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- 暇つぶし2ch283:ﾜたは蛇足 -- 推論の練習コンパクト性定理モデル空間のコンパクト性コンパクト性定理モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。 Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つこれは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。 Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがあるつまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。