20/02/12 07:32:37 eWvaFFv2.net
>>59
へぇ、そんなのもあるんですね。
でも流石に数オリの本じゃなんでこんな現象が起こるのかの背景とかの解説とかはないですよね？
65:１３２人目の素数さん
20/02/12 11:27:02 gcVMlOK4.net
>>64 背景はわからんけど。。
URLﾘﾝｸ(ikuro-kotaro.sakura.ne.jp)
URLﾘﾝｸ(ikuro-kotaro.sakura.ne.jp)
66:１３２人目の素数さん
20/02/12 13:42:33 A6nXAmeV.net
>>58
『差分と超離散』 共立出版
にその辺をいじった内容を見つけられます。
67:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:32:56.32 zRgTIGur.net
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
ちょっとした応用で詰まるの本当に悔しいです。
68:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:38:36.95 gcVMlOK4.net
>>66 をヒントに解説っぽいのがあった
URLﾘﾝｸ(hakotama.jp)
69:１３２人目の素数さん
20/02/12 16:55:08.08 hAbGAKxI.net
>>67
3^x=Xとか置けば
(i) X+1/X=t
t^2=X^2+1/X^2 + 2
(ii) X^2+1/X^2=t^2-2
(t^2-2)t=(X^2+1/X^2)(X+1/X)=X^3+1/X^3+X+1/X=X^3+1/X^3+t
(iii) X^3+1/X^3=(t^2-3)t
あとは代入して整理すれば(1)の答えが得られる
以降三次関数の問題
70:１３２人目の素数さん
20/02/12 20:29:57.34 uWBQqkSN.net
>>67
[3] 関数 f(x) = 27^x＋27^(-x) - 5(9^x＋9^(-x)) + 3(3^x＋3^(-x)) -10 について、以下の問いに答えよ。
(1) t = 3^x + 3^(-x) とおくとき、f(x) をtで表わせ。
(2) tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) f(x)の最小値と、そのときのxの値を求めよ。
------------------------------------------------------------------------
(1)
>>69 より
f(x) = (t^3 -3t) -5(tt-2) +3t -10 = t^3 -5tt,
(2)
t = 2 + {3^(x/2) - 3^(-x/2)}^2 ≧ 2,
(3)
f(x) + 500/27 = (t+5/3)(t-10/3)^2 ≧ 0,
f(x) ≧ f(10/3) = -500/27.
71:１３２人目の素数さん
20/02/12 20:38:00.34 uWBQqkSN.net
>>65 から拝借････
[1] c_n = c_{n-1},
[2] c_n = k - c_{n-1}, c_n = kk/c_{n-1}, c_n = k c_{n-1}/(c_{n-1} - k),
[3] c_n = kk/(k - c_{n-1}), c_n = k(c_{n-1} - k)/c_{n-1}),
[5] c_n = (c_{n-1} +1) /c_{n-2}, (ライネス) (岡山大2019)
[6] c_n = k c_{n-1}/c_{n-2},
[8] c_n = (c_{n-1} +c_{n-2} +1) /c_{n-3}, (トッド)
k：定数
72:１３２人目の素数さん
20/02/12 21:34:14.66 IJFWAL+A.net
>>66
ありがとうございます。
その本読むとこの不思議な周期性もつ漸化式をボコボコ作れたりします？
73:１３２人目の素数さん
20/02/12 22:36:15 A6nXAmeV.net
>>72
例えば、
x[n+1]={x[n]-tan^2(π/N)}/{x[n]+1}
とすると、周期N(ただしN>2) の数列が作れること等が記されています。
これには、微分方程式 du/dt=-b(1+u^2) が関係してるようです。
普通に微分方程式
74:として解を求めると、 u =-tan(b(t-t0)) で、周期的な解が得られますが、 u[n+1]-u[n]=-δb(1+u[n+1]u[n]) のような差分化を行い、文字を置き換えると、x[n+1]={x[n]-c^2}/{x[n]+1} となるが、c=tan(π/N)の時、周期性がみられるとの ことです。 >>71 さんが紹介されたもの以外で、長周期なものとして x[n]=|x[n-1]|-x[n-2] ；周期9 x[n+3]=(a0+a1(x[n+1]+x[n+2])+x[n]*x[n+1])/(x[n]-x[n+2]) ；周期12 x[n+4]=x[n]*x[n+3]/(x[n]*x[n+2]-x[n+1]) ；周期12 等が紹介されています。 >> その本読むとこの不思議な周期性もつ漸化式をボコボコ作れたりします？ どうでしょう？ この本は、「周期を持つものを、このようにして探して、 このようなものを見つけました。」というスタンスで書かれています。
75:１３２人目の素数さん
20/02/12 23:58:03 zJwcq4SY.net
トランプのハートのカード13枚から、同時に3枚取り出すとき、その3枚のカードの和が13の倍数になるような組み合わせは何通りあるか？
よろしくお願いします。
76:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:04:02 V8+/ESVC.net
074 １３２人目の素数さん 2020/02/12 23:58:03
トランプのハートのカード13枚から、同時に3枚取り出すとき、その3枚のカードの和が13の倍数になるような組み合わせは何通りあるか？
以下、解答と質問部分
解答では1つの例として、取り出し方（2,8,9）に対して、（1,1,1）を加えていき、12回まで足して出てきた（）の組を一つの兄弟のように考えているのですが、この（）の組の合計が13C3になるのが理解できません
頭の良い方よろしくお願いします
77:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:20:43.95 V8+/ESVC.net
元の数（2.8.9）から始まり（3.9.10）～（1.7.8）と13通りあり、このどの数字とも被らない元の数の取り方が分からないです
本当によろしくお願いします
78:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:31:02.37 lh+Nk0+2.net
>>73
なるほど。
無限系列でいくらでもあるというわけではないんですね。
長と春休みに入るので入手してみます。
ありがとうございました。
79:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:38:45.33 t/RQBybR.net
>>286
というより元々13C3=286これある組み合わせを13個ずつ22組みに分類するんですよ。
第一類
123,234,345,456,‥,jqk,qk1,k12
第二類
124,235,346,457,‥,jq1,qk2,k13
‥‥
で各類に一個ずつ和が13の倍数になるものがある。
第一類の中にはqk1、第二類の中には346、‥
80:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:45:40.20 V8+/ESVC.net
>>78
解答ありがとうございます。
この22組に分類した時にどういう風に元の数
（1.2.3）や（1.2.4）を取ればいいのかが分からないです。
22組ってことは例えば（4.8.12）とかは元の数になり得るのでしょうか？
81:１３２人目の素数さん
20/02/13 00:48:23.07 V8+/ESVC.net
上の22組って事は、というのは元の数としてとれる組み合わせが限られてくるっていう意味です
82:１３２人目の素数さん
20/02/13 01:05:27.77 Y/HhZBoY.net
>>88
元の組みをまず最初に決めるのは数学的には完全代表系を選ぶという作業で一般にはとても難しい作業です。
今回ならいわゆる辞書式順序で一番若いものを代表元として選ぶなどという方法が取れます。
例えば48qならコレを含む類は
48q,59k,6t1,7j2,8q3,
9,k4,t15,j26,q37,k48,
159,26t,37j
の13個で辞書式に並べて一番若いのは159なのでコレを代表元とすれば良いとわかります。
どれが代表元になるかは代表元の選び方のルールに依ります。
辞書式順序で最後というルールにしてもいいし辞書式順序だけどアルファベットの順序は
48q123569tjk
の順序とすれば48qが代表元として選ばれます。
83:１３２人目の素数さん
20/02/13 01:16:35.15 V8+/ESVC.net
>>81
解答ありがとうございます
3つのカードの差に対して大小関係を決めた上で最初が1の時（1.～）を考えたとしても、36通りはありそうなので、だとしたら、この中のいくつかは被っているという事でしょうか？
84:１３２人目の素数さん
20/02/13 01:18:28.09 V8+/ESVC.net
>>82
回答ありがとうございます、です。すみません。
85:１３２人目の素数さん
20/02/13 01:46:48.51 0+9MC779.net
>>62
そうですね。
被りなくダブりなく代表元を選ぶルールを見つけるのは一般にとても難しいので組の数をそのような代表元の数を数えて調べるのはとても難しい問題になることが多いですね。
正解の22にたいして36は相当多いのでそのルールだと大分被ってるんだと思います。
書き出して確かめてみるといいと思います。
86:１３２人目の素数さん
20/02/13 02:09:03.77 XNVBmcca.net
例えば代表元のルールとして
(i,jk)が代表元(i<j<k)
⇔
・I=1、
・j-i≦k-j, j-i<13+i-k (発生する三つの隙間のうちj-iが一番小さくなるようにする。二つあるときはk-jとj-iが最小にする。
というルールで行けます。
条件は
2j-1≦k≦14-j
と整理され各jに対して適合するkは16-3j個。
これが正、勝2以上なのでjの範囲は2～5。
それぞれkは10,7,4,1個あるので計22個です。
しかしc[13,3]÷13=286÷13=22の方が遥かに優れていますを
87:１３２人目の素数さん
20/02/13 07:00:21.43 QlSlHm7T.net
2次関数
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=cx^2+bx+a
を考える。
条件『-1≦x≦1において|g(x)|≦1』を満たすように実数a,b,cを変化させるとき、-1≦x≦1における|f(x)|の最小値の最大値を求めよ。
88:１３２人目の素数さん
20/02/13 07:22:08.71 8bKSb4oB.net
>>73
与式より
{1-i･tan(π/N)}/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - {1+tan(π/N)}/{x[n] -i･tan(π/N)} = 1,
cos(π/N) を掛けて
ζ^(-1/2)/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - ζ^(1/2)/{x[n] -i･tan(π/N)} = cos(π/N),
ここに
ζ_N = exp(2πi/N) = {1+i/tan(π/N)}/{1-i･tan(π/N)},
である。(1のN乗根)
そこで
y[n] = ζ^(-n)/{x[n] - i･tan(π/N)}
とおくと
y[n+1] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2),
y[n+N] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2)Σ[k=0,N-1] ζ^(-k) = 0,
y[n] は周期Nをもつ。
x[n] も周期Nをもつ。
89:１３２人目の素数さん
20/02/13 07:47:56.64 8bKSb4oB.net
訂正を････orz.
与式より
{1-i･tan(π/N)}/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - {1+ｉ･tan(π/N)}/{x[n] -i･tan(π/N)} = 1,
ここに
ζ_N = exp(2πi/N) = {1+i・tan(π/N)}/{1-i･tan(π/N)},
である。(1のN乗根)
90:１３２人目の素数さん
20/02/13 11:36:22.27 SR5T1VDy.net
関数方程式 f(f(x))=x を満たす関数って
f(x)=(ax+b)/(cx+d) ( 行列A=[a b][c d] , A=A^2 ) 以外で何かありますか？
一般解があればそれも
91:１３２人目の素数さん
20/02/13 11:46:32.00 SR5T1VDy.net
>>89 wolframalphaに聞いたらこんな例が返ってきた。一般解は？だけど
f(x) = 1/2 (sqrt(c_1^2 + c_2 - 4 x^2) + c_1 x)
f(x) = (c - x^3)^(1/3)
92:１３２人目の素数さん
20/02/13 11:48:54.99 SR5T1VDy.net
あっf(x)=f^(-1)(x) だからy=xで対称ならなんでもいいのかな
93:１３２人目の素数さん
20/02/13 17:51:49.42 PqkVVtQo.net
ホモロジーの証明で分からないところがあるので教えてください
Xをn次元多様体、Kをその閉集合とする
(1) H_i(X,X-K)=0 (i＞n)
(2) a∈H_n(X,X-K)が0であることと、包含写像より誘導される準同型j_x:H(X,X-K)→H(X,X-x)について
任意のx∈Kでj_x(a)=0がが成り立つことが同値
という定理の証明ですが
まずKがコンパクトである場合を示したあとで、一般の閉集合Kについても
「a∈H_i(X,X-K)に対して、ある開集合U⊂Xが存在して、Uの閉包はコンパクトであり
aがあるb∈H_i(U,U-L) (L=U∩K)の自然な準同型の像になる」
ことから証明しているのですがこのカッコ内はなぜ成り立つのでしょうか
(出典は中岡ホモロジー代数のp125です)
94:１３２人目の素数さん
20/02/13 18:03:56.32 l/09n+Gs.net
>>91
f: X×X -> X×X; (x,y) |--> (y,x)
f(f(t))=t
￢: {T,F} -> {T,F}; T |--> F, F |--> T
￢(￢(x))=x
t: R^(2×2) -> R^(2×2); [[a,b],[c,d]] |--> [[a,c],[b,d]]
t(t(A))=A
...
95:１３２人目の素数さん
20/02/13 18:38:30.04 iOaxVOmG.net
>>92
まずC(X,X＼K)のi次のサイクルはXの単体複体Δで∂ΔがX＼Kのサイクルとなるものです。
そこでUとしてはΔに出てくる単体の合併のコンパクト近傍(の内部)をとります。
すると自然にΔはUの単体複体ですが∂ΔはU∩(X＼K)=U＼Kのサイクルになります。
96:１３２人目の素数さん
20/02/13 19:24:52 PqkVVtQo.net
>>94
回答ありがとうございます
Δに出てくる単体の合併についてコンパクト近傍が取れることはどのように言えるのでしょうか
97:１３２人目の素数さん
20/02/13 20:39:33.66 QlSlHm7T.net
平面上に一辺の長さ2の正方形ABCDと点Pがあり、PはPA+PB+PC+PD=rとなるように平面を動く。
（1）rの最小値を求めよ。
（2）rの値により、Pが動いてできる軌跡が閉曲線となることがある。そのようなrの範囲を求めよ。
（3）以下の場合に、Pが動いてできる曲線と正方形の重心との距離を求めよ。
(i) r=6、(ii) r=32
98:１３２人目の素数さん
20/02/13 23:02:43.27 iOaxVOmG.net
>>95
そもそも単体複体とは単体Dからの連続写像の形式線形結合で単体Dはコンパクト空間なのでその像もコンパクト、その有限合併もコンパクトです。
99:１３２人目の素数さん
20/02/13 23:38:08.98 QlSlHm7T.net
実定数b,cは、b^2-4c<0を満たす。
2次方程式x^2+bx+c=0の2解をα,βとする。p,qを0でない実定数とし、数列{a[n]}を、
a[1]=α、a[2]=β
a[n+1]=pa[n]+qa[n-1]
により定める。
（1）数列{a[n]}が周期を持つように(p,q)を1組定めよ。
（2）（1）で求めた1組以外にも{a[n]}が周期を持つような(p,q)が存在するならば、それらを全て決定せよ。
100:イナ
20/02/13 23:44:16.27 7VewwRjX.net
前>>48
>>96
(1)r=√2+√2+√2+√2
=4√2
(3)(i)重心からの距離をxとすると、
4つのうち2つはあわせて正方形の対角線だから2√2
あとの2つはピタゴラスの定理よりあわせて、
2√{x^2+(√2)^2}
4つあわせて、
2√2+2√(x^2+2)=6
√2+√(x^2+2)=3
√(x^2+2)=3-√2
x^2+2=11-6√2
x^2=9-2√18
x=√6-√3
101:１３２人目の素数さん
20/02/14 01:24:40.43 +LIgRaQK.net
>>97
ありがとうございます。
単体複体の像全体Vがコンパクトなので、Vの各点を(多様体の座標でみた)開球で覆っておいて
コンパクト性からそのうちの有限個で被覆できるため、それらの和をUとするとUの閉包は閉球の有限和なのでコンパクト
という感じで構成できました、感謝です。
102:１３２人目の素数さん
20/02/14 05:18:42.49 heAECOvK.net
>>90 を見ると、
f(x) ≠x が解なら g^(-1)(f(g(x))) も解
の希ガス
103:１３２人目の素数さん
20/02/14 06:03:43.17 heAECOvK.net
>>98
周期Nをもつには、
特性多項式 tt-pt-q の根が1の原始N乗根になればよい。
(p, q) = (2cos(2mπ/N), -1)
ただし、1≦m<N, gcd(m,N)=1, 4m≠N,3N
104:１３２人目の素数さん
20/02/14 13:44:03 DjKSALo3.net
一辺の長さnの正方形Sが、n^2個の一辺の長さ1の正方形のタイルで分割されている。マス目の一番左上のタイルには、1が記されている。
そこから以下のようにSに整数を記入していく。
・1の右のタイルに2を記入する
・2の下のタイルに3を記入し、3の左のタイルに4を記入する
・これで、Sの左上から2×2の正方形に数字が埋まった。さらに、4の右のタイルに5を記入し、5の右のタイルに6を記入し、…、最終的に2の右のタイルに9が記入され、3×3の正方形が完成する。
・以下、9の右に10を…と繰り返し、Sに蛇行状に整数を記入する。
【問題】
k=0,1,2,...,nとする。
整数nCkはどの場所のタイルに記されるか。
105:１３２人目の素数さん
20/02/14 20:16:57 U/iqVjXd.net
袋の中にn枚のカードがあり、それぞれに1,2,...,nの数が1つずつ書かれている。
いま、袋の中から無作為に1枚のカードを取り出し、書かれている数を見ないで破棄する。
残りn-1枚のカードが入った袋から、2枚のカードを同時に取り出し、それぞれに書かれた数を両方とも記録し、袋に戻すことを繰り返し行う。
破棄したカードを特定できるまでに、
（1）この操作を平均何回行うことになるか（注:必要な操作の回数の期待値を求めよ）。
（2）この操作により記録された数の総計の期待値を求めよ。
106:１３２人目の素数さん
20/02/14 21:42:34.20 U/iqVjXd.net
不等式
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
を満たすx≦y≦zなる自然数を全て求めよ。
107:１３２人目の素数さん
20/02/15 01:09:34 aay8PZgZ.net
>>105
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
(x^2+y^2+z^2)/3 < 2z
=> 6z-z^2=z(6-z)>0 より 1<=z<=5
x^2+y^2 < (x^2+y^2+z^2)/3
=> (z^2)/2 > x^2+y^2
∴ min((z^2)/2, 6z-z^2) > x^2+y^2
z=1,2,3,4,5のとき左辺は
1/2,2,9/2,8,5
（面倒なので）0は自然数でないとする
z=3 => (x,y)=(1,1)
z=4 => (x,y)=(1,1),(1,2)
z=5 => (x,y)=(1,1)
(x,y,z)=(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,2,4)
108:１３２人目の素数さん
20/02/15 01:12:12 9gkMRXwC.net
3次元空間の閉曲面
C:x^2n+y^2n+z^2n=1（nは2以上の自然数の定数）
と共有点を持つ平面のうち、Cと平面の共有点全体がなす曲線に囲まれる部分の面積を最大とするものをπとする。
【問題】
平面αが色々動くとき、αとCの共有点全体がなす曲線の周長をL(α)とする。
L(α)が最大となるのは、αがπと一致するときかどうかを判定せよ。
109:１３２人目の素数さん
20/02/15 02:49:44 bPTby7LT.net
πって円周率ぢゃないの～～？
Cってこんな形？
・善通寺スイカ(縞王)
URLﾘﾝｸ(www.city.zentsuji.kagawa.jp)
110:１３２人目の素数さん
20/02/15 03:41:27.95 bPTby7LT.net
この形を最大限利用するなら、箱にするのがいいんぢゃね？
URLﾘﾝｸ(ikedanaoya.com)
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) HikakinTV
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com) SeikinTV
ひょうたんの加工方法を参考に･･･
111:１３２人目の素数さん
20/02/15 13:59:45 l2YnDqpB.net
xy平面上の放物線y=x^2を絵に描くと地平線に接する楕円になるって話があるけど
双曲線 x^2-y^2=1を絵に描くと視点とキャンバスの関係によって楕円、双曲線、放物線のどれにもなるのですか？
112:１３２人目の素数さん
20/02/15 16:31:13 4/NAGLYu.net
やっぱり楕円の一部になるのでは？
113:１３２人目の素数さん
20/02/15 20:20:31 BobHJOBs.net
(2n,n)と(2n,n-1)の最大公約数が1であるための、nについての必要十分条件を求めよ。
114:１３２人目の素数さん
20/02/15 22:37:10 h/D6xsZJ.net
(2n,n)|n、(2n,n-1)|n-1、
∴((2n,n),(2n,n-1)) | (n,n-1)
115:１３２人目の素数さん
20/02/16 00:44:20.68 pjSAKz41.net
nを2以上の自然数の定数とする。
n次関数f_n(x)を
f_n(x)=(
116:x-1)(x-2)...(x-n) について、以下の問に答えよ。 （1）各k=1,2,...,n-1に対し、f_n(x)はk<x<k+1の範囲で極値をとることを示せ。 （2）nは偶数とする。 （1）で述べたn-1個の極値の中で、その絶対値が最も小さいものをa[n]とおく。 a[n]はどの区間にあるか、適当な整数jを用いてj<x<j+1のように述べよ。 （3）（2）において、極限lim[n→∞] a[n]を求めよ。
117:１３２人目の素数さん
20/02/16 12:42:49.50 WDF4g/tI.net
直線Lと点Pが与えられたときにPを通る垂線と平行線を定規だけで作図は可能か？
118:１３２人目の素数さん
20/02/16 13:59:20.14 EC7cx7O7.net
(a-e)(b-f)=(c-e)(d-f)なるn以下の非負整数の組(a,b,c,d,e,f)はいくつあるか。
119:１３２人目の素数さん
20/02/16 17:52:13 N9QZtxQk.net
>>112
(2n,n) = n
(2n,n-1) = (2,n-1) (n:奇数のとき2, n：偶数のとき1)
n>1
>>114
(1)
f(x) はRで微分可能である。
f(k) = f(k+1) = 0,
ロルの定理(*)により、
k<ξ<k+1, f '(ξ)=0 なるξがある。
f ' はn-1次多項式だから、各区間にちょうど1つある。
(2) f(n+1-x) = f(x) より
x = (n+1)/2 で極値。
n/2 < x < (n/2)+1,
a[n] = f((n+1)/2) = (-1)^(n/2) {(n-1)!!}^2 /(2^n)
(3) 発散する。
*) 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
p.47 第２章 微分法, §18.導函数の性質 定理19.
120:１３２人目の素数さん
20/02/17 07:20:41.71 e8jOHOIZ.net
(補足)
>>114
(2)
f(x+1)/f(x) = x/(x-n),
x<n/2 のとき |f(x+1)| < |f(x)|,
x>n/2 のとき |f(x+1)| > |f(x)|,
よって f(x)=a[n] となるxは
n/2 < x < (n/2) +1
121:１３２人目の素数さん
20/02/17 19:04:02.11 e8jOHOIZ.net
>>110
円錐 x^2 = y^2 + z^2 を平面z=1 で切ると双曲線 x^2-y^2=1 になる。
切る平面(キャンバス)の傾きと母線の傾きの関係で楕円、双曲線、放物線のどれにもなる。
122:１３２人目の素数さん
20/02/18 22:25:28.51 r9Gm+Aza.net
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)-x^k
が極値を持たないような2以上の自然数nと非負整数kの組(n,k)は存在しないことを示せ。
123:１３２人目の素数さん
20/02/18 22:52:58.15 06v9pOD9.net
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
124:１３２人目の素数さん
20/02/19 10:31:09 SOYXqN0N.net
三角形ABCの内接円と外接円がある円についての反転で互いに移りあっているとき
この円の中心と半径を求めてください
125:１３２人目の素数さん
20/02/19 12:07:14.96 WOZU/4dA.net
>>120
(n,k)=(2,2) のとき f(x) = -3x+2 (単調減少)
n：偶数, k：奇数, k>n のときも単調減少。>>121
126:１３２人目の素数さん
20/02/19 17:19:32 oSs+DME6.net
a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) の[0,∞)までの広義積分が収束するようなa,bの必要十分条件を求めよ。
ご教授願います。
127:１３２人目の素数さん
20/02/19 17:34:17 DKV+ww/5.net
Ｑ.１，２，４，８、・・・、２＾ｎ という数列から１つ数を選んだとき、その最高桁が１となる「確率」はいかほどか？
無限個の集合で考えなくてもかまいません
ｎを有限としてｎ→∞としてもかまいません
128:１３２人目の素数さん
20/02/19 18:36:24 aOs+m1eu.net
答えだけで良いなら 1/9
2進数なら確率1だね
129:１３２人目の素数さん
20/02/19 19:42:17 8K6AO46k.net
>>126
ブー 誤り
正しい確率は0.30102…
130:１３２人目の素数さん
20/02/19 20:00:57 XQIdA3Xt.net
>>126
ごめんなさい。>>127さんは悪気はないんです。元々の出題者さんなんです。
今も取り込み中で...お忙しいものですから、詳しくはガロアスレでやってます。。。
「ブー」←に負けないで！
頑張って下さい！
131:１３２人目の素数さん
20/02/19 21:51:00.97 SE+dbw8w.net
1,2,...,nの数が書かれたカードが1枚ずつ、合計n枚のカードがある。
A君はこのn枚の中から1つを選び、それに書かれた数Nを記憶する。
B君は以下の手順で、Nを特定する。
①B君は1,2,...,nの中から好きな数を1つ選び、A君に伝える。
②A君はその数がN以上だった場合、「以上」と答える。N未満だった場合、「未満」と答える。
この①と②を行うことを「操作」と呼ぶ。
③操作を繰り返す。
【問題】
B君がNを特定するまでに、B君は何回操作を行う必要があるか、その期待値をE(N)とおく。
E(N)を求め、またj=1,2,...,NのなかでE(j)はいくつの異なる値をとるか述べよ。すべてのjに対しE(j)が同じ値を取る場合は、異なる値は1つとする。
132:１３２人目の素数さん
20/02/19 21:55:20.01 z1VUWsY5.net
これはひどい
133:１３２人目の素数さん
20/02/20 01:18:46.40 xnE1kTs+.net
>>125
ベンフォード法則じゃないの？
134:１３２人目の素数さん
20/02/20 03:41:16.07 J/IN1lAb.net
等式
(a+b)/(c+d)=cd/ab
を満たす自然数a,b,c,dで、(a+b)/(c+d)と
cd/abがともに既約分数であるものを考える。
（1）このような(a,b,c,d)は無数に存在するか述べよ。
（2）（1）において、無数に存在する場合は(a,b,c,d)でa≧100を満たすものを1つ求めよ。
また有限組しか存在しない場合は、すべて求めよ。
135:１３２人目の素数さん
20/02/20 03:51:32.07 J/IN1lAb.net
点Oを中心とする半径rの円Cがある。
Cの周上の点Pにおける接線をL、L上に2点A,Bを△OABが正三角形になるようにとる。
BからOAに垂線を下ろし、この垂線とCとの交点のうちBに近い方をTとする。
比AT/OTを求めよ。
136:１３２人目の素数さん
20/02/20 05:02:47.12 LzL3xQkH.net
>>131
正解です！
137:哀れな素人
20/02/20 09:27:07 Wd/N0aBi.net
>>133
Tが円との交点であろうとなかろうと、
BからOAに下ろした垂線上の点なら、AT＝OTである（笑
138:１３２人目の素数さん
20/02/20 09:54:29.69 ZWVgPXIY.net
>>124
0 < a < 1 < a+b,
このとき
∫[0,∞] f(x)dx = ∫[0,1] f(x)dx + ∫[1,∞] f(x)dx
< ∫[0,1] 1/x^a dx + ∫[1,∞] 1/x^(a+b) dx
= 1/(1-a) + 1/(a+b-1),
a≧1 のとき
x^b + 1 ≦ 2 (0<x<1)
∫[0,1] f(x)dx >∫[0,1] 1/(2x^a) dx = ∞
a+b≦1 のとき
x^b + 1 ≦ 2x^b (x>1)
∫[1,∞] f(x)dx >∫[1,∞] 1/{(x^a)(2x^b)} dx = ∞
139:１３２人目の素数さん
20/02/20 10:43:22.70 l763LE7F.net
左からやる方法もあるのか
1100101
二進法→十進法
右から
1+4+32+64=101
左から
１→２倍して１足す
０→２倍
1, 3, 6, 12, 25, 50, 101
140:イナ
20/02/20 12:27:10.19 PRyo8w16.net
前>>99
>>133
AT/OT=1
∵Tが円C上にあろうとなかろうと正三角形の1つの頂点から向かいあう対辺に下ろした垂線は、これを二分するし、その途中のどの点とあとの2頂点を結んでもその2つの辺の長さは等しいから。
>>135同感。
141:１３２人目の素数さん
20/02/20 13:58:09 dyDRM8sK.net
白玉１６個と赤玉４個がある。これらを１０個の箱に各々２個ずつ無作為に分配するとき、
赤玉２個が入った箱がちょうど１つできる確率を求めよ。
玉の入る場所について、考慮しなくて良い、というイメージがわきません
最初�
142:ﾌ箱に赤玉二つ入るとした場合にも1/19×16/17×6となり、それが10C1×9C2個分あるのではないでしょうか（確率が1を超えてしまいますが…） どなたかよろしくお願いします
143:１３２人目の素数さん
20/02/20 14:13:08 BWBgHqRp.net
赤玉4つを順に入れいくとして
p(1と2が同じ箱、3と4が別箱)
=1/9×6/7
∴ 求める確率は
1/9×6/7×6。
144:１３２人目の素数さん
20/02/20 14:44:33.79 PsNGChDc.net
10×9×8×4/C[20,4]=192/323
145:１３２人目の素数さん
20/02/20 15:34:43.29 p3rwoqzA.net
-2≦x+y≦2…①
-2≦y+z≦2…②
-2≦z+x≦2…③
この時xの値域を求めよという問題で
3式足して2で割って
-3≦x+y+z≦3
-2≦-(y+z)≦2を加え
-5≦x≦5
これは間違いで
①+③より-4≦2x+y+z≦4、
-4-(y+z)≦2x≦4-(y+z)
②とあわせて2で割り-3≦x≦3
こちらだと正しい答えが出ます
正しい答えに辿り着くルートと間違いのルートはどう違うのでしょう？
また正しいルートでxの値域が正しく得られるという保証はどこからきているのですか？
146:１３２人目の素数さん
20/02/20 15:55:04.48 /s0OO/0s.net
>>142
問題を解くときは問題文の情報すべてを使わないといけない
正解の方法は、不等式①②③が持つ情報を3つ全て使ってる
さて初めの方法は、不等式②は使ってる。つまり情報3つのうち1つは使ってる
そこで肝心なのが、「不等式①②③を足して2で割ったもの…④」に残り2つの不等式①③の情報が含まれているかどうかだ
結論から言うと含まれていない
考えてみてほしいが、今使うべき2つの情報①③は
-2≦x+y≦2 …①
-2≦z+x≦2 …③
だが、この①③と先の投稿で作った不等式
-3≦x+y+z≦3…④
は対等だろうか？
対等じゃない、一方から他方を作ろうと試行錯誤してみればいい、そのうち作れないと何となく気づくだろう
ということで、長くなったが結論としては
「①②③を合わせて作った不等式④の情報は、①単独の情報と③単独の情報を合わせたよりも少ない」
「だから④を①③の代わりに使うと、不十分な解答が出る」
147:１３２人目の素数さん
20/02/20 16:07:18 l763LE7F.net
0≦x+y≦a…?
0≦x-y≦b…?
グラフ書いてみたら
0≦x≦(a+b)/2 とはならないことは言えるね。。
等号成立条件とか考えてみたらわかりそう
148:１３２人目の素数さん
20/02/20 16:22:46 dyDRM8sK.net
>>140,141
回答ありがとうございます
答えは96/323です
後、僕の疑問に答えて頂けると嬉しいです
149:１３２人目の素数さん
20/02/20 16:24:37 1BmL9yiS.net
>>136
ありがとうございます。
a,bを正の数としたとき、関数f(x)=1/(x^a(x^b+1)) のラプラス変換の収束座標を求めよ。
お願いします。
150:141
20/02/20 17:12:26 PsNGChDc.net
>>145
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある
151:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/20 17:20:11 PRyo8w16.net
前>>138
>>139
箱１２３４５６７８９10
→??????????
???????????
???……と番号順に玉を入れていくと、 ?が●の確率=4/20A?が●の確率=3/19
が○の確率=16/18
?が○の確率=15/17 7 ?率○=○14/1? 1 ……
?????が●の確率=2確/1率0=1/1
ちょっと文字化けが激しいが、すべて掛けあわせると、4845分の1
∴1/4845
152:１３２人目の素数さん
20/02/20 17:21:44 BWBgHqRp.net
>>145
p(1個目と2個目が同箱)=1/19
p(2個目と3個目が異箱 | 1個目と2個目が同箱)=16/17
∴ 求める確率は1/19 × 16/17 × 6。
153:141
20/02/20 17:23:52 PsNGChDc.net
>>147 訂正
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8÷2通り
1個ずつの箱には4通りの入れ方がある
9×8÷2×4/C[20,4]=96/323
154:１３２人目の素数さん
20/02/20 17:51:35 dyDRM8sK.net
皆さん回答ありがとうございます
1/19×16/17×6だと、箱の位置が考慮されてないですよね。例えば箱の1個目が赤2色だとして、この時も1/19×16/17×6になって箱の2個目に入る時も1/19×16/17×6になって、全部で1/19×16/17× 6×10C1×9C2になると思うのですが、なぜこれは考慮しなくて良いのですか？
155:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:19:57 99lzyCWI.net
>>151
1/19×16/17×6ってのは何を意味する計算なの？
俺がやった方法は玉を入れる場所を20ヶ所並べて無作為に玉を入れ（※1）、2つずつに区切ったときに一つの区切りだけ2つとも赤である（※2）確率と同じと考え、
※1が20C4通り
※2は赤玉がある区切りを選ぶ選び方が10C3通りでそのうち2個入る区切りを選ぶ選び方が3C1通りで1個入る2つの区切りは赤がどちらにあるのかでそれぞれ2通りあるので10C3×3C1×2^2
156:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:26:09 dyDRM8sK.net
>>153
赤玉Aに対して赤玉BがAと同じ箱に入る確率が1/19、残りの赤玉一つに対して、白玉と同じになる確率16/17、どの二つの赤玉が一緒になるかの組合せで4C2です。
157:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:26:59 BWBgHqRp.net
>>151
箱の位置を考えようが考えまいが2個目の球が1個目と同じ確率は1/19。
箱の位置って何？
158:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:41:07.47 J/IN1lAb.net
袋の中にn個の区別できる球がある。
最初に袋からm個の球を取り出した後、これらの球を袋の中に戻す。
次に袋からk個の球を取り出したとき、その中に最初に取り出された球がちょうどc個含まれる確率をn,m,k,cで表せ。
159:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:04:42 99lzyCWI.net
>>153
赤玉Cはどこにいっちゃったの？
160:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:31:27.01 99lzyCWI.net
>>153
ようやくわかった
省略せずに書くと20/20×1/19×18/18×16/17×4C2ってことか
その計算で箱を区別してるじゃないか
10C1×9C2をかける必要が出てくるのは
箱1に赤玉Aが入る（2/20）、箱1に赤玉Bが入る（1/19）、箱2に赤玉Cが入る（2/18）、箱3に赤玉Dが入る（2/17）と考えた場合だよ
その場合、箱1、2、3にどの赤玉が入るのかが4C2×2C1×1C1通りあるから
結局2/20*1/19*2/18*2/17*4C2*2C1*1C1*10C1*9C2となり計算すると96/323になる
161:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:41:30.28 dyDRM8sK.net
>>154 157
親切に回答していただき、ありがとうございます。
箱の位置（どの箱に赤玉が2個入るか）を区別すること自体がナンセンスだったとようやく気づけました。
お陰様で理解することが出来ました。
また、質問しにくると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。
162:イナ
20/02/20 22:36:23.64 PRyo8w16.net
前>>148訂正。
番号振らずにやってみる。
●○○○○○○●○●
●○○○○○○○○○
↑
この2個の選び方は4Ｃ2通り。
●と同じ箱に入る○の選び方は16Ｃ2通り。
あと1つの●はかならず○と同じ箱に入る。
(4Ｃ1)(16Ｃ2)=4･16･15/2
=480
480/4845=160/1615
=32/323
いい感じの数字やなぁ。
163:１３２人目の素数さん
20/02/20 23:54:47.46 ZWVgPXIY.net
>>123
(n,k) = (2,3) のとき
f(x) = (x-1)(x-2) - x^3,
f'(x) = -3 +2x -3x^2 = -(8/3) - 3(1/2 -x)^2 ≦ -8/3,
(n,k) = (2,5) のとき
f(x) = (x-1)(x-2) - x^5,
f '(x) = -3 +2x -5x^4 = -(35/16) -(1/2)x^2 -2(1/2 -x)^2 -5(xx -1/4)^2 ≦ -35/16,
164:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:24:34.30 lYw7PgZm.net
行列式の計算が分からないので教えてください
複素n次行列(z_i,j)に対して
z_i,j=a_i,j+b_i,j√-1とおき以下の形の2次小行列をi,j=1,…,nまで並べた実2n次行列を考える
[a_i,j b_i,j ]
[-b_i,j a_i,j ]
この行列の行列式は元の複素行列の行列式の絶対値の2乗に等しいことを証明しろという問題です
165:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:39:11.18 rRWg9QQU.net
>>101
元の(z_i_j)の第i行のk倍を第j行に足すと
166:対応する2n次の行列では第2i-1行のk倍を第2j-1行に、第2i行のk倍を第2j行に足す事になる。 どちらの行列の行列式も変化しない。 この変形だけで元の行列を対角化できるから対角行列の場合にだけしめせばいい。
167:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:44:43.85 rRWg9QQU.net
>>162
あ、その変形＋同様の変形の列バージョンで対角化できるでした。
168:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:46:10.30 asHAZWcA.net
閉区間I=[0,1]上の連続関数f:I→Rの全体をC[0,1]とし、C[0,1]上の距離を
d(f,g):=max{|f(t)-g(t)||0≦t≦1}
によって定める。C[0,1]の部分集合Xを
X={f_k|f_k(t)=kt, k∈R}
とおくとき
d(X)=inf[f∈X]d(f,1)
の値を求めよ(ただし1は定数関数1(t)=1)
答えはd(X)=1となってます
k＞1のときd(f_k,1)=「|kt-1|の最大値」=k-1だから、k∈Rについて下限をとるとd(X)=0になるのでは？と思うのですが、これは何が違うのでしょうか？
169:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:51:22.55 rRWg9QQU.net
>>164
d(f_k,1)
=max{|f_k(0)-1|,|f_k(1)-1|}
=max{|0-1|,|k-1|}
です。
170:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:56:24.51 y/2VOtZ/.net
下記の式の積分式の導き方 どなたかわかりませんか。
{ cos(X) + sin(X) } * { cos(X) }^0.8
171:１３２人目の素数さん
20/02/21 01:29:23.50 asHAZWcA.net
>>165
あーそうか、最大値がそもそもk-1じゃないなこれ
k=3/2のときmax|kt-1|はk-1=1/2ではなくt=0のときの1だろう……アホなことしてたわ
ありがとうございます
172:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:02:41.02 YlLJTAPA.net
ax+by=1 を二通りに解釈することで単位円の極、極線について
極点(a,b) の極線上の点は(a,b)を通る直線になることが自明になるのか。。
173:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:06:29.98 +t2V5SC/.net
今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。
AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。
弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。
（1）Kの半径を求めよ。
（2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。
（3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。
（4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。
174:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:08:24.36 YlLJTAPA.net
「極線上の点の極線は」に訂正
解釈とは(a,b) と(x,y)の内積の垂線をどちらにおろすかという意味
他の二次曲線も二次形式と線形代数の知識でシンプルに解釈できるのかな？
175:１３２人目の素数さん
20/02/21 10:41:46 mzXyLJrP.net
>>123
n=2, k：奇数, k≧3 のとき
f '(x) = -3 +2x -k･x^(k-1) ≦ -3 +2x < -1, (x<1)
= -5/2 - 2(1/2 -x)^2 - {k･x^(k-3) - 2}x^2 < -5/2, (|x|>1)
より f(x) は単調減少。
176:哀れな素人
20/02/21 11:04:48 vIRKdDZf.net
>>169
（1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５
（2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2
（3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。
（4）問題文が意味不明。
177:哀れな素人
20/02/21 11:22:35 vIRKdDZf.net
>>169
（4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113
178:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:34:31 C7Aslmkg.net
>弦BCに関してBと反対側にあるKの弧
ってどこのことだ？
179:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:49:47 YlLJTAPA.net
Aと反対側の誤植やろ
ふと思ったけど三点からの和が一定の曲線ってなんだろ？
180:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:54:13 +t2V5SC/.net
ご回答ありがとうございます。
頭の中で記憶した内容を書いていて、誤記が多く大変申し訳ありませんでした。
181:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:03:50.14 mzXyLJrP.net
>>166
∫ sin(X)･{cos(X)}^0.8 dX = -(1/1.8){cos(X)}^1.8
{cos(X)}^2 = Y とおいて
∫{cos(X)}^1.8 dX = (-1/2)∫ Y^0.4 (1-Y)^(-0.5) dY
= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | Y)
= -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | {cos(X)}^2)
不完全ベータ関数
182:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:20:39.99 lYw7PgZm.net
>>162
ありがとうございます
対角化を考えればよかったんですね
183:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:03:38.83 L3JAzJCh.net
>>175
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
184:１３２人目の素数さん
20/02/21 14:09:11.36 +3ZHERdh.net
>>172
> 最大になるのはABPCの面積が最大になるとき
横からすまない
これってどうしてそう言えるんです？
185:哀れな素人
20/02/21 16:52:48 vIRKdDZf.net
>>180
>>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、
一応説明しておくと－
（1）は説明省略。
（2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは－
PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから
PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。
? 周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。
? 相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。
ゆえにBP＝CP＝5√2 APは方べきの定理より7√2
（3）は（2）の説明の通り。
（4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45°
ゆえにAH＝7 あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113
186:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:53:25 +4K3m1jQ.net
>>169
初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解
∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。
Eを半直線BD上にDE=BCととる。
∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。
SをDからFRに下ろした垂線の足とする。
動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。
この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。
頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい)
以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。
187:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:16:03 +3ZHERdh.net
>>181
> PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
これはその通りですけど
> つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
> BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
これってそうでしょうか？
BP+CPがその最大値よりもx小さいときのPAがBP+CPがその最大値を取るときのPAよりもxを超えて大きくなることがあり得ないと言えているのでしょうか
188:哀れな素人
20/02/21 17:40:39 vIRKdDZf.net
>>183
もしそのようなことが起こるなら、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CP
となってしまう。
189:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:44:34 +4K3m1jQ.net
そもそもAP+BP+CPが最大になるPとBP+CPが最大になるPはズレてるかと。
190:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:00:26 YlLJTAPA.net
>>169
トレミーの定理使って計算すると
最大値は2*sqrt(145)
PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき
191:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:22:41.22 +4K3m1jQ.net
>>186
どうやるんですか？
192:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:30:51.99 +4K3m1jQ.net
なるほど。
Aを含む弧BC上のDをBD:CD=AB+BC:AC+BCととるのか。
193:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:35:02.59 YlLJTAPA.net
トレミーの定理は加法定理と同じよなものだからチートだけど
初等幾何の方法はわからん
PA=x,PB=y,PC=z
10x=6z+8y
y^2+z^2=10^2 ...（あ）
L=x+y+z=(9y+8z)/5 が（あ）円と接するときに最大
194:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:09:14.68 +3ZHERdh.net
>>184
いや、そうなるとは限らないと思うんだけど
値は適当だけど例えばPB+PCの最大が10でそのときのPAが5（つまりこのときのPA+PB+PC=15）なんだけど、
PB+PCが9の時にPAが7になり得るならPA+PB+PC=16となりPB+PCが最大の時よりも大きくなり得る
この
195:ようなことが起きないことを言えているのかどうかってことです
196:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:53:40.38 +4K3m1jQ.net
>>190
でもまぁトレミーくらいまでは初等幾何と言っていいんじゃない？
197:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:54:19.19 +4K3m1jQ.net
あ>>191は>>189へのレス。
198:哀れな素人
20/02/21 19:54:25.66 vIRKdDZf.net
>>190
BC＋BP＋CPの最大値をLとし、そのときのBP＋CPの値をａとする。
もしBP＋CPがａよりｘだけ小さく、APがBCよりｘ以上大きければ、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CPとなってしまう。
APがBCより大きくなることはありえない。
つまりAPがBCよりｘ以上大きくなることはありえない。
199:哀れな素人
20/02/21 20:00:36.08 vIRKdDZf.net
これから一時間ほど中断するが、
>>169の問題は高校入試の問題だから、
>>186のような複雑な答えにはならないはずである。
200:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:08:21.54 +4K3m1jQ.net
>>194
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
201:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:59:46.02 ivneNcoV.net
>>193
比較の仕方がおかしいですよ
あなたはPA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CPからBP＋CPが最大のときPA＋PB＋PCも最大になると言っています
同じPで記述すると混乱するのでBP＋CPが最大になる点PをP'とします
あなたの説ではPA＋PB＋PCの最大値はP'A＋P'B＋P'Cということになります
ここでP''を考えたときP''B+P''CはP'B＋P'Cより小さくなります
P'B＋P'C-(P''B+P''C)=x>0としたときP''A-P'A>xとなることがあり得ないと言えていないのではないかということです
202:イナ
20/02/21 21:05:37.23 aeOjnxR9.net
前>>159
>>169
(1)Kの半径=5
(2)PA+PB+PC=10+8+6=24
(3)Q(1.4,-4.8)
(4)C(5,0)
H(-5.4,0.3)
CH=√(10.4^2+0.3^2)
=√(108.16+0.09)
=√108.25
=10.404326……
問題がおかしいかもよ？
こんな半端な長さ出して意味あんの？
203:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:10:42.08 +4K3m1jQ.net
そもそもとっくに正解が出てるのにそれを無視しておかしなレスつけてくる相変わらずの芸風が2人。
204:哀れな素人
20/02/21 21:37:42 vIRKdDZf.net
>>195をクリックしたが、ページは現れなかった。
だから僕の答えが間違っているのかもしれないが、
>>196に答えておくと－
周長が長ければ面積は大きい→面積が最大ならPA＋PB＋PCが最大、
という理由によって僕の解答のQの位置が正しいと考える。
なぜなら四角形ABPCの面積は△ABP＋△APCで、
これは周長としてAPを2回とBPとCPを含んでいるからである。
ABとACは一定だから、結局APを2回とBPとCPを含んでいる長さが
最も長いときが面積が最大になる。
いいかえれば四角形ABPCの面積が最大のとき、AP＋BP＋CPが最大になる。
205:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:03:59 Fd+Lq6u/.net
>>199
その考え方だとBCを直径とする△ABCを考えたときAがどこにあってもPB+PCが最大となるときPA+PB+PCが最大になることになる（このときPB+PC=10√2=14.1421356……※）
AをBにすごく近いところにとればPA+PB+PCは15√2=21.213……にどんどん近づくので22以下に出来る
しかし、このときPをPB=8、PC=6の位置にとればPB+PC=14で※より小さいがPA+PB+PCは22より大きい
つまり、PB+PCが最大になるときPA+PB+PCが最大になるというのは間違い
206:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:05:19.02 DedUL1fo.net
>>139
10*(choose(18,2)-9)/choose(20,4)=1440/4845=288/969
207:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:13:00.54 DedUL1fo.net
>>201
既約分数になってなかった
=96/323
208:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:28:12.29 Wh8sK/as.net
n≧2のとき、n!は平方数か。
209:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:39:36.60 RYteExOQ.net
つチェビシェフの定理
210:１３２人目の素数さん
20/02/22 01:22:28 ceeKINr6.net
>>169
の既出の答えのまとめ。
AB=c、BC=a、CA=bとおいて弧BCでAを含む側にBD:CD=AB+BC:AC+BCを満たすDをとる。
AB+BC=kBD、AC+BC=kCDなるkをと�
211:黷ﾎ (AP+BP+CP)BC =AB・CP+ AC・BP+ BC・BP+ BC・CP (∵トレミー) =(AC+BC)・BP+ (AB+ BC)・CP =kCD・BP+kBD・CP =kBC・DP (∵トレミー) によりAP+BP+CPが最大となるのはDPが直径となるときである。 すなわちBP:CP=CD:BD=AC+BC:AB+BCとなるときである。 本問ではBP:CP=9:8となるときである。
212:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/22 01:24:41 XhKI0L4t.net
前>>197
シュクメルリの手料理。
213:１３２人目の素数さん
20/02/22 07:58:19.45 MrWsTasJ.net
こんなの高校受験で出来るやついるのか
214:１３２人目の素数さん
20/02/22 09:25:53.19 mYjNB89F.net
卑怯者は隠れたところから、マイクでしかものが言えないのか？
ふざけんな！女々しいカスが！
指向性スピーカーですか？どこに仕掛けたのでしょうか？
田舎の一軒家屋だと、なんでもし放題ですね？
私が金を持っているわけではないのに、「消えろ！」とはいかなるもの言いでしょうか？
せめて、金を払ってから、その大口を叩いてくれ
215:１３２人目の素数さん
20/02/22 10:33:27.06 7EDTAi8v.net
a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
その結果を図形的に説明せよ
216:哀れな素人
20/02/22 12:55:24.24 t1VmBQdA.net
なるほど、>>186の答えが正解だと分った。
BP=x、CP=yとおくとAP+BP+CPは9x/5+8y/5で、x^2+y^2=100
これを未定乗数法を使って最大値を求めたのだろう。
しかし未定乗数法を知らない中学生がどうやってとくのか。
それに(2)はそれで解けても(4)をどうやって解くのか。
>>205の方法でも、(4)をどうやって解くのか。
もしかして問題の作成者が間違っているのではないのか？
217:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:23:41 InYZG21C.net
AB=c, BC=a, CA=b とおく。トレミーより
L = AP+BP+CP = (b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP,
(b+a)^2 + (c+a)^2 - L^2
= (b+a)^2 + (c+a)^2 - {(b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP}^2
= kk(a^2 -BP^2 -CP^2) + {(c+a)/a･BP - (b+a)/a･CP}^2
≧ 0,
L ≦ √{(b+a)^2 + (c+a)^2} = ak,
ここに k = (1/a)√{(b+a)^2 + (c+a)^2},
等号は AP = ak, BP = (b+a)/k, CP = (c+a)/k のとき。
218:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:25:45 1beHP5DH.net
もしかしたら、トリッキーな無理ゲーお絵かきであっさり解決みたいなの？
219:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:31:35 InYZG21C.net
>>209
0 = 1/(a+x) - 2/(b+x) + 1/(c+x)
= {(2b-a-c)(x-b) + 2(bb-ac)}/{(a+x)(b+x)(c+x)}
= (2b-a-c)(x-b)/{(a+x)(b+x)(c+x)}, (← bb=ac)
2b-a-c≠0 より x=b
220:哀れな素人
20/02/22 13:44:39 t1VmBQdA.net
>>169の(4)はたぶん、
QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。
それだと答えは128/29である。
221:169
20/02/22 13:59:42 cPpHE1j8.net
>>214
お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん
他の皆様の解答は大筋その方針でOK
難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか
（1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた
222:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:06:02 OSJ
223:3i4NJ.net
224:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:16:17 InYZG21C.net
>>211 訂正ｽﾏｿ
AP = ak - (b+a)/k - (c+a)/k,
225:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:45:19 Wh9anab0.net
こんなの高校受験で出るわけなかろ？
226:イナ
20/02/22 14:56:12.11 XhKI0L4t.net
前>>206
17√2=24.0416306……＞24
わずかに長い。
どんなときだ。
どんなときだ。
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)としてPA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2},PB=√{(x+5)^2+y^2},PC=√(5-x)^2+y^2},PA+PB+PC=√(25+2.8x+1.4^2-9.6y+4.8^2)+√(25+10x+25)+√(25-10x+25)=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16･1.44)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16+6.4+0.64)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(50+2.8x-9.6y)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√{50+2.8x-9.6√(25-x^2}+√(50+10x)+√(50-10x)
{50+2.8x-9.6(25-x^2)^(1/2)}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)を微分し=0とするとxの値は、
227:哀れな素人
20/02/22 15:23:48 t1VmBQdA.net
>>215
お前は人間としてゴミ（笑
228:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:17:49.42 p+fzcFe2.net
nを2以上の自然数、総和範囲をk:1,2,…,n-1で、[]はガウス記号として、
Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 は成立しますか？
また、iを自然数としてn=10^(2i)+1の形であらわされるとき常に等号は成立しますか？
229:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:28:03.31 ceeKINr6.net
>>221
それはどっから持ってきた問題なん？
自作？
成り立つかもしれないとなぜ思えるの？
230:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:49:02.59 p+fzcFe2.net
>>222
古いノートを眺めてて出てきた自作なのでなぜ成り立つと思ったのかはもう思い出せませんが、n≦30までの成立と、1000000以下の数からランダムで選んだ２０個のnでは成立を確認したようです。今見ても解き方がパッと思いつかなかったので聞きました。
231:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:50:36.23 ceeKINr6.net
>>223
では成り立ってない可能性もあるのね。
232:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:12:48.92 p+fzcFe2.net
>>223 そうです。紛らわしくてすみません。
今ノートを見たところ、等号成立は一部の素数とそれらの任意の合成数(ただし各指数は最大1)に限られると推測していたようです。
例えばn=2,5,13,17,29,37,41...や、n=17*29,2*13*37,5*13*17*29*41...などでは等号成立しますが、n=31,(5^3)*(17^2)などでは等号成立しませんでした。
もし証明か反例がわかったら教えてくれるとうれしいです。
233:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:40:56 p+fzcFe2.net
>>225は>>224に向けてです。
234:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:41:15.69 Dnm09tuZ.net
>>221 の主張は
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) ≦ n(n-1)/2
と同じですね。
連続する n-1 個の平方数があると、これらの n による剰余の平均は n/2 以下だ というものです。
一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) = n(n-1)/2
となります。これは恐らく、対称的つまり、「pが平方剰余の時、n-pも平方剰余」の時だと思います。
235:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:51:56.87 pXckeFWw.net
a,b,cを定数かつa≠0とし、関数f(x)、g(x)を
f(x)=ax+b、 g(x)=1/(x+c)
によって定めます。等式f(g(x))=g(f(x))がxについての恒等式となるようなa,b,cの組(a,b,c)をすべて求めなさい。
お願いします。
236:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:59:59.84 InYZG21C.net
nが素数pの場合は p=4k+1 または p=2 ですね。
〔第１補充法則〕
((-1)/p) = (-1)^((p-1)/2)
= 1 (p=4k+1)
= -1 (p=4k-1)
237:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:04:22.45 AO+nZE6G.net
>>227 に付け加えます。
238: n=25 の平方剰余は、1,4,6,9,11,14,16,19,21,24 で対称的になりますが、 10個しかないので、等号は成立しません。 nが偶数の時は、n/2 個、奇数の時は、(n-1)/2 個 という条件も付け加えます。
239:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:27:15.30 uzEwOmBo.net
曲線C:y=|sin(nπx)|（0≦x≦1）とする。
Cのy≧xに属する部分の全体の長さの総和をL_1、同様にy≦xに属する部分の全体の長さの総和をL_2とする。
lim[n→∞] L_1/L_2を求めよ。
240:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:59:01.38 xP+zlBI0.net
>>230
p=7のときは平方剰余は
1,2,4
で対称的ではないよ。
前半に寄ってる。
前半による事はあっても後半による事はない事を示さないといけない。
241:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:38:23.75 AO+nZE6G.net
>>232
>>227で書いた
>> 一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
に対する指摘でしょうか？
平方剰余の個数が半分以下なので、漠然と上の不等式が成り立つだろうと
思って書いてしまいましたが、不等式の成否は以下の論理には無関係で、
つい「平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和」の枕言葉として使ってしまいました。
従って、>>227の次の部分を修正します。
×：一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
×：平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
○：もし、平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 が成立するなら、
242:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:03:21.71 p43IL4DS.net
>>233
平方剰余の全体の和と平方非剰余の和は一致しませんよ？
n7の時
平方剰余の和＝1+2+4=7
平方非剰余の和＝3+5+6=14
です。
243:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:15:58 AO+nZE6G.net
はい。その通りです。
n=7では、Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 の式は、
左辺=[1/7]+[4/7]+[9/7]+[16/7]+[25/7]+[36/7]=0+0+1+2+3+5=11
右辺=6*5/3=10
なので、不等号の方が成立します。
等号成立の条件について考察している、227後半部分の対象外の事例なので、
なぜ、n=7が取り上げられているか疑問で、回答に窮しています。
244:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:46:20.16 OYpSuZ+S.net
あれ？
よみまちがったかな？
平方剰余の和＝平均非剰余の和
を主張してるように読み間違えました。
すいません。
245:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:59:21.68 rZAgoQjV.net
ちなみに後半はi=3とかでもダメです。
10^6+1は11で割り切れてこれはmod4で3なのでダメです。
246:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:00:25.63 pF2sa1Fo.net
あ、うそいった。
11では割り切れないけど、計算機でやったらダメでした。
247:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:07:58.38 X4NXJ2sr.net
またうそでした。
打ち間違ってた
print $ sum [mod (n^2) 1000001 | n<-[0..1000000]]
500000500000
i=3では成立してますね。
しかし10^(2i)+1の素因子が全てmod4で1なんて成立するのかなぁ？
248:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:17:52.30 oFGb4GMw.net
そうか、p≡3(mod4)が因子になる事はないのか。
multiplicityが1以下かどうかだけが問題なのか。
吊ってくる。
249:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:26:33.58 LZOHjeYG.net
連続すまそ
これで最後にする。
10^202+1はダメじゃない？
10^202+1
=100^101+1
=(1+100)(1-100+10000-‥(-100)^100)
で
(1-100+10000-‥(-100)^100
≡1+1+‥+1 (mod 101)
だから10^202+1は101^2で割り切れる希ガス
250:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:56:07 sm1T7+nt.net
ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。
つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。
無限級数の収束性等は既知とします。
f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。
出典は特にありません、答えも分かり
251:ません。
252:１３２人目の素数さん
20/02/23 10:24:19 URzusrEE.net
>>209
> a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
> その結果を図形的に説明せよ
半径bの円に対して反転で移りあう二点と円の直径の両端は調和数列をなす（調和点列）
253:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:09:01.77 l2/N4aPd.net
>>242
まず定義式から
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
exp(r+iθ) = exp(r)(cosθ + i sinθ)：cosθ, sinθは単に級数で定義された関数
を証明する
共役複素数を掛けて
exp(2r) = exp((r+iθ)+(r-iθ)) = exp(r)(cosθ + i sinθ)exp(r)(cosθ - i sinθ)
= exp(r)^2 |cosθ + i sinθ|^2 ∴ |exp(iθ)| = 1
θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
すなわち exp(iθ)はθの周期関数
254:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:20:05.28 URzusrEE.net
直径aの円Aと直径bの円Bが直径a+bの円Cに内接しているとき
AとBに外接しCに内接する円の半径をa,bで表せ
座標入れて計算してみたらやり方が悪いのか煩雑になりすぎて計算できません。
たぶん有名問題なのでどこかに解説されてると思うですが検索しても見当たらないので
お願いします。
255:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:24:56.91 URzusrEE.net
>>245 書き忘れ 円Aと円Bは外接してます
256:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:06:11.45 Tga8ONQo.net
どうみても新作ルアー
257:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:22:35.55 sm1T7+nt.net
>>244 ありがとうございます
|exp(iθ)| = 1 ここまでは了解です。 ただし...
> θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
>すなわち exp(iθ)はθの周期関数
この論理展開は厳しいのではないでしょうか？
中間値の定理でぶち当たってほしい値の正統性が怪しいです。
1 のn乗根を exp(iα)で 表せる事 (αはなんらかの実数) は exp(iθ)の周期性が既知でないと言えないかと思います。
258:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:48:10 g+ZpqIIu.net
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259:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:10:10.37 2UWx/2s8.net
>>245-246
AとBに外接しCに内接する円をD、a,bを直径ではなく半径、Dの半径をr
A,B,C,Dの中心の座標をそれぞれ (-b,0), (a,0), (0,0), (x,y) とし、
Dの中心とA,B,Cの中心との距離を考ると、
[1] (x+b)^2 + y^2 = (a+r)^2,
[2] (x-a)^2 + y^2 = (b+r)^2,
[3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
x,yを消去した式a([1]-[3])+b([2]-[3])を作ると、rの一次式になり
r = ab(a+b)/(aa+ab+bb)。
260:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:19:27.05 x1qWF4GD.net
|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････
261:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:01:23.51 x1qWF4GD.net
>>242
f(z+w) = Σ[k=0,∞] (z+w)^k /k!
= Σ[k=0,∞] Σ[m+n=k] (z^m /m!)(w^n /n!) (2項公式)
= (Σ[m=0,∞] z^m /m!)(Σ[n=0,∞] w^n /n!)
= f(z) f(w) ････ 指数公式
いま
f(iy) = cos(y) + i･sin(y)
とおく。
cos(y) = Re{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k)/(2k)!
sin(y) = Im{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k+1) /(2k+1)!
指数公式
f(iny) = f(iy)^n,
は ド・モァヴルの公式
cos(ny) + i･sin(ny) = {cos(y)+i･sin(y)}^n,
となり、実数部と虚数部に分ければ n倍角公式 が出る。
f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
より
cos(y)^2 + sin(y)^2 = 1,
262:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:04:51.69 x1qWF4GD.net
次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
= 1 -2 +2/3 -4/45
263:+ ････ < 0 0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。 cos(p/2) = 0, sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0, 0<y<4 に sin(y) の零点pがある。
264:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:10:35.88 PXb9xj6B.net
i方向に動かした時の長さの値を微分するとゼロなので定数
変化量をさらに微分すると定数
になる事がわかるので
i方向への移動は円上を一定速度で回り続ける事はわかる
ので、証明はできる
がこれは三角関数の周期性を示すスタンダードなやり方と結局同じなので面白みははないかもしれない
エレガントな式変形なり論法はどこかにあるのだろうか
265:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:14:47.32 x1qWF4GD.net
cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,
266:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:32:44.65 14JaYXx+.net
>>245
つデカルトの円定理
267:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:34:32.17 x1qWF4GD.net
指数公式から
f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),
定義(マクローリン展開)から
{sin(y)} ' = cos(y),
{cos(y)} ' = -sin(y),
も出る。
>>254
cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
から有界であることは分かりますが･･･
268:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:54:06.45 14JaYXx+.net
素直に考えれば
・cos(2)<0を定義から示す。
・cos(0)=1とあわせてcos(c)=0を満たす最小の実数が存在する。
・0<x<cでcos(x)>0によりsin(x)は単調増大、さらにsin(0)=0によりsin(c)>0。
・sin^2+cos^2=1によりsin(c)=1。
・exp(ic)=i。
・exp(A+B)=exp(A)exp(B)‥(✳︎)を示しておいてexp(4ci)=1、再び(✳︎)によりexp(x)は周期4ciをもつ。
とかじゃない？
269:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:59:41.96 URzusrEE.net
>>250
> [3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
この式は中心 (a-b,0) だから以下のように修正して解くと
{(x + b)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a + b)^3/(2 (a^2 + 4 a b + b^2)) になるようです。ありがとうございました
270:242
20/02/23 19:22:13.94 sm1T7+nt.net
>>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。
cos(0) = +1
cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ...
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...)
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2
= -43/105 < 0
∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない)
exp(ip)^4 = ( 0 ± i )^4 = 1 つまり4乗根が得られたので
exp(i(x+4p)) = exp(ix) * exp(i4p) = exp(ix) * exp(ip)^4 = exp(ix)
exp(ix) の周期は 4p (或いはその何分の一) である。とりあえずここまででOKです。
他のみなさんもありがとうございました。先を考える参考になります。
271:１３２人目の素数さん
20/02/23 20:08:14.65 x1qWF4GD.net
-1が平方剰余.
((-1)/n) = 1.
x^2≡-1 (mod n) が解をもつ.
平方剰余の分布が対称的.
↓
k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2.
272:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:10:56.97 URzusrEE.net
>>259
これデカルトの円定理ってので検算してみると合わないから間違っているのかもしれません
273:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:30:46.91 PXb9xj6B.net
三角関数の加法定理、二乗和が1を導出できるなら
単純に0以外でサインが0になる点の値をぶち込めば三角関数の周期性はでる
まあこれも級数の形から出るし、三角関数の周期性の話だが
274:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:56:35.06 AO+nZE6G.net
>>261
私も、一時期その可能性を思いましたが、 >>230 をご覧ください。
「-1が平方剰余」だけでは、不十分な事が判ります。
ただし、必要条件�
275:ﾅあることは、間違いないと思います。 他にも、50,125,169,250,289が、この例外に当てはまるので、 2^r*p^s ただし、r=0,1、pは素数、s=2,3,4,... 型を除外すれば十分なのかもしれません。 あ、それと、230の内容を修正します。 「nが偶数の時は、n/2 個」と書きましたが、nが偶数の時は、n/2が平方剰余で（←nが4の倍数ではない）、 n/2を除いた上で、平方剰余、平方非剰余の個数がそれぞれ、n/2-1 個ずつ でなければなりません。
276:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:01:14.35 URzusrEE.net
>>259 最初と二番目の式の右辺の a と b を逆にする大ボケかましてた
結果的に>>250と一致した
solve {(x + b)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a b (a + b))/(a^2 + a b + b^2)
277:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:12:16.81 AO+nZE6G.net
>>264 に補足
n=p^2と表されるとき、
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2
の左辺において、k=a*pの項は、mod((a*p)^2,p^2)=0 となり、
とても、平均 n/2 を維持することはできなくなるため、除外されなければならない ということですね。
278:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:53:46 x1qWF4GD.net
nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。
そうすれば
-1が平方剰余 (mod n)
↓
(Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.
φ(n)はオイラーのtotient関数です。
279:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:29:09 x1qWF4GD.net
-1 が平方剰余 (mod n)
n=Πp ならば ((-1)/n) = Π((-1)/p),
〔第一補充法則〕
((-1)/p) = 1 (p=4k+1 または p=2)
= -1 (p=4k+3)
nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。
偶数個か0 → +1 → 等号
奇数個 → -1 → 不等号
でしょうか････
280:１３２人目の素数さん
20/02/24 01:59:51.74 HNz38u5g.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
281:１３２人目の素数さん
20/02/24 08:07:56.61 271EzAMw.net
中学2年生です。これの(3)はなんでいえないなんでしょうか。あきらかに長さが違うから？分からないので教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
282:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:05:30.46 c5PK6CeI.net
>>270
そこに書かれている条件だけだとBの位置が特定されておらず二等辺三角形であることもあり得るがそうでないこともあり得るから
その図の見た目の問題ではないよ
283:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:12:02.01 c5PK6CeI.net
>>270
小学校で図形を扱うようになった頃
URLﾘﾝｸ(blogimg.goo.ne.jp)
これの2番のような問題で見た感じで選んでよかったけど、中学の図形のレベルでは見た目は関係が無く論理的に明確な根拠がなければそうだとはみなさないという暗黙のルールがある
言われてみればこのことを学校では明示してくれていなかった気はする
284:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:22:32.26 271EzAMw.net
レス270です。
考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
285:イナ
20/02/24 10:04:45.87 st+AszZ0.net
前>>219
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)とすると、
x^2+y^2=25
PA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2}
286: =√(25+2.8x+4･1.96+16･1.44-9.6y) =√(2.8x-9.6y+41+0.64+0.064+7.84) =√(2.8x-9.6y+48.84+0.704) =√(2.8x-9.6y+49.544) PB=√{(x+5)^2+y^2} =√(25+10x+25) =√(50+10x) PC=√{(5-x)^2+y^2} =√(50-10x) PA+PB+PC=√(2.8x-9.6y+49.544)+√(50+10x)+√(50-10x) ={2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2) 微分し=0とすると、 (1/2){2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(1/2)(50+10x)^(-1/2)+(1/2)(50-10x)^(-1/2)=0 {2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(50+10x)^(-1/2)+(50-10x)^(-1/2)=0 {2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50+10x)^(-1/2)+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50-10x)^(-1/2)=0 xの値は、1.4よりちっさなりそうな予感がします。
287:哀れな素人
20/02/24 10:19:54.05 Rt+v/L/g.net
>>270
∠BCDが30°と書かれていないから。
288:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:44:57.17 tf/NWog7.net
>>270
もし、問題が「この図形は二等辺三角形か？」
と問われたものだったら、可能な回答は次の三つ。
A:「はい」＝「二等辺三角形と言える」
B:「いいえ」＝「二等辺三角形と言えない」
C:「不明」＝「二等辺三角形かどうか判らない」
この問題は、「二等辺三角形か？」と問われているのではなく、
「二等辺三角形と言えるか？」と問われている。
つまり、「文頭の質問にA.と回答するか？」と問われているので、
「No」＝「言えない」となる。
289:１３２人目の素数さん
20/02/24 11:28:17.83 271EzAMw.net
270です。二等辺三角形だと証明する事ができない。という意味の問題だったという事ですね。ちゃんと理解出来てませんでした。ありがとうございます！
290:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:00:48.49 Kz+mIgjF.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
291:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:16:42.24 uEXSAJod.net
>>273
>考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
>明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
なるほど
図の書きぶりから、二等辺三角形に見えないようには、書かれているので、見た目では「いえない」は分かる
問題は理由付けだけど、>>275-276かな
∠BCDが30°として、二等辺三角形にすることも可能だが
∠BCD≠30°として、二等辺三角形にしないことも可能だ
つまり、頂点Bの位置を、二等辺三角形にならないように取ることも可能だからというのが、その理由だろうね
因みに、同じことは頂点Dについても言えて、三角形ACDについても二等辺三角形とは言えない
292:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:02:53.44 uEXSAJod.net
>>278
>青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
>三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
>辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
下記の Yahoo知恵袋 「チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき」に図があるよ
また、通常は、「チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる」、「チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる」の2つみたいだが
"その対頂角の内部にある"は、第3の場合になるだろう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき Yahoo知恵袋
gag********さん2010/2/26
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
チェバの定理
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる
293:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:04:54.88 Gl4VKrJQ.net
確率
Aチーム6人 : Bチーム6人でレースゲームを16試合する。
1位15点
2位12点
3位10点
4位9点
5位8点
6位7点
7位6点
8位5点
9位4点
10位3点
11位2点
12位1点
の配点の場合、各チームの合計点が656:656の引き分けになる確率を教えてください。
294:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:16:31 Kz+mIgjF.net
>>280
ありがとうございます！助かりました！！
295:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:28:38 34cHjcwm.net
>>281
それは計算機マターのやつ。
296:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:38:18 b9jw98Cw.net
>>283
計算機マター？
すみません、掲示板疎いので�
297:謔ｭわかりません。
298:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:57:27 2XAuGskm.net
>>284
要するに学部以降で習う数学の公式使って対してらくになるわけでもないので計算機にやらせた方が早いやつ。
数学まともに勉強したやつが出す問題じゃない。
そんな下らない問題やるのは時間の無駄。
無視したほうがいい。
299:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:18:06.84 b9jw98Cw.net
>>285
本当に無知ですみません。数学は得意ではないし、知り合いにも確率に強い人がいないのでこの掲示板を頼りにしています。
計算はこちらでするので、導き方だけでも教えて頂きたいです。
300:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:45:07.25 /MtkJm43.net
導き方らしい導き方があるのか？
単純に、全部の場合を数え上げるしかなくて
656点ずつになる組み合わせの数を数え上げて
全体の組み合わせの数で割る、しかないように見えるが
要するに
まず一回のレースで起こる組み合わせが12C6＝924通り
あって
それを16回やる訳だから全部で924の16乗通り起こりうる
その何百兆通りかのうちでちょうど点数が同じになってるケースが何通りあるか数えて比率を計算すれば確率は出る
ってこと
まあ実際にはいくつか順位が前後しても同じ点数になるケースはあるからもうちょっと数えるのは少なくなって、何億通りか何百万通りかで済むかもしれないけど
301:イナ
20/02/24 14:45:10.45 st+AszZ0.net
前>>274
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA={(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2+b/2)
cos∠DBC={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2)
cos∠DBA=cos∠DBCより、
{(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}a
={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}(a+b)
{(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}a
={(b+2x)^2+a^2-(a+2x)^2}(a+b)
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a
=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-4ax-4x^2)(a+b)
ab^2+4abx+4ax^2+2a^2b+ab^2-4a^2x-4ax^2
=ab^2+4abx+4ax^2-4a^2x-4ax^2+b^3+4b^2x+4bx^2-4abx-4bx^2
2a^2b+ab^2
=b^3+4b^2x-4abx
2a^2+ab
=b^2+4bx-4ax
4(a-b)x=b^2-ab-2a^2
x=(b^2-ab-2a^2)/4(a-b)
302:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:06:35.94 tf/NWog7.net
>>281
C[12,6]=924通りの「順位分け」を、基準点=41との差で分類し、差が0～20になるのは、それぞれ次
48,47,47,44,43,39,37,32,30,25,22,18,15,11,10,6,5,3,2,1,1
f=48+47(x+1/x)+47(x^2+1/x^2)+44(x^3+1/x^3)+43(x^4+1/x^4)+39(x^5+1/x^5)+37(x^6+1/x^6)+
32(x^7+1/x^7)+30(x^8+1/x^8)+25(x^9+1/x^9)+22(x^10+1/x^10)+18(x^11+1/x^11)+15(x^12+1/x^12)+
11(x^13+1/x^13)+10(x^14+1/x^14)+6(x^15+1/x^15)+5(x^16+1/x^16)+3(x^17+1/x^17)+2(x^18+1/x^18)+
(x^19+1/x^19)+(x^20+1/x^20)
として、f^16 の定数項を924^16 で割ったものが答え
3861707060011302197274473352442662107544339496/924^16
=0.0136781633711920174806098975...
303:イナ
20/02/24 15:41:29.88 st+AszZ0.net
前>>288
符号が変だ。訂正する。
304:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:53:40.00 Gb7vk4DT.net
>>264
「-1が平方剰余 (mod n)」だから、nは4q+3型の奇素数や4を含みませんね。
また、平方因子p^2を持つnも除外されそう。 >>230 >>266
n=p^2 (p=4q+1) と表わされるときは
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = nφ(n)/2 = np(p-1)/2 < n(n-1)/2,
の左辺において、k=a*p の項は k^2≡0 となる。
高次ベキの場合も、
305:非正則項の中に k^2≡0 となるkが何個もあるので同様。 ∴ nは {2,5,13,17,29,37,41,････} の要素を高々1回含む。 >>225 >>268 は撤回します。。。
306:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:31:00.02 Gl4VKrJQ.net
>>289
ありがとうございます！！
そして全然見当違いだったらすみません、
1/10000の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。
307:１３２人目の素数さん
20/02/24 17:06:11.34 ArC4uVyJ.net
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら逆写像がない
逆写像がないなら全単射はない
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら全単射はない
全単射があるならＡ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がある
308:イナ
20/02/24 17:18:19.43 st+AszZ0.net
前>>290
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2=2a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2)/(2a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b-4a^2)/(2a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b-2a^2)/(a^2+2ab+3b^2)
=2a(b^2+ab-a)/(a^2+2ab+3b^2)
いまいちおっきいな。
手書きだとx=2ab/3(a+b)
携帯で検算すると変わった。
309:イナ
20/02/24 17:50:56.13 st+AszZ0.net
前>>294訂正。
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2x=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b+2a^2b+2ab^2=2a^2x+4a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+4a^2b+2ab^2)/(2a^2+4a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b)/(6a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b)/(3a^2+2ab+3b^2)
=2ab(a+b)/(3a^2+2ab+3b^2)
310:１３２人目の素数さん
20/02/24 19:57:23 tf/NWog7.net
>>292
もし、「1/100の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。 」
と尋ねられたなら、実際は1/73位の確率なので、数十パーセントの誤差はあるけど、
言えないこともないと返事するかもしれません。が、
0.013678 と 0.0001 では、136倍違います。ダメでしょ。
311:１３２人目の素数さん
20/02/24 20:54:09.70 ArC4uVyJ.net
全単射
(A B C)(A B)(Ｃ)同じ数は対応
全射
(A B C)(AB C)ABはAとBが対応
(A B)＝AB
この時あらゆる全射は全単射に変換できるといえるか？
312:１３２人目の素数さん
20/02/24 21:12:40.15 34cHjcwm.net
日本語ですらないな
313:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:15:12 DLEIbfp6.net
>>281
シミュレーションプログラムで100万回やって引き分けの頻度を出してみた。
x=c(1:10,12,15)
sim <- function() sum(replicate(16, sum(x[sample(12,6)])))==656
k=1e6
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 0.013522
314:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:39:36.06 FXqWqIQp.net
>>296
すみません、単純な勘違いしてました。
訂正ありがとうございます。
315:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:43:28.66 FXqWqIQp.net
>>299
もう全然理解できないですけど、結果まで出して頂いてありがとうございます。
他の協力して頂いた方たちもありがとうございました！！自分自身でもあまり理解できていない場違いな質問ですみませんでした。
316:１３２人目の素数さん
20/02/25 02:16:30.25 pNO31yGn.net
（1）π>3を示せ。
（2）(1+1/n)^nを二項展開することにより、e<3<πを示せ。
317:１３２人目の素数さん
20/02/25 10:04:32 AaD6K4jc.net
5万円の商品Aと6万円の商品Bがある。
AとBを合わせて200万円になるようにしたい。
ただし、AとBは合わせて320個購入するものとする。
この時AとBはそれぞれ何個ずつ購入すればよいか。
知恵をお貸しください。
よろしくお願い申し上げます。
318:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:05:58.09 INCWFL/L.net
>>303
鶴亀算でググれ
319:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:07:06.70 INCWFL/L.net
いや、よく読んだら明らかに解無しだわ
320:イナ
20/02/25 12:34:11.04 qvag5bLB.net
前>>295
321: >>303 五万円の商品に百七十万。六万円の商品に三十万。いかほどか。 五万円の商品が三十四個と六万円の商品が五個になりまする。あわせて三十九個。 一個サンプルをつけて四十個とせよ。八人の従者を参らせる。いかほどか。 三百二十個にあいなりまする。 逆に六万円の商品に九十万、五万円の商品に百十万。いかほどか。 六万円の商品が十五個と五万円の商品が二十二個。あわせて三十七個になりまする。 難しいな。六万円の商品が五個と五万円の商品が二十七個にしてはいかほどか。 三十万と百三十五万で百六十五万円になりまする。 あとの三十五万は人件費に当てればよいではないか。それともぽっぽに入れるか。 はぁっはっはっ……。 はぁっはっはっ……。
322:１３２人目の素数さん
20/02/25 16:36:03.16 KHilL9zo.net
nが偶数のときは
n=2m (mは奇数、平方因子をもたない)
と表わせる。 >>291
このとき
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = 2Σ(平方剰余) - (n/2),
また
Σ(平方剰余) + Σ(非剰余) = 1+2+････+(n-1) = n(n-1)/2,
・m=4q+1 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = m,
Σ(平方剰余) = mm,
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2, (等号)
・m=4q+3 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = -m,
Σ(平方剰余) = m(m-1),
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-3)/2, (不等号)
323:１３２人目の素数さん
20/02/25 17:38:48.89 jG10DX84.net
そんなに話かんたんなわけない。
issqare n = (==n) $ (^2) $ truncate $ sqrt n
ss n = (2*) $ sum [mod (k^2) n | k<-[1..n]]
rec n =(n, ss n, n*(n-1))
main = do
mapM_ print $ take 30 $ map rec [
(1,0,0)
(2,2,2)
(3,4,6)
(4,4,12)
(5,20,20)
(6,26,30)
(7,28,42)
(8,24,56)
(9,48,72)
(10,90,90)
(11,88,110)
(12,76,132)
(13,156,156)
(14,154,182)
(15,140,210)
(16,112,240)
(17,272,272)
(18,258,306)
(19,304,342)
(20,260,380)
(21,364,420)
(22,418,462)
(23,368,506)
(24,296,552)
(25,500,600)
(26,650,650)
(27,576,702)
(28,588,756)
(29,812,812)
(30,730,870)
324:１３２人目の素数さん
20/02/25 18:29:53.04 KHilL9zo.net
これは簡単だが････
>>302
(1) πは (円の周長)/(直径) とする。
単位円に内接する正８角形を考え、頂点を
(1,0) (1/√2,1/√2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393
*) 2-√2 > 1/√3 = 0.57735
単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
(1,0) ((√3)/2,1/2) (1/2,(√3)/2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862
*) 2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575
(2)
(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)････(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
< Σ[k=0,n] 1/k!
< Σ[k=0,∞] 1/k!
< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
= 2.75
n→∞ とする。