20/04/08 12:07:48.69 nK/xjLmB.net
∃a(a∈A∩B⇒a∈A∪B)
∃b(b∈A∪B⇒a∈A∩B)
どちらも適当に元を選べば成立する
同様にある元に対して適当に元を選べば
(共通部分の元と和集合の元が一致するように選ぶ)
論理和 ⇒ 和集合 ⇒ 共通部分
論理積 ⇒ 共通部分 ⇒ 和集合
が成立する
また集合族の場合も同様である
λ∈Λ：集合
A_λ：集合
とする
∩[λ∈Λ]A_λ ⇒ ∪[λ∈Λ]A_λ
∪[λ∈Λ]A_λ ⇒ ∩[λ∈Λ]A_λ
但し
∩[λ∈Λ]A_λ：={x| ∃λ∈Λ(∃x∈A_λ)}
∪[λ∈Λ]A_λ：={y| ∃μ∈Λ(∃y∈A_μ)}
つまりA_λの和集合と共通集合はともに自由にλとμを選べるので
λとμとが一致するようにΛの元を選べばよい
もしかするとA_λの共通部分について∀λ∈Λではないかという異論があると思うが
私は全称命題から存在命題を導出することができないことより
すべての元からある元を取り出すことはできないと考える
そのため元を取り出す集合の条件はすべて存在命題であると定義する