20/05/10 19:46:55 mjl0bfS3.net
>>418 追加
（>>410再録）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
>>309より
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29
P10
I.2 The Axioms
Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)
Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y
Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y))
Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x))
Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z)
Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A)
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合
Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y)
Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合
ZFC = Axioms 1-9. ZF = Axioms 1-8.
さて、いま気付いたが、これ 面白いね（＾＾
Kenneth Kunen 先生の流儀では、空集合Φの存在は、公理ではなく、定理なんだ～！
（多分、”Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)”を使うのだろうね。これは Kenneth Kunen流で 普通のZFCにはこれは存在しない！）
一方、普通のZFCでは、空集合の（存在）公理で与えられているね（下記の wikipediaとか渕野PDF ご参照）
つづく