20/03/05 16:36:20 0/hyyc4X.net
以前このスレで、下記の数列について
lim[n→∞] a[n]=2
であることをご教示いただきました。
a[n+1]=(√2)^a[n]
a[1]=√2
ところで
a[3]={(√2)^(√2)}^(√2)=2
となります。
a[n]は単調増加数列に見えるのですが、a[3]=a[∞]=2なのでどこかで減少しているのでしょうか？
対数をとってもグラフが書けず困っています。a[n]の増加減少について教えて下さい。
455:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:42:11 pJ9pcxTu.net
かっこがおかしい
456:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:42:31 5A6NAdOC.net
>>442
>a[3]={(√2)^(√2)}^(√2)=2
>となります。
なりません
457:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:57:44 F0J9hKbS.net
指数では足し算や掛け算と違って結合法則は成り立ちません
括弧でくくる位置を変えると結果が変わると言うことです
458:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:03:43 uyPNAmvj.net
ウイルスが正２０面体の形をしているのが多いっていうのは何が理由なんだろうか？
459:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:31:28.31 VVBmBv/7.net
>>442
括弧を付けずに指数が入れ子になっているときは指数に乗っかってるほうから計算する約束
a^a^a^aを計算する順を括弧を使って明示するとa^{(a^(a^a)}
460:１３２人目の素数さん
20/03/05 19:04:35.61 qdJHsoq2.net
>>446
部品の種類が少なくてすむからでは？
461:１３２人目の素数さん
20/03/05 20:50:36.52 qiOAljwb.net
>>440
ある頂点とOを通る直線に関する対称移動、となることを示す問題なのでは？
462:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:35:44.08 ZA7tN9oi.net
>>449
>ある頂点とOを通る直線に関する対称移動、となることを示す問題なのでは？
OA(i)がOA(j)に移り、OA(j)がOA(i)に移るから頂点とOを通る直線に
関する対称移動だと断定していいですよね。
それを基に（１）を解くということでOKですか。
それとも（１）を証明した後に対称移動だということがいえる
ということですか？
463:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:47:57.03 ZA7tN9oi.net
画像のURLを再掲しますが、IEでは表示されないようです。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
464:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:49:59.50 ZMGhWQcs.net
対称移動であることを使わずに(1), (2) を示すということです
(2)を示した後（というか途中から）、やっぱ対称移動臭いな～と
465:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:05:11 zQlYqF9y.net
>>452
ありがとうございました。
現実の世界ではこれしかないなと思っても、
それだと決めつけないで、理論だけで展開
するわけですね。
466:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:33:45.60 GqTLR56E.net
nは6の倍数とする
1≦t<u<vかつt+u+v＝nとなる整数t,u,vの組合せは何通りあるか
よろしくお願いします
467:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:50:42.32 n77wXyP9.net
>>454
#{ u+v+w=n } = (n+2)(n+1)/2
#{ u+v+w=n ,u=v} = n/2+1
#{ u+v+w=n ,u=v=w} = n/3+1
∴#{orbits} = ((n+2)(n+1)/2 + 3(n/2+1) + 2(n/3+1))/6
468:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:55:53.93 c1aBdUJj.net
あ、間違った。
≦じゃなくて<か。
なら
{t+u+v=n, u≠v, v≠w, w≠u} = (n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1)
∴{orbits} = ((n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1))/6
469:１３２人目の素数さん
20/03/06 01:40:34.66 X03evP0m.net
すいませんが、以下の2点間のロープに関する質問の答えと解説をお願いいたします。
建築の強度計算で非常に困ってます。
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
誰か頭のいい方お願いします。
470:１３２人目の素数さん
20/03/06 13:52:00 GqTLR56E.net
>>456
回答ありがとうございます
すみません。解説をお願いしてもよろしいでしょうか？
よろしくお願いします
471:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:05:28 RMM7Uezb.net
>>458
U={ t+u+v=n }
A={ t+u+v=n ,t=u}
B={ t+u+v=n ,u=v}
C={ t+u+v=n ,v=t}
とおけば
#U = (n+2)(n+1)/2
#A = #B = #C = n/2+1
#A∩B = #B∩C = #C∩A = #A∩B∩C= n/3+1
だから包除原理により
{t+u+v=n, u≠v, v≠w, w≠u} = (n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1)
だから
#{orbits} = ((n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1))/6。
472:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:25:01 kLdlq8Gi.net
>>459
#U = (n - 1) * (n - 2) / 2
ではないでしょうか？
473:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:29:56 kLdlq8Gi.net
#A = #B = #C = n / 2
ではないでしょうか？
474:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:31:06 kLdlq8Gi.net
#A∩B = #B∩C = #C∩A = #A∩B∩C= n / 3
ではないでしょうか？
475:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:42:33 kLdlq8Gi.net
>>454
t + u + v = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数をまず求める。
補題：
k を 0 以上の整数とする。
x + y = k
となるような 0 以上の整数の組 (x, y) は、 k + 1 個ある。
証明：
全ての解を並べると、 (0, k), (1, k - 1), …, (k, 0) だから、解は全部で k + 1 個ある。
t = 0 のとき、 u + v = n - t = n + 0 = n となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n + 1 個ある。
t = 1 のとき、 u + v = n - t = n - 1 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n 個ある。
t = 2 のとき、 u + v = n - t = n - 2 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n - 1 個ある。
…
t = n のとき、 u + v = n - t = n - n = 0 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 1 個ある。
∴
t + u + v = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、 (n + 1) + (n) + (n - 1) + … + 1 = (n + 1) * (n + 2) / 2 個である。
476:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:46:10 kLdlq8Gi.net
次に、
t + u + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, u, v) の個数を求める。
その個数は、
(t + 1) + (u + 1) + (v + 1) = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数に等しい。
t + u + v = n - 3
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、
>>463
より、
(n - 2) * (n - 1) / 2 個である。
477:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:49:14 kLdlq8Gi.net
U := {(t, u, v) | t + u + v = n, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
A := {(t, u, v) | t + u + v = n, t = u, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
B := {(t, u, v) | t + u + v = n, u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
C := {(t, u, v) | t + u + v = n, v = t, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
とおく。
478:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:51:03 GqTLR56E.net
皆さん回答ありがとうございます。
答えは1/12n^2－1/2n＋1になります
479:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:52:15 kLdlq8Gi.net
>>464
より、
#U = (n - 2) * (n - 1) / 2 である。
480:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:56:34 kLdlq8Gi.net
次に、
2*t + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, v) の個数を求める。
全ての解を並べると、 (t, v) = (1, n - 2), …, (n/2 - 1, 2) だから、解は全部で n/2 - 1 個ある。
∴
#A = n/2 - 1
である。
481:１３２人目の素数さん
20/03/06 14:57:52 kLdlq8Gi.net
同様にして、
#B = n/2 - 1
#C = n/2 - 1
である。
482:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:03:08 kLdlq8Gi.net
A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A
=
A ∩ B ∩ C
=
{(t, u, v) | t + u + v = n, t = u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
=
{(t, t, t) | 3*t = n, t ∈ {1, 2, 3, …}}
である。
483:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:05:59 kLdlq8Gi.net
3*t = n
となるような t の個数は 1 個であるから、
#(A ∩ B) = #(B ∩ C) = #(C ∩ A)
=
#(A ∩ B ∩ C)
=
1
である。
484:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:09:11 HDA/UjCt.net
b,cは実数の定数とする。2つの放物線
C:y=x^2
D:x=(y-b)^2+c
が相異なる3点P,Q,Rで交わっており、CとDは点Pで接している。
点Pのy座標が他の2点のy座標よりも小さく、点Qのx座標が点Rのx座標より小さいとき、以下の問いに答えよ。
（1）点Pのx座標は点Qのy座標より大きく、かつ、点Rのx座標より小さいことを示せ。
（2）領域EとFを以下のように定める。
E:「放物線Cの弧QPと、放物線Dの弧QPとで囲まれる部分」
F:「放物線Cの弧QRと、放物線Dの弧QRとで囲まれる部分」
このとき、E,Fの面積をそれぞれb,cで表せ。
（3）（2）で求めたE,Fの面積について、その大小を比較せよ。
485:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:14:47 kLdlq8Gi.net
包除原理により、
#(A ∪ B ∪ C)
=
#A + #B + #C
- #(A ∩ B) - #(B ∩ C) - #(C ∩ A)
+ #(A ∩ B ∩ C)
=
3*(n/2 - 1)
- 3*1
+ 1
=
(3/2)*n - 5
である。
#U - #(A ∪ B ∪ C) = (n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5)
486:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:15:47 kLdlq8Gi.net
#U - #(A ∪ B ∪ C)
=
(n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5)
=
(1/2) * (n^2 - 6*n + 12)
487:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:19:36 kLdlq8Gi.net
#U - #(A ∪ B ∪ C)
は、
t + u + v = n
となるような互いに異なる 1 以上の整数の組の個数である。
t + u + v = n かつ t < u < v
となるような 1 以上の整数の組の個数は、その 1/3! 個である。
∴(1/12) * (n^2 - 6*n + 12)
である。
488:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:34:57.27 RMM7Uezb.net
ありゃ
勝手に非負整数でやってた。
自然数ならn→n-3ね。
489:１３２人目の素数さん
20/03/06 15:44:30 c2WiJIlR.net
>>466
((n+2)*(n +1)/2 - 3*(n/2 - 2) - 3*n - 1 )/6
= (1/12*n^2-1/2*n+1)
sssp://o.5ch.net/1mlsq.png
490:１３２人目の素数さん
20/03/06 16:40:43.61 GqTLR56E.net
>>475
回答ありがとうございます。
今、理解に努めています。
491:１３２人目の素数さん
20/03/06 16:42:48.63 GqTLR56E.net
>>476
>>477
回答ありがとうございます。
今、理解に努めています。
492:１３２人目の素数さん
20/03/06 16:49:32.24 GqTLR56E.net
解答には
1/6×｛n-1C2－(n/3－1)×3－(n/6－1)×3－1｝
と書いてあるのですが、
この式は各項が何を意味しているのか教えてもらえないでしょうか？
493:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:14:18.29 kLdlq8Gi.net
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/3－1)×3
これは、
a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/6－1)×3
これは、
a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
494:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:15:01.51 kLdlq8Gi.net
訂正します：
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a, b, c
となるような解の数です。
(n/3－1)×3
これは、
a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/6－1)×3
これは、
a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
495:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:18:34.07 kLdlq8Gi.net
1
これは、
a + a + a = n かつ 1 ≦ a
となるような解の数です。
496:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:30:21.18 gBKfoQMq.net
サイコロを10回振るとき、1が1回以上かつ2が2回以上でる確率教えてください
497:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:31:47.88 kn5JW62T.net
勝つ確率が60%、負ける確率が40%のゲームを繰り返し行う。
累計で10回勝つか、または累計で10回負けた時点でゲームを終了する。
累計で10回勝つことによりゲームが終了する確率を求めよ。
498:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:38:14.73 kLdlq8Gi.net
n = 18 の場合を考えます。
binomial(n - 1, 2) は以下の解に対応します。
{1, 1, 16} = {t, u, v}
{1, 2, 15} = {t, u, v}
{1, 3, 14} = {t, u, v}
{1, 4, 13} = {t, u, v}
{1, 5, 12} = {t, u, v}
{1, 6, 11} = {t, u, v}
{1, 7, 10} = {t, u, v}
{1, 8, 9} = {t, u, v}
{2, 2, 14} = {t, u, v}
{2, 3, 13} = {t, u, v}
{2, 4, 12} = {t, u, v}
{2, 5, 11} = {t, u, v}
{2, 6, 10} = {t, u, v}
{2, 7, 9} = {t, u, v}
{2, 8, 8} = {t, u, v}
{3, 3, 12} = {t, u, v}
{3, 4, 11} = {t, u, v}
{3, 5, 10} = {t, u, v}
{3, 6, 9} = {t, u, v}
{3, 7, 8} = {t, u, v}
{4, 4, 10} = {t, u, v}
{4, 5, 9} = {t, u, v}
{4, 6, 8} = {t, u, v}
{4, 7, 7} = {t, u, v}
{5, 5, 8} = {t, u, v}
{5, 6, 7} = {t, u, v}
{6, 6, 6} = {t, u, v}
(n/3 - 1)×3 は以下の解に対応します。
{1, 1, 16} = {t, u, v}
{2, 2, 14} = {t, u, v}
{3, 3, 12} = {t, u, v}
{4, 4, 10} = {t, u, v}
{5, 5, 8} = {t, u, v}
(n/6 - 1)×3 は以下の解に対応します。
{2, 8, 8} = {t, u, v}
{4, 7, 7} = {t, u, v}
1 は以下の解に対応します。
{6, 6, 6} = {t, u, v}
499:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:43:52.04 kLdlq8Gi.net
>>480
の解答では、包除原理を使わないで済みますね。
500:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:57:18.87 D66ej/ua.net
これ何？自演してんの？
501:１３２人目の素数さん
20/03/06 17:58:57.40 kLdlq8Gi.net
ジィエンジィエン、自演じゃありません。
502:１３２人目の素数さん
20/03/06 19:48:51 c2WiJIlR.net
>>485
最短で 10回 (10回勝ち or 10回負け) 、最長で 19回 (負け9回, 勝ち10回 or 負け10回, 勝ち9回 ) のゲームである.
n回目で勝つパターン総数は n-1 回目までの内で累計 9回 勝ちの並びを数え上げればよい.
p = 0.6 , q = 1-p = 0.4 とする.
確率: P = C{9,9} p^10 q^0 + C{10,9} p^10 q^1 + ... + C{18,9} p^10 q^9
= p^10/9! * Σ{k=0, 9} (k+9)! /k! q^k
≒ 0.8139
( たぶん手計算しやすい形にはならないと思う )
503:１３２人目の素数さん
20/03/06 20:41:24 8OpUF+M1.net
ある学力試験の結果の分析をしたいのですが
ある、平均点が低すぎる(or 高すぎる)試験結果のデータがあった場合、
母集団の学力が低すぎる(or 高すぎる)のか
それとも問題が難しすぎる(or 易しすぎる)のか
どちらが主な原因なのか、判別する方法はありますか？
504:１３２人目の素数さん
20/03/06 22:22:36 HDA/UjCt.net
>>490
10本先取でも90%いかないんですね、意外と小さくて驚きました。
この問題、二項係数の上手い計算テクニックで解けるのかと悩んでいましたが、コンピュータ的な力技の計算に頼らざるを得ないのですね。
納得させていただいてありがとうございます。
505:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:04:18.50 EFqGY3yx.net
>>484
> N=6^10
> A0=5^10
> B0=5^10
> B1=10*5^9
> A0B0=4^10
> A0B1=10*4^9
> 1-(A0+B0+B1-(A0B0+A0B1))/N
[1] 0.41467302314603127
506:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:42:01.10 EFqGY3yx.net
"サイコロを10回振るとき、1が1回以上かつ2が2回以上でる確率"
rm(list=ls())
options(digits=22)
# ￢(1が1回以上 ∧ 2が2回以上でる) == 1が０回 ∨ (２が0回 ∨ 2が１回）
N=6^10 # すべての順列
A0=5^10 # 1が0回の場合
B0=5^10 # 2が０回の場合
B1=10*5^9 # 2が１回の場合
A0B0=4^10 # 1が0回の場合∧2が０回の場合
A0B1=10*4^9 # 1が0回の場合∧2が1回の場合
1-(A0+B0+B1-(A0B0+A0B1))/N
N - (A0+B0+B1-(A0B0+A0B1))
N
25073692/60466176
6268423/15116544
# シラミ潰しに数え上げる
library(gtools)
pm=permutations(6,10,rep=T)
f <- function(x){
sum(x==1)>0 & sum(x==2)>1
}
r=sum(apply(pm,1,f)) # 25073692
sim <- function(){
f(sample(6,10,rep=TRUE))
}
mean(replicate(1e6,sim()))
１００万回のシミュレーションでの割合
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.41464000000000001
507:１３２人目の素数さん
20/03/06 23:56:49.46 MBVlzf1n.net
>>484
事象A: 1が1回以上でる
事象B: 2が2回以上でる
確率: P = P (A ∧ B) = 1 - P(￢(A ∧ B )) = 1 - P(￢A ∨ ￢B)
= 1 - P(￢A) - P(￢B) + P(￢A ∧ ￢B)
= 1 - P{1が0回} - P{2が0回または1回} + P{"1が0回" かつ "2が0回または1回"}
= 1 - (5/6)^10 - ( (5/6)^10 + 10*(1/6)*(5/6)^9 ) + ( (4/6)^10 + 10*(1/6)*(4/6)^9 )
≒ 0.414673
508:１３２人目の素数さん
20/03/07 01:14:23 J4LoV2eb.net
>>486
本当に丁寧に回答してくださってありがとうございます。
お陰様でほぼ分かったのですが、1/6はすべての整数について考えているから、その中で6の倍数に該当するものって事で、1/6×になっているという事で大丈夫でしょうか？
509:１３２人目の素数さん
20/03/07 01:23:27 JUAM4CMV.net
>>491
なんで有ると思うんだろ
他のデータが必要
510:１３２人目の素数さん
20/03/07 06:49:33.21 3M7vmA2q.net
>>485
100万回のシミュレーション
> sim=function() sum(rbinom(19,1,0.6))>=10
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.813875
>
511:１３２人目の素数さん
20/03/07 07:51:10.72 3M7vmA2q.net
>>491
適当にデータを作って判定方法を考えてみた。
過去問ｘが１００問あってその正解率は平均値７割のβ(7,3)のベータ分布に従うとする。
ｘから１０問無作為に抽出してその配列をaとする。
ある集団でのaの正解率の配列をyとする。
例
> x
[1] 0.786 0.737 0.370 0.688 0.678 0.617 0.873 0.803 0.770 0.451 0.628 0.681 0.785 0.610
[15] 0.936 0.568 0.774 0.851 0.735 0.846 0.809 0.795 0.914 0.539 0.674 0.859 0.444 0.623
[29] 0.747 0.527 0.530 0.543 0.571 0.598 0.710 0.749 0.760 0.804 0.734 0.873 0.455 0.858
[43] 0.763 0.773 0.552 0.714 0.656 0.705 0.707 0.416 0.736 0.380 0.592 0.679 0.663 0.632
[57] 0.778 0.753 0.845 0.852 0.647 0.619 0.691 0.521 0.776 0.958 0.502 0.806 0.803 0.497
[71] 0.746 0.868 0.669 0.723 0.699 0.631 0.759 0.580 0.736 0.641 0.481 0.622 0.752 0.469
[85] 0.505 0.600 0.658 0.795 0.792 0.376 0.738 0.846 0.806 0.655 0.740 0.755 0.837 0.707
[99] 0.816 0.913
> a
[1] 0.623 0.641 0.795 0.770 0.678 0.804 0.568 0.688 0.600 0.376
> y
[1] 0.689 0.775 0.684 0.739 0.833 0.804 0.774 0.760 0.720 0.797
x と a でｔ検定して
> t.test(a,x)
Welch Tw
512:o Sample t-test data: a and x t = -0.89507, df = 11.082, p-value = 0.3898 有意差なし、aは問題が難しすぎる(or 易しすぎる)ということはない。 ｙ と a でｔ検定して > t.test(a,y) Welch Two Sample t-test data: a and y t = -2.3877, df = 11.637, p-value = 0.03487 a と y との平均値には有意差(危険率0.059)がある。 その集団の学力が低すぎる(or 高すぎる)に該当する。 尚、片側検定なら p-value = 0.01743
513:１３２人目の素数さん
20/03/07 08:42:20.69 3M7vmA2q.net
>>490
分数表示すると
3104812540377/3814697265625
514:１３２人目の素数さん
20/03/07 09:03:32.88 3M7vmA2q.net
>>492
勝率ｐを変化させて、１０本先取で勝ちとなる確率をグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
10本先取確率が90%になるのは勝率ｐが0.6420744のとき算出されました。
515:１３２人目の素数さん
20/03/07 09:59:51 lAwwgaKJ.net
>>491に補足します。やりたいことは、
平均点が低いテストのデータが何回分かあったとき、
A 生徒は普通なのに教師が難しすぎる問題を出しているのか、
B 教師は普通の問題を作っているのに生徒がバカすぎるのか、
Aだけが原因か、それともBだけが原因か、
あるいはAとBの寄与の割合が7：3なのか2：8なのか、
テストの点のデータから、原因について何らかの情報を何とか引き出せないかなぁと…
>>497
やっぱり無理ですかね…
前者と後者ではたとえば分布の形に違いが出たりとかしませんか？
>>499
>過去問ｘが１００問あってその正解率は平均値７割のβ(7,3)のベータ分布に従うとする。
ベータ分布についてあまり知識がないのですが、
「問題群の正解率が平均7割」という情報が既知であれば、
yのデータの平均は7割を超えているので事前に予想がつくし
t検定によってそれを確信できますが、
いまはその「問題群の正解率が平均7割」という情報が未知なのです。
516:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:33:24 bfEFgg5v.net
>>454
1≦t<u<v, t+u+v=n,
を満たす (t,u,v) が q(n) とおりある、とする。
t>1 の場合は
(t-1,u-1,v-1) は 1≦ t-1 < u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
q(n-3) に等しい。
t=1 の場合は
(u-1,v-1) は 1≦ u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
[(n-4)/2] = [n/2] -2 とおりある。
これらをたすと漸化式
q(n) = q(n-3) + [n/2] - 2,
初期値 q(6) = 1,
n が3の倍数のときは
q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2),
一般には
q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2) - (1/3)d(n),
ここに
mod(n,2) = n - 2[n/2],
d(n) = 0 (nが3の倍数), = 1 (その他)
517:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:37:27 JUAM4CMV.net
>>502
君はA-Bが低い値である原因はAが低いのかBが高いのか判定させようとしているんだよ
その試験の結果だけで判定するのは無理
>>499のような過去のデータがあっても
今回の試験問題の難易度を過去と比較するには
過去の問題を受けた者に今回の試験を受けさせる必要がある
>>499
ではそういう設定（過去問の中から今回の試験問題を抽出）となっているが
>平均点が低いテストのデータが何回分かあったとき、
>A 生徒は普通なのに教師が難しすぎる問題を出しているのか、
>B 教師は普通の問題を作っているのに生徒がバカすぎるのか、
>Aだけが原因か、それともBだけが原因か、
>あるいはAとBの寄与の割合が7：3なのか2：8なのか、
>テストの点のデータから、原因について何らかの情報を何とか引き出せないかなぁと…
ではそんな設定にはなっていない
Xが試験Yを受けた結果と
Aが試験Bを受けた結果を
一体どう比較するんだ？XにもBをあるいはAにもYを受けさせなくては比較しようがないだろ？
518:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:38:07 JUAM4CMV.net
>>502
君はA-Bが低い値である原因はAが低いのかBが高いのか判定させようとしているんだよ
その試験の結果だけで判定するのは無理
>>499のような過去のデータがあっても
今回の試験問題の難易度を過去と比較するには
過去の問題を受けた者に今回の試験を受けさせる必要がある
>>499
ではそういう設定（過去問の中から今回の試験問題を抽出）となっているが
>平均点が低いテストのデータが何回分かあったとき、
>A 生徒は普通なのに教師が難しすぎる問題を出しているのか、
>B 教師は普通の問題を作っているのに生徒がバカすぎるのか、
>Aだけが原因か、それともBだけが原因か、
>あるいはAとBの寄与の割合が7：3なのか2：8なのか、
>テストの点のデータから、原因について何らかの情報を何とか引き出せないかなぁと…
ではそんな設定にはなっていない
Xが試験Yを受けた結果と
Aが試験Bを受けた結果を
一体どう比較するんだ？XにもBをあるいはAにもYを受けさせなくては比較しようがないだろ？
519:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:48:32 JUAM4CMV.net
>>502
>前者と後者ではたとえば分布の形に違いが出たりとかしませんか？
試験を受けた生徒集団がどのような成り立ちなのかの仮定も無しなら無理
結果の分布Cの形を説明するような生徒集団の成り立ち（分布）Aがいくらでも逆算できるから
520:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:49:24 /ybMrH
521:K/.net
522:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:49:54 /ybMrHK/.net
n-1C2－(n/3－1)×3－(n/6－1)×3－1 個の解は以下の114個の解をすべてカウントしています。
ですので、 t < u < v という解の個数を求めるには、 3! = 6 で割る必要があります。
(1, 2, 15)
(2, 15, 1)
(15, 1, 2)
(15, 2, 1)
(2, 1, 15)
(1, 15, 2)
-----------------------------
(1, 3, 14)
(3, 14, 1)
(14, 1, 3)
(14, 3, 1)
(3, 1, 14)
(1, 14, 3)
-----------------------------
(1, 4, 13)
(4, 13, 1)
(13, 1, 4)
(13, 4, 1)
(4, 1, 13)
(1, 13, 4)
-----------------------------
(1, 5, 12)
(5, 12, 1)
(12, 1, 5)
(12, 5, 1)
(5, 1, 12)
(1, 12, 5)
-----------------------------
(1, 6, 11)
(6, 11, 1)
(11, 1, 6)
(11, 6, 1)
(6, 1, 11)
(1, 11, 6)
-----------------------------
(1, 7, 10)
(7, 10, 1)
(10, 1, 7)
(10, 7, 1)
(7, 1, 10)
(1, 10, 7)
-----------------------------
(1, 8, 9)
(8, 9, 1)
(9, 1, 8)
(9, 8, 1)
(8, 1, 9)
(1, 9, 8)
-----------------------------
523:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:50:10 /ybMrHK/.net
(2, 3, 13)
(3, 13, 2)
(13, 2, 3)
(13, 3, 2)
(3, 2, 13)
(2, 13, 3)
-----------------------------
(2, 4, 12)
(4, 12, 2)
(12, 2, 4)
(12, 4, 2)
(4, 2, 12)
(2, 12, 4)
-----------------------------
(2, 5, 11)
(5, 11, 2)
(11, 2, 5)
(11, 5, 2)
(5, 2, 11)
(2, 11, 5)
-----------------------------
(2, 6, 10)
(6, 10, 2)
(10, 2, 6)
(10, 6, 2)
(6, 2, 10)
(2, 10, 6)
-----------------------------
(2, 7, 9)
(7, 9, 2)
(9, 2, 7)
(9, 7, 2)
(7, 2, 9)
(2, 9, 7)
-----------------------------
(3, 4, 11)
(4, 11, 3)
(11, 3, 4)
(11, 4, 3)
(4, 3, 11)
(3, 11, 4)
-----------------------------
(3, 5, 10)
(5, 10, 3)
(10, 3, 5)
(10, 5, 3)
(5, 3, 10)
(3, 10, 5)
-----------------------------
524:１３２人目の素数さん
20/03/07 10:50:27 /ybMrHK/.net
(3, 6, 9)
(6, 9, 3)
(9, 3, 6)
(9, 6, 3)
(6, 3, 9)
(3, 9, 6)
-----------------------------
(3, 7, 8)
(7, 8, 3)
(8, 3, 7)
(8, 7, 3)
(7, 3, 8)
(3, 8, 7)
-----------------------------
(4, 5, 9)
(5, 9, 4)
(9, 4, 5)
(9, 5, 4)
(5, 4, 9)
(4, 9, 5)
-----------------------------
(4, 6, 8)
(6, 8, 4)
(8, 4, 6)
(8, 6, 4)
(6, 4, 8)
(4, 8, 6)
-----------------------------
(5, 6, 7)
(6, 7, 5)
(7, 5, 6)
(7, 6, 5)
(6, 5, 7)
(5, 7, 6)
-----------------------------
525:１３２人目の素数さん
20/03/07 11:06:27.31 JUAM4CMV.net
>>505
>>>499のような過去のデータがあっても
この場合
過去の受験生が標準で過去問が標準であると考える
ということが大前提
クロスして受けさせれば>>499のように比較は可能
526:１３２人目の素数さん
20/03/07 13:24:53.54 3M7vmA2q.net
>>502
ベータ分布を選んだのは定義域が0～1だから乱数発生が楽というだけの理由。正規分布だと-∞～+∞なので正解率が負になったり1を超えたりするから。
527:１３２人目の素数さん
20/03/07 13:57:04 J4LoV2eb.net
>>510
何度もご迷惑をおかけしてしまい、申し訳ございません。
丁寧に回答して頂きまして、ありがとうございます。
恥ずかしながら、やっと理解できました。
6の倍数であることによって、t＝u＝vである場合があり、4の倍数とかだったらt＝u＝vにはなり得ないわけですね。
そして、求めたいのが、t<u<vの時であるから、最後は3！＝6で割る必要があるという事ですね。
本当に色々と指導して下さり、ありがとうございます。
528:１３２人目の素数さん
20/03/07 13:59:17 J4LoV2eb.net
>>503
回答ありがとうございます。
今、理解に努めています。
529:１３２人目の素数さん
20/03/07 14:22:34.77 M1hoXjIU.net
この問題をお願いします。簡単そうなのですが点Pの座標が出せないで困っています。
b,cは実数の定数とする。2つの放物線
C:y=x^2
D:x=(y-b)^2+c
が相異なる3点P,Q,Rで交わっており、CとDは点Pで接している。
点Pのy座標が他の2点のy座標よりも小さく、点Qのx座標が点Rのx座標より小さいとき、以下の問いに答えよ。
（1）点Pのx座標は点Qのx座標より大きく、かつ、点Rのx座標より小さいことを示せ。
（2）領域EとFを以下のように定める。
E:「放物線Cの弧QPと、放物線Dの弧QPとで囲まれる部分」
F:「放物線Cの弧QRと、放物線Dの弧QRとで囲まれる部分」
このとき、E,Fの面積をそれぞれbまたはcで表せ。
（3）（2）で求めたE,Fの面積について、その大小を比較せよ。
530:１３２人目の素数さん
20/03/07 14:30:12 X5FnkZZB.net
自作警報
531:１３２人目の素数さん
20/03/07 14:52:46 JUAM4CMV.net
>>515
>（1）点Pのx座標は点Qのx座標より大きく、かつ、点Rのx座標より小さいことを示せ。
図から自明
>（2）領域EとFを以下のように定める。
>E:「放物線Cの弧QPと、放物線Dの弧QPとで囲まれる部分」
>F:「放物線Cの弧QRと、放物線Dの弧QRとで囲まれる部分」
>このとき、E,Fの面積をそれぞれbまたはcで表せ。
面倒くさい
>（3）（2）で求めたE,Fの面積について、その大小を比較せよ。
放物線は拡大縮小で1つしかないから
移動させていけばEFが逆転するところが1カ所だけあるのは自明だが
面倒くさい
532:１３２人目の素数さん
20/03/07 22:27:11.00 HPCxHJHS.net
このノートに関するクロネッカーδが捉えられていないので、御教授願います。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
533:１３２人目の素数さん
20/03/07 23:01:28 gPYmhtML.net
なんかめっちゃ見覚えのある筆跡だ
まあ数年前の時点でドクターだし間違いなく本人ではないけど
とりあえず右辺を計算してみたら？
534:１３２人目の素数さん
20/03/07 23:19:08.69 rDZw61P7.net
>>518
表記例: e{i}[k] は 単位ベクトル e_i の k成分を表す.
e{i}[k] = δ{i,k} と Ae{j} = e{σ(j)} より
a[i,j] = Σ[k,m] δ{i,k} a[k,m] δ{m,j} = e{i}^t A e{j} = e{i}^t e{σ(j)} = δ{ i, σ(j) }
画像の方はよく見てない. 難しい事は何もないと思う.
535:１３２人目の素数さん
20/03/07 23:40:04.36 kSC7J6fV.net
x>0で定義され、正の実数値をとる関数f(x)で、f(x)-[f(x)]が単調減少であるものを考える。
（1）そのようなf(x)の例を1つ挙げよ。
（2）命題『すべてのxに対し0<f(x)< 1』の真偽を述べよ。
536:１３２人目の素数さん
20/03/07 23:55:52 7VYTGsts.net
2+1/x
537:１３２人目の素数さん
20/03/08 00:33:11 +TUoMLYN.net
>>520
クロネッカーδの定義を理解していないです
538:１３２人目の素数さん
20/03/08 00:35:20 +TUoMLYN.net
>>520
(連投失礼します)
δ_ijにおけるijはAの行及び列を表している訳ではない、すなわちクロネッカーδの下付き文字は表したい要素の行および列を直接的に表しているとは限らないということでよろしいですか？
539:１３２人目の素数さん
20/03/08 00:36:32 +TUoMLYN.net
(どうしても単位行列の要素のクロネッカーδ以降出てきていなかったため、クロネッカーδの下付き文字がどうしても表したい行列の要素の行及び列を表す記号かなと解釈しておりました。)
540:１３２人目の素数さん
20/03/08 00:46:05.08 5kHsppWd.net
えぇ……なんじゃそら……
541:イナ
20/03/08 00:55:22.31 U4I0sQHI.net
前>>387
>>515
(1)図を描くと、
P,Qが第2象限、Rが第1象限にあることがわかる。
放物線C:y=x^2
の頂点は(0,0),軸はy軸。
放物線D:x=(y-b)^2+c
の頂点は(b,c),軸はx=b。
これら2つの放物線はともに二次式でかつ二次の係数が1だから、同じ曲率でたがいに相似な放物線で、Cを時計回りに90°回転して(c,b)移動させるとDになる。
題意より点Pのy座標が他の2点のy座標よりも小さく、点Qのx座標が点Rのx座標より小さいから、
点Pのx座標は点Qのx座標より大きく、かつ、点Rのx座標より小さい位置にある。（2）x軸とy軸に平行な4つの直線で囲まれた長方形を放物線が1:2に分けるように作図すると、
Q(-q,q^2)(q＜0)として、
Eの面積=SE(b,c)
=q^3/3-(q+c)b+(1/3)(-q-c)(q^2-b)+(1/3)bc
=q^3/3-bq-bc-q^3/3-cq^2/3+bq/3+bc/3+bc/3
=-2bq/3-bc/3-cq^2/3
Fの面積=SF(b,c)
=(c^2-b)(-2c)(4/3)-(1/3)(c^2-q^2)(-c+q)-{(-2c^3/3-4q^3/3-2c(c^2-q^2)}
まだFもう少し誤差ある。
（3）SE(b,c)＜SF(b,c)
542:１３２人目の素数さん
20/03/08 01:11:03 s6qaqgu+.net
>>525
あれは自分で書いたノートではないのね. 簡単な事をわざわざ分かりにくく書いてあるように見えました.
お友達(?)のノートより普通に教科書読んだ方がいいですよ.
クロネッカーδ は
二つの添え字が等しい時のみ 1 それ以外は 0 となる 2変数関数と思えばよくて,
単位行列の成分表示に「も」使えるというだけの事です.
例:
f[2] = 0*f[1] + 1*f[2] + 0*f[3]
= δ[2, 1]*f[1]+ δ[2, 2]*f[2] + δ[2, 3]*f[3]
= Σ[k=1...3] δ[2, k] f[k]
543:１３２人目の素数さん
20/03/08 01:52:08 XKB6YRp9.net
クロネッカーのデルタはただの2値の二変数関数です
f(i,j)
＝1(i＝jのとき)
＝0(i≠jのとき)
という関数です
言ってる事は「その置換行列Aのi行目j番目の成分a_ijはδ_iσ(j)に等しい」
というだけです
544:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/08 02:27:54 U4I0sQHI.net
前>>527訂正。
×相似な放物線
↓ ↓ ↓
○合同な放物線
545:１３２人目の素数さん
20/03/08 08:38:23.03 xYlNxYaj.net
>>503
U := {(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t,u,v}
#U = C[n-1,2] = (n-1)(n-2)/2,
#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t=u<v} = [(n-1)/3],
#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t<u=v} = [(n-1)/2] - [n/3],
#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t=u=v} = [n/3] - [(n-1)/3] = 1 - d(n),
辺々たすと
#A = #B = #C = [(n-1)/2],
また A∩B = B∩C = C∩A = A∩B∩C,
#(A∩B∩C) = 1 - d(n), (3|n のとき1, それ以外は0)
#(AＵBＵC)
= #A + #B + #C - #(A∩B) - #(B∩C) - #(C∩A) + #(A∩B∩C)
= 3[(n-1)/2] - 2{1-d(n)}
= 3n/2 -5 + (3/2)mod(n,2) + 2d(n), ････ (*)
q(n) = (#U - #(AＵBＵC))/6
= (nn/2 -3n +6 - (3/2)mod(n,2) - 2d(n))/6
= (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2) - (1/3)d(n),
*) [(n-1)/2] = (n + mod(n,2))/2 -1,
546:１３２人目の素数さん
20/03/08 09:22:35 xYlNxYaj.net
>>521
(1) f(x) = 1/(x+1)^a + [(x+1)^a], a>0
(2) 偽
547:１３２人目の素数さん
20/03/08 09:28:42 xYlNxYaj.net
>>521
(1) f(x) = exp(-ax) + [ exp(ax) ],
a >0,
(2) 偽
548:イナ
20/03/08 10:39:59.75 U4I0sQHI.net
前>>530
>>527訂正。
q＞0としてQ(-q,q^2)
549:１３２人目の素数さん
20/03/08 13:25:34 byCW6ORI.net
無限個の添字の積空間の積位相のイメージがよくわからないので教えてください
例えば実数全体Rの可算個の直積R^∞について区間I=[0,1]の無限個の直積I^∞という部分空間を考えると
その内部というのは空集合になるというのは正しいでしょうか？
積位相の開基とは有限個の添字について開集合で、残りの無限個の添字については全空間に一致するものということなので
I^∞に含まれるような開集合は空集合のみである・・・というように考えたのですが
550:１３２人目の素数さん
20/03/08 13:45:20 glDw13Zp.net
>>535
部分空間なのにI^∞に含まれる開集合を考えるのはなぜ？
551:１３２人目の素数さん
20/03/08 13:49:25 glDw13Zp.net
ああそうかI^∞だけ考えてるわけじゃないのか
552:１３２人目の素数さん
20/03/08 13:55:23 byCW6ORI.net
そうです、R^∞での内部を考えているので部分集合I^∞と言ったほうが良かったでしょうか
553:１３２人目の素数さん
20/03/08 13:58:59 glDw13Zp.net
R^∞においてI^∞の内部は空で正しいよ
554:１３２人目の素数さん
20/03/08 14:06:27 glDw13Zp.net
たとえば
I^∞∋(x_n)
に対して
lim(x_1,…,x_n,-1,-1,…)=(x_n)
555:１３２人目の素数さん
20/03/08 14:37:10.20 byCW6ORI.net
>>540
ありがとうございます
点列の収束との関係についてはまだよく知らないですが、
その例を少しいじれば(x_n)の任意の近傍にR^∞＼I^∞の点が含まれることが言えますね
なるほどです
556:１３２人目の素数さん
20/03/08 14:55:31.77 uAx0jsyO.net
>>357
SEIRモデルで有病率を１％に固定して、集団のサイズを変化させてシミュレーションしてみたけどピークは変わらないな。
このモデルでは集会規模の大小には影響されないということになるな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
有病率を変化させて流行の変遷をグラフにすると、
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
有病率を４０％くらいに引き上げるとオリンピックのときには流行が収束していることになるｗｗｗｗｗ
557:１３２人目の素数さん
20/03/08 15:02:21.37 uAx0jsyO.net
藤井聡が 集会の参加人数と感染拡大確率の表を公開しているのだが
どういうアルゴリズムで計算するのか知っている方いらっしゃいますか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
558:１３２人目の素数さん
20/03/08 15:13:26 uAx0jsyO.net
>543(自答)
少なくとも一人の感染者が会合に参加している確率を出しているだけじゃないかな？
p=有病率, n=会合参加人数で
1-(1-p)^n
559:１３２人目の素数さん
20/03/08 19:04:52 uAx0jsyO.net
>>544
有病率1/100000で100人の集会ならそこに感染者が含まれる確率は
> n=100
> (q=1-(1-p)^n)
[1] 0.0009995052
だけど
これが1000ヶ所で行われたとすると
> 1-(1-q)^1000
[1] 0.6321224
６割以上の確率でどこかで感染拡大していることになるなぁ。
560:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/08 19:22:25 U4I0sQHI.net
前>>534
>>515積分したら負け。
P(p,p^2),Q(q,q^2),R(-c,c^2)に変更する。
領域にA,B,C,G,H,I,J……とアルファベットを振り、長方形の面積、およびその1/3,2/3の面積を足し引きする。
561:１３２人目の素数さん
20/03/08 20:43:16.75 glDw13Zp.net
大学入学共通テスト平成30年度試行調査問題第5問(v)は問題として成立してないな
これ誰も指摘してないのか？
大悪問なんだが
562:１３２人目の素数さん
20/03/08 20:50:03.09 glDw13Zp.net
問題２を解くに当たって勝手にQRが最長という条件を付けて考えさせている
PQRが最初与えられていて対称性から条件を加えても問題の本質が変わらないということは通常の証明問題なら許されるが
この問題は証明問題ではなく選択肢を選ぶ問題だから
証明問題を解く上でこの証明に沿った解答を強いらせられていることになる
つまり
数学の問題と言うべきでは無く
忖度を強要する悪問
563:１３２人目の素数さん
20/03/08 23:16:41.02 IM4CB1xS.net
半単純Lie代数の有限次元既約表現はCartan の定理とWeylの定理である意味決定されてると思いますが、無限次元表現の分類ってどのくらいわかっているんでしょうか。
できればAffine Lie代数や量子群に関しても表現の分類がどのくらい調べられているのか知りたいです。
詳しい方よろしくお願いします。
564:１３２人目の素数さん
20/03/09 01:07:24.84 4g8uZtdi.net
nを自然数の定数とする。
0≦x≦nである実数xに対して(n+1)次関数f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-n)を考える。
不等式cos(2πf(x))≧0を満たす区間の長さの総和をL(n)とするとき、lim[n→∞] L(n)/nを求めよ。
565:イナ
20/03/09 02:11:47.07 otlyxJ1y.net
前>>546
>>515(2)長方形も放物線も(1or2)/3×縦x軸×横y軸で立式すると、
E=(2/3)(q-c)(q^2-b)+(q-c)(b-p^2)+(1/3)(p-q)(q^2-p^2)-(1/3)(p-c)(b-p^2)
F=(2/3)(-2c)c^2-(1/3)(-2c)(c^2-b)+(1/3)(p-c)(c^2-p^2)-E-(1/3)(p-c)(b-p^2)
Fは引きすぎてから足して足しすぎたぶんを引く感じ。Eを引いてるからEを代入し、
F=(2/3)(-2c)c^2-(1/3)(-2c)(c^2-b)+(1/3)(p-c)(c^2-p^2)-{(2/3)(q-c)(q^2-b)+(q-c)(b-p^2)+(1/3)(p-q)(q^2-p^2)-(1/3)(p-c)(b-p^2)}-(1/3)(p-c)(b-p^2)
=-4c^3/3+2c^3/3-2bc/3+p(c^2-p^2)/3-c(c^2-p^2)/3-(2/3)(q-c)(q^2-b)-(q-c)(b-p^2)-(1/3)(p-q)(q^2-p^2)+(1/3)(p-c)(b-p^2)-(1/3)(p-c)(b-p^2)
方程式C,Dよりyを消去した4次方程式x^4-2bx^2-x+b^2+c=0の解と係数の関係より、
q=c-2p
p^2+2pq-2pc-qc=-2b
p^2q-2pqc-p^2c=1
-p^2qc=b^2+c
2式目を変形し、
p^2+q(2p-c)-2pc+2b=0
p^2-q^2-2pc+2b=0
p^2-q^2=2pc-2b
p-q=p-(c-2p)=3p-c
q-c=c-2p-c=-2p
q^2-b=(c-2p)^2-b=c^2-4pc+4p^2-b
これらを代入し、
E=(2/3)(-2p)(c^2-4pc+4p^2-b)+(-2p)(b-p^2)+(1/3)(3p-c)(2b-2pc)-(1/3)(p-c)(b-p^2)
=(
566:-4p/3)(c^2-4pc+4p^2-b)-2pb+2p^3+2p(b-pc)-(2c/3)(b-pc)-pb/3+bc/3+p^3/3-cp^2/3 =-4pc^2/3+16p^2c/3-16p^3/3+4pb/3-2pb+2p^3+2pb-2p^2c-2bc/3+2pc^2/3-pb/3+bc/3+p^3/3-cp^2/3 =-4pc^2/3+16p^2c/3-16p^3/3+4pb/3-2pb+2p^3+2pb-2p^2c-2bc/3+2pc^2/3-pb/3+bc/3+p^3/3-cp^2/3 (EもFも計算途中ですみません)
567:１３２人目の素数さん
20/03/09 05:06:06.72 V6IMEB5h.net
>>521
(1)
f(x) = 1/(1+ax)^b + [ (1+ax)^b ], a>0, b>0
f(x) = exp(-xx/(2σ)) + [ exp(xx/(2σ)) ], σ>0
f(x) = 1/cosh(ax) + [ cosh(ax) ], a>0
f(x) = 1/Γ(ax+2) + [ Γ(ax+2) ], a>0
減衰カーヴをあまり知らないもので･･･^^
568:イナ
20/03/09 05:44:47.89 otlyxJ1y.net
前>>551
>>515(2)前半
x軸とy軸に平行な4つの直線で囲まれた長方形を1:2に分ける放物線を作図し、
P(p,p^2)(p＜0),Q(q,q^2)(q＜0)として、
長方形も放物線も(1or2or3)/3×縦(x軸方向)×横(y軸方向)で立式すると、
E=(2/3)(q-c)(q^2-b)+(q-c)(b-p^2)+(1/3)(p-q)(q^2-p^2)-(1/3)(p-c)(b-p^2)
F=(2/3)(-2c)c^2-(1/3)(-2c)(c^2-b)+(1/3)(p-c)(c^2-p^2)-E-(1/3)(p-c)(b-p^2)
Fは引きすぎてから足して足しすぎたぶんを引く感じ。Eを引いてるからEを代入し、
F=(2/3)(-2c)c^2-(1/3)(-2c)(c^2-b)+(1/3)(p-c)(c^2-p^2)
-{(2/3)(q-c)(q^2-b)+(q-c)(b-p^2)+(1/3)(p-q)(q^2-p^2)-(1/3)(p-c)(b-p^2)}
-(1/3)(p-c)(b-p^2)
=-4c^3/3+2c^3/3-2bc/3+p(c^2-p^2)/3-c(c^2-p^2)/3
-(2/3)(q-c)(q^2-b)-(q-c)(b-p^2)-(1/3)(p-q)(q^2-p^2)+(1/3)(p-c)(b-p^2)
-(1/3)(p-c)(b-p^2)
=-4c^3/3+2c^3/3-2bc/3+p(c^2-p^2)/3-c(c^2-p^2)/3-(2/3)(-2p)(q^2-b)-(-2p)(b-p^2)-(1/3)(3p-c)(2b-pc)
=-4c^3/3+2c^3/3-2bc/3+p(c^2-p^2)/3-c(c^2-p^2)/3+(4p/3)(b-2pc+b^2)+2p(b-p^2)-(p-c/3)(2b-pc)
=-4c^3/3+2c^3/3-2bc/3+c^2p/3-p^3/3-c^3/3+p^2c/3+4pb/3-8pc/3+4pb^2/3+2pb-2p^3-2pb+p^2c+2bc/3-pc^2/3
=-4c^3/3+c^3/3-7p^3/3+4p^2c/3+4pb/3-8pc/3+4pb^2/3
=-c^3-7p^3/3+4p^2c/3+4pb/3-8pc/3+4pb^2/3
(2)後半につづく。
569:イナ
20/03/09 05:46:29.16 otlyxJ1y.net
前>>553
>>515
(2)後半
方程式C,Dよりyを消去した4次方程式x^4-2bx^2-x+b^2+c=0の解と係数の関係より、
2p+q-c=0─①
p^2+2pq-2pc-qc=-2b─②
-(p^2q-2pqc-p^2c)=-1─③
-p^2qc=b^2+c─④
②よりp^2+q(2p-c)-2pc+2b=0
①より2p-c=-q
代入しp^2-q^2-2pc+2b=0
p^2-q^2=2pc-2b
p-q=p-(c-2p)=3p-c
q-c=c-2p-c=-2p
q^2-b=q^2-p^2+p^2-b=2b-2pc+p^2-b=b-2pc+p^2
これらを代入し、
E=(2/3)(-2p)(c^2-4pc+4p^2-b)+(-2p)(b-p^2)+(1/3)(3p-c)(2b-2pc)-(1/3)(p-c)(b-p^2)
=(-4p/3)(c^2-4pc+4p^2-b)-2pb+2p^3+2p(b-pc)-(2c/3)(b-pc)-pb/3+bc/3+p^3/3-cp^2/3
=-4pc^2/3+16p^2c/3-16p^3/3+4pb/3-2pb+2p^3+2pb-2p^2c-2bc/3+2pc^2/3-pb/3+bc/3+p^3/3-cp^2/3
=-4pc^2/3+16p^2c/3-10p^3/3+pb-2p^2c-2bc/3+2pc^2/3+bc/3+p^3/3-p^2c/3
=-2pc^2/3+3p^2c-3p^3+pb-bc/3
③･c+④より、
-2pqc^2-p^2c^2=b^2+c+1
-2p(c-2p)c^2-p^2c^2=b^2+c+1
-2pc+4p^2c^2-p^2c^2=b^2+c+1
3p^2c^2-2pc-b^2-c-1=0
重解を持つから、
c^2+3(b^2+c+1)=0
p=c±√{c^2+3(b^2+c+1)}/3c^2
=1/3c
∴E=-2pc^2/3+3p^2c-3p^3+pb-bc/3
=-2(1/3c)c^2/3+3(1/3c)^2c-3(1/3c)^3+(1/3c)b-bc/3
=-2c^3/9+1/3c-1/9c^3+b/3c-bc/3
F=-c^3-7(1/3c)^3/3+4(1/3c)^2c/3+4(1/3c)b/3-8(1/3c)c/3+4(1/3c)b^2/3
=-c^3+4/27c+4b^2/9c+4b/9c-8/9-7/81c^3
570:イナ
20/03/09 06:00:10.45 otlyxJ1y.net
前>>553-554括弧訂正。
p=[c±√{c^2+3(b^2+c+1)}]/3c^2
=1/3c
571:１３２人目の素数さん
20/03/09 07:14:59.44 V6IMEB5h.net
>>515
Dの頂点(c,b)のbを固定したままcを(水平に)動かす。
CとDが点P(x.y)で接する条件は
(xx-b)^2 -x +c = 0,
4x(xx-b) -1 = 0,
b<3/4 のときは 下の式を解いて
x(P) = (1/2){[1-√(1-B^3)]^(1/3) + [1+√(1-B^3)]^(1/3)},
y(P) = x(P)^2
= (1/4){[1-√(1-B^3)]^(2/3) + [1+√(1-B^3)]^(2/3) +2B},
ただし B =4b/3.
b<3/4 のとき (B<1) 1ヵ所で接する。
b=3/4 のとき (B=1) 2ヵ所で接する。
c = -3/4 P(x,y) = (-1/2,1/4) (変曲点?)
c = 15/16 P(x,y) = (1,1)
b>3/4 のとき (B>1) 3ヵ所で接する。
572:１３２人目の素数さん
20/03/09 12:42:58.24 B37NngAd.net
鋭角三角形の「鋭角」って用語は日常で使う「尖った鋭い」っという意味での「鋭角的」をイメージすると
それはむしろ鈍角三角形の方になってしまうから嫌な感じがする
573:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/09 15:29:12 otlyxJ1y.net
前>>555当初の目的忘れてた。質問に答える。
>>515
p=1/3cだから、
点P(p,p^2)=(1/3c,1/9c^2)
574:イナ
20/03/09 16:20:27.82 otlyxJ1y.net
前>>558
>>515
点Pの座標は、
P(1/3c,1/9c^2)
(1)
点Pのx座標はp=1/3c
点Qのx座標はq=c-2p
p-q=3p-c=1/c-c＞0
∵方程式Cが方程式Dに点Pで内接するにはc＜-1だから。
∴点Qのx座標は点Pのx座標より小さい。
点Rのx座標は-c＞1/3c
∴点Rのx座標は点Pのx座標より大きい。
575:１３２人目の素数さん
20/03/09 19:59:03.54 vw/iTiP3.net
(n,k)は二項係数でnCkとも書く。
k=1,2,...,pに対して、((p,k),k)と(p,k)の最大公約数が1となるような素数pを1つ求めよ。
576:１３２人目の素数さん
20/03/10 00:53:35.18 rve7UmqV.net
2
577:１３２人目の素数さん
20/03/10 00:54:15.27 QNnieRN/.net
あ、(,)は二項係数か
578:１３２人目の素数さん
20/03/10 00:55:47.39 pA6AVKTv.net
じゃ
((p,1),1)=p=(p,1)より解なし。
579:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/10 04:11:44 SgyDBxw5.net
前>>559修正中。
E=(2/3)(q-c)(q^2-b)+(q-c)b+q^3/3-b^3/3-α
まだわずかに(p,p^2),(0,b^2+c),(0,0)を結ぶ領域αが引き足りない。
580:イナ
20/03/10 06:36:05.66 SgyDBxw5.net
前>>564
P(p,p^2),O(0,0),Dのx切片(0,b^2+c)を結ぶ領域αがまだだけど、
E=-10b/9c+20/27c-4/27c^3+c^3/3-2c/3-b^3/3-α
F=-4c^3/3-bc/3+7c/9+b/c-20/27c+4/27c^3+b^3/3+α
F-E=-4c^3/3-bc/3+7c/9+b/c-20/27c+4/27c^3+b^3/3+α-(-10b/9c+20/27c-4/27c^3+c^3/3-2c/3-b^3/3-α)
=-4c^3/3-bc/3+7c/9+b/c-20/27c+4/27c^3+b^3/3+α+10b/9c-20/27c+4/27c^3-c^3/3+2c/3+b^3/3+α
=-4c^3/3-bc/3+7c/9+19b/9c-20/27c+8/27c^3+2b^3/3-20/27c-c^3/3+2c/3+2α
=-5c^3/3-bc/3+13c/9+19b/9c-40/27c+8/27c^3+2b^3/3+2α
=-5c^3/3-bc/3+13c/9+19b/9c-40/27c+8/27c^3+2b^3/3+2α
581:１３２人目の素数さん
20/03/10 07:46:54.28 lr4nABto.net
この問題はどのくらいの難易度でしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
582:１３２人目の素数さん
20/03/10 09:28:05.44 NDH0cEkh.net
>>566
やや難～難
583:イナ
20/03/10 10:10:34.04 SgyDBxw5.net
前>>565
>>515点P(1/3c,1/9c^2)
点Q(c-2/3c,c^2-4/3+4/9c^2)
点R(-c,c^2)
E=-10b/9c+20/27c-4/27c^3+c^3/3-2c/3-b^3/3-α
F=-4c^3/3-bc/3+7c/9+b/c-20/27c+4/27c^3+b^3/3+αα=bc/3-(-c^3)/3+(-2c)(2c^2-2b)/6-(2c^2/3-F)+E
F+αでEが出る。
E-αでFが出る。
(2)
F+α=-4c^3/3-bc/3+7c/9+b/c-20/27c+4/27c^3+b^3/3+α+bc/3-(-c^3)/3+(-2c)(2c^2-2b)/6-(2c^2/3-F)+E
E=4c^3/3+bc/3-7c/9-b/c+20/27c-4/27c^3-b^3/3-bc/3-c^3/3+2c^3/3-2bc/3+2c^2/3
∴E=5c^3/3+2c^2/3-7c/9-b/c+20/27c-4/27c^3-b^3/3-2bc/3
E-α=-10b/9c+20/27c-4/27c^3+c^3/3-2c/3-b^3/3-α-{bc/3-(-c^3)/3+(-2c)(2c^2-2b)/6-(2c^2/3-F)+E}
F=10b/9c-20/27c+4/27c^3-c^3/3+2c/3-b^3/3+{bc/3-(-c^3)/3+(-2c)(2c^2-2b)/6-(2c^2/3)}
=10b/9c-20/27c+4/27c^3-c^3/3+2c/3-b^3/3+bc/3+c^3/3-2c^3/3+2bc/3-2c^2/3
∴F=-2c^3/3-2c^2/3+2c/3+10b/9c-20/27c+4/27c^3-b^3/3+bc
(3)F-E=-2c^3/3-2c^2/3+2c/3+10b/9c-20/27c+4/27c^3-b^3/3+bc-(5c^3/3+2c^2/3-7c/9-b/c+20/27c-4/27c^3-b^3/3-2bc/3)
=-7c^3/3-4c^2/3+13c/9+19b/9c-40/27c+8/27c^3+5bc/3
c＜0だが、式でE＜Fを示すのは難しい。よって図で説明する。
放物線Dは放物線Cと同じ曲率で、回転させて頂点を合わせればy=x^2のグラフと一致させることができ、
FにEを重ねると、
EはR(-c,c^2)から(0,b)に引いた半直線と放物線Cで囲まれた領域Gの中でぴったり放物線Cに沿うように収まるが、この領域GはFの中でぴったり放物線Cに沿うように収まる。
∴E＜G＜F
584:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:28:15 8i4lB+ke.net
>>566
(1)は垂心まわりの標準問題、それでこれが(2)のような形式で東大でありそう。レベルは難だから捨て問。
585:１３２人目の素数さん
20/03/10 13:40:28 B0mhg7eB.net
>>566
問題を3段階くらいに分けて其々の段階で適切にパラメータを選べば計算量はそんなに多くない。
最後は楕円の極座標表示を知っていると楽
586:１３２人目の素数さん
20/03/10 14:16:20 d+7KezpJ.net
566って外心、重心、垂心の関係を知ってると楽になりますか？
587:570
20/03/10 15:19:20.29 B0mhg7eB.net
>>571
とりあえず外心や重心は無関係
もっとエレガントな解法だとどうなのかは知らない
(1) まずBCを固定した時の 垂心の軌跡がどんな形か確認する.
配置を回転させてBCを垂直にとると 垂線の一つをx軸に平行にとれるので計算は楽
(2) BC上の一点Pを固定してグルグルしてみると 軌跡(1) の 軌跡(領域) が現れる.
OPを水平にとって、軌跡(1)の"中心" の軌跡を見るとよい.
(3) 領域(2)に点(b,0) が 入るようなPについて、 その境界条件 (以下略)
588:１３２人目の素数さん
20/03/10 16:04:45.27 B0mhg7eB.net
楕円の性質知ってれば極座標表示するまでもなかった。
589:１３２人目の素数さん
20/03/10 17:37:08.11 I2fj5FcK.net
これ分かる方いらしたらお願いします
>>549
590:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/10 18:01:02 SgyDBxw5.net
前>>568
rieなのかrikoなのかonirokuなのか。
591:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:34:05 0EGlKotV.net
ラマヌジャンの手計算とコンピュータの計算どちらが速い？
592:１３２人目の素数さん
20/03/10 18:35:24 2X/H2/bO.net
>>574
昔その分野をかじったことがある程度だが少しレスする
大学院レベルの質問だからここで的を得た回答を得るのは難しいんじゃなかろうか
先輩の院生か指導教官に聞いた方がいいんじゃないか？
その質問を指導教官から課題として出されたとか（4月から修士に入る学生への教官からの課題っぽいと想像してる）、
質問できる先輩の院生がいないとか、ならばしょうがないが…
『リー代数と量子群』（谷崎俊之）は読んだことがある？
M1の時に読んだが、読みやすい本だったよ
この教科書の後半に、アフィン（というかMac-Moody）リー代数とか量子群も載ってたけど
君の質問の答えまで載ってたかどうかは覚えていない
593:１３２人目の素数さん
20/03/10 19:00:47 HhJuyxkn.net
漠然と数学を学びたいのですがどんな分野がおすすめですか？
大学数学はつまらないしサボっていたのでほとんど高校止まりです。
ていうか工学系の大学数学って面白いんですか？
594:１３２人目の素数さん
20/03/10 21:08:49.34 B4p4PHRk.net
実数a,b,cは
（ア）a>0,b>0,c>0
（イ）(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/abc
を満たす。
A=√(1+a^2)+1-a
B=√(1+b^2)+1-b
C=√(1+c^2)+1-c
とおくとき、以下の値がa,b,cによらない定数になることを示し、その値を求めよ。
AB+BC+CA-2(A+B+C-1)
595:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:03:36 Yztp0G0I.net
>>577
>Mac
Kac
596:１３２人目の素数さん
20/03/10 22:32:18 0EGlKotV.net
>>579
0
597:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:06:12.52 a9Z8MHCQ.net
x^2-2y^2-xy+3y-1を因数分解するという問題の途中式がわかりません。
というより、
答えが
(x-2y+1)(x+y-1)になるのは勘でわかったのですが、
途中式で、
x^2-yx+(2y-1)(y-1)
の時に、-yxがどこに消えたのかという仕組みがわかりませんし、なぜそう簡単にしきに組み込むことが出来るのかよくわかりません。
二乗があるならまだしも、-yxは二次式ではありますが、考えづらいです。
噛み砕いて教えて下さりますでしょうか、
お願いします。
598:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:49:54.21 tcbieR9h.net
>>582
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)c+ab
599:１３２人目の素数さん
20/03/11 01:59:51.52 a9Z8MHCQ.net
>>583
ありがとうございます。
もう少し噛み砕いて教えていただけないでしょうか
600:イナ
20/03/11 02:14:49.53 LbRSBTGq.net
前>>575
>>582
x^2-2y^2-xy+3y-1を因数分解すると、x^2項の係数が1で定数項が-1だから、
(x+ay+1)(x+by-1)という形になると思う。
aやbが勘でわかるのはすごいな。けど確実に当てるなら計算するほうがいい。
展開すると、
-2y^2=aby^2─①
-xy=axy+bxy─②
3y=-ay+by─③
①よりy=0のときx=±1
y≠0のとき①の辺々をy^2で割ると、
ab=-2─④
②よりxy=0のときx=0またはy=0
xy≠0のとき②の辺々をxyで割ると、
a+b=-1─⑤
③よりy=0のときx=±1
y≠0のとき③の辺々をyで割ると、
-a+b=3─⑥
⑤-⑥よりa-(-a)=-1-3
2a=-4
a=-2
④に代入すると(-2)b=-2
b=1
∴(x-2y+1)(x+y-1)
途中式、
x^2-yx+(2y-1)(y-1)
という変形は思いつかなかった。y^2項と定数項で因数分解せよって言われてんのかな？
-yxが消えたかどうかはわかりません。いや、-yxあるじゃないか。
両辺に-yxがあって、かつx≠0,y≠0なら、辺々を-yzで割ることで-yzを消すことはできると思う。
辺々を割れるか割れないかは0じゃないか0かの違いで、二乗でも一次式でもyzでも、0じゃなければ割れるはず。
601:１３２人目の素数さん
20/03/11 02:45:12.90 y9Jt3QH1.net
>>579 , >>581
これどうやって示すのか誰か教えてください.
x+y+z=π, tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x)tan(y)tan(z)
a = cot(x), A = ... =1/sin(x) + 1 - cot(x), B= . . .
これで行くのかなと予想は立てたもののスマートな式変形が思い浮かびません.
602:１３２人目の素数さん
20/03/11 04:56:40.90 mptyGKpN.net
>>580
typoでした、訂正どうも
603:イナ
20/03/11 05:35:15.90 LbRSBTGq.net
前>>589
>>579(前半)
(イ)よりbc+ca+ab=1─①
AB+BC+CA-2(A+B+C-1)
={√(1+a^2)+1-a}{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+b^2)+1-b}{√(1+c^2)+1-c}+{√(1+c^2)+1-c}{√(1+a^2)+1-a}-2[{√(1+a^2)+1-a}+{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+c^2)+1-c}-1]
={√(1+a^2)+1-a}{√(1+b^2)+1-b}+{√(1+b^2)+1-b}{√(1+c^2)+1-c}+{√(1+c^2)+1-c}{√(1+a^2)+1-a}-2{√(1+a^2)+1-a+√(1+b^2)+1-b+√(1+c^2)+1-c-1}
={√(1+a^2)+(1-a)}{√(1+b^2)+(1-b)}
+{√(1+b^2)+(1-b)}{√(1+c^2)+(1-c)}
+{√(1+c^2)+(1-c)}{√(1+a^2)+(1-a)}
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)+(1-a)(1-b)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)+(1-b)(1-c)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)+(1-c)(1-a)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)+1-a-b+ab
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)+1-b-c+bc
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)+1-c-a+ca
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+3-2(a+b+c)+bc+ca+ab
604:イナ
20/03/11 05:38:51.36 LbRSBTGq.net
前>>588(前半)
前々>>579(後半をやる)
①を代入すると、
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+3-2(a+b+c)+1
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)+2-a-b-c}
+4-2(a+b+c)
=√(1+a^2)(1+b^2)+(1-a)√(1+b^2)+(1-b)√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+(1-b)√(1+c^2)+(1-c)√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+(1-c)√(1+a^2)+(1-a)√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)}
=√(1+a^2)(1+b^2)+√(1+b^2)-a√(1+b^2)+√(1+a^2)-b√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)+√(1+c^2)-b√(1+c^2)+√(1+b^2)-c√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)+√(1+a^2)-c√(1+a^2)+√(1+c^2)-a√(1+c^2)
-2{√(1+a^2)+√(1+b^2)+√(1+c^2)}
=√(1+a^2)(1+b^2)-a√(1+b^2)-b√(1+a^2)
+√(1+b^2)(1+c^2)-b√(1+c^2)-c√(1+b^2)
+√(1+c^2)(1+a^2)-c√(1+a^2)-a√(1+c^2)
だいぶ消えたな。
605:１３２人目の素数さん
20/03/11 07:47:03 ADkxY50d.net
>>582
2y-1を-(-2y+1)だと思ってみれば
606:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:14:52 avK6eeO9.net
>>586
>x+y+z=π, tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x)tan(y)tan(z)
tan(x+y+z)=0
(tan x+tan y+tan z-tan x tan y tan z)/(1-tan x tan y-tan y tan z-tan z tan x)=0
tan x+tan y+tan z-tan x tan y tan z=0
607:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:36:07 iUaOIFBy.net
職業訓練の選考試験で中学程度の国語と数学が出るんですが、数学がさっぱり分かりません。
どなたか教えてくださいm(_ _)m
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
608:１３２人目の素数さん
20/03/11 08:49:24 ADkxY50d.net
>>592
それはさすがに勉強してくださいとしかいいようがない
勉強せずに問題見て自力で解法を編み出せるのは天才だけ
609:１３２人目の素数さん
20/03/11 09:12:19 zi4olkqu.net
>>586
a = cot(x), b = cot(y), c = cot(z),
とおけば
1/a + 1/b + 1/c - 1/abc = tan(x)+tan(y)+tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z)
= sin(x+y+z)/{cos(x)cos(y)cos(z)},
A-1 = tan(x/2), B-1 = tan(y/2), C-1 = tan(z/2),
より
(与式) = (A-1)(B-1) + (B-1)(C-1) + (C-1)(A-1) - 1
= tan(x/2)tan(y/2) + tan(y/2)tan(z/2) + tan(z/2)tan(x/2) - 1
= -cos((x+y+z)/2)/{cos(x/2)cos(y/2)cos(z/2)}
= -(1/a +1/b +1/c -1/abc)･cos(x)cos(y)cos(z)/{2sin((x+y+z)/2)cos(x/2)cos(y/2)cos(z/2)}
ですね^^
---------------------------------------------------------
加法公式の略証
e^{i(x+y+z)} = e^(ix)･e^(iy)･e^(iz)
= {cos(x)+i･sin(x)}{cos(y)+i･sin(y)}{cos(z)+i･sin(z)}
= cos(x)cos(y)cos(z){1+i･tan(x)}{1+i･tan(y){1+i･tan(z)},
実部から
cos(x+y+z) = cos(x)cos(y)cos(z) - sin(x)sin(y)cos(z) - cos(x)sin(y)sin(z) - sin(x)cos(y)sin(z)
= cos(x)cos(y)cos(z){1 - tan(x)tan(y) - tan(y)tan(z) - tan(z)tan(x)},
虚部から
sin(x+y+z) = sin(x)cos(y)cos(z) + cos(x)sin(y)cos(z) + cos(x)cos(y)sin(z) - sin(x)sin(y)sin(z)
= cos(x)cos(y)cos(z){tan(x) + tan(y) + tan(z) - tan(x)tan(y)tan(z)},
610:586
20/03/11 09:20:39 y9Jt3QH1.net
tanの加法を二回使って
tan(x+y+z) = (tx + ty + tz - txtytz) / (1 - txty - tytz - tztx)
[公式1] x+y+z = π → tanx + tany + tanz = tanx tany tanz
[公式2] x+y+z = π/2 → tanx tany + tany tanz + tanz tanx = 1
a = cot(x) (0<x<π/2), b= ... と置ける. {∵ 公式1}
A = 1 + 1/sin(x) - cot(x) = 1 + X,
X := (1-cos(x))/sin(x) = 2 sin(x/2)^2 / sin(x) = sin(x/2)/cos(x/2) = tan(x/2)
(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = {2(AB+BC+CA) - 4(A+B+C-1)} + 4
(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = (1-X)(1-Y)(1-Z) + (1+X)(1+Y)(1+Z)
= 2 + 2(XY+YZ+ZX) = 2 + 2*1 = 4 {∵ 公式2}
∴ (AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1) = {(2-A)(2-B)(2-C) + ABC}/2 -2 = 2 - 2 = 0
できた. 幾何学的意味などがあるなら教えて欲しい.
611:１３２人目の素数さん
20/03/11 09:21:39 y9Jt3QH1.net
>>591, >>594 ありがとうございます
612:１３２人目の素数さん
20/03/11 12:36:57.91 y9Jt3QH1.net
別解 (最初からこれでよかった)
(AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1)
= (1+X)(1+Y)+(1+Y)(1+Z)+(1+Z)(1+X) - 2(3+X+Y+Z -1)
= 3 +2(X+Y+Z) + XY+YZ+ZX - 4 - 2(X+Y+Z)
= -1 + XY+YZ+ZX = 0 {∵公式2}
613:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:07:24.59 Kpnz/R4s.net
どうしても分からない問題があったので質問です。物理学部2年です。
lが奇数の時、∫₀¹ dˡ/dxˡ (x²-1)ˡ dx を閉じた形で表せ。
矩形波をルジャンドル多項式による展開をする途中に出てきたのですが行間が省かれていたので分かりませんでした。
よろしくお願いしますm(_ _)m
614:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:15:30.05 a9Z8MHCQ.net
>>585
ありがとうございます
なんとなくですが、わかったような気がします。
お決まりの形があるんですね。
615:１３２人目の素数さん
20/03/11 17:47:36 tcbieR9h.net
>>599
お決まりの形っていうならx^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)が分かってれば解けるだろ
616:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:08:13 f0qlU4Z9.net
>>598
結論は？
617:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:17:53 N/UPZlhv.net
>>601
分かんねえから聞いてんだろ
俺より偏差値低い大学のくせに
618:１３２人目の素数さん
20/03/11 19:37:49.09 plq6CXNf.net
>>601
教科書の方には「lが奇数の場合、
Aₗ=(2l+1)∫₀¹Pₗ(x)dx [ただしPₗ(x)はl次のルジャンドル多項式]
」
に
「Rodriguesの公式を利用すると、積分が計算できて
Aₗ=(-1/2)⁽ˡ⁻¹⁾ᐟ² ((2l+1)(l-2)!!)/(2((l+1)/2)!)
が得られる。」
と書いてありました。
教科書はジャクソン電磁気原書第3版(和訳第4版)で、問題はp.140のところです。
619:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:12:10 nurrYDlF.net
>>603
とりあえずPn(x)が(1-2xt+t^2)^(-1/2)のt^nの係数らしいから
∫[0,1] (1-2xt+t^2)^(-1/2) dx を計算してそれのn次の係数だせばいいんじゃない？
積分は簡単だし、nじすの係数は一般化二項定理で出せるみたいだし。
620:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:25:10 y9Jt3QH1.net
>>603
m:=2k + 1 {l は 1 と見分けにくいので m にした}
d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m について
(x²-1)...(x²-1) 各項の微分が
「0階項と1階項が同時にある場合」 or「 3階以上の項がある場合」 は消えるので
2階微分項のみからなるパターンを考えればよい.
2階微分のペアリング数: (m-2)!!
1回目の微分とペアとなる微分は m-2 通り, まだペアを組んでいない次の微分とのペアは m-4 通り, ... }
m項から 2階微分項 (k 個) の(順序付き)選び方: m!/(m-k)!
∫[0,1] d^m/dx^m (x²-1)^m dx
= [ d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m ]{x=0,1} + 0
= [ m!/(m-k)!* (m-2)!! * (x²-1)^{k+1} (2)^k ] {x=0,1}
= m!/(m-k)!* (m-2)!! * (-1)^k * 2^k
= m!*(m-2)!/((k+1)!*(k-1)!) * 2 * (-1)^k
後は好きなように整理してくれ
(m-2)!! = (m-2)(m-4)... 1 = (m-2)(m-3)(m-4)... 1 / {(m-3)(m-4)...2} = (m-2)!/(2k-2)!!
(2k-2)!! = 2^(k-1) * (k-1)!
621:１３２人目の素数さん
20/03/11 20:30:50 plq6CXNf.net
>>604
ありがとうございます、母関数を使った解法も試してみます
>>605
こんなやり方があるんですね……ありがとうございました！
622:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:00:48 tcbieR9h.net
>>602が煽り大失敗してて可哀想ｗｗｗ
まあ普通に読んだら途中式なしに結論だけ書かれてるからって質問で
じゃあ結論もいっしょに書いてってのは普通のやり取りだってことには気づくしな
623:１３２人目の素数さん
20/03/11 21:30:44.12 zi4olkqu.net
>>598
(与式) = ∫[0,1] P_L(x) dx
= [ {1/(2^L･L!)}(d/dx)^(L-1)･(xx-1)^L ](x=0,1)
Lは奇数とする。
x=1 のとき
L個の(xx-1)因子のうち、少なくとも１個は微分を免れるから、０
x=0 のとき
(xx-1)^L の中の x^(L-1) の係数は２項公式により
(-1)^((L+1)/2) Ｃ(L, (L-1)/2)
= (-1)^((L+1)/2) L! /{((L+1)/2)! ((L-1)/2)!}
= -(-2)^((L-1)/2) L! (L-2)!! /{((L+1)/2)! (L-1)!}
(2^L･L!) で割って
= -(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)! (L-1)!}
(L-1) 回微分すると (L-1)! 倍になる。
x=0 は下限で -1 倍する。
(-1/2)^((L-1)/2) (L-2)!! /{2 ((L+1)/2)!}
624:１３２人目の素数さん
20/03/12 07:52:02.46 PvEUOLXr.net
>>598
2年でこんなことやんの？
難しいね
625:１３２人目の素数さん
20/03/12 10:11:33 JdGzjxM3.net
>>608
なるほど、微分を素直に二項展開すると綺麗に解けたんですね……もう少し計算力を鍛えます、ありがとうございました！
>>609
学部の勉強ではないのですが、春休み中に計算力が落ちるのが嫌だったので、背伸びして勉強しています(笑)
みなさん丁寧にありがとうございました。
626:１３２人目の素数さん
20/03/12 11:56:01 aUmBtXZj.net
コレ偶数項はどうなるのって思ったら偶数項はL=0のときを除いて0になるのね。
中々面白い。
627:１３２人目の素数さん
20/03/12 19:25:44.26 BAjCtA1Q.net
文部科学大臣表彰「若手科学者賞」の受賞通知っていつ来るかわかりますか？？
628:１３２人目の素数さん
20/03/13 20:46:25.71 oNo7xYUj.net
x^x+y^y＝z^z （x≠y≠z）
↑を満たす自然数x,y,zは存在しますか？
629:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:17:24.73 +bALPGnB.net
>>613
存在しない
zは3以上としてよく、z>y>xとしてよい
すると
z^z=(z^y)*(z^(z-y))>(z^y)*3>z^y+z^y>y^y+x^y>y^y+x^x
630:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:19:42.06 +bALPGnB.net
本質に影響しないけど
(z^y)*(z^(z-y))≧(z^y)*3
だった
631:１３２人目の素数さん
20/03/13 21:19:42.06 +bALPGnB.net
本質に影響しないけど
(z^y)*(z^(z-y))≧(z^y)*3
だった
632:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:21:08.28 3zHLWnAK.net
概算したいのですが、教えて下さい。
山手線を何駅乗るとコロナウイルスを吸い込むことが期待されますか？
633:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:23:39 b54YpSRM.net
不明です
634:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:38:52 cCragyGR.net
こんなところにフラクタルが
ABACABADABACABAEABACABADABACABA
edcba edcba
1 a 10000 e
10 b 10001 a
11 a 10010 b
100 c 10011 a
101 a 10100 c
110 b 10101 a
111 a 10110 b
1000 d 10111 a
1001 a 11000 c
1010 b 11001 a
1011 a 11010 b
1100 c 11011 a
1101 a 11100 c
1110 b 11101 a
1111 a 11110 b
11111 a
635:１３２人目の素数さん
20/03/13 22:49:47 QuV6xPyP.net
任意のn個の整数の中からm個の整数を取り出す方法で、取り出した整数の和がmの倍数になるようなものが存在するという。
このようなnとして有り得るものの中で最小のものをmの式で表せ。
たとえばm=3なら求める値は5。
636:１３２人目の素数さん
20/03/13 23:13:41 IbYZYELm.net
URLﾘﾝｸ(www.renyi.hu)
637:１３２人目の素数さん
20/03/14 00:19:03.49 Gxl3DqPh.net
m(m+n)-n^2=1
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。
このような(m,n)は無数に存在することを示せ。
638:１３２人目の素数さん
20/03/14 00:57:33 guoQpnQh.net
ペル方程式
639:１３２人目の素数さん
20/03/14 04:01:11.31 Gxl3DqPh.net
m(m+n)-n^2=1…(*)
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。
（1）このような(m,n)は無数に存在することを示せ。
（2）(*)を満たすすべてのnにわたって、以下の和（無限和）を計算せよ。
Σ1/(n^2+1)
640:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:32:33 sSuZDAok.net
>>619 いろいろな例がかいてあった。ABACABA patternって名前までついている
ハノイの塔の動かし方も同じ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
641:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:33:08 iH59lf4s.net
>>620
mで割ったときの余り(剰余)を考える。
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
・{0,1,････,m-1} をすべて含む
のいずれかを満たすならば可能。
n = (m-1)^2 +1 ならば可能。
(これはnの上限。最小のnはずっと小さいのかも)
642:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:42:23 iH59lf4s.net
↑ mが奇数のとき。
--------------------------
mが偶数のときは
任意のn個の整数が
・{0,1,････,m-1} のどれかを m 個以上含む
を満たすならば可能。
n = m(m-1) +1
643:１３２人目の素数さん
20/03/14 13:50:03 iH59lf4s.net
>>624
(1)
フィボナッチ数を使って
(m, n) = (F_{2k-1}, F_{2k}) (k：自然数)
とおくと
m(m+n) - nn = F_{2k-1}F_{2k+1} - F_{2k}^2
= (-1)^{2k-2}
= 1,
となり、題意を満たす。これがすべてと思われる。
*) フィボナッチ数 F_k について
F_{k+1}･F_{k+3} - (F_{k+2})^2
= (F_{k+1})^2 - F_k･F_{k+2}
= ････
= (-1)^k･{F_1･F_3 - (F_2)^2}
= (-1)^k.
(2)
1/(nn+1) = {m(m+n)-nn}/{m(m+n)}
= n/(m+n) - (n-m)/m
= F_{2k}/F_{2k+1} - F_{2k-2}/F_{2k-1},
より
Σ[k=1,K] 1/(nn+1) = F_{2K}/F_{2K+1}
→ 1/φ = (√5 -1)/2.
644:１３２人目の素数さん
20/03/14 13:52:54 Yd73bSim.net
>>628
Fibonacciとは特性方程式が違う。
645:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:43:25 P8Vszp3C.net
nn-nm-mm=-1
646:１３２人目の素数さん
20/03/14 15:27:25.31 iH59lf4s.net
>>629
意味不明････
具体的に書けば
k=1 のとき (m,n) = (1,1)
k=2 のとき (m,n) = (2,3)
k=3 のとき (m,n) = (5,8)
k=4 のとき (m,n) = (13,21)
････
647:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:09:22.85 e0nVNfU1.net
>>626
私も最初は偶奇で分けてその考察をしてたのですが小さいmですぐに破綻したのでこのスレに投げました
>>621が正しいっぽいです
648:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:47:05 Yd73bSim.net
>>631
fibonacci数列の特性多項式は
x^2-x-
649:1。 (2m+n)^2-5n^2=4の特性方程式は x^2-5=0。
650:１３２人目の素数さん
20/03/14 16:53:02 Yd73bSim.net
間違えた。
x^2-5y^2=4
だから
(1+√5)^n=x+y√5
だ。吊ってくる。
651:１３２人目の素数さん
20/03/14 22:48:56.28 LZxm7k+t.net
1つのサイコロをN回投げ、出たN個の目の積を
Anとする。この時Anが6の倍数になる確率をnを用いて表せ。
652:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:19:56.57 Ior9sgvQ.net
1-p(all 1,3,5)-p(all 1,2,4,5)+p(all 1,5)
653:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:05:02 x7ZMnCxT.net
>>636
少なくとも一つ2の倍数かつ少なくとも一つ3の倍数であることと、少なくとも一つ6の倍数である事をどうやって処理すれば良いのかが人に説明できる程、理解できていません。
すみません。教えて頂けると有難いです。
654:１３２人目の素数さん
20/03/15 04:25:33.20 OTl1KJku.net
>>635
ｎ を 1～２０でシミュレーションしてみた。
sim <- function(n,k=1e5){ # n:サイコロを振る回数 k:シミュレーション回数
sub <- function(n){
prod(sample(6,n,replace=TRUE))%%6==0 # n回の目の積の6で除算した剰余が0か？
}
mean(replicate(k,sub(n))) # 0となる割合を返す
}
p=sapply(1:20,function(n) sim(n))
data.frame(p)
p
1 0.16560
2 0.41369
3 0.61413
4 0.75417
5 0.84134
6 0.89669
7 0.93356
8 0.95765
9 0.97254
10 0.98093
11 0.98873
12 0.99175
13 0.99458
14 0.99611
15 0.99737
16 0.99849
17 0.99899
18 0.99924
19 0.99963
20 0.99978
655:１３２人目の素数さん
20/03/15 04:45:50.62 AImOax5n.net
整数問題ならまだしも確率をシュミレーションしても検算以外に使えないよ
656:１３２人目の素数さん
20/03/15 08:00:20.15 OTl1KJku.net
>>638
1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696
657:１３２人目の素数さん
20/03/15 08:42:45.68 cOtagSUy.net
「任意の3以上の奇数nについて、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分が偶数であるものの個数と奇数であるものの個数は等しい」
成り立ってるっぽいんですけど証明ってありますか？
658:１３２人目の素数さん
20/03/15 09:46:02.63 OTl1KJku.net
>>635
1-(4^n+3^n-2^n)/6^n
659:１３２人目の素数さん
20/03/15 09:52:36 OTl1KJku.net
ｆ ＜－ ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ｎ）｛
ｌｉｂｒａｒｙ（ｇｍｐ）
ｎ＝ａｓ．ｂｉｇｑ（ｎ）
ｒ＝１－（４＾ｎ＋３＾ｎ－２＾ｎ）／６＾ｎ
ｒ２＝ｃａｐｔｕｒｅ．ｏｕｔｐｕｔ（ｒ）［２］
ｓｕｂｓｔｒ（ｒ２，５，ｎｃｈａｒ（ｒ２））
｝
ｎ＝３０
ｆｏｒ（ｉ ｉｎ １：ｎ）｛
ｃａｔ（ｉ，?：?，ｆ（ｉ），?\ｎ?）
｝
1 : 1/6
2 : 5/12
3 : 133/216
4 : 325/432
5 : 6541/7776
6 : 4655/5184
7 : 261493/279936
8 : 535925/559872
9 : 9796381/10077696
10 : 19786525/20155392
11 : 358427653/362797056
12 : 239941975/241864704
13 : 12991999021/13060694016
14 : 26030320685/26121388032
15 : 469096926613/470184984576
16 : 938923986325/940369969152
17 : 16909350566461/16926659444736
18 : 3758920371605/3761479876608
19 : 609083700366373/609359740010496
20 : 1218351814233125/1218719480020992
21 : 21932542135610701/21936950640377856
22 : 43868026759785805/43873901280755712
23 : 789659760174634933/789730223053602816
24 : 526455508992460775/526486815369068544
25 : 28429161282767803741/28430288029929701376
26 : 56859074012717372765/56860576059859402752
27 : 1023472347053496500293/1023490369077469249536
28 : 2046956711331417849925/2046980738154938499072
29 : 36845364987782900777581/36845653286788892983296
30 : 24563640732593188077775/24563768857859261988864
660:１３２人目の素数さん
20/03/15 10:04:25 OTl1KJku.net
分数表示 小数表示 シミュ値
1 1/6 0.1666666667 0.16695
2 5/12 0.4166666667 0.41535
3 133/216 0.6157407407 0.61633
4 325/432 0.7523148148 0.75147
5 6541/7776 0.8411779835 0.84065
6 4655/5184 0.8979552469 0.89742
7 261493/279936 0.9341170839 0.93430
8 535925/559872 0.9572277235 0.95693
9 9796381/10077696 0.9720853854 0.97253
10 19786525/20155392 0.9816988427 0.98123
11 358427653/362797056 0.9879563438 0.98787
12 239941975/241864704 0.9920503944 0.99250
13 12991999021/13060694016 0.9947403258 0.99509
14 26030320685/26121388032 0.9965136865 0.99644
15 469096926613/470184984576 0.9976858939 0.99761
16 938923986325/940369969152 0.9984623256 0.99840
17 16909350566461/16926659444736 0.9989774191 0.99890
18 3758920371605/3761479876608 0.9993195484 0.99937
19 609083700366373/609359740010496 0.9995470005 0.99943
20 1218351814233125/1218719480020992 0.9996983180 0.99976
>
661:１３２人目の素数さん
20/03/15 10:29:33 +G0RMlYJ.net
>>635
事象: (偶∨3) ∨ 6 = ((2∨4∨6)∨3) ∨ 6
= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ (3∧6) ∨ 6
= (2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6
{省略記法は適当に推測してください}
P1 := P(●), P2 := P(●∧■), ...
Q1 := P(￢●), Q2 := P(￢●∧￢■), ...
Qk = ((6-k)/6)^n
P1 = 1 - Q1
P2 = 1 - 2*Q1 + Q2
P3 = 1 - 3*Q1 + 3*Q2 - Q3
P4 = 1 - 4*Q1 + 6*Q2 - 4*Q3 + Q4
確率: P((2∧3) ∨ (4∧3) ∨ 6) = (P2 + P2 + P1) - (P3 + P3 + P3) + P4
= P1 + 2*P2 - 3*P3 + P4 = 1 - Q2 - Q3 + Q4
= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n
まあ結果を見れば工夫の余地ありですが基本に忠実な方法を採りました.
662:１３２人目の素数さん
20/03/15 11:01:35 8d8gCNj7.net
>>636ｰ637 >>642
3|An ⇔ not (all 1,2,4,5)
p(3|An) = 1 - p(all 1,2,4,5) = 1 - Q2 = 1 - (4/6)^n,
2|An ⇔ not (all 1,3,5)
p(2|An) = 1 - p(all 1,3,5) = 1 - Q3 = 1 - (3/6)^n,
(3|An or 2|An) ⇔ not (all 1,5)
p(3|An or 2|An) = 1 - p(all 1,5) = 1 - Q4 = 1 - (2/6)^n,
確率：p(6|An) = p(3|An and 2|An)
= p(3|An) + p(2|An) - p(3|An or 2|An)
= 1 - Q2 - Q3 + Q4
= 1 - (4/6)^n - (3/6)^n + (2/6)^n.
まあ結果を見れば工夫の余地ありですが、基本に忠実な方法を採りました。
663:１３２人目の素数さん
20/03/15 11:36:03 +G0RMlYJ.net
本当に何も工夫できてなかったから「基本に忠実」と書いただけなのに
煽ったように受け止めたのでしょうかね。素直に怖いんですが...
664:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:04:58 pKH/XCba.net
>>577
レスありがとうございます。お返事遅れてすみません。
実は今、隣の分野くらいでポスドクをしています。
この歳になると恥ずかしくて聞くに聞けない質問が増えてしまいまして、
なかなか本を調べても載っていないので困っていました。
おそらくまとまった文献はなく、散見している論文を調べないといけない可能性があるので
今度詳しそうな方に聞いてみます
665:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:13:30 nyblZrKy.net
>>641
おおー、確かに成り立ってるっぽい！
証明はわからないが、面白いな
666:１３２人目の素数さん
20/03/15 12:41:54 ijdl7Zl+.net
面白いけど質問のフリして出題してくるのがウザい。
人間性疑う。
667:１３２人目の素数さん
20/03/15 13:21:23.01 nyblZrKy.net
Excelで少し試しただけだが、
>>641
の命題を、次のように書き換えても正しそうかな？
（元の命題はq=2に相当）
「2以上の整数qを1つ固定する。
mを任意の1以上の整数とする。n=qm+1とおき、n-1個の数√n,√2n,√3n,...,√(n-1)nのうち、整数部分がqで割り切れるものの個数はm個である」
668:１３２人目の素数さん
20/03/15 15:41:25 cOtagSUy.net
>>651おお～。こちらも少し試してみましたが成り立ってそうです。そっちで僕も考えてみます。
669:１３２人目の素数さん
20/03/15 17:58:59.77 yAcb4ZNO.net
>>650
x,yは正の実数とする。
x^x-2(x^y)(y^x)+y^y≧0を示せ。
670:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:09:41 nyblZrKy.net
>>653
偽
2^2-2*2^2*2^2+2^2=-24<0
671:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:11:52 yAcb4ZNO.net
>>650
θを実数の定数とする。
（1）rについての方程式cos(θ+r)=sin(rθ)はいくつの正の実数解を持つか。
（2）同様に、
-sin(θ+r)=rcos(rθ)-r/2はいくつの正の実数解を持つか。
672:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:05:48.56 ux99Nd6q.net
>>651
正しそう
証明に取り掛かってみます
673:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:08:14.27 ijdl7Zl+.net
>>653 >>655
そもそも問題のレベル低いの自分で気づかないの？
674:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:36:57.79 cOtagSUy.net
>>651 文字をちょっと変えてもっと一般化して、
nを正の偶数、[]は床関数として、
「数列a(k)=[√{k(n+1)}] 1≦k≦n、
数列b_i(k)≡a(k) (mod i) i|n,0≦b_i(k)≦i、
N{k:b_i(k)=j}でb_i(k)=jとなるkの個数を表すと、
N{k:b_i(k)=j}+N{k:b_i(k)=i-j}=2n/iが成り立つ。」
でもいけそうですね。>>641はi=2の場合、>>651はj=0の場合。
>>641を考えてましたが、区間[i^2/(n+1),(i+1)^2/(n+1))∪[(n-i)^2/(n+1),(n-i+1)^2/(n+1))に含まれる整数の数が常に２個であることが適当に文字をおいて不等式を解くとわかるので、おそらく解けました。
675:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:41:09.80 VolefM5h.net
>>657
中学高校程度、30分、を目安としております。
676:１３２人目の素数さん
20/03/15 20:09:55.76 cOtagSUy.net
>>658連投失礼
一般化したらnの偶奇も関係なくなるかもしれませんね（本当に成り立ってたら）
677:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:11:09.66 kVh6ZCdm.net
>>641
実際にチェックしてみたところ、n=46341以下では、成立していると確認できたけど、
n=46343以上では、不成立っぽい。
（n=46343の時、奇数が23169個で、偶数が23173個）
・誤差の可能性を疑ったけど、単独で発生しているのではなく、n=46343以上で連続して不成立
・[sqrt(i*n)]と[i*n/sqrt(i*n)]が一致するかのチェックも通過
どなたか、検証お願いします。
678:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:40:29.84 zmT9OS45.net
>>661
46343^2 > 2^31 だからオーバーフローの可能性は？
多倍長整数でやってるの？
679:１３２人目の素数さん
20/03/15 21:55:04.59 kVh6ZCdm.net
46341^2 < 2^31 < 46343^2
これか 失礼しました。
680:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:30:54 8d8gCNj7.net
>>653
(1,1)を頂点とするＶ字曲線の外側 (左側と下側) の領域で成り立つ。
{(x,y) | 0<x<0.932806 or 0<xy<1 or 0<y<0.932806} を含む。
境界線は点
(1, 1.66038753819)
(0.932806, 1.220063)
(1, 1)
(1.220063, 0.932806)
(1.66038753819, 1)
を通る。
681:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:42:50 jPy2YSJ8.net
数学検定3級の2次問題で
□3の(6)の回答が不明です
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
682:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:45:45 jPy2YSJ8.net
0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
197÷38=5.2冊だと思うのですが
683:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:52:12 cOtagSUy.net
>>661
怖くなってきたので煩雑ですが一応証明を書いておきます。
「nは偶数,k∈{1,2,...,n}とする。
1<√(n+1),√(n-1)(n+1)<n<√{n(n+1)}<n+1より、区間[0,1)∪[n,n+1)には√{k(n+1)}が一つ含まれる.
i,j∈{1,2,...,n-1}とする。
(i+1)^2-i^2=2i+1<2(n+1)より区間[i,i+1)に含まれるような√{k(n+1)}は高々２個。
[i,i+1)に√{k(n+1)}が２個含まれる
⇔i<√{j(n+1)},√{(j+1)(n+1)}<i+1
⇔i^2<(n+1)j,(n+1)(j+1)<(i+1)^2
⇒(n-i)^2>(n+1)(n+1-2i)+(n+1)(j+1)>(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2<(n+1)(n+1-2i)+(n+1)j=(n+1)(n-2i+j+1)
⇔√{(n-2i+j)(n+1)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
[i,i+1)に√{k(n+1)}が0個含まれる
√{j(n+1)}<i,i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔j(n+1)<i^2,(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒(n-i)^2<(n+1)^2-2(n+1)(i+1)+(n+1)(j+1)=(n+1)(n-2i+j)
(n-i+1)^2>(n+1)^2-2(n+1)i+j(n+1)=(n+1)(n-2i+j+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i,n-i+1<√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が2個含まれる
[i,i+1)に1個含まれる
√{(j-1)(n+1)}<i≦√{j(n+1)}<i+1<√{(j+1)(n+1)}
⇔(j-1)(n+1)<i^2≦j(n+1)<(i+1)^2<(j+1)(n+1)
⇒√{(n+1)(n-2i+j-1)}<n-i<√{(n+1)(n-2i+j)}<n-i+1≦√{(n+1)(n-2i+j+1)}
⇔[n-i,n-i+1)に√{k(n+1)}が１個含まれる
よって,i≠n/2,ならば[i,i+1)∪[n-i,n-i+1)には√{k(n+1)}が２個含まれ、
i=n/2ならば[i,i+1)には√{k(n+1)}が１個含まれる。
n≡0,2(mod 4)で場合分けして考えると、題意の成立がわかる。」
上の証明が合っていれば似たような解法でおそらくN{k:a(k)=pd±i}+N{k:a(k)=n-pd∓i}=2(複合同順)が示せて、>>658の一般化も示せそうなのですが、間違っていたら元も子もないですね。
684:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:53:51 OTl1KJku.net
>>661
いや、等しくなったけど。
> sim <- function(m){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) # mean(floor(a)%%2==0)==0.5でも同じ
+ }
> sim((46343-1)/2) # n=2*23171+1=46343
23171 23171
[1] TRUE
> sim(46343)
46343 46343
[1] TRUE
685:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:58:58 8d8gCNj7.net
x,yは正の実数とする。
x^(2x) - 2(x^y)(y^x) + y^(2y) ≧ 0,
(略証)
log は単調増加だから
(x-y){log(x)-log(y)} ≧ 0
(x/y)^(x-y) ≧ 1,
(x^x)(y^y) ≧ (x^y)(y^x),
よって
(左辺) ≧ x^(2x) -2(x^x)(y^y) + y^(2y)
= (x^x - y^y)^2
≧ 0,
686:１３２人目の素数さん
20/03/15 23:21:08.82 OTl1KJku.net
10万＊２＋１までは成立することを確認。
> sim <- function(m,print=FALSE){
+ n=2*m+1
+ i=1:(n-1)
+ a=sqrt(i*n)
+ b=floor(a)
+ if(print) cat(sum(b%%2==0),sum(b%%2==1),'\n') # 偶数の数、奇数の数
+ mean(floor(a)%%2==0)==0.5 # sum(b%%2==0)==sum(b%%2==1) と同じ
+ }
> sim=Vectorize(sim)
> flg=sim(1)
> i=1
> k=1e5
> while(flg & i < k){
+ i=i+1
+ flg=sim(i)
+ }
> i
[1] 1e+05
687:１３２人目の素数さん
20/03/16 10:50:51.55 xw7qN3/R.net
>>666
>0.5×2+2.5×7+4.5×13+6.5×9+8.5×6+10.5+1=197
0.5とか2.5とかってなに？最後＋1とは？
688:イナ
20/03/16 11:23:55.08 thhgKhx4.net
(1･2+3･7+5･13+7･9+9･6+11)/38=217/38=5.71……≒5.7(冊)
（(-_-)∥ ∥>>665
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`前>>589
689:１３２人目の素数さん
20/03/16 16:37:18 xt+nxb6a.net
正六角形ABCDEFの辺AB上に点Gをとり、また正六角形の内部に点Hを△CGHが正三角形となるようにとる。
このとき、Gのとり方によらず、Hはある直線上にあることを示せ。
690:１３２人目の素数さん
20/03/16 17:00:59.29 fnD/2c+P.net
下記問題はどうやるのですか？
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
691:１３２人目の素数さん
20/03/16 17:25:45 P4igaTJG.net
>>672
ありがとう、解決しました
>>671
0以上2未満だから0以上1以下読んだ人が二人いるので0.5冊×2人と考えました
+1は×1の間違えです