20/02/13 14:25:43 Di2gg/DV.net
>>376 つづき
さて、上記から見ると、オイラー定数γのうち、後半の -ln(n) 部分は初等関数なので、比較的素性は分かっているとして
調和数 Hn について、初等的かつ簡単な考察をしてみる
１．いま、γが有理数か無理数かの問題なので、Hnの小数部分に注目する
FR(x)＝x-[x] という関数を考えよう。
[x]は、いわいる階段関数で、実数ｘに対し、ｘを超えない最大整数とする（ガウス記号）で、x 正として FR(x)＝x-[x] は小数部分を表す
２．FR(Hn)＝Hn-[Hn] は、その式の形から、ｎ有限で有理数であって、分子/分母 の形になることは自明
分母に着目すると、単純に通分して、1*2*3・・・n となるが、一方 オイラー積を考えると
近似としては、分母は Πpi とできるだろう（素数の積で、 i＝1～m ここに、piはn以下の素数の全て)
３．いずれにせよ、nが大きくなると、分母に来る素数piも増えて、FR(Hn)は循環小数として、周期がどんどん長くなる
n→∞では、周期も無限大になり、無理数になると予想される
その出自から、有限次数の代数方程式の根なるとも思えないから、おそらくは超越数
４．同様に、後半のFR(ln(n))＝ln(n)-[ln(n)] を考察すると、任意 n>=2で超越数なので（下記 リンデマン）
n→∞でも、超越数になると予想される
５．そうすると、オイラー定数γは、全く出自の違う ２つの数 FR(Hn)-FR(ln(n)) が
n→∞で、超越数t1－超越数t2 となると予想される
直感的に、t1－t2 が有理数となるとすれば、t1とt2との間に、何か特別な関係があるはずと予想される
逆に、t1とt2との間に、特別な関係がないと予想されるならば、普通は超越数になるだろうと予想される
６．あるHnのn→∞の極限の値が、Riemann Hypothesisと等価だというから、数学的には Hnが 数学的に深い存在でしょう
ということは、FR(Hn)-FR(ln(n)) が有理数であるという証明は、簡単に済むとは思えないのです（＾＾；
もし、γが 有理数にしろ、無理数にしろ、はっきりするとすれば、調和数 Hnの深い研究から出てくる気がする
７．なので、γを直接狙わずに、調和数 Hnの方から攻めた方が、
論文ネタも多くあるだろうし、結果として、遠回りに見えて近道かもしれないと思う今日この頃（＾＾；
つづく