20/03/12 15:06:20.55 0mataGei.net
>>25
>別の切り方などと勝手に話をすり替えられても困るよ
>まだ切ってすらおらず、食っていないないケーキがなぜ腹にあるのかという問いなのだから
>
>＞n回目に切るのは円ではなく、残されたπ/2^(n-1)の長さの弧だよ
>＞これを半分に切りπ/2^nの長さの弧を作り、1/2^(n-1)のケーキを切って1/2^nにする
>＞この作業で、1/2^(n+1)のケーキがどこにある？
>>10に書いたように、丸いケーキの切り方には何通りかあって、
1回目は縦、2回目は横、3回目は1、2回目とどちらにも垂直な方向に切る。
4回目以降はお前さんがいうように上から眺めて切る。
このように切ると、x軸、y軸、z軸により直交座標系が定められた3次元空間の座標系の位置の関係上、
4回目以降切るときは原点を通りつつ3次元 Euclid 空間 R^3 内の3つの超平面xy平面、yz平面、xz平面の中の
1つの座標平面を適当に切るから、原点の対称性から
1回目で3次元ルベーグ測度が 1/2 のケーキが2個、
2回目で3次元ルベーグ測度が 1/4 のケーキが4個、
3回目で3次元ルベーグ測度が 1/8 のケーキが8個、
4回目で3次元ルベーグ測度が 1/4×1/2＝1/8 のケーキが8個
5回目で3次元ルベーグ測度が 1/8×1/2＝1/16 のケーキが8個
6回目で3次元ルベーグ測度が 1/16×1/2＝1/32 のケーキが8個
……
n (n≧4) 回目で3次元ルベーグ測度が (1/2)^{n-2}×1/2＝(1/2)^{n-1} のケーキが8個
……
というように切れる。