Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 44

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 44at MATH

Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 44 - 暇つぶし2ch139:Mじられない様な衝撃的な応用を数多く持つ。それらの応用については [Ito] を見られたい。本稿ではperfectoid空間の定義を正確に述べ、tilting 同値の証明を紹介することを主な目的とした。tilting同値は混標数における perfectoid空間X に対してtilt と呼ばれる等標数における perfectoid 空間 X^{\flat} を関手的に作る方法を与える。これにより混標数の世界から等標数の世界に移行することができる。しかもその相方 X^{\flat} はX と非常によく似た数論的性質を持つことがわかる。この意味で等標数も混標数も十分極限を取ると数論的に同じ様な振る舞いをするといった類いの現象を巧妙に捉えたものになっている。また、perfectoid空間のお陰でこれまで取り扱えなかったある種のリジッド解析空間の逆極限も幾何的対象として取り扱えるようになった。[Sch, §1?§7] では大略、以下の三つのことが示されている。 (a) perfectoid空間を導入し、混標数における perfectoid空間 Xから tilt と呼ばれる等標数における perfectoid空間 X^{\flat} を定義した (tilting 同値) 。 (b) perfectoid空間は解析が展開できる良い幾何学的対象とみなせることを示した (テイトの非輪状性定理)。 (c) X と X^{\flat} はよく似た数論的性質を持つことを示した (これらのエタールサイトの同型)。前述通り本稿では (a) については詳述する。(b), (c) の証明では (a) のtilting同値が重要な役割を果たす。(b), (c) については紙幅の都合もあり主張と証明の方針を述べるにとどまった。但し、perfectoid空間のエタールサイトの定義は本稿で述べる。

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