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1)：Restriction of basic principles
2007-09-15 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (2) : Restriction of syntax
2007-09-17 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3) : Restriction of logic
(1)は、主にZFCによる解決法
(2)は、ラッセルの型理論による解決
(3)は、古典論理の修正による解決
個人的なお薦めは(3)のシリーズですね
というか、ytb氏が(3)について書きたかったので
この話をしたのが丸わかりです
675:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/13 15:25:38 PCZ7zAff.net
>>599
此処を其うしちゃいかんでしょうに｡
特に KingOfUniverse ◆667la1PjK2 が御肛臨なさったら最悪｡
×御光臨 △御降臨 ○御肛臨
676:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:54:47 uMe8boWM.net
>>616
> さて、ラッセルのパラドックスを巡る俗説の一つに
> 「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」
> というものがあります。
同意（＾＾
１）IUTの「同義反復的解決」（>>603）が、ラッセルのパラドックス同様の自己言及（二階述語）と見て
２）「基礎付けの公理は、ラッセルのパラドックスを防ぐために導入された」という俗説に 引っ掛かって
３）基礎付けの公理に絡んで、“∈-structure”とか あるいは
”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
などと 言い訳を言っている気がする
俗説に 引っ掛かってｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
I
677:NTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨ LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND SET-THEORETIC FOUNDATIONS Shinichi Mochizuki April 2020 P1 Abstract Finally, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - the foundational/settheoretic issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice by introducing and studying the basic properties of the notion of a “species”, which may be thought of as a sort of formalization, via set-theoretic formulas, of the intuitive notion of a “type of mathematical object”. These foundational issues are closely related to the central role played in the present series of papers by various results from absolute anabelian geometry, as well as to the idea of gluing together distinct models of conventional scheme theory, i.e., in a fashion that lies outside the framework of conventional scheme theory. Moreover, it is precisely these foundational issues surrounding the vertical and horizontal arrows of the log-theta-lattice that led naturally to the introduction of the term “inter-universal”. つづく
678:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:55:20 uMe8boWM.net
>>624
つづき
P3
Finally, in §3, we examine - albeit from an extremely naive/non-expert point of view! - certain foundational issues underlying the theory of the present series of papers. Typically in mathematical discussions [i.e., by mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] - such
as, for instance, the theory developed in the present series of papers! - one defines various “types of mathematical objects” [i.e., such as groups, topological
spaces, or schemes], together with a notion of “morphisms” between two particular examples of a specific type of mathematical object [i.e., morphisms between
groups, between topological spaces, or between schemes].
P6
Indeed, from the point of view of the “∈-structure” of axiomatic set theory, there is no way to treat sets constructed at distinct levels of this ∈-structure
as being on a par with one another. On the other hand, if one focuses not on the level of the ∈-structure to which a set belongs, but rather on species, then the notion of a species allows one to relate - i.e., to treat on a par with one another - objects belonging to the species that arise from sets constructed at distinct levels of the ∈-structure.
That is to say, the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).
つづく
679:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:55:38 uMe8boWM.net
>>625
つづき
P8
Acknowledgements:
I would like to thank Kentaro Sato for useful comments concerning the set-theoretic and foundational aspects of the present paper,
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species In the present §3, we develop - albeit from an extremely naive/non-expert point of view, relative to the theory of foundations! - the language of species.
Roughly speaking, a “species” is a “type of mathematical object”, such as a “group”, a “ring”, a “scheme”, etc.
In some sense, this language may be thought of
as an explicit description of certain tasks typically executed at an implicit, intuitive level by mathematicians [i.e., mathematicians who are not equipped with a detailed knowledge of the theory of foundations!] via a sort of “mental arithmetic” in the course of interpreting various mathematical arguments.
In the context of the theory developed in the present series of papers, however, it is useful to describe these intuitive operations explicitly
P68
- where n ranges over the natural numbers. On the other hand, by the axiom of
foundation, there do not exist infinite descending chains of universes
V0 ∋ V1 ∋ V2 ∋ V3 ∋ ... ∋ Vn ∋ ...
- where n ranges over the natural numbers.
つづく
680:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:56:05 uMe8boWM.net
>>626
つづき
P74
Remark 3.3.1.
(i) One well-known consequence of the axiom of foundation of axiomatic set
theory is the assertion that “∈-loops”
a ∈ b ∈ c ∈ ... ∈ a
can never occur in the set theory in which one works. On the other hand, there are many situations in mathematics in which one wishes to somehow “identify”
mathematical objects that arise at higher levels of the ∈-structure of the set theory under consideration with mathematical objects that arise at lower levels of this ∈-structure.
In some sense, the notions of a “set” and of a “bijection of sets” allow one to achieve such “identifications”.
That is to say, the mathematical objects at both higher and lower levels of the ∈-structure constitute examples of the same mathematical notion of a “set”, so that one may consider “bijections of sets” between those sets without violating the axiom of foundation. In some sense, the notion of a species may be thought of as a natural extension of this observation.
That is to say, the notion of a “species” allows one to consider, for instance, speciesisomorphisms between species-objects that occur at different levels of the ∈-structure of the set theory under consideration - i.e., roughly speaking, to “simulate ∈-loops” - without violating the axiom of foundation.
(引用終り)
以上
681:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 15:57:54 uMe8boWM.net
>>623
粋蕎さん
レスありがとう（＾＾
682:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:11:17.68 YxiDM0Si.net
>>624
ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
任意の集合Sについて{x∈S|￢(x∈x)}は存在する
上記の集合は実はSと同じだが、S∈Sでないから問題ない
さてZFCから基礎の公理を抜いて、代わりにy={y}のような集合を認める
公理AFAを入れても無矛盾である
例えば{x∈y|￢(x∈x)}の場合、空集合になる
683:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:23:23.22 YxiDM0Si.net
「圏の圏」は圏だとするとラッセルパラドックスを引き起こす
・・・ただし、古典論理を捨てれば、問題は解決できるかもしれん
――
「あいまいな本日の私」より
2007-09-20 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.1) : グリシン論理 (1)
体系 GS
さて、以下のように定義を与えます。
古典論理から縮約規則を除去した体系をグリシン論理（もしくはCFLew）と呼ぶ。
また、グリシン論理上で包括原理のみを持つ体系を GS と呼ぶ。
このとき
（定理） GSは無矛盾である
自己言及性の楽園
さて、この体系のすばらしい点は、包括原理がある訳ですから、
ラッセル集合が集合として存在することです。
「集合全体の集合」などもしかり。
それだけでなく、以下のような強烈な定理が成立します。
（再帰定理） GLにおいて、任意の論理式 P(x,y) に関して以下が成立する。
∃z∀x [x∈z ⇔ P(x,z)]
――
ヤベェ…鳥肌立ってきた（続く）
684:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:26:24.39 YxiDM0Si.net
>>630
しかし・・・うまい話には裏がある
ーーー
2007-09-22 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.2) : グリシン論理 (2)
さて、前回はグリシン論理上包括原理を持つ体系 GS の良い点、特に自己言及的集合の楽園であることをご紹介いたしました。今回は、GSの問題点についてご紹介いたします。
・外延性公理を仮定すると矛盾（ラッセル・パラドックス経由！）が導かれてしまう
：外延性を満たさないので、GS で定義される {x:P(x)} が「集合」の名に値するか疑問が残る
・古典的解析学や算術が十分に展開できない（っぽい）
・古典論理のタルスキ意味論に匹敵するような、わかりやすい意味論を持たない
ーーー
とんだぬか喜び・・・OTL （続く）
685:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:47:39.55 YxiDM0Si.net
>>631
しかし、ここであきらめるのはまだ早い
実はここから面白い
ーーー
2007-10-07 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2) : 多値論理
2007-10-07 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2) : ウカシェーヴィチ3値論理・・・失敗例
2007-10-13 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.3) : ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L・・・包括原理の限界
ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L
真理値が[0,1]の実数であるような、ウカシェーヴィチ多値論理の拡張を考えましょう。
・これは真理値として [0,1] 区間の実数全体（[0,1]={x: 0≦x≦1}）をとる。
・論理結合子に関して、以下の二つを持つ。v(A)を、論理式Aの真理値を定める付値とします。このとき
・否定 ￢に関して: v(￢A)=1-v(A)
・A→Bに関して： v(A→B)=min{1, 1-v(A)+v(B)}
・他の論理結合子（∧, ∨, etc.）は否定と→を組み合わせて作成する（A∨B は￢A→Bの略記、などなど）。
・v(∀xP(x))=inf{v(P(a): aはモデルのドメインの元}、同様に∃は￢∀￢で定義する。
∀L+包括原理の無矛盾性証明の困難・・・証明論的アプローチ編
∀Lは帰納的に公理化不可能であることが証明されています。
すなわち、 ∀Lのどんなモデルで真理値が必ず1となる文（1-tautology と呼ばれます）の集合は、
帰納的に枚挙可能ではない（Scarpellini 1962 による）。
従って、形式化する際には、Hilbert style + 無限個の推論ルールを持つ形で形式化するしかありません（Hay 1963）による）。
ちなみに、「∀Lの形式化」という言葉で意味しているのは、
∀Lの1-tautologyをちょうど導出するような、形式的体系のことです。
証明論的アプローチ：Whiteの無矛盾性証明
定理：White (1979)
Hは無矛盾である。
（∀L+包括原理の体系を、Hayによる無限的に形式化された体系上、
規則として包括原理に相当する abstraction rule を付け加えた論理体系を
H と名付ける（Hは Hay のHです））
Hとラッセル・パラドックス
ラッセル・パラドックスについて。
・Hではラッセル集合 R も存在する。
・R∈R の真理値も ￢(R∈R) の真理値も0.5
・ラッセル・パラドックスの推論 R∈R→￢(R∈R) の真理値は1、
その意味で正しい推論である（1-tautologyである）。
∀Lと縮約規則
論理 ∀L は、証明論的な視点からは、どのような特徴があるのでしょうか？
まとめると
・グリシン論理の拡張である：つまりグリシン論理で証明できる定理は全て証明できる。
・また、古典論理の部分論理である。∀Lが複雑な原因だった「無限的な推論ルール」とは、縮約規則の断片に対応している。
・つまり、グリシン論理／ ∀L／古典論理の差は、
縮約規則がどれだけ含まれているかのみであり、
その他の点では同一である。
つまり、図式にまとめると以下のようになります。
グリシン論理→→ウカシェーヴィチ無限値述語論理（∀L）→→古典論理
（縮約なし） （縮約規則の断片を含む） （縮約をフルに含む）
ーーー
686:１３２人目の素数さん
20/05/13 16:58:38 YxiDM0Si.net
>>632
ーーー
Hと再帰性・算術の展開
上の結果は、言い換えれば、包括原理でどこまで数学を展開できるか知りたかったら、
Hで数学が展開できれば調べればよい、ということです。
グリシン論理の時にお話ししましたが、包括原理は再帰定理と同値で、
再帰定理は（計算機科学の根幹である）再帰的計算の一般化です。
というわけで、Hは、再帰的計算によってどこまで数学が展開できるのか、
その限界を指し示すとも言えます。
では、具体的に見ていきましょう。
集合論 Hでは、
・もちろん外延性公理を仮定すると矛盾が起こる（グリシンのパラドックス）。
・再帰定理が証明できる。
再帰定理によって、自然数全体の集合ωが定義され、
その上の演算（足し算／かけ算など）が関係として定義される。
しかし、相変わらず関数として定義されるかどうかはまだわかっていない。
・古典論理上の算術と決定的に違う点は、以下の通りである。
数学的帰納法を仮定すると矛盾が導出される（Hajek 2004）。
っていうかH自身がω-矛盾である。
実際、インフォーマルな言い方をすれば、
全てのHの�
687:ｃfルにおいて、ωは超準的自然数を持つ。 ちなみに、この証明は、莫少揆のパラドックスの直接的な応用となります。 この結果は、数学的帰納法と一般化された再帰法は、極限において矛盾する、と言い直すことができます。 よく知られた結果ですが、タイプ理論等では、再帰オペレーター（recursor）を持ちながら 不動点オペレーターを持つ体系を考えることで、再帰法が使えるが数学的帰納法は成立しない体系を作ることができます。 古典論理上のタイプ理論とHで同様な現象が起こるという事実は、 古典論理上のタイプ理論での矛盾の導出がどれくらい弱い論理で可能であるかを 考察するという視点からも、研究する必要があるのかもしれません。 ーーー なんか、しまいのほうは「ω矛盾」とか 「数学的帰納法と一般化された再帰法は、極限において矛盾する」とか 実にオソロシゲなことが書いてありますね しかしこれこそが論理研究の醍醐味でしょう（ホンマけ？）
688:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 17:12:24 uMe8boWM.net
>>629
>ZFCではラッセル・パラドックスを防いでるのは分出公理図式
そうだね
フレンケル分出公理 1908年 {x ｜ x not∈ x} は構成できない
置換公理 フレンケル 1922年も同じ
正則性公理はジョン・フォン・ノイマン 1925年 、彼はどちらかというと 「∈」 が、”∈による順序が 等号を含まない ”＜”（不等号）” ということを規定した気がする（>>464ご参照）（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
パラドックスの回避
ツェルメロが ZF の元となる公理系を1908年に発表した最大の動機は、実数が整列可能だとする彼の証明を弁護することであった。
しかし、同時に彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、 ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。 これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。 例えば、ラッセルのパラドックスで用いられる
{x ｜ x not∈ x}
という集まりは ZFC の中では構成できないし、 リシャールのパラドックスで用いられる構成は論理式で記述できない。
正則性公理（基礎の公理） 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ：
正則性公理はジョン・フォン・ノイマンによって導入された（1925年）。
689:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 17:22:53 uMe8boWM.net
>>624 補足
> ”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
１．”violating the axiom of foundation ”は、当然ながら、公理系の中では許されない
２．では、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””とは、具体的に何なのか？ IUTでどういう役割を果たすのか？ きっと重要なのでしょうね、望月先生は一生懸命書いてあるから
３．なんとなく、”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops””を成り立たせるための仕掛けが、IUT IIIまでにしてあって
そこ、ショルツ先生に理解されなかったのでは？
きっと、奇妙に見えることをしているのでは？
で、ショルツ先生から「奇妙にしか見えない！」と ずばり指摘されて
「おまえは 分かっていない！！」と つい叫んでしまった 望月先生だった
という構図では、ないでしょうか？ｗ (゜ロ゜;
690:１３２人目の素数さん
20/05/13 17:25:51 YxiDM0Si.net
「圏の圏」を擬圏ではなく圏として実現するのであれば、分出公理図式のように
包括原理（内包公理）に制限を設ける解決策は捨てるしかない
その場合、論理自体を変えるしかない、というのが>>630-633
しかしその結果出て来てしまったのが
・数学的帰納法は矛盾する！
・ω矛盾
というオモシロ�
691:C＆オソロシイ副作用なのだった https://researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/76550/7861902ca4afc4b7eb278c2e4daa100b?frame_id=618697 （ぶっちゃけショルツの指摘がこの話につながると 面白いんだがなぁと勝手に妄想してる次第）
692:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 18:12:19.19 uMe8boWM.net
メモ：圏論と環の関係の資料
<ローヴェア理論>
URLﾘﾝｸ(www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.mi.i.nagoya-u.ac.jp)
圏と論理へのいざない・レクチャーノート
木原貴行 名大 情報学研究科 20200403
まえがき
本レクチャーノートは，元々は名古屋大学情報学部の講義のために作成した講義ノートを拡張したものである．
本稿を読むためには，数学系学科の学部初年度程度の集合算の知識（商集合など）と，代数学についてちょっと聞き齧ったことがある（たとえば群の概念を知っている）程度の知識があれば十分である．
P5
■代数構造による重み付け: 記号たちのなす代数構造を考えることによって，辺の重みの概念を統一的に扱いたい．代数構造としてよく知られるものとしては，群・環・体などがあるが，圏の理論で最も重要な役割を果たす代数構造は，それらのいずれでもなく，モノイドと呼ばれるものであ
る．
P29
§ 3. 自由代数，等式理論，ローヴェア理論
等式理論の定義を与えよう．ただし，次の等式理論と項モデルの項目は，その後のローヴェア理論（等式理論のグラフ図示・圏論化）に進むための中間ステップに過ぎないので，あまり理解できなくともローヴェア理論のところまで進んでしまって，等式理論とローヴェア理論を見比べながら読むといいかもしれない．
3.2. ローヴェア理論
等式理論のグラフ表示法として，ローヴェア理論(Lawvere theory) と呼ばれるものがある．
定義3.17. C を有限積を持つ圏であるとする．ある1 つの頂点□ ∈ C の有限積としてすべての頂点x ∈ C を表すことができるとき，C をローヴェア理論(Lawvere theory) と呼ぶ．
P41
環R を固定した上でのR-加群(R-module) などは，ローヴェア理論およびそのモデルとして取り扱える．しかし，たとえば，先ほどと同様にして，環R にも選択の余地がある場合には，環R とそれが作用する加群M の2 つの構造付き集合を指定する必要があり，ロー
ヴェア理論とならなくなってしまう．
このように，複数の集合が絡み合っている構造は，数学にはありふれている．このような構造も，ローヴェア理論の拡張として取り扱いたいと考えるのは自然であろう．この問題を解消するのが，多ソート(multi-sorted) の理論である．
693:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 18:14:53.68 uMe8boWM.net
>>636
>（ぶっちゃけショルツの指摘がこの話につながると
> 面白いんだがなぁと勝手に妄想してる次第）
ああ
そうなのか
それも面白いね
ぶっちゃけ、当方ヤジウマなので、そういう展開もあり。面白そうだ(゜ロ゜;
694:１３２人目の素数さん
20/05/13 19:52:53 YxiDM0Si.net
単純に面白いか否かでいえば
望月の証明がひっくり返されるほうが
断然面白い
695:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:00:40 fChrPFrq.net
>>639
>望月の証明がひっくり返されるほうが
>断然面白い
可能性は、３つ
１．ショルツのいうように、IUTは全然ダメ。箸にも棒にもかからない。修正不能
２．多少ギャップはあるが、成立しており、修正可能
３．パーフェクトに成立している
まあ、２でしょうね
３は、いまでもちょこちょこ直しているし、どうかな？
パーフェクトの定義にもよるが、語句訂正くらいはあるかな？
１って�
696:H 面白いがあり得ない。少なくとも、ショルツの指摘は間違い そうでないと、「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかないでしょ（＾＾；
697:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:17:17 fChrPFrq.net
>>637
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環の圏
(抜粋)
数学の特に圏論における（単位的・結合）環の圏（かんのけん、英: category of rings）Ring は、すべての（単位元持つ）環を対象とし、すべての（単位元を保つ）環準同型を射とする圏である。他の多くの例と同じく、環の圏は大きい（すなわち、すべての環の成す類は集合でない真の類である）。
具体圏として
環の圏 Ring は具体圏（英語版）、すなわちその対象は集合に追加の構造（いまの場合、加法と乗法）を入れたものであり、その射はそれら構造を保つ写像である。環の圏から集合の圏への自然な忘却函手（英語版） U: Ring → Set が、各環をその台となる集合へ写すことによって（つまり、加法と乗法という演算を「忘れる」ことによって）与えられる。
この忘却函手の左随伴 F: Set → Ring は各集合 X に X の生成する自由環を対応させる自由函手である。
環の圏を、アーベル群の圏 Ab 上の、あるいはモノイドの圏（英語版）[要リンク修正] Mon 上の具体圏と見ることもできる。具体的に、乗法あるいは加法をそれぞれ忘れることによって、二つの忘却函手 A: Ring → Ab および M: Ring → Mon が得られる（つまりA は環の加法群を取り出す函手、M は環の吸収元付き乗法モノイドを取り出す函手である）。
この二つはいずれも左随伴を持つ。A の左随伴は、任意のアーベル群 X に対し（それを Z-加群と見て）テンソル環 T(X) を割り当てる函手である。また M の左随伴は、任意のモノイド G に整係数モノイド環 Z[G] が対応する。
つづく
698:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:17:46 fChrPFrq.net
>>641
つづき
射について
数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring の任意の二対象の間には必ずしも射が存在するわけではない。これは（単位的）環準同型が単位元を保つという事実の反映である。例えば、零環 0 = {0} から任意の非零環への射は存在しない。環 R から S への射が存在するためには、S の標数が R の標数を割り切ることが必要条件である。
射集合が空となることがあってさえ、それでも始対象が存在するから、環の圏 Ring は連結（英語版）である。
部分圏について
環の圏 Ring はいくつも重要な部分圏を持っている。例えば、可換環、整域、主イデアル環、体それぞれの全体の成す充満部分圏などが挙げられる。
体の圏
体の圏 Field は、すべての可換体を対象とする CRing の充満部分圏である。体の圏はほかの代数圏のようにはよく振る舞わない。特に「自由体」（すなわち忘却函手 Field → Set の左随伴となるもの）は存在しない。したがって、Field は CRing の反映的部分圏ではない。
体の圏 Field は有限完備（英語版）でも有限余完備でもない。特に、Field は積も余積も持たない。
もう一つ体の圏 Field の著しい点は、任意の射が単型射となることである。
アーベル群の圏 Ab から擬環の圏 Rng への忠実充満函手が、各アーベル群を、それに自明な積を入れた零擬環に対応させることで与えられる。
(引用終り)
以上
699:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/13 20:33:18 fChrPFrq.net
>>641
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
環論
(抜粋)
基本的な定義と導入
全ての（単位的）環と環準同型を合わせて考えたものは、（単位的）環の圏とよばれる圏を成す。環論において重要な概念であるイデアルは、環準同型の核として得られる特定の種類の部分集合であり、剰余環を定義するのに用いられる。
イデアル、準同型および剰余環についての基本的な事実は、準同型定理および中国の剰余定理として述べることができる。
代数幾何学をモデルとして、非可換環上に基礎をおく非可換幾何学を構築しようとする動きもある。
非可換環および結合多元環（大雑把に言うと、環でもありベクトル空間でもあるようなもの）は、しばしばその上の加群の圏を通した研究が行われる。環上の加群とは、環が群自己準同型として作用するアーベル群であり、体（零元以外の元が全て逆元を持つような整域）がベクトル空間に作用するのと非常によく似た代数的構造になっている。
一般化
任意の環は単一対象前加法圏 (preadditive category) とみなすことができる。
従って、任意の前加法圏を自然に環の概念の一般化と考えることができるが、実際に環に対して通常考えられる多くの定義や定理を、もっと一般の前加法圏に対する文脈でも適当に翻訳して扱うことができる。
たとえば、前加法圏の間の加法的函手は環準同型を一般化するものであり、前加法圏のイデアルは射の集合であって、射の和と任意の射による合成とに関して閉じているようなものとして定義することができる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Ring theory
URLﾘﾝｸ(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
The development of Ring Theory
Algebra index History Topics Index
Article by: J J O'Connor and E F Robertson 2004
700:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:31:51.32 fChrPFrq.net
>>637
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
森田同値
(抜粋)
代数学において、森田同値（もりたどうち、英: Morita equivalence）とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
動機
環はその環上の加群を通じて研究されることが一般的である。これは加群が環の表現と見做せるからである。すべての環 R は環の積による作用によって自然に R 加群の構造を持つので、加群論的な研究方法はより一般的で有益な情報をもたらす。このような訳で、環についての研究はその環上の加群の成す圏を研究することによってしばしば為される。
この視点からの自然な帰結として、環が森田同値であるとはその環上の加群の成す圏が圏同値であることと定めた。
この表記方法は非可換環を扱っている場合にのみ興味の対象となる。なぜなら可換環が森田同値である必要十分条件は環同型であるからである。これは一般に森田同値な環の中心が環同型なことから従う。
定義
（結合的で単位元を持つ）環 R, S が（森田）同値であるとは、（左）R 加群の成す圏 R-Mod と（左）S 加群の成す圏 S-Mod との間に圏同値があることを言う。左加群の成す圏 R-Mod と S-Mod とが森田同値である必要十分条件は、右加群の成す圏 Mod-R と Mod-S とが森田同値であることを示すことができる[1]。
さらに圏同値を与えるどんな R-Mod から S-Mod への関手も自動的に加法的であることを示すことができる。
つづく
701:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:32:40.13 fChrPFrq.net
>>644
つづき
同値不変な性質
多くの性質が加群の圏の対象による森田同値を与える関手によって保たれる。一般的に、（台集合の元や環に依らずに）加群とその準同型のみで定義される加群の性質は、森田同値を与える関手によって保たれる圏論的性質である。
たとえば F(?) が R-Mod から S-Mod への森田同値を与える関手ならば、R 加群 M が次の性質をもつ必要十分条件は S 加群 F(M) がその性質を持つことである：入射的・射影的・平坦・有限生成・有限表示的・アルティン的・ネーター的。森田同値不変とは限らない性質には自由であることや巡回的であることがある。
多くの環論的性質はその環上の加群のことばで述べられるので、これらの性質は森田同値な環の間で保たれる。森田同値な環で共有される性質は森田不変量と呼ばれる。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Morita equivalence
(抜粋)
Significance in K-theory
If two rings are Morita equivalent, there is an induced equivalence of the respective categories of projective modules since the Morita equivalences will preserve exact sequences (and hence projective modules).
Since the algebraic K-theory of a ring is defined (in Quillen's approach) in terms of the homotopy groups of (roughly) the classifying space of the nerve of the (small) category of finitely generated projective modules over the ring, Morita equivalent rings must have isomorphic K-groups.
以上
702:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 21:48:24.01 fChrPFrq.net
>>644-645
１）森田同値ね（＾＾；
環上の加群の圏を考えるのが1つか
２）「任意の環は単一対象前加法圏 (preadditive category) とみなすことができる」（>>643）か
３）環の圏という考えがある。これは、結構普通ですね
４）だれか、「環が２圏」（2-圏は下記）とか間違って、David Roberts氏に突っ込まれていた。が、そんな間違いは 私でも分かるぜよｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
小さい圏の圏
(抜粋)
数学の特に圏論における（小さい）圏の圏（ちいさいけんのけん、英: category of small categories）Cat は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、Cat は自然変換を二次元の射（英語版） (2-射) とする二次圏（英語版） (2-圏) を成すものと見なせる。
Cat の始対象は対象も射も持たない空圏 0 であり[1]、終対象はただ一つの対象とただ一つの射（唯一の対象上の恒等射）のみからなる圏 1（自明圏あるいは終圏という）である[2]。
小さい圏の圏 Cat それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理（の圏版）を避けるには「すべての（小さいとは限らない）圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi-category[注釈 1] of categories) CATを考える[注釈 2]ことはできる（擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない）。
性質
圏の圏 Cat は、各圏に対してその恒等射と射の合成を忘れることにより、箙の圏 Quiv への忘却函手（英語版） U: Cat → Quiv が定義できる。この忘却函手 U の左随伴 F: Quiv → Cat は各箙にそれが生成する自由圏（英語版）を対応させる自由函手である。
注
注釈
1^ 高次圏論において、これとは異なる意味で (∞-圏のモデルとして) quasi-category（英語版） という語が用いられる[3]が、それと混同してはならない
2^ CAT in nLab などを見よ
703:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 22:18:39.96 fChrPFrq.net
「Joyal の species の理論 (カテゴリー論的母関数の理論) 」か（＾＾
なるほど
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
組合せ論におけるカテゴリー論的方法(代数的組合せ論とその周辺)
Author(s) 吉田, 知行
Citation 数理解析研究所講究録 (2006), 1476: 120-126
Joyal の species の理論 (カテゴリー論的母関数の理論)
●種 (species) の$\text{理_{}\vec{\mathrm{n}}\mathrm{R}}^{\mathrm{a}\mathrm{A}}$ (Joyal 1981). これは母$\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash \text{数^{}\prime}$の$\text{理_{}\overline{\beta}\vec{\mathrm{R}}\mathrm{R}}^{\neq \mathrm{A}}$ のカテゴリー化
として有名である. bij を有限集合と全単射のなすカテゴリーとする,
種species) とはファンクター $M$ : bij $arrow \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}$ のことである.
ただ, bij はきわめて良くないカテゴリーである.
704:１３２人目の素数さん
20/05/13 22:53:29.47 1AYYOpy0.net
猫に小判
705:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 23:00:09.66 fChrPFrq.net
メモ
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Francois Bergeron, Mathematics, UQAM
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Publications Francois Bergeron, Mathematics, UQAM
＜ Species＞
URLﾘﾝｸ(bergeron.math.uqam.ca)
Introduction to the Theory of Species of Structures
Fran，cois Bergeron, Gilbert Labelle, and Pierre Leroux
November 25, 2013
706:現代数学の系譜 雑談
20/05/13 23:02:56.82 fChrPFrq.net
>>648
ブタに真珠 も
いやね、＜ Species＞と
IUT IV（>>624）
”the notion of a species allows one to “simulate ∈-loops” without violating the axiom of foundation of axiomatic set theory - cf. the discussion of Remark 3.3.1, (i).”
の関係というか、繋がりを探しているが
どうも “simulate ∈-loops”？（＾＾；
という感じなんだ(゜ロ゜；
707:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 00:16:07.21 xfdjzzyp.net
>>650
補足
１．今まで調べた ＜ Species＞の中には ∈-loopsとかが出てくる箇所がない
つまり、 ＜ Species＞は 一般の組合わせ論（いわゆる数え上げ論）みたい
２． ∈-loopsの話は、IUT側から出てくる話で
IUTの「同義反復的解決」（>>603）と関連する話みたいだな
３．なんで、 ∈-loops？
例えば、 ｘ＝ｘとか ｘ≡ｘとか、同型とか 全単射とか 、それじゃダメ！！ ってことなのです
多分、「同義反復」は、自己言及（>>607）や 広い意味での再帰的定義（>>612）みたいなこと
それを IUTではやっているのではないだろうか？
もし そうであれば、２階述語という話だが
圏論は、”高階論理との親和性がある”（>>614）というから
それなら、問題ないのかも？
もう少し調べてみよう（＾＾；
708:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 07:39:00.45 xfdjzzyp.net
あんまり関係ないが、メモ貼る
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Algebraic combinatorics
(抜粋)
Algebraic combinatorics is an area of mathematics that employs methods of abstract algebra, notably group theory and representation theory, in various combinatorial contexts and, conversely, applies combinatorial techniques to problems in algebra.
Contents
1 History
2 Scope
3 Important topics
3.1 Symmetric functions
3.2 Association schemes
3.3 Strongly regular graphs
3.4 Young tableaux
3.5 Matroids
3.6 Finite geometries
History
The term "algebraic combinatorics" was introduced in the late 1970s.[1] Through the early or mid-1990s, typical combinatorial objects of interest in algebraic combinatorics either admitted a lot of symmetries
(association schemes, strongly regular graphs, posets with a group action) or possessed a rich algebraic structure, frequently of representation theoretic origin (symmetric functions, Young tableaux).
This period is reflected in the area 05E, Algebraic combinatorics, of the AMS Mathematics Subject Classification, introduced in 1991.
Scope
Algebraic combinatorics has come to be seen more expansively as an area of mathematics where the interaction of combinatorial and algebraic methods is particularly strong and significant.
Thus the combinatorial topics may be enumerative in nature or involve matroids, polytopes, partially ordered sets, or finite geometries. On the algebraic side, besides group and representation theory, lattice theory and commutative algebra are common.
709:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 07:57:19.75 xfdjzzyp.net
>>637
><ローヴェア理論>
下記の Lawvere Ph.D. thesis は、一読の価値あるな
”The authors comments are F. William Lawvere, 2004.”の部分
710:だけでも、読んでおく価値がある！（＾＾ http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5abs.html Functorial Semantics of Algebraic Theories and Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories F. William Lawvere Originally published as: Ph.D. thesis, Columbia University, 1963 and in Reports of the Midwest Category Seminar II, 1968, 41-61, The authors comments are F. William Lawvere, 2004. http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra Universal algebra (sometimes called general algebra) is the field of mathematics that studies algebraic structures themselves, not examples ("models") of algebraic structures. For instance, rather than take particular groups as the object of study, in universal algebra one takes the class of groups as an object of study. History Starting with William Lawvere's thesis in 1963, techniques from category theory have become important in universal algebra.[9] Footnotes 9 Lawvere, William F. (1964), Functorial Semantics of Algebraic Theories (PhD Thesis) https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory Category theory Historical notes Main article: Timeline of category theory and related mathematics https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics Category theory may be viewed as an extension of universal algebra, as the latter studies algebraic structures, and the former applies to any kind of mathematical structure and studies also the relationships between structures of different nature.
711:１３２人目の素数さん
20/05/14 09:37:15 yUsAr7Ai.net
>>640
＞可能性は、３つ
＞１．ショルツのいうように、IUTは全然ダメ。箸にも棒にもかからない。修正不能
＞２．多少ギャップはあるが、成立しており、修正可能
＞３．パーフェクトに成立している
その３つではないな
A．IUT理論の前提は無矛盾であり、系3.12の十分条件となっている
（注：望月の証明が記載として十分かどうかとは別）
B．IUT理論の前提は無矛盾であるが、系3.12の十分条件ではない
つまりIUT理論をの前提を満たしていても、系3.12が不成立となる反例がある
C．そもそもIUT理論が矛盾している
＞まあ、２でしょうね
あなた個人の願望として、うけとっておきます
私の分類でいえばAですね
＞１って？面白いがあり得ない。
＞少なくとも、ショルツの指摘は間違い そうでないと、
＞「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかないでしょ
「査読にミスがない筈」というのも、あなた個人の願望としてうけとっておきます
ショルツの指摘が私の分類でのBなのかCなのかはよくわかりませんが
Cなら望月にとって大打撃ですね 実に面白いｗ
Bでも望月にとっては打撃ですね ただこれはテクニカルな話になりそうなので
素人にとってはチンプンカンプンでつまらなそうだ
個人的にはC、しかも素人にも分かる大穴を希望します ｗｋｔｋ
712:１３２人目の素数さん
20/05/14 09:49:53 yUsAr7Ai.net
>>651
Joyalのspeciesは望月のspeciesとは無関係ですよ
言葉だけで検索するとドツボにはまります
713:１３２人目の素数さん
20/05/14 10:03:12 Yps2d5Sj.net
>>654
ショルツの指摘は、ショルツ的にはCだろうが、
IUTeich [Alien]で、Example 3.11.4.のように、反例で扱かならば、、
Bなのだろうね。
A～Cの分類だと、８年前から、そのままで何も変わってない ｗ
714:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:04:46.47 Nw2MXZic.net
>>640
>少なくとも、ショルツの指摘は間違い
そうでないと、「査読OK」の記者会見をした事実が、説明つかない
さすがはIUT密教コピペ信者さん
いわしのあたまも信心から
715:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:06:56.23 +/wwAOsh.net
>>654
えーと、まず
私ら、世の中を現実的にしか見ませんので（妄想が激しくなったら お薬を飲みましょう）
もう少し下のレベルの論点を 以下
＜論点整理＞
論点１．査読は何をしたのか？
論点２．査読の記者会見の意味は？
論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？
論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？
論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？
さて、
論点１．査読は何をしたのか？：
当然、査読したのです！ｗｗ（＾＾
プロ数学者 複数が、IUT論文は正しいと判断した！（＾＾
論点２．査読の記者会見の意味は？：
多分 何か意図があったのでしょう！ｗ
おそらく、IUT国際会議の前の発表したかったのでは？
論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
さあ？ｗ
少なくとも、査読陣とRIMS会見の玉川＆柏原両氏は、「SSレポートにダメ出し」です
論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？：
国際会議は中止になりました。新型コロナの影響で
数学界も同じで 対面の議論はできない。でも、テレワーク風の会議なりの工夫は出てくるのでは？
ヤジウマとして 期待しています（少なくとも、５月予定の会議の論文は集まっているはずなので、それをネタとして何かやれると思いますが）
論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？：
それは、とてつもない影響を、数論研究に及ぼすでしょうね
なにせ簡単な式ですからね
”a+b=c”これだけで終りです
三つ組み（a,b,c）に、ある関係（不等式）が成り立つ
簡単すぎて、どこにでも影響しそうです
それ以外に、楕円曲線のSzpiroとか、Vojtaとか、どこまで定理になるかとか
影響、大きすぎです！ｗ これから、もっと議論になるでしょうね
論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？：
Woitブログの9割は、IUT素人のヤジウマ
５ｃｈの10割は、IUT素人のヤジウマ
皆でIUT祭りを、楽しみましょう～！！ｗ（＾＾
以上
716:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:07:52.96 +/wwAOsh.net
>>657
コメントありがとう
>>658をばｗ（＾＾
717:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:13:59.41 +/wwAOsh.net
>>656
どうも
コメントありがとう
>A～Cの分類だと、８年前から、そのままで何も変わってない ｗ
Woitブログの9割の IUT素人のヤジウマ達にはそうでしょうね
しかし、ABCが定理とか、楕円曲線のSzpiroとか、Vojtaとか、どこまで定理になるかとか
そういうことを考えなければいけない、IUTに近い分野の研究者にとっては
対岸の火事ではすまない
１）火消をする、２）家事から避難する、３）その他
の３択しかない
”３）その他”というのは、ABCが定理とか認めて、その先を研究するという意味ですがね
さあ、どうなっていくのでしょうか？ お楽しみ お楽しみ～ｗ
718:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 11:15:24.38 +/wwAOsh.net
>>660 誤変換訂正
１）火消をする、２）家事から避難する、３）その他
↓
１）火消をする、２）火事から避難する、３）その他
分かると思うが（＾＾；
719:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:34:38 44IPwDRu.net
>>658
>論点１．査読は何をしたのか？：
>当然、査読したのです！ｗｗ（＾＾
>プロ数学者 複数が、IUT論文は正しいと判断した！（＾＾
人数非公表、査読者非公表、査読プロセス非公表（普通のことではあるが）なので、
査読が正しく行われた保証はない
そもそも誰も「正しい」とは言ってなくね？
ジャーナルが論文アクセプト = ジャーナルが論文の内容は正しいと判断
ではない
720:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:39:09 oGJAKvwN.net
記者会見
「望月教授自身が反論もしており(ショルツからの)再反論もない」
「(査読過程は)墓場まで持っていく」
こんなんで身内査読を信用するのは無理だわ
721:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:45:39 yUsAr7Ai.net
>>658
＞私ら
「私は」ですね
「自分以外の仲間がいる」というのは妄想なので薬を飲みましょう
＞世の中を現実的にしか見ませんので
「私も」ですよ
おかしいですね
＞＜論点整理＞
＞論点１．査読は何をしたのか？
只、論理をトレースしただけじゃないですかね
しかも、誤りを見つけるつもりで見てない
プロって具体的に誰ですかね
玉川、サイード、フェセンコ、・・・
みなさん、望月氏のお仲間ですからね
見る目が甘いんじゃないですかね？
＞論点２．査読の記者会見の意味は？
数学的には無意味でしょう
つまり、意味があるとすれば、数学以外のことでしょうね
＞論点３．SSレポート vs IUT論文 はどうなった？
どうなったんでしょうね？
少なくとも柏原氏は何も具体的に言及してないので
ただ記者会見の場にいただけで
「柏原氏はSSレポートを１から１０まで理解した上で完全否定した！」
というのは妄想でしょう おクスリのみましょう
＞論点４：国際会議は？ 数学界での議論は？
前者はいくらやっても無駄っぽいですね
後者も望月氏の側から説明がないかぎり
「理解不能」でほっとかれますね
＞論点５．もしIUT理論が正しいとしたら？
理解不能じゃ、意味ないでしょうね
あなたのいうのは
「ABC予想が正しいとしたら」であって、
「IUT理論が正しいとしたら」じゃないので
IUTの有用性については全く語れてません
＞論点６．皆 IUT素人のヤジウマでしょ？
ワイルズのフェルマー予想の証明 理解して活用しました？
ペレルマンのポアンカレ予想の証明 理解して活用しました？
してないでしょ？
つまり、素人的には無風ってことですよ
722:１３２人目の素数さん
20/05/14 11:59:53 yUsAr7Ai.net
じゃ、今度は、こっちから反撃
論点７．もしIUT理論が間違ってたとしたら？
そりゃもう大騒ぎさｗ
え？プロがよってたかって査読してミスが見つけられなかった？
世界の柏原が出席したあの記者会見は茶番？
SSレポートに対する「∧と∨の取り違え」の反論は何だったの？
そしてきっとこんな本が出る
「IUT理論 －そして世界が騙された－」
数学史に残る大事件だな wktk
723:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:00:29 oGJAKvwN.net
結局望月のSSレポートに対する反論の以下の問題も解決してないよね
946 １３２人目の素数さん sage 2020/04/15(水) 00:08:10.06 ID:9qDykosb
S・Sレポ8月版のRemark 5について拘っている人たちがいるが、これは逆に望月氏の方が恥ずかしい議論だよ。
S・Sはあっさり書いているが、当然望月氏も知っているはずだろうと思って書いていたはず。
これは“Faltings’ theorem (Shafarevich conjecture) applied to the Weil restriction”した場合の話だよ。
Finite Weil restriction of curves
URLﾘﾝｸ(link.springer.com)
S・Sからすればどちらが学部・修士レベル何だろうね、ということになる。
724:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:06:12 yUsAr7Ai.net
>>663
＞「(査読過程は)墓場まで持っていく」
メロドラマ風展開
T川「「な、いいだろ？」といってムリヤリ・・・」
M月「何云ってるんだ！君も合意の上だっただろ」
ワイドショーMC「この展開、どう思いますか？ゲストの新垣結衣さん」
新垣結衣 「なんか気持ち悪いですね。数学者ってもっとロマンチックな人かと思ってました」
ワイドショーMC「同じくゲストの長澤まさみさんは如何ですか？」
長澤まさみ 「ま、数学者っていってもオトコですからね。こんなもんすよ。ハハッ」
725:１３２人目の素数さん
20/05/14 12:38:07 eTzTtea+.net
>>658
＞少なくとも、査読陣とRIMS会見の玉川＆柏原両氏は、「SSレポートにダメ出し」です
根拠は？
「ショルツ氏は「望月教授は実質的な反論をしていない」と語った。」
ということのようだが
726:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 13:50:22 +/wwAOsh.net
>>662-668
みんな、面白いな～（＾＾
よく分かるけど
ちょっと、事実を曲げちゃ おかしいよね
確かに、玉川先生プレス慣れしていないし
プレスの記者（文系さん）への説明も下手
だから、想定問答集も作っていなかったのでしょね（＾＾
プレス用レジュメも、つくっていなかったのか？ｗ
＜私なら、想定問答集を作っておくね＞
ダ玉川その１：「ショルツ氏は「望月教授は実質的な反論をしていない」と語った。」
Ｇ玉川その１：「ショルツ氏のレポートは、査読陣も検討し、問題ないと判断した。なお、ショルツ氏のその後の反論もない」
ダ玉川その２：「(査読過程は)墓場まで持っていく」
Ｇ玉川その２：「査読は適正に行われた。それは私も確認した。但し、査読者の名前は普通は公開しない。今回も同じ。望月論文は正しいと思ってもらって良いです」
ダ玉川その３：「(SSレポートなど数学の専門的事項について、完全にスルーしてしまったのだった）」
Ｇ玉川その３：「(SSレポートなど数学の専門的事項について）今日は、一般のマスコミ向けの会見です。数学の専門的な議論は、今年の国際会議や、日本数学会あるいは、海外の数学会の場で議論していく予定です。新たな動きがあれば、またプレス発表して行く」
（”ダ玉川”、”Ｇ玉川”は、未定義用語とする）
なお、ついでに 朝日の海外に異論ありの記事がダメなのは、「数学者という人種の特性が分かっていないから」です
IUTの場合、数学者にとってIUT論文は望月HPに掲載されているのは事実で、一般プレス発表などでは、数学の専門的な内容が殆ど皆無だから
「納得できない」というのは、当然のことです（想定内です）（＾＾
記事書くなら、もっと、日本の数学者とかの意見を取材して書けよと言いたいですね（「IUTダメ」の意見でも良い） （＾＾；
727:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:18:41 yUsAr7Ai.net
>>669
＞Ｇ玉川：「望月論文は正しいと思ってもらって良いです」
＞（”Ｇ玉川”は、未定義用語とする）
Ｂ玉川ではなく？
今後の魔展開
ＰＳルツ「ＩＵＴ論文の矛盾を証明したので論文書いた！」
Ｍ月Ｓ一「ガッデェェェェェム！！！」
Ｋ原Ｍ樹「私はただ頼まれて記者会見出ただけだからね！」
ＭＳ文 「記者会見の出席断ってよかった・・・」
Ｎ島Ｈ 「・・・なんかあったんですか？」
728:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:23:40 44IPwDRu.net
なんだ、結局ただの妄想か
729:１３２人目の素数さん
20/05/14 14:32:13 vu4SAa7P.net
まーたアンチが騒いでるのか。
730:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/14 14:54:54 wmtQoKkt.net
100%正しい事なら命も全財産も賭ける事ができる､
間違ってたら全身束縛しノコギリで3週間かけて凌遅刑、途中で唐辛子を摺り込む｡
731:１３２人目の素数さん
20/05/14 15:07:20 eTzTtea+.net
>>669
>「数学者という人種の特性]
ってなんすか
732:１３２人目の素数さん
20/05/14 15:54:38 yUsAr7Ai.net
>>673
「無矛盾で完全な数学」の夢がゲーデルの不完全性定理によって
打ち砕かれた後のヒルベルトの落胆は察するに余りある
733:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:18:39 VrX8wCNY.net
自称おっちゃんです。
>>580
私は、削除された旧ガロアスレのどこかにオイラーの定数γの有理性の証明を書いたことがある。
◆e.a0E5TtKE や、◆e.a0E5TtKE からよく「ピエロ」とか「おさる」と呼ばれている人物などのような、
どう見ても、一定数の旧ガロアスレの関係者はこのことを知っている筈。
734:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:21:23.23 44IPwDRu.net
間違っていたのか
735:現代数学の系譜 雑談
20/05/14 17:24:16.22 +/wwAOsh.net
>>674
>>「数学者という人種の特性]
>ってなんすか
お答えします
「数学者という人種の特性]は
１．訳も分からず 証明を読みたがる
２．訳も分からず 厳密性を求めたがる
３．訳も分からず 偉い人のいうことも 疑う性格になっている
４．訳も分からず 些末なギャップに拘る
５．訳も分からず 大所高所の視点を持とうとしない
こんなところですかね？（＾＾；
私ら工学系ですからｗ
１．訳が分からんから 証明などは ななめ読みｗ
２．訳が分からんから 厳密性よりも 全体の流れで 成否を判断する
３．訳が分からんから 偉い人だからというよりも ”この人は信用できるかどうか” を見抜くようにしている
４．訳が分からんから 些末なギャップは無視。どうぜ、そのうちだれかが指摘手直すだろう。但し、自分が気づいたら、そこはチェックする（アリの一穴から全体が崩れるときもあるから）
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点をからの判断を優先します
とまあ、こんな感じですｗｗ(゜ロ゜;
なお、IUTの証明は、私は 読む気は全く無く ただ眺めています（なお、眺めているだけで、分かることも多い）
前にも書いたけど、だれかが エグゼクティブサマリーレポートを書いてくれたときに、それが読めるようにｗ（＾＾
736:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:30:02.15 VrX8wCNY.net
>>677
余り具体的な間違いは指摘されたことがない。
◆e.a0E5TtKE からよく「ピエロ」とか「おさる」と呼ばれている人物
からは背理法について数理論理と絡めて批判されたことがある。
それで激しい口論をしたことはある。
737:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 17:32:46 +/wwAOsh.net
>>676
おっちゃん、どうも
>私は、削除された旧ガロアスレのどこかにオイラーの定数γの有理性の証明を書いたことがある。
１．削除されたのは、最終スレNo84のみで、テンプレ貼りまでしか使われていない
２．旧ガロアスレの初代からNo83までは、Dat落ちしただけであって、読もうと思うば、いまでも読めるよ
３．「オイラーの定数γの有理性の証明」なんてのは、万一証明が正しいとしてもｗ、こんな５ｃｈに書ききれるはずがないので、PDFでも作って公開することをお薦めしたはず
以上です（＾＾；
738:１３２人目の素数さん
20/05/14 17:34:17 2NOWxv+e.net
安達さん…主様…
おっちゃんさんも…
…勘悪ｽｷﾞ… (絶句…
739:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/14 17:38:53 +/wwAOsh.net
>>678 タイポ訂正
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点をからの判断を優先します
↓
５．訳が分からんから 常に大所高所の視点からの判断を優先します
分かると思うが（＾＾