20/05/10 12:53:54 mjl0bfS3.net
>>404 補足
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
(引用終り)
＜補足＞
１．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:”
で、これらを定義しているのだが
２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて
左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの
３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです
迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を
公理から 構築すべき or 構築できる
それぞ、公理主義です
論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？
いやいや、 論理式 ψ は 決められた公理の組合わせ以外は、認められませんねぇ～ｗ
チコちゃん、５歳だったかねぇ～、基礎論ごっこ なんかしてぇ～ｗ えらいね～ｗ
まず、「公理主義とは？」からの、お勉強ですね（＾＾