20/05/04 11:43:10 ncpDqOGk.net
>>22
つづき
P5
3. 局所体のガロア群の構造について
定義 3.1. K が (普通の意味での) 局所体とは K が完備離散付値体で剰余体 k が有限
であるものをいう.
R ⊂ K を付値環, ? ∈ R を素元とする. 剰余体 k := R/?R は有限体なので k の標
数はある素数 p である. このとき, ２通りの場合が考えられる. (以下のように分類さ
れることの証明は例えば [AM, 定理 2.5.1] などを参照のこと.)
(1) K の標数が 0 のとき.
K は自然に Qp の有限次拡大となることがわかる. （このような K は混標数
(0, p) の局所体とよばれる）
(2) K の標数が 0 でないとき.
K の標数は剰余体 k の標数 p と一致し, R = k[[?]] かつ K = k((?)) となる
こともわかる. (このような K は等標数の局所体とよばれる)
注意 3.2. (1) 実際には, 局所体に関するかなりの理論が混標数と等標数とに対し
て同様に成り立ち, 統一して記述できることが多い（この２つが唯一の非自
明な局所コンパクト位相体である）
(2) 一方で場合によっては混標数の方が複雑なこともありより面白いこともある.
また, 混標数の局所体は代数体の各素点における完備化として現れることか
らもより重要度が高い.
(3) また, Fontaine-Wintenberger による「ノルム体の理論」があり, 標数 0 の局
所体 K の絶対ガロア群のある大きな閉部分群 H ⊂ GK に対して, ある等標数
p の局所体 K′ が存在して
H ~= GK′
となる驚くべき結果もあり, 混標数の局所体の問題が等標数の局所体の問題
に帰着されることによる応用もある^5.
(引用終り)
以上