20/03/14 10:50:54.02 rjLc6zup.net
整数の無限部分集合Aであって、どの互いに異なる a,b∈A をとっても
|a-b| が平方数にならないものは存在するか。
828:１３２人目の素数さん
20/03/14 10:51:33.67 Qtllr5m8.net
>>754
7/8 * 6=21/4
>>780
4/8 * 6=3
829:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:02:50.20 Qtllr5m8.net
袋の中に赤玉7個、白玉6個、黒玉5個入っている。
玉を一つずつ取り出していき赤玉を全て取り出した時点で終了とする。
取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値の期待値は？
取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値の期待値は？
830:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:17:16 xUS1bw+b.net
>>784
レピュニット数を元とする無限集合とすればいい
831:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:18:04 5sXkLHY6.net
>>766 訂正
P(k)=Σ[j=0,5]C[7,6]C[6,k]C[5,j]/(C[18,6+k+j](12-k-j))
E=Σ[k=0,6]kP(k)=21/4
832:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:25:25 5sXkLHY6.net
>>786
E1=Σ[k=0,6](k-(5-j))P(k)=37/8
E2=Σ[k=0,6](k-(6-k))P(k)=9/2
E3=Σ[k=0,6](k(5-j))P(k)=35/12
E4=Σ[k=0,6](k(6-k))P(k)=35/12
833:１３２人目の素数さん
20/03/14 11:54:58 XpWNijuu.net
>>786
最初の２つは線形性でいける。
3番目は独立性。
暗算で苦しいのは最後だけだな。
黒玉ひとつに着目して取り出される確率がp=7/8。
よって取り出される個数Xの分布はp=7/8, n=6の二項分布。
X^2の期待値は
E(X^2) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k^2=93/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
834:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:02:50 rjLc6zup.net
>>787
残念。|111-11|=100 は平方数になります
835:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:05:48 43XV3aTx.net
おっと脳内で問題変わってたw
E(x(6-x)) = Σ C[6,k)(1/8)^(6-k) (7/8)^k k(6-k)=105/32。
URLﾘﾝｸ(www.wolframalpha.com)
836:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:11:55 CncPdwb0.net
>>784
2×4^nで桶
837:１３２人目の素数さん
20/03/14 12:16:30 xUS1bw+b.net
>>791
確かにそうだった
838:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:53:15 rjLc6zup.net
>>793
お見事、それがあったか
839:１３２人目の素数さん
20/03/14 14:55:15 iH59lf4s.net
>>784
A = {1, c, c^2, c^3, ････| c>2}
c^n - c^m = (c^m) {c^(n-m) - 1},
c^(n-m) > 1, (n>m)
カタラン予想（ミハイレスクの定理) により
c^(n-m) - d^2 = 1 となる d >1 は存在しない。
∴ c^(n-m) - 1 は平方数でない。
c^m と c^(n-m) -1 は互いに素だから | c^n - c^m | は平方数でない。
A = {2, 8, 32, 128, 512, ････} も同様？
840:１３２人目の素数さん
20/03/14 19:40:53.31 joJxF0LZ.net
>>789
シミュレーションで近似してみました。
> balls=rep(1:3,7:5) # 玉の配列 1:赤 2:白 3:黒
> picked=NULL # 取り出された玉の配列
> flag=FALSE # 赤玉が全部取り出されたかのflag
> sim <- function(){
+ while(flag==FALSE){
+ i=sample(length(balls),1) # 配列ballsのindexから１つ選んで
+ picked=c(picked,balls[i]) # そのindex相当の玉をpickedにいれて
+ balls=balls[-i] # ballsの配列から除く
+ flag=sum(picked==1)==7 # 赤玉が全部取り出されたか
+ }
+ # 取り出した白玉の個数
+ a0=sum(picked==2)
+ # 取り出した白玉の個数から残った黒玉の個数を引いた値
+ a1=sum(picked==2)-sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数から残った白玉の個数を引いた値
+ a2=sum(picked==2)-sum(balls==2)
+ # 取り出した白玉の個数と残った黒玉の個数を掛けた値
+ a3=sum(picked==2)*sum(balls==3)
+ # 取り出した白玉の個数と残った白玉の個数を掛けた値
+ a4=sum(picked==2)*sum(balls==2)
+ return(c(a0,a1,a2,a3,a4))
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,sim())
> apply(re[2:5,]
841:,1,mean) [1] 4.627792 4.500442 2.904962 2.916039 > c(37/8,9/2,35/12,35/12) [1] 4.625000 4.500000 2.916667 2.916667
842:１３２人目の素数さん
20/03/14 22:15:14 Qtllr5m8.net
>>790,792
サンクス
期待値の線形性独立性の問題としてちょうど良さげかと
2項分布の分散がnpqということを使えば最後もそれほど難しくはない
V(X)=E(X^2)-E(X)^2=6(7/8)(1/8)=21/32
E(X^2)=21/32+(21/4)^2=903/32
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-903/32=105/32
843:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:06:20 Qtllr5m8.net
>>784
a1=1
a2=min{x>a1 | x-a1≠n^2}=3
a3=min{x>a2 | x-a1, x-a2≠n^2}=6
…
a[n+1]=min{x>an | x-a1,,,x-an≠n^2}
844:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:15:16 Ior9sgvQ.net
>>798
二項分布の分散‥‥そんなのあったあったw
忘却の彼方ww
845:１３２人目の素数さん
20/03/14 23:26:01 Qtllr5m8.net
>>797
後2問シミュレーションと随分違うな
何故？
37/8, 9/2, 105/32, 105/32
を想定
846:１３２人目の素数さん
20/03/15 00:54:39.47 ijdl7Zl+.net
>>801
しまった。
黒玉iが取り出される事象は独立でない。
取り出される事象の特性関数をXiとして
E(Xi)=E(Xi^2)=7/8
i≠jのときE(XiXj)=7/8×8/9=7/9
なので独立ではない。
よってX=ΣXiとすれば
E(X)=6×7/8=21/4
E(X^2)=6×7/8+30×7/9=343/12
E(X(6-X))=6E(X)-E(X^2)=63/2-343/12=35/12
でした。
吊ってくるorz。
847:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:00:29 v+yfiMnW.net
>>802
あー
2項分布じゃないってことか
こりゃ不味いわめんどくさ
848:１３２人目の素数さん
20/03/15 02:03:24.48 v+yfiMnW.net
白黒も独立ではないなあ
こりゃ面倒くさすぎだった
849:１３２人目の素数さん
20/03/15 18:11:23 G3nSul4k.net
シミュレーションでなくて数え上げで計算してみたら>>789が正しそう
850:１３２人目の素数さん
20/03/15 19:35:56.64 63iW3LdD.net
面倒な問題だな
851:１３２人目の素数さん
20/03/15 20:18:17.77 OTl1KJku.net
>>780
黒は無視して、赤白計13個で総当たりで計算してみた。
TEnr <- function(n,r,zero=0,one=1){ # n(=5),r(=3)を指定して 0 0 1 1 1から1 1 1 0 0までの順列行列を作る
f=function(x){
re=rep(zero,n) # 容れ子
re[x]=one # 指定のindexにoneを代入
re
}
t(combn(n,r,f)) # oneを入れる組み合わせに上記関数fを実行して転置
}
TE=TEnr(13,7,0,1) # 0:白 1:赤 13個の並びの行列 1111111000000 から 0000001111111まで13C7(=1716)個
(x=TE[1000,]) # 1000行目のエントリ
f <- function(x){ # 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 -> 2 赤(1)が4個に達すまでの0の数を返す
i4=which(cumsum(x)==4)[1] # 累積和が最初に４になったindexをi4として
sum(x[1:i4]==0) # i4までの白(0)の個数を返す
}
re=apply(TE,1,f)
sum(re)
length(re)
mean(re)
> sum(re)
[1] 5148
> length(re)
[1] 1716
> mean(re)
[1] 3
答は３
852:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:08:54.75 v+yfiMnW.net
>>806
白単独なら2項分布と同じで
白黒などでも線形なら2項分布で計算しても正しい値になるから
単に答えだけ見るのだと
正しい考察の結果かどうか分からないので
これ>>786の第1，2問は悪問だな
第3，4問だけなら2項分布で計算すると正しい答えにならないからこれは良問
853:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:43:58.90 ijdl7Zl+.net
>>808
いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
二項分布の公式は使えないけど例えば第一問なら黒玉iが取られる事象の特性関数をBi、白玉jが取られる事象の特性関数をWjとすれば一問
854:目の求める期待値は E(ΣWj-(5-ΣBi))=ΣE(Wj)-5+ΣE(Xi)=6×7/8-5+5×7/8=37/8。 コレは独立性いらない。
855:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:48:53.64 cWmNKZcu.net
n個からr個を選んで得られる順列の総数をP(n, r)とする. 任意のr>1に対して, P(n, r)は平方数でないことを示せ.
856:１３２人目の素数さん
20/03/15 22:53:22.66 ijdl7Zl+.net
エルデシュktkr
857:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:26:55 xw7qN3/R.net
>>809
>いや、期待値の線形性は別に独立性は必要ないので問題ないよ。
それは分かってる
だからこそ2項分布で解いてしまっても間違いが分からないのが悪問ってコトだよ
858:１３２人目の素数さん
20/03/16 00:31:06 xw7qN3/R.net
>>812
>それは分かってる
もともと白－黒と白－白にしたのは独立性に関係しないことを認識しているかどうかを主眼としたかったから（白と黒が独立と思ってた）
独立線形
非独立線形
独立非線形
非独立非線形
で4題にできて上手く行ったと思ってた
悔しい
859:１３２人目の素数さん
20/03/16 06:19:30 FQrBPIz6.net
A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
860:１３２人目の素数さん
20/03/16 08:51:01.03 CVVw1pKV.net
>>814
総当たりで計算
# A,A,A,B,B,C,D,E,F,Gの10文字を並べるとき、どこかで同じ文字が隣り合う確率を求めよ（東北大・改）
library(gtools)
v=rep(1:7,c(3,2,rep(1,5)))
pm=try(permutations(10,10,v,set=F))
tail(pm)
f <- function(x){
n=length(x)
flg=FALSE
for(i in 1:(n-1)){
if(x[i]==x[i+1]){
flg=TRUE
break
}
}
return(flg)
}
(x=pm[10000,])
re=sum(apply(pm,1,f))
library(gmp)
N=nrow(pm)
as.bigq(re/N)
re/N
Big Rational ('bigq') :
[1] 1388609885105903/2251799813685248
> re/N
[1] 0.6166667
861:１３２人目の素数さん
20/03/16 09:32:03.26 6K81jsqz.net
同じ文字が一度も隣合わないような場合の数を考える。
そのためにCDEFGを全てXで置き換え、『AとBは一度も隣合わない』ような場合の数を考える。
（つまりXだけは隣り合っても良い）
AとBだけに着目した時の並びが
(1)AAABBである時、最低でも AXAXABXB というスペースの空け方が必要。
このAとBで区切られた６つの区間に残りの二つのXが入るから、求める場合の数は 7C2=21.
(2)AABABである時、最低でも AXABAB というスペースの空け方が必要。
６つの区間に残りの四つのXが入るから、求める場合の数は 9C4=126.
…
以上のように計算を進めると、求める場合の数の合計は
2*7C2 + 3*8C3 + 4*9C4 + 10C5 = 966
A,B,Xの並べ方の総数は 10C5 * 5C2 = 2520 であるから、求める確率は
966/2520 = 23/60.
ゆえに元々の問の答えは 1-23/60=0.6166666…
862:１３２人目の素数さん
20/03/16 12:00:30.78 ktTTjCEF.net
半径1の球面上の4点を一様独立に選ぶとき、その4点の凸包の体積の期待値を求めよ。
863:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/16 18:51:48 thhgKhx4.net
／∥__`∥￣￣∥ ｡◯゜
∥∩∩ ∥ □ ∥ ﾟ｡
（(-_-)∥ ∥______
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥∩∩╂
＼■υυ■___∥_ _))⌒つ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>817前>>779
凸包の期待値=(4π/3)1^3=4π/3=4.1887902……
864:１３２人目の素数さん
20/03/17 02:08:40.83 Rdjv/Owr.net
>>817
4π/105
865:イナ
20/03/17 05:19:54.91 jcKSZR9M.net
てつはう。前>>818最初見た人鉄砲とよう読
866:んだなぁ。 凸包は正四面体なのか、4点を包む最小の球なのか。
867:１３２人目の素数さん
20/03/17 07:53:05.59 Ze9EuNOD.net
>>820
四面体で１００万回シミュレーションして平均値をだしてみた。
vertices <- function(r=1){
a=runif(2,-pi,pi) # 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
theta=a[1]
phi=a[2]
x=r*sin(theta)*cos(phi)
y=r*sin(theta)*sin(phi)
z=r*cos(theta)
c(x,y,z) # 直交座標を返す
}
sim <- function(r=1){
vectors=replicate(4,vertices(r)) # ４点の直交座標
abs(det(vectors[,2:4]-vectors[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e6
re=replicate(k,sim())
mean(re)
> mean(re)
[1] 0.1069067
868:１３２人目の素数さん
20/03/17 09:10:52.71 Ze9EuNOD.net
球の場合（最小球か否かは考慮せず）の１０万回シミュレーションの平均値
library(nleqslv)
Abs <- function(x) sqrt(sum(x^2))
sphere <- function(CR){ # CR:Center,Radius
C=CR[1:3]
R=CR[4]
v4=replicate(4,vertices())
c(
Abs(v4[,1]-C),Abs(v4[,2]-C),Abs(v4[,3]-C),Abs(v4[,4]-C)
)-R
}
sphere(1:4/10) # example
sim2 <- function(){
r=nleqslv(1:4/10,sphere)$fvec[4] # 初期値 1:4/10 c(0.1,0.2,0.3,0.4)
4/3*pi*r^3
}
sim2()
k=1e5
re=replicate(k,sim2())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.8112
869:１３２人目の素数さん
20/03/17 10:56:05.58 jkHV1VNx.net
>>822
その数値の厳密値を
870:１３２人目の素数さん
20/03/17 11:25:44 Xb0J7ujj.net
>>821
＞# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
経度緯度を一様分布にしたら極に分布が偏らないかい？
871:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:05:03.60 k85T9ON2.net
>>824
グラフにしてみました。
ご指摘どおり、偏りがでました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
872:１３２人目の素数さん
20/03/17 12:52:38.52 jkHV1VNx.net
>>825
全然ダメだね
873:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:24:44.75 k85T9ON2.net
>>824
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外して、北半球と南半球は1/2ずつ分配して乱数発生させてみた。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
こっちの方が一様分布っぽいな。
874:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:29:03.21 k85T9ON2.net
>>827
これで10万回シミュレーションして、凸包は球（最小球の考慮なし）としてみると
k=1e5
re=replicate(k,sim3())
mean(re)
> mean(re)
[1] 1.800846
という値がでてきた。
875:１３２人目の素数さん
20/03/17 13:59:08.56 jkHV1VNx.net
>>827
だめでしょ
xyzで外と原点は切ってそれ以外は正規化はどうかなあ
これでもダメかも知らんが
876:１３２人目の素数さん
20/03/17 14:27:38.49 jkHV1VNx.net
θφで面素密度に合わせて乱数にしたら良いと思う
dS=cosθdθdφなのでθという値を取る確率をcosθにする
つまりzθの長方形で乱数発生させてz>cosθは除外してθを取る
dV=dxdydz=rdrdSだから
xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
877:１３２人目の素数さん
20/03/17 14:30:18.93 jkHV1VNx.net
dV=drdS
rは余計だったが言わんとするところは分かろう
878:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:38:54.16 k85T9ON2.net
>>830
それを実装してみました。
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 曲座標から直交座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
vtx=replicate(5000,vertex())
x=vtx[1,]
y=vtx[2,]
z=vtx[3,]
rgl::plot3d(x,y,z, col="slateblue")
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
879:１３２人目の素数さん
20/03/17 17:54:56 k85T9ON2.net
>>832
これで4�
880:_発生させて4点を通る球の半径を連立方程式を計算機に解かせて 体積の10万回の平均をとると > k=1e5 > hull=replicate(k,sim()) > mean(hull) [1] 1.160583 という結果になった。 あまり、自信がない。 解析解は賢者にお任せ。
881:１３２人目の素数さん
20/03/17 19:33:25.26 Tm+KNX4Y.net
半径１の球に内接する正四面体の体積は 8/(9√3) = 0.5132..
>>817の解はこれより小さい（はず）
882:１３２人目の素数さん
20/03/17 20:40:37.39 k85T9ON2.net
>>834
vertex <- function(r=1){ #緯度φ周りの帯の面積に応じて一様分布
theta=runif(1,-pi,pi) # 経度θ
p=sqrt(runif(1)) # 分布確率pを一様分布にする
phi=asin(2*p-1) # 確率がpになる緯度φ
x=r*cos(phi)*cos(theta) # 極座標から直座標に
y=r*cos(phi)*sin(theta)
z=r*sin(phi)
c(x,y,z)
}
で、球の表面から４点を取り出して
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
で１０万回シミュレーションしたら
k=1e5
tetra=replicate(k,sim())
mean(tetra)
summary(tetra)
こんな結果
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000006 0.0242839 0.0645573 0.0928661 0.1361202 0.5035962
最大値は8/(9√3) = 0.5132..以下になっている
883:１３２人目の素数さん
20/03/17 21:18:37 k85T9ON2.net
こっちの方がx,y,zともに一様分布になっている。
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
これでやってみると、四面体の場合
> mean(tetra)
[1] 0.1201118
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000003 0.0372266 0.0922805 0.1201118 0.1794858 0.5104545
884:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:43:27.26 jkHV1VNx.net
>>836
>x,y,zともに一様分布
ではダメだろ
球面上に一様に分布するのなら
x座標は√(1-x^2)の確率密度となる
885:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:51:51.42 jkHV1VNx.net
あーそうか
st正方形でsとtと一様ランダムに点を得て
原点中心の円の外にあれば棄て
内部にあればそのs座標を取ることで
確率密度√(1-s^2)の分布でランダムに取れる
これでxyzをそれぞれ取ってやればいい
あーダメか独立に取ったら球面上に来ないな
じゃあこれでxを取ってyzはcosθsinθでθを一様ランダムに取れば良いや
886:１３２人目の素数さん
20/03/17 22:53:39.72 jkHV1VNx.net
y,zは√(1-x^2)cosθ,√(1-x^2)sinθで
887:１３２人目の素数さん
20/03/17 23:09:55.33 jkHV1VNx.net
>>837
あー間違いか>>836で正しいやスマン
888:１３２人目の素数さん
20/03/18 04:39:06 LbXnfiiv.net
<V> = 1/6 = 0.16667 だったら >>834 の要求を満足するんだが････
889:１３２人目の素数さん
20/03/18 09:41:40 POVuSFx0.net
某イベントで紹介された問題の同値な改題
整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ
890:イナ
20/03/18 12:22:31.26 /PMjHzs1.net
＼＼＼＼＼`∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _))`⌒つ`
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`原点を頂点とした三角錘が4つ集まった四面体の体積は、
V=(4/3)Sh
h=1/3(∵球の半径=1)
S=(√3/4)a^2とすると、
底面の中心から底辺までの距離はピタゴラスの定理より、
√{1^2-(1/3)^2}=2√2/3
正三角形の高さは√2
a=√2(2/√3)
=2√2/√3
S=(√3/4)(2√2/√3)^2
=(√3/4)(8/3)
=2√3/3
前>>820
V=(4/3)(2√3/3)(1/3)
=8√3/27
=0.513200239……
ここまではわかった。
1点目が任意で、2点目をうまくとる確率は後回し、3点目をうまくとる確率も後回し、4点目をうまくとる確率は1/2
2点目と3点目は1と1/2のあいだじゃないとだめだと思うから、
3点目をうまくとる確率が2/3で2点目をうまくとる確率が3/4なら、
すべてうまくとる確率は1/4
V/4=2√3/27
=0.12830006……
891:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:27:28 Tu49ygg5.net
>>836
数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
x1,x2,x3～Norm(0,1) で r=√(x1^2+x2^2+x3^2)として
(x1/r,x2/r,x3/r)が単位球面の一様分布になるという。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
Marsaglia(1972)
URLﾘﾝｸ(projecteuclid.org)
実装してみた。
図示すると>836と同じく、x,y,zが一様分布して、球面の一様分布しているようにみえる。
vertex <- function(){ # xi ~ Norm(0,1) , xi/√(Σxi^2)
v=rnorm(3,0,1) # 正規分布N(0,1)する３個からなるベクトル v
v/sqrt(sum(v^2)) # v の長さで割る
}
vtx=replicate(5000,vertex())
par(mfrow=c(3,1))
x=vtx[1,] ; hist(x,col='pink')
y=vtx[2,] ; hist(y,col='orange')
z=vtx[3,] ; hist(z,col='darkgreen')
rgl::plot3d(x,y,z, col='slateblue')
par(mfrow=c(1,1))
# 四面体の体積
sim <- function(r=1,print=F){
v4=replicate(4,vertex()) # ４点の直交座標
if(print) print(v4)
abs(det(v4[,2:4]-v4[,1]))/6 # 四面体の体積
}
k=1e5
tetra=replicate(k,sim()) # k回のシミュレーション
mean(tetra)
summary(tetra)
BEST::plotPost(tetra)
期待値も分布もほぼ同じ。
> mean(tetra)
[1] 0.119512
> summary(tetra)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0000001 0.0368084 0.0918738 0.1195120 0.1789221 0.5093198
四面体の体積の分布も同様でこんな分布。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
892:１３２人目の素数さん
20/03/18 14:45:48 kt0eelvd.net
>>844
>数理はさっぱりわからないんだが、Wikipediaによれば正規分布に従う３変数から球面の一様分布座標が作れるらしい。
独立に取ったときの確率密度がe^-(x^2+y^2+z^2)みたいなrのみの関数に比例するからだな
でも>>836でいいと思うし
関数の近似による偏りみたいなのを気にするなら
>>829でも球の外を除外した後の考え方はそのWikipediaのと同じだし
893:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:06:17 Tu49ygg5.net
３次元化座標が球面の一様分布することは、図示してイメージするほかに、どうやったら検証できるのだろう？
球面上の任意の一定面積に含まれる数が一定であるのを確認する方法が思いつかない。
こういうデータが一様分布かどうかは確認できるだろうか
x y z
[1,] 0.4090696 -0.06240392 0.9103669
[2,] -0.1452435 -0.97420684 0.1727002
[3,] -0.1082045 0.53218504 0.8396850
.....
.....
x y z
[4998,] 0.6609463 -0.096259265 -0.7442340
[4999,] 0.5669702 0.758929767 -0.3202661
[5000,] 0.8944673 -0.008481795 -0.4470530
894:１３２人目の素数さん
20/03/18 15:16:53 kt0eelvd.net
>>846
ｘθとかθφで分割して点の数を数えて面積で割ったら？
十分細かく分割を取っておいて
サンプル点を十分多く取っていけば
大数の法則で
期待した値にぐいぐい集まってくるはずだし
895:１３２人目の素数さん
20/03/18 16:16:35.57 Tu49ygg5.net
>>847
レスありがとうございます。
x,y,z を 極形式にして⊿θ ⊿φの範囲にある数が一様かどうかみればいいんだな。
896:１３２人目の素数さん
20/03/18 21:31:14.71 Tu49ygg5.net
直交座標から極座標のθφを出して、それをグラフにしてみました。
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
両端が疎に見えます。
グリッドを作ってそこに含まれる点を数えてその分布をみればいいのかな？
どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
897:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:13:20 HdgduOXs.net
辺の長さが
898:全て有理数の多角形において、少なくとも2つ以上の内角[rad]は無理数であることを示せ.
899:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:36:55 KrhQLEng.net
>>848
ΔθΔφの囲む面積はcosθ ΔθΔφだよ
θが南北でΔθの幅の中央の値ね
点の個数をこれで割らないと一定にならない
ΔθΔφが一定ならcosθで割れば良い
900:１３２人目の素数さん
20/03/19 01:48:15 mXsnD9nM.net
>>819
0.1196797201367540････
901:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:03:39 KrhQLEng.net
>>849
>どの程度のばらつきなら、一様分布とみなせるのかと考えるとふりだしに戻る気がする。
Δθ=π/n
Δφ=2π/m
つまり球面をnm個の領域に分割した場合（m,n固定）
一様分布ならサンプルN点でその領域内にあるのはNπcosθ/2mn個だろうから
数え上げてM点ならΣ(M-Nπcosθ/2mn)^2/mnがN→∞で次第に0に近づく（大数の法則）ことを見るとか？
902:１３２人目の素数さん
20/03/19 02:07:37.40 KrhQLEng.net
>>849
>両端が疎に見えます。
横軸がθとすると
縦方向にcosθを掛けて点をプロットすれば良い
それで0≦φ≦cosθの領域内に均一に見えたらOK
903:１３２人目の素数さん
20/03/19 08:37:27 XGan5JrS.net
>>849
これって>821と逆のことをやっているだけのような気がするな。
一様分布する球面上の点を極形式で表示したときに緯度・経度が一様分布はしないんだろうな。
904:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:28:52 XGan5JrS.net
>>854
数理を理解できないままにグラフ化すると
plot(θ,φ*cos(θ),bty='n',pch='.',xlab='θ(北極点からのラジアン)' ,,ylab='φ（経度)*cos(θ）')
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
理解が足りないので断念。
905:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:32:03 KrhQLEng.net
>>856
θを北極点からのにするなら
sinθ掛けて
906:１３２人目の素数さん
20/03/19 09:35:45 KrhQLEng.net
>>855
極に近い方がずっと狭くなるからね
球面の表面積は円柱の側面積と同一であるという
2000年前から知られている原理からすると
xyzに落とし込んでもそれぞれの座標上で一様分布になる
これは>>836の
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
907:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:39:50.31 BW7TgbOd.net
>>850
リンデマンの定理より有理数q≠0に対して e^(iq) が超越数であることから従う
908:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:52:58.05 XGan5JrS.net
>>857
θとφの定義は下図に準拠
URLﾘﾝｸ(physics.thick.jp)
rm(list=ls())
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
# 直交座標を極座標に
c2p <- function(xyz){ # (x,y,z) -> (θ,φ) Cartesian 2 Polar
x=xyz[1];y=xyz[2];z=xyz[3]
r=sqrt(x^2+y^2+z^2) # =1になるx,y,zの組合せ
theta=acos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) # = acos(z) [0,π]の値
phi=ifelse(y>0,acos(x/sqrt(x^2+y^2)), # y>0ならφ < π
2*pi-acos(x/sqrt(x^2+y^2)))# y<0ならφ > π
c(theta,phi)
}
n=1e5
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
vtx=replicate(n,vertex()) # n個の点を作る
v=t(vtx) # 転置してn行３列(x,y,z)に
head(v,3) ; tail(v,3)
vp=apply(v,1,c2p) # 各行毎にx,y,z -> θ,φに変換
tp=t(vp) # theta θ, phai φ 転置してn行2列(θ,φ)に
fn <- function(x){ # 0<=φ & φ<=sin(θ)を満たすかを返す
θ=x[1]
φ=x[2]
0<=φ & φ<=sin(θ)
}
tp1=tp[apply(tp,1,fn),] # fnがTRUEになるθ,φを抽出して
θ=tp1[,1]
φ=tp1[,2]
plot(θ,φ*sin(θ),bty='n',pch='.', xlab='θ(北極点からのラジアン)',ylab='φ（経度)*sin(θ)')
# グラフ化
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
正弦波が描出されただけのような
909:？
910:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:54:23.75 /Ts8dWJZ.net
>>859
素晴らしい
正解です
911:１３２人目の素数さん
20/03/19 10:58:32.26 XGan5JrS.net
>>852
>844のシミュレーション結果に相当する結果ですね。
計算法はさっぱり思いつかないけどｗ
912:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:39:41 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
点の密度が正弦波の下でどこでも一定に見えるでしょ
だから球面上で一様分布だってことだよ
さらに厳密性のために
点の密度が一定かどうかを検定するには
十分細かく分割して
一様分布なら1つの区画内にあるはずの点の個数の平均を計算しておいて
それと実測値との差の2条の平均（分散）でできるんじゃないかなあ
913:１３２人目の素数さん
20/03/19 13:43:34 KrhQLEng.net
>>860
>正弦波が描出されただけのような？
あれ？
正弦波の0～πの部分と違うな
上に凸なのに両端近くに変曲点がある
なんで？
914:１３２人目の素数さん
20/03/19 14:42:09.63 lL/ZGWr/.net
任意の実数に到達できるような関数電卓は存在するか？
関数電卓は、入力は整数で有限個の関数を持っており計算速度は無限大であるとする。
915:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:40:30 XGan5JrS.net
球面に一様分布らしき点を5000個発生させて、
各々の点でθが5°の球冠面にその点以外にどれだけの点が含まれるかを算出させてみた。
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
中央値9 平均9.56 標準偏差3.14という値になった。
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.000 7.000 9.000 9.556 12.000 23.000
[1] 3.148086
ヒストグラムだと
URLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
# 球面一様分布 c(x,y,z)
vertex <- function(r=1){
x=runif(1,-1,1) # x ~ 一様分布[-1,1]
phi=runif(1,-pi,pi) # φ ~ 一様分布[-π,π]
y=sqrt(1-x^2)*cos(phi) # √(1-x^2)*cos(φ)
z=sqrt(1-x^2)*sin(phi) # √(1-x^2)*sin(φ)
r*c(x,y,z)
}
n=5000
vtx=t(replicate(n,vertex())) # n個の点x,y,zをつくる
rgl::plot3d(vtx[,1],vtx[,2],vtx[,3], col="slateblue")
Theta=(pi/180)*5
onCap <-function(x,y,theta){
acos(x %*% y) < theta # ベクトルの内積の逆余弦がtheta未満なら球冠上にある
}
hmonCap<- function(j){
count=0
for(i in (1:n)[-j]){
count = count + onCap(vtx[j,],vtx[i,],Theta)
}
return(count)
}
dots=sapply(1:n,hmonCap)
summary(dots) ; sd(dots)
hist(dots) ; table(dots)
BEST::plotPost(dots)
916:１３２人目の素数さん
20/03/19 16:45:37 XGan5JrS.net
極に分布が偏る
# 角度Θ,Φを一様分布で選らんで
だと
> summary(dots) ; sd(dots)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0 6.0 10.0 18.7 17.0 139.0
[1] 26.50699
標準偏差が大きいので一様とは呼べない。
ヒストグラムを描くとURLﾘﾝｸ(i.imgur.com)
917:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:03:25 XGan5JrS.net
>>863
球面上の面積を一定にしてグリッドを描いてその中の点を数えるプログラムはできそうにないので断念して、
上記のように散布した点の周りに何個の点があるのかを数えるのに変えました。
色々と助言ありがとうございました。
918:１３２人目の素数さん
20/03/19 17:07:02 XGan5JrS.net
>827の
正方形内で乱数x,yを発生させて r^2-(x^2+y^2)が負になるのは除外だと
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.00 9.00 13.00 12.58 16.00 33.00
[1] 5.694825
標準偏差5.69と前二者の間になった。 まあ、直感と合致した感じ。
919:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:05:16 KrhQLEng.net
>>819
計算教えて
920:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:13:01 uD33tvXq.net
>>869
単位球の表面積は4π。この球を平面で切り、（切断面を除く）表面積を3πとπに分けるためには、
平面と球の中心の距離はいくらか？ 答えは
y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
球と平面の距離が1/2なら、切断面の半径は(√3)/2
このことから、球面上を一様に分布した点があり、それを、赤道面上に投影すると、
半径(√3)/2の円内に半分の点があり、その外側のドーナツ型の部分に半分の点がなければならない。
>>827 の方法では、半径(√2)/2の円の内外で二分されるため、球面上を一様に分布した点とはならないと思われる。
ではどうすればよいかというと、[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
というのが、シンプルだと思われる。
921:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:41:52 KrhQLEng.net
>>830
>xyzで球の外を除外して正規化しても本質は同じだな
これね
スマン意図伝わってなかったかも知らん
922:１３２人目の素数さん
20/03/19 19:49:41 uD33tvXq.net
>>871
一行の中に、二カ所もひどい間違いしてました。訂正します。
×：y=√(1-x)^2、π=∫[a,1]2πy√(1-(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
○：y=√(1-x^2)、π=∫[a,1]2πy√(1+(dy/dx)^2)dx を解いて、a=1/2
923:１３２人目の素数さん
20/03/19 20:45:46.04 XGan5JrS.net
>>871
[-1,1]の一様乱数x,y,zを発生させ、
x^2+y^2+z^2が1を超えたら破棄、1以下なら、X=x/r、Y=y/r、Z=z/r、r=√(x^2+y^2+z^2)
でやってみました。
>866とほぼ同じ平均と標準偏差になりました。
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
1.000 7.000 9.000 9.585 12.000 24.000
[1] 3.193939
924:１３２人目の素数さん
20/03/19 21:44:15 uD33tvXq.net
球面を、二つの平面、x=aとx=a+hでカットしたときの帯状の曲面の面積は、
カットする位置によらず、幅hにのみ依存します。
>>866はこの性質を利用した方法なので、球面一様分布を生成する正しい方法だと思います。
一方、>>827の方法は、正しくないという指摘です。
925:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:30:46.19 nprfnGEx.net
数aの問題です。
【300人を対象に「二つのテーマパークpとqに行ったことがあるか」というアンケートをおこなったところ、pに行ったことがある人が147人、qに行ったことがある人が86人、どちらにも行ったことのない人が131人であった。
（１）両方に行ったことのある人の数を求めよ。
（２）どちらか一方にだけ行ったことのある人の数を求めよ。】 という問題です。答えを見てもなかなか理解が出来ませんでした。
926:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:42:24.02 8QNcFC1P.net
↑の問題書く板を間違えてしまいました。失礼しました。
927:１３２人目の素数さん
20/03/19 23:43:46.42 8QNcFC1P.net
↑板ではなくてスレです。初心者のため用語がごちゃごちゃになってしまいました。何度も失礼しました。
928:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:03:06.45 p5Mf5Wxl.net
>>876
(1)147+86-(300-131)=64
(2)147-64=83 86-64=22から83+22=105
答が理解できない理由が謎。
929:１３２人目の素数さん
20/03/20 00:11:49.72 p5Mf5Wxl.net
>>875
緯度でθ+Δθでやると帯の面積はΔθだけなくてθの値にも依存しますね。
930:イナ
20/03/20 01:13:13.31 8G8tjVXV.net
前>>843
>>817
面白い問題と言うからにはこのぐらいのことは起こらないとね。
半径1の球に内接する正四面体の一辺をaとして、
その体積はa^3√2/12
4つの頂点を無作為にとったとき、凸包の体積Vはちょうど一辺が1の正四面体の体積になるとか。
a=1のときV=√2/12
=0.11785113……
931:１３２人目の素数さん
20/03/20 03:34:41 BTmsQo5f.net
>>881
稀代の馬鹿
932:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:33:36.40 5OgbmOf4.net
>>772
面白い問題おしえて～な 31問目
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:859番)
933:１３２人目の素数さん
20/03/20 05:34:37.30 5OgbmOf4.net
誤爆orz
934:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 06:59:12 8G8tjVXV.net
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､/､＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`前>>881＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>817 (1/2)^3=1/8=0.125 ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
935:イナ
20/03/20 07:55:00.46 8G8tjVXV.net
前>>885
∵半径1の球表面にA,BをとるときABは0～2の値を無作為にとるが、そのあいだを動かしたときもっともとり得る値はAB=√2
同様にAC=√2,BC=√2
もっともとり得る
936:△ABCの面積は、 △ABC=(√3/4)(√2)^2 =√3/2 △ABCの重心をGとして、 四面体ABCDの△ABCを底面とした頂点Dの高さDGは0も含めいろいろな値を無作為にとるが、もっともとり得る値は、球の中心をOとしてOGと等しい。 つまり四面体ABCDの体積のもっともとり得る値は、3つの稜線のおのおのが直交し長さが1の三角錘の体積と等しい。
937:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/20 08:04:52 8G8tjVXV.net
前>>886訂正。
>>817
四面体ABCD=(1/3)(1/2)･1
=1/6
=0.166……
∵>>886
938:１３２人目の素数さん
20/03/20 18:27:18 lC3HBZ24.net
888げとー (パチスロか?)
>>887
OA,OB,OCが直交すればOABCの体積は 1/6
>>841 と一致･･･ (正しくはなかろうが)
939:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/21 10:38:50 gmytXLCF.net
∥∩∩ ∥ □ ∥○?∇
（(-_-)∥ ∥Δ>>888
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つﾞ
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`球表面にもっともとり得る2点目、3点目を順にとると任意の2点は球の中心に対して直角になる。
前>>887あとは4点目をどうとるか。3点で決まる平面と平行な、球体を切った任意の円盤の中で、もっともとり得る円盤は球の中心を通るやつ。この円盤と球表面の共有線である円周上に4点目があるときの四面体の体積は、稜線が直角な三角錘と同体積。
稜線の長さは球の半径=1だから三角錘の体積(1/3)Shは、
(1/3)(1/2)･1=1/6
=0.166……
あってると思うけど。
940:１３２人目の素数さん
20/03/21 19:43:53 4jcynL59.net
>>817
数値積分による解
In[1]:= S[t1_,t2_,p_] := Simplify[Norm[Cross[{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[
t1]}-{0,0,-1},{Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]}-{0,0,-1}]]/2]
In[2]:= d[t1_,t2_,p_] := Simplify[Det[{{Cos[t1]Cos[+p],Cos[t1]Sin[+p],Sin[t1]},{
Cos[t2]Cos[-p],Cos[t2]Sin[-p],Sin[t2]},{0,0,-1}}]/(2 S[t1,t2,p])]
h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+Integrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/2}]]
In[3]:= h[d_] := Simplify[(Integrate[Cos[t3](d-Sin[t3]),{t3,-Pi/2,ArcSin[d]}]+In
tegrate[Cos[t3](Sin[t3]-d),{t3,ArcSin[d],Pi/2}])/Integrate[Cos[t3],{t3,-Pi/2,Pi/
2}]]
In[4]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]h[d[t1,t2,p]]S[t1,t2,p]/3,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,
Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}]/Integrate[Cos[t1]Cos[t2],{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-
Pi/2,Pi/2}]
Out[4]= 0.11968
941:イナ
20/03/21 21:28:05.69 gmytXLCF.net
前>>889
>>881少数第三位を四捨五入すると、
V=0.12
942:１３２人目の素数さん
20/03/21 22:05:25 RyI2Q/uv.net
>>891
少数第1位を四捨五入すると、V=0
943:１３２人目の素数さん
20/03/22 10:38:19 fXf64y18.net
>>890 の式を整理して精度を上げてみる
In[1]:= NIntegrate[Cos[t1]Cos[t2]
(2(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2)
/(24Pi Sqrt[(Sin[2p]Cos[t1]Cos[t2])^2+(Cos[p](-Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1-t2]))^2+(Sin[p](Cos[t1]+Cos[t2]+Sin[t1+t2]))^2])
,{p,0,Pi/2},{t1,-Pi/2,Pi/2},{t2,-Pi/2,Pi/2}, WorkingPrecision->12, PrecisionGoal -> 11]
Out[1]= 0.119679720136
944:１３２人目の素数さん
20/03/23 03:30:35 uvHIelYA.net
これってパソコンなしでは解けませんよね？
【富山県最強伝説】新型コロナウイルスPCR検査件数 54人 陽性0人
ｽﾚﾘﾝｸ(newsplus板)
ある集団から54人を無作為に選んでPCR検査したら陽性0であったとして
PCR検査の感度0.7 特異度0.9としてこの集団の有病率の期待値と95%信頼区間を求めよ。
945:１３２人目の素数さん
20/03/23 11:46:03 MEkmhbu9.net
>>893
数値的にしか解けないの？
946:１３２人目の素数さん
20/03/23 15:15:51 9TP9mpqz.net
Rの標準ライブラリは抽象代数計算ないから標準ライブラリだけなら数値積分しかできないだろな。
947:１３２人目の素数さん
20/03/23 15:27:44 mjeu1Sts.net
>>895
前計算してた人�
948:盾驍� 確率密度関数与えられるから あとは体積の計算して平均出すだけだけど 式は書けても計算ができそうもない
949:１３２人目の素数さん
20/03/23 22:00:13.53 GiYqQssY.net
半径1の半円の内部に閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ
950:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/23 23:31:07 dYUW2zOC.net
前>>891
>>898
閉曲線で囲まれた領域が楕円のとき、
短軸1,長軸1/√2
面積π(1/2)(1/√2)
=π/2√2
周長2π√(1/2)√(1/√2)
=π√√2
面積/周長=1/2√2･√√2
=0.297301779……
蛹で越冬する感じか。
951:１３２人目の素数さん
20/03/23 23:36:36 GiYqQssY.net
>>899
不正解
それなら半円そのもの
π/(2(π+2))=0.3055...
の方が大きい
952:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/23 23:44:31 dYUW2zOC.net
前>>899
>>900半円は直線が入ってるら。不適だに。
953:１３２人目の素数さん
20/03/23 23:53:47.84 HQzFbrB9.net
>>901
いくらでも半円に近づけるから比が0.3055...に近い閉曲線が描ける
よって>>899は最大値ではない
でも内部だと確かにsupはあってもmaxが無いことになってしまうので>>898は改題します すみません
「半径1の半円の部分集合として閉曲線を描く
このとき(閉曲線が囲う領域の面積)/(閉曲線の長さ)の最大値を求めよ」
ただし、ここで言う半円は{(x,y)∈R^2 | x^2+y^2≦1 ,y≧0}のことです
954:１３２人目の素数さん
20/03/24 00:23:44 bCLJqQcJ.net
l = (sinθ/(1+sinθ))(θ+π/2) + (sinθ'/(1+sinθ'))(θ'+π/2) + cosθ/(1+sinθ) + cosθ'/(1+sinθ') + (π-θ-θ')
S = (θ/2)(sinθ/(1+sinθ))^2 + (θ'/2)(sinθ'/(1+sinθ'))^2 + (1/2)sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + (1/2)sinθ'cosθ'/(1+sinθ')^2 + (π-θ-θ')/2
maximize S/l where θ,θ'≧0, θ+θ'≦π
sssp://o.5ch.net/1mukb.png
955:１３２人目の素数さん
20/03/24 01:36:19.20 TnHQvRcs.net
>>896
レスありがとうございます。
こういうアルゴリズムになるのかと愚考しています。
事前分布を選択する（例. 有病率は高々10%として(0.0.1]の一様分布とする)、
陽性確率は真陽性確率と偽陽性確率の和、
陽性数はこの確率で二項分布、
956:１３２人目の素数さん
20/03/24 02:07:58.87 cfg1hqI2.net
>>897
具体的には球面上の2変数の座標系stがあって
st平面上の領域Dと球面が(x,y,z)=f(s,t)で対応しているとき
球面上の一様分布を与えるst2変数の密度関数g(s,t)が存在し
dS/4π=g(s,t)dsdt
となる
頑張ればf,gは具体的な式で与えることは出来る
球面上の4点をp1=f(s1,t1)・・・p4=f(s4,t4)で表して
これら4点を頂点とする4面体の体積を表す関数V(p1,p2,p3,p4)を
何とか式で表せはするから
∬∬∬∬V(f(s1,t1),・・・,f(s4,t4))g(s1,t1)・・・g(s4,t4)ds1dt1・・・ds4dt4
を計算したら良いだけ
957:イナ
20/03/24 02:44:18.74 G+Ea7M2l.net
前>>901
>>902
y軸を挟んで(0,0)に中心をあわせた半径1,中心角45°の扇形を1対並べ、それを両サイドから挟むように半径1/2,中心角45°の扇形を並べ、その左右端に半径1/4,中心角45°の扇形を弧が滑らかにつづくようにくっつけて並べ、
(0,1),(±1/√2,1/√2),(±1/2±1/2√2,1/2√2),(±3/4√2±1/4,1/4√2),(0,0)の8点が滑らかにつづくように結ぶ。
点(0,0)を挟む円弧の中心を(0,t),中心角をθとおくと、
正弦定理より、
sinθ=(3/2√2+1/2)/2t
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積をsとおくと、
面積/周長=(π/4+π/16+π/64+s)/{π/2+π/4+π/8+2πt(θ/2π)}
=(21π/64+s)/(7π/8+tθ)
=(21π/64+s)/{7π/8+(1+√2)(3/4)θ}
=(21π/8+8s)/{7π+6(1+√2)θ}
=(21π+64s)/{56π+48(1+√2)θ}
sは扇形半分から三角形を3つ引いて2倍で出る。
θを度数のまま代入してよいかは気になる。
958:１３２人目の素数さん
20/03/24 06:11:35.52 MOWxPvKi.net
>>903
Sの式で (θ/2) の所は (θ+π/2)/2、 (θ'/2) の所は (θ'+π/2)/2 では？
Steinerに習って対称性を仮定しますた。
l(θ) = 2(θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)} + 2cosθ/(1+sinθ) + π -2θ,
S(θ) = (θ+π/2){sinθ/(1+sinθ)}^2 + sinθcosθ/(1+sinθ)^2 + π/2 -θ.
θで微分して
(d/dθ)(S/l) = {2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ)}{π･cos(2θ) -sin(2θ) -2θ}
／{4(1+sinθ)(π/2 -θ +π･sinθ +cosθ)^2},
ここで
2 - (θ+π/2)cosθ/(1+sinθ) >0, (0<θ<π)
だから
π･cos(2θ) - sin(2θ) -2θ = 0,
θ = 0.4827200003884401212939116114621300267
このとき最大値
(S/l)max. = 0.31702857011315030244270875179918713
これは、半円の値 π/(2(π+2)) = 0.3055077351758286 >>900
より大きい。
959:１３２人目の素数さん
20/03/24 06:37:12.28 MOWxPvKi.net
(補足)
θ｡ = 27.65781870881107747733891798287807ﾟ
(S/l)max. = (小円の半径) = sinθ｡/(1+sinθ｡)
= 0.31702857011315030244270875179918713
(原点～中心の距離) = 1/(1+sinθ｡)
= 0.68297142988684969755729124820081287
960:１３２人目の素数さん
20/03/24 07:06:20.74 cfg1hqI2.net
>>905
まあ1点は固定して考えて良いし
2点目も1点目を通る大円で考えて
その上で一様分布で取れば良い(1次元)
3点目は半球内で一様に取るかな(2次元)
4点目は球上で一様に(2次元)
積分は5変数でよいかな
961:１３２人目の素数さん
20/03/24 07:29:45.50 MOWxPvKi.net
(続き)
l(θ｡) = 1.48625008894369638043092594627639431
S(θ｡) = 4.68806356604781887658254751068492774
S/l = 0.31702857011315030244270875179918713
また、θ=30° のとき
(小円の半径) 1/3,
(原点～中心の距離) 2/3,
l(30°) = 2(3√3 +5π)/9 = 1.472358208
S(30°) = (3√3 +11π)/27 = 4.645359042
S/l = (3√3 +11π)/{6(3√3 +5π)} = 0.31695251
θ = 0 では
l(0) = π+2 = 5.141593
S(0) = π/2 = 1.570796
S/l = 0.305507735
962:１３２人目の素数さん
20/03/24 08:31:16.86 JQHHwetB.net
>>907
素晴らしい
数値としては0.317028570...で正解ですが、
なぜその形だと最大になるのか証明も欲しいところです
ヒントを言うと、あるパラメータ付き作用素の固有値をレイリー商により求めて、極限を飛ばすと(面積)/(周長)になることを利用します
963:１３２人目の素数さん
20/03/24 11:07:46.16 v/fj8fVi.net
>>911
閉曲線が囲む図形は
・凸集合として良い
・尖ってる部分が無いとして良い（つまり閉曲線は微分可能）
・半円の境界に接していない部分は、少なくとも局所的に曲率が等しいとして良い
ことから>>903の形を仮定していいはず
964:１３２人目の素数さん
20/03/24 11:31:02.15 MOWxPvKi.net
>>910
参考
-------------------------------------------------------------
θ r(θ) l(θ) S(θ) S/l
-------------------------------------------------------------
0° 0.000000000 π+2 π/2 0.30550773518
15
965:° 0.205604647 4.906228243054 1.544232748162 0.31474947183 30° 0.333333333 2(5π+3√3)/9 (11π+3√3)/27 0.31695250990 45° √2 -1 4.351158878394 1.361230101991 0.31284311606 60° 2√3 -3 4.013126310452 1.211844939375 0.30197029588 75° 0.491333810 3.616783365011 1.021692472380 0.28248649954 90° 0.500000000 π π/4 0.25000000000 -------------------------------------------------------------
966:１３２人目の素数さん
20/03/24 15:59:26 JQHHwetB.net
>>912
凸なのと、曲率が局所一定はいいと思うのですが、微分可能なのはどうしてでしょうか
967:１３２人目の素数さん
20/03/24 18:16:19.81 v/fj8fVi.net
>>914
尖ってる部分の外角をθとして、こんな風にθ/2の傾きの直線で切った時のlとSの変化を考えると、
切る長さxに対してlの減少は 2x(1-cos(θ/2)) (as x→+0)で近似できるのに対し、
Sの減少は (x^2*sinθ)/2 (as x→+0) で近似できる。
よって、x>0を十分小さく定めれば、より大きい S/l を実現できる。
あと忘れてたけど
・最大の S/l を与える閉曲線が存在する
も言う必要あるな…大したことないかもだけど
URLﾘﾝｸ(o.5ch.net)
968:イナ
20/03/24 18:22:26.05 G+Ea7M2l.net
前>>906
ピタゴラスの定理より、
(3/4√2+1/4)^2+(t-1/4√2)^2=t^2
t=(3√2+3)/4
=3(1+√2)/4
=1.81066017……
t^2=9(3+2√2)/16
sinθ=(4-√2)/6
=0.430964406……
θ=25.52877935……
面積と周長をともに4つに分けて求める。
いちばん大きな扇形は2つあわせて面積π/4,周長部分π/2
2番目の扇形は2つあわせて面積π/16,周長部分π/4
3番目の扇形は2つあわせて面積π/64,周長部分π/8
亀の腹のようなy軸に線対称な残りの面積は等脚台形,鈍角三角形,うすい欠円からなる。
面積=π/4+π/16+π/64+πt^2θ/360°
+(1/4√2+1/4)(1/4√2)･2
+(1/2√2+1/4)(1/4√2)
-t(3/4√2+1/4)
周長=π/2+π/4+π/8+2πt(θ/360°)
=7π/8+{3(1+√2)π/2}(θ/360°)
969:１３２人目の素数さん
20/03/24 18:42:09.43 JQHHwetB.net
>>915
あーなるほど...
たしかに角を小さく切る、つまり
xを(S/l)(4(1-cos(θ/2))/sinθより十分小さく取ればよりよい比が出るのか
ありがとうございました
Maxの存在ですが、そもそも閉曲線の集合を具体的に言ってなかったんですが、リプシッツ閉曲線の集合とすればおそらく存在は言えます
970:イナ
20/03/24 19:09:08.84 G+Ea7M2l.net
前>>916
面積=π/2
周長=2π/2+2=π+2
とすると、閉曲線はいくらでも半円に近づけられるんじゃないか？
面積/周長=π/(2π+4)
=3.05507735……
971:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/25 17:58:40 YcAWd6vy.net
前>>918直線も曲線のうち。
半径1の半円のコーナー2か所を半径rの円弧で円くカットするとき、
半円のカットされる円弧部分に対する中心角をθとすると、
(1-r)sinθ=r
sinθ=(1+sinθ)r
r=sinθ/(1+sinθ)
1-r=1/(1+sinθ)
r^2=sin^2θ/(1+sinθ)^2
面積=π/2-θ+(1-r)rcosθ+πr^2(π+2θ)/2π
=π/2-θ+(1-r)rcosθ+r^2(π/2+θ)
=π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2
周長=π-2θ+2(1-r)cosθ+2πr(π+2θ)/2π
=π-2θ+2(1-r)cosθ+r(π+2θ)
=π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)
面積/周長={π/2-θ+sinθcosθ/(1+sinθ)^2+(π/2+θ)sin^2θ/(1+sinθ)^2}/{π-2θ+2cosθ/(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ/(1+sinθ)}
={(π/2-θ)(1+sinθ)^2+sinθcosθ+(π/2+θ)sin^2θ}/{(π-2θ)(1+sinθ)^2+2cosθ(1+sinθ)+(π+2θ)sinθ(1+sinθ)}
θで微分し、分子=0とすると、
θ=27.6578187……°
972:１３２人目の素数さん
20/03/25 18:54:40 mDuON5Tg.net
>>919
正解だけどもう>>907で解答出てます
973:１３２人目の素数さん
20/03/25 20:06:33.01 8IQhbp71.net
いつもの芸風
974:１３２人目の素数さん
20/03/25 21:25:32.84 jmNOx22O.net
>>921
正確がでてからも延々と誤答を連発するのが芸風だったようなｗ
975:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/25 23:17:09 YcAWd6vy.net
.､､,,
彡`e)⌒～っ
⌒～っ
ιγ)
`彡´
υ´前>>919別解を探ってんだよ。
976:１３２人目の素数さん
20/03/28 04:00:21.75 H8zc980P.net
単位正方形を面積0.21未満の三角形5つで分割せよ
977:１３２人目の素数さん
20/03/28 04:01:22.29 H8zc980P.net
正方形は面積の等しい奇数枚の三角形では分割出来ないことを証明せよ
978:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:11:12.48 z8xV0i7R.net
>>924
正方形を座標 [0,1]×[0,1] におく。
アドホックだけど
周上の3点 A(0,1), B(0.4,0), C(1,0.59) を考えると
線分ABが面積0.2の三角形を切り出す。
線分ACが面積0.205の三角形を切り出す。
線分BCが面積0.177の三角形を切り出す。
残った三角形ABCは面積が0.418だから、AからBCの中点へ線分を引くとこれを面積0.209ずつに等分する。
979:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:28:13.83 H8zc980P.net
>>926
素晴らしい
正解です
980:１３２人目の素数さん
20/03/28 05:40:49.83 H8zc980P.net
ちなみに
「正方形を5つの三角形で分割したとき、一番大きな三角形の面積の下限」
については私は答えを知りません
おそらく>>926タイプが最小だと思うけど証明出来ません
981:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:19:46 BJlezchp.net
n(=10)人の中から無作為にm(=2)人選んだらその中に少なくとも一人の感染者がいた。
全体で何人の感染者がいるかの期待値を求めよ。
5.345794人であってる？
982:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:34:15 BJlezchp.net
>>929
4.324324人かな？
983:１３２人目の素数さん
20/03/28 08:40:28.80 BJlezchp.net
いや、6.5人じゃないかな？
984:イナ
20/03/28 09:18:03.03 zOKjl8OR.net
前>>923
>>929違うと思う。
少なくとも1人ということは、2人中1人か2人が感染している。
2人中1.5人が感染しているから、10人だと、
1.5(10/2)=7.5
∴7人か8人が感染している。
985:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:07:11 GB5uxKLH.net
>>924
周上の3点 A(0, 1) B(√2 -1, 0) C(1, 2-√2) を考えると
4つの?が合同になり (√2 -1)/2 = 0.20710678 > 1/5
残った直角2等辺三角形は (√2-1)^2 = 0.171572875
一番小さい三角形の面積の範囲は 0.1682～0.18 ですかね
986:１３２人目の素数さん
20/03/28 10:34:16 BJlezchp.net
6.5の計算式
x=0:n # 感染者数:x, 非感染数:n-x
pmf=1- choose(n-x,m)/choose(n,m) # 感染者がx人のときにm人中誰かが感染している確率 ＝ 1 - (ｍ人全員非感染の確率)
pdf=pmf/sum(pmf) # 確率密度関数化して
(E=sum(x*pdf)) # 期待値を計算
987:１３２人目の素数さん
20/03/28 11:11:34 BJlezchp.net
>>932
2人の感染数の期待値1.5に固定ではなくて全体の感染率に依存するんじゃないの？
# p:感染確率
p1=2*p*(1-p) # 一人だけ感染確率
p2=p^2 # 二人とも感染確率
(1*p1+2*p2)/(p1+p2) # 感染人数の期待値
1.5になるのはp=2/3のとき。
988:１３２人目の素数さん
20/03/29 02:03:38.99 mVS6e59j.net
>>931
ツボの中に黒碁石がx個と白碁石が10-x個入っている確率をQ(x)とし、
黒石がx個の下で2個取って黒がn個である確率は、P(n)=C[x,n]C[10-x,2-n]/C[10,2]
P(1)=C[x,1]C[10-x,1]/C[10,2]=x(10-x)/45、P(2)=C[x,2]C[10-x,0]/C[10,2]=x(x-1)/90
だから、P(n=1,2│黒石=x)=P(1)+P(2)=x(19-x)/90
P(n=1,2かつ黒石=x)=Q(x)P(n=1,2│黒石=x)=Q(x)x(19-x)/90
P(黒石=x│n=1,2)=P(n=1,2かつ黒石=x)/納k=1,10]P(n=1,2かつ黒石=k)
=Q(x)x(19-x)/90/納k=1,10]{Q(k)k(19-k)/90}、ここで、Qが定数なら、
P(黒石=x│n=1,2)=x(19-x)/納k=1,10]{k(19-k)}=x(19-x)/660
xの期待値=納k=1,10]x*x(19-x)/660={19*10*11*21/6-(10*11/2)^2}/660=13/2
989:１３２人目の素数さん
20/03/29 04:48:03.83 Uzyj10C6.net
面白い問題見つけてきました、けっこう簡単だけども。
n次元実数空間上にn個の点P_1,P_2,…,P_nを、それぞれの座標が
P_1:(1,0,0,…,0)
P_2:(0,2,0,…,0)
P_3:(0,0,3,…,0)
…
P_n:(0,0,0,…,n)
となるように取る。
P_1～
990:P_nのn個の点で作られる(n-1)次元空間と原点Oの距離をd(n)としたとき lim[n→∞] d(n) を求めよ。 https://twitter.com/StandeeCock/status/1242443303880028161?s=19 (deleted an unsolicited ad)
991:１３２人目の素数さん
20/03/29 06:28:49.10 aOvcdyIH.net
(n-1)次元空間 (超平面とよぶ) は
x_1 + (1/2)x_2 + ････ + (1/n)x_n = 1,
で表わされる。
この超平面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ {Σ[k=1,n] (1/k)x_k}^2 / {Σ[j=1,n] 1/jj} (← コーシー)
= 1 / {Σ[j=1,n] 1/jj}
= d(n)^2,
d(n) = {Σ[j=1,n] 1/jj}^(-1/2)
→ {Σ[j=1,∞] 1/jj}^(-1/2) (n→∞)
= {ζ(2)}^(-1/2)
= (√6)/π
= 0.7796968
面白い！
992:１３２人目の素数さん
20/03/29 06:44:13.28 aOvcdyIH.net
(n-1)次元空間 (超楕円面とよぶ) は
(x_1)^2 + {(1/2)x_2}^2 + ････ + {(1/n)x_n}^2 = 1,
で表わされる。
この超楕円面上の点X (x_1, x_2, ････, x_n) と原点O (0,0,････,0) の距離|OX|の2乗は
|OX|^2 = Σ[k=1,n] (x_k)2
≧ Σ[k=1,n] {(1/k)(x_k)}^2
= 1
= d(n),
lim[n→∞] d(n) = 1.
面白い！
993:１３２人目の素数さん
20/03/29 07:59:53.08 mVS6e59j.net
>>392
嘘をついてしまい申し訳ありませんでした
＞∴ p(m+1)-pm>0⇔ Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k > 1
Σ[m+1≦k≦n-1] 1/k<log((n-1)/m)より、(n-1)/m<eのとき、右辺<1よりp(m+1)<pmなので、
(n-1)/e<mのうち最小でないmは不適だから[n/e]+1より大きいmは不適
Σ[m≦k≦n-1] 1/k>log(n/m)より、n/m>eのとき、右辺>1よりp(m-1)<pmなので、
n/e>mのうち最大でないmは不適だから[n/e]より小さいmは不適
（また、p([n/e]+2)<p([n/e]+1)だからΣ[[n/e]+2≦k≦n-1] 1/k<1で、
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k<1+1/([n/e]+1)<2）
Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/kが1未満のときm=[n/e]で、1以上のときm=[n/e]+1で最大だから、
m=[n/e]+[Σ[[n/e]+1≦k≦n-1] 1/k]のとき最大
このときm/nlog(n/m)<pm<m/nlog(n/m)+1/nだから、pm→1/e
994:１３２人目の素数さん
20/03/29 08:15:50.52 LkZjh/9V.net
>>936
レスありがとうございます。
多数決で決める事項ではないけど同じ結論の人がいてほっとしました。
995:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:33:52.26 WogCQeQk.net
（謎）
昨日の東京のコロナ陽性者は87人検査して63人陽性であったという。
検査の感度0.6 特異度0.9と仮定して、87人中に感染者は何人と推定されるか？
996:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:43:27.74 WogCQeQk.net
キャバクラ客100人から無作為に5人から検体を採取してこの検体を混合攪拌してコロナ検査したところ陽性であった。
100人のキャバクラ客の陽性数の期待値を求めよ
997:１３２人目の素数さん
20/03/29 09:45:46.89 WogCQeQk.net
>>943
401/7 になった
998:１３２人目の素数さん
20/03/29 10:35:41 WogCQeQk.net
>>929
ベイズ的に考えると
n人からm人選んだら少なくとも一人の感染者がいたとする。
Ax: x人の感染者がいる(x=0~n)という事象
B:最低一人の感染陽性判定という事象
Pr[Ax|B]=Pr[B|Ax]Pr[Ax]/Pr[B]
Pr[Ax]:事前確率
Pr[B|Ax]:尤度
Pr[B]:周辺尤度(規格化定数)
求めたい期待値Eは
Σ(x*Pr[Ax|B])/ΣPr[Ax|B] = Σ(x*Pr[B|Ax]Pr[Ax])/Σ(Pr[B|Ax]Pr[Ax])
Pr[Ax]がxにかかわらず定数であれば
E=Σ(x*Pr[B|Ax])/Σ(Pr[B|Ax])
事前確率分布を一様分布と仮定しての計算ということだな。
999:哀れな素人
20/03/30 08:24:59 7yoNMR67.net
↓この問題を初等幾何で解け
【幾何】日本数学オリンピック予選 23
【解説】日本数学オリンピック予選 ２００９年 問４
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
1000:１３２人目の素数さん
20/03/30 14:05:17 zICzxEKY.net
>>946
哀れな素人さん、どうもガロアスレのスレ主です。
面白い問題やね（＾＾；
1001:１３２人目の素数さん
20/03/30 15:45:02.93 7S3Fype3.net
(1) s²+s=n^4-n² を満たす整数s, nは存在するか。有限組あるならすべて求めよ
(2) 5^c+s²+s=n^4-n² を満たす整数c, s, n は存在するか。有限組あるならすべて求めよ
1002:１３２人目の素数さん
20/03/30 16:33:36.40 uxzDymBq.net
(1)
0 = s(s+1) - nn(nn-1) = (s+nn)(s+1-nn),
∴ s = -nn または s = nn-1. (無数にある)
1003:１３２人目の素数さん
20/03/30 17:23:18 uxzDymBq.net
(2) s(s+1) も nn(nn-1) も偶数だから矛盾。
1004:１３２人目の素数さん
20/03/30 18:15:38 oNI+nbzZ.net
b(x) は奇関数で、aを実数として
b(x)= ∫[0, x] b(u) du + ∫[a, x+a] b(u) du
を満たす。
(1) b(a), b(2a) を求め、
(2) a_n=∫[0, na] b(u) du とする。a_1= ∫[0, a] b(u) du =1 としてa_nをnを用いて表せ。
1005:イナ
20/03/30 23:34:16.95 psAYFPlW.net
前>>932
>>948(1)
(s,n)=(3,2),(3,-2),
(0,1),(0,-1),
(-1,1),(-1,-1),
(8,3),(8,-3),
(-9,3),(-9,-3)
1006:１３２人目の素数さん
20/03/31 10:49:38 NdCHFxJo.net
>>951
b(x) = F(x) + F(x+a) - F(a),
ここに F(x) = ∫[0,x] b(u)du は偶関数。
b(x+a) = - b(-x-a)
= - F(-x-a) - F(-x) + F(a)
= - F(x) - F(x+a) + F(a)
= - b(x),
よって b(x) は周期2aをもつ。
1007:１３２人目の素数さん
20/03/31 11:05:29 NdCHFxJo.net
ゆえに
b(x) = ∫[0,x] b(u)du + ∫[0,x] b(u+a)du
= ∫[0,x] b(u)du - ∫[0,x] b(u)du
= 0,
1008:１３２人目の素数さん
20/03/31 21:32:31 YPumKBAH.net
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
1009:１３２人目の素数さん
20/03/31 22:52:11 0eySXOLI.net
>>955
x軸の上に、四角を横に三個並べ、その上に同様に三個乗せ、その上に二個を中央に並べる
右下の角は(3/2,0)、中段の右上の角は(3/2,2)、最上段の右上の角は(1,3)だが、
どれも(0,√7/2)からの距離が2を超えないのでここを中心に円を書けばいい
1010:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/03/31 23:00:32 DSOHFKJI.net
前>>952
>>955
円の中心を原点(0,0)として、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形の4つを描き、
あとの4つはそれぞれ4つの象限に正方形の中心を置き、y軸に対して2つが対称になるように置く。
x軸に正対させるんじゃなく斜め45°ぐらいで先に置いた4つの単位正方形にぎりぎり接するか接さないかぐらいで探るとよい。
1011:１３２人目の素数さん
20/04/01 00:03:28 jY1QTlKF.net
>>955
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
完全に手探りで詰め込んでみました. ( Geogebra で作図 )
描画線幅のボヤケで接触してるように見える箇所も実際は離れています.
1012:１３２人目の素数さん
20/04/01 00:49:33 3A39oS9Q.net
>>956
円の中心を(0,0)とすれば
(±3/2, -(√7)/2) と (±3/2, 2 -(√7)/2) のなす長方形に６個
(±1, √3) と (±1, √3 -1) のなす長方形に２個
ですね。
* 2 - (√7)/2 = 0.677124344
√3 - 1 = 0.7320508
1013: 【大吉】
20/04/01 01:12:46 hhUwhMFY.net
前>>957
残り4つのうち2つを第3象限と第4象限に斜め45°で入れようとすると、
点(1/2,√15/2-1)と直線y=x-1/2+1-√3+1/2√2の距離は、
|4√2-√30-2√6+1|/4=0.929837703……＜1
予想通り残りの2つを第1象限と第2
1014:象限に入れることができない。 つまり第3象限と第4象限に入れようとした2つの単位正方形を最初に置いた2つの単位正方形の1つの頂点(-1,1-√3)および(1,1-√3)辺が接したままその点を支点に円弧側に傾けて、残り2つの単位正方形が入るようにする。 最大限傾けると点(1/2,√15/2-1)と第4象限で傾けた単位正方形の最も近い辺の距離は1を超えるはず。 点(1,1-√3)から√5/2の距離にある単位正方形の2つの頂点が決まり次第お伝えしたい。
1015:１３２人目の素数さん
20/04/01 03:55:57.89 MHhYU/kR.net
微分四次元
1016:１３２人目の素数さん
20/04/01 08:37:36.27 +rNOlT7Q.net
一辺の長さ3の正方形を、半径1の円5つで被覆することは可能か
1017:１３２人目の素数さん
20/04/01 09:38:01.06 3A39oS9Q.net
上から √3 =1.7320508 の部分を1×√3の長方形に三等分する。
下から (√7)/2 = 1.3322875 の部分を 3/2 × (√7)/2 の長方形に二等分する。
各長方形は、対角線の長さが2だから、半径1の円で被覆することが可能。
1018:１３２人目の素数さん
20/04/01 09:48:47 3A39oS9Q.net
〔問題〕半径Rの円板上に、直径1の円板何枚かを互い
に重なる部分が無いように置きたいのですが、最大何枚
まで置けるでしょうか。
・R=2 の場合。
数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988)
●104
(日本MOでも使われたらしい。)
1019:１３２人目の素数さん
20/04/01 13:03:11 YULTPcko.net
URLﾘﾝｸ(en.m.wikipedia.org)
1020:１３２人目の素数さん
20/04/01 14:00:24 ZUQmzTxS.net
大小2つの円を用意したら結果はどうなるかな
1021: 【末吉】
20/04/01 17:55:30 hhUwhMFY.net
前>>960方針変更。最初の4つは同じ。傾き45°は変えない。
>>955
5つ目～8つ目の単位正方形を第1象限～第4象限に振り分け、y軸に対して2つを対称に、かつ辺がy=xまたはy=-xと平行になるように置くと、5つ目の単位正方形の頂点の座標は、
(2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2-√2/2+√15/4-√3/2),
(2+√2-√15/4-√3/2,1/2+√15/4-√3/2),
(2+√2/2-√15/4-√3/2,1/2+√2/2-√15/4-√3/2)
6つ目,7つ目は第2象限,第3象限に置くとして8つ目の単位正方形を5つ目の単位正方形とぴったりくっつけたままy軸方向に寄せると、
y=x-3/2-√2+√15/2とx=1/2の交点は、
(1/2,-1-√2+√15/2)
対角の頂点は、
(1/2+√2,-1-√2+√15/2)
x^2+y^2=(1/2+√2)^2+(-1-√2+√15/2)^2
=1/4+2+√2+15/4+3+2√2-√15(1+√2)
=9+3√2-√15-√30
=3.89243177……＜4
∴半径2の円に単位正方形が8つ入る。
1022:
20/04/01 19:46:59.37 hhUwhMFY.net
前>>967
最初に描いたy軸を挟んで円弧と接する2つの単位正方形の第3象限のを①,第4象限のを②,次に描いた原点を含むのを③,y軸の+方向で円弧と2か所で接するのを④とすると、③と⑧が接さない可能性がある。
つまり5つ目と8つ目を接したまますべらせつつ右回転、6つ目と7つ目を接したまま左回転し、円内に納める。
名づけて八星天道虫作戦。
1023: 【ぴょん吉】
20/04/01 22:58:17 hhUwhMFY.net
前>>968
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形?、
(-1/2,√15/2),(-1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2-1),(1/2,√15/2)を頂点とする単位正方形?を描き、
5つ目の単位正方形?を第1象限に、
6つ目の単位正方形?を第2象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形?を第3象限に、
8つ目の単位正方形?を第4象限に、
?と?がy軸に対して線対称となるように置き、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにし、
?と?の1つの辺をぴったりくっつけ、
?の頂点の1つが円と接するようにする。
∴方法は示された。
題意にはないが、?～?の頂点の座標を決めることもできる。
1024:１３２人目の素数さん
20/04/02 11:17:43 4wgrunsr.net
いま、ある人がコロナに感染しており、n個のコロナウイルスを持っている
コロナは一時間ごとに増減し、確率pでa個増え、1-pでb個減るとする(0<p<1、aとbは自然数)
また、コロナはS個以下になれば生存確定、T個以上になれば死亡確定とする
生存確率の範囲は？
Tを正の無限大に飛ばしたときの生存確率の範囲は？
1025:イナ
20/04/02 22:45:30.34 RYC4Exv5.net
前>>969別解。
>>955
①②③はそのまま、④を原点のほうに寄せ③にくっつけ、⑤と⑧および⑥と⑦をそれぞれ縦に並べ③④を挟みこむようぴったりつける。
⑥④⑤
⑦③⑧の6つはy軸に対して左右線対称なので、
⑤の右上の座標(3/2,3-√3)が円内にあれば単位正方形8つはすべて円内にある。
(3/2)^2+(3-√3)^2=9/4+9-6√3+3
=57/4-6√3
=14.25-6･1.7320508……
=14.25-10.3923048……
=3.85……＜4
∴狐につままれた。
1026:１３２人目の素数さん
20/04/03 09:50:21 mgebV0rK.net
半径2の円内に交わりのない単位正方形を8つと
（2/3)×√3 の長方形を１つ詰め込むにはどうしたらよいか
1027:１３２人目の素数さん
20/04/03 11:41:06.15 iElvV83p.net
>>954
定数関数って奇関数じゃなくね
1028:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:03:01 y55gm0o6.net
>>972
こんな感じの詰めかたで半径1.9991425…くらい
URLﾘﾝｸ(imgur.com)
1029:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:21:32 mgebV0rK.net
正解です！
(√3）+ (√15)/2 - 3 = 0.66854248
√(8√7 - 7）- 2 = 1.763776094
まではいけそうです。
1030:１３２人目の素数さん
20/04/03 12:40:43 mgebV0rK.net
充てん率で言えば 9.1547/4π = 0.72851
（単位正方形8つの 2/π = 0.63662 より向上)
1031:イナ
20/04/03 13:38:00.93 1jf5ZUTP.net
前>>971
>>972
①②③まで同じ。
④はy軸切片2の位置ら辺の周に頂点をひっかけて待つ感じ。
⑤⑥⑦⑧を第1,2,3,4象限に配置し片側に寄せると、⑤または⑥が円周につかえるためやや内側に押され、⑤と⑥が頂点で④のとなりあう2辺と接する形になる。
たとえば左寄せで⑤と⑧の縦の面をあわせて横幅2/3,縦に√3の辺が来るようにすると、
右上の頂点(11/3-√3,1/2)の座標から、
(11/3-√3)^2+(1/2)^2=3.99273852……＜4
なんとか円内に入る。
④の左上辺または右下辺を傾ける角度は、
30°～45°で円内収納の可能性がある。
たとえ数値的にむりでも右端の長方形にわずかに余裕があった。④は⑤と⑥のあいだに楔状に押しこめる可能性がある。
1032:１３２人目の素数さん
20/04/03 14:40:16 mgebV0rK.net
半径2の円内に交わりのない √(5/8)×√(3/2) の長方形を１0個詰め込むにはどうしたらよいか
1033:１３２人目の素数さん
20/04/03 15:08:56 y55gm0o6.net
>>978
a^2+((3/2)b)^2＝(2a)^2+b^2＝2^2
を解いてa＝√(5/8),b＝√(3/2)って係数を得たということね
1034:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/03 16:30:03 1jf5ZUTP.net
前>>977
>978
横長に下から1つ2つ3つ重ねると上面は、
3√(5/8)-√[2^2-{(1/2)√(5/8)}^2]=0.411159852……
残り4つを半円より小さな上のエリアに、
￥マークのように2つの長方形をソの字に置き、その上に2つを□に置くか、
または羊の異体字のように横向きの長方形を上下に離して置き、そのあいだに左右からハの字に楔状につっこむ。
1035:１３２人目の素数さん
20/04/03 17:58:04 1+NoQgUm.net
x軸の上に長方形を寝かせて三個並べる
その上に中央に寝かせて二個並べる
下段の右上の角は(長辺の長さ×3/2,短辺の長さ)
上段の右上の角は(長辺の長さ,短辺の長さ×2)
どちらも原点からの距離が4なので原点中心の半円に五個はまる
1036:１３２人目の素数さん
20/04/03 21:39:14.25 mgebV0rK.net
正解です！
充てん率で言えば 9.68246 / 4π = 0.770505
半径2の円内に交わりのない (2/√13)×(8/√13) の長方形を8つ詰め込むにはどうしたらよいか
1037:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:04:19.35 1+NoQgUm.net
長方形を寝かせて�
1038:Z段重ねたものを作り、両サイドの中央に一個づつ立たせてくっ付ける 重ねた長方形の角までの距離=(長辺÷2)^2+(短辺×3)^2=2^2 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
1039:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:07:16.00 1+NoQgUm.net
>>983訂正
× 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(短辺)^2=2^2
○ 横につけた長方形の角までの距離=(長辺÷2+短辺)^2+(長辺÷2)^2=2^2
1040:１３２人目の素数さん
20/04/03 22:10:18.16 1+NoQgUm.net
また間違えた距離じゃなくて距離^2だった
1041:１３２人目の素数さん
20/04/04 01:09:41 hLQ36is2.net
ほぼ正解です！
充てん率で言えば 9.846154 / 4π = 0.783532
□よりも細長い方が収まりがいい（?)
1042:１３２人目の素数さん
20/04/04 02:01:24 pmTrKGmv.net
正直あまり数学って感じでもないけど
ある日の午前中に雪が降り始めた。
除雪車が正午ぴったりに動き出し、
1時間で2マイルの除雪を完了し、
さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。さて雪が降り始めた時刻は？
ただし、その日雪が降り始めるまでの積雪は0、雪は一定の速さで降り積もり、除雪車が単位時間あたりに処理する雪の体積は常に一定とする。
上記のようなSnow plow problemの派生として
それでは2時間後の加速度が1時間後の半分になる場合、雪が降り始めた時刻を数値的に求める場合にあると便利な数表はなにか？理由付きで。
電卓等は使わないものとする
1043:１３２人目の素数さん
20/04/04 10:39:27 hLQ36is2.net
>>986
√(8/17) × 3√(8/17) の長方形を7つ詰め込むと充てん率が
9.882353 / 4π = 0.7864
となり、正方形の内接円の充てん率 (π/4=0.7854) を超える。
とくに意味はないが････
1044:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:47:35 hLQ36is2.net
正午よりc時間前に雪が降り始めたとする。
積もった雪の高さは t+c に比例し、
除雪車の速さv(t)は t+c に反比例する。
v(t）= k/(t+c),
正午からt時までに除雪車が進んだ距離は
∫[0,t］v(t')dt' = ∫[0,t] k/(t'+c）dt'
= k･log{(t+c)/c}
題意により、
k･log{(c+1)/c｝= 2マイル
k･log{(c+2)/c｝=（2+1)マイル
∴ 3log{(c+1)/c｝= 2log{(c+2)/c},
∴（c+1)^3 = c(c+2)^2,
∴ c =（√5 -1)/2 = 0.618034（時間）= 37.082（分)
加速度は -k/(t+c)^2 だから
1/(c+2)^2 = 1/{2(c+1)^2},
0 = 2(c+1)^2 - (c+2)^2 = cc -2,
c = √2,
雨は夜更け過ぎに 雪へと変わるだろう
Silent night, Holy night
∴ 平方根表。
1045:１３２人目の素数さん
20/04/04 11:55:52 S2S4Ftgc.net
時間当たり除雪量をJ、時点tのときの雪の高さをH(t)=(t+a)/hとし、除雪車の位置をx(t)
除雪車は短い時間dtでdx進み、その間少しの雪dxH(t)を除雪するから、dtJ=dxH(t)
x(t)=∫dx=∫dtJ/H(t)=Jh∫dt/(t+a)、x(t)-x(0)=Jhln((t+a)/a)だから、
x(1)-x(0)=Jhln((1+a)/a)=2、x(2)-x(0)=Jhln((2+a)/a)=3、3ln((1+a)/a)=2ln((2+a)/a)
((1+a)/a)^3=((2+a)/a)^2、a^2+a-1=0より、aはフィボナッチ数(√5-1)/2
雪は正午から(√5-1)/2時間前に降り始めた
dx(t)/dt=Jh/(t+a)、ddx(t)/dtdt=-Jh/(t+a)^2だから、-Jh/(2+a)^2=(-Jh/(1+a)^2))*1/2と置くと、
(2+a)^2=2(1+a)^2、a^2-2=0、なので√2時間前
平方根表が必要
1046:
20/04/04 19:39:42.47 xmNOPA8p.net
前>>980
>>955
円の中心を(0,0)とし、
(-1,1-√3),(-1,-√3),(0,-√3),(0,1-√3)を頂点とする単位正方形①、
(0,1-√3),(0,-√3),(1,-√3),(1,1-√3)を頂点とする単位正方形②、
(-1/2,2-√3),(-1/2,1-√3),(1/2,1-√3),(1/2,2-√3)を頂点とする単位正方形③、
(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)を頂点とする単位正方形④を描き、
5つ目の単位正方形⑤を第1象限に、
6つ目の単位正方形⑥を第2象限に、
⑤と⑥がy軸に対して線対称となるように置き、
7つ目の単位正方形⑦の中心を第3象限に、
8つ目の単位正方形⑧の中心を第4象限に、
⑦と⑧がy軸に対して線対称となるように置き、
⑤⑥⑦⑧がそれぞれ1つの頂点で円と内接するように置けないでしょうか？ もし2つ3つ3つと積み重ねて
1047:正対させる以外の置き方がないとしたらちっとも面白い問題じゃないです。
1048:イナ
20/04/05 14:29:03.18 kyAykWoL.net
前>>991
>>955予想。
①②をy軸に対して線対称にハの字型に置き、①の右下辺の傾きを4/3、②の左下辺の傾きを-4/3としy軸上で接するようにする。
③は原点付近に中心を置き正対させ、④をy軸に対して45°回転させ頂点を(0,2)と(0,2-√2)に置く。
⑤～⑧の中心を第1～4象限に置き、
⑤⑧は②と同じ傾きにし、⑥⑦は①と同じ傾きにすると、
①,②,④～⑧をそれぞれ1つずつの頂点で円に内接するように置くことがぎりぎりできないかと思う。
1049:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/05 22:22:31 kyAykWoL.net
前>>992
>>955別解。
??をy軸に対して線対称に置き、?の左上辺の傾きを3/4,左下辺の傾きを-4/3にする。
?の中心を原点に配置しx軸,y軸に正対させ、?をy軸に対して45°回転、頂点を(0,2),(0,2-√2)に配置する。
?の左上辺と右下辺の切片の差は7/5。
???の左上辺の傾きを3/4,
???の右上辺の傾きを-3/4にあわせ、
?をめいいっぱい上げて?の左端のx座標が1/2より大きく、かつ右端の座標の2乗和が、
x^2+y^2≦4の範囲にあればいい。
?の左端の頂点を?の右下辺よりわずかに下にとるには、
y=x+2-√2に0.4を代入し、
y=0.4+2-√2=0.985786438……
(0.4,0.98)とすると確実に?と?は離れていて、
?の上端の座標は、
(0.4+0.8,0.98+0.6)=(1.2,1.58)
1.2^2+1.58^2=3.9364＜4
?の右端の座標は、
(1.2+0.6,1.58-0.8)=(1.8,0.78)
1.8^2+0.78^2=3.8484＜4
?の下端の座標は、
(0.4+0.6,0.98-0.8)=(1,0.18)
?の右下辺および?の左上辺の方程式は、
y=3(x-1)/4+0.18
?の左端の座標を(0.56,-0.15)とすると、
?の右端の座標は、
(0.56+0.8+0.6,-0.15-0.8+0.6)
=(1.96,-0.35)
1.96^2+(-0.35)^2=3.9641＜4
?の左下辺および?の右上辺の方程式は、
y=-4(x-0.56)/3-0.15
?の左端はy軸に接するといいから、?の上端のx座標0.8を代入し、
?の上端の座標は(0.8,-0.47)
?の左端の座標は(0,-1.07)
?の下端の座標は(0.6,-1.87)
0.6^2+(-1.87)^2=3.8569＜4
?の右端の座標は(1.4,-1.27)
1.4^2+(-1.27)^2=3.5729＜4
∴単位正方形8つを真ん中の1つ以外をすべて正対させることなく半径2の円内に納めることができる。
1050:１３２人目の素数さん
20/04/06 03:03:42.48 39Ei0lMN.net
[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.
1051:イナ ◆/7jUdUKiSM
20/04/07 03:01:26 St9xu4sq.net
前>>993訂正。?の左上辺と右下辺の切片の差は5/4。
>>955
単位正方形??の頂点を(0,-1.07),(±0.6,-1.87),(±1.4,-1.27),(±0.8,-0.47)
単位正方形?の頂点を(-0.5,0.5),(-0.5,-0.5),(0.5,-0.5),(0.5,0.5)
単位正方形?の頂点を(0,2),(-√2/2,2-√2/2),(0,2-√2),(√2/2,2-√2/2)
単位正方形??の頂点を(±0.4,0.98),(±1,0.18),(±1.8,0.78),(±1.2,1.58)
単位正方形??の頂点を(±0.56,-0.15),(±1.16,0.95),(±1.96,-0.35),(±1.36,0.45)にする。
1052:哀れな素人
20/04/07 08:37:11.77 D9Jvum39.net
↓この問題を初等幾何で解け
和算【数学検定1級 過去問】
URLﾘﾝｸ(www.youtube.com)
1053:１３２人目の素数さん
20/04/07 12:33:36.96 .net
次スレ
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1054:１３２人目の素数さん
20/04/07 20:30:26.14 ZlV3F5Vq.net
>>996
乾円の直径をD
坤円の直径をd
水平線の長さを 2L
とする。
⊿の相似により D：L=L：d
水平線の長さ L = √(Dd) … (1)
Dをδだけ変えたとき、
・乾円の面積は（πD/2)δ 変わる。
・黄色部分の面積は（2L - πD/2)δ だけ変わる。
黄色部分の面積が最大となるとき
2L - πD/2 = 0 … (2)
(1)(2)からLを消すと
d = D(π/4)^2,
1055:１３２人目の素数さん
20/04/08 00:20:58 ZohoKp5e.net
>>987のまねをしてみた
雪の降り方は一定ではなく次第に衰え、降り止んで以降は溶け出すものと変更する
降り始めてからt時間後の時点での雪の積もる速度はcos(πt/3)とする(0<t<4)
1056:正午前に雪が降り始めて正午から除雪車を稼働させる 雪が降り始めて一時間半後の時点で一マイルの除雪ができた さらにその後30分で一マイルの除雪ができた 雪が降り始めた時間を知るにはどんな表が必要か
1057:１３２人目の素数さん
20/04/08 01:38:31 8k14h8i+.net
=1000+1000-1000*1000/1000
1058:1001
Over 1000 Thread .net
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