分からない問題はここに書いてね458at MATH
分からない問題はここに書いてね458 - 暇つぶし2ch913:132人目の素数さん
20/03/23 20:48:10.79 Q1ISEmaR.net
>>886
準備1: オイラーφ関数
 φ(5^10) = 5^9 (5-1) = 5^9*2^2
準備2: ユークリッド互除法
 1745224 *2^10 - 183 *5^10 = 1  {計算方法は省略}
2^{2^{2^{2^{2^{2 }...} ≡ 0 (mod 2^10)  {∵2の因子の多さは明らか...}
2^{2^{2^{2^{2^{2 }...}
≡ 2^{ 2^{ 1024*64 } (mod 5^9*2^2) }}  (mod 5^10) {∵フェルマーの小定理}
≡ 2^{ 406736 }  (mod 5^10)  {※}
≡ (1-5)^203368  (mod 5^10)
≡ 1 + (-5)*C{203368,1} + 5^2* C{203368,2} +... +(-5)^9 *C{203368,9} (mod 5^10)
≡ 5788111 (mod 5^10)
中国人剰余定理より
2^2^2^2^2^2 ≡ 0*(-183*5^10) + 5788111*(1745224*2^10) (mod 2^10*5^10)
≡ (57*10^5 + 88111)* (17*10^5*45224)* 1024 (mod 10^10)
≡ ((57*45224 + 88111*17)*10^5 +88111*45224 )*1024 (mod 10^10)
≡ 421427437428736 (mod 10^10)
≡ 7437428736 (mod 10^10)
∴ 2^2^2^2^2^2 = ..... 7437428736
※ ここは多倍長計算可能な数式ソフトに任せた。
常識的な桁数で済ませたいなら後半と同様に (1-5)^{ 1024*32 } (mod 5^9) etc. を計算したらよい。


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