現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83at MATH
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83
- 暇つぶし2ch278:ﾜたは蛇足 -- 推論の練習 コンパクト性定理 モデル空間のコンパクト性 コンパクト性定理 モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。 Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。 論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。 Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。 応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。
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