純粋・応用数学

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純粋・応用数学 - 暇つぶし2ch209:, この例こそは「連続／不連続とは何か」をもっとも端的な形で示しています. ほとんど明らかながら, 一通り証明しましょう. 密着空間からの写像 g はどうでしょうか. このとき, 定義域の 2 点で "とても近い" にも拘わらず, 写像で写してみると "近い" とは言いきれない組が存在しており, この写像が「近い点を近い点に写す」という標語に適するとは考えられません. 　では「近い点を近い点に写す」という標語を充たす写像を求めるにはどうすればよいのでしょう. この標語を精確に表現するならば, ある点の像 f(x) の近傍を考える場合に, x の (それなりの) 近傍がその近傍中に写されるような写像こそを連続写像と定めたいのです. このような写像を求めるには, ε-δ 論法の時と同様に, まず値域での関係, すなわち「2 点の像は "近い" のか」を最初に問わねばなりません. そのうえで, それらを引き戻すことで「定義域内では近いのに, 写すとそれほど近いとは言えない」ような点が存在するかを論じることができます. 　これを位相構造, すなわち開集合だけで表現しようとしたものが「開集合の逆像はまた開集合である」という連続の定義に他ならないのです. 　最後までご覧いただきありがとうございました. 参考になりましたら, こちらもポチッと. （付録）連結性, 連続性および位相について (その２) 2018年08月03日この位相空間 X を R の素スペクトルといい, Spec R と表す. また, このように定義される位相をザリスキ位相という. (引用終り) 以上

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