20/05/09 14:07:10 Mxr6sv2r.net
>>350
C++さん、どうも
レスありがとう
> 64 bit 浮動小数点ではどうにもならない場合には、自分で多桁のコードを書かなくちゃいけないから大変ですよ
そうですよね（＾＾；
377:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 14:14:08 Mxr6sv2r.net
>>351 補足
（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.morikita.co.jp)
森北出版
多倍長精度数値計算
GNU MP，MPFR，QDによるプログラミング
静岡理工科大学教授博（理）幸谷智紀(著)
コンピュータ上で任意の有効桁数の演算を扱う，「ソフトウェアベース多倍長精度数値計算」の解説書．
多倍長計算環境を設計するための理論的基礎・計算アルゴリズムに加え，C/C++による多倍長計算ライブラリ（GNU MP，MPFR，QD）のプログラミングテクニックや，実装の際に問題となる演算の高速化手法についても詳しく解説．
高精度計算に携わるエンジニアにおすすめの一冊．
URLﾘﾝｸ(www.jicfus.jp)
PukiWiki 1.5.0
[JICFuS Wiki]
多倍長精度計算
Last-modified: 2015-02-27 (金) 12:21:33 (1898d)
倍精度では計算精度が足りない場合や、精度を変えながら計算結果を検証しなければならない場合があります。そのような場合に必要になる多倍長精度計算の手法について便利な情報をまとめています。事例などありましたらぜひ jicfus-support-at-ccs.tsukuba.ac.jp（-at-を@にして下さい）までお寄せ下さい。
JICFuSレポート 多倍長精度計算についての調査 †
多倍長精度計算フォーラム †
「多倍長精度計算については、複数のソフトウェアが日本でも開発され、並列計算による高速化が期待されており、アプリケーション開発者との情報交換がより求められる時代になってきています。
このような状況のもと、本フォーラムでは、多倍長精度計算ライブラリ開発者、多倍長精度計算を実現するハードウェア開発者およびアプリケーション開発者が 一同に会し情報交換や共同作業などを通じて研究活動の促進を行うための人的ネットワークの構築を目指しています。」 (「第2回研究会のご案内」より)
多倍長精度計算フォーラムへのリンク
URLﾘﾝｸ(suchix.kek.jp)
378:１３２人目の素数さん
20/05/09 14:24:04 cPsklcPa.net
多倍長電卓LM使ってる。これ更新してないけどな。
379:１３２人目の素数さん
20/05/09 14:43:59 G1CYiQB/.net
自前で作るのもいいが、今なら任意精度演算がサポートされたソフトを使えばいい
有名どころだけでも、MathematicaとかMaximaとかMATLABとか色々あるぞ
380:１３２人目の素数さん
20/05/09 14:52:03 cPsklcPa.net
テトレーションの入力に対応した多倍長計算ないかな？
2^^5とか。
381:１３２人目の素数さん
20/05/09 14:53:15 L/vxUjcX.net
加藤和也さんとかは少し読んだりしたのかな。
382:IUT応援団 団員
20/05/09 15:25:56.73 j9hCxaDC.net
団長は自分の身の丈にあった多倍長計算の話でもしててくださいｗ
383:IUT応援団 団員
20/05/09 15:32:03.18 j9hCxaDC.net
>>351
やればできる話なら「やってください」で終わり
384:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/09 16:13:58 FS/ppdZ4.net
この自称応援団員は本当にあのBABYMETALすぅ学者じゃ無いんかい？
385:IUT応援団 団員
20/05/09 16:25:17 j9hCxaDC.net
>>359
知らんがな
それはさておき、こんなスレッド立てたので
よかったら書いてみて
なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
386:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 16:57:39 Mxr6sv2r.net
>>359-360
387: てへぺろ☆(・ω<)さん？（下記）（＾＾ お元気そうですね あのとき 時枝の話では、邪魔だったので、お引き取り願ったがｗｗ ここ IUTでは、”また～り” していってください（＾＾ 「団長は自分の身の丈にあった？」 身の丈あってますよ 私ら、IUTなんて数学ではなく 数学メロドラマ（望月語録よりｗ（＾＾ ）として ヤジウマとして 楽しんでいますのでね(゜ロ゜; いまから、望月IUTオセロの はじまり、 はじまりぃ～！！ ｗ（＾＾ （参考） 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/5 (抜粋) 9) てへぺろ☆(・ω<)さん 70 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560684578/842 この人、ほんとはレベル高いみたい（＾＾ （以下参考）“T大卒じゃなくN大卒、という設定で（設定かよ！）” “私もその昔、数学科というところで学んでたんですが どうしても興味が向かない分野ってのがあって その一つがガロア理論だったんですね（をひ ああ、こりゃ俺、数学無理だなと思って 計算機関係に方向転換しましたけどね” ですが、記憶が5分しか持たず、時枝問題でトンチンカンなので、撤退頂きました。まことに、残念でしたが（：ｐ
388:IUT応援団 団員
20/05/09 17:05:54 j9hCxaDC.net
>>361
てへぺろ・・・知らないなあ
ちなみに私の出身大学はT大でもN大でもないですね
もっと局所的な地名が付いてますｗ
ついでに新スレになんか書いてみて
＃ついに浪人買っちまった、ヤベェ
389:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 18:51:04 NFbqSkQk.net
>>362
IUT応援団 団員さんか
てへぺろ☆(・ω<)さん とは別人？
まあ、良いわ
どうも、おサル（>>2）とは、別人かも という気はしてきたね
また～り して言って下さい（＾＾；
390:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 19:31:20 NFbqSkQk.net
>>362
ID:j9hCxaDCは
やっぱり、おサルさんかｗｗ
IUT 本スレ Inter-universal geometry と ABC予想 52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:568番)-
568 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/05/09(土) 16:37:29.00 ID:j9hCxaDC [11/24]
>>566
で「ＺＦＣの公理は九つではない」というのは
「は？欅坂？笑わせるな BABYMETAL最高！」
とかいう難癖とは異なる
574 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/05/09(土) 16:46:10.74 ID:j9hCxaDC [14/24]
あ、字間違ってましたｗ
誤 「平手友理奈はカリスマ！」
正 「平手友梨奈はカリスマ！」
597 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/05/09(土) 17:21:32.39 ID:j9hCxaDC [20/24]
あくまで脱線
>>589
＞「欅坂46めっちゃ可愛い」
可愛いと思ったコは菅井以外みんなやめちった
ずーみん、ねる、すずもん・・・なんでだ
＃てちはただのガキ
609 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/05/09(土) 18:53:56.06 ID:j9hCxaDC [24/24]
ま、みんな知らないと思うけど、SU-METALはポンコツ
ちなみに、乃木坂４６にいた姉は頭もいいし運動神経もある
391:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 19:51:01 NFbqSkQk.net
「公理が9個」と 「ZFCGがZFCの保存的拡大」と
本スレ（下記）で、ようやく決着したようだね（＾＾；
（参考）
Inter-universal geometry と ABC予想 52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:584番)
588 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2020/05/09(土) 17:14:37.57 ID:JNaCPHC5
>>584
公理の件はむしろ突っ込んでる人の半可通ぶりから来てる混乱としか思えんのだが
「公理が9個」これは実際～axiomと名の付いた公理9個からZFCが作られてるから問題ない
公理の数の話と、表現する論理式の数の話を混同してしまってる人がおかしい
あと少なからずの読者が云々とあるが、匿名じゃない意見で「公理が9個」を批判してる人はいるのか？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:606番)
606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz [5/5]
>>588
ZFCの話は、2012年のタオの指摘に乗っかって、
>>324が
＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる
と書いてガゼで
392:主張しただけだよ。 IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。 concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e., roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and, moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model” ＞ZFCの9個の公理 のIUT-4の記載部分は、投稿版も最終版も、以下記載だったが、修正されてないので此処は問題でないよ。 ”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice - cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].” だいたい [Drk], Chapter 1, §3].の出典元の引用で、些末なことで、タオが此処を問題しないと思うよ。 だから確認したら、此処とは違うところの指摘だよ。 ＞ZFCの9個の公理だの間違えまくってる、は、>>324の意見に過ぎないよ。 それにタオの指摘で直ってなければ、>>324氏ではなくて、 Woitブログ等が「タオ指摘の誤りが直されてない、査読おかしい」と騒いでいるよ ｗ
393:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/09 20:00:24 NFbqSkQk.net
>>356
>加藤和也さんとかは少し読んだりしたのかな。
同意
おれも、加藤和也さんに、IUTを読んで、評論してほしい気がするが
ド素人の ”どてカン” では、さすがの加藤和也さんにも、IUTは普通では読めないように思う
なんせ、書き方が不親切
普通の数学者に読ませるつもりで書いていない
でもね、気持ち分かる
500ページも（いま600ページに増えた） たしか４年くらい 黙々と 脇目もふらず 標高9000ｍ 未踏峰のIUT山頂を目指して 必死に登る人に
「分り易く」なんてのは、後の話だ。まずは、頂上に到達することが先なんだよ（頂上に到達できるかどうかは、登る途中では未確定なんだ）
だいたいが、大論文なんてそんなものよ
500ページ～600ページ書く人は、必死なわけよｗ（＾＾
余計な気をつかったら、４年で書けるところが10年かかるかもしれないし
どう理解してもらうかは
いまからの話でいいんだ！（＾＾
394:１３２人目の素数さん
20/05/09 21:02:02 n/TmMCGt.net
いや、self-evidenceのレクチャーノートの時点でどう思っているかは明らかでしょw
395:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 06:28:06 mjl0bfS3.net
>>367
どうも
コメントありがとう
「self-evidenceのレクチャーノート」とは？ その定義は？（＾＾；
396:IUT応援団 団員
20/05/10 07:18:50 vZYbiwt9.net
>>364
＞やっぱり、おサルさんか
誰ですか？
ああ、そうそう、団長に「チコちゃん」から伝言です
「今後、掛け算の順序交換スレでは
以下のＨＮで書き込むこと
ＨＮ：上からコピペ」
いい名前じゃないすか 団長の数学板人生が凝縮されてますよ
397:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 08:21:46.90 mjl0bfS3.net
>>309 （>>369も？ｗ）補足
>>最初から、９個がダメとか言い出したら、それ 「分かり易い説明」としては、失敗していると思う（＾＾；
>キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
>キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1?9. ZF = Axioms 1?8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；
＜だめ押し＞ｗ（＾＾
まず、半可通が わーわー騒ぐ 「論理式 ψ をパラメータとする公理図式」の話
下記ご参照
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
ZF 公理系
・置換公理 "関数クラス"による集合の像は集合である：
∀ x∀ y∀ z((ψ (x,y) ∧ ψ (x,z)) → y=z) → ∀ X ∃ A∀ y(y ∈ A ←→ ∃ x ∈ Xψ (x,y))
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
・分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀ X ∃ A∀ x(x ∈ A ←→ (x ∈ X ∧ ψ (x)))
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、
これを {x ∈ X｜ ψ (x)} で表す。
{x ∈ X｜ x ∈ Y}を X ∩ Y で表す。
つづく
398:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 08:22:12.60 mjl0bfS3.net
>>370
つづき
>{x ∈ X｜ ψ (x)} で表す。
>{x ∈ X｜ x ∈ Y}を X ∩ Y で表す。
正直、これは何を言っているか分からなかったのでｗ（＾＾；
（余談ですが、論理式 ψを一階述語に限定するとか、高階まで許すとか いろいろあるようですが。保守的な立場は、一階限定です。矛盾が起きにくい）
実はｗ、下記のKenneth Kunen先生に分り易い説明があったのです（＾＾
置換公理から
”On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by”
と書かれていて、置換公理って、こうやって使うのか～ｗ、と感心したのです
で、まあ ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・
達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論 他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て
さらには、定理を作って・・と出来るのです（多分ねｗ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
(引用終り)
つづく
399:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 08:22:32.57 mjl0bfS3.net
>>371
つづき
１．では、論理式 ψは、有限なのか、無限なのか？
２．それは数え方の問題でもあると思います
３．例えば、デデキント先生の本「数とは何か」にならって、ZFCで、”Φ (or 0; empty set)”から初めて、自然数N、整数Z、有理数Q、実数R を作ることを論文に纏めたとする
この論文は、明らかに 有限ページであり、使われる文字も有限です。この視点からすれば、使われた 論理式 ψは明らかに有限です
４．一方で、自然数Nは可算無限集合であり、”S (ordinal successor function )”みたいなのを 可算無限回使ったと考えると（例えば数学的帰納法などで）、 ”無限だ”と見ることもできる
５．要は、有限なのか、無限なのか？ どちらの見方もあるってことでしょう。「論理式 ψは無限！」なんてのは、自分の立ち位置と視点を明確に語らないと、無意味です
QEDｗ（＾＾；
以上
400:IUT応援団 団員
20/05/10 08:31:28.61 vZYbiwt9.net
>>372
＞論理式 ψは、有限なのか、無限なのか？
団長 日本語わかりませんか？
論理式の個数ですよ 長さじゃないですよｗ
ψに入り得る論理式の個数は無限にあるでしょ？
まさ
401:か有限個しかないと思ってます？
402:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 08:52:53 mjl0bfS3.net
>>373
おサル（>>2）ご苦労
>論理式の個数ですよ 長さじゃないですよｗ
>ψに入り得る論理式の個数は無限にあるでしょ？
>まさか有限個しかないと思ってます？
では問うｗ
１．確かに、理論上 論理式ψの個数に制限は無く、”数理哲学”でいうところの「可能無限」ではある
２．一方で、人類がいままで書いてきた、書籍及び論文の数は明らかに有限であり、使われた文字数も有限である
３．「論理式ψの個数 ＜＝ 使われた文字数」 を認めると、論理式ψの個数は、有限にすぎない
４．そして、これ（”論理式ψの個数は、有限にすぎない”）は、予想しうる未来の範囲では、正しいだろう
つまり、”論理式ψの個数は、有限にすぎない”！！ 但し、理論上 論理式ψの個数に制限は無い ！！
QED ｗ（＾＾；
（問いになってないか？ まあ、書き直しは面倒なので、このままなｗｗ）
403:IUT応援団 団員
20/05/10 08:57:01 vZYbiwt9.net
>>374
＞「論理式ψの個数 ＜＝ 使われた文字数」を認めると
団長・・・お気はたしかですか？
論理式ψの長さの上限をｎとしても
その個数がｎ以下なわけないでしょ
例えば自然数の桁数を８桁として
自然数の数は８個以下ですか？
認知症かな・・・最近、ヤバすぎる
404:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 09:36:13 mjl0bfS3.net
>>371 補足
いまごろ気付いたがｗ（＾＾
１．”⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・
達を、公理 Axioms 1,3,4,5 ＆ Axiom 6(Replacement Scheme) とか（勿論 他の公理も）使って、通常の集合論の記号や用語を組立て”
って話なんだよね
２．で、⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) ・・・
これらは、全部公理じゃない！
３．なぜならば、これらを導く論理式 ψってのは、それぞれ 他の公理から導かれるものだから
だから、くどいが 個々の”これらを導く論理式 ψ”達ってさ、これらは公理じゃないよね？ｗ
（∵ 他の公理から導かれるものは、公理ではない）
４．だったら、置換公理”Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,”って、やっぱり1つと数えるべきだと思うぜ
論理式 ψに具体的に、他の公理達（含む Axiom 6）から導かれた ”formula ψ”を適用したものは、これは もう公理として扱うべきでない！
それが、公理主義の真っ当な思想でしょ？！
５．だから、繰返すが 置換公理”Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,”は、公理としてはあくまで、具体的な ”formula ψ”を当てはめる前の状態のことで
そう考えて、1つなんだよね！
おれも、頭悪いなぁ～！！ いまごろ気付いたぜ ｗ（＾＾
QEDｗｗ（＾＾；
405:IUT応援団 団員
20/05/10 09:51:38.72 vZYbiwt9.net
>>377
団長、また間違ったんですかｗ
＞だったら、やっぱり1つと数えるべきだと思うぜ
＞論理式 ψに具体的に、他の公理達（含む Axiom 6）から導かれた ”formula ψ”を適用したものは、これは もう公理として扱うべきでない！
Ψは公理とか定理とかでなくていいんですって、
どんな論理式でもいいの
どうして考えると必ず間違うのかな？
いままで、考えたこと一度もないのかな？
考えずに公式覚えて計算して大学合格したの？
それはそれでスゴイな・・・褒めてないけど
406:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 09:52:05 mjl0bfS3.net
>>233
>URLﾘﾝｸ(ja.yourpedia.org)
>宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
>・ 同じ言語上の二つの理論において、保存的拡大という用語を使用している。特にZFCGはZFCの保存的拡大ではない。
はい、では次にｗ
「ZFCGはZFCの保存的拡大ではない」に行きます
まず、保存拡大から、長文ご容赦（＾＾
１．下記 クラス (集合論)
２．”NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を亘るのではなく、集合の上を亘る量化のみに制限されている。これにより、NBG は ZF の保存拡大となる。”
”MKはZFやNBGより真に強い”（これ、多分 ”保存拡大”ではない）
を見ておきましょう
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
(抜粋)
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。
例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。
例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。
目次
1 例
2 パラドックス
3 公理的集合論におけるクラス
つづく
407:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 09:52:48 mjl0bfS3.net
>>378
つづき
例
与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。
パラドックス
ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
ラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真のクラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真のクラスであることを示唆している。
公理的集合論におけるクラス
ZFではクラスの概念を定式化することはできないので、クラスはメタ言語による同値な言明で置き換えることで扱うことになる。
ZF集合論ではクラスを厳密に扱うことができないので、ZF の公理系をそのままクラスに関する言明に適用することはできない。しかし、到達不能基数 κ の存在を仮定すれば「それよりランクの小さな集合全体」は ZF のモデル（グロタンディーク宇宙）になり、その部分集合を「クラス」として考えることができる。
別な方法として、ノイマン-ベルナイス-ゲーデルの公理系 (NBG) を例に挙げよう。この理論ではクラスは基本的な対象であり、集合は別のクラスの要素であるクラスとして定義される。しかしながら、NBGにおける集合の存在公理は、クラスの上を亘るのではなく、集合の上を亘る量化のみに制限されている。これにより、NBG は ZF の保存拡大となる。
モース-ケリー集合論 (MK) は（NBG のように）真クラスを基礎的な対象として認めるものだが、集合の存在公理の中で全ての真クラスを走る量化をも許す。これにより、MKはZFやNBGより真に強い。
新基礎集合論 (NF) や半集合の理論のようなほかの集合論でも、「真の類」の概念は意味を成す
(引用終り)
408:IUT応援団 団員
20/05/10 09:54:55 vZYbiwt9.net
例えば分出公理図式でφ（ｘ）に（￢ｘ∈ｘ）って式入れるとするよね
￢ｘ∈ｘは、公理でも定理でもないよ
団長っていきがると必ず恥ずかしい間違いしでかすよね？
409:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 09:55:22 mjl0bfS3.net
>>377
>Ψは公理とか定理とかでなくていいんですって、
>どんな論理式でもいいの
ここだけ
違うよ
Ψは、あくまで、（例えばZFCなら）9つの公理から組み立てられる論理式
に限られるよ
それが、公理主義です
小学校で習うよ
まだ習ってない？ やっぱり５歳の限界だな～ｗ（＾＾
410:IUT応援団 団員
20/05/10 09:57:39 vZYbiwt9.net
>>381
＞ここだけ
＞違うよ
＞Ψは、あくまで、（例えばZFCなら）9つの公理から組み立てられる論理式
に限られるよ
＞それが、公理主義です
いや、間違ってるよ 公理主義から誤解してるｗ
>>380で実例示したよ ￢（ｘ∈ｘ）は公理でも定理でもないって
もうどうして間違った思い込みするんだろ
日本語読めないのかな？
411:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 10:03:08 mjl0bfS3.net
>>378
補足 英文 Class (set theory) wikipedia
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(set_theory)
Class (set theory)
(抜粋)
Examples
The collection of all algebraic structures of a given type will usually be a proper class. Examples include the class of all groups, the class of all vector spaces, and many others. I
n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
Classes in formal set theories
Another approach is taken by the von Neumann?Bernays?Godel axioms (NBG); classes are the basic objects in this theory, and a set is then defined to be a class that is an element of some other class.
However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes.
This causes NBG to be a conservative extension of ZF.
(引用終り)
412:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 10:07:29 mjl0bfS3.net
>>382
(引用開始)
>>380で実例示したよ ￢（ｘ∈ｘ）は公理でも定理でもないって
もうどうして間違った思い込みするんだろ
日本語読めないのかな？
(引用終り)
はいはい、ぼくちゃん、基礎論ごっこ楽しい？
小学校へ行こうね
小学校で、公理主義教えてくれるよ
公理主義では、全てが公理から組み立てられるんだ
Kenneth Kunen先生のPDFを2つ挙げておいたから、しっかりお勉強しましょうね
？ 英語まだ習ってない? 藤田 博司 (翻訳)の訳本があるから見てね （これ定評があるみたいだね（＾＾）
413:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 10:23:13.23 mjl0bfS3.net
>>383
>However, the class existence axioms of NBG are restricted so that they only quantify over sets, rather than over all classes.
>This causes NBG to be a conservative extension of ZF.
つづき
ここ、実は ”conservative extension”にリンクが張ってあって、下記に飛べます（＾＾
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Conservative extension
(抜粋)
In mathematical logic, a conservative extension is a supertheory of a theory which is often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory.
Similarly, a non-conservative extension is a supertheory which is not conservative, and can prove more theorems than the original.
Contents
1 Examples
2 Model-theoretic conservative extension
(引用終り)
要は（＾＾
conservative extension：often convenient for proving theorems, but proves no new theorems about the language of the original theory
non-conservative extension：can prove more theorems than the original
ってこと
ZFCに対し、NBGは conservativeで、ZFCGは non-conservative です
（参考：本スレより転載）
Inter-universal geometry と ABC予想 52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:606番)
(抜粋)
606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz
＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる
と書いてガゼで主張しただけだよ。
IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。
concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e.,
roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and,
moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model”
(引用終り)
414:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 10:36:56.83 mjl0bfS3.net
>>383
まず訂正
I
n category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
↓
In category theory, a category whose collection of objects forms a proper class (or whose collection of morphisms forms a proper class) is called a large category.
さて、なぜZFCGか？
category theory（圏論）を使うから～！（チコちゃん）
G：グロタンディークのG です
「正標数体上の数論幾何や、非可換環が「図形」を表していると考える非可換幾何などの非標準的な「幾何学」は、幾何学的な関手の構成可能性をもってそう名乗っている、という側面もある。」
そして、IUTも当然、この流れ。IUTの「幾何」は、下記の圏論の意味の幾何なのです（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
圏論
(抜粋)
歴史
集合論に基づく定式化では不十分だった代数幾何学の公理化を与える言葉として進展した。さらに一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
他の分野への影響
代数的位相幾何学では空間の連続写像そのものよりも、そのホモトピー類を考えたほうがよいことがある。これは対応する圏を「変形」してホモトピー類を射として採用することにより圏論的に定式化できる。そこで、複体の射や位相線形環の準同型についてもこのような圏の変形を見いだし理解することが 20 世紀後半におけるほかの種類の「幾何学」の大きな問題意識となった。
20 世紀の半ば以降アレクサンドル・グロタンディークら
415:によって代数幾何学の圏論的な定式化が追求された。 正標数体上の数論幾何や、非可換環が「図形」を表していると考える非可換幾何などの非標準的な「幾何学」は、幾何学的な関手の構成可能性をもってそう名乗っている、という側面もある。 (引用終り)
416:IUT応援団 団員
20/05/10 10:46:40 vZYbiwt9.net
>>384
＞はいはい、ぼくちゃん、基礎論ごっこ楽しい？
＞小学校へ行こうね
＞小学校で、公理主義教えてくれるよ
団長～、また拗ねちゃったんですか
小学校で公理主義なんか教えないですよ
だいたい、団長の公理主義、￢（ｘ∈ｘ）で粉砕されちゃったじゃないですかｗ
｛ｘ｜ｘ∈{}＆￢（ｘ∈ｘ）｝は存在しますよ
{}ですけどね そして{}は{}の要素でないから矛盾はない
｛ｘ｜ｘ∈{{}}＆￢（ｘ∈ｘ）｝も存在しますよ
{{}}ですけどね そして{{}}は{{}}の要素でないから矛盾はない
｛ｘ｜ｘ∈{{},{{}}}＆￢（ｘ∈ｘ）｝も存在しますよ
{{},{{}}}ですけどね そして{{},{{}}}は{{},{{}}}の要素でないから矛盾はない
なんで
「{x｜x∈s＆Ψ(x)}のΨ(x)は公理もしくは定理だ！それが公理主義だ！」
とウソ公理主義妄想して、ウソ発言してるんですか？
脳味噌の中、妄想だらけなんですか？
精神科で診てもらったほうが良くないですか？
417:IUT応援団 団員
20/05/10 10:51:01 vZYbiwt9.net
過去の書き込みを見ると、団長は日曜の朝 自爆する確率が高いんですよ
自重して「わけもわからず上からマウント」の癖を控えないと
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
418:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 10:56:46 mjl0bfS3.net
>>386
>>386 追加
受け売りというか、単なるコピペです
要するに、圏論では、しばしば集合論は狭すぎるのです
あと、下記「空間を圏で表す」も、上記”非標準的な「幾何学」”と類似ですが、見ておいてね（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
(抜粋)
数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、英: category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる
圏の大きさ
圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。
射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。
文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。
例
位相空間の圏 Top 全ての位相空間 全ての連続写像 写像の合成 大きい
2-圏 小さい圏の圏 Cat 全ての小さい圏 すべての函手 函手の合成 大きい 自然変換も考えると2-圏（英語版）の例となる
つづく
419:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 10:58:22 mjl0bfS3.net
>>389
つづき
高次圏
圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。
2-圏は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」 は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」が成り立つ。
この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である?これは(狭義)モノイド圏である。
この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。
空間を圏で表す
(O, ?) が順序集合のとき、これを次のような圏 CO と同一視することができる：obj(CO) = O とし、p, q ∈ O = obj(CO) について p ? q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として CO における射を定める。
ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。
G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。
これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。
歴史
アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。
一方、ガロア理論の圏論化を通じ、群が作用する集合の圏と通常の位相空間を圏論の枠組みで包括的にとらえるようなトポスの概念が得られた。
(引用終り)
420:１３２人目の素数さん
20/05/10 10:59:48 JcyWczgJ.net
ZFCはもういいわ。まだやってんのか。
421:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:01:01 mjl0bfS3.net
>>387-388
チコちゃん、５歳児なのに、えらいね～（＾＾
え？ 57歳なの？ 公理主義しらないの？
公理主義では、公理以外は使っちゃ だめだめ！！
もう一度小学校で、公理主義 お勉強しましょうねｗｗ（＾＾；
422:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:02:29 mjl0bfS3.net
>>391
ZFCGの non-conservative extension の話だよ
それは、まだこれからなんだ（＾＾；
423:IUT応援団 団員
20/05/10 11:07:00 vZYbiwt9.net
>>392
＞公理主義では、公理以外は使っちゃ だめだめ！！
＞もう一度小学校で、公理主義 お勉強しましょうねｗｗ
団長～、無駄に暴れるからどんどん深みにはまってますよ
💩溜めで溺死なんてカッコ悪いですよｗ
そもそも公理を生成する公理図式ですから、
団長が考える公理主義以前ですよ
Ψ(x)なんて、述語になってればなんだっていいんですよ
ここで、公理とか定理でなければならないっ、と思う時点で
完全に自爆野郎💩チームですよ やだなあもう
ついでにいうと５７歳ではありません
団長は６０歳過ぎてるんですよね？
なんで、いまさらいきがるかなあ
もう終活始める時期なのに
奥さんとお子さんからいわれません？
いい加減 齢考えろ、って
424:IUT応援団 団員
20/05/10 11:13:15 vZYbiwt9.net
ところで団長がいきがって使ってる「公理主義」って言葉
日本でしか使ってないって知ってました？
URLﾘﾝｸ(www.shayashi.jp)
425:IUT応援団 団員
20/05/10 11:22:46 vZYbiwt9.net
団長、本日の自爆発言
>>376
＞置換公理”Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,”は、
＞公理としてはあくまで、具体的な ”formula ψ”を当てはめる前の状態のことで
＞そう考えて、1つなんだよね！
団長は、一階述語論理の演繹体系とか知らないド素人だから無理もないけど
具体的な ”formula ψ”を当てはめなかったら集合論の定理の演繹なんかできませんよ
数セミ記事の件では、確率論知らないのに
「確率論勉強したら誤りと気づいて当たり前」
とか発言して自爆したけど、今度も論理学知らないのに
「論理学勉強したら置換公理は１つと考えて当たり前」
とか発言して自爆しちゃうんだろうなあ
なんで勉強しないのにした気になっちゃうんだろ？
426:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:23:07 mjl0bfS3.net
>>390
>歴史
>アレクサンドル・グロタンディーク
追加
（圏論 グロタンディーク宇宙：公理系ZFCG ）
URLﾘﾝｸ(qiita.com)
Qiita
niiku-y 2019年09月30日に更新
集合論メモ
定義 (小さい集合)
ユニバース UU の要素となっている集合を、小さい集合と呼ぶ。これは、公理的集合論を習うときに出てくるような、いわゆる普通の集合と思えばよさそうである。
定義 (クラス)
Universe UU の任意の部分集合をクラスと呼ぶ。
小さな集合はクラスだが、小さな集合ではないクラスもある。これを真のクラスという。
圏論と公理系の関連
圏論では、公理としてuniverseというものの存在を仮定して圏を定義することがある。
このuniverseは大きすぎない集合の範囲で圏論を展開するために導入しており、（したがってフォンノイマン宇宙ではなく）グロタンディーク宇宙を想定している。
だが、このグロタンディーク宇宙の存在は強到達不能基数の存在と同値であることが示されており、かつこの基数の存在はZFCからは証明できないことも示されている。したがって、公理系 ZFC からはこの宇宙の存在を証明できない。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
圏論
圏論に歴史的につながる宇宙への別のアプローチの方法がある。これはグロタンディーク宇宙と呼ばれる。大まかに言えば、グロタンディーク宇宙とは集合論の通常実行されるすべての操作を内部にもつ集合である。
例えば、グロタンディーク宇宙 U における2つの集合の和集合も U の内部にある。同様に、共通部分、順序対、冪集合などもまた U の内部にある。これは上記の上部構造に類似している。
グロタンディーク宇宙の利点は、それが実際の集合であって固有類ではないことである。グロタンディーク宇宙の難点は、厳密さを欲するなら、グロタンディーク宇宙を捨てなければならないことである。
つづく
427:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:24:20 mjl0bfS3.net
>>397
つづき
最も一般的なグロタンディーク宇宙 U の用途はすべての集合の圏を U で置き換えるものである。S ∈U のとき、U-large でないなら、集合S は U-small となる。すべての U-small 集合の圏 U-Set は、すべての U-small の集合を対象として、それらの集合の間のすべての関数を射としてもつ。
対象の集合と射の集合の両方共集合であり、このことが固有類を用いることなく "すべての" 集合の圏を議論することを可能にしている。すると、この新しい圏の観点から別の圏の定義が可能になる。例えば、すべての U-small 圏の圏は宇宙 U の内部において、すべての対象の集合と射の集合の圏の圏になる。
すると通常の集合論の独立変数が、すべての圏の圏に適用される。さらに誤って固有類に対して言及する心配もなくなる。なぜならグロタンディーク宇宙は非常に広大であり、これはありとあらゆる数学的構造を充足させるからだ。
グロタンディーク宇宙において作業している場合、数学者はしばしば宇宙の公理を仮定する。"任意の集合 x に対し、x ∈U となるような宇宙 U が存在する。" この公理の重要な点は、任意の集合がいくつかの U に対して U-small が検討できることである。
つまり一般的なグロタンディーク宇宙に内部で、任意の独立変数が適用されるということである。この公理は強到達不能基数の存在と密接に関係している。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
グロタンディーク宇宙
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
つづく
428:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:24:44 mjl0bfS3.net
>>398
つづき
強到達不能基数 κ が存在するとする。集合 S は任意の列 sn ∈・・・∈ s0 ∈ S に対し |sn| < κ となるとき、型 κ であると呼ぶことにしよう。(S 自身は空列に対応している。) すると、型 κ である集合全体の集合 u(κ) は濃度 κ のグロタンディーク宇宙となる。(この証明は長くなるため、詳細は参考文献のブルバキの論文を参照。)
到達不能基数 κ が存在する。u(κ) を前項の宇宙とする。x は型 κ であり、x ∈ u(κ)。宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 U の元である。U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。
実際、任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:
グロタンディーク宇宙 U に対して、|U| は零、アレフ0、もしくは強到達不能基数のいずれかとなる。また、κ が零、アレフ0、もしくは強到達不能基数ならば、グロタンディーク宇宙 u(κ) が存在する。さらに、u(|U|) = U かつ |u(κ)| = κ となる。
429:強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と V_ω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。 (引用終り) 以上
430:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:33:44 mjl0bfS3.net
>>378
「ZFCGはZFCの保存的拡大ではない」に行きます
（>>385より）
（参考：本スレより転載）
Inter-universal geometry と ABC予想 52
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:606番)
(抜粋)
606 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2020/05/09(土) 17:57:38.91 ID:/BYRDNlz
＞案の定ZFCGがZFCの保存的拡大だのZFCの9個の公理だの間違えまくってる
と書いてガゼで主張しただけだよ。
IUT-4で以下を修正しており、指摘で修正が必要であったのは、この箇所だよ。
concerning the “conservative extensionality” of ZFCG relative to ZFC, i.e.,
roughly speaking, that“any proposition that may be formulated in a ZFC-model and,
moreover, holds in a ZFCG-model infact holds in the original ZFC-model”
(引用終り)
要するに
１．>>399に示したように、ZFCGは グロタンディーク宇宙を導くための公理系でりまして
２．大きすぎない集合の範囲で圏論を展開するために導入した（>>397）ってことなので
３．グロタンディーク宇宙は、「公理系 ZFC からはこの宇宙の存在を証明できない」（>>397）
４．したがって、ZFCGは ZFCの保存拡大ではない！（non-conservative extension）
QEDｗ（＾＾
431:IUT応援団 団員
20/05/10 11:36:48 vZYbiwt9.net
>>371
団長・・・英語も読めないんですね
まず{x ∈ X｜ ψ (x)}はAxiom3.Comprehension Scheme（分出公理図式）の話ですよ
それから
”On the basis of Axioms 1,3,4,5,
define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ),
∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by”
は、Axiom7～9以降の式を簡便に記載するために用いる
記号⊆,Φ,S,∩,SING(x)の定義について語ってるだけ
（Axiom6とは関係ないｗ）
＞置換公理って、こうやって使うのか～ｗ、と感心したのです
いや、全然使ってないからｗ 感心しちゃダメｗ
432:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:46:54 mjl0bfS3.net
>>400 追加
さて、下記ご参照
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
例
集合の圏 Set
モノイドの圏 Mon
擬環の圏 Rng
環の圏 Ring
加群の圏 R-Mod
多元環の圏 K-Alg
位相空間の圏 Top
多様体の圏 Manp
2-圏 小さい圏の圏 Cat
(引用終り)
これらの圏は、すべて”大きい”となっています
だから、21世紀のいまどき、圏論を狭い 集合論の枠内に 閉じ込めることもないだろうと
つまり、グロタンディーク宇宙というのは、1つの歴史の遺物としては意味があるだろうが
いまどき、圏論やる人は、「グロタンディーク宇宙？ そんなこと 拘る必要ぜんぜんないよ」って
感じだと思うのです
私見では、集合論や グロタンディーク宇宙にとらわれずに
IUTに適した IUT圏論でも作って
すっきり考えた方が良いと思う 今日この頃です（＾＾；
433:IUT応援団 団員
20/05/10 11:49:18 vZYbiwt9.net
蛇足では、置換公理なんて普通の数学ではまず使わない
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
The axiom schema of replacement is not necessary for the proofs of most theorems of ordinary mathematics.
Indeed, Zermelo set theory (Z) already can interpret second-order arithmetic and much of type theory in finite types,
which in turn are sufficient to formalize the bulk of mathematics.
Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today,
it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.
（翻訳）
置換の公理図式は、通常の数学のほとんどの定理の証明には必要ありません。
確かに、ツェルメロ集合論（Z）はすでに2階算術と有限型の型理論の多くを解釈できます。
これは、数学の大部分を公式化するのに十分です。
置換の公理スキーマは、今日の集合論の標準公理ですが、
型理論のシステムやトポス理論の基礎システムからはしばしば省略されます。
434:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:55:57 mjl0bfS3.net
>>401
（>>371より ｗｗ（＾＾； ）
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x)
435:⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y) (引用終り)
436:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 11:57:50 mjl0bfS3.net
>>403
おサル必死
Kenneth Kunen 先生、知ってますかぁ～！ ｗｗ（＾＾；
437:IUT応援団 団員
20/05/10 11:59:59 vZYbiwt9.net
置換公理が必要な場合
宇宙（数学）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
「S0X を X 自身とする。
S1X を X と X の冪集合 PX の和集合とする。
S2X を S1X と S1X の冪集合 P(S1X) の和集合とする。
一般に、Sn+1X を SnX と SnX の冪集合P(SnX) の和集合とする。
X の上部構造 SX が S0X 、S1X 、S2X などの和集合とする。」
「最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。」
438:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 12:01:12 mjl0bfS3.net
>>403
ここ誤読しているんじゃね？
”Although the axiom schema of replacement is a standard axiom in set theory today,
it is often omitted from systems of type theory and foundation systems in topos theory.”
ｗｗ（＾＾；
439:IUT応援団 団員
20/05/10 12:03:36 vZYbiwt9.net
>>404
団長～、この文章、読「め」ましたか？
”The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.”
「残りの公理は、いくつかの定義された概念を使用して述べるのが少し簡単です。」
つまり、定理７、８、９を記載するために記号を導入したんですね
実際、そうなってる筈ですよ
>>405
＞Kenneth Kunen 先生、知ってますかぁ～！
団長～、英語知ってますかｗ
440:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 12:39:22 mjl0bfS3.net
>>406
>宇宙（数学）
>「最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。」
それ、ZFCの外の話で、公理9個とは無関係（下記）ｗ（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。
例
与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。
圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。
集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合からなるクラス、全ての順序数からなるクラス、全ての基数からなるクラスなど。
公理的集合論におけるクラス
ZFではクラスの概念を定式化することはできないので、クラスはメタ言語による同値な言明で置き換えることで扱うことになる。
例えば、A をZFを解釈する構造として、メタ言語での表現 {x ｜x=x}の A における解釈は、A の議論領域に属する要素全ての集まり（つまり、A における集合すべての集まり）である。ゆえに、「全ての集合の成すクラス」を述語 x = xと（あるいはそれに同値な述語と）同一視することができる。
ZF集合論ではクラスを厳密に扱うことができないので、ZF の公理系をそのままクラスに関する言明に適用することはできない。しかし、到達不能基数 κ の存在を仮定すれば「それよりランクの小さな集合全体」は ZF のモデル（グロタンディーク宇宙）になり、その部分集合を「クラス」として考えることができる。
441:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 12:53:54 mjl0bfS3.net
>>404 補足
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
(引用終り)
＜補足＞
１．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:”
で、これらを定義しているのだが
２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて
左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの
３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです
迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を
公理から 構築すべき or 構築できる
それぞ、公理主義です
論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？
いやいや、 論理式 ψ は 決められた公理の組合わせ以外は、認められませんねぇ～ｗ
チコちゃん、５歳だったかねぇ～、基礎論ごっこ なんかしてぇ～ｗ えらいね～ｗ
まず、「公理主義とは？」からの、お勉強ですね（＾＾
442:IUT応援団 団員
20/05/10 12:55:03 vZYbiwt9.net
>>「最終ステップとして、無限和 (infinitary union) としてのSを形成するための置換公理が必要である。」
>それ、ZFCの外の話で、公理9個とは無関係
団長～、どんどん自爆してますね
完全にZFの話ですよ まさにF（置換公理）が関係する
まず、任意の集合に対してべき集合も和集合も存在する
そこまでは置換公理は要りません
最後の無限和をとるところが重要
無限和がすでに存在する集合の部分集合ならともかく
そうではないなら、Zでは集合としての存在が云えない
ここで置換公理を使うんですね
団長って文章読まずに全然無関係な妄想からウソをデッチあげるんですね
それじゃ数学理解できないですよ 間違うのは当然
妄想が止まらないなら、精神科で診て貰ったほうがいいですね
443:IUT応援団 団員
20/05/10 13:03:12.22 vZYbiwt9.net
>>410
＞…＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて
団長～、勝手に書かれてない文字列を捏造したらダメですね
オボカ
444:タハルオっていわれちゃいますよｗ ＞公理主義だから、公理で決められていないものを、 ＞天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです その嘘、完全な誤りだから今すぐ捨てな 例えば y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x) w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y) ここでAxiom3の分出公理図式を使ってるけど その場合のΨはそれぞれｚ＝ｘとｚ∈ｙ どっちも公理じゃないよ 一度でも自分で式を読んで理解したなら ＞論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？ ＞いやいや、 論理式 ψ は 決められた公理の組合わせ以外は、認められませんねぇ～ なんて真っ赤なウソは書けないよ だってどっちも公理で決められてないものを 著者が勝手に論理式Ψで与えてるよね？ なんで読まずにウソ書くかなあ 団長、数学、嫌いなの？
445:IUT応援団 団員
20/05/10 13:06:12.93 vZYbiwt9.net
>>410
＞基礎論ごっこ なんかしてぇ～ えらいね～
集合論の初歩ね
間違いを指摘されると、そうやってすぐふてくされるの、よくないですよ
きっと奥さんから用事をいいつかっても、同じようにふてくされるんでしょうねえ
もう還暦過ぎたんでしょ？オトナになりましょうよ
446:IUT応援団 団員
20/05/10 13:13:09.00 vZYbiwt9.net
>>412
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
は、分出公理図式は使ってなかった
ということで上記の式で、Ψをz=xとする というのも削除
とはいえ、それ以外は概ね問題ないな
447:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 13:18:41 mjl0bfS3.net
>>410
>>410 補足
もう少し補足します
例えば
Φ (or 0; empty set)＝空集合
と
SING(x) (x is a singleton) ＝シングルトン (＝要素が1つだけの集合)
と
もし、空集合が、公理から導けないとすれば、空集合の存在を公理にする必要がある
しかし、その必要はないと Kenneth Kunenは いうのです
singletonについては、下記です。”公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる”とか、言っていますね？（＾＾
（Kenneth Kunen流 ”SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)”と ちょっと違うなｗ（＾＾ ）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)(mathematics)
Singleton (mathematics)
(抜粋)
In mathematics, a singleton, also known as a unit set,[1] is a set with exactly one element. For example, the set {null?} is a singleton containing the element null.
The term is also used for a 1-tuple (a sequence with one member).
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単集合
(抜粋)
数学における単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
つづく
448:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 13:19:16 mjl0bfS3.net
>>415
性質
ツェルメロ・フレンケル集合論の枠組みの中では正則性の公理が「自身を元とする集合」が存在しないことを保証するから、単元集合とその単元集合を含む集合とは必然的に異なる数学的対象を意味するものとなる[1]。
つまり、1 と {1} とは同じものではないし、空集合のみからなる単項集合 {?} は 空集合 ? ではない。また、例えば、{{1, 2, 3}} のような集合も、ただ一つの集合を元（その元自身は単集合ではない）として持つ単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。自然数の集合論的構成において、自然数の 1 とは単集合 {0} のことと定義される。
公理的集合論において、対の公理からの帰結として単元集合の存在が導かれる。即ち、任意の集合 A に対して、A と A に対して対の公理を適用すれば {A, A} なる集合の存在が保証されるが、これは A のみを元に持ちそれ以外の元は持たないから、単元集合 {A} に他ならない。
ここで A は任意の集合でよい、といっても集合がそもそもまったく存在しない場合には意味がないが、空集合の公理があれば少なくとも空集合 ? は集合になるから、A = ? ととって先の議論は正当化できる。
任意の集合 A と単集合 S に対し、A から S への写像はちょうど一つだけ存在する（それは A の各元を S の唯一の元へ写すものである）。従って任意の単元集合は集合の圏にける終対象である。
(引用終り)
以上
449:IUT応援団 団員
20/05/10 13:29:30 vZYbiwt9.net
>>415
＞空集合が、公理から導けないとすれば、空集合の存在を公理にする必要がある
＞�
450:ｵかし、その必要はないと Kenneth Kunenは いうのです ええ Axiom 3 分出公理図式 ∃y∀x(x ∈ y ↔ x ∈ z ∧ ϕ(x)) を使えばできますね 問題：φ（x）としてどんな式を書けばいいでしょう？ ヒント１ ￢を使います ヒント２ 一部は上記のAxiom 3の図式中にすでに書かれてます ああ、こんなの、数学科に入る1年生なら、３秒で答えられるなｗ
451:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 14:25:53 mjl0bfS3.net
>>417
必死の論点ずらしご苦労さん
（>>410再録）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y)
P11
Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, ψ, without B free,
∀x ∈ A∃!y ψ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B ψ(x, y)
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
(引用終り)
＜補足＞
１．確かに、これは ”define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:”
で、これらを定義しているのだが
２．例えば、”x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)”で、⇔の右辺は On the basis of Axioms 1,3,4,5＆ Axiom 6. Replacement Scheme のみを組合わせて
左辺の ”x ⊆ y”が定義できます と読むべきもの
３．つまり、公理主義だから、公理で決められていないものを、天下りで 論理式 ψ で与えるわけにはいかないのです
迂遠でも、一歩一歩、ひとつづつ 公理を組合わせて ”x ⊆ y”などを えっちら おっちら 数学を展開するのに必要な定義を全て（のみならず全ての定理や命題）を
公理から 構築すべき or 構築できる
それぞ、公理主義です
論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？
いやいや、 論理式 ψ は 決められた公理の組合わせ以外は、認められませんねぇ～ｗ
チコちゃん、５歳だったかねぇ～、基礎論ごっこ なんかしてぇ～ｗ えらいね～ｗ
まず、「公理主義とは？」からの、お勉強ですね（＾＾
452:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 14:39:27.17 mjl0bfS3.net
>>418 補足
おサルは
The rest of the axioms are a little easier to state using some defined notions.
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x ⊆ y ⇔ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) ⇔ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y ⇔ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) ⇔ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
これを
x ⊆ y def⇒ ∀z(z ∈ x → z ∈ y)
x = Φ def⇒ ∀z(z not∈ x)
y = S(x) def⇒ ∀z(z ∈ y ←→ z ∈ x ∨ z = x)
w = x ∩ y def⇒ ∀z(z ∈ w ←→ z ∈ x ∧ z ∈ y)
SING(x) def⇒ ∃y ∈ x ∀z ∈ x(z = y)
と いうように 読んだらしいな
つまり、左辺のx ⊆ y などを、「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」と定義する
その「∀z(z ∈ x → z ∈ y)」は、天下りに与えられるものだと
確かに、普通の数学本ならそうかも
しかし、Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”は公理的集合論を説く教科書であり
ZFC公理系から、いかに集合論を構築するのか？ という視点で読むべきもの
この場合は、全く逆で、右辺が ZFC公理系のみを使って作られた 論理式 ψ を使って作られた式であって
「この式が、実は 一般教科書の ”x ⊆ y”と同値である」と読むべし
他も同じだよ
所詮、チコちゃんは 五歳児の智恵だな。「公理主義とは何か」が分かっていない！ 小学校で勉強してね（＾＾；
453:IUT応援団 団員
20/05/10 14:41:45.85 vZYbiwt9.net
>>418
>論理式 ψ が、天下りで 飛んできて ”x ⊆ y”が定義できる？
それ、分出公理と関係ないけど
団長～、なんかどんどん発狂してますねぇ
落ち着きましょう でないとニンゲンじゃなくなっちゃいますよ
454:IUT応援団 団員
20/05/10 14:45:16.87 vZYbiwt9.net
>>419
＞右辺が ZFC公理系のみを使って作られた 論理式 ψ を使って作られた式であって
いつどこでだれがそんなウソをいったんですか？
今ここで団長が云ってるだけですよね？
だからいってるじゃないですか
「素人の勝手な妄想で 真っ赤な誤りです」
自分が神であると思い込む癖、やめましょうね
団長、ただのド素人ですから 残念！！！！！！！
455:粋蕎
20/05/10 15:06:53.93 9DDwSwNg.net
>>421にBABYMETALすぅを踏み絵させよ
456:IUT応援団 団員
20/05/10 15:14:25.12 vZYbiwt9.net
>>422
素人の部外者は黙って！
あんた集合論知らないんでしょ！
457:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/10 16:25:48 9DDwSwNg.net
>>423
あんたが安達老人に猿石と呼ばれていた人間と別人である証拠は？
むしろ何であんたが其れを知っとるん？
458:粋蕎
20/05/10 16:36:18.46 9DDwSwNg.net
ぽろっと儂の情報を出すボロ出し癖も旧コテ『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』と酷似
多連投頻度も『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』と酷似
文体も『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』と酷似
>>423
会ったばかりを装い『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』と同じ認識のあんたには
踏み絵としてBABY METAL のすぅをボロクソに貶して頂こう｡
出来るじゃろ？『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』と別人なら｡
『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』が軽々しく二枚舌しまくる人間じゃったけぇ見物じゃな｡
459:IUT応援団 団員
20/05/10 16:51:06.67 vZYbiwt9.net
>>424-425
質問には一切答えない
集合論知らない素人は出て行って！
460:メイト＆父兄
20/05/10 16:55:49.99 vZYbiwt9.net
>>425
＞BABYMETAL のすぅをボロクソに貶して頂こう｡
＞出来るじゃろ？
助けて～、この人、広島県民に成りすまして
中元すず香チャン(22)を誹謗
461:させようとする 荒らしです～ｗ
462:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 17:03:52.16 mjl0bfS3.net
>>425
粋蕎さん、どうも
お元気そうでなによりです
粋蕎さんにも、サル石がどういう存在か（つまりは>>2 サイコパスですが）
だんだん、お分かりになってきたようですね（＾＾
463:IUT応援団 団員
20/05/10 17:10:32.46 vZYbiwt9.net
>>428
ああ、このガラの悪いオッサン 団長のお友達ですか
・・・ってことは やっぱり上からマウント癖のあるサイコパ～スですか
――
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
精神病質（せいしんびょうしつ、英: psychopathy、サイコパシー）とは、
反社会的人格の一種を意味する心理学用語であり、
主に異常心理学や生物学的精神医学などの分野で使われている。
その精神病質者をサイコパス（英: psychopath）と呼ぶ。
良心が異常に欠如している
他者に冷淡で共感しない
慢性的に平然と嘘をつく
行動に対する責任が全く取れない
罪悪感が皆無
自尊心が過大で自己中心的
口が達者で表面は魅力的
サイコパスの主な特徴は、
極端な冷酷さ・無慈悲・エゴイズム・感情の欠如・結果至上主義、
である。
――
道理で、他人に対する誹謗を薦めるわけですね サイコパ～ス
464:現代数学の系譜 雑談
20/05/10 17:10:49.30 mjl0bfS3.net
>>426
>質問には一切答えない
>集合論知らない素人は出て行って！
おサルさん
集合論の前に
「公理主義」を学びましょう～！
「公理主義」では、決められた公理以外は使ってはいけません
論理式 ψは、与えられた公理の組合わせから導かれるものでなければなりません
空集合の存在も、与えられた公理から導くか、さもなければ 最初から公理として与えるか？ 二択しかありません！
（多分ｗ、ZFCでは 空集合の存在は 公理から導かれると思います。Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”には、そう書いてあるようですよｗ）
SING(x) (x is a singleton) も、与えられた公理から導くか、さもなければ 最初から公理として与えるか？ 二択しかありません！
（多分ｗ、ZFCでは ”singleton”の存在は 公理から導かれると思います。Kenneth Kunenの”The Foundations of Mathematics”には、そう書いてあるようですよｗ）
お分かりでしょうか？
小学校で、公理主義を学びましょう～！ｗ（＾＾；
465:粋蕎
20/05/10 17:13:06.67 9DDwSwNg.net
数学の本質は総白け
百面相『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』の出鱈目出任せ大法螺吹きはデジタルタトゥーと化し
『現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE』氏の活動も虚しく白ける
>>426-427
> この人、広島県民に成りすまして
はい、また『 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM 』しか言わない台詞ご馳走さん
466:粋蕎
20/05/10 17:16:00.40 9DDwSwNg.net
ドクタープルス
アナーキスト
5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM
IUT応援団 団員
チコちゃん
メイト＆父兄
げに百面相なり
467:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 17:36:19 mjl0bfS3.net
>>374
戻る
(引用開始)
１．確かに、理論上 論理式ψの個数に制限は無く、”数理哲学”でいうところの「可能無限」ではある
２．一方で、人類がいままで書いてきた、書籍及び論文の数は明らかに有限であり、使われた文字数も有限である
３．「論理式ψの個数 ＜＝ 使われた文字数」 を認めると、論理式ψの個数は、有限にすぎない
４．そして、これ（”論理式ψの個数は、有限にすぎない”）は、予想しうる未来の範囲では、正しいだろう
つまり、”論理式ψの個数は、有限にすぎない”！！ 但し、理論上 論理式ψの個数に制限は無い ！！
(引用終り)
＜再論＞
・論理式ψが、あくまでZFCの9個の公理の組合わせから導かれるとして
・かつ、論理式ψは明示的に書かれたものを1つと数えるとする（例えば「可算無限の後者関数が存在する」という命題は、1つとする。”可算無限”は文中に表示されているが ”可算無限”とは数えないものとする ）
・そうすると、上記の�
468:ﾊり、人類が書いた論文及び書籍は有限で、ページ数も有限で、文字数も有限で、したがって 論理式ψも有限個でしかない ・考え得る将来、論理式ψが無限に達する可能性はゼロだ ・勿論、論理式ψの上限に制約はなく、その意味で可能無限。しかし、現実の論理式ψの個数は有限である ＱＥＤ ｗｗ（＾＾；
469:IUT応援団 団員
20/05/10 17:45:26 vZYbiwt9.net
>>430
＞「公理主義」を学びましょう～！
＞「公理主義」では、決められた公理以外は使ってはいけません
＞論理式 ψは、与えられた公理の組合わせから導かれるものでなければなりません
団長～ ま～だ、自分の思い込みの誤りに気づけない？
ほんと、サイコパスだねぇｗ
＞空集合の存在も、与えられた公理から導くか、
＞さもなければ 最初から公理として与えるか？ 二択しかありません！
もしかして、ま～だ、>>417の問題解けないの？
問題：∃y∀x(x∈y ↔ x∈z ∧ φ(x))から空集合の存在を導くために
φ(x)としてどんな式を書けばいいでしょう？
回答：φ(x)として￢（x∈z）を置けばいい
∃y∀x(x∈y ↔ x∈z∧￢（x∈z）)
x∈z∧￢（x∈z）はアンチトートロジー
したがってx∈y ↔ x∈z∧￢（x∈z）は
￢x∈yと同値となり空集合の存在を示す命題が導ける
∃y∀x(￢x∈y)
ほら、￢（x∈z）は公理じゃないよ 分かってないねえ
470:IUT応援団 団員
20/05/10 17:47:27 vZYbiwt9.net
>>431-432
ガラの悪いサイコパスの素人さんはどっかに行ってくれるかなｗ
471:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 17:49:58 mjl0bfS3.net
>>309
(引用開始)
キューネンのPDFが落ちているのを思い出したな
キューネンの下記では、「ZFC = Axioms 1－9. ZF = Axioms 1－8.」と説明しているな！ｗｗ（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 - c 2005,2006,2007 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
ZFC = Axioms 1－9. ZF = Axioms 1－8.
(引用終り)
下記の「宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia」
”・ ZFCは無限個の公理からできている。仮に有限個の公理型に分類しても定式化の仕方によるので9個とは言い切れない。”
は、間違いだな！（＾＾；
「ZFCは無限個の公理からできている」がダメ。9個で正解！（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.yourpedia.org)
宇宙際タイヒミュラー理論 Yourpedia
(抜粋)
グロタンディーク宇宙
・ ZFCは無限個の公理からできている。仮に有限個の公理型に分類しても定式化の仕方によるので9個とは言い切れない。
472:IUT応援団 団員
20/05/10 17:50:38 vZYbiwt9.net
>>433
なんかどっかのスレのご老人とそっくりなこといいだしたねｗ
論理式ψの個数は無限
つまり、人類が今まで書いたことがないほど長い論理式を書いてもいい
ついでにいうとΨが公理もしくは定理に限られるというのは
団長の勝手な妄想で真っ赤な・・・いや真っ黒な誤り
473:IUT応援団 団員
20/05/10 18:00:44 vZYbiwt9.net
>>436
Kunenの本で9つだからといって、どんな定式化でも9つとは言えないけどねｗ
大体、公理図式を1個と数えて平気な顔できるのは論理を知らない素人だけｗ
474:１３２人目の素数さん
20/05/10 18:38:17 9YYUC+WW.net
>>438
> 大体、公理図式を1個と数えて平気な顔できるのは論理を知らない素人だけｗ
論理に詳しいらしい君による上の行での主張を支えているメタロジックに従えば
そもそも「公理図式」を「公理」呼ばわりして平気な顔できるのは論理を知らない素人だけ
ということになるね
475:粋蕎
20/05/10 19:16:26.66 9DDwSwNg.net
ある時は 5ch反IUT論装戦線 ◆y7fKJ8VsjM
ある時は IUT応援団 団員
蝙蝠男
476:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:30:47 GlqIB1Mz.net
>>440
≡≡≡?ΣΣ(´д`;)…ﾔﾒﾃ~…!
477:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/10 19:34:40 9DDwSwNg.net
>>441
或いは
なんで掛け算の順序を交換しても答えが同じなの？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
のスレの主、チコちゃん
478:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:34:52 GlqIB1Mz.net
゜＊。*゜。゜。゜(ﾉД`)。
。゜*。゜…ﾓｩ許ｼﾃ…
479:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:36:14 GlqIB1Mz.net
。゜。゜
゜＊。゜*。゜○゜＊゜。*゜
480:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:42:39 GlqIB1Mz.net
(「蝙蝠男」←酷すぎる…
。。。め～ちゃんか…
チコちゃんって…゜。*゜。゜
゜。(゜ﾉД`)ｫｿﾊﾞ…ﾋﾄﾞｨ…
481:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/10 19:43:54 9DDwSwNg.net
求愛先は>>442添付先のチコちゃんへ
ぜひ凹々に成るまで愛してやりなさい
482:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 19:46:55 mjl0bfS3.net
>>418 追加
（>>410再録）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29 Kenneth Kunen. Kenneth Kunen
(抜粋)
P10
On the basis of Axioms 1,3,4,5, define ⊆ (subset), Φ (or 0; empty set), S (ordinal successor function ), ∩ (intersection), and SING(x) (x is a singleton) by:
x = Φ ⇔ ∀z(z not∈ x)
>>309より
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.math.wisc.edu)
The Foundations of Mathematics Kenneth Kunen PDF
2007/10/29
P10
I.2 The
483:Axioms Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x) Axiom 1. Extensionality. ∀z(z ∈ x ←→ z ∈ y) → x = y Axiom 2. Foundation. ∃y(y ∈ x) → ∃y(y ∈ x ∧ ￢∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)) Axiom 3. Comprehension Scheme. For each formula, φ, without y free, ∃y∀x(x ∈ y ←→ x ∈ z ∧ φ(x)) Axiom 4. Pairing. ∃z(x ∈ z ∧ y ∈ z) Axiom 5. Union. ∃A∀Y ∀x(x ∈ Y ∧ Y ∈ F → x ∈ A) Axiom 6. Replacement Scheme. For each formula, φ, without B free, ∀x ∈ A∃!y φ(x, y) → ∃B ∀x ∈ A∃y ∈ B φ(x, y) Axiom 7. Infinity. ∃x（{} ∈ x ∧ ∀y ∈ x(S(y) ∈ x)）注：{}は空集合 Axiom 8. Power Set. ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y) Axiom 9. Choice. {} not∈ F ∧ ∀x ∈ F ∀y ∈ F(x ≠ y → x ∩ y = {}) → ∃C ∀x ∈ F(SING(C ∩ x)) 注：{}は空集合 ZFC = Axioms 1-9. ZF = Axioms 1-8. さて、いま気付いたが、これ 面白いね（＾＾ Kenneth Kunen 先生の流儀では、空集合Φの存在は、公理ではなく、定理なんだ～！ （多分、”Axiom 0. Set Existence. ∃x(x = x)”を使うのだろうね。これは Kenneth Kunen流で 普通のZFCにはこれは存在しない！） 一方、普通のZFCでは、空集合の（存在）公理で与えられているね（下記の wikipediaとか渕野PDF ご参照） つづく
484:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 19:47:23 mjl0bfS3.net
>>447
つづき
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
ZF 公理系
・空集合の公理 要素を持たない集合が存在する：
∃ A ∀ x(x not∈ A) 。
外延性の公理から、空集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを空集合と呼び、 Φ で表す。
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
数学の基礎としての集合論
vs. 数学としての集合論 0
渕野 昌 (Saka´e Fuchino)
神戸大学大学院 システム情報学研究科
0このテキストは，著者の中部大学在職中の 2003 年 9 月 24 日に，千葉大で開かれた数学
会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです．
Ｐ2
2 数学の基礎としての集合論
以下で述べる公理系は，ツェルメロ (Ernst Zermelo, 1871?1953) により
定式化され，フレンケル (Abraham Fraenkel, 1891?1965) によりさらに拡張
されて得られた体系に基づくもので，ZFC とよばれている．
（空集合公理） 要素を一つも持たないような集合が存在する．
外延性公理により，要素を一つも持たない集合は存在すれば一意であること
が示せる．この一意に決まるところの，要素を一つも持たないような集合を
Φ であらわし空集合とよぶ．
(引用終り)
以上
485:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:52:13 GlqIB1Mz.net
💢ﾔﾒﾛｯ!💢ﾂｯﾃﾝﾀﾞﾙﾙｫｯ!
(💢º言(>>446；)
(☆#☆つ<<＜＜）
*LL
486:１３２人目の素数さん
20/05/10 19:56:59 GlqIB1Mz.net
ﾁｯ!ｺﾉ鈍感ﾔﾛｵｫ-ｯ!
(`Д´*)○彡)Д´>446)‘・’∵
゜＊゜*。ﾎﾞｺﾞｵｫｯ!
487:粋蕎 ◆C2UdlLHDRI
20/05/10 20:01:45 9DDwSwNg.net
同一人物じゃもん仕方なかろう
其れより何じゃ、合気道の講義か？
488:１３２人目の素数さん
20/05/10 20:02:32 GlqIB1Mz.net
…ｫ邪魔ｼﾏｽﾀ…
(*“)*‥))✨ﾍﾟｺﾘ
/\…ｿﾊﾞﾁｬﾝ…帰ﾛ…
!!* ※ｿﾊﾞ↘＿＿＿＿○
489:１３２人目の素数さん
20/05/10 20:04:35 GlqIB1Mz.net
邪魔ｼﾁｬﾀﾞﾒｯ!…気ｶﾞ利ｶﾅｨﾅ…
(;`Д(>>451；)
490:IUT応援団 団員
20/05/10 20:05:12 vZYbiwt9.net
＞蝙蝠男
どうせならこっちのほうがいいな
黄金バット
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
フハハハハハハ
この高笑い・・・タマラン
491:
492:IUT応援団 団員
20/05/10 20:12:24.47 vZYbiwt9.net
GlqIB1Mzさん
どこのどなたかしりませんが
そのガラの悪い広島弁の男を
連れて帰っていただけますか
まったく、すぅちゃんも悲しむよ・・・
おしい！広島県
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
ツインテールのすぅちゃん、マジカワイイ！
493:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 20:23:42 mjl0bfS3.net
>>448
渕野流では、（分出公理）と（置換公理）と、2つ並べて、公理を10個挙げている
”置換公理は，分出公理の拡張になっており，実際，置換公理と他の集合論の
公理から，分出公理の一つ一つの主張を導きだすことができる”
と書いている。本当は 「分出定理」だろうけど、分り易くしたのだろう
ここらは、言ったモノ勝ち みたいなものでしょうかね？ｗ（＾＾；
（>>436 Yourpediaより）
”ZFCは無限個の公理からできている。仮に有限個の公理型に分類しても定式化の仕方によるので9個とは言い切れない”
これだけは無いなｗ（＾＾；
アホやな
いや、正直 これ 何年も前に見たんだけど、「おかしなことを書いている、はてな？」という印象だけ残っていたんだが
やっぱり、アホだったんだｗ（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
数学の基礎としての集合論
vs. 数学としての集合論 0
渕野 昌 (Saka´e Fuchino)
神戸大学大学院 システム情報学研究科
0このテキストは，著者の中部大学在職中の 2003 年 9 月 24 日に，千葉大で開かれた数学
会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです．
Ｐ2
2 数学の基礎としての集合論
以下で述べる公理系は，ツェルメロ (Ernst Zermelo, 1871?1953) により
定式化され，フレンケル (Abraham Fraenkel, 1891?1965) によりさらに拡張
されて得られた体系に基づくもので，ZFC とよばれている．
（外延性公理）
（空集合公理）
（対の公理）
（和集合の公理）
（分出公理）
（無限公理）
（べき集合の公理）
（置換公理）
（基礎の公理）
（選択公理）
置換公理は，分出公理の拡張になっており，実際，置換公理と他の集合論の
公理から，分出公理の一つ一つの主張を導きだすことができる．これまでの
他の公理と違い，置換公理は通常の数学の議論では用いられることが稀な公
理である．古典的な数学にこの公理が必要となることはない，と断言しても
よいくらいである．しかし 20 世紀以降の数学では，たとえば，ボレル集合
に関するいくつかの重要な結果で，この公理が本質的に用いられていること
が知られている
494:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 20:28:33 mjl0bfS3.net
>>437
>つまり、人類が今まで書いたことがないほど長い論理式を書いてもいい
だから、有限なんでしょ？
有限でなにが悪い？（＾＾
それって、有限の話でしかないよなｗｗ（＾＾；
495:IUT応援団 団員
20/05/10 20:30:28 vZYbiwt9.net
団長～、まだ９個に固執してるんすか どこまでド素人なんですか？
どうせなら、Kunenのここ↓引用すればいいのに
読んでないんすか？
初等数学に、基礎の公理は要らないって、書いてますよ！！！
ZFC = Axioms 1–9. ZF = Axioms 1–8.
ZC and Z are ZFC and ZF, respectively, with Axiom 6 (Replacement) deleted.
Z －, ZF －, ZC －, ZFC － are Z , ZF, ZC , ZFC, respectively, with Axiom 2 (Foundation) deleted
Most of elementary mathematics takes place within ZC － (approximately, Zermelo’s theory).
The Replacement Axiom allows you to build sets of size ℵω and bigger.
It also lets you represent well-orderings by von Neumann ordinals, which is notationally useful, although not strictly necessary.
（翻訳）
初等数学のほとんどはZC-（おおよそ、ツェルメロの理論）内で行われます。
Replacement Axiomを使用すると、サイズℵω以上のセットを構築できます。
また、厳密には必要ではありませんが、記法としては便利ですが、
フォンノイマン序数によって適切な順序を表すこともできます。
496:IUT応援団 団員
20/05/10 20:32:24 vZYbiwt9.net
>>457
団長～、まーだ、有限個に固執してるんすか？どこまでド素人なんですか？
497:粋蕎
20/05/10 20:58:13.50 9DDwSwNg.net
>>453
ほれ見ろ姐さん。此の、め～爺とやらは>>442添付スレに拉致っといた方がええんじゃ｡
498:IUT応援団 団員
20/05/10 21:10:52.43 vZYbiwt9.net
あれ～、もしかして自分が全然理解できない話聞かされてムカついてんの？
だったら数学板見るのやめたほうがいいよ 素人に大学数学は無理だからぁ
499:粋蕎
20/05/10 21:19:31.06 9DDwSwNg.net
数学者失格以前に人間失格
500:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 21:35:42 mjl0bfS3.net
>>458
>初等数学に、基礎の公理は要らないって、書いてますよ！！！
>また、厳密には必要ではありませんが、記法としては便利です
渕野（下記）にも同様の記述あるよ
なお、それ”9個 or 無限？” からの論点ずらしだな（＾＾
（参考）
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
数学の基礎としての集合論
vs. 数学としての集合論
渕野 昌 (Saka´e Fuchino)
神戸大学大学院 システム情報学研究科
このテキストは，著者の中部大学在職中の 2003 年 9 月 24 日に，千葉大で開かれた数学
会の秋季総合分科会の企画特別講演として講演したものの予稿に若干手を加えたものです．
(抜粋)
P5
次の基礎の公理と呼ばれるものも，通常の数学の議論ではほとんど用い
られることがないものである．
（基礎の公理）
空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
基礎の公理から，すべての集合 x に対し x ∈ x とはならないことがわかる．
また，集合の列 x0, x1, x2, . . . で，xn ∋ xn+1 がすべての n ∈ N に対し
成り立つなら，x = {xn : n ∈ N} とすると，x は基礎の公理の反例になってしまう．
したがって，基礎の公理のもとでは，このような集合列は存在しない．
基礎の公理は技術的な理由で付け加えられた公理と言えるが，
この公理を集合論の公理系に加えることの妥当性は，
(1) x ∪ P(x) ∪ P(P(x)) ∪ ・ ・ ・の7任意の部分集合が ∈ に関する極小元を持つような集合 x の全体が基礎の公理を含む集合論の公理系を満たすものになること
? 特にこのことから，ZFC から基礎の公理を除いたものが矛盾しないなら，（基礎の公理も含む）ZFC も矛盾しないことがわかる；
(2) 上で定義した N, P(N), . . . など集合論の枠組の中で通常の数学を展開するのに必要となる集合は，すべて (1) のような性質を持つものになっていること；
(3) 基礎の公理での性質を満たさない集合の存在を保証する公理を集合論の他の公理に付け加えても (1) の性質を持つ集合に関しては何ら新しい結論が得られないこと8，により保証されている，と考えることができる．
注8つまり，このような拡張された公理系は集合論の公理系の一種の保守拡大になっている．
501:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/10 22:50:34 mjl0bfS3.net
>>463
>（基礎の公理）
>基礎の公理から，すべての集合 x に対し x ∈ x とはならないことがわかる．
＜追加＞
１．「x ∈ x とはならない」とは、どういうことか？
２．それは、「記号”∈”の性質を規定している」と理解するのが良いと思う
（集合の性質を決めているというよりも）
例えば、下記の∈-帰納法に関係し、
∈による順序が 等号を含まない ”＜”（不等号）、
あるいは⊂（⊆の等号無し）のように
作用することを意味するのだと
３．ノイマン構成で、自然数 0,1,2,・・を作ると、0∈1∈2∈・・ となるのです
このとき、∈-順序で 整礎関係が構成できるのです（∵等号を含まないから）
４．だから、∈-帰納法を使えて、数学的帰納法を走らせることができます
５．これは、「基礎の公理」を使う大きなメリットと思います
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
整礎関係
数学において、二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]。
帰納法と再帰
整礎関係が興味深い重要な理由は、それによって超限帰納法の一種が考えられることにある。
帰属関係を整礎関係に選べば∈-帰納法として知られる帰納法が定まる
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Well-founded relation
(抜粋)
Induction and recursion
When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, {\displaystyle \in }\in -induction (epsilon-induction or set-induction) is a variant of transfinite induction.
Considered as an alternative set theory axiom schema, it is called the Axiom (schema) of (set) induction.
It can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P(x). This is a special case of well-founded induction.
502:１３２人目の素数さん
20/05/10 23:58:59 ANF/kJTD.net
>>456
9個の公理系は、公理系が９個に限られるかではなくて、
ツェルメロ (Ernst Zermelo)が当時時点で定義した公理系が９個であった、という話でもある気がしているよ。
つまり、公理系が幾つあるかという真実とは違って、ツェルメロが定義した過去のある時点で公理系の「定義」なだけで、それが数学の歴史で有名という捉え方で良い気がして、見てます。
だから、その定義の時点での考え方を引用して、そこからどのよう数学的な考え方を拡大、あるいは新しい数学概念であるか、という観点で理論を位置づける視点（IUT-?を含む）で引用があっても別段に良い。
数学者集団ブルバキの言うところ、
「もし，未来にそれ(現在の数学の枠組みとなっている公理的集合論)が破綻しても数学は必ずや新しい基礎を見つけるだろう」
結局のところ、公理系は 数学の枠組みが破綻して、新しい基礎をみつける、の繰り返し、なのだし。
503:現代数学の系譜 雑談
20/05/11 00:05:30.65 AHfZgdJQ.net
>>225
(引用開始)
私の研究の主なテーマは、「双曲的代数曲線の数論」です。「双曲的代数曲線」とは、
大雑把に言うと、多項式で定義される幾何学的な対象の中で、上半平面で一意化され
るリーマン面に対応するものです。ただし、複素数体の上でしか意味を成さないリー
マン面の理論と違って、代数的な対応物を扱うことによって、数体や p 進局所体と
(引用終り)
「上半平面」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
上半平面
(抜粋)
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H など と記す
（このとき、下半平面は H? などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
双曲モデル
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。
双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。
SL(2) の表現論
上半平面にリー群 GL(2, R) が
（計量を保って）作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
略
が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散
504:部分群（しばしば Γ で表される）の作用で H を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。
505:現代数学の系譜 雑談
20/05/11 00:12:40.67 AHfZgdJQ.net
>>465
コメントありがとう
9個の話は、下記
”[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice -
cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].”
で、”the nine axioms”に言い掛かりつけて、「望月先生が、基礎論・集合論を分かってない」というに
私は、” [Drk], Chapter 1, §3].”を見なきゃ、始まらないだろうし
[Drk]氏が、その著作にどう書いているの問題でもあるので
「望月先生が、基礎論・集合論を分かってない」という根拠には、全くならないって話なのです（＾＾；
（参考）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY IV: ¨
LOG-VOLUME COMPUTATIONS AND
SET-THEORETIC FOUNDATIONS
Shinichi Mochizuki
April 2020
P67
Section 3: Inter-universal Formalism: the Language of Species
In the following discussion, we shall work with various models - consisting
of “sets” and a relation “∈” - of the standard ZFC axioms of axiomatic set theory
[i.e., the nine axioms of Zermelo-Fraenkel, together with the axiom of choice -
cf., e.g., [Drk], Chapter 1, §3].
506:１３２人目の素数さん
20/05/11 05:39:31.43 kXMTgaMH.net
URLﾘﾝｸ(youtu.be)
507:現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE
20/05/11 07:27:24 AHfZgdJQ.net
>>468
投稿ありがとう
新垣結衣ちゃん
1988年（昭和63年）6月11日[3] -か
32歳？
そろそろ結婚しないと
結婚しない（しなかった）理由に
仕事が順調すぎるってのがある
シゴトが順調で、シゴトが面白いから ってね
それと、芸能界では つき合いの範囲が狭いし
（望月先生とか佐藤幹夫先生に同じかも（＾＾； ）
結衣ちゃん 、結婚がんばってー！
（参考）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
新垣結衣
新垣 結衣（あらがき ゆい[1][3]、1988年（昭和63年）6月11日[3] - ）は、日本の女優[5][6]、歌手[5][7]、ファッションモデル[5]。主な愛称はガッキー[1]。沖縄県出身[3]。レプロエンタテインメント所属。
人物
2007年3月に日出高等学校卒業。同級生には多部未華子がいる。
好きなアーティストは同郷（沖縄県出身）のSPEED[17]。2013年4月に放送された『はなまるマーケット』（TBS）では、小学生時代はSPEEDに入ることが夢で、沖縄アクターズスクールの試験を受けたものの不合格だったというエピソードを披露している[17]。
508:現代数学の系譜 雑談
20/05/11 07:34:32.27 AHfZgdJQ.net
>>465
コメントありがとう
(引用開始)
だから、その定義の時点での考え方を引用して、そこからどのよう数学的な考え方を拡大、あるいは新しい数学概念であるか、という観点で理論を位置づける視点（IUT-Ⅳを含む）で引用があっても別段に良い。
数学者集団ブルバキの言うところ、
「もし，未来にそれ(現在の数学の枠組みとなっている公理的集合論)が破綻しても数学は必ずや新しい基礎を見つけるだろう」
結局のところ、公理系は 数学の枠組みが破綻して、新しい基礎をみつける、の繰り返し、なのだし。
(引用終り)
まさにまさに、同意です
下記の渕野先生と同じですね（＾＾
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
ゲーデルの不完全性定理と
無限の研究としての集合論
渕野 昌
神戸大学大学院 情報システム学研究
（於）神戸大学生活共同組合
和風レストラン さくら
サイエンス・カフェー神戸
20100515
(抜粋)
第一不完全性定理が集合論にもたらしたものは，「不完全」と
いう否定的なファクターであるよりは，むしろ，集合論，あ
るいは数学の
open endless
（未来へ無限に開かれていること）
であるように思える