20/02/22 13:44:39 t1VmBQdA.net
>>169の(4)はたぶん、
QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。
それだと答えは128/29である。
222:169
20/02/22 13:59:42 cPpHE1j8.net
>>214
お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん
他の皆様の解答は大筋その方針でOK
難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか
（1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた
223:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:06:02 OSJ3i4NJ.net
>>215
ほぼトレミー前提の出題ってどこ高？
224:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:16:17 InYZG21C.net
>>211 訂正ｽﾏｿ
AP = ak - (b+a)/k - (c+a)/k,
225:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:45:19 Wh9anab0.net
こんなの高校受験で出るわけなかろ？
226:イナ
20/02/22 14:56:12.11 XhKI0L4t.net
前>>206
17√2=24.0416306……＞24
わずかに長い。
どんなときだ。
どんなときだ。
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)としてPA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2},PB=√{(x+5)^2+y^2},PC=√(5-x)^2+y^2},PA+PB+PC=√(25+2.8x+1.4^2-9.6y+4.8^2)+√(25+10x+25)+√(25-10x+25)=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16･1.44)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16+6.4+0.64)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(50+2.8x-9.6y)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√{50+2.8x-9.6√(25-x^2}+√(50+10x)+√(50-10x)
{50+2.8x-9.6(25-x^2)^(1/2)}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)を微分し=0とするとxの値は、
227:哀れな素人
20/02/22 15:23:48 t1VmBQdA.net
>>215
お前は人間としてゴミ（笑
228:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:17:49.42 p+fzcFe2.net
nを2以上の自然数、総和範囲をk:1,2,…,n-1で、[]はガウス記号として、
Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 は成立しますか？
また、iを自然数としてn=10^(2i)+1の形であらわされるとき常に等号は成立しますか？
229:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:28:03.31 ceeKINr6.net
>>221
それはどっから持ってきた問題なん？
自作？
成り立つかもしれないとなぜ思えるの？
230:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:49:02.59 p+fzcFe2.net
>>222
古いノートを眺めてて出てきた自作なのでなぜ成り立つと思ったのかはもう思い出せませんが、n≦30までの成立と、1000000以下の数からランダムで選んだ２０個のnでは成立を確認したようです。今見ても解き方がパッと思いつかなかったので聞きました。
231:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:50:36.23 ceeKINr6.net
>>223
では成り立ってない可能性もあるのね。
232:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:12:48.92 p+fzcFe2.net
>>223 そうです。紛らわしくてすみません。
今ノートを見たところ、等号成立は一部の素数とそれらの任意の合成数(ただし各指数は最大1)に限られると推測していたようです。
例えばn=2,5,13,17,29,37,41...や、n=17*29,2*13*37,5*13*17*29*41...などでは等号成立しますが、n=31,(5^3)*(17^2)などでは等号成立しませんでした。
もし証明か反例がわかったら教えてくれるとうれしいです。
233:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:40:56 p+fzcFe2.net
>>225は>>224に向けてです。
234:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:41:15.69 Dnm09tuZ.net
>>221 の主張は
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) ≦ n(n-1)/2
と同じですね。
連続する n-1 個の平方数があると、これらの n による剰余の平均は n/2 以下だ というものです。
一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) = n(n-1)/2
となります。これは恐らく、対称的つまり、「pが平方剰余の時、n-pも平方剰余」の時だと思います。
235:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:51:56.87 pXckeFWw.net
a,b,cを定数かつa≠0とし、関数f(x)、g(x)を
f(x)=ax+b、 g(x)=1/(x+c)
によって定めます。等式f(g(x))=g(f(x))がxについての恒等式となるようなa,b,cの組(a,b,c)をすべて求めなさい。
お願いします。
236:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:59:59.84 InYZG21C.net
nが素数pの場合は p=4k+1 または p=2 ですね。
〔第１補充法則〕
((-1)/p) = (-1)^((p-1)/2)
= 1 (p=4k+1)
= -1 (p=4k-1)
237:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:04:22.45 AO+nZE6G.net
>>227 に付け加えます。
n=25 の平方剰余は、1,4,6,9,11,14,16,19,21,24 で対称的になりますが、
10個しかないので、等号は成立しません。
nが偶数の時は、n/2 個、奇数の時は、(n-1)/2 個 という条件も付け加えます。
238:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:27:15.30 uzEwOmBo.net
曲線C:y=|sin(nπx)|（0≦x≦1）とする。
Cのy≧xに属する部分の全体の長さの総和をL_1、同様にy≦xに属する部分の全体の長さの総和をL_2とする。
lim[n→∞] L_1/L_2を求めよ。
239:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:59:01.38 xP+zlBI0.net
>>230
p=7のときは平方剰余は
1,2,4
で対称的ではないよ。
前半に寄ってる。
前半による事はあっても後半による事はない事を示さないといけない。
240:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:38:23.75 AO+nZE6G.net
>>232
>>227で書いた
>> 一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
に対する指摘でしょうか？
平方剰余の個数が半分以下なので、漠然と上の不等式が成り立つだろうと
思って書いてしまいましたが、不等式の成否は以下の論理には無関係で、
つい「平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和」の枕言葉として使ってしまいました。
従って、>>227の次の部分を修正します。
×：一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
×：平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
○：もし、平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 が成立するなら、
241:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:03:21.71 p43IL4DS.net
>>233
平方剰余の全体の和と平方非剰余の和は一致しませんよ？
n7の時
平方剰余の和＝1+2+4=7
平方非剰余の和＝3+5+6=14
です。
242:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:15:58 AO+nZE6G.net
はい。その通りです。
n=7では、Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 の式は、
左辺=[1/7]+[4/7]+[9/7]+[16/7]+[25/7]+[36/7]=0+0+1+2+3+5=11
右辺=6*5/3=10
なので、不等号の方が成立します。
等号成立の条件について考察している、227後半部分の対象外の事例なので、
なぜ、n=7が取り上げられているか疑問で、回答に窮しています。
243:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:46:20.16 OYpSuZ+S.net
あれ？
よみまちがったかな？
平方剰余の和＝平均非剰余の和
を主張してるように読み間違えました。
すいません。
244:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:59:21.68 rZAgoQjV.net
ちなみに後半はi=3とかでもダメです。
10^6+1は11で割り切れてこれはmod4で3なのでダメです。
245:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:00:25.63 pF2sa1Fo.net
あ、うそいった。
11では割り切れないけど、計算機でやったらダメでした。
246:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:07:58.38 X4NXJ2sr.net
またうそでした。
打ち間違ってた
print $ sum [mod (n^2) 1000001 | n<-[0..1000000]]
500000500000
i=3では成立してますね。
しかし10^(2i)+1の素因子が全てmod4で1なんて成立するのかなぁ？
247:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:17:52.30 oFGb4GMw.net
そうか、p≡3(mod4)が因子になる事はないのか。
multiplicityが1以下かどうかだけが問題なのか。
吊ってくる。
248:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:26:33.58 LZOHjeYG.net
連続すまそ
これで最後にする。
10^202+1はダメじゃない？
10^202+1
=100^101+1
=(1+100)(1-100+10000-‥(-100)^100)
で
(1-100+10000-‥(-100)^100
≡1+1+‥+1 (mod 101)
だから10^202+1は101^2で割り切れる希ガス
249:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:56:07 sm1T7+nt.net
ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。
つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。
無限級数の収束性等は既知とします。
f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。
出典は特にありません、答えも分かりません。
250:１３２人目の素数さん
20/02/23 10:24:19 URzusrEE.net
>>209
> a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
> その結果を図形的に説明せよ
半径bの円に対して反転で移りあう二点と円の直径の両端は調和数列をなす（調和点列）
251:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:09:01.77 l2/N4aPd.net
>>242
まず定義式から
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
exp(r+iθ) = exp(r)(cosθ + i sinθ)：cosθ, sinθは単に級数で定義された関数
を証明する
共役複素数を掛けて
exp(2r) = exp((r+iθ)+(r-iθ)) = exp(r)(cosθ + i sinθ)exp(r)(cosθ - i sinθ)
= exp(r)^2 |cosθ + i sinθ|^2 ∴ |exp(iθ)| = 1
θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
すなわち exp(iθ)はθの周期関数
252:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:20:05.28 URzusrEE.net
直径aの円Aと直径bの円Bが直径a+bの円Cに内接しているとき
AとBに外接しCに内接する円の半径をa,bで表せ
座標入れて計算してみたらやり方が悪いのか煩雑になりすぎて計算できません。
たぶん有名問題なのでどこかに解説されてると思うですが検索しても見当たらないので
お願いします。
253:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:24:56.91 URzusrEE.net
>>245 書き忘れ 円Aと円Bは外接してます
254:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:06:11.45 Tga8ONQo.net
どうみても新作ルアー
255:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:22:35.55 sm1T7+nt.net
>>244 ありがとうございます
|exp(iθ)| = 1 ここまでは了解です。 ただし...
> θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
>すなわち exp(iθ)はθの周期関数
この論理展開は厳しいのではないでしょうか？
中間値の定理でぶち当たってほしい値の正統性が怪しいです。
1 のn乗根を exp(iα)で 表せる事 (αはなんらかの実数) は exp(iθ)の周期性が既知でないと言えないかと思います。
256:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:48:10 g+ZpqIIu.net
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257:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:10:10.37 2UWx/2s8.net
>>245-246
AとBに外接しCに内接する円をD、a,bを直径ではなく半径、Dの半径をr
A,B,C,Dの中心の座標をそれぞれ (-b,0), (a,0), (0,0), (x,y) とし、
Dの中心とA,B,Cの中心との距離を考ると、
[1] (x+b)^2 + y^2 = (a+r)^2,
[2] (x-a)^2 + y^2 = (b+r)^2,
[3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
x,yを消去した式a([1]-[3])+b([2]-[3])を作ると、rの一次式になり
r = ab(a+b)/(aa+ab+bb)。
258:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:19:27.05 x1qWF4GD.net
|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････
259:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:01:23.51 x1qWF4GD.net
>>242
f(z+w) = Σ[k=0,∞] (z+w)^k /k!
= Σ[k=0,∞] Σ[m+n=k] (z^m /m!)(w^n /n!) (2項公式)
= (Σ[m=0,∞] z^m /m!)(Σ[n=0,∞] w^n /n!)
= f(z) f(w) ････ 指数公式
いま
f(iy) = cos(y) + i･sin(y)
とおく。
cos(y) = Re{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k)/(2k)!
sin(y) = Im{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k+1) /(2k+1)!
指数公式
f(iny) = f(iy)^n,
は ド・モァヴルの公式
cos(ny) + i･sin(ny) = {cos(y)+i･sin(y)}^n,
となり、実数部と虚数部に分ければ n倍角公式 が出る。
f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
より
cos(y)^2 + sin(y)^2 = 1,
260:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:04:51.69 x1qWF4GD.net
次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････
< 0
0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。
cos(p/2) = 0,
sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0,
0<y<4 に sin(y) の零点pがある。
261:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:10:35.88 PXb9xj6B.net
i方向に動かした時の長さの値を微分するとゼロなので定数
変化量をさらに微分すると定数
になる事がわかるので
i方向への移動は円上を一定速度で回り続ける事はわかる
ので、証明はできる
がこれは三角関数の周期性を示すスタンダードなやり方と結局同じなので面白みははないかもしれない
エレガントな式変形なり論法はどこかにあるのだろうか
262:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:14:47.32 x1qWF4GD.net
cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,
263:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:32:44.65 14JaYXx+.net
>>245
つデカルトの円定理
264:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:34:32.17 x1qWF4GD.net
指数公式から
f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),
定義(マクローリン展開)から
{sin(y)} ' = cos(y)
265:, {cos(y)} ' = -sin(y), も出る。 >>254 cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1, から有界であることは分かりますが･･･
266:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:54:06.45 14JaYXx+.net
素直に考えれば
・cos(2)<0を定義から示す。
・cos(0)=1とあわせてcos(c)=0を満たす最小の実数が存在する。
・0<x<cでcos(x)>0によりsin(x)は単調増大、さらにsin(0)=0によりsin(c)>0。
・sin^2+cos^2=1によりsin(c)=1。
・exp(ic)=i。
・exp(A+B)=exp(A)exp(B)‥(✳︎)を示しておいてexp(4ci)=1、再び(✳︎)によりexp(x)は周期4ciをもつ。
とかじゃない？
267:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:59:41.96 URzusrEE.net
>>250
> [3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
この式は中心 (a-b,0) だから以下のように修正して解くと
{(x + b)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a + b)^3/(2 (a^2 + 4 a b + b^2)) になるようです。ありがとうございました
268:242
20/02/23 19:22:13.94 sm1T7+nt.net
>>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。
cos(0) = +1
cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ...
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...)
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2
= -43/105 < 0
∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない)
exp(ip)^4 = ( 0 ± i )^4 = 1 つまり4乗根が得られたので
exp(i(x+4p)) = exp(ix) * exp(i4p) = exp(ix) * exp(ip)^4 = exp(ix)
exp(ix) の周期は 4p (或いはその何分の一) である。とりあえずここまででOKです。
他のみなさんもありがとうございました。先を考える参考になります。
269:１３２人目の素数さん
20/02/23 20:08:14.65 x1qWF4GD.net
-1が平方剰余.
((-1)/n) = 1.
x^2≡-1 (mod n) が解をもつ.
平方剰余の分布が対称的.
↓
k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2.
270:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:10:56.97 URzusrEE.net
>>259
これデカルトの円定理ってので検算してみると合わないから間違っているのかもしれません
271:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:30:46.91 PXb9xj6B.net
三角関数の加法定理、二乗和が1を導出できるなら
単純に0以外でサインが0になる点の値をぶち込めば三角関数の周期性はでる
まあこれも級数の形から出るし、三角関数の周期性の話だが
272:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:56:35.06 AO+nZE6G.net
>>261
私も、一時期その可能性を思いましたが、 >>230 をご覧ください。
「-1が平方剰余」だけでは、不十分な事が判ります。
ただし、必要条件であることは、間違いないと思います。
他にも、50,125,169,250,289が、この例外に当てはまるので、
2^r*p^s ただし、r=0,1、pは素数、s=2,3,4,...
型を除外すれば十分なのかもしれません。
あ、それと、230の内容を修正します。
「nが偶数の時は、n/2 個」と書きましたが、nが偶数の時は、n/2が平方剰余で（←nが4の倍数ではない）、
n/2を除いた上で、平方剰余、平方非剰余の個数がそれぞれ、n/2-1 個ずつ でなければなりません。
273:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:01:14.35 URzusrEE.net
>>259 最初と二番目の式の右辺の a と b を逆にする大ボケかましてた
結果的に>>250と一致した
solve {(x + b)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a b (a + b))/(a^2 + a b + b^2)
274:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:12:16.81 AO+nZE6G.net
>>264 に補足
n=p^2と表されるとき、
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2
の左辺において、k=a*pの項は、mod((a*p)^2,p^2)=0 となり、
とても、平均 n/2 を維持することはできなくなるため、除外されなければならない という�
275:ｱとですね。
276:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:53:46 x1qWF4GD.net
nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。
そうすれば
-1が平方剰余 (mod n)
↓
(Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.
φ(n)はオイラーのtotient関数です。
277:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:29:09 x1qWF4GD.net
-1 が平方剰余 (mod n)
n=Πp ならば ((-1)/n) = Π((-1)/p),
〔第一補充法則〕
((-1)/p) = 1 (p=4k+1 または p=2)
= -1 (p=4k+3)
nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。
偶数個か0 → +1 → 等号
奇数個 → -1 → 不等号
でしょうか････
278:１３２人目の素数さん
20/02/24 01:59:51.74 HNz38u5g.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
279:１３２人目の素数さん
20/02/24 08:07:56.61 271EzAMw.net
中学2年生です。これの(3)はなんでいえないなんでしょうか。あきらかに長さが違うから？分からないので教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
280:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:05:30.46 c5PK6CeI.net
>>270
そこに書かれている条件だけだとBの位置が特定されておらず二等辺三角形であることもあり得るがそうでないこともあり得るから
その図の見た目の問題ではないよ
281:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:12:02.01 c5PK6CeI.net
>>270
小学校で図形を扱うようになった頃
URLﾘﾝｸ(blogimg.goo.ne.jp)
これの2番のような問題で見た感じで選んでよかったけど、中学の図形のレベルでは見た目は関係が無く論理的に明確な根拠がなければそうだとはみなさないという暗黙のルールがある
言われてみればこのことを学校では明示してくれていなかった気はする
282:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:22:32.26 271EzAMw.net
レス270です。
考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
283:イナ
20/02/24 10:04:45.87 st+AszZ0.net
前>>219
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)とすると、
x^2+y^2=25
PA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2}
=√(25+2.8x+4･1.96+16･1.44-9.6y)
=√(2.8x-9.6y+41+0.64+0.064+7.84)
=√(2.8x-9.6y+48.84+0.704)
=√(2.8x-9.6y+49.544)
PB=√{(x+5)^2+y^2}
=√(25+10x+25)
=√(50+10x)
PC=√{(5-x)^2+y^2}
=√(50-10x)
PA+PB+PC=√(2.8x-9.6y+49.544)+√(50+10x)+√(50-10x)
={2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)
微分し=0とすると、
(1/2){2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(1/2)(50+10x)^(-1/2)+(1/2)(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(50+10x)^(-1/2)+(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50+10x)^(-1/2)+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50-10x)^(-1/2)=0
xの値は、1.4よりちっさなりそうな予感がします。
284:哀れな素人
20/02/24 10:19:54.05 Rt+v/L/g.net
>>270
∠BCDが30°と書かれていないから。
285:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:44:57.17 tf/NWog7.net
>>270
もし、問題が「この図形は二等辺三角形か？」
と問われたものだったら、可能な回答は次の三つ。
A:「はい」＝「二等辺三角形と言える」
B:「いいえ」＝「二等辺三角形と言えない」
C:「不明」＝「二等辺三角形かどうか判らない」
この問題は、「二等辺三角形か？」と問われているのではなく、
「二等辺三角形と言えるか？」と問われている。
つまり、「文頭の質問にA.と回答するか？」と問われているので、
「No」＝「言えない」となる。
286:１３２人目の素数さん
20/02/24 11:28:17.83 271EzAMw.net
270です。二等辺三角形だと証明する事ができない。という意味の問題だったという事ですね。ちゃんと理解出来てませんでした。ありがとうございます！
287:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:00:48.49 Kz+mIgjF.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
288:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:16:42.24 uEXSAJod.net
>>273
>考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
>明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
なるほど
図の書きぶりから、二等辺三角形に見えないようには、書かれているので、見た目では「いえない」は分かる
問題は理由付けだけど、>>275-276かな
∠BCDが30°として、二等辺三角形にすることも可能だが
∠BCD≠30°として、二等辺三角形にしないことも可能だ
つまり、頂点Bの位置を、二等辺三角形にならないように取ることも可能だからというのが、その理由だろうね
因みに、同じことは頂点Dについても言えて、三角形ACDについても二等辺三角形とは言えない
289:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:02:53.44 uEXSAJod.net
>>278
>青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
>三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
>辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
下記の Yahoo知恵袋 「チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき」に図があるよ
また、通常は、「チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる」、「チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる」の2つみたいだが
"その対頂角の内部にある"は、第3の場合になるだろう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき Yahoo知恵袋
gag********さん2010/2/26
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
チェバの定理
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる
290:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:04:54.88 Gl4VKrJQ.net
確率
Aチーム6人 : Bチーム6人でレースゲームを16試合する。
1位15点
2位12点
3位10点
4位9点
5位8点
6位7点
7位6点
8位5点
9位4点
10位3点
11位2点
12位1点
の配点の場合、各チームの合計点が656:656の引き分けになる確率を教えてください。
291:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:16:31 Kz+mIgjF.net
>>280
ありがとうございます！助かりました！！
292:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:28:38 34cHjcwm.net
>>281
それは計算機マターのやつ。
293:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:38:18 b9jw98Cw.net
>>283
計算機マター？
すみません、掲示板疎いのでよくわかりません。
294:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:57:27 2XAuGskm.net
>>284
要するに学部以降で習う数学の公式使って対してらくになるわけでもないので計算機にやらせた方が早いやつ。
数学まともに勉強したやつが出す問題じゃない。
そんな下らない問題やるのは時間の無駄。
無視したほうがいい。
295:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:18:06.84 b9jw98Cw.net
>>285
本当に無知ですみません。数学は得意ではないし、知り合いにも確率に強い人がいないのでこの掲示板を頼りにしています。
計算はこちらでするので、導き方だけでも教えて頂きたいです。
296:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:45:07.25 /MtkJm43.net
導き方らしい導き方があるのか？
単純に、全部の場合を数え上げるしかなくて
656点ずつになる組み合わせの数を数え上げて
全体の組み合わせの数で割る、しかないように見えるが
要するに
まず一回のレースで起こる組み合わせが12C6＝924通り
あって
それを16回やる訳だから全部で924の16乗通り起こりうる
その何百兆通りかのうちでちょうど点数が同じになってるケースが何通りあるか数えて比率を計算すれば確率は出る
ってこと
まあ実際にはいくつか順位が前後しても同じ点数になるケースはあるからもうちょっと数えるのは少なくなって、何億通りか何百万通りかで済むかもしれないけど
297:イナ
20/02/24 14:45:10.45 st+AszZ0.net
前>>274
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA={(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2+b/2)
cos∠DBC={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2)
cos∠DBA=cos∠DBCより、
{(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}a
={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}(a+b)
{(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}a
={(b+2x)^2+a^2-(a+2x)^2}(a+b)
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a
=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-4ax-4x^2)(a+b)
ab^2+4abx+4ax^2+2a^2b+ab^2-4a^2x-4ax^2
=ab^2+4abx+4ax^2-4a^2x-4ax^2+b^3+4b^2x+4bx^2-4abx-4bx^2
2a^2b+ab^2
=b^3+4b^2x-4abx
2a^2+ab
=b^2+4bx-4ax
4(a-b)x=b^2-ab-2a^2
x=(b^2-ab-2a^2)/4(a-b)
298:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:06:35.94 tf/NWog7.net
>>281
C[12,6]=924通りの「順位分け」を、基準点=41との差で分類し、差が0～20になるのは、それぞれ次
48,47,47,44,43,39,37,32,30,25,22,18,15,11,10,6,5,3,2,1,1
f=48+47(x+1/x)+47(x^2+1/x^2)+44(x^3+1/x^3)+43(x^4+1/x^4)+39(x^5+1/x^5)+37(x^6+1/x^6)+
32(x^7+1/x^7)+30(x^8+1/x^8)+25(x^9+1/x^9)+22(x^10+1/x^10)+18(x^11+1/x^11)+15(x^12+1/x^12)+
11(x^13+1/x^13)+10(x^14+1/x^14)+6(x^15+1/x^15)+5(x^16+1/x^16)+3(x^17+1/x^17)+2(x^18+1/x^18)+
(x^19+1/x^19)+(x^20+1/x^20)
として、f^16 の定数項を924^16 で割ったものが答え
3861707060011302197274473352442662107544339496/924^16
=0.0136781633711920174806098975...
299:イナ
20/02/24 15:41:29.88 st+AszZ0.net
前>>288
符号が変だ。訂正する。
300:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:53:40.00 Gb7vk4DT.net
>>264
「-1が平方剰余 (mod n)」だから、nは4q+3型の奇素数や4を含みませんね。
また、平方因子p^2を持つnも除外されそう。 >>230 >>266
n=p^2 (p=4q+1) と表わされるときは
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = nφ(n)/2 = np(p-1)/2 < n(n-1)/2,
の左辺において、k=a*p の項は k^2≡0 となる。
高次ベキの場合も、非正則項の中に k^2≡0 となるkが何個もあるので同様。
∴ nは {2,5,13,17,29,37,41,････} の要素を高々1回含む。 >>225
>>268 は撤回します。。。
301:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:31:00.02 Gl4VKrJQ.net
>>289
ありがとうございます！！
そして全然見当違いだったらすみません、
1/10000の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。
302:１３２人目の素数さん
20/02/24 17:06:11.34 ArC4uVyJ.net
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら逆写像がない
逆写像がないなら全単射はない
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら全単射はない
全単射があるならＡ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がある
303:イナ
20/02/24 17:18:19.43 st+AszZ0.net
前>>290
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2=2a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2)/(2a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b-4a^2)/(2a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b-2a^2)/(a^2+2ab+3b^2)
=2a(b^2+ab-a)/(a^2+2ab+3b^2)
いまいちおっきいな。
手書きだとx=2ab/3(a+b)
携帯で検算すると変わった。
304:イナ
20/02/24 17:50:56.13 st+AszZ0.net
前>>294訂正。
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2x=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b+2a^2b+2ab^2=2a^2x+4a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+4a^2b+2ab^2)/(2a^2+4a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b)/(6a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b)/(3a^2+2ab+3b^2)
=2ab(a+b)/(3a^2+2ab+3b^2)
305:１３２人目の素数さん
20/02/24 19:57:23 tf/NWog7.net
>>292
もし、「1/100の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。 」
と尋ねられたなら、実際は1/73位の確率なので、数十パーセントの誤差はあるけど、
言えないこともないと返事するかもしれません。が、
0.013678 と 0.0001 では、136倍違います。ダメでしょ。
306:１３２人目の素数さん
20/02/24 20:54:09.70 ArC4uVyJ.net
全単射
(A B C)(A B)(Ｃ)同じ数は対応
全射
(A B C)(AB C)ABはAとBが対応
(A B)＝AB
この時あらゆる全射は全単射に変換できるといえるか？
307:１３２人目の素数さん
20/02/24 21:12:40.15 34cHjcwm.net
日本語ですらないな
308:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:15:12 DLEIbfp6.net
>>281
シミュレーションプログラムで100万回やって引き分けの頻度を出してみた。
x=c(1:10,12,15)
sim <- function() sum(replicate(16, sum(x[sample(12,6)])))==656
k=1e6
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 0.013522
309:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:39:36.06 FXqWqIQp.net
>>296
すみません、単純な勘違いしてました。
訂正ありがとうございます。
310:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:43:28.66 FXqWqIQp.net
>>299
もう全然理解できないですけど、結果まで出して頂いてありがとうございます。
他の協力して頂いた方たちもありがとうございました！！自分自身でもあまり理解できていない場違いな質問ですみませんでした。
311:１３２人目の素数さん
20/02/25 02:16:30.25 pNO31yGn.net
（1）π>3を示せ。
（2）(1+1/n)^nを二項展開することにより、e<3<πを示せ。
312:１３２人目の素数さん
20/02/25 10:04:32 AaD6K4jc.net
5万円の商品Aと6万円の商品Bがある。
AとBを合わせて200万円になるようにしたい。
ただし、AとBは合わせて320個購入するものとする。
この時AとBはそれぞれ何個ずつ購入すればよいか。
知恵をお貸しください。
よろしくお願い申し上げます。
313:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:05:58.09 INCWFL/L.net
>>303
鶴亀算でググれ
314:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:07:06.70 INCWFL/L.net
いや、よく読んだら明らかに解無しだわ
315:イナ
20/02/25 12:34:11.04 qvag5bLB.net
前>>295
>>303
五万円の商品に百七十万。六万円の商品に三十万。いかほどか。
五万円の商品が三十四個と六万円の商品が五個になりまする。あわせて三十九個。
一個サンプルをつけて四十個とせよ。八人の従者を参らせる。いかほどか。
三百二十個にあいなりまする。
逆に六万円の商品に九十万、五万円の商品に百十万。いかほどか。
六万円の商品が十五個と五万円の商品が二十二個。あわせて三十七個になりまする。
難しいな。六万円の商品が五個と五万円の商品が二十七個にしてはいかほどか。
三十万と百三十五万で百六十五万円になりまする。
あとの三十五万は人件費に当てればよいではないか。それともぽっぽに入れるか。
はぁっはっはっ……。
はぁっはっはっ……。
316:１３２人目の素数さん
20/02/25 16:36:03.16 KHilL9zo.net
nが偶数のときは
n=2m (mは奇数、平方因子をもたない)
と表わせる。 >>291
このとき
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = 2Σ(平方剰余) - (n/2),
また
Σ(平方剰余) + Σ(非剰余) = 1+2+････+(n-1) = n(n-1)/2,
・m=4q+1 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = m,
Σ(平方剰余) = mm,
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2, (等号)
・m=4q+3 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = -m,
Σ(平方剰余) = m(m-1),
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-3)/2, (不等号)
317:１３２人目の素数さん
20/02/25 17:38:48.89 jG10DX84.net
そんなに話かんたんなわけない。
issqare n = (==n) $ (^2) $ truncate $ sqrt n
ss n = (2*) $ sum [mod (k^2) n | k<-[1..n]]
rec n =(n, ss n, n*(n-1))
main = do
mapM_ print $ take 30 $ map rec [
(1,0,0)
(2,2,2)
(3,4,6)
(4,4,12)
(5,20,20)
(6,26,30)
(7,28,42)
(8,24,56)
(9,48,72)
(10,90,90)
(11,88,110)
(12,76,132)
(13,156,156)
(14,154,182)
(15,140,210)
(16,112,240)
(17,272,272)
(18,258,306)
(19,304,342)
(20,260,380)
(21,364,420)
(22,418,462)
(23,368,506)
(24,296,552)
(25,500,600)
(26,650,650)
(27,576,702)
(28,588,756)
(29,812,812)
(30,730,870)
318:１３２人目の素数さん
20/02/25 18:29:53.04 KHilL9zo.net
これは簡単だが････
>>302
(1) πは (円の周長)/(直径) とする。
単位円に内接する正８角形を考え、頂点を
(1,0) (1/√2,1/√2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393
*) 2-√2 > 1/√3 = 0.57735
単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
(1,0) ((√3)/2,1/2) (1/2,(√3)/2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862
*) 2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575
(2)
(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)････(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
< Σ[k=0,n] 1/k!
< Σ[k=0,∞] 1/k!
< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
= 2.75
n→∞ とする。
319:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:29:43.65 jm1ih5Dj.net
(1)は正6角形で 3 になって 正12角形(正6角形の各辺に屋根をつける) だとそれより確実に大きいから
ってのじゃダメかな
320:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:53:08.14 zHmJDkvS.net
>>310
正十二角形すらいらない希ガス。
321:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:56:00.80 KHilL9zo.net
いいと思うけど >>314 の意見を聞いてみよう。
>>309
4 - (√2 + 1/√3)^2 = (5-2√6)/3 = (√25 - √24)/3 > 0,
4 - {√3 + (√7)/10}^2 = (9.3 - 2√21)/5 > (√86 -√84)/5 > 0,
322:１３２人目の素数さん
20/02/26 04:31:59.56 COcHG+IF.net
Mを可微分多様体とする
A_p={q∈M : pとqはpiecewise可微分曲線で結べる}
とおいたときA_pは開集合であることを示してください
323:イナ
20/02/26 05:18:19.01 HE36jqdY.net
>>245の答えは>>295ではないのかい？
324:１３２人目の素数さん
20/02/26 08:17:01.17 Vn/E81gT.net
>>313
任意の x (∈ A_p) に対して局所座標系(U,φ)とそこに含まれる開球S[x] (中心:φ(x)) を考える.
V[x] := φ^{-1}(S[x]) とする. これは M上の開集合である.
任意の y (∈ V[x]) に対して φ(x)とφ(y)を結ぶパラメータ直線 line(t) は S[x] に含まれ,
pからx に至る曲線に φ^{-1}(line(t)) 接ぎ足せば y ∈ A_p .
よって V[x] ⊂ A_p であり, A_p = ∪{x ∈ A_p} V[x] は開集合である.
325:１３２人目の素数さん
20/02/26 14:08:45.95 OjkpcDu6.net
実数列の全体って何次元？
326:１３２人目の素数さん
20/02/26 15:12:12.48 FGAiD2VF.net
普通に無限次元
一時独立な列が簡単に無限個作れるだろ
327:１３２人目の素数さん
20/02/26 15:46:44.14 uU65nAyC.net
関数電卓は使ったことないのですが、
この問題意味が分かりません。
詳しい解説お願いします。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
328:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:06:53.58 iLYZ1Ltm.net
>>318
何このヘッタクソな問題wwwww
手作り感しかないwwwwww
329:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:27:11.57 iLYZ1Ltm.net
print $ exp $ (/3) $ log $ 3
1.4422495703074085
print $ (!!100) $ iterate (sqrt.sqrt.(*3)) 1
1.4422495703074083
330:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:48:39.24 Vn/E81gT.net
>>318
問の電卓計算は
漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/4} * 3 が表す再帰計算に相当する.
初期値が正値であれば常に同じ値 α に収束することは,
グラフ y=x^{1/4}*3 と y=x の概形から明らかである.
この時 α = α^{1/4} * 3 が成り立つ.
よって α = 3^{4/3} が得られる.
同様に漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/8} * 3 の場合は
α = α^{1/8} * 3 が成り立つ
∴ α = 3^{8/7} = 3^{1/7} * 3
つまり
「√ キーを 3 回押してから 3掛ける」 を繰り返し
必要な桁数までの値変化が無くなったら 3で割る.
すると 3^{1/7} (の近似値) を得る.
331:１３２人目の素数さん
20/02/26 18:02:45 jrzfCjiF.net
>>321
log_3(a[n]) = b[n] とおく。
a[n+1] = a[n]^(1/4) * 3 のとき
b[n+1] = (1/4) b[n] + 1,
b[n+1] - 4/3 = (1/4) (b[n] - 4/3)
= (1/4^n) (b[1] - 4/3)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/4^n) → α=3^(4/3)
a[n+1] = a[n]^(1/8) * 3 のとき
b[n+1] = (1/8) b[n] + 1,
b[n+1] - 8/7 = (1/8) (b[n] - 8/7)
= (1/8^n) (b[1] - 8/7)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/8^n) → α=3^(8/7)
x=α では y=x^(1/m) の傾き <1、吸引的
x=0 では y=x^(1/m) の傾き >1、反発的
332:１３２人目の素数さん
20/02/26 22:35:12.65 fYvt4cxV.net
a,b,c,dは実数とする。
ax+b>c
bx^2+cx+a>0
cx^3+ax+b>0
をすべて満たす実数xの集合と、d<xを満たす実数xの集合が一致している。
（1）a,b,cの符号をそれぞれ調べよ。+,0,-のいずれか2つ以上を取りうる場合は「不定」と述べよ。
（2）dはどのような値かを述べよ。
333:318
20/02/26 23:18:47.86 uU65nAyC.net
>>321
ご親切にありがとうございます。
最近は数学ソフトばかり使っていたので、
＝を入力したとき、それまでの値が保存され、
さらに入力すると、その値に対する演算になる
ことを忘れていました。
ふつうの電卓でもそうですね。
α = 3^{4/3} ← 確認しました。
334:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:00:03.59 A9daixSK.net
集合 X 上に加法+と呼ばれる二項演算を定義し、なおかつ+は、
1. 交換律を満たす
2. 結合律を満たす
3. 加法単位元0が存在する
4. Xのそれぞれの要素xに対して、その加法逆元-xが存在する
を満たすものとします。
また、Xのそれぞれの要素xに対して、その自然数n倍を、
nx=x+…+x （n個のxの和）
と定義します。
以上の設定のもと、Xの要素xと自然数nをそれぞれ任意に選んだとき、
ny=x
を満たすXの要素yの存在を保証できますか？
できる場合には、スケッチでもよいので、証明を教えて頂ければ幸いです。
335:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:21:03.35 rRftSNqo.net
>>325
集合 X として整数の集合を例にとったら？
336:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:35:24.66 A9daixSK.net
>>326
ありがとうございます。
分かりやすい反例ですね。
とても助かりました。
337:１３２人目の素数さん
20/02/27 15:39:17 7BFs7ekT.net
>>323
これお願いします
338:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:14:4
339:9.59 ID:jpva1bJt.net
340:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:56:59.56 9IFv45Oy.net
>>329
後者複素平面使ってる？
341:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:59:34.91 b8YXVJTs.net
複素平面なんか使わなくても簡単ですが････
N≧2 より sin(π/N) >0,
積和公式
2sin(π/N)・cos(2kπ/N) = sin((2k+1)π/N) - sin((2k-1)π/N),
を k=1,2,････N でたす。
342:１３２人目の素数さん
20/02/28 01:04:29.42 ajwJ3ii3.net
>>323
これお願いします
343:１３２人目の素数さん
20/02/28 01:06:01.54 hTFeapkM.net
>>329
行列: M :={(cos(2π/N), -sin(2π/N)),( +sin(2π/N), +cos(2π/N))} と置くと
M^k = {(cos(k2π/N), -sin(k2π/N)),( +sin(k2π/N), +cos(k2π/N))} (帰納法で示せる)
S := M + M^2 + ... + M^N と置いて...
MS = M^2 + M^2 + ... + M^{N+1}
(M-1)S = M^{N+1} - M = M - M = 0
det(M-1) = (c-1)^2 + s^2 = 2 (1-c) = 4 sin(π/N)^2 より S = 0
Sの[1,1]成分より cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 を得る.
344:１３２人目の素数さん
20/02/28 03:05:29 XWOQxYul.net
平面α上に面積1の△ABCがある。
α上に点Pをとり、
m≦△PAB+△PBC+△PCA≦n…(F)
となるようにしたい。
ただし3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。
（1）m,nは自然数とする。(F)を成り立たせるPが存在するようなnの最小値を求めよ。
（2）mは（1）で求めたnに等しいとする。(F)を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をm,nで表せ。
345:１３２人目の素数さん
20/02/28 07:12:48.37 yyQ2syhj.net
なにがどう束縛されてるのか1ミリもわからん。
346:１３２人目の素数さん
20/02/28 07:40:48.01 m1eyFM+Z.net
今年の東大のパクリみたいな問題が並んでるな
347:１３２人目の素数さん
20/02/28 08:00:26.24 soLFkqPb.net
平面α上に面積1の△ABCが固定されている。
以下、△XYZの面積がSのとき△XYZ=Sと書く。また3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。
（1）α上の任意の点Pに対し
m≦△PAB+△PBC+△PCA
を成立させる実数mの中で、最大のものをMとする。
Mを求めよ。
（2）NをMより大きい自然数の定数とする。α上を
M≦△PAB+△PBC+△PCA≦N
を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をNで表せ。
348:１３２人目の素数さん
20/02/28 14:01:59.38 2OeijRyy.net
【数学】 今年の東大の入試問題簡単すぎｗ これ解けない人っているの……？
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
349:１３２人目の素数さん
20/02/28 17:35:15.12 7/7gY/1X.net
gをn次正則行列、jをn次正方行列とする
t(g)jg=jなるgの全体は群ですか？
350:１３２人目の素数さん
20/02/28 17:36:06.72 7/7gY/1X.net
>>339
あ、jは固定されてます、定行列です
351:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:05:05.03 OsAJZC7k.net
>>329
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/2sin(π/N)
=0
352:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:05:16.06 yyQ2syhj.net
yes
353:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:14:42.17 OsAJZC7k.net
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0
354:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:16:15.98 OsAJZC7k.net
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0
355:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:40:09 CNhryz1r.net
コロナ収束の確率とか期待値とか真面目�
356:ﾉ考えた人っている？
357:１３２人目の素数さん
20/02/28 19:35:16.48 hTFeapkM.net
>>245
反転円の方法で求めてみた。
(記号については図 URLﾘﾝｸ(imgur.com) を参照)
r/R = OP/OQ {相似図形}
= (a+b)^2 /OQ^2 {反転円}
2R = (a+b)^2/a - (a+b) = (a+b)(1+b/a)-(a+b) = (a+b)(b/a)
OQ^2 = OT*OS {方べきの定理}
= OT*( OT - 2R*cos(t) ) = OT^2 - 2R*OT*cos(t)
= ((a+b)^2/a)^2 + (n*2R)^2 - 2R*(a+b)^2/a
= (a+b)^2 ((1+b/a)^2 - (1+b/a)(b/a)) + n^2* (a+b)^2(b/a)^2
= (a+b)^2 ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 )
よって
r = (1/2) (a+b)(b/a) / ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 ) = (1/2) ab (a+b) / ( a^2 + ab + n^2*b^2 )
(ついでなので n次内接円の半径を求めた)
358:１３２人目の素数さん
20/02/28 21:19:44.63 jpva1bJt.net
>>331
>>329です
ありがとうございます。感謝します
359:sage
20/02/28 23:29:25.55 NiISbkXx.net
>>344
cos((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
360:１３２人目の素数さん
20/02/28 23:35:48.21 Dv+I8vdz.net
出題後すぐに回答が出て終わった話にいつまで粘着してるの？
361:１３２人目の素数さん
20/02/29 00:34:03.19 HHVZGaBW.net
>>349
それは解法が上に出てるだけではなく他にある
がオマエには教えてやらん
「終わった」と思ってりゃいいよ
362:１３２人目の素数さん
20/02/29 01:14:38 nQsJxXGn.net
>>339
なんでgg'がその式成り立たせるかどうか確かめんの？
もっといいのはg^-1g'だけど
363:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:28:59 TwJ55z/X.net
g と g' がその集合の要素ならば
t{g^(-1) g'} = t(g') t{g^(-1)},
より
t{g^(-1) g'} j {g^(-1) g'}
= t(g') [ t{g^(-1)} j g^(-1)] g'
= t(g') j g'
= j.
∴ g^(-1) g' も要素。
n次単位行列も要素。(単位元となる)
行列jと合同な行列の全体は群をなす。
364:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:33:19.61 TwJ55z/X.net
↑ 行列jの合同変換の全体は群をなす。
に訂正
365:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:35:50.77 TwJ55z/X.net
>>331
積和公式より
cos(kθ) = {sin((k+1/2)θ) - sin((k-1/2)θ)}/{2sin(θ/2)},
よって
cosθ + cos(2θ) + ････ + cos(Nθ)
= {sin((N+1/2)θ) - sin(θ/2)}/{2sin(θ/2)}
= cos((N+1)θ/2)･sin(Nθ/2)/sin(θ/2),
366:１３２人目の素数さん
20/02/29 03:22:31 Wh3VLWWe.net
xを正の実定数とする。
a[1]=x
a[n+1]=x^a[n]
により数列{a[n]}を定義する。
lim[n→∞] a[n] が収束するとき、xが取りうる値の範囲を求めよ。
367:１３２人目の素数さん
20/02/29 10:53:52 EMe68izk.net
>>315
なるほど
Φは可微分だから写した直線も可微分になってつなげればいいんですね
ありがとうございます
368:１３２人目の素数さん
20/02/29 20:50:00 duevA7i1.net
>>345
RでSEIR MODEL
dS(t)/dt = mu*(N-S) - b*S(t)*I(t)/N - nu*S(t)
dE(t)/dt = b*S(t)I(t)/N - (mu+sig)*E(t)
dI(t)/dt = sig*E(t) - (mu+g)*I(t)
dR(t)/dt = g*I(t) - mu*R + nu*S(t)
mu:自然死亡率 b:感染率(S->I)
nu:ワクチン有効率(S->R) sig:発症率(E->I),g:回復率(I->R)
でプログラムを組んでクルーズ船に閉じ込めておいたときの収束予想をだそうと遊んでみた。
Javascrptでのグラフ表示するページがあった。
URLﾘﾝｸ(www.public.asu.edu)
結局、感染率や回復率がわからないから実用的ではなかった。
369:１３２人目の素数さん
20/02/29 22:56:37.75 TJajWIRS.net
>>351
t(gg')j(gg')=t(g')t(g)jgg'=t(g')jg'=j
t(g)jg=jの左右から逆元かけてt(g^-1)jg^-1=j
群になりそうなんですがちょっとこれで本当に良いのか分からなかったので聞きました
370:１３２人目の素数さん
20/03/01 01:40:09 i7iXTK9i.net
結合法則満たす演算について閉じていて
単位元と逆元があることを示すだけ
楽なのは
結合法則を満たす演算についてg^-1g'と定義した演算について閉じていることを示すこと
自然に単位元と逆元の存在も言える
371:１３２人目の素数さん
20/03/01 01:40:51 i7iXTK9i.net
>>358
>群になりそうなんですが
何でならないかも知れないと思うのか知れない
372:１３２人目の素数さん
20/03/01 02:11:23 WQDcJ8ig.net
>>355
(1/e)^e ≦ x ≦ e^(1/e),
近似値 0.065988035 ≦ x ≦ 1.44466786
参考書
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集, 日本評論社 (1977) ●112
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集, 日本評論社 (1978) 付録1 (淡中忠郎)
K.Knopp: "Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen" (第5版なら p.110)
373:１３２人目の素数さん
20/03/01 03:24:44.23 aSo0Nu5e.net
a>0を定数とし、x>0で
x^a=log(a)x [aを底とする対数]
の解の個数を求めよという問題で
e^(1/e)だかのあたりに境界があってその前後で3個1個と変わるらしいのですが
色々試してみたんですが具体的に解く手順が全然わかりません
ご存知の方お願いしナス
374:１３２人目の素数さん
20/03/01 03:26:35.25 aSo0Nu5e.net
>>362は
a^x=log(a)x [aを底とする対数]
が正文です。
すいませんでした。両辺をxy平面にプロットするとy=xに対し対称です
375:１３２人目の素数さん
20/03/01 04:50:15.97 xPhbFi9f.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:112番)
のやつか
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:170番)
らしいよ
376:１３２人目の素数さん
20/03/01 05:14:46.44 ssjGLq8d.net
>>357
おお、さすが数学板w
早く収束してほしいものですよね～
377:１３２人目の素数さん
20/03/01 08:13:36 gZgR/7Pu.net
e^(1/e)=1.44466786101
それだから計算間違いか書き間違いやろ
378:１３２人目の素数さん
20/03/01 11:10:43.08 aSo0Nu5e.net
答えは聞いているのですが解法がわからないということです
>>364を見たのですが答えのみでした
具体的な解法をご存知の方いらしたらお願いいたします
379:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:05:23.31 6R0NJxl+.net
>>367
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:143番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:153番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:158番)
380:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:12:59.69 aSo0Nu5e.net
>>368
ありがとうございます！！！助かりなす
下にあったのですね…見落としておりました
381:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:31:55.31 6R0NJxl+.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:143番)
下から2行目のとこでちょい計算ミス。 a = e^{-1/e} とすべきだった。
382:１３２人目の素数さん
20/03/02 02:08:08.97 WgyyNlAB.net
AB=4、BC=6、CA=5の△ABCの外接円をKとする。
またK上に点Dがあり、BDはKの直径である。
点Aを含まない側のKの弧の上にBE=5となる点Eをとり、EからBDに垂線を下ろした交点をHとする。
AHの長さを求めよ。
383:１３２人目の素数さん
20/03/02 06:31:50.35 0ORHzB3W.net
>>363
0 < a < e^(-e) のとき３個
e^(-e) ≦ a < 1 のとき１個 {a=e^(-e) のとき (1/e,1/e)}
a = 1 のとき？ log_a を定義できない。
1 < a < e^(1/e) のとき２個
a = e^(1/e) のとき１個 (e,e)
e^(1/e) < a のとき０個
(訂正) 分かスレ４４９の 143 と 170
e^(1/e) → e^(-e)
384:１３２人目の素数さん
20/03/02 12:52:12.15 y3F0W9KI.net
>>371
a:=BC=6, b:=CA=5, c:=AB=4
AH^2 = c*c + BH^2 - 2*c*BH* cos∠ABH {余弦定理}
cos∠ABH = cos∠ABD = c/BD = c/b*(b/BD)=c/b*sin∠B {正弦定理}
BH = BE*cos∠EBH = b*sin∠BDE = b*sin∠B
cos∠B = (a*a+c*c-b*b)/(2*a*b) {余弦定理}
よって
AH = sqrt(c*c + (b*b -2*c*c)*(sin∠B)^2 )
= sqrt( c*c + (b*b -2*c*c)*( 1- ((a*a+c*c-b*b)/(2*a*c))^2 ) )
= 3/16* sqrt(319) = 3.348857...
385:哀れな素人
20/03/02 16:16:54 L7+8rGTp.net
>>371の初等幾何的証明
トレミーの定理により外接円の直径は16/√7
あとは順次計算するだけ。
答えは>>373に同じ。
386:１３２人目の素数さん
20/03/02 18:30:13.02 f1sK9+2R.net
>>374
その外接円の直径違うぞ
387:373
20/03/02 19:45:05.49 y3F0W9KI.net
BD sin∠B = BD sin∠BDE = BE = 5
∴ BD = 5 / sin∠B = 5 / √{1 - ( aa+cc - bb )^2/( 2ac )^2} = 16 / √7
外接円の直径は >>374 と同じになりました。
トレミーの定理 を使う求め方が気になります。誰か教えてください。
388:１３２人目の素数さん
20/03/02 20:38:50.88 m19C6+iu.net
俺はトレミー知らない中学生がどうやって解くのか知りたいわ
389:イナ
20/03/02 21:30:10.41 6RLywf+z.net
前>>314
>>371
余弦定理より、
cosA=(4^2+5^2-6^2)/2･4･5
=25/40
=5/8
sinA=√(64-25)/8
=√39/8
2R=BD=BC/sinA
=6･8/√39
=48/√39
△BEH∽△BDEより、
BE:BH=BD:BE
BH=BE^2/BD
=25√39/48
AからBDへの垂線AF=AB(AD/BD)
=4･4√(35/13)/(48/√39)
∵AD=√(BD^2-AB^2)
=√(48^2/39-16)
=√(12^2･4^2-39･16)/√39
=4√(144-39)/√39
=4√35/√13
AF=√105/4
BF=√(4^2-105/16)
=√151/4
FH=BH-BF
=BE(BE/BD)-BF
=5(5√39/48)-√151/4
=(25√39-12√151)/48
AH=√(AF^2+FH^2)
=√{105/16+(25√39-12√151)^2/48^2}
=2.56809247……
別の三角形の相似でやって、AH=2.87469999……の可能性もある。
図から正しいのはその二つのどっちかかと。
390:イナ
20/03/02 23:39:49.43 6RLywf+z.net
前>>378訂正。
>>371
余弦定理より、
cosA=(4^2+5^2-6^2)/2･4･5
=5/40
=1/8
sinA=√(64-1)/8
=3√7/8
2R=BC/sinA=BD
=6･8/3√7
=16/√7
△BEH∽△BDEより、
BE:BH=BD:BE
BH=BE^2/BD
=25√7/16
AからBDへの垂線の足をFとすると、
BF=AB^2/BD
=16√7/16
=√7
FH=BH-BF
=25√7/16-√7
=9√7/16
AF=√(AB^2-BF^2)
=√16-7
=√9
=3
AH=√(AF^2+FH^2)
=√(9+81･7/256)
=√9(256+63)/16
=3√319/16
=3.34885708……
391:１３２人目の素数さん
20/03/02 23:51:13.95 hWkBRJKb.net
>>363
y=a^x=log[a]x
x=log[a]y=a^y
392:１３２人目の素数さん
20/03/03 00:41:15.33 UmAMKLfE.net
a,bを実数の定数とし、
f(x)=x^2+ax+b
g(x)=4x(1-x)
と定める。またn=1,2,...に対しg_{n}(x)を
g_{n}(x)=g(g_{n-1}(x)), g_{0}(x)=x
により定義する。
このとき以下を満たすf(x)を全て求めよ。
『0<t<1/2である実数tが存在し、すべてのnに対して
f(g{n}(t)) = g{n}(t)
となる。』
393:１３２人目の素数さん
20/03/03 00:52:36.39 AAIE/skV.net
スレ違いかもしれませんが、一般的な考え方を教えていただけないでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図のような碁盤の目状に区切られた図のような街路がある。
左下から右上へ最短経路で向かう人と、右上から左下へ最短経路で向かう人が左上で出会う確率はいくらか？
ただし、二人とも同時に出発して同じ速度で歩くものとし、歩くコースは最短コースの中からランダムに選ぶものとする
私は最短距離で対角に着くまでの全経路の数は20通り、左上に進む可能性はそれぞれ1/20なので、1/20×1/20で1/400
と考えました。
しかし、答えは1/64で、
解説を読むとそれぞれが3区間進んだ際に左上を通る確率はそれぞれ1/8なので、1/8×1/8で1/64となっていました。
「歩くコースは一区間進むごとに最短コースの中からランダムに選ぶものとする」
であればそれぞれの左上通過確率は(1/2)^3=1/8で間違いないとは思うのですが、
「歩くコースは最短コースの中からランダムに選ぶものとする」
という文章を読み20コースからランダムに選ぶと考えてしまい
それぞれの左上通過確率は1/20と考えました。
ちょっと頭が残念なので文章問題を解くのが昔から苦手なのですが、
普通の人はこの文章を読みそれぞれの左上通過確率は1/8とすぐにわかるのでしょうか？
394:１３２人目の素数さん
20/03/03 01:18:31.88 MZCiWX1q.net
>>382
「ランダム」の解釈が一意でなければ問題文に不備がある
逆に、回答でその理由を明記して1/400と書いたならばそれは正答とすべき
395:
20/03/03 02:39:23.48 f4Hr3/SX.net
前>>379
左下から右上に行く人が左上を通る確率は、
最初の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選び、
次の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選び、
3回目の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選んだときだから、
(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
右上から左下に行く人が左上を通る確率は、
最初の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選び、
次の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選び、
3回目の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選んだときだから、
(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
左下から右上に行く人と右上から左下に行く人が出逢う確率は、
(1/8)(1/8)=1/64
=0.015625
1.5625％
同時に往き来してもほとんど逢えないぜ。
出逢いの確率は1-1/e
63％だっていうのに。
396:１３２人目の素数さん
20/03/03 04:38:15.03 KGTUQZbA.net
>>379
正解です。
(今年初めてぢゃね？)
397:
20/03/03 05:00:00.26 f4Hr3/SX.net
前>>384
>>385あっててよかった。
半端な数値だから違うのかと思った。
その前のaとbで表す多項式のやつもあってるだろ？
綺麗な形だし、だれも違うって言わないじゃないか。
398:
20/03/03 05:47:50.04 f4Hr3/SX.net
前>>386
>>379訂正。括弧()が抜けた。
√(16-7)
399:哀れな素人
20/03/03 09:20:29 Ee1fsQz2.net
>>376
AE=6だから、BD=aとおいて、四角形ABEDにトレミーの定理を適用すればよい。
400:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:12:03.80 xWolXvu3.net
1から7までの数字が1つずつ書かれたカードがある。それらのカードは
1、2、3、4、5、6、7
の順に並んでいる。
この時、すべてのカードが最初の位置と違う並び方は何通りあるか？
この問題わかる方いらっしゃいますか？
401:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:14:10.74 VJWROBl8.net
>>389
つ完全順列
402:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:14:24.00 bJ1Wt3F4.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>>389
これですかね？
403:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:16:30.56 mRDJIjZm.net
はい
404:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:43:36 daeG0vYN.net
>>388 ありがとう
6x = 5√(xx - 4^2) + 4√(xx - 5^2)
6x - 5√(xx - 16) = 4√(xx - 25)
36xx + 25 (xx - 16) -60x √(xx - 16) = 16(xx - 25)
45x = 60√(xx - 16) ...
7xx = 16^2
∴ x = 16/√7
私は代数計算を進めてから代入するのが好きなんですが、
この場合はさっさと数値入れて計算したほうが楽ですね。
x = a / sinA = a / √{ 1- (cosA)^2} = a / √{ 1 - (bb+cc - aa)^2 / (2bc)^2 }
= 2abc / √{ ((b+c)^2 - aa)( aa - (b-c)^2 ) }
= 2abc / √{ 2((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) - a^4 - b^4 - c^4 ) {対称式!!}
ここまで来てから数値を代入するのは苦行です。
405:１３２人目の素数さん
20/03/03 11:51:52.00 hQWqoaL1.net
>>391
ありがとうございます。
ですが、私の頭ではこちらのサイトを見ても解法が思いつきませんでした…
406:１３２人目の素数さん
20/03/03 14:26:35 C04HU1Lb.net
パラドックス？？？
下記問題ですが、
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
極限値をｘとすると
(√2)^x＝x とおけるので、両辺の対数をとって変形すると
logx^(1/x)＝log2^(1/2) となって
x=2 が解になっていることは分かります。
ところが、(√2)^x＝x の解をグラフで
考えると
y＝(√2)^x ・・? と y=x ・・? の交点のｘ座標が解で
あるが、x=2における?の微分係数は１より小さいので
この点では接していない。つまり交わっている。
?はｘが大きいと微分係数も１より大きくなっていくので、
もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
になり、極限値が２つあることになっておかしい。
これはどこが間違いですか。
407:１３２人目の素数さん
20/03/03 15:10:11 kdLcAq7E.net
>>395
logx^(1/x)＝log2^(1/2)でも解は2つあるから「ところが」と論じるのはなんかおかしいように思う
この点は別にして、「(√2)^x＝xとおいてこれを解けばよい」ってのは極限が収束するとわかっている場合なんじゃないか？
408:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:08:12 C04HU1Lb.net
補足します。
＞logx^(1/x)＝log2^(1/2)でも解は2つあるから「ところが」と論じるのはなんかおかしいように思う
そのままの形では解が２であることは分かるが、２つあることが分かりません。
ところが、logx^(1/x)＝log2^(1/2)をグラフで考えると、極限値は１つであるはずなのに
２つの解があることがはっきりする。
という意味です。
＞この点は別にして、「(√2)^x＝xとおいてこれを解けばよい」ってのは極限が収束するとわかっている場合なんじゃないか？
確かにこの問題は極限値が存在するとして解くのは論理的ではないですが、
他に方法はありますか？
「極限値があるとすれば、それが２であることを証明せよ」のつもりで作られた問題の可能性はないですかね。
409:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:24:27 kdLcAq7E.net
極限値が存在するという仮定が偽だから何が起きても不思議じゃない
極限は無限大じゃないの？
410:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:24:59 c1vEOOkk.net
>>395
> もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
ここ
411:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:38:01 C04HU1Lb.net
>>398
極限値が２であることを証明せよ
という問題なんです。
412:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:49:02 4kSTQPAp.net
仮定が偽のものから導出された命題は不定である
これが正しい数学・論理学である
413:１３２人目の素数さん
20/03/03 16:51:49 C04HU1Lb.net
>>395
> もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
ここ
「２回目に交わるところのｘの値は極限値ではない」ということですね。
それはどうやって示せばいいのでしょうか？
414:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:13:44.73 bJ1Wt3F4.net
>>394
1, 2, …, n の完全順列の数を A_n とする。
A_7 を求めればよい。
順列 *, *, *, *, *, *, * を以下のように表わすことにする。
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ←左から何番目かを表すインデックス
*, *, *, *, *, *, *
1, i, *, *, *, *, *
i, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数を B_7 とする。
1, i, j, *, *, *, *
i, j, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数を B_6 とする。
1, i, j, k, *, *, *
i, j, k, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数を B_5 とする。
1, i, j, k, l, *, *
i, j, k, l, *, *, *
というタイプの完全順列の数を B_4 とする。
1, i, j, k, l, m, *
i, j, k, l, m, *, *
というタイプの完全順列の数を B_3 とする。
1, i, j, k, l, m, n
i, j, k, l, m, n, *
というタイプの完全順列の数を B_2 とする。
415:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:14:48.08 bJ1Wt3F4.net
>>394
1, 2, *, *, *, *, *
2, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 2, *, *, *, *, *
2, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 3, *, *, *, *, *
3, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 4, *, *, *, *, *
4, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 5, *, *, *, *, *
5, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 6, *, *, *, *, *
6, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
1, 7, *, *, *, *, *
7, *, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_7 である。
∴ A_7 = 6 * B_7
1, i, *, *, *, *, *
i, 1, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は A_5 である。
1, i, *, *, *, *, *
i, j, *, *, *, *, *
というタイプの完全順列の数は定義により B_6 である。
∴ B_7 = A_5 + 5*B_6
416:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:15:04.20 bJ1Wt3F4.net
以下同様にして、
B_6 = A_4 + 4*B_5
B_5 = A_3 + 3*B_4
B_4 = A_2 + 2*B_3
B_3 = A_1 + 1*B_2
B_2 = 1
となる。
まとめると、
A_7 = 6 * B_7
B_7 = A_5 + 5*B_6
B_6 = A_4 + 4*B_5
B_5 = A_3 + 3*B_4
B_4 = A_2 + 2*B_3
B_3 = A_1 + 1*B_2
B_2 = 1
同様に考えて、
A_5 = 4*B_5
A_4 = 3*B_4
A_3 = 2*B_3
A_2 = 1*B_2
である。
代入すると、
A_7 = 6 * B_7
B_7 = 4*B_5 + 5*B_6
B_6 = 3*B_4 + 4*B_5
B_5 = 2*B_3 + 3*B_4
B_4 = 1*B_2 + 2*B_3
B_3 = 0 + 1*B_2
B_2 = 1
となる。
∴
B_3 = 1
B_4 = 1 + 2*1 = 3
B_5 = 2 + 9 = 11
B_6 = 9 + 44 = 53
B_7 = 44 + 265 = 309
A_7 = 6 * 309 = 1854
417:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:16:47.07 yOaZDIvV.net
>>381
これお願いします
418:１３２人目の素数さん
419:
A_n を n が一般の場合に求める方法は、「包除原理」を調べてください。 確か、松坂和夫さんの数学読本シリーズに完全順列（乱列）について詳しい解説がありました。
420:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:18:01.26 4kSTQPAp.net
またA=A+1さんかよ
これは数学ではない
コンピュータ屋は死ね
くだらねえ戯言で数学・論理学を穢すな
421:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:25:17.96 kdLcAq7E.net
>>400
2のわけないんだからイタズラ問題でしょ
422:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:45:16 bJ1Wt3F4.net
>>394
URLﾘﾝｸ(ideone.com)
Pythonでチェックしましたがどうやらあっていたようです。
423:１３２人目の素数さん
20/03/03 17:46:21 kdLcAq7E.net
すまない
俺が勘違いしていたようで極限は2のようだ
424:１３２人目の素数さん
20/03/03 18:00:07 daeG0vYN.net
>>400
漸化式: a[1] = √2, a[n+1] = √2^a[n] (n≧1) で定義される数列 a[n] を考える.
a[1] = √2 < 2
a[n] < 2 と仮定すると
a[n+1] = √2^a[n] < √2^2 = 2
(x < 2) において x < √2^x なので a[n] < √2^a[n] = a[n+1]
帰納法より a[n] は 上に有界(< 2)な単調増加数列である. よって極限値 a (≦2) を持つ.
漸化式両辺の極限を取れば a = √2^a
この 2解 (a=2, a=4) のうち条件 a ≦2 を満たすのは
a=2 のみである。
よって
lim √2^(((...(√2^(√2^√2))...))) = 2
まあグラフから明らかじゃん？となりがちですが、数式でも示せるわけです。
425:１３２人目の素数さん
20/03/03 18:26:29 C04HU1Lb.net
>>412
ありがとうございました。
さすが数学のプロですね。
426:１３２人目の素数さん
20/03/03 19:17:30 KGTUQZbA.net
>>395
f(x) = (√2)^x ････ ?
は下に凸だから、x=2 での接線より上側にある。
y > 2 + f '(2)(x-2),
0 < 2 - a[n+1]
< f '(2)(2-a[n])
< ････
< {f '(2)}^n･(2-a[1]),
f '(2) = log(2) = 0.693147 < 1 だから収束 (吸引的)
427:１３２人目の素数さん
20/03/03 20:19:42.13 b9oPqm3n.net
ノイマン関数が何故あのような定義なのか、誰かわかる方いらっしゃいますか？
428:１３２人目の素数さん
20/03/03 21:02:54.03 +HUxTWOM.net
>>413
学部1年レベルだろ 高校生か？
429:１３２人目の素数さん
20/03/03 21:59:03.39 PtRv4cpV.net
>>413
>>412のように定式化して初期値によってどこの不動点に吸収されるかが変わることを観察するのは大学初年度級のよくある演習問題の一つ
430:sage
20/03/03 22:07:49.97 Ef5XoKq/.net
>>414
2 - a[n+1] < f '(2)(2-a[n])
これはなんで？
この式⇔ 2 + f '(2)(a[n] - 2) < a[n + 1]
となるが
x=2におけるf(x)の接線がy = xなら
a[n] < a[n + 1] < 2より
a[n + 1]のx座標をy座標とみなして成り立つけど、そうじゃないだろ
431:１３２人目の素数さん
20/03/03 22:14:10.19 c1vEOOkk.net
以外にa[n+1]=f(a[n])型の漸化式正しく処理できない人多いんだな。
432:１３２人目の素数さん
20/03/03 22:25:20.27 PDFgAz+U.net
f(a[n+1]) = f(a[n])=(√2)^(a[n])か
433:１３２人目の素数さん
20/03/04 00:25:11.76 3AxDkYqV.net
>>418
> x=2 におけるf(x)の接線が y=x なら
x=2 における y=f(x) の接線は y = f(2) + f '(2)(x-2) です。
>>395 で
f(x) = (√2)^x ････ ①
とおいたので
f(2) = 2,
f '(2) = log(2) = 0.693147･･･
です
> x=2 における①の微分係数は１より小さいのでこの点では接していない。
> つまり交わっている。
です。
y=f(x) は下に凸だから、
f(x) ≧ f(2) + f '(2)(x-2) = 2 + f'(2)(x-2),
さて、本問に戻って
a[n+1] = f(a[n]) > 2 + f '(2)(a[n]-2),
∴ 2 - a[n+1] < f '(2)･(2-a[n]) < ････
434:１３２人目の素数さん
20/03/04 06:56:03.20 eoa7UO+y.net
これ見りゃすぐわかるな
a(n+1)=(√2)^a(n)として
a(0)≦2ならa(∞)=2
2<a(0)≦4ならa(∞)=4
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
435:１３２人目の素数さん
20/03/04 06:57:40.54 eoa7UO+y.net
しかしこういう「グラフを書いて階段状にy=xに反射させるような形で点をプロットしていけば収束がわかりそう」なやつって
一般にどう書けば簡潔に示せるんだろうか？
436:１３２人目の素数さん
20/03/04 07:31:03.25 3AxDkYqV.net
a[0]<4 のとき a[n]→2,
a[0]=4 のとき a[n]=4,
a[0]>4 のとき a[n]→∞
ですか。
437:１３２人目の素数さん
20/03/04 07:44:49.54 eoa7UO+y.net
アッほんまや！ｗすまん！ｗ
438:１３２人目の素数さん
20/03/04 08:38:05.68 R0FHn8QO.net
>>423
平均値の定理
439:１３２人目の素数さん
20/03/04 08:45:34.70 R0FHn8QO.net
xy平面上に2つの2次関数のグラフ
y=x^2
y=f(x)
があり、この2つは直交している。
このとき、f(x)はどのような形の2次関数かを考える。
（1）このようなf(x)で、2次の係数の絶対値が1であるものが存在することを示せ。
（2）実数の定数a,b,cを用い、このようなf(x)をすべて求めよ。
440:１３２人目の素数さん
20/03/04 09:32:42.84 3AxDkYqV.net
f(x) = ax^2 +bx +c (a≠0)
とおく。
f(x) - x^2 = (a-1)x^2 +bx +c,
{(x^2) '･f '(x) +1}/2 = x(2ax+b) + 1/2 = 2ax^2 +bx +1/2,
これらが共通根を2個もつ、つまり比例することから
・a=-1, b:任意, c=1/2.
・a≠0, b=0, c=(a-1)/4a.
かなぁ
441:１３２人目の素数さん
20/03/04 10:01:31.07 3AxDkYqV.net
実根条件を含めると
・a＜0, b=0, c=(1-a)/(-4a).
ですね。
442:１３２人目の素数さん
20/03/04 15:22:26.10 BL+RkzNi.net
>>405
返事が遅れてすみません！
よく分かりました！
本当にありがとうございます！
443:１３２人目の素数さん
20/03/04 15:33:07.11 G/OI1B6I.net
コロナ感染の場合
非感染者、感染しているが病状も他人への感染力なし、
感染しているが病状なし感染力あり、病状あり、重病化の５状態があります（分け方によるが）
この感染連鎖確率を調べるモデルはありますか
複数の内部状態があり、内部状態で連鎖に影響する
444:コルム
20/03/04 15:34:31.57 gubSyX9Y.net
ベルトラン・チェビシェフの定理で、以下のURLに答えていただけると幸いです。すみません。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
445:１３２人目の素数さん
20/03/04 17:37:12.25 hFdQeF0m.net
>>432
あちこち出禁になってるのに荒らしてんじゃねーよクズ、死ねよ
446:１３２人目の素数さん
20/03/04 19:54:27 3AxDkYqV.net
>>431
>>357 の SEIRH model
S: 非感染者
E: 感染しているが病状も他人への感染力なし
I1: 感染しているが病状なし感染力あり
I2: 病状あり
H: 重病化
μ: 自然死亡率
b: 感染率(S->I)
ν: ワクチン有効率(S->R)
σ: 発症率(E->I),
g: 回復率(I->R)
447:１３２人目の素数さん
20/03/04 22:17:29.08 BvXc7Rpn.net
>>431
安倍がしきりに繰り返す １～２週間が山場という専門家の算出根拠は 何なんだろうな？
100人の集団（クラスター）で１日に伝播する確率が2％、感染者は１人として
ReedFrostモデルで作図すると、山場は１～２週間という図にはなるけど
再感染が言われていたりするしモデルの前提が当てはまるのかは疑問符がつくな。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
100人の集団（クラスター）で感染者は１人として１日に延べ１０回・人と接触し、
１人１回あたりの感染確率を１％、感染期間30日、潜伏期5日として
SEIRモデルで計算すると、感染のピークは110日めでとても１～２週間が山場とは言えない。
> SEIR2(contact_rate=10,transmission_probability=0.01
+ ,infectious_period=30,latent_period=5,mu=0,
+ nu=0, s=99,e=0,i=1,r=0,timepoints = seq(0,365,by=0.5),axes=TRUE)
Ro = 3 peak time I = 109.5 peak time E = 89
グラフにすると
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# Parameters
contact_rate = 10, # number of contacts per day
transmission_probability = 0.01, # transmission probability
beta = contact_rate * transmission_probability, # tranmission rate
infectious_period = 20, # infectious period
gamma = 1 / infectious_period, # Prob[infected -> recovered]
latent_period = 5, # latent perior
sigma = 1/latent_period, # The rate at which an exposed person becomes infective
mu = 0, # The natural mortality rate
nu = 0 , # vaccination moves people from susceptible to resistant directly, without becoming exposed or infected.
Ro = beta/gamma, # Ro - Reproductive number.
# Initial values for sub-populations.
s = 99, # susceptible hosts
e = 0, # exposed hosts
i = 1, # infectious hosts
r = 0, # recovered hosts
# Compute total population.
N = s + i + r + e,
# Output timepoints.
timepoints = seq (0, 365, by=0.5),
448:１３２人目の素数さん
20/03/04 23:16:24.16 1qQJQ56S.net
>>435
> >>431
> 安倍がしきりに繰り返す １～２週間が山場という専門家の算出根拠は 何なんだろうな？
記者会見を決めた時点で、すべての発症者は補足されていて、
今後2週間以内で全ての感染者は明るみに出る、に違いないという
素人の素朴な期待。
449:１３２人目の素数さん
20/03/05 01:59:59 P7KEuCZg.net
2以上の自然数kの素因数全体からなる集合をS_k、k+1の素因数全体からなる集合をT_kとする。
以下の命題(P)を考える。
(P):『S_nの要素aとT_nの要素bで、|a-b|=1となるものが存在する。』
(P)が真であるときa[n]=1、偽であるとにa[n]=-1とするとき、
Σ[n=2,3,...,2020] a[n]
の符号を判定せよ。
450:１３２人目の素数さん
20/03/05 05:38:29.84 y1DklE5e.net
>>431
ロトカ-ヴォルテラ方程式 かな。
別冊・数理科学「方程式と自然」サイエンス社 (1993)
の p.146-150
数セミ増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社 (1989)
の p.218-219 および p.222-224
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984)
の p.202-204
数学セミナー(連載)「生態系の数理現象学」日本評論社 (1982/5～1984/6)
G.F.ガウゼ：「生存競争」思索社 (1981) 吉田敏治 訳 204p.
R.ローゼン：「生物学におけるダイナミカルシステムの理論」(数理解析とその周辺6) 産業図書 (1974,1988)
山口昌哉ほか訳 339p.
山口昌哉：「非線型現象の数学」(基礎数学シリーズ11) 朝倉書店 (1972,2005)
172p. 3520円
451:１３２人目の素数さん
20/03/05 07:48:24 n8TOpWZy.net
>>436
100人の集団（クラスター）で１日に伝播する確率が2％、感染者は１人として
ReedFrostモデルで作図すると、山場は１～２週間という図にはなるけど
再感染が言われていたりするしモデルの前提が当てはまるのかは疑問符がつくな。
://i.imgur.com/DoQ64FM.jpg
452:１３２人目の素数さん
20/03/05 11:08:41.83 ZA7tN9oi.net
下記の問題ですが、
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
条件から OA(i)がOA(j)に移り、OA(j)がOA(i)に移るので
Oと頂点を通る直線に関する対称移動であると断定して解い
てもいいですか？
453:１３２人目の素数さん
20/03/05 11:39:29.91 o68Yrcxc.net
ヘタクソなTeX www
454:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:36:20 0/hyyc4X.net
以前このスレで、下記の数列について
lim[n→∞] a[n]=2
であることをご教示いただきました。
a[n+1]=(√2)^a[n]
a[1]=√2
ところで
a[3]={(√2)^(√2)}^(√2)=2
となります。
a[n]は単調増加数列に見えるのですが、a[3]=a[∞]=2なのでどこかで減少しているのでしょうか？
対数をとってもグラフが書けず困っています。a[n]の増加減少について教えて下さい。
455:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:42:11 pJ9pcxTu.net
かっこがおかしい
456:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:42:31 5A6NAdOC.net
>>442
>a[3]={(√2)^(√2)}^(√2)=2
>となります。
なりません
457:１３２人目の素数さん
20/03/05 16:57:44 F0J9hKbS.net
指数では足し算や掛け算と違って結合法則は成り立ちません
括弧でくくる位置を変えると結果が変わると言うことです
458:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:03:43 uyPNAmvj.net
ウイルスが正２０面体の形をしているのが多いっていうのは何が理由なんだろうか？
459:１３２人目の素数さん
20/03/05 17:31:28.31 VVBmBv/7.net
>>442
括弧を付けずに指数が入れ子になっているときは指数に乗っかってるほうから計算する約束
a^a^a^aを計算する順を括弧を使って明示するとa^{(a^(a^a)}
460:１３２人目の素数さん
20/03/05 19:04:35.61 qdJHsoq2.net
>>446
部品の種類が少なくてすむからでは？
461:１３２人目の素数さん
20/03/05 20:50:36.52 qiOAljwb.net
>>440
ある頂点とOを通る直線に関する対称移動、となることを示す問題なのでは？
462:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:35:44.08 ZA7tN9oi.net
>>449
>ある頂点とOを通る直線に関する対称移動、となることを示す問題なのでは？
OA(i)がOA(j)に移り、OA(j)がOA(i)に移るから頂点とOを通る直線に
関する対称移動だと断定していいですよね。
それを基に（１）を解くということでOKですか。
それとも（１）を証明した後に対称移動だということがいえる
ということですか？
463:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:47:57.03 ZA7tN9oi.net
画像のURLを再掲しますが、IEでは表示されないようです。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
464:１３２人目の素数さん
20/03/05 22:49:59.50 ZMGhWQcs.net
対称移動であることを使わずに(1), (2) を示すということです
(2)を示した後（というか途中から）、やっぱ対称移動臭いな～と
465:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:05:11 zQlYqF9y.net
>>452
ありがとうございました。
現実の世界ではこれしかないなと思っても、
それだと決めつけないで、理論だけで展開
するわけですね。
466:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:33:45.60 GqTLR56E.net
nは6の倍数とする
1≦t<u<vかつt+u+v＝nとなる整数t,u,vの組合せは何通りあるか
よろしくお願いします
467:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:50:42.32 n77wXyP9.net
>>454
#{ u+v+w=n } = (n+2)(n+1)/2
#{ u+v+w=n ,u=v} = n/2+1
#{ u+v+w=n ,u=v=w} = n/3+1
∴#{orbits} = ((n+2)(n+1)/2 + 3(n/2+1) + 2(n/3+1))/6
468:１３２人目の素数さん
20/03/06 00:55:53.93 c1aBdUJj.net
あ、間違った。
≦じゃなくて<か。
なら
{t+u+v=n, u≠v, v≠w, w≠u} = (n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1)
∴{orbits} = ((n+1)(n+2)/3 - 3(n/2+1) + 3(n/3+1) - (n/3+1))/6
469:１３２人目の素数さん
20/03/06 01:40:34.66 X03evP0m.net
すいませんが、以下の2点間のロープに関する質問の答えと解説をお願いいたします。
建築の強度計算で非常に困ってます。
URLﾘﾝｸ(okwave.jp)
誰か頭のいい方お願いします。
470:１３２人目の素数さん
20/03/06 13:52:00 GqTLR56E.net
>>456
回答ありがとうございます
すみません。解説をお願いしてもよろしいでしょうか？
よろしくお願いします