20/05/20 21:31:14 y6TLK5vJ.net
>>193
お答えします
１．下記の 例 3: 真性不連続の図と式を見て下さい
２．この図で、5/(x-1)＝π/6 (つまり x=1+30/π)とすると f(x)＝1/2です
３．で、εを小さく 例えば ε＝0.1 とすれば、Yの側で 1/2±0.1 で、真性不連続点を含まない範囲に取れます。
４．しかし、ε＝2として、1/2±2の範囲を考えると、真性不連続点を含むことになります。それは、数学的には面白くない状況であり、あまり意味がない
５．たしかに、仰るように ”連続性の定義のε-δ に反しているわけではない”ですね（多分、厳密には（小さいεのδの値を、大きいεに適用すれば良い？））。
６．だが、明らかに 数学的に重要なのは、「εをいくらでも小さく取れる」であり、力点は「εの小さい方」にありますよね （＾＾；
（それに、εが大きすぎると、ε-δ法に対する 位相空間の開集合の逆像を使う方法 との関係も見にくいし）
（参考）
(>>187より)
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
不連続性の分類
(抜粋)
例 3: 真性不連続性
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
3. 函数
f(x)
= sin(5/(x-1)) for x<1
= 0 for x=1
= 0.1/(x-1) for x>1
を考えれば、点 x0 = 1 は真性不連続点である。真性不連続点であるためには、極限のどちらか一方が存在しないか無限大であればよい。
なお、この例の関数を複素数変数に拡張しても、その不連続性は真性不連続性である。
(>>193より)
URLﾘﾝｸ(mathtrain.jp)
高校数学の美しい物語
関数の連続性と一様連続性 最終更新:2019/06/05
(抜粋)
連続性の定義：
考えている区間内の任意の実数 a と，任意の正の実数 ε に対して，ある δ が存在して「|x-a|<δ なら |f(x)-f(a)|<ε」が成立する。
(引用終り)