20/02/20 17:20:11 PRyo8w16.net
前>>138
>>139
箱１２３４５６７８９10
→??????????
???????????
???……と番号順に玉を入れていくと、 ?が●の確率=4/20A?が●の確率=3/19
が○の確率=16/18
?が○の確率=15/17 7 ?率○=○14/1? 1 ……
?????が●の確率=2確/1率0=1/1
ちょっと文字化けが激しいが、すべて掛けあわせると、4845分の1
∴1/4845
151:１３２人目の素数さん
20/02/20 17:21:44 BWBgHqRp.net
>>145
p(1個目と2個目が同箱)=1/19
p(2個目と3個目が異箱 | 1個目と2個目が同箱)=16/17
∴ 求める確率は1/19 × 16/17 × 6。
152:141
20/02/20 17:23:52 PsNGChDc.net
>>147 訂正
20個の場所に4個の赤玉を入れるから、分母はC[20,4]
2個は入る箱を選ぶのに10通り、1個ずつの箱を二つ選ぶのに9×8÷
153:2通り 1個ずつの箱には4通りの入れ方がある 9×8÷2×4/C[20,4]=96/323
154:１３２人目の素数さん
20/02/20 17:51:35 dyDRM8sK.net
皆さん回答ありがとうございます
1/19×16/17×6だと、箱の位置が考慮されてないですよね。例えば箱の1個目が赤2色だとして、この時も1/19×16/17×6になって箱の2個目に入る時も1/19×16/17×6になって、全部で1/19×16/17× 6×10C1×9C2になると思うのですが、なぜこれは考慮しなくて良いのですか？
155:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:19:57 99lzyCWI.net
>>151
1/19×16/17×6ってのは何を意味する計算なの？
俺がやった方法は玉を入れる場所を20ヶ所並べて無作為に玉を入れ（※1）、2つずつに区切ったときに一つの区切りだけ2つとも赤である（※2）確率と同じと考え、
※1が20C4通り
※2は赤玉がある区切りを選ぶ選び方が10C3通りでそのうち2個入る区切りを選ぶ選び方が3C1通りで1個入る2つの区切りは赤がどちらにあるのかでそれぞれ2通りあるので10C3×3C1×2^2
156:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:26:09 dyDRM8sK.net
>>153
赤玉Aに対して赤玉BがAと同じ箱に入る確率が1/19、残りの赤玉一つに対して、白玉と同じになる確率16/17、どの二つの赤玉が一緒になるかの組合せで4C2です。
157:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:26:59 BWBgHqRp.net
>>151
箱の位置を考えようが考えまいが2個目の球が1個目と同じ確率は1/19。
箱の位置って何？
158:１３２人目の素数さん
20/02/20 18:41:07.47 J/IN1lAb.net
袋の中にn個の区別できる球がある。
最初に袋からm個の球を取り出した後、これらの球を袋の中に戻す。
次に袋からk個の球を取り出したとき、その中に最初に取り出された球がちょうどc個含まれる確率をn,m,k,cで表せ。
159:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:04:42 99lzyCWI.net
>>153
赤玉Cはどこにいっちゃったの？
160:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:31:27.01 99lzyCWI.net
>>153
ようやくわかった
省略せずに書くと20/20×1/19×18/18×16/17×4C2ってことか
その計算で箱を区別してるじゃないか
10C1×9C2をかける必要が出てくるのは
箱1に赤玉Aが入る（2/20）、箱1に赤玉Bが入る（1/19）、箱2に赤玉Cが入る（2/18）、箱3に赤玉Dが入る（2/17）と考えた場合だよ
その場合、箱1、2、3にどの赤玉が入るのかが4C2×2C1×1C1通りあるから
結局2/20*1/19*2/18*2/17*4C2*2C1*1C1*10C1*9C2となり計算すると96/323になる
161:１３２人目の素数さん
20/02/20 19:41:30.28 dyDRM8sK.net
>>154 157
親切に回答していただき、ありがとうございます。
箱の位置（どの箱に赤玉が2個入るか）を区別すること自体がナンセンスだったとようやく気づけました。
お陰様で理解することが出来ました。
また、質問しにくると思いますが、その時はまたよろしくお願いします。
162:イナ
20/02/20 22:36:23.64 PRyo8w16.net
前>>148訂正。
番号振らずにやってみる。
●○○○○○○●○●
●○○○○○○○○○
↑
この2個の選び方は4Ｃ2通り。
●と同じ箱に入る○の選び方は16Ｃ2通り。
あと1つの●はかならず○と同じ箱に入る。
(4Ｃ1)(16Ｃ2)=4･16･15/2
=480
480/4845=160/1615
=32/323
いい感じの数字やなぁ。
163:１３２人目の素数さん
20/02/20 23:54:47.46 ZWVgPXIY.net
>>123
(n,k) = (2,3) のとき
f(x) = (x-1)(x-2) - x^3,
f'(x) = -3 +2x -3x^2 = -(8/3) - 3(1/2 -x)^2 ≦ -8/3,
(n,k) = (2,5) のとき
f(x) = (x-1)(x-2) - x^5,
f '(x) = -3 +2x -5x^4 = -(35/16) -(1/2)x^2 -2(1/2 -x)^2 -5(xx -1/4)^2 ≦ -35/16,
164:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:24:34.30 lYw7PgZm.net
行列式の計算が分からないので教えてください
複素n次行列(z_i,j)に対して
z_i,j=a_i,j+b_i,j√-1とおき以下の形の2次小行列をi,j=1,…,nまで並べた実2n次行列を考える
[a_i,j b_i,j ]
[-b_i,j a_i,j ]
この行列の行列式は元の複素行列の行列式の絶対値の2乗に等しいことを証明しろという問題です
165:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:39:11.18 rRWg9QQU.net
>>101
元の(z_i_j)の第i行のk倍を第j行に足すと対応する2n次の行列では第2i-1行のk倍を第2j-1行に、第2i行のk倍を第2j行に足す事になる。
どちらの行列の行列式も変化しない。
この変形だけで元の行列を対角化できるから対角行列の場合にだけしめせばいい。
166:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:44:43.85 rRWg9QQU.net
>>162
あ、その変形＋同様の変形の列バージョンで対角化できるでした。
167:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:46:10.30 asHAZWcA.net
閉区間I=[0,1]上の連続関数f:I→Rの全体をC[0,1]とし、C[0,1]上の距離を
d(f,g):=max{|f(t)-g(t)||0≦t≦1}
によって定める。C[0,1]の部分集合Xを
X={f_k|f_k(t)=kt, k∈R}
とおくとき
d(X)=inf[f∈X]d(f,1)
の値を求めよ(ただし1は定数関数1(t)=1)
答えはd(X)=1となってます
k＞1のときd(f_k,1)=「|kt-1|の最大値」=k-1だから、k∈Rについて下限をとるとd(X)=0になるのでは？と思うのですが、これは何が違うのでしょうか？
168:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:51:22.55 rRWg9QQU.net
>>164
d(f_k,1)
=max{|f_k(0)-1|,|f_k(1)-1|}
=max{|0-1|,|k-1|}
です。
169:１３２人目の素数さん
20/02/21 00:56:24.51 y/2VOtZ/.net
下記の式の積分式の導き方 どなたかわかりませんか。
{ cos(X) + sin(X) } * { cos(X) }^0.8
170:１３２人目の素数さん
20/02/21 01:29:23.50 asHAZWcA.net
>>165
あーそうか、最大値がそもそもk-1じゃないなこれ
k=3/2のときmax|kt-1|はk-1=1/2ではなくt=0のときの1だろう……アホなことしてたわ
ありがとうございます
171:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:02:41.02 YlLJTAPA.net
ax+by=1 を二通りに解釈することで単位円の極、極線について
極点(a,b) の極線上の点は(a,b)を通る直線になることが自明になるのか。。
172:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:06:29.98 +t2V5SC/.net
今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。
AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。
弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。
（1）Kの半径を求めよ。
（2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。
（3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。
（4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。
173:１３２人目の素数さん
20/02/21 09:08:24.36 YlLJTAPA.net
「極線上の点の極線は」に訂正
解釈とは(a,b) と(x,y)の内積の垂線をどちらにおろすかという意味
他の二次曲線も二次形式と線形代数の知識でシンプルに解釈できるのかな？
174:１３２人目の素数さん
20/02/21 10:41:46 mzXyLJrP.net
>>123
n=2, k：奇数, k≧3 のとき
f '(x) = -3 +2x -k･x^(k-1) ≦ -3 +2x < -1, (x<1)
= -5/2 - 2(1/2 -x)^2 - {k･x^(k-3) - 2}x^2 < -5/2, (|x|>1)
より f(x) は単調減少。
175:哀れな素人
20/02/21 11:04:48 vIRKdDZf.net
>>169
（1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５
（2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2
（3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。
（4）問題文が意味不明。
176:哀れな素人
20/02/21 11:22:35 vIRKdDZf.net
>>169
（4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113
177:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:34:31 C7Aslmkg.net
>弦BCに関してBと反対側にあるKの弧
ってどこのことだ？
178:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:49:47 YlLJTAPA.net
Aと反対側の誤植やろ
ふと思ったけど三点からの和が一定の曲線ってなんだろ？
179:１３２人目の素数さん
20/02/21 11:54:13 +t2V5SC/.net
ご回答ありがとうございます。
頭の中で記憶した内容を書いていて、誤記が多く大変申し訳ありませんでした。
180:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:03:50.14 mzXyLJrP.net
>>166
∫ sin(X)･{cos(X)}^0.8 dX = -(1/1.8)
181:{cos(X)}^1.8 {cos(X)}^2 = Y とおいて ∫{cos(X)}^1.8 dX = (-1/2)∫ Y^0.4 (1-Y)^(-0.5) dY = -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | Y) = -(1/2)Ｂ(1.4, 0.5 | {cos(X)}^2) 不完全ベータ関数
182:１３２人目の素数さん
20/02/21 12:20:39.99 lYw7PgZm.net
>>162
ありがとうございます
対角化を考えればよかったんですね
183:１３２人目の素数さん
20/02/21 13:03:38.83 L3JAzJCh.net
>>175
URLﾘﾝｸ(ja.wolframalpha.com)
184:１３２人目の素数さん
20/02/21 14:09:11.36 +3ZHERdh.net
>>172
> 最大になるのはABPCの面積が最大になるとき
横からすまない
これってどうしてそう言えるんです？
185:哀れな素人
20/02/21 16:52:48 vIRKdDZf.net
>>180
>>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、
一応説明しておくと－
（1）は説明省略。
（2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは－
PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから
PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。
? 周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。
? 相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。
ゆえにBP＝CP＝5√2 APは方べきの定理より7√2
（3）は（2）の説明の通り。
（4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45°
ゆえにAH＝7 あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113
186:１３２人目の素数さん
20/02/21 16:53:25 +4K3m1jQ.net
>>169
初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解
∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。
Eを半直線BD上にDE=BCととる。
∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。
SをDからFRに下ろした垂線の足とする。
動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。
この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。
頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい)
以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。
187:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:16:03 +3ZHERdh.net
>>181
> PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
これはその通りですけど
> つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
> BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
これってそうでしょうか？
BP+CPがその最大値よりもx小さいときのPAがBP+CPがその最大値を取るときのPAよりもxを超えて大きくなることがあり得ないと言えているのでしょうか
188:哀れな素人
20/02/21 17:40:39 vIRKdDZf.net
>>183
もしそのようなことが起こるなら、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CP
となってしまう。
189:１３２人目の素数さん
20/02/21 17:44:34 +4K3m1jQ.net
そもそもAP+BP+CPが最大になるPとBP+CPが最大になるPはズレてるかと。
190:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:00:26 YlLJTAPA.net
>>169
トレミーの定理使って計算すると
最大値は2*sqrt(145)
PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき
191:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:22:41.22 +4K3m1jQ.net
>>186
どうやるんですか？
192:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:30:51.99 +4K3m1jQ.net
なるほど。
Aを含む弧BC上のDをBD:CD=AB+BC:AC+BCととるのか。
193:１３２人目の素数さん
20/02/21 18:35:02.59 YlLJTAPA.net
トレミーの定理は加法定理と同じよなものだからチートだけど
初等幾何の方法はわからん
PA=x,PB=y,PC=z
10x=6z+8y
y^2+z^2=10^2 ...（あ）
L=x+y+z=(9y+8z)/5 が（あ）円と接するときに最大
194:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:09:14.68 +3ZHERdh.net
>>184
いや、そうなるとは限らないと思うんだけど
値は適当だけど例えばPB+PCの最大が10でそのときのPAが5（つまりこのときのPA+PB+PC=15）なんだけど、
PB+PCが9の時にPAが7になり得るならPA+PB+PC=16となりPB+PCが最大の時よりも大きくなり得る
このようなことが起きないことを言えているのかどうかってことです
195:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:53:40.38 +4K3m1jQ.net
>>190
でもまぁトレミーくらいまでは初等幾何と言っていいんじゃない？
196:１３２人目の素数さん
20/02/21 19:54:19.19 +4K3m1jQ.net
あ>>191は>>189へのレス。
197:哀れな素人
20/02/21 19:54:25.66 vIRKdDZf.net
>>190
BC＋BP＋CPの最大値をLとし、そのときのBP＋CPの値をａとする。
もしBP＋CPがａよりｘだけ小さく、APがBCよりｘ以上大きければ、
PA＋PB＋PC＞BC＋BP＋CPとなってしまう。
APがBCより大きくなることはありえない。
つまりAPがBCよりｘ以上大きくなることはありえない。
198:哀れな素人
20/02/21 20:00:36.08 vIRKdDZf.net
これから一時間ほど中断するが、
>>169の問題は高校入試の問題だから、
>>186のような複雑な答えにはならないはずである。
199:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:08:21.54 +4K3m1jQ.net
>>194
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
200:１３２人目の素数さん
20/02/21 20:59:46.02 ivneNcoV.net
>>193
比較の仕方がおかしいですよ
あなたはPA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CPからBP＋CPが最大のときPA＋PB＋PCも最大になると言っています
同じPで記述すると混乱するのでBP＋CPが最大になる点PをP'とします
あなたの説ではPA＋PB＋PCの最大値はP'A＋P'B＋P'Cということになります
ここでP''を考えたときP''B+P''CはP'B＋P'Cより小さくなります
P'B＋P'C-(P''B+P''C)=x>0としたときP''A-P'A>xとなることがあり得ないと言えていないのではないかということです
201:イナ
20/02/21 21:05:37.23 aeOjnxR9.net
前>>159
>>169
(1)Kの半径=5
(2)PA+PB+PC=10+8+6=24
(3)Q(1.4,-4.8)
(4)C(5,0)
H(-5.4,0.3)
CH=√(10.4^2+0.3^2)
=√(108.16+0.09)
=√108.25
=10.404326……
問題がおかしいかもよ？
こんな半端な長さ出して意味あんの？
202:１３２人目の素数さん
20/02/21 21:10:42.08 +4K3m1jQ.net
そもそもとっくに正解が出てるのにそれを無視しておかしなレスつけてくる相変わらずの芸風が2人。
203:哀れな素人
20/02/21 21:37:42 vIRKdDZf.net
>>195をクリックしたが、ページは現れなかった。
だから僕の答えが間違っているのかもしれないが、
>>196に答えておくと－
周長が長ければ面積は大きい→面積が最大ならPA＋PB＋PCが最大、
という理由によって僕の解答のQの位置が正しいと考える。
なぜなら四角形ABPCの面積は△ABP＋△APCで、
これは周長としてAPを2回とBPとCPを含んでいるからである。
ABとACは一定だから、結局APを2回とBPとCPを含んでいる長さが
最も長いときが面積が最大になる。
いいかえれば四角形ABPCの面積が最大のとき、AP＋BP＋CPが最大になる。
204:１３２人目の素数さん
20/02/21 22:03:59 Fd+Lq6u/.net
>>199
その考え方だとBCを直径とする△ABCを考えたときAがどこにあってもPB+PCが最大となるときPA+PB+PCが最大になることになる（このときPB+PC=10√2=14.1421356……※）
AをBにすごく近いところにとればPA+PB+PCは15√2=21.213……にどんどん近づくので22以下に出来る
しかし、このときPをPB=8、PC=6の位置にとればPB+PC=14で※より小さいがPA+PB+PCは22より大きい
つまり、PB+PCが最大になるときPA+PB+PCが最大になるというのは間違い
205:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:05:19.02 DedUL1fo.net
>>139
10*(choose(18,2)-9)/choose(20,4)=1440/4845=288/969
206:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:13:00.54 DedUL1fo.net
>>201
既約分数になってなかった
=96/323
207:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:28:12.29 Wh8sK/as.net
n≧2のとき、n!は平方数か。
208:１３２人目の素数さん
20/02/21 23:39:36.60 RYteExOQ.net
つチェビシェフの定理
209:１３２人目の素数さん
20/02/22 01:22:28 ceeKINr6.net
>>169
の既出の答えのまとめ。
AB=c、BC=a、CA=bとおいて弧BCでAを含む側にBD:CD=AB+BC:AC+BCを満たすDをとる。
AB+BC=kBD、AC+BC=kCDなるkをと�
210:黷ﾎ (AP+BP+CP)BC =AB・CP+ AC・BP+ BC・BP+ BC・CP (∵トレミー) =(AC+BC)・BP+ (AB+ BC)・CP =kCD・BP+kBD・CP =kBC・DP (∵トレミー) によりAP+BP+CPが最大となるのはDPが直径となるときである。 すなわちBP:CP=CD:BD=AC+BC:AB+BCとなるときである。 本問ではBP:CP=9:8となるときである。
211:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/02/22 01:24:41 XhKI0L4t.net
前>>197
シュクメルリの手料理。
212:１３２人目の素数さん
20/02/22 07:58:19.45 MrWsTasJ.net
こんなの高校受験で出来るやついるのか
213:１３２人目の素数さん
20/02/22 09:25:53.19 mYjNB89F.net
卑怯者は隠れたところから、マイクでしかものが言えないのか？
ふざけんな！女々しいカスが！
指向性スピーカーですか？どこに仕掛けたのでしょうか？
田舎の一軒家屋だと、なんでもし放題ですね？
私が金を持っているわけではないのに、「消えろ！」とはいかなるもの言いでしょうか？
せめて、金を払ってから、その大口を叩いてくれ
214:１３２人目の素数さん
20/02/22 10:33:27.06 7EDTAi8v.net
a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
その結果を図形的に説明せよ
215:哀れな素人
20/02/22 12:55:24.24 t1VmBQdA.net
なるほど、>>186の答えが正解だと分った。
BP=x、CP=yとおくとAP+BP+CPは9x/5+8y/5で、x^2+y^2=100
これを未定乗数法を使って最大値を求めたのだろう。
しかし未定乗数法を知らない中学生がどうやってとくのか。
それに(2)はそれで解けても(4)をどうやって解くのか。
>>205の方法でも、(4)をどうやって解くのか。
もしかして問題の作成者が間違っているのではないのか？
216:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:23:41 InYZG21C.net
AB=c, BC=a, CA=b とおく。トレミーより
L = AP+BP+CP = (b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP,
(b+a)^2 + (c+a)^2 - L^2
= (b+a)^2 + (c+a)^2 - {(b+a)/a･BP + (c+a)/a･CP}^2
= kk(a^2 -BP^2 -CP^2) + {(c+a)/a･BP - (b+a)/a･CP}^2
≧ 0,
L ≦ √{(b+a)^2 + (c+a)^2} = ak,
ここに k = (1/a)√{(b+a)^2 + (c+a)^2},
等号は AP = ak, BP = (b+a)/k, CP = (c+a)/k のとき。
217:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:25:45 1beHP5DH.net
もしかしたら、トリッキーな無理ゲーお絵かきであっさり解決みたいなの？
218:１３２人目の素数さん
20/02/22 13:31:35 InYZG21C.net
>>209
0 = 1/(a+x) - 2/(b+x) + 1/(c+x)
= {(2b-a-c)(x-b) + 2(bb-ac)}/{(a+x)(b+x)(c+x)}
= (2b-a-c)(x-b)/{(a+x)(b+x)(c+x)}, (← bb=ac)
2b-a-c≠0 より x=b
219:哀れな素人
20/02/22 13:44:39 t1VmBQdA.net
>>169の(4)はたぶん、
QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。
それだと答えは128/29である。
220:169
20/02/22 13:59:42 cPpHE1j8.net
>>214
お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん
他の皆様の解答は大筋その方針でOK
難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか
（1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた
221:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:06:02 OSJ3i4NJ.net
>>215
ほぼトレミー前提の出題ってどこ高？
222:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:16:17 InYZG21C.net
>>211 訂正ｽﾏｿ
AP = ak - (b+a)/k - (c+a)/k,
223:１３２人目の素数さん
20/02/22 14:45:19 Wh9anab0.net
こんなの高校受験で出るわけなかろ？
224:イナ
20/02/22 14:56:12.11 XhKI0L4t.net
前>>206
17√2=24.0416306……＞24
わずかに長い。
どんなときだ。
どんなときだ。
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)としてPA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2},PB=√{(x+5)^2+y^2},PC=√(5-x)^2+y^2},PA+PB+PC=√(25+2.8x+1.4^2-9.6y+4.8^2)+√(25+10x+25)+√(25-10x+25)=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16･1.44)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(25+2.8x+1.96-9.6y+16+6.4+0.64)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√(50+2.8x-9.6y)+√(50+10x)+√(50-10x)
=√{50+2.8x-9.6√(25-x^2}+√(50+10x)+√(50-10x)
{50+2.8x-9.6(25-x^2)^(1/2)}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)を微分し=0とするとxの値は、
225:哀れな素人
20/02/22 15:23:48 t1VmBQdA.net
>>215
お前は人間としてゴミ（笑
226:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:17:49.42 p+fzcFe2.net
nを2以上の自然数、総和範囲をk:1,2,…,n-1で、[]はガウス記号として、
Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 は成立しますか？
また、iを自然数としてn=10^(2i)+1の形であらわされるとき常に等号は成立しますか？
227:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:28:03.31 ceeKINr6.net
>>221
それはどっから持ってきた問題なん？
自作？
成り立つかもしれないとなぜ思えるの？
228:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:49:02.59 p+fzcFe2.net
>>222
古いノートを眺めてて出てきた自作なのでなぜ成り立つと思ったのかはもう思い出せませんが、n≦30までの成立と、1000000以下の数からランダムで選んだ２０個のnでは成立を確認したようです。今見ても解き方がパッと思いつかなかったので聞きました。
229:１３２人目の素数さん
20/02/22 18:50:36.23 ceeKINr6.net
>>223
では成り立ってない可能性もあるのね。
230:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:12:48.92 p+fzcFe2.net
>>223 そうです。紛らわしくてすみません。
今ノートを見たところ、等号成立は一部の素数とそれらの任意の合成数(ただし各指数は最大1)に限られると推測していたようです。
例えばn=2,5,13,17,29,37,41...や、n=17*29,2*13*37,5*13*17*29*41...などでは等号成立しますが、n=31,(5^3)*(17^2)などでは等号成立しませんでした。
もし証明か反例がわかったら教えてくれるとうれしいです。
231:１３２人目の素数さん
20/02/22 20:40:56 p+fzcFe2.net
>>225は>>224に向けてです。
232:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:41:15.69 Dnm09tuZ.net
>>221 の主張は
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) ≦ n(n-1)/2
と同じですね。
連続する n-1 個の平方数があると、これらの n による剰余の平均は n/2 以下だ というものです。
一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
Σ[k=1 to n-1]Mod(k^2,n) = n(n-1)/2
となります。これは恐らく、対称的つまり、「pが平方剰余の時、n-pも平方剰余」の時だと思います。
233:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:51:56.87 pXckeFWw.net
a,b,cを定数かつa≠0とし、関数f(x)、g(x)を
f(x)=ax+b、 g(x)=1/(x+c)
によって定めます。等式f(g(x))=g(f(x))がxについての恒等式となるようなa,b,cの組(a,b,c)をすべて求めなさい。
お願いします。
234:１３２人目の素数さん
20/02/22 23:59:59.84 InYZG21C.net
nが素数pの場合は p=4k+1 または p=2 ですね。
〔第１補充法則〕
((-1)/p) = (-1)^((p-1)/2)
= 1 (p=4k+1)
= -1 (p=4k-1)
235:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:04:22.45 AO+nZE6G.net
>>227 に付け加えます。
236: n=25 の平方剰余は、1,4,6,9,11,14,16,19,21,24 で対称的になりますが、 10個しかないので、等号は成立しません。 nが偶数の時は、n/2 個、奇数の時は、(n-1)/2 個 という条件も付け加えます。
237:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:27:15.30 uzEwOmBo.net
曲線C:y=|sin(nπx)|（0≦x≦1）とする。
Cのy≧xに属する部分の全体の長さの総和をL_1、同様にy≦xに属する部分の全体の長さの総和をL_2とする。
lim[n→∞] L_1/L_2を求めよ。
238:１３２人目の素数さん
20/02/23 00:59:01.38 xP+zlBI0.net
>>230
p=7のときは平方剰余は
1,2,4
で対称的ではないよ。
前半に寄ってる。
前半による事はあっても後半による事はない事を示さないといけない。
239:１３２人目の素数さん
20/02/23 02:38:23.75 AO+nZE6G.net
>>232
>>227で書いた
>> 一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
に対する指摘でしょうか？
平方剰余の個数が半分以下なので、漠然と上の不等式が成り立つだろうと
思って書いてしまいましたが、不等式の成否は以下の論理には無関係で、
つい「平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和」の枕言葉として使ってしまいました。
従って、>>227の次の部分を修正します。
×：一般に、平方剰余の和 ≦ 平方非剰余の和 ですが、
×：平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 となれば、
○：もし、平方剰余の和 ＝ 平方非剰余の和 が成立するなら、
240:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:03:21.71 p43IL4DS.net
>>233
平方剰余の全体の和と平方非剰余の和は一致しませんよ？
n7の時
平方剰余の和＝1+2+4=7
平方非剰余の和＝3+5+6=14
です。
241:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:15:58 AO+nZE6G.net
はい。その通りです。
n=7では、Σ[k^2/n]≧(n-1)(n-2)/3 の式は、
左辺=[1/7]+[4/7]+[9/7]+[16/7]+[25/7]+[36/7]=0+0+1+2+3+5=11
右辺=6*5/3=10
なので、不等号の方が成立します。
等号成立の条件について考察している、227後半部分の対象外の事例なので、
なぜ、n=7が取り上げられているか疑問で、回答に窮しています。
242:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:46:20.16 OYpSuZ+S.net
あれ？
よみまちがったかな？
平方剰余の和＝平均非剰余の和
を主張してるように読み間違えました。
すいません。
243:１３２人目の素数さん
20/02/23 03:59:21.68 rZAgoQjV.net
ちなみに後半はi=3とかでもダメです。
10^6+1は11で割り切れてこれはmod4で3なのでダメです。
244:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:00:25.63 pF2sa1Fo.net
あ、うそいった。
11では割り切れないけど、計算機でやったらダメでした。
245:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:07:58.38 X4NXJ2sr.net
またうそでした。
打ち間違ってた
print $ sum [mod (n^2) 1000001 | n<-[0..1000000]]
500000500000
i=3では成立してますね。
しかし10^(2i)+1の素因子が全てmod4で1なんて成立するのかなぁ？
246:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:17:52.30 oFGb4GMw.net
そうか、p≡3(mod4)が因子になる事はないのか。
multiplicityが1以下かどうかだけが問題なのか。
吊ってくる。
247:１３２人目の素数さん
20/02/23 04:26:33.58 LZOHjeYG.net
連続すまそ
これで最後にする。
10^202+1はダメじゃない？
10^202+1
=100^101+1
=(1+100)(1-100+10000-‥(-100)^100)
で
(1-100+10000-‥(-100)^100
≡1+1+‥+1 (mod 101)
だから10^202+1は101^2で割り切れる希ガス
248:１３２人目の素数さん
20/02/23 09:56:07 sm1T7+nt.net
ある複素関数を f(z) = Σ[k=0,∞] (z^k / k!) と無限級数で定義します。
つまり指数関数ですが、まだその周期性を知らず、πや三角関数(sin, cos)も知らないものとします。
無限級数の収束性等は既知とします。
f(z) は ある純虚数の周期を持つ関数である事を示してください。
出典は特にありません、答えも分かりません。
249:１３２人目の素数さん
20/02/23 10:24:19 URzusrEE.net
>>209
> a,b,cが等比数列をなすとき1/(a+x),1/(b+x),1/(c+x)が等差数列となるxを求め、
> その結果を図形的に説明せよ
半径bの円に対して反転で移りあう二点と円の直径の両端は調和数列をなす（調和点列）
250:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:09:01.77 l2/N4aPd.net
>>242
まず定義式から
exp(x+y) = exp(x) exp(y)
exp(r+iθ) = exp(r)(cosθ + i sinθ)：cosθ, sinθは単に級数で定義された関数
を証明する
共役複素数を掛けて
exp(2r) = exp((r+iθ)+(r-iθ)) = exp(r)(cosθ + i sinθ)exp(r)(cosθ - i sinθ)
= exp(r)^2 |cosθ + i sinθ|^2 ∴ |exp(iθ)| = 1
θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
すなわち exp(iθ)はθの周期関数
251:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:20:05.28 URzusrEE.net
直径aの円Aと直径bの円Bが直径a+bの円Cに内接しているとき
AとBに外接しCに内接する円の半径をa,bで表せ
座標入れて計算してみたらやり方が悪いのか煩雑になりすぎて計算できません。
たぶん有名問題なのでどこかに解説されてると思うですが検索しても見当たらないので
お願いします。
252:１３２人目の素数さん
20/02/23 13:24:56.91 URzusrEE.net
>>245 書き忘れ 円Aと円Bは外接してます
253:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:06:11.45 Tga8ONQo.net
どうみても新作ルアー
254:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:22:35.55 sm1T7+nt.net
>>244 ありがとうございます
|exp(iθ)| = 1 ここまでは了解です。 ただし...
> θを微小とすれば exp(iθ)≒ 1 + iθ だから中間値の定理でexp(iθ)を 1 のn乗根にできる
>すなわち exp(iθ)はθの周期関数
この論理展開は厳しいのではないでしょうか？
中間値の定理でぶち当たってほしい値の正統性が怪しいです。
1 のn乗根を exp(iα)で 表せる事 (αはなんらかの実数) は exp(iθ)の周期性が既知でないと言えないかと思います。
255:１３２人目の素数さん
20/02/23 14:48:10 g+ZpqIIu.net
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256:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:10:10.37 2UWx/2s8.net
>>245-246
AとBに外接しCに内接する円をD、a,bを直径ではなく半径、Dの半径をr
A,B,C,Dの中心の座標をそれぞれ (-b,0), (a,0), (0,0), (x,y) とし、
Dの中心とA,B,Cの中心との距離を考ると、
[1] (x+b)^2 + y^2 = (a+r)^2,
[2] (x-a)^2 + y^2 = (b+r)^2,
[3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
x,yを消去した式a([1]-[3])+b([2]-[3])を作ると、rの一次式になり
r = ab(a+b)/(aa+ab+bb)。
257:１３２人目の素数さん
20/02/23 17:19:27.05 x1qWF4GD.net
|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････
258:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:01:23.51 x1qWF4GD.net
>>242
f(z+w) = Σ[k=0,∞] (z+w)^k /k!
= Σ[k=0,∞] Σ[m+n=k] (z^m /m!)(w^n /n!) (2項公式)
= (Σ[m=0,∞] z^m /m!)(Σ[n=0,∞] w^n /n!)
= f(z) f(w) ････ 指数公式
いま
f(iy) = cos(y) + i･sin(y)
とおく。
cos(y) = Re{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k)/(2k)!
sin(y) = Im{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k+1) /(2k+1)!
指数公式
f(iny) = f(iy)^n,
は ド・モァヴルの公式
cos(ny) + i･sin(ny) = {cos(y)+i･sin(y)}^n,
となり、実数部と虚数部に分ければ n倍角公式 が出る。
f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
より
cos(y)^2 + sin(y)^2 = 1,
259:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:04:51.69 x1qWF4GD.net
次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････
< 0
0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。
cos(p/2) = 0,
sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0,
0<y<4 に sin(y) の零点pがある。
260:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:10:35.88 PXb9xj6B.net
i方向に動かした時の長さの値を微分するとゼロなので定数
変化量をさらに微分すると定数
になる事がわかるので
i方向への移動は円上を一定速度で回り続ける事はわかる
ので、証明はできる
がこれは三角関数の周期性を示すスタンダードなやり方と結局同じなので面白みははないかもしれない
エレガントな式変形なり論法はどこかにあるのだろうか
261:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:14:47.32 x1qWF4GD.net
cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,
262:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:32:44.65 14JaYXx+.net
>>245
つデカルトの円定理
263:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:34:32.17 x1qWF4GD.net
指数公式から
f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),
定義(マクローリン展開)から
{sin(y)} ' = cos(y),
{cos(y)} ' = -sin(y),
も出る。
>>254
cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
から有界であることは分かりますが･･･
264:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:54:06.45 14JaYXx+.net
素直に考えれば
・cos(2)<0を定義から示す。
・cos(0)=1とあわせてcos(c)=0を満たす最小の実数が存在する。
・0<x<cでcos(x)>0によりsin(x)は単調増大、さらにsin(0)=0によりsin(c)>0。
・sin^2+cos^2=1によりsin(c)=1。
・exp(ic)=i。
・exp(A+B)=exp(A)exp(B)‥(✳︎)を示しておいてexp(4ci)=1、再び(✳︎)によりexp(x)は周期4ciをもつ。
とかじゃない？
265:１３２人目の素数さん
20/02/23 18:59:41.96 URzusrEE.net
>>250
> [3] x^2 + y^2 = (a+b-r)^2.
この式は中心 (a-b,0) だから以下のように修正して解くと
{(x + b)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a + b)^3/(2 (a^2 + 4 a b + b^2)) になるようです。ありがとうございました
266:242
20/02/23 19:22:13.94 sm1T7+nt.net
>>253 あぁ...中間値の定理をそこで使うんですね。少し誤解してました。
cos(0) = +1
cos(2) = 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! + 2^8/8! - ...
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * (1 + 0 + 2^4/8^4 + 0 + 2^8/8^8...)
< 1 - 2^2/2! + 2^4/4! - 2^6/6! +2^8/8! * 2
= -43/105 < 0
∴ あるp∈(0,2) について cos(p) = 0, sin(p) = ±1 (正負を知る必要はない)
exp(ip)^4 = ( 0 ± i )^4 = 1 つまり4乗根が得られたので
exp(i(x+4p)) = exp(ix) * exp(i4p) = exp(ix) * exp(ip)^4 = exp(ix)
exp(ix) の周期は 4p (或いはその何分の一) である。とりあえずここまででOKです。
他のみなさんもありがとうございました。先を考える参考になります。
267:１３２人目の素数さん
20/02/23 20:08:14.65 x1qWF4GD.net
-1が平方剰余.
((-1)/n) = 1.
x^2≡-1 (mod n) が解をもつ.
平方剰余の分布が対称的.
↓
k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2.
268:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:10:56.97 URzusrEE.net
>>259
これデカルトの円定理ってので検算してみると合わないから間違っているのかもしれません
269:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:30:46.91 PXb9xj6B.net
三角関数の加法定理、二乗和が1を導出できるなら
単純に0以外でサインが0になる点の値をぶち込めば三角関数の周期性はでる
まあこれも級数の形から出るし、三角関数の周期性の話だが
270:１３２人目の素数さん
20/02/23 21:56:35.06 AO+nZE6G.net
>>261
私も、一時期その可能性を思いましたが、 >>230 をご覧ください。
「-1が平方剰余」だけでは、不十分な事が判ります。
ただし、必要条件�
271:ﾅあることは、間違いないと思います。 他にも、50,125,169,250,289が、この例外に当てはまるので、 2^r*p^s ただし、r=0,1、pは素数、s=2,3,4,... 型を除外すれば十分なのかもしれません。 あ、それと、230の内容を修正します。 「nが偶数の時は、n/2 個」と書きましたが、nが偶数の時は、n/2が平方剰余で（←nが4の倍数ではない）、 n/2を除いた上で、平方剰余、平方非剰余の個数がそれぞれ、n/2-1 個ずつ でなければなりません。
272:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:01:14.35 URzusrEE.net
>>259 最初と二番目の式の右辺の a と b を逆にする大ボケかましてた
結果的に>>250と一致した
solve {(x + b)^2 + y^2 = (b + r)^2, (x - a)^2 + y^2 = (a + r)^2, (x - a + b)^2 + y^2 = (a + b - r)^2}
r = (a b (a + b))/(a^2 + a b + b^2)
273:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:12:16.81 AO+nZE6G.net
>>264 に補足
n=p^2と表されるとき、
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2
の左辺において、k=a*pの項は、mod((a*p)^2,p^2)=0 となり、
とても、平均 n/2 を維持することはできなくなるため、除外されなければならない ということですね。
274:１３２人目の素数さん
20/02/23 22:53:46 x1qWF4GD.net
nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。
そうすれば
-1が平方剰余 (mod n)
↓
(Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.
φ(n)はオイラーのtotient関数です。
275:１３２人目の素数さん
20/02/23 23:29:09 x1qWF4GD.net
-1 が平方剰余 (mod n)
n=Πp ならば ((-1)/n) = Π((-1)/p),
〔第一補充法則〕
((-1)/p) = 1 (p=4k+1 または p=2)
= -1 (p=4k+3)
nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。
偶数個か0 → +1 → 等号
奇数個 → -1 → 不等号
でしょうか････
276:１３２人目の素数さん
20/02/24 01:59:51.74 HNz38u5g.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
277:１３２人目の素数さん
20/02/24 08:07:56.61 271EzAMw.net
中学2年生です。これの(3)はなんでいえないなんでしょうか。あきらかに長さが違うから？分からないので教えて下さい。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
278:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:05:30.46 c5PK6CeI.net
>>270
そこに書かれている条件だけだとBの位置が特定されておらず二等辺三角形であることもあり得るがそうでないこともあり得るから
その図の見た目の問題ではないよ
279:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:12:02.01 c5PK6CeI.net
>>270
小学校で図形を扱うようになった頃
URLﾘﾝｸ(blogimg.goo.ne.jp)
これの2番のような問題で見た感じで選んでよかったけど、中学の図形のレベルでは見た目は関係が無く論理的に明確な根拠がなければそうだとはみなさないという暗黙のルールがある
言われてみればこのことを学校では明示してくれていなかった気はする
280:１３２人目の素数さん
20/02/24 09:22:32.26 271EzAMw.net
レス270です。
考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
281:イナ
20/02/24 10:04:45.87 st+AszZ0.net
前>>219
P(x,y),A(-1.4,4.8),B(-5,0),C(5,0)とすると、
x^2+y^2=25
PA=√{(x+1.4)^2+(4.8-y)^2}
=√(25+2.8x+4･1.96+16･1.44-9.6y)
=√(2.8x-9.6y+41+0.64+0.064+7.84)
=√(2.8x-9.6y+48.84+0.704)
=√(2.8x-9.6y+49.544)
PB=√{(x+5)^2+y^2}
=√(25+10x+25)
=√(50+10x)
PC=√{(5-x)^2+y^2}
=√(50-10x)
PA+PB+PC=√(2.8x-9.6y+49.544)+√(50+10x)+√(50-10x)
={2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2)+(50+10x)^(1/2)+(50-10x)^(1/2)
微分し=0とすると、
(1/2){2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(1/2)(50+10x)^(-1/2)+(1/2)(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(-1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+(50+10x)^(-1/2)+(50-10x)^(-1/2)=0
{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}^(1/2){2.8+4.8(25-x^2)^(-1/2)}+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50+10x)^(-1/2)+{2.8x+9.6(25-x^2)^(1/2)+49.544}(50-10x)^(-1/2)=0
xの値は、1.4よりちっさなりそうな予感がします。
282:哀れな素人
20/02/24 10:19:54.05 Rt+v/L/g.net
>>270
∠BCDが30°と書かれていないから。
283:１３２人目の素数さん
20/02/24 10:44:57.17 tf/NWog7.net
>>270
もし、問題が「この図形は二等辺三角形か？」
と問われたものだったら、可能な回答は次の三つ。
A:「はい」＝「二等辺三角形と言える」
B:「いいえ」＝「二等辺三角形と言えない」
C:「不明」＝「二等辺三角形かどうか判らない」
この問題は、「二等辺三角形か？」と問われているのではなく、
「二等辺三角形と言えるか？」と問われている。
つまり、「文頭の質問にA.と回答するか？」と問われているので、
「No」＝「言えない」となる。
284:１３２人目の素数さん
20/02/24 11:28:17.83 271EzAMw.net
270です。二等辺三角形だと証明する事ができない。という意味の問題だったという事ですね。ちゃんと理解出来てませんでした。ありがとうございます！
285:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:00:48.49 Kz+mIgjF.net
青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
286:１３２人目の素数さん
20/02/24 12:16:42.24 uEXSAJod.net
>>273
>考えて下さった方ありがとうございます。定規、分度器は使わない問題なので、なんでいえないってなってるのか証明出来なくて困ってたんですが。
>明日、学校で質問に行ってきます。木曜から学年末テストなので頑張ります。ありがとうございました！！
なるほど
図の書きぶりから、二等辺三角形に見えないようには、書かれているので、見た目では「いえない」は分かる
問題は理由付けだけど、>>275-276かな
∠BCDが30°として、二等辺三角形にすることも可能だが
∠BCD≠30°として、二等辺三角形にしないことも可能だ
つまり、頂点Bの位置を、二等辺三角形にならないように取ることも可能だからというのが、その理由だろうね
因みに、同じことは頂点Dについても言えて、三角形ACDについても二等辺三角形とは言えない
287:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:02:53.44 uEXSAJod.net
>>278
>青チャートのチェバの定理の逆の証明の所で
>三角形ABCがあり、辺AB、辺ACの辺上またはその延長線上に点Q、点Rがある時、点Pは辺BC上にある。
>辺BRと辺BQの交点Oは"角BACまたはその対頂角の内部にある"という記述があるんですが、"その対頂角の内部にある"の意味が分からないです。
下記の Yahoo知恵袋 「チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき」に図があるよ
また、通常は、「チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる」、「チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる」の2つみたいだが
"その対頂角の内部にある"は、第3の場合になるだろう
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
チェバの定理で内角の対頂角に交点があるとき Yahoo知恵袋
gag********さん2010/2/26
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
チェバの定理
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第1の場合：三角形ABCの内部の点Oで3本の直線が交わる
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
チェバの定理の第2の場合：三角形ABCの外部の点Oで3本の直線が交わる
288:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:04:54.88 Gl4VKrJQ.net
確率
Aチーム6人 : Bチーム6人でレースゲームを16試合する。
1位15点
2位12点
3位10点
4位9点
5位8点
6位7点
7位6点
8位5点
9位4点
10位3点
11位2点
12位1点
の配点の場合、各チームの合計点が656:656の引き分けになる確率を教えてください。
289:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:16:31 Kz+mIgjF.net
>>280
ありがとうございます！助かりました！！
290:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:28:38 34cHjcwm.net
>>281
それは計算機マターのやつ。
291:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:38:18 b9jw98Cw.net
>>283
計算機マター？
すみません、掲示板疎いので�
292:謔ｭわかりません。
293:１３２人目の素数さん
20/02/24 13:57:27 2XAuGskm.net
>>284
要するに学部以降で習う数学の公式使って対してらくになるわけでもないので計算機にやらせた方が早いやつ。
数学まともに勉強したやつが出す問題じゃない。
そんな下らない問題やるのは時間の無駄。
無視したほうがいい。
294:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:18:06.84 b9jw98Cw.net
>>285
本当に無知ですみません。数学は得意ではないし、知り合いにも確率に強い人がいないのでこの掲示板を頼りにしています。
計算はこちらでするので、導き方だけでも教えて頂きたいです。
295:１３２人目の素数さん
20/02/24 14:45:07.25 /MtkJm43.net
導き方らしい導き方があるのか？
単純に、全部の場合を数え上げるしかなくて
656点ずつになる組み合わせの数を数え上げて
全体の組み合わせの数で割る、しかないように見えるが
要するに
まず一回のレースで起こる組み合わせが12C6＝924通り
あって
それを16回やる訳だから全部で924の16乗通り起こりうる
その何百兆通りかのうちでちょうど点数が同じになってるケースが何通りあるか数えて比率を計算すれば確率は出る
ってこと
まあ実際にはいくつか順位が前後しても同じ点数になるケースはあるからもうちょっと数えるのは少なくなって、何億通りか何百万通りかで済むかもしれないけど
296:イナ
20/02/24 14:45:10.45 st+AszZ0.net
前>>274
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA={(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2+b/2)
cos∠DBC={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}/2(b/2+x)(a/2)
cos∠DBA=cos∠DBCより、
{(b/2+x)^2+(a/2+b/2)^2-(a/2+x)^2}a
={(b/2+x)^2+(a/2)^2-(a/2+x)^2}(a+b)
{(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}a
={(b+2x)^2+a^2-(a+2x)^2}(a+b)
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a
=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-4ax-4x^2)(a+b)
ab^2+4abx+4ax^2+2a^2b+ab^2-4a^2x-4ax^2
=ab^2+4abx+4ax^2-4a^2x-4ax^2+b^3+4b^2x+4bx^2-4abx-4bx^2
2a^2b+ab^2
=b^3+4b^2x-4abx
2a^2+ab
=b^2+4bx-4ax
4(a-b)x=b^2-ab-2a^2
x=(b^2-ab-2a^2)/4(a-b)
297:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:06:35.94 tf/NWog7.net
>>281
C[12,6]=924通りの「順位分け」を、基準点=41との差で分類し、差が0～20になるのは、それぞれ次
48,47,47,44,43,39,37,32,30,25,22,18,15,11,10,6,5,3,2,1,1
f=48+47(x+1/x)+47(x^2+1/x^2)+44(x^3+1/x^3)+43(x^4+1/x^4)+39(x^5+1/x^5)+37(x^6+1/x^6)+
32(x^7+1/x^7)+30(x^8+1/x^8)+25(x^9+1/x^9)+22(x^10+1/x^10)+18(x^11+1/x^11)+15(x^12+1/x^12)+
11(x^13+1/x^13)+10(x^14+1/x^14)+6(x^15+1/x^15)+5(x^16+1/x^16)+3(x^17+1/x^17)+2(x^18+1/x^18)+
(x^19+1/x^19)+(x^20+1/x^20)
として、f^16 の定数項を924^16 で割ったものが答え
3861707060011302197274473352442662107544339496/924^16
=0.0136781633711920174806098975...
298:イナ
20/02/24 15:41:29.88 st+AszZ0.net
前>>288
符号が変だ。訂正する。
299:１３２人目の素数さん
20/02/24 15:53:40.00 Gb7vk4DT.net
>>264
「-1が平方剰余 (mod n)」だから、nは4q+3型の奇素数や4を含みませんね。
また、平方因子p^2を持つnも除外されそう。 >>230 >>266
n=p^2 (p=4q+1) と表わされるときは
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = nφ(n)/2 = np(p-1)/2 < n(n-1)/2,
の左辺において、k=a*p の項は k^2≡0 となる。
高次ベキの場合も、
300:非正則項の中に k^2≡0 となるkが何個もあるので同様。 ∴ nは {2,5,13,17,29,37,41,････} の要素を高々1回含む。 >>225 >>268 は撤回します。。。
301:１３２人目の素数さん
20/02/24 16:31:00.02 Gl4VKrJQ.net
>>289
ありがとうございます！！
そして全然見当違いだったらすみません、
1/10000の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。
302:１３２人目の素数さん
20/02/24 17:06:11.34 ArC4uVyJ.net
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら逆写像がない
逆写像がないなら全単射はない
Ａ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がないなら全単射はない
全単射があるならＡ→Ｂの単射とＢ→Ａの単射がある
303:イナ
20/02/24 17:18:19.43 st+AszZ0.net
前>>290
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2=2a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+2a^2b-4a^2+2a^2b+2ab^2)/(2a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b-4a^2)/(2a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b-2a^2)/(a^2+2ab+3b^2)
=2a(b^2+ab-a)/(a^2+2ab+3b^2)
いまいちおっきいな。
手書きだとx=2ab/3(a+b)
携帯で検算すると変わった。
304:イナ
20/02/24 17:50:56.13 st+AszZ0.net
前>>294訂正。
>>245
求める円の半径をxとおくと、AとBに外接しCに内接する円の中心をDとして、△DBAおよび△DBCにおいて余弦定理より、
cos∠DBA=[(b/2+x)^2+{(a+b)/2}^2-(a/2+x)^2]/{2(b/2+x)(a+b)/2}
={(b+2x)^2+(a+b)^2-(a+2x)^2}/2(b+2x)(a+b)
cos∠DBC=[(b/2+x)^2+(a/2)^2-{(a+b)/2-x}^2]/2(b/2+x)(a/2)
={(b+2x)^2+a^2-(a+b-2x)^2}/2(b+2x)a
cos∠DBA=cos∠DBCより、
(b^2+4bx+4x^2+a^2+2ab+b^2-a^2-4ax-4x^2)a=(b^2+4bx+4x^2+a^2-a^2-b^2-4x^2-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)(a+b)
(2b^2+4bx+2ab-4ax)a=(4bx-2ab+2ax+2bx)a+(4bx-2ab+2ax+2bx)b
2ab^2+4abx+2a^2b-4a^2x=4abx-2a^2b+2a^2x+2abx+4b^2x-2ab^2+2abx+2b^2x
2ab^2+2a^2b+2a^2b+2ab^2=2a^2x+4a^2x+2abx+4b^2x+2abx+2b^2x
x=(2ab^2+4a^2b+2ab^2)/(2a^2+4a^2+2ab+4b^2+2ab+2b^2)
=(4ab^2+4a^2b)/(6a^2+4ab+6b^2)
=(2ab^2+2a^2b)/(3a^2+2ab+3b^2)
=2ab(a+b)/(3a^2+2ab+3b^2)
305:１３２人目の素数さん
20/02/24 19:57:23 tf/NWog7.net
>>292
もし、「1/100の確率と言ってしまっても良いのでしょうか。 」
と尋ねられたなら、実際は1/73位の確率なので、数十パーセントの誤差はあるけど、
言えないこともないと返事するかもしれません。が、
0.013678 と 0.0001 では、136倍違います。ダメでしょ。
306:１３２人目の素数さん
20/02/24 20:54:09.70 ArC4uVyJ.net
全単射
(A B C)(A B)(Ｃ)同じ数は対応
全射
(A B C)(AB C)ABはAとBが対応
(A B)＝AB
この時あらゆる全射は全単射に変換できるといえるか？
307:１３２人目の素数さん
20/02/24 21:12:40.15 34cHjcwm.net
日本語ですらないな
308:１３２人目の素数さん
20/02/24 22:15:12 DLEIbfp6.net
>>281
シミュレーションプログラムで100万回やって引き分けの頻度を出してみた。
x=c(1:10,12,15)
sim <- function() sum(replicate(16, sum(x[sample(12,6)])))==656
k=1e6
mean(replicate(k,sim()))
> mean(replicate(k,sim()))
[1] 0.013522
309:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:39:36.06 FXqWqIQp.net
>>296
すみません、単純な勘違いしてました。
訂正ありがとうございます。
310:１３２人目の素数さん
20/02/24 23:43:28.66 FXqWqIQp.net
>>299
もう全然理解できないですけど、結果まで出して頂いてありがとうございます。
他の協力して頂いた方たちもありがとうございました！！自分自身でもあまり理解できていない場違いな質問ですみませんでした。
311:１３２人目の素数さん
20/02/25 02:16:30.25 pNO31yGn.net
（1）π>3を示せ。
（2）(1+1/n)^nを二項展開することにより、e<3<πを示せ。
312:１３２人目の素数さん
20/02/25 10:04:32 AaD6K4jc.net
5万円の商品Aと6万円の商品Bがある。
AとBを合わせて200万円になるようにしたい。
ただし、AとBは合わせて320個購入するものとする。
この時AとBはそれぞれ何個ずつ購入すればよいか。
知恵をお貸しください。
よろしくお願い申し上げます。
313:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:05:58.09 INCWFL/L.net
>>303
鶴亀算でググれ
314:１３２人目の素数さん
20/02/25 11:07:06.70 INCWFL/L.net
いや、よく読んだら明らかに解無しだわ
315:イナ
20/02/25 12:34:11.04 qvag5bLB.net
前>>295
316: >>303 五万円の商品に百七十万。六万円の商品に三十万。いかほどか。 五万円の商品が三十四個と六万円の商品が五個になりまする。あわせて三十九個。 一個サンプルをつけて四十個とせよ。八人の従者を参らせる。いかほどか。 三百二十個にあいなりまする。 逆に六万円の商品に九十万、五万円の商品に百十万。いかほどか。 六万円の商品が十五個と五万円の商品が二十二個。あわせて三十七個になりまする。 難しいな。六万円の商品が五個と五万円の商品が二十七個にしてはいかほどか。 三十万と百三十五万で百六十五万円になりまする。 あとの三十五万は人件費に当てればよいではないか。それともぽっぽに入れるか。 はぁっはっはっ……。 はぁっはっはっ……。
317:１３２人目の素数さん
20/02/25 16:36:03.16 KHilL9zo.net
nが偶数のときは
n=2m (mは奇数、平方因子をもたない)
と表わせる。 >>291
このとき
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = 2Σ(平方剰余) - (n/2),
また
Σ(平方剰余) + Σ(非剰余) = 1+2+････+(n-1) = n(n-1)/2,
・m=4q+1 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = m,
Σ(平方剰余) = mm,
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2, (等号)
・m=4q+3 の場合
Σ(平方剰余) - Σ(非剰余) = -m,
Σ(平方剰余) = m(m-1),
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-3)/2, (不等号)
318:１３２人目の素数さん
20/02/25 17:38:48.89 jG10DX84.net
そんなに話かんたんなわけない。
issqare n = (==n) $ (^2) $ truncate $ sqrt n
ss n = (2*) $ sum [mod (k^2) n | k<-[1..n]]
rec n =(n, ss n, n*(n-1))
main = do
mapM_ print $ take 30 $ map rec [
(1,0,0)
(2,2,2)
(3,4,6)
(4,4,12)
(5,20,20)
(6,26,30)
(7,28,42)
(8,24,56)
(9,48,72)
(10,90,90)
(11,88,110)
(12,76,132)
(13,156,156)
(14,154,182)
(15,140,210)
(16,112,240)
(17,272,272)
(18,258,306)
(19,304,342)
(20,260,380)
(21,364,420)
(22,418,462)
(23,368,506)
(24,296,552)
(25,500,600)
(26,650,650)
(27,576,702)
(28,588,756)
(29,812,812)
(30,730,870)
319:１３２人目の素数さん
20/02/25 18:29:53.04 KHilL9zo.net
これは簡単だが････
>>302
(1) πは (円の周長)/(直径) とする。
単位円に内接する正８角形を考え、頂点を
(1,0) (1/√2,1/√2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393
*) 2-√2 > 1/√3 = 0.57735
単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
(1,0) ((√3)/2,1/2) (1/2,(√3)/2) (0,1) ････
とする。一辺の長さをLとすると
π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862
*) 2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575
(2)
(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k
= Σ[k=0,n] {n(n-1)････(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
< Σ[k=0,n] 1/k!
< Σ[k=0,∞] 1/k!
< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
= 2.75
n→∞ とする。
320:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:29:43.65 jm1ih5Dj.net
(1)は正6角形で 3 になって 正12角形(正6角形の各辺に屋根をつける) だとそれより確実に大きいから
ってのじゃダメかな
321:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:53:08.14 zHmJDkvS.net
>>310
正十二角形すらいらない希ガス。
322:１３２人目の素数さん
20/02/25 19:56:00.80 KHilL9zo.net
いいと思うけど >>314 の意見を聞いてみよう。
>>309
4 - (√2 + 1/√3)^2 = (5-2√6)/3 = (√25 - √24)/3 > 0,
4 - {√3 + (√7)/10}^2 = (9.3 - 2√21)/5 > (√86 -√84)/5 > 0,
323:１３２人目の素数さん
20/02/26 04:31:59.56 COcHG+I
324:F.net
325:イナ
20/02/26 05:18:19.01 HE36jqdY.net
>>245の答えは>>295ではないのかい？
326:１３２人目の素数さん
20/02/26 08:17:01.17 Vn/E81gT.net
>>313
任意の x (∈ A_p) に対して局所座標系(U,φ)とそこに含まれる開球S[x] (中心:φ(x)) を考える.
V[x] := φ^{-1}(S[x]) とする. これは M上の開集合である.
任意の y (∈ V[x]) に対して φ(x)とφ(y)を結ぶパラメータ直線 line(t) は S[x] に含まれ,
pからx に至る曲線に φ^{-1}(line(t)) 接ぎ足せば y ∈ A_p .
よって V[x] ⊂ A_p であり, A_p = ∪{x ∈ A_p} V[x] は開集合である.
327:１３２人目の素数さん
20/02/26 14:08:45.95 OjkpcDu6.net
実数列の全体って何次元？
328:１３２人目の素数さん
20/02/26 15:12:12.48 FGAiD2VF.net
普通に無限次元
一時独立な列が簡単に無限個作れるだろ
329:１３２人目の素数さん
20/02/26 15:46:44.14 uU65nAyC.net
関数電卓は使ったことないのですが、
この問題意味が分かりません。
詳しい解説お願いします。
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
330:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:06:53.58 iLYZ1Ltm.net
>>318
何このヘッタクソな問題wwwww
手作り感しかないwwwwww
331:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:27:11.57 iLYZ1Ltm.net
print $ exp $ (/3) $ log $ 3
1.4422495703074085
print $ (!!100) $ iterate (sqrt.sqrt.(*3)) 1
1.4422495703074083
332:１３２人目の素数さん
20/02/26 16:48:39.24 Vn/E81gT.net
>>318
問の電卓計算は
漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/4} * 3 が表す再帰計算に相当する.
初期値が正値であれば常に同じ値 α に収束することは,
グラフ y=x^{1/4}*3 と y=x の概形から明らかである.
この時 α = α^{1/4} * 3 が成り立つ.
よって α = 3^{4/3} が得られる.
同様に漸化式 a[n+1] = a[n]^{1/8} * 3 の場合は
α = α^{1/8} * 3 が成り立つ
∴ α = 3^{8/7} = 3^{1/7} * 3
つまり
「√ キーを 3 回押してから 3掛ける」 を繰り返し
必要な桁数までの値変化が無くなったら 3で割る.
すると 3^{1/7} (の近似値) を得る.
333:１３２人目の素数さん
20/02/26 18:02:45 jrzfCjiF.net
>>321
log_3(a[n]) = b[n] とおく。
a[n+1] = a[n]^(1/4) * 3 のとき
b[n+1] = (1/4) b[n] + 1,
b[n+1] - 4/3 = (1/4) (b[n] - 4/3)
= (1/4^n) (b[1] - 4/3)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/4^n) → α=3^(4/3)
a[n+1] = a[n]^(1/8) * 3 のとき
b[n+1] = (1/8) b[n] + 1,
b[n+1] - 8/7 = (1/8) (b[n] - 8/7)
= (1/8^n) (b[1] - 8/7)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/8^n) → α=3^(8/7)
x=α では y=x^(1/m) の傾き <1、吸引的
x=0 では y=x^(1/m) の傾き >1、反発的
334:１３２人目の素数さん
20/02/26 22:35:12.65 fYvt4cxV.net
a,b,c,dは実数とする。
ax+b>c
bx^2+cx+a>0
cx^3+ax+b>0
をすべて満たす実数xの集合と、d<xを満たす実数xの集合が一致している。
（1）a,b,cの符号をそれぞれ調べよ。+,0,-のいずれか2つ以上を取りうる場合は「不定」と述べよ。
（2）dはどのような値かを述べよ。
335:318
20/02/26 23:18:47.86 uU65nAyC.net
>>321
ご親切にありがとうございます。
最近は数学ソフトばかり使っていたので、
＝を入力したとき、それまでの値が保存され、
さらに入力すると、その値に対する演算になる
ことを忘れていました。
ふつうの電卓でもそうですね。
α = 3^{4/3} ← 確認しました。
336:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:00:03.59 A9daixSK.net
集合 X 上に加法+と呼ばれる二項演算を定義し、なおかつ+は、
1. 交換律を満たす
2. 結合律を満たす
3. 加法単位元0が存在する
4. Xのそれぞれの要素xに対して、その加法逆元-xが存在する
を満たすものとします。
また、Xのそれぞれの要素xに対して、その自然数n倍を、
nx=x+…+x （n個のxの和）
と定義します。
以上の設定のもと、Xの要素xと自然数nをそれぞれ任意に選んだとき、
ny=x
を満たすXの要素yの存在を保証できますか？
できる場合には、スケッチでもよいので、証明を教えて頂ければ幸いです。
337:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:21:03.35 rRftSNqo.net
>>325
集合 X として整数の集合を例にとったら？
338:１３２人目の素数さん
20/02/27 06:35:24.66 A9daixSK.net
>>326
ありがとうございます。
分かりやすい反例ですね。
とても助かりました。
339:１３２人目の素数さん
20/02/27 15:39:17 7BFs7ekT.net
>>323
これお願いします
340:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:14:49.59 jpva1bJt.net
Nが1より大きい整数のとき、複素数や複素平面を使わずに
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
を証明せよ。
Nが偶数の時は単位円をN等分してみれば対称性からすぐ証明できます。
Nが奇数の時が難しくて悩んでいます。
お願いします。
幾何学的に解くのか、三角関数の公式を駆使して解くのか、数学的帰納法は「N」が分母にいるから難しそうだし・・・・。
複素平面を使えば証明は簡単です。
exp[i(1×2π/N)]、exp[i(2×2π/N)]、. . . exp[i(N×2π/N)]
はN次方程式
x^N-1=0
の解なので解と係数の関係から
exp[i(1×2π/N)]+exp[i(2×2π/N)]+・・・+ exp[i(N×2π/N)]=0
となります。これの実部が
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
です。
341:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:56:59.56 9IFv45Oy.net
>>329
後者複素平面使ってる？
342:１３２人目の素数さん
20/02/28 00:59:34.91 b8YXVJTs.net
複素平面なんか使わなくても簡単ですが････
N≧2 より sin(π/N) >0,
積和公式
2sin(π/N)・cos(2kπ/N) = sin((2k+1)π/N) - sin((2k-1)π/N),
を k=1,2,････N でたす。
343:１３２人目の素数さん
20/02/28 01:04:29.42 ajwJ3ii3.net
>>323
これお願いします
344:１３２人目の素数さん
20/02/28 01:06:01.54 hTFeapkM.net
>>329
行列: M :={(cos(2π/N), -sin(2π/N)),( +sin(2π/N), +cos(2π/N))} と置くと
M^k = {(cos(k2π/N), -sin(k2π/N)),( +sin(k2π/N), +cos(k2π/N))} (帰納法で示せる)
S := M + M^2 + ... + M^N と置いて...
MS = M^2 + M^2 + ... + M^{N+1}
(M-1)S = M^{N+1} - M = M - M = 0
det(M-1) = (c-1)^2 + s^2 = 2 (1-c) = 4 sin(π/N)^2 より S = 0
Sの[1,1]成分より cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0 を得る.
345:１３２人目の素数さん
20/02/28 03:05:29 XWOQxYul.net
平面α上に面積1の△ABCがある。
α上に点Pをとり、
m≦△PAB+△PBC+△PCA≦n…(F)
となるようにしたい。
ただし3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。
（1）m,nは自然数とする。(F)を成り立たせるPが存在するようなnの最小値を求めよ。
（2）mは（1）で求めたnに等しいとする。(F)を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をm,nで表せ。
346:１３２人目の素数さん
20/02/28 07:12:48.37 yyQ2syhj.net
なにがどう束縛されてるのか1ミリもわからん。
347:１３２人目の素数さん
20/02/28 07:40:48.01 m1ey
348:FM+Z.net
349:１３２人目の素数さん
20/02/28 08:00:26.24 soLFkqPb.net
平面α上に面積1の△ABCが固定されている。
以下、△XYZの面積がSのとき△XYZ=Sと書く。また3点X,Y,Zが一直線上にあるとき、△XYZ=0とする。
（1）α上の任意の点Pに対し
m≦△PAB+△PBC+△PCA
を成立させる実数mの中で、最大のものをMとする。
Mを求めよ。
（2）NをMより大きい自然数の定数とする。α上を
M≦△PAB+△PBC+△PCA≦N
を満たすようにPが動くとき、Pが動きうる領域の面積をNで表せ。
350:１３２人目の素数さん
20/02/28 14:01:59.38 2OeijRyy.net
【数学】 今年の東大の入試問題簡単すぎｗ これ解けない人っているの……？
ｽﾚﾘﾝｸ(news板)
351:１３２人目の素数さん
20/02/28 17:35:15.12 7/7gY/1X.net
gをn次正則行列、jをn次正方行列とする
t(g)jg=jなるgの全体は群ですか？
352:１３２人目の素数さん
20/02/28 17:36:06.72 7/7gY/1X.net
>>339
あ、jは固定されてます、定行列です
353:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:05:05.03 OsAJZC7k.net
>>329
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/2sin(π/N)
=0
354:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:05:16.06 yyQ2syhj.net
yes
355:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:14:42.17 OsAJZC7k.net
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=2sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0
356:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:16:15.98 OsAJZC7k.net
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N)
=sin((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
=0
357:１３２人目の素数さん
20/02/28 18:40:09 CNhryz1r.net
コロナ収束の確率とか期待値とか真面目に考えた人っている？
358:１３２人目の素数さん
20/02/28 19:35:16.48 hTFeapkM.net
>>245
反転円の方法で求めてみた。
(記号については図 URLﾘﾝｸ(imgur.com) を参照)
r/R = OP/OQ {相似図形}
= (a+b)^2 /OQ^2 {反転円}
2R = (a+b)^2/a - (a+b) = (a+b)(1+b/a)-(a+b) = (a+b)(b/a)
OQ^2 = OT*OS {方べきの定理}
= OT*( OT - 2R*cos(t) ) = OT^2 - 2R*OT*cos(t)
= ((a+b)^2/a)^2 + (n*2R)^2 - 2R*(a+b)^2/a
= (a+b)^2 ((1+b/a)^2 - (1+b/a)(b/a)) + n^2* (a+b)^2(b/a)^2
= (a+b)^2 ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 )
よって
r = (1/2) (a+b)(b/a) / ( 1+b/a + n^2*(b/a)^2 ) = (1/2) ab (a+b) / ( a^2 + ab + n^2*b^2 )
(ついでなので n次内接円の半径を求めた)
359:１３２人目の素数さん
20/02/28 21:19:44.63 jpva1bJt.net
>>331
>>329です
ありがとうございます。感謝します
360:sage
20/02/28 23:29:25.55 NiISbkXx.net
>>344
cos((N+1)π/N)sinπ/sin(π/N)
361:１３２人目の素数さん
20/02/28 23:35:48.21 Dv+I8vdz.net
出題後すぐに回答が出て終わった話にいつまで粘着してるの？
362:１３２人目の素数さん
20/02/29 00:34:03.19 HHVZGaBW.net
>>349
それは解法が上に出てるだけではなく他にある
がオマエには教えてやらん
「終わった」と思ってりゃいいよ
363:１３２人目の素数さん
20/02/29 01:14:38 nQsJxXGn.net
>>339
なんでgg'がその式成り立たせるかどうか確かめんの？
もっといいのはg^-1g'だけど
364:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:28:59 TwJ55z/X.net
g と g' がその集合の要素ならば
t{g^(-1) g'} = t(g') t{g^(-1)},
より
t{g^(-1) g'} j {g^(-1) g'}
= t(g') [ t{g^(-1)} j g^(-1)] g'
= t(g') j g'
= j.
∴ g^(-1) g' も要素。
n次単位行列も要素。(単位元となる)
行列jと合同な行列の全体は群をなす。
365:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:33:19.61 TwJ55z/X.net
↑ 行列jの合同変換の全体は群をなす。
に訂正
366:１３２人目の素数さん
20/02/29 02:35:50.77 TwJ55z/X.net
>>331
積和公式より
cos(kθ) = {sin((k+1/2)θ) - sin((k-1/2)θ)}/{2sin(θ/2)},
よって
cosθ + cos(2θ) + ････ + cos(Nθ)
= {sin((N+1/2)θ) - sin(θ/2)}/{2sin(θ/2)}
= cos((N+1)θ/2)･sin(Nθ/2)/sin(θ/2),
367:１３２人目の素数さん
20/02/29 03:22:31 Wh3VLWWe.net
xを正の実定数とする。
a[1]=x
a[n+1]=x^a[n]
により数列{a[n]}を定義する。
lim[n→∞] a[n] が収束するとき、xが取りうる値の範囲を求めよ。
368:１３２人目の素数さん
20/02/29 10:53:52 EMe68izk.net
>>315
なるほど
Φは可微分だから写した直線も可微分になってつなげればいいんですね
ありがとうございます
369:１３２人目の素数さん
20/02/29 20:50:00 duevA7i1.net
>>345
RでSEIR MODEL
dS(t)/dt = mu*(N-S) - b*S(t)*I(t)/N - nu*S(t)
dE(t)/dt = b*S(t)I(t)/N - (mu+sig)*E(t)
dI(t)/dt = sig*E(t) - (mu+g)*I(t)
dR(t)/dt = g*I(t) - mu*R + nu*S(t)
mu:自然死亡率 b:感染率(S->I)
nu:ワクチン有効率(S->R) sig:発症率(E->I),g:回復率(I->R)
でプログラムを組んでクルーズ船に閉じ込めておいたときの収束予想をだそうと遊んでみた。
Javascrptでのグラフ表示するページがあった。
URLﾘﾝｸ(www.public.asu.edu)
結局、感染率や回復率がわからないから実用的ではなかった。
370:１３２人目の素数さん
20/02/29 22:56:37.75 TJajWIRS.net
>>351
t(gg')j(gg')=t(g')t(g)jgg'=t(g')jg'=j
t(g)jg=jの左右から逆元かけてt(g^-1)jg^-1=j
群になりそうなんですがちょっとこれで本当に良いのか分からなかったので聞きました
371:１３２人目の素数さん
20/03/01 01:40:09 i7iXTK9i.net
結合法則満たす演算について閉じていて
単位元と逆元があることを示すだけ
楽なのは
結合法則を満たす演算についてg^-1g'と定義した演算について閉じていることを示すこと
自然に単位元と逆元の存在も言える
372:１３２人目の素数さん
20/03/01 01:40:51 i7iXTK9i.net
>>358
>群になりそうなんですが
何でならないかも知れないと思うのか知れない
373:１３２人目の素数さん
20/03/01 02:11:23 WQDcJ8ig.net
>>355
(1/e)^e ≦ x ≦ e^(1/e),
近似値 0.065988035 ≦ x ≦ 1.44466786
参考書
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集, 日本評論社 (1977) ●112
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集, 日本評論社 (1978) 付録1 (淡中忠郎)
K.Knopp: "Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen" (第5版なら p.110)
374:１３２人目の素数さん
20/03/01 03:24:44.23 aSo0Nu5e.net
a>0を定数とし、x>0で
x^a=log(a)x [aを底とする対数]
の解の個数を求めよという問題で
e^(1/e)だかのあたりに境界があってその前後で3個1個と変わるらしいのですが
色々試してみたんですが具体的に解く手順が全然わかりません
ご存知の方お願いしナス
375:１３２人目の素数さん
20/03/01 03:26:35.25 aSo0Nu5e.net
>>362は
a^x=log(a)x [aを底とする対数]
が正文です。
すいませんでした。両辺をxy平面にプロットするとy=xに対し対称です
376:１３２人目の素数さん
20/03/01 04:50:15.97 xPhbFi9f.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:112番)
のやつか
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:170番)
らしいよ
377:１３２人目の素数さん
20/03/01 05:14:46.44 ssjGLq8d.net
>>357
おお、さすが数学板w
早く収束してほしいものですよね～
378:１３２人目の素数さん
20/03/01 08:13:36 gZgR/7Pu.net
e^(1/e)=1.44466786101
それだから計算間違いか書き間違いやろ
379:１３２人目の素数さん
20/03/01 11:10:43.08 aSo0Nu5e.net
答えは聞いているのですが解法がわからないということです
>>364を見たのですが答えのみでした
具体的な解法をご存知の方いらしたらお願いいたします
380:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:05:23.31 6R0NJxl+.net
>>367
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:143番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:153番)
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:158番)
381:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:12:59.69 aSo0Nu5e.net
>>368
ありがとうございます�
382:I！！助かりなす 下にあったのですね…見落としておりました
383:１３２人目の素数さん
20/03/01 12:31:55.31 6R0NJxl+.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:143番)
下から2行目のとこでちょい計算ミス。 a = e^{-1/e} とすべきだった。
384:１３２人目の素数さん
20/03/02 02:08:08.97 WgyyNlAB.net
AB=4、BC=6、CA=5の△ABCの外接円をKとする。
またK上に点Dがあり、BDはKの直径である。
点Aを含まない側のKの弧の上にBE=5となる点Eをとり、EからBDに垂線を下ろした交点をHとする。
AHの長さを求めよ。
385:１３２人目の素数さん
20/03/02 06:31:50.35 0ORHzB3W.net
>>363
0 < a < e^(-e) のとき３個
e^(-e) ≦ a < 1 のとき１個 {a=e^(-e) のとき (1/e,1/e)}
a = 1 のとき？ log_a を定義できない。
1 < a < e^(1/e) のとき２個
a = e^(1/e) のとき１個 (e,e)
e^(1/e) < a のとき０個
(訂正) 分かスレ４４９の 143 と 170
e^(1/e) → e^(-e)
386:１３２人目の素数さん
20/03/02 12:52:12.15 y3F0W9KI.net
>>371
a:=BC=6, b:=CA=5, c:=AB=4
AH^2 = c*c + BH^2 - 2*c*BH* cos∠ABH {余弦定理}
cos∠ABH = cos∠ABD = c/BD = c/b*(b/BD)=c/b*sin∠B {正弦定理}
BH = BE*cos∠EBH = b*sin∠BDE = b*sin∠B
cos∠B = (a*a+c*c-b*b)/(2*a*b) {余弦定理}
よって
AH = sqrt(c*c + (b*b -2*c*c)*(sin∠B)^2 )
= sqrt( c*c + (b*b -2*c*c)*( 1- ((a*a+c*c-b*b)/(2*a*c))^2 ) )
= 3/16* sqrt(319) = 3.348857...
387:哀れな素人
20/03/02 16:16:54 L7+8rGTp.net
>>371の初等幾何的証明
トレミーの定理により外接円の直径は16/√7
あとは順次計算するだけ。
答えは>>373に同じ。
388:１３２人目の素数さん
20/03/02 18:30:13.02 f1sK9+2R.net
>>374
その外接円の直径違うぞ
389:373
20/03/02 19:45:05.49 y3F0W9KI.net
BD sin∠B = BD sin∠BDE = BE = 5
∴ BD = 5 / sin∠B = 5 / √{1 - ( aa+cc - bb )^2/( 2ac )^2} = 16 / √7
外接円の直径は >>374 と同じになりました。
トレミーの定理 を使う求め方が気になります。誰か教えてください。
390:１３２人目の素数さん
20/03/02 20:38:50.88 m19C6+iu.net
俺はトレミー知らない中学生がどうやって解くのか知りたいわ
391:イナ
20/03/02 21:30:10.41 6RLywf+z.net
前>>314
>>371
余弦定理より、
cosA=(4^2+5^2-6^2)/2･4･5
=25/40
=5/8
sinA=√(64-25)/8
=√39/8
2R=BD=BC/sinA
=6･8/√39
=48/√39
△BEH∽△BDEより、
BE:BH=BD:BE
BH=BE^2/BD
=25√39/48
AからBDへの垂線AF=AB(AD/BD)
=4･4√(35/13)/(48/√39)
∵AD=√(BD^2-AB^2)
=√(48^2/39-16)
=√(12^2･4^2-39･16)/√39
=4√(144-39)/√39
=4√35/√13
AF=√105/4
BF=√(4^2-105/16)
=√151/4
FH=BH-BF
=BE(BE/BD)-BF
=5(5√39/48)-√151/4
=(25√39-12√151)/48
AH=√(AF^2+FH^2)
=√{105/16+(25√39-12√151)^2/48^2}
=2.56809247……
別の三角形の相似でやって、AH=2.87469999……の可能性もある。
図から正しいのはその二つのどっちかかと。
392:イナ
20/03/02 23:39:49.43 6RLywf+z.net
前>>378訂正。
>>371
余弦定理より、
cosA=(4^2+5^2-6^2)/2･4･5
=5/40
=1/8
sinA=√(64-1)/8
=3√7/8
2R=BC/sinA=BD
=6･8/3√7
=16/√7
△BEH∽△BDEより、
BE:BH=BD:BE
BH=BE^2/BD
=25√7/16
AからBDへの垂線の足をFとすると、
BF=AB^2/BD
=16√7/16
=√7
FH=BH-BF
=25√7/16-√7
=9√7/16
AF=√(AB^2-BF^2)
=√16-7
=√9
=3
AH=√(AF^2+FH^2)
=√(9+81･7/256)
=√9(256+63)/16
=3√319/16
=3.34885708……
393:１３２人目の素数さん
20/03/02 23:51:13.95 hWkBRJKb.net
>>363
y=a^x=log[a]x
x=log[a]y=a^y
394:１３２人目の素数さん
20/03/03 00:41:15.33 UmAMKLfE.net
a,bを実数の定数とし、
f(x)=x^2+ax+b
g(x)=4x(1-x)
と定める。またn=1,2,...に対しg_{n}(x)を
g_{n}(x)=g(g_{n-1}(x)), g_{0}(x)=x
により定義する。
このとき以下を満たすf(x)を全て求めよ。
『0<t<1/2である実数tが存在し、すべてのnに対して
f(g{n}(t)) = g{n}(t)
となる。』
395:１３２人目の素数さん
20/03/03 00:52:36.39 AAIE/skV.net
スレ違いかもしれませんが、一般的な考え方を教えていただけないでしょうか？
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
図のような碁盤の目状に区切られた図のような街路がある。
左下から右上へ最短経路で向かう人と、右上から左下へ最短経路で向かう人が左上で出会う確率はいくらか？
ただし、二人とも同時に出発して同じ速度で歩くものとし、歩くコースは最短コースの中からランダムに選ぶものとする
私は最短距離で対角に着くまでの全経路の数は20通り、左上に進む可能性はそれぞれ1/20なので、1/20×1/20で1/400
と考えました。
しかし、答えは1/64で、
解説を読むとそれぞれが3区間進んだ際に左上を通る確率はそれぞれ1/8なので、1/8×1/8で1/64となっていました。
「歩くコースは一区間進むごとに最短コースの中からランダムに選ぶものとする」
であればそれぞれの左上通過確率は(1/2)^3=1/8で間違いないとは思うのですが、
「歩くコースは最短コースの中からランダムに選ぶものとする」
という文章を読み20コースからランダムに選ぶと考えてしまい
それぞれの左上通過確率は1/20と考えました。
ちょっと頭が残念なので文章問題を解くのが昔から苦手なのですが、
普通の人はこの文章を読みそれぞれの左上通過確率は1/8とすぐにわかるのでしょうか？
396:１３２人目の素数さん
20/03/03 01:18:31.88 MZCiWX1q.net
>>382
「ランダム」の解釈が一意でなければ問題文に不備がある
逆に、回答でその理由を明記して1/400と書いたならばそれは正答とすべき
397:
20/03/03 02:39:23.48 f4Hr3/SX.net
前>>379
左下から右上に行く人が左上を通る確率は、
最初の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選び、
次の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選び、
3回目の分岐で左右1/2ずつの確率で左を選んだときだから、
(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
右上から左下に行く人が左上を通る確率は、
最初の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選び、
次の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選び、
3回目の分岐で左右1/2ずつの確率で右を選んだときだから、
(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
左下から右上に行く人と右上から左下に行く人が出逢う確率は、
(1/8)(1/8)=1/64
=0.015625
1.5625％
同時に往き来してもほとんど逢えないぜ。
出逢いの確率は1-1/e
63％だっていうのに。
398:１３２人目の素数さん
20/03/03 04:38:15.03 KGTUQZbA.net
>>379
正解です。
(今年初めてぢゃね？)
399:
20/03/03 05:00:00.26 f4Hr3/SX.net
前>>384
>>385あっててよかった。
半端な数値だから違うのかと思った。
その前のaとbで表す多項式のやつもあってるだろ？
綺麗な形だし、だれも違うって言わないじゃないか。
400:
20/03/03 05:47:50.04 f4Hr3/SX.net
前>>386
>>379訂正。括弧()が抜けた。
√(16-7)
401:哀れな素人
20/03/03 09:20:29 Ee1fsQz2.net
>>376
AE=6だから、BD=aとおいて、四角形ABEDにトレミーの定理を適用すればよい。
402:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:12:03.80 xWolXvu3.net
1から7までの数字が1つずつ書かれたカードがある。それらのカードは
1、2、3、4、5、6、7
の順
403:に並んでいる。 この時、すべてのカードが最初の位置と違う並び方は何通りあるか？ この問題わかる方いらっしゃいますか？
404:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:14:10.74 VJWROBl8.net
>>389
つ完全順列
405:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:14:24.00 bJ1Wt3F4.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
>>389
これですかね？
406:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:16:30.56 mRDJIjZm.net
はい
407:１３２人目の素数さん
20/03/03 10:43:36 daeG0vYN.net
>>388 ありがとう
6x = 5√(xx - 4^2) + 4√(xx - 5^2)
6x - 5√(xx - 16) = 4√(xx - 25)
36xx + 25 (xx - 16) -60x √(xx - 16) = 16(xx - 25)
45x = 60√(xx - 16) ...
7xx = 16^2
∴ x = 16/√7
私は代数計算を進めてから代入するのが好きなんですが、
この場合はさっさと数値入れて計算したほうが楽ですね。
x = a / sinA = a / √{ 1- (cosA)^2} = a / √{ 1 - (bb+cc - aa)^2 / (2bc)^2 }
= 2abc / √{ ((b+c)^2 - aa)( aa - (b-c)^2 ) }
= 2abc / √{ 2((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2) - a^4 - b^4 - c^4 ) {対称式!!}
ここまで来てから数値を代入するのは苦行です。
408:１３２人目の素数さん
20/03/03 11:51:52.00 hQWqoaL1.net
>>391
ありがとうございます。
ですが、私の頭ではこちらのサイトを見ても解法が思いつきませんでした…