暇つぶし2chat MATH

- 暇つぶし2ch401:9年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催) R = T 定理の仕組みとその応用安田正大 (抜粋) Fermat 予想の反例と Frey 曲線とを結びつける発想を一般化して, 0 でない 3 整数 a, b, c に関する等式 a + b = c と, 楕円曲線 y^2 = x(x ? a)(x + b) とを結びつけて考えることもできます, このとき Szpiro 予想が何を意味するのかを考えることによって, Masser と Oesterl´e は abc 予想と呼ばれる次の予想に到達しました3 予想 1.2. 任意の実数 ε > 0 に対して実数 C(ε) > 0 が存在して次を満たす: 正の整数 a, b, c が a + b = c を満たし, さらに a と b の最大公約数が 1 であるとき, a, b, c のいずれかを割り切る素数の積を N とすると, 不等式 (1.3) c < C(ε)N^(1+ε) が成立する. この予想が正しいとすると Fermat 予想が十分大きな n について正しいことがわかります. この abc 予想には, 不等式 (1.3) にいくつかのバリエーションがあり, もっと精密な評価を与えるものもあります. この研究所の望月新一さんもこの予想に取り組んでいます. 注 3：予想 1.2 の主張中の N^(1+ε）を N^(6/5+ε) に弱めたものが, y^2 = x(x ? a)(x + b) の形に表せる楕円曲線 E に制限した Szpiro 予想と同値になります. (引用終り)