20/02/10 17:11:38.94 cxexSbfY.net
(>>40の続き)
このことに注意して、有理点 A(x/z,y/z) が存在する位置について場合分けをする。
Case1)：平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在するとき。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 から、確かに平面 R^2 上の半径1の円周上に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＝1 を満たすことになる。
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、cos(θ)＝x/z。同様に、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ)＝y/z。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、(x/z)^n+(y/z)^n＝1。よって、cos^n(θ)＋sin^n(θ)＝1 となる。
しかし、仮定から n≧3 であり、0＜θ＜π/2 から 0＜cos(θ)＝x/z＜1、0＜sin(θ)＝y/z＜1 だから、
0＜cos^n(θ)＋sin^n(θ)＜1 から cos^n(θ)＋sin^n(θ)≠1 となって矛盾が生じる。
Case2)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 から、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の中に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＜1 を満たす。
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、cos(θ)＝x/z。同様に、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ)＝y/z。
よって、0＜cos^2(θ)＋sin^2(θ)＜1 となる。しかし、これは cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1 に反し矛盾する。
Case3)：平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) が存在するとき。
0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 から、確かに平面 R^2 上の半径1の円周で囲まれた円の外側に有理点 A(x/z,y/z) は存在し、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を満たす。
θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜x/z＜1 から、cos(θ)＝x/z。同様に、θの定義と 0＜θ＜π/2、0＜y/z＜1 から、sin(θ)＝y/z。
よって、cos^2(θ)＋sin^2(θ)＞1 となる。しかし、これは cos^2(θ)＋sin^2(θ)＝1 に反し矛盾する。
Case1)、Case2)、Case3)から、有理点 A(x/z,y/z) が存在し得る位置について、何れの場合においても矛盾が生じる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すれば、どんな3以上の整数nに対しても、x^n+y^n＝z^n を満たす3つの正整数x、y、zは存在しない。